ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές

Transcript

1

2 ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές κ.λ.π. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράσταση διανύσματος

3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ A A B B

4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ (εναλλακτικός τρόπος) A A B B B

5 E D A ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ A A E C D B D ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ B C B C E?? 0

6 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράλληλα διανύσματα O y r r Πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων Πρόσθεση δυο διανυσμάτων Το άθροισμα δύο παραλλήλων διανυσμάτων. O y r r r r + y Άθροισμα δύο διανυσμάτων υπό γωνία. OC OA AC c a b c (a 2 b 2 2abcos ) 1/2 c a b sin sin sin 2 1

7 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ A B A A B B A

8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ A A

9 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ A 1A A

10 A ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 4A ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων 4A

11 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων Αφαίρεση δυο διανυσμάτων Αφαίρεση δύο διανυσμάτων υπό γωνία. ab0a b OA OB BA c a b c (a 2 b 2 2abcos ) 1/2 Πολλαπλασιασμός διανύσματος με πραγματικό αριθμό Νόμοι διανυσματικής άλγεβρας Αντιμεταθετικός Επιμεριστικός Προσεταιριστικός a bba m(a b) ma mb (m n)a ma na a bc (ab) c a (bc)

12 Αριθμητική Τιμή ιανύσματος Μέτρο ιανύσματος Παράδειγμα Προσανατολισμός Μοναδιαίο Α 1 : ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ F F 10 ιανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α ιανύσματος A N A Α Μέτρο ιανύσματος Α Α 0 Α Α Μοναδιαίο ιανύσματος

13 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Οι θετικοί προσανατολισμοί των τριών αξόνων, y και z ενός Καρτεσιανού Συστήματος Συντεταγμένων προσδιορίζονται από τα μοναδιαία: (Μοναδιαίο -άξονα)= (Μοναδιαίο y-άξονα)= (Μοναδιαίο z-άξονα)= i j k 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ i y j z k k i z j 0 y

14 r cos y r sin r r 2 i y y j r i y j y 2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ r y y y j 0 i r σε δυο Διαστάσεις r θ r r r Α i y j 2 y 2

15 r i 1 1 r i 2 2 Διάνυσμα Μετατόπισης y y 1 2 j j ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ y y 1 y 2 Δr σε δυο Διαστάσεις r 1 1 r 2 r r r 2 1 r j 0 i 1 r 2 ( ) i ( y y ) j

16 Α Α r A y A z A y 0 z i j k i A A j y y A A k z z A A k z j y i r A A A A A A z y r r r r r σε τρεις Διαστάσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ r r ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

17 r i y j r i y j ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ z 1 z k 2 k 2 1 i z z 1 z 2 k 0 r 1 Α j Α Διάνυσμα Μετατόπισης r 2 r y 1 Β B y 2 y r r r 2 1 ( ) i ( y y ) j ( z z ) k

18 i, j,k ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων Μοναδιαία διανύσματα αξόνων,χρήσιμες σχέσεις: OR ORRR OA OB OC r i yjzk r ( y z ) /2 r,r r rr o o

19 b θ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ a ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων Άν a b a,b ab ab θ cos Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος 0 a,b ab 0θ = 90, a b. και Αντιμεταθετικός ab ba Επιμεριστικός ab+c ( ) ab+ac m ab ma b =a mb abm ii = jj =kk= 1, ij = jk =ki= 0 a=a i+a j +a k, b=b i +b j +bk ab = a b + a b + a b y z y z y y z z

20 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων ab [ a,b] ˆn b φ a a b [ a,b ] nab ˆ sin φ α είναι το μέτρο του a και b το μέτρο του b. φ είναι η μικρότερη γωνία μεταξύ των και. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα. ˆn a b Το είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής: Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην προκειμένη περίπτωση το ) προς το δεύτερο (εδώ b το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας. a ˆn

21 Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ a b [ a,b ] nab ˆ sin φ ˆn φ b a b a [ b,a] ab

22 Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Επιμεριστικός ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ a ( b+c ) =ab+ac ma ( b) ( mab) ( amb) ( abm ) i i = j j = kk 0 = 0 i j=k, j a,b a b 0 = 0, a // b. k=i, ki = j Άν και a=a i+a j +a k, b=b i +b j +bk y z y z ab (aybz azb y)i (azb ab z)j (aby ayb )k i j k ab a a a y z b b b y z a b [ a,b ] nab ˆ sin φ

23 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων a b [ a,b ] nab ˆ sin φ b φ b h a a S a b = S S ab a bsin φ ab a h S S = S = εμβαδόν παραλληλογράμμου b a S h b a = S

24 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα; z S θ S θ S S y Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το επίπεδο S στο χώρο. Βρίσκουμε την προβολή του S στο επίπεδο y. Ξέρουμε ότι S Scos Αν παραστήσουμε τα δύο επίπεδα με S και S με δυο διανύσματα S S, τότε είναι κατανοητό, πως το θα ήταν η προβολή του στον άξονα ΟZ (ΒΟΛΙΚΟ). S S ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟYΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

25 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΟ ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ; ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ; S ΔS i ΔS i όμως Έστω τυχαία επιφάνεια S στο χώρο. Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔS i. Επειδή είναι μικρές κάθε μια τη θεωρούμε επίπεδο και σ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα ΔS S= ΔS i i S i ΔS i i

26 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων Συμβολισμός a (b c) Αναλυτική έκφραση aa i a ja k y z a a a a (bc) b b b y z z c c c z bb i b jb k y z c c i c jc k y z a (bc) c (ab) b (ca) Αντίστροφο πλέγμα Ορθά διανύσματα a,b, c Αντίστροφα διανύσματα a,b,c Σχέση

27 Τριπλό διανυσματικό γινόμενο Συμβολισμός Ανάπτυγμα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ a (b c) a (bc) (ac)b (ab)c a (bc) (ab) c

28 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ tan Δy Δ tan dy d y y = f() φδy φ Δy Δ Δ 1 1 +Δх 1 +Δх ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Οστιγμιαίος«ρυθμός» μεταβολήςενόςμεγέθουςσεσχέσημε κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). d Ταχύτητα Επιτάχυνση d a dt Θερμοχωρητικότητα C ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ V du dt dt Συμβολισμοί: d 2 d dt 2 dt 3 d dt 3

29 Έστω Δх μια μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό d και ονομάζουμε το d διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f() και η ανεξάρτητη μεταβλητή μεταβληθεί κατά d, πόσο θα μεταβληθεί η y; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το μεταβληθεί κατά Δ, τότε θα έχουμε: Και για Δх 0 Δy Δy dy tan d dy d d ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ tan Δ y y=f() 1 φ Δ Δy + 1 Δ

30 ΘΕΩΡΙΑ Έστω συνάρτηση y=f() Τότε y =f(+δ) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y y=f(+δ) f(); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔ+0(Δ) όπου Α=Α() (δεν εξαρτάται από το ) και 0(Δ) συνάρτηση του Δ δύναμης μεγαλύτερης της 1 ης Για Δ 0 (Δ) 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A=(dy/d) και ο dy dy d d ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ 3 y y ( Δ) Δy Δ 3 3 ( ) ; ( ) Δ Δ ( Δ) ( Δ) Δ+ [3 ( Δ) ( Δ) ] Για Δ 0 dy dy 3 dy d d 2 d

31 ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ο γενικός τύπος dy την παράγωγο ως λόγο. Έστω κύκλος ακτίνας r. dy d ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ d μας επιτρέπει να θεωρούμε dr Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; Συμβατική απάντηση: r S r ds ( r dr) r 2 rdr ( dr) 2rdr ds ds dr rdr dr Διαφορικό: 2 0

32 ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; V 4 r 3 3 dv dr ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ 2 dv dr 4 r dr ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Προσεγγιστικός τύπος διαφορικού dy dy dy dy d Δy y( Δ) y( ) Δ y ( Δ) y( ) Δ d d d

33 Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας μεταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Π.χ. f 2 y z και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το f όταν μεταβληθεί είτε το είτε το y,είτε το z. Για συνάρτηση f(, y, z, ) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου. f f y f z ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Παραγωγίζουμε ως προς, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουμε ως προς y, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουμε ως προς z, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. f y f z 6 y z y z 2 3 3

34 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ f 2 y z Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: f 2 2 f 2 y 2 f y yz 2 f 2 f 4 2 y z f 12 yz 2 y f y 12y z f yz 48y z 2 3 Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(, y, z) f f f df d dy dz y z

35 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα Διάνυσμα για s+δs Μεταβολή r r(s) r r(s s) r r(s s) r(s) Αν διαιρεθούν και τα δύο μέλη της με Δs Παράγωγος διανύσματος dr r(s s) r(s) lim s 0 ds s dr MM lim s 0 ds s r r(s s) r(s) s s

36 Έστω διάνυσμα at () a() tia() t j a () t k y z Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει at ( Δt) a ( t Δt) ia( t Δt) j a ( t Δt) k Εξετάζουμε την παράσταση ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ y z at ( Δt) a( t) Δa a ( ) ( ) t Δt a t lim lim lim[ i Δt0 Δt Δt0 Δt Δt0 Δt a ( ) ( ) ( ) ( ) y t Δt ay t az t Δt az t j k] Δt Δt da da y da da z i j k dt dt dt dt Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος

37 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ a da 0 dt ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Εάν σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση) dma ( ) m dt da dt da ( b) da db dt dt dt dab ( ) da db da ( b) da db b a b a dt dt dt dt dt dt

38 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μοναδιαία διανύσματα εφαπτομένης και καθέτου στην εφαπτομένη καμπύλης o 1 R dr ds d ds o n o d R ds o

39 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια). Διανυσματικός τελεστής ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA: i j k y z Κλίση (Gradient) Αν f(,y,z) είναι μια αριθμητική συνάρτηση, παραγωγίσημη σε κάθε σημείο (,y,z), η κλίση της f δίνεται από την σχέση: f f f f gradf ( i j k)f i j k y z y z Ο τελεστής ανάδελτα επιδρά σε βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα. Ιδιότητες της κλίσης f f(,y,z), g g(,y,z) I. (f g) f g II. (f g) fg gf

40 Απόκλιση (Divergence) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Τι γίνεται αν ο τελεστής ανάδελτα επιδράσει σε διάνυσμα εσωτερικά ; A( i j k)( Ai Ay j Azk) y z A A y A z ( ) diva y z Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A Ο τελεστής ανάδελτα επιδρά εσωτερικά σε διάνυσμα και το μετατρέπει σε βαθμωτό μέγεθος. Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A

41 Απόκλιση (Divergence) Ιδιότητες Δίνονται τα διανύσματα: Ισχύουν: I. (a b) a b II. (fa) f a fa ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ a f f f III. ( f ) y z a(,y,z) b b(,y,z)

42 Στροφή (Rotation) A ( i j k) ( Ai Ay j Azk) y z i j k rota curla y z ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ A A A ΤΟΥ A y z Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι δυναμικό) A ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Ο τελεστής έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά. A A z y A A A z y A ArotA ( )i ( )j ( )k y z z y

43 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Στροφή (Rotation) Ιδιότητες ab,, f Δίνονται οι συναρτήσεις των,y,z: Ισχύουν: 2 II. ( a) ( a) a I. ( ab) ab III. ( f ) 0 IV. ( f aa ) ( f ) a f ( a) a. Βαθμωτό πεδίοείναιοχώρος, όταν σε κάθε σημείο,y,z του χώρου αντιστοιχεί μια αριθμητική συνάρτηση f(,y,z). b. Διανυσματικό πεδίο είναι χώρος, όταν σε κάθε σημείο,y,z του χώρου αντιστοιχεί μια διανυσματική συνάρτηση a(,y,z). c. Ένα πεδίο θα λέγεται στατικό όταν είναι ανεξάρτητο του χρόνου. d. Ένα διανυσματικό πεδίο a(,y,z) θα λέγεται αστρόβιλο, όταν η στροφή του είναι μηδέν. ( a) 0

44 Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Aν df( ) d ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ f ( ) Όπου C σταθερά. H σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος. f ( ) d F( ) C y y = f() Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης y = f() f() d f ( ) d ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ d Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

45 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται σε συγκεκριμένο διάστημα (α, β) του πεδίου τιμών της μεταβλητής y y = f() β a f ( ) d F( β) F( α) =α =β

46 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ y Έστω συνάρτηση y=f() με πεδίο ορισμού a b. Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δ i το κέντρο των οποίων είναι το i. a f( i ) i y=f() b Δ i Εάν από το i και με βάση το Δ i N φέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα S f( i) Δi με ύψος το f( ) i θα έχουμε: i1 Όπου Ν το πλήθος των Δ i στα οποία χωρίσαμε το διάστημα ab και S εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f() και του άξονα.

47 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο) Δ i 0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f() και του άξονα. Τότε γράφουμε: N S lim f( ) Δ f ( d ) i 0 i 1 i i b a y a f( i ) i y=f() b Δ i ΠΡΟΣΟΧΗ

48 Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Το ΟΡΙΣΜΕΝΟ ολοκλήρωμα στη Φυσική είναι ένας ΑΡΙΘΜΟΣ με μονάδες n d n 1 1 n1 n 1 C β α n d 1 n 1 n 1 n 1 β α - d d n( C d β n( β) n( α) n α 1 ) cos( ) d sin( ) C cos( ) d sin( β) sin( α) sin( ) d - cos( ) C sin( ) d cos( α) cos( β) β α β α β α

49 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης L. Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι dw F( y, ) Fds Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας την τροχιά L. ds F L Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

50 Ξέρουμε ήδη ότι: ds W dr L Επομένως για το έργο θα έχουμε: Fdr Ας υποθέσουμε τώρα ότι: F Pyi (, ) Qy (, ) j Ξέρουμε επίσης ότι: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ r i yj Επομένως: Άρα: W [ P(, y) dq(, y) dy] L dr di dyj L Pyd (, ) Qydy (, ) L Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το συναρτήσει του y ή αντίστροφα.

51 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ - ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ n 1 1 ( n) 0 n 1 ρητός φ 0,174 rad αριθμός ln e 1 1 sinφ tanφ cosφ 1 φ

52 ΠΟΛΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ M(,y,z), M (-,-y.-z) συμμετρικά σημεία ως προς Ο. OM OMOM r, OM r r AB, AB συμμετρικά διανύσματα ως προς Ο. Η πράξη ονομάζεται αντιστροφή ως προς Ο. Αν Ι ο τελεστής αναστροφής τότε: Ir r r Τα διανύσματα για τα οποία ισχύει η παραπάνω διεργασία ονομάζονται πολικά διανύσματα.

53 ΑΞΟΝΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ s Ελεύθερο διάνυσμα κατά την περιστροφή ΑΒΓ κοχλία s Ελεύθερο διάνυσμα κατά την περιστροφή κοχλία Α Β Γ, συμμετρικής της ΑΒΓ. κατά Η Αν Ι ο τελεστής αναστροφής που αφήνει αναλλοίωτο το διάνυσμα τότε: Is Τα διανύσματα για τα οποία ισχύει η παραπάνω διεργασία ονομάζονται αξωνικά διανύσματα. s

54 ΠΟΛΙΚΑ ΚΑΙ ΑΞΟΝΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ι. Κάθετα στο επίπεδο ΙΙ. Παράλληλα στο επίπεδο