fun(a,1,2) left is 1 right is 2 mid = [(1+2)/2] = 1 x = fun(a,1,1) left is 1 right is 1 left >= right άρα return A[1] =3 x =3 fun(a,1+1,2) left is 2

Transcript

1 E C Ερώτηση 1 ίνεται ο παρακάτω αναδροµικός αλγόριθµος:! "# $% "& ')( *+ -" $./(0 &1$!32$4*5+ 6&.7'89 8:-" ;+ <=.7'8:-" 1>;! + "$6#?<7% + B '<!;+ Η διαδικασία 8'9 D! δέχεται σαν είσοδο τον πίνακα ακεραίων και τις ακέραιες µεταβλητές E και και επιστρέφει σαν έξοδο έναν ακέραιο αριθµό. Αν ο πίνακας έχει F στοιχεία η αρχική κλήση είναι 8' >;G;. Ο συµβολισµός H(I * E δηλώνει το στοιχείο του πίνακα στη θέση. Η παράσταση (0 71$A32$4* δηλώνει το κάτω ακέραιο µέρος της διαίρεσης π.χ. JLKMONQPR@S"TUAVXW% 1. Να εκτελεστούν E όλα τα βήµατα της κλήσης 'Z>;[% µε είσοδο τον πίνακα V\J^] `P amcbct`d fe'wug 2. Ποια λειτουργία επιτελεί η διαδικασία 'h>!g; (δηλαδή ποια είναι η ιδιότητα του στοιχείου που επιστρέφει η ); Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας µε µαθηµατική επαγωγή στον αριθµό F E των στοιχείων του πίνακα. Απάντηση 1. Ο Αλγόριθµος που δίνεται είναι αναδροµικός µε την έννοια ότι καλεί τον εαυτό του. Σε κάθε εκτέλεση της εντολής "# C $% η είσοδος (δηλαδή ο εκάστοτε πίνακας) διαµερίζεται σε 2 υποπίνακες µέσω της διαδικασίας του ακεραίου µέρους - 7./(f &1$%!i2 4*. Αυτή η διαµέριση επαναλαµβάνεται κάθε φορά που δεν ισχύει η συνθήκη C D και σταµατάει όταν ο πίνακας εισόδου αποτελείται από ένα µόνο στοιχείο. Τα βήµατα τα οποία κατά σειράν θα εκτελεστούν περιγράφονται παρακάτω: 1

2 A=[ ] n = 8 F= fun(a18) left is 1 right is 8 left < right άρα mid = [(1 +8) /2] =4 x = fun(a 1 4) left is 1 right is 4 left < right άρα mid = [(1+4)/2] = 2 x = x = 3 y = y = 1 fun(a12) left is 1 right is 2 left < right άρα mid = [(1+2)/2] = 1 x = fun(a11) left is 1 right is 1 left >= right άρα return A[1] =3 x =3 y = fun(a1+12) left is 2 right is 2 left >= right άρα return A[2] =8 άρα y= 8 x< y άρα return (x) που είναι 3 fun(a2+14) left is 3 right is 4 left < right άρα mid = [(3+4)/2] = 3 x = fun(a33) left is 3 right is 3 left >= right άρα return A[3] = 1 άρα x= 1 y = fun(a3+1 4) left is 4 right is 4 left >= right άρα return A[4] = 5 άρα y = 5 x < y άρα return (x) που είναι 1

3 F= 1 x > y άρα return (y) που είναι 1 x= 1 y = fun(a 4+1 8) left is 5 right is 8 left < right άρα mid = [(5+8)/2] = 6 x = fun(a56) left is 5 right is 6 left <right άρα mid = [(5+6)/2] = 5 x = fun(a55) left is 5 right is 5 left >= right άρα return A[5] = 2 άρα x = 2 y = fun(a 5+1 6) left is 6 right is 6 left >= right άρα return A[6] = 6 άρα y = 6 x < y άρα return x που είναι 2 x = 2 y = fun(a6+1 8) left is 7 right is 8 left < right άρα mid = [(7+8)/2] = 7 x = fun(a77) left is 7 right is 7 left >= right άρα return A[7] = 7 άρα x = 7 y = fun(a 7+1 8) left is 8 right is 8 left >= right άρα return A[8] = 4 άρα y = 4 x > y άρα return (y) που είναι 4 y = 4 x < y άρα return (x) που είναι 2 y = 2 x < y άρα return x που είναι 1

4 2. Παρατηρούµε ότι αν ο πίνακας έχει ένα στοιχείο τότε η '8a>;a> απλά επιστρέφει αυτό το στοιχείο. Εάν ο πίνακας E V J U έχει δύο στοιχεία τότε παρατηρούµε ότι κατά την εκτέλεση της εντολής " 6#?X<7% ;+ B 3 '<! + η ρουτίνα επιστρέφει εκείνο από τα που έχει την µικρότερη τιµή. ηλαδή η 'a>!`4% επιστρέφει το ελάχιστο των δύο στοιχείων του πίνακα E V\J U. Εφαρµόζουµε επαγωγή στον αριθµό F E των στοιχείων του πίνακα V J U για να δείξουµε ότι η a>;i! εκ των F E στοιχείων του πίνακα. Η περίπτωση F V M`T ήδη εξηγήθηκε και ισχύει. επιστρέφει το ελάχιστο Επαγωγικό βήµα: Έστω ότι για κάθε F M η a>;a επιστρέφει το ελάχιστο εκ των στοιχείο. Θα δείξουµε ότι η ' >;I; επιστρέφει το ελάχιστο εκ των στοιχείο. Κατά την πρώτη εκτέλεση της "# C %$% " και αφού V MiFV θα έχουµε τον (πρώτο) διαχωρισµό του πίνακα E E V!M a JLK F:N$MDR'STU και E VJLK F:N Η τελευταία εντολή που θα εκτελεσθεί είναι η όπου " 6#?X<7% ;+ B 3 '<! + MDR@STHN$M U a 'FAUg σε δύο υποπίνακες - το 6 θα είναι το αποτέλεσµα της E a>;%(d1a> "24* δηλαδή µε a! "#%$ '&()+*- βάση την επαγωγική υπόθεση το - το < θα είναι το αποτέλεσµα της 8 E %(D1A> "24*5:; δηλαδή πάλι µε βάση την επαγωγική υπόθεση το! "#.$ +&(/+*0$ a 8'a>; ; θα Άρα η έξοδος της 12 a! "#.$ +&()'*3 είναι το ελάχιστο από τα και 12! "#%$ +&(/+*0$ a a και Το ζητούµενο τώρα έπεται από την σχέση a! "#.$ +&()'*3! "#.$ +&(/+*0$ 718 V9 a 4

5 Ερώτηση 2 Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα που µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οι ακµές K 0R και K D R δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριµένα οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές των γραφηµάτων και το σύµβολο µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών K R για τα οποία υπάρχει ακµή που συνδέει την µε τη. 1. Γράψτε µια πρόταση στην κατηγορηµατική λογική που εκφράζει ότι: α) «Το γράφηµα δεν έχει αποµονωµένες κορυφές» (αποµονωµένη θεωρείται µια κορυφή από την οποία δεν ξεκινούν ακµές προς άλλες κορυφές και στην οποία δεν καταλήγουν ακµές από άλλες κορυφές). β) «Το γράφηµα έχει κάποια κορυφή από την οποία ξεκινούν ακµές προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές». γ) «Κάθε κορυφή του γραφήµατος ανήκει σε απλό κύκλο µήκους 3» (ένας απλός κύκλος δεν έχει επαναλαµβανόµενες κορυφές). δ) «Κάθε ζευγάρι διαφορετικών κορυφών συνδέεται µε µονοπάτι µήκους το πολύ 2» (ένα µονοπάτι δεν έχει επαναλαµβανόµενες κορυφές). 2. Αναφορικά µε τη συγκεκριµένη ερµηνεία εξηγείστε τι εκφράζει η καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις: α) K AR β) K R KA!R γ) ḦK R! K K R#"$ KA!R%'& δ) ( )*# K + AR+%-#)K R. ' K R/0 KA!R ḦK K R/1 K2A+ AR Να κατασκευάσετε ένα γράφηµα µε W κορυφές για καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Αληθεύει η πρόταση (1.α) και δεν αληθεύει η πρόταση (1.β). β) Αληθεύει η πρόταση (1.δ) και δεν αληθεύει η πρόταση (1.γ). γ) Αληθεύει η πρόταση (2.β) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.γ). δ) Αληθεύει η πρόταση (2.γ) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.δ). 5

6 Απάντηση 1. α) ( ḦK R K R KA!R 3& β) ( )K R K R 45 γ) ḦK R ḦK2 R ḦK 0 AR K A R όπου K A R είναι ο τύπος K A R8V K R KA R K AR δ) ) ḦK R 4 K R K2! AR )K R#)K R K A R 8 5 όπου K A R είναι ο τύπος K! R5V K R K R KA R K AR 2. α) Το γράφηµα δεν έχει ανακυκλώσεις. β) Κάθε δύο κορυφές (όχι κατ ανάγκη διακεκριµένες) του γραφήµατος συνδέονται µε τουλάχιστον µία (κατευθυνόµενη) ακµή. γ) Κάθε δύο διακεκριµένες κορυφές του γραφήµατος συνδέονται µε α- κριβώς µία (κατευθυνόµενη) ακµή. δ) Το γράφηµα δεν έχει ανακυκλώσεις και κάθε δύο διακεκριµένες κορυφές του γραφήµατος συνδέονται µε ακριβώς µία (κατευθυνόµενη) ακµή. 3. α) β) γ) δ) 6

7 Ερώτηση 3 a στις οποίες Ένας ραδιοφωνικός σταθµός έχει εντοπίσει επτά θέσεις θα εγκαταστήσει αναµεταδότες και έχει καταγράψει τις αποστάσεις µεταξύ τους (σε χιλιόµετρα) στον παρακάτω πίνακα Οι τεχνικοί του σταθµού γνωρίζουν ότι όταν δύο αναµεταδότες απέχουν µεταξύ τους λιγότερο από M b χιλιόµετρα δεν µπορούν να εκπέµπουν στο ίδιο φασµατικό κανάλι γιατί δηµιουργούνται σηµαντικές παρεµβολές. Οι τεχνικοί θέλουν να υπολογίσουν µια ανάθεση φασµατικών καναλιών στους ποµπούς που ελαχιστοποιεί τον αριθµό των διαφορετικών καναλιών και δεν δηµιουργεί παρεµβολές. 1. Βασιζόµενοι στον ορισµό του χρωµατικού αριθµού (Μαυρονικόλας σελ. 23) να διατυπώσετε ένα γραφοθεωρητικό µοντέλο για το παραπάνω πρόβλη- µα ανάθεσης καναλιών. 2. Χρησιµοποιώντας το γραφοθεωρητικό µοντέλο που διατυπώσατε να υπολογίσετε τον ελάχιστο αριθµό διαφορετικών καναλιών που απαιτούνται για την εγκατάσταση των επτά αναµεταδοτών στις συγκεκριµένες θέσεις. Συγκεκριµένα να περιγράψετε µια ανάθεση καναλιών στους αναµεταδότες που ελαχιστοποιεί τον αριθµό των διαφορετικών καναλιών και δεν δηµιουργεί παρεµβολές. Να εξηγήσετε επίσης γιατί δεν µπορεί να υπάρξει ανάθεση που δεν δηµιουργεί παρεµβολές και χρησιµοποιεί λιγότερα κανάλια. Απάντηση Με βάση το δοθέντα πίνακα σχηµατίζουµε ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 7 κορυφές έτσι ώστε οι κορυφές I M e V να συνδέονται µε ακµή αν και µόνο αν οι αναµεταδότες και απέχουν λιγότερο από M b χιλόµετρα. Το γράφηµα που προκύπτει είναι το εξής: 7

8 Το πρόβληµα ανάθεσης συχνοτήτων στους αναµεταδότες µοντελοποιείται στο πρόβληµα χρωµατισµού των κορυφών του γραφήµατος χειριζόµενοι τις προς ανάθεση συχνότητες ως χρώµατα βαφής των κορυφών. Με βάση το πρόβλη- µα θέλουµε να χρωµατίσουµε τις κορυφές του µε τρόπο ώστε κάθε δύο κορυφές που ενώνονται µε ακµή (δηλαδή οι αντίστοιχοι αναµεταδότες απέχουν λιγότερο από Mab χιλιόµετρα) να έχουν διαφορετικό χρώµα (δηλαδή οι αντίστοιχοι αναµεταδότες να µην λάβουν την ίδια συχνότητα). Επιπρόσθετα ζητάµε ο χρωµατισµός να είναι τέτοιος ώστε να ελαχιστοποιείται ο αριθµός των χρησιµοποιούµενων χρωµάτων (ένας εύκολος πλην όµως ανόητος και µη αποδεκτός ως απάντηση χρωµατισµός θα ήταν να χρησιµοποιήσουµε επτά χρώµατα ένα χρώµα για κάθε κορυφή). Όλες οι κορυφές που θα έχουν το ίδιο χρώµα θα λέµε ότι αποτελούν µία χρωµατική κλάση (βλέπε και τον ορισµό 1.5 σελ 18 Μαυρονικόλας του συνόλου ανεξαρτησίας). Προφανώς εάν δύο κορυφές ανήκουν στην ίδια χρωµατική κλάση τότε δεν συνδέονται µε ακµή. Ξεκινάµε από την κορυφή και παρατηρούµε κατά σειράν ότι κάθε µία από τις κορυφές και ενώνεται µε την άρα δεν µπορεί καµµία να ενταχθεί στην ίδια χρωµατική κλάση µε το Η κορυφή όµως δεν συνδέεται µε την άρα οι κορυφές µπορούν να χρωµατιστούν µε το ίδιο χρώµα δηλαδή να ανήκουν στην ίδια χρωµατική κλάση. Στην συνέχεια αναζητούµε κάποια άλλη κορυφή που να µπορεί να ε- νταχθεί στην χρωµατική κλάση των a Κάθε µία από τις κορυφές D και ενώνεται είτε µε την είτε µε την άρα δεν µπορούν να ενταχθούν στην χρωµατική κλάση των a Τέλος η µπορεί να ενταχθεί στην χρωµατική κλάση των a E Προφανώς η χρωµατική κλάση E V a που σχηµατίσαµε δεν µπορεί να µεγαλώσει περαιτέρω (το είναι µεγιστοτικό σύνολο ανεξαρτησίας του ). ουλεύοντας όµοια µε τις κορυφές που έχουν αποµείνει σχηµατίζουµε τις χρωµατικές κλάσεις V και V 8

9 Συνεπώς µπορούµε να χρωµατίσουµε το γράφηµα και όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. µε τρία χρώµατα E Το γράφηµα δεν µπορεί να χρωµατιστεί µε 2 χρώµατα και να ικανοποιείται η συνθήκη «κάθε δύο κορυφές που ενώνονται µε ακµή να έχουν διαφορετικό χρώµα». E Αν αυτό ήταν δυνατό τότε θα είχαµε 2 χρωµατικές κλάσεις ας πούµε E και κάθε ακµή θα συνέδεε µία κορυφή από την µε µία κορυφή από την Με άλλα λόγια το γράφηµα θα ήταν διµερές πράγµα αδύνατο διότι το περιέχει κύκλο περιττού µήκους. 9

10 T ] ] Ερώτηση 4 1. ίνεται ένα πλήρες µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε F κορυφές στις οποίες έχουµε αντιστοιχίσει F διαφορετικές ετικέτες (συνεπώς οι κορυφές του είναι διακεκριµένες αφού καθεµία έχει διαφορετική ετικέτα). Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών κύκλων Hamilton του γραφήµατος ; 2. Αφαιρούµε µία ακµή από το γράφηµα του (1). Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών κύκλων Hamilton του νέου γραφήµατος; Απάντηση 1. [Το υποερώτηµα αυτό απαντάται πλήρως στο Παράδειγµα 1.12 σελ. 80 Μαυρονικόλας καθ όσον ο όρος απλός κύκλος που αναφέρεται εκεί είναι ταυτόσηµος µε το κύκλο Hamilton] Κάθε κύκλος Hamilton στο είναι µία κυκλική απαρίθµηση όλων των κορυφών του. Συνεπώς θα πρέπει βρούµε πρώτα πόσες είναι οι κυκλικές απαριθµήσεις F αντικειµένων. Ας δούµε αναλυτικά την περίπτωση F V ] Το σύνολο των µεταθέσεων του συνόλου είναι ]V7d Θεωρούµε όµως τον 3-κύκλο ίδιο ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που διατρέχουµε τις κορυφές δηλαδή οι κύκλοι M και M θεωρούνται ίδιοι όπως επίσης τα ζεύγη κύκλων και τα ζεύγη T ] Άρα οι ] V=d συνολικά µεταθέσεις των τριών αντικειµένων διαιρούνται µε το T διότι δεν µας ενδιαφέρει η κατεύθυνση. Επιλέον θεωρούµε τον ] κύκλο ίδιο ανεξάρτητα από το που αρχίζουµε την απαρίθµηση δηλαδή οι ] (που απέµειναν µετά την προηγούµενη ταυτοποίηση) κύκλοι M T και θεωρούνται ίδιοι. Με άλλα λόγια προκειµένου να βρούµε το αριθµό των διακεκριµένων κυκλικών απαριθµήσεων των ] αντικειµένων πρέπει να διαιρέσουµε το ] ] µε το ] διότι έχουµε ] επιλογές για το που θα ξεκινήσουµε την απαρίθµηση. Η παραπάνω διαδικασία ισχύει για τις κυκλικές απαριθµήσεις οιουδήποτε αριθµού F αντικειµένων. ηλαδή γιά κάθε δυνατή µετάθεση F αντικειµένων υπάρχουν F θέσεις από 10

11 τις οποίες µπορούµε να ξεκινήσουµε την κυκλική απαρίθµηση και δύο κατευθύνσεις. Συνεπώς για να βρούµε τον συνολικό αριθµό των διακεκριµένων κυκλικών απαριθµήσεων F αντικειµένων (που ισούται µε τον ζητούµενο αριθµό κύκλων Hamilton στο ) πρέπει να διαιρέσουµε τον αριθµό F των µεταθέσεων µε το γινόµενο TDF5 % 2. Έστω οι κορυφές του και χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι αφαιρείται η ακµή %. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αρκεί να βρούµε τον αριθµό των κύκλων Hamilton του που περιέχουν την ακµή % και στην συνέχεια να τον αφαιρέσουµε από τον αριθµό F STF όλων των κύκλων Hamilton του % % 7 % Μονοπάτι Hamilton µε άκρα τις Κάθε κύκλος που περιέχει την ακµή µετατρέπεται αφαιρου- µένης της ακµής % σε ένα µονοπάτι Hamilton που ενώνει τις ακµές % Προφανώς και το αντίστροφο ισχύει δηλαδή κάθε µονοπάτι Hamilton που ενώνει τις ακµές % χωρίς να περιέχει την ακµή % % µετατρέπεται αν του προσθέσουµε την ακµή % σε ένα κύκλο Hamilton. εδοµένου ότι αντιστοιχία κύκλων και µονοπατιών που περιγράψαµε παραπάνω είναι αµφιµονοσήµαντη αρκεί για να λύσουµε το πρόβληµά µας να υπολογίσουµε το αριθµό των µονοπατιών Hamilton που ξεκινάνε από την και καταλήγουν στην Αυτό είναι πρόβλη- µα µετάθεσης των (υπολοίπων) κορυφών % 7 και µπορεί να γίνει µε K F TR τρόπους. Συνεπώς οι κύκλοι Hamilton στο αρχικό (πλήρες) γράφηµα που περιέχουν την ακµή είναι K F itr άρα και ο (ζητούµενος) αριθµός κύκλων Hamilton στο αρχικό (πλήρες) γράφηµα που δεν περιέχουν την ακµή 7 είναι F TDF $K F QTR 11

12 Ερώτηση 5 1. Μια ακµή ονοµάζεται γέφυρα αν δεν περιέχεται σε κάποιο κύκλο. Εξ ορισµού η αφαίρεση µιας ακµής-γέφυρας από ένα συνδεόµενο (συνδεδεµένο συνεκτικό) γράφηµα καθιστά το γράφηµα µη-συνδεόµενο. Για παράδειγµα η ακµή αποτελεί γέφυρα για το γράφηµα του παρακάτω σχήµατος. α. Υπάρχει γράφηµα που περιέχει γέφυρα και όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθµό; Αν ναι να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα αν όχι να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας. β. Υπάρχει γράφηµα που περιέχει γέφυρα και έχει κύκλο Hamilton; Αν ναι να κατασκευάσετε ένα τέτοιο γράφηµα αν όχι να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας. 2. ίνεται το γράφηµα του σχήµατος που είναι γνωστό σαν γράφηµα Petersen (βλ. επίσης Μαυρονικόλα Σχήµα 1.19 σελ. 38). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός ακµών που πρέπει να προσθέσουµε στο γράφηµα Petersen για να σχη- µατιστεί κύκλος Euler; ώστε ένα τέτοιο σύνολο ακµών και έναν αντίστοιχο κύκλο Euler. 3. Έστω µη-κατευθυνόµενο συνδεόµενο γράφηµα µε F κορυφές από τις οποίες F έχουν περιττό βαθµό. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός ακµών που πρέπει να προσθέσουµε στο για να σχηµατιστεί ένα γράφηµα (όχι κατ ανάγκη απλό) το οποίο περιέχει κύκλο Euler; Το συµπέρασµά σας βρίσκεται σε αντιστοιχία µε αυτό του (2); 12

13 T M Απάντηση 1. α. Έστω ένα γράφηµα που περιέχει µία γέφυρα V. Θεωρούµε εκείνη την συνεκτική συνιστώσα του ας την ονοµάσουµε η οποία περιέχει την γέφυρα (αν συνεκτικό γράφηµα τότε V ). Για το γράφηµα εφαρµόζεται το Θεώρηµα 4.1 σελ. 109 Βούρος το οποίο λέει ότι ένα γράφηµα έχει κύκλο Euler αν και µόνο αν είναι συνεκτικό και κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθµό. Συνεπώς το έχει κύκλο Euler και αυτός αναγκαστικά θα περιέχει την γέφυρα άτοπο εξ ορισµού της γέφυρας. β. Έστω γράφηµα που περιέχει γέφυρα9v και έχει κύκλο Hamilton Η ύπαρξη κύκλου Hamilton καθιστά το συνεκτικό και εξ ορισµού της γέφυρας ο κύκλος δεν περιέχει την Συνεπώς α- φαιρώντας την ακµή από το το γράφηµα που θα προκύψει εξακολουθεί να περιέχει τον κύκλο που διέρχεται από όλες τις κορυφές. Άρα το γράφηµα παραµένει συνεκτικό άτοπο αφού η ακµή είναι γέφυρα. 2. Παρατηρούµε ότι όλες οι κορυφές του γραφήµατος Petersen έχουν βαθ- µό ] Με βάση το Θεώρηµα 4.1 σελ. 109 Βούρος για να σχηµατιστεί κύκλος Euler πρέπει να προσθέσουµε ακµές έτσι ώστε όλες οι κορυφές να αποκτήσουν άρτιο βαθµό. Αφού οι κορυφές είναι M και κάθε (προστιθέµενη) ακµή αυξάνει τον βαθµό κάθε µιάς κορυφής που ενώνει κατά M έπεται ότι ο ελάχιστος αριθµός ακµών που απαιτούνται είναι b Η προσθήκη των ακµών πρέπει να γίνει χρησιµοποιώντας κάθε µια από τις 10 κορυφές ακριβώς µία φορά. Μία επιλογή προσθήκης b ακµών περιγράφεται στο αριστερό τµήµα του παρακάτω σχήµατος. 13

14 T Στο δεξιό τµήµα του σχήµατος δίνονται χρωµατισµοί ακµών που καθιστούν ευκολότερη την καταγραφή κύκλων Euler. Για παράδειγµα ξεκινάµε από την κορυφή M διατρέχουµε όλες τις πράσινες ακµές και επιστρέφουµε στην κορυφή M διατρέχουµε όλες τις κίτρινες ακµές και καταλήγουµε στην T διατρέχουµε όλες τις κόκκινες ακµές και επιστρέφουµε στην T διατρέχουµε την µαύρη ακµή και καταλήγουµε στην κορυφή M από όπου ξεκινήσαµε. Φυσικά υπάρχουν κύκλοι Euler που διατρέχουν τις χρωµατικές οµάδες µε διαφορετική σειρά καθώς και κύκλοι Euler που «ανακατεύουν» τα χρώµατα. 3. Κατ αρχάς ο αριθµός είναι αναγκαστικά άρτιος αφού (βλ. σελίδα 111 Βούρος) σε κάθε γράφηµα το πλήθος των κορυφών µε περιττό βαθµό είναι άρτιο. Η µέθοδος που εφαρµόσαµε στο προηγούµενο ερώτηµα γενικεύεται: χωρίζουµε τις κορυφές που έχουν περιττό βαθµό σε ζεύγη και προσθέτουµε ST ακµές µία σε κάθε ζεύγος. Ο αριθµός S"T είναι και ο ελάχιστος δυνατός αφού προσθέτοντας ST M ακµές θα είχαµε µεταβολή βαθµού σε το πολύ GT ακµές του άρα τουλάχιστον από αυτές που αρχικά είχαν περιττό βαθµό θα εξακολουθούσαν να έχουν περιττό βαθµό. 14

15 K Ερώτηση 6 1. Να δείξετε ότι κάθε απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε T M κορυφές και T P ακµές έχει κύκλο Hamilton αλλά δεν έχει κύκλο Euler. Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε την ακόλουθη πρόταση που είναι γνωστή σαν Θεώρηµα του Dirac: Έστω K R απλό µη-κατευθυνόµενο γράφη- µα µε F κορυφές. Αν όλες οι κορυφές του έχουν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του F ST το έχει κύκλο Hamilton. 2. Το πλέγµα (grid) τάξης F είναι ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε F F κορυφές. Σε κάθε κορυφή αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγµένων R Ma af M a F. Η κορυφή µε συντεταγµένες K R συνδέεται µε τις κορυφές K M Rf K NZMR0aK M R και K 8NZMDR. Το πλέγµα τάξης M είναι µια αποµονωµένη κορυφή. Τα πλέγµατα τάξης T`] και W απεικονίζονται στο σχήµα: (14) (24) (34) (44) (13) (23) (33) (12) (22) (13) (23) (33) (43) (12) (22) (32) (11) (21) (12) (22) (32) (42) (11) (21) (31) (11) (21) (31) (41) α. Να δείξετε ότι κάθε πλέγµα έχει µονοπάτι Hamilton (το µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι που περνάει από κάθε κορυφή του γραφήµατος ακριβώς µία φορά). β. Χρησιµοποιώντας µαθηµατική επαγωγή στην τάξη του πλέγµατος να αποδείξετε ότι κάθε πλέγµα άρτιας τάξης έχει κύκλο Hamilton. Απάντηση 1. Έστω ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε T M κορυφές και T P µε T M κορυφές έχει TMK T M 7M R@ST V T M ακµές. Το πλήρες γράφηµα κορυφές. Συνεπώς το προκύπτει από το Ο βαθµός µιας κορυφής του είναι µε αφαίρεση T ακµών. 15

16 είτε T αν οι αφαιρεθείσες ακµές δεν προσπίπτουν στην είτε M αν µόνο µία από τις αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτει στην είτε MaP αν και οι δύο αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτουν στην Σε κάθε περιπτωση ο βαθµός κάθε κορυφής είναι µεγαλύτερος από T M ST οπότε από το Θεώρηµα Dirac το έχει κύκλο Hamilton. Όλες οι ακµές του έχουν άρτιο βαθµό (V7T ). Με την αφαίρεση της πρώτης ακµής από το T κορυφές αποκτούν περιττό βαθµό (V M ) και αφαιρώντας µια δεύτερη ακµή οι κορυφές µε περιττό βαθµό γίνονται είτε W (όλες µε βαθµό M ) αν οι αφαιρεθείσες ακµές δεν προσπίπτουν σε κοινή κορυφή είτε T (µε βαθµό M ) αν οι αφαιρεθείσες ακµές προσπίπτουν σε κοινή κορυφή (η οποία θα έχει βαθµό MaP ). Σε κάθε περίπτωση υπάρχει κορυφή περιττού βαθµού άρα το κύκλο Euler. δεν έχει 2. α. Οι κορυφές ενός πλέγµατος τάξης F µπορεί να χωρισθούν σε ξένες οµάδες όπου κάθε µία οµάδα είναι µία «οριζόντια» γραµµή. Ακριβέστερα µία «οριζόντια» γραµµή είναι το σύνολο κορυφών E V Προφανώς M`T) F K am R0aK `TRf a aak F R δηλαδή υπάρχουν F «οριζόντιες» γραµ- µές. Μια επιλογή για το ζητούµενο µονοπάτι Hamilton η οποία επιδεικνύεται στο παρακάτω σχήµα (δεξιά η περίπτωση F άρτιος και αριστερά η περίπτωση F περιττός). είναι να ξεκινήσουµε από την κορυφή KM MDR (κάτω αριστερά στο πλέγµα) 16

17 να διασχίσουµε (κατά αύξοντα E αριθµό της πρώτης συντεταγµένης) ολόκληρη την γραµµή να χρησιµοποιήσουµε την ακµή K F5 MDRfaK F5`TR για να «ανέβου- E µε» στην γραµµή να διασχίσουµε (κατά φθίνοντα E αριθµό της πρώτης συντεταγ- µένης) ολόκληρη την γραµµή να χρησιµοποιήσουµε την ακµή KM`TR0aKM@]R για να «ανέβου- µε» στην γραµµή E κ.ο.κ να χρησιµοποιήσουµε την ακµή K F F 3M R0aK F 'F R E για να «ανέβουµε» στην (αν F άρτιος) να χρησιµοποιήσουµε E την ακµή KMF MDR0aK'M'F R για να «ανέβουµε» στην (αν F περιττός) E να διασχίσουµε ολόκληρη την γραµµή (κατά φθίνοντα αριθµό της πρώτης συντεταγµένης αν F άρτιος και κατά αύξοντα αν F περιττός). β. Συµβολίζουµε µε το πλέγµα τάξης Εφαρµόζουµε επαγωγή στην τάξη TF του πλέγµατος. Γιά F V M το αποτέλεσµα είναι άµεσο. Επαγωγικό βήµα: υποθέτουµε ότι το πλέγµα "# '& τάξης TK F MDR έχει κύκλο Hamilton και δείχνουµε ότι ' έχει κύκλο Hamilton. Το πλέγµα "# '& είναι υπογράφηµα του ' και ταυτοποιούµε το "# +& µε το κάτω αριστερό τµήµα του + όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 17

18 & Έστω ο κύκλος Hamilton για το "# '& που γνωρίζουµε ότι υπάρχει από την υπόθεση της επαγωγής. Ο περιέχει την άνω "# +& συνεπώς αναγκαστικά δεξιά κορυφή K TF &T `TF &TR του περιέχει και τις 2 ακµές που προσπίπτουν στην κορυφή K TF TR. Παρατηρούµε ότι υπάρχει απλό µονοπάτι ιδιότητες τα άκρα του TR0 το του το T `TF µε τις παρακάτω είναι οι κορυφές K TF T `TF ]R και K TF T `TF περιέχει όλες τις κορυφές του + που δεν είναι κορυφές "# '& ακριβώς µία φορά και δεν περιέχει καµµία κορυφή "# +& πέραν των άκρων του δηλαδή πλην των κορυφών K TFhT `TFZ]R και K TFhTcTDFhTR. Το µονοπάτι φαίνεται στο παρακάτω σχήµα µε µπλέ χρώµα. " +7 +7)& " +7 + Hamilton κύκλος Συνεπώς µπορούµε να αφαιρέσουµε από τον κύκλο την (κατακόρυφη) ακµή V K TF T `TF ]R0aK TF T `TF TR και να την αντικαταστήσουµε µε το µονοπάτι Είναι άµεσο ότι το σύνολο ακµών και κορυφών που καθορίζεται από την σχέση V K R είναι ένας κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές του ακριβώς µία φορά. ' 18

19 T T T R V M M M V F Ερώτηση 7 Να αποδείξετε ότι κάθε απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε F7] κορυφές και περισσότερες από F XM T ακµές είναι συνδεόµενο (συνδεδεµένο συ- F νεκτικό). Να κατασκευάστε ένα γράφηµα µε F κορυφές και ακµές T που δεν είναι συνδεόµενο. Η κατασκευή σας πρέπει να εφαρµόζεται για κάθε φυσικό αριθµό F ]. Απάντηση Έστω ένα γράφηµα όπως περιγράφεται στην εκφώνηση. Αν όχι συνεκτικό τότε έχει µία συνεκτική συνιστώσα γνήσια µικρότερη του οπότε τα υπογραφήµατα και V είναι ξένα η ένωσή τους είναι το και δεν υπάρχει ακµή στο που να συνδέει µία κορυφή του µε µία κορυφή του Ας εξετάσουµε αναλυτικά τι συµβαίνει στην περίπτωση που η συνιστώσα αποτελείται από µία µόνο κορυφή. Τότε το δεν περιέχει καµµία από τις F5&M ακµές που ορίζονται από την (µοναδική) κορυφή του και τις F5&M κορυφές του Συνεπώς το έχει τουλάχιστον F 7M ακµές λιγότερες από τις ακµές που έχει το πλήρες γράφηµα µε F κορυφές. ηλαδή το έχει το πολύ F K F XMDR5V T F8K F XMDR T ακµές πράγµα άτοπο εξ υποθέσεως. Εξετάζουµε τώρα την περίπτωση που το F5K F MDR TK F MDR T κορυφές µε M 3F 3M δηλαδή a af T Σε αυτήν την περίπτωση το δεν περιέχει καµµία από τις K F κορυφές του και τις F κορυφές του R ακµές που ορίζονται από τις Συνεπώς το έχει το πολύ F5K F MDR K F έχει ακµές. Επειδή το άθροισµα δύο φυσικών αριθµών µεγαλύτερων του M είναι R πάντα γνήσια µικρότερο του γινοµένου τους έπεται ότι K F N F για κάθε a F QT Τελικώς έχουµε ότι το έχει το πολύ F8K F MDR K F R F8K F ακµές γεγονός που αντιβαίνει την υπόθεση. M R $K F XMDR8V F T 19

20 T V V Από την παραπάνω ανάλυση είναι σαφές ότι το πλήθος των ακµών που υποχρεωτικά λείπουν από το µη συνετικό (συγκρινόµενο µε το πλήρες γράφηµα ) ελαχιστοποιείται όταν υπάρχει συνεκτική συνιστώσα µε µία κορυφή. Με χρήση της ανισότητας που συνδέει το γινόµενο µε το άθροισµα κάποιων δοσµένων αριθµών βλέπουµε εύκολα ότι όταν υπάρχουν παραπάνω από δύο συνεκτικές συνιστώσες τότε το πλήθος των ακµών που λείπουν από το µη συνετικό είναι ακόµα µεγαλύτερο. Θεωρούµε λοιπόν ένα γράφηµα που αποτελείται από µιά µεµονωµένη κορυφή και το πλήρες γράφηµα Το έχει προφανώς F κορυφές και ακµές όσες και το δηλαδή K F XMDR0K F TR K F M TR K F M R K F TR K F XM TR T F XM T 20

21 Ερώτηση 8 Έστω απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα K R. Το γράφηµα ακµών (line graph) 5K A R του ορίζεται ως εξής: M M i. Το γράφηµα ακµών έχει µια κορυφή για κάθε ακµή του αρχικού γραφήµατος. Υπάρχει µια αντιστοιχία µεταξύ των ακµών του και των κορυφών του. ii. υο κορυφές του ενώνονται µε ακµή αν και µόνο αν οι αντίστοιχες ακµές του προσπίπτουν στην ίδια κορυφή (στο ). Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται ένα γράφηµα το αντίστοιχο γράφηµα ακµών και η αντιστοιχία µεταξύ των ακµών του αρχικού γραφήµατος και των κορυφών του γραφήµατος ακµών. K R 5K A R 1. Έστω9V ακµή του Να δείξετε ότι ο βαθµός της αντίστοιχης κορυφής του είναι ίσος µε K ;R%N K R2 T όπου K!R και K R συµβολίζουν το βαθµό των κορυφών και στο αρχικό γράφηµα 2. Έστω F και ο αριθµός των κορυφών και των ακµών του αρχικού γραφήµατος Να δείξετε ότι το γράφηµα ακµών έχει κορυφές και N K!R ακµές όπου K ;R είναι ο βαθµός της κορυφής στο αρχικό γράφηµα Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το αποτέλεσµα του (1) και να α- θροίσετε τους βαθµούς όλων των κορυφών του. Για κάθε κορυφή του αρχικού γραφήµατος πόσες φορές εµφανίζεται ο όρος K ;R στο άθροισµα που προκύπτει; Απάντηση 1. Ξεκινάµε υιοθετώντας µερικούς συµβολισµούς. Συµβολίζουµε µε D " & τις 21 K ;R το πλήθος (διακεκριµένες) κο-

22 K V R ρυφές που είναι γειτονικές της δηλαδή ενώνονται µε ακµή µε την Για κάθε V Ta a K ;R συµβολίζουµε µε ' I την ακµή που ενώνει τις κορυφές Παρόµοια συµβολίζουµε µε D " & τις το πλήθος (διακεκριµένες) κορυφές που είναι γειτονικές της ενώνονται µε ακµή µε την Για κάθε V Ta a 3 την ακµή που ενώνει τις κορυφές K δηλαδή K R συµβολίζουµε µε Στο αριστερό τµήµα του παρακάτω σχήµατος δίνεται µια εποπτική εικόνα του παραπάνω συµβολισµού. Σηµειώστε ότι η εικόνα του σχήµατος εµπεριέχει (εποπτικά εξαγόµενη) πληροφορία που δεν είναι πάντα σωστή. Για πράδειγµα µπορεί η κορυφή να είναι η ίδια µε την κορυφή ενώ στο σχήµα µας υπονοείται ότι οι κορυφές είναι διαφορετικές. " & ' ' D ' " & K R K! R V " & " & Το γεγονός ότι το αριστερό τµήµα του σχήµατος δεν είναι κατ ανάγκη αυτούσιο κοµµάτι του δεν αποτελεί πρόβληµα διότι µας ενδιαφέρει το γράφηµα καί ένα αυτούσιο κοµµάτι του (αυτό που αντιστοιχεί στην κορυφή ) παρουσιάζεται στο δεξί κοµµάτι του σχήµατος. Ειδικώτερα επειδή το γράφηµα είναι απλό έπεται ότι όλες οι κορυφές του στο δεξιό τµήµα του σχήµατος είναι ανά δύο διακεκριµµένες. ηλαδή µπορούµε εύκολα να δείξουµε τις ιδιότητες V K!R ' ' K R 3 V 3 R ' V 3 για κάθε για κάθε για κάθε V και Προχωρούµε στην απόδειξη του ζητούµενου. 22

23 E Έστω µία ακµή που προσπίπτει στην κορυφή του Το άλλο άκρο της είναι µία κορυφή του ας πούµε η Προφανώς V άλλως δεν θα υπήρχε η Υποθέτουµε πρώτα ότι iv Με άλλα λόγια η ακµή V του προσπίπτει στην κορυφή Άρα το (που είναι διάφορο του διότι το είναι απλό) ταυτίζεται µε ακριβώς ένα από τα a " & Παρόµοια εάν V τότε η ακµή V του θα προσπίπτει στην κορυφή και a συνεπώς το θα ταυτίζεται µε ακριβώς ένα από τα Έχουµε δηλαδή φτιάξει µία (καλά ορισµένη) αµφιµονοσήµαντη και επί απεικόνιση όπου E - ' ' D είναι το σύνολο E V ' R και K όπου " & 3 3 a 3 προσπίπτει στην " & " & 4 Από τις σχέσεις K!R0aK R παραπάνω έχουµε ότι ο πληθικός α- ριθµός του πεδίου τιµών είναι K ;R N K R XT ο οποίος ισούται µε τον E πληθικό αριθµό του πεδίου ορισµού. Αλλά ο πληθικός αριθµός του είναι ο βαθµός της κορυφής V 2. Ο αριθµός των ακµών του είναι ίσος µε το ήµισυ του αθροίσµατος των βαθµών όλων των κορυφών του V M T δηλαδή KR8V M T K ;RN K R T "V N M T όπου η πρώτη ισότητα ισχύει λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος και η δεύτερη επειδή το γράφηµα ακµών του έχει κορυφές. Αν είναι µία κορυφή του υπάρχουν K ;R το πλήθος ακµές που προσπίπτουν στην και κάθε µία από αυτές θα συνεισφέρει έναν προσθετέο K ;R στο δεξί άθροισµα της παραπάνω ισότητας. Άρα ο προσθετέος K ;R θα εµφανιστεί ακριβώς K ;R φορές στο άθροισµα K ;RN K R0 Αυτό ισχύει κάθε καρυφή K R συνεπώς V N M T K!R N K R V K ;RN N M T " & K ;R K R 23