Κεφάλαιο 5 Όριο και συνέχεια συνάρτησης

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Όριο και συνέχεια συνάρτησης 5 Όριο συνάρτησης για єr Θεωρούµε την αραβολή = Θέλουµε να ροσδιορίσουµε την κλίση της εφατοµένης της στο σηµείο (, ) ηλαδή, θέλουµε να βρούµε την εφατοµένη της γωνίας φ ου σχηµατίζει η ευθεία αυτή µε τον άξονα των φ O υστυχώς γνωρίζουµε ένα µόνο σηµείο της ευθείας αυτής, το (, ) Η δυσκολία αυτή αρακάµτεται µε το να θεωρήσουµε, αντί της εφατοµένης, ευθείες ου τέµνουν την καµύλη και σ ένα άλλο σηµείο (, ), κοντά στο (, ) = O Η κλίση τώρα µιας τέµνουσας ου ερνάει αό τα σηµεία (, ) και = Παρατηρούµε ότι (, ) είναι ίση µε

2 ίνοντας στο διαδοχικές τιµές,,, ολοένα ιο κοντά στο, αρατηρούµε ότι η τέµνουσα ευθεία λησιάζει όλο και ερισσότερο τη θέση της εφατοµένης και η τιµή του κλάσµατος λησιάζει στην τιµή = Εοµένως η κλίση της εφατοµένης ευθείας ρέει να είναι ίση µε Γράφουµε t φ = = Τώρα είµαστε σε θέση να ροσδιορίσουµε την εξίσωση της εφατόµενης ευθείας (εφόσον γνωρίζουµε ότι ερνά αό το σηµείο (, ) και ότι η κλίση της είναι ) Η εξίσωση είναι: = ( ) = Προβλήµατα όως το ροηγούµενο µας οδηγούν στην έννοια του ορίου µιας συνάρτησης Αλλά, ας ξεκαθαρίσουµε ρώτα ένα λετό σηµείο: Το σηµείο στο οοίο τείνει η µεταβλητή ρέει να «γειτονεύει», όσο κοντά θέλουµε, µε σηµεία του εδίου ορισµού της συνάρτησης Έτσι, αοκτά έννοια ο συµβολισµός Συνήθως το εδίο ορισµού της συνάρτησης εριέχει ένα σύνολο της µορφής ( δ, ) ή (, δ ) ή ( δ, ) (, δ ), όου δ >, οότε το βρίσκεται όσο κοντά θέλουµε σε σηµεία του εδίου ορισµού Ααιτούµε δηλαδή, για οοιαδήοτε δ >, να υάρχει κάοιο σηµείο του εδίου ορισµού Α ου ανήκει στο σύνολο ( δ, ) (, δ ), δηλαδή «κοντά» στο (και ου δεν είναι το ) 5 Ορισµός Έστω A R Ένας αριθµός λέγεται σηµείο συσσωρεύσεως του Α αν, για κάθε δ >, το σύνολο (( δ, ) (, δ )) A είναι µη κενό δ δ δ 3 δ *[Η ιδιότητα αυτή του σηµείου συσσωρεύσεως έχει ως αοτέλεσµα να συσσωρεύονται σε κάθε εριοχή ( δ, δ ) του σηµείου άειρα σηµεία του Α

3 3 άειρα σηµεία του Α -δ δ Η εισαγωγή του αραάνω, µάλλον γενικού ορισµού, έγινε για να αντιµετωιστούν όλες οι ειµέρους εριτώσεις κατά ενιαίο τρόο] Σε αντιστοιχία µε τον εψιλοντικό ορισµό του ορίου για τις ακολουθίες έχουµε: 5 Ορισµός Θεωρούµε τη συνάρτηση f : A R Αν είναι σηµείο συσσωρεύσεως του Α, τότε λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει για στον ραγµατικό αριθµό αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µικρό) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Αν A και ( δ, ) (, δ ) τότε f( ) < ε Ο αριθµός λέγεται όριο της f για = f() ε Ο δ 53 Παρατήρηση (i) Η σχέση ( δ, ) (, δ ) είναι ισοδύναµη µε την αλγεβρική σχέση < < δ (ii) Το στον ορισµό του ορίου δεν είναι οτέ ίσο µε, γιατί σε µια τέτοια ερίτωση θα µορούσε να µην έχει έννοια η οσότητα f ( ) ( είτε το ροηγούµενο αράδειγµα, όου ) Γι αυτό και ααιτούµε < Όως µάλιστα θα δούµε στη συνέχεια, η

4 4 συνάρτηση µε τύο si = συγκλίνει στο, για και φυσικά, το δεν ανήκει στο εδίο ορισµού της Όως και στις ακολουθίες, έτσι και δω, το όριο µιας συνάρτησης για, είναι µοναδικό 54 Πρόταση Θεωρούµε τη συνάρτηση f : A R Έστω σηµείο συσσωρεύσεως του Α Αν η f συγκλίνει (για ) ταυτόχρονα στους αριθµούς και, τότε = *Αόδειξη: Έστω ότι Μορούµε να υοθέσουµε ότι < Τότε, για ε = >, υάρχουν θετικοί αριθµοί δ και δ, τέτοιοι ώστε για κάθε A µε < < δ και δ < <, να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις f( ) < ε και f( ) < ε Άρα, αν δ = mi{ δ, δ} >, θα έχουµε: A και < < δ f( ) < ε και f( ) < ε ε = f( ) f( ) < ε ε = ε, δηλαδή ε < ε, άτοο Το µοναδικό αυτό όριο της συνάρτησης f (για ) συµβολίζεται µε f ( ) Η εόµενη ρόταση αναφέρεται στη διάταξη των ορίων 55 Πρόταση Θεωρούµε συναρτήσεις f και g µε κοινό εδίο ορισµού Α Έστω σηµείο συσσώρευσης του Α (i) Αν f( ) για κάθε σηµείο του Α ου ανήκει σε µια γειτονιά ( δ, ) (, δ ) του, τότε f( ) (ii) Αν f ( ) g( ) για κάθε σηµείο του Α ου ανήκει σε µια γειτονιά ( δ, ) (, δ ) του, τότε f ( ) g( ) *Αόδειξη: Αοδεικνύουµε αρχικά το (i) Θέτουµε = f( ) Υοθέτουµε ότι < Τότε, για f() ε = >, θα υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Για κάθε A µε < < δ ισχύει f ( ) < Εοµένως, αν A και < < δ, όου -δ δ

5 5 δ = mi{ δδ, } >, τότε θα ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: f( ) και f ( ) < f( ) < f( ) <, ράγµα άτοο = g() f() = f() Παρατηρούµε ότι το (ii) ροκύτει αό το (i) σε συνδυασµό µε το (v) του εόµενου θεωρήµατος, αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση f g g() -δ δ Το εόµενο θεώρηµα µας αρέχει τα (αλγεβρικά) εργαλεία για τον υολογισµό ορίων διαφόρων συναρτήσεων Ο αναγνώστης ου δεν είναι εξοικειωµένος µε την εψιλοντική διαδικασία µορεί, σε µια ρώτη ανάγνωση, να αραλήψει την αόδειξη 56 Θεώρηµα Υοθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό εδίο ορισµού Α Τότε ισχύουν τα εξής: i) c = c, όου c ii) = iii) Αν f ( ) = τότε f ( ) = iv) Αν f ( ) = και λ, τότε ( λ f ( )) = λ v) Αν f ( ) = και g ( ) = b, τότε ( f ( ) ± g( )) = ± b vi) Αν f ( ) = και g ( ) = b, τότε ( f ( g ) ( )) = b vii) Αν f ( ) =, g ( ) = b, g ( ) για κάθε A και b, τότε f ( ) = g b ( ) viii) Αν f( ) για κάθε A και f ( ) =, τότε k k f ( ) = Αόδειξη: Τα (i) και (ii) ροκύτουν άµεσα Για το (iii) εφαρµόζουµε την ανισότητα f ( ) f( ) Για το (iv) εξετάζουµε µόνον την ερίτωση λ καθώς, η ερίτωση λ = είναι τετριµένη Έστω λοιόν ε > Τότε και ε = ε / λ > Αό τον ορισµό του ορίου ροκύτει ότι υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Για κάθε A, µε < < δ, ισχύει f( ) < ε = ε / λ, α όου, λ f( ) λ < ε Για το (v) εφαρµόζουµε το (γνωστό αό τις ακολουθίες) τέχνασµα του ε / Για ε >, υάρχουν δ > και δ > µε τις ιδιότητες: Για κάθε A, µε < < δ, και

6 6 < < δ (συνοτικότερα, A, µε < < δ, όου δ = mi{ δ, δ} > ) ισχύουν οι σχέσεις: f( ) < ε / και g ( ) b < ε / Αό την τριγωνική ανισότητα ροκύτει: f ( ) g( ) ( b) = ( f( ) ) ( g( ) b) f( ) g( ) b < ε / ε /= ε Για το ( f ( ) g( )) αρατηρούµε ότι ( f( ) g( )) = ( f( ) ( g( ))) = = f ( ) ( g( )) και, αό (iv), ( g ( )) = g ( ) *[Για το (vi) αρατηρούµε ότι f ( g ) ( ) b = f( g ) ( ) f( b ) f( b ) b f () g( ) b b f( ) Έστω ε > Θεωρούµε έναν άλλο θετικό αριθµό ε, ου εξαρτάται αό τον ε και τον οοίο θα ροσδιορίσουµε στη συνέχεια Εφόσον f ( ) = και g ( ) = b, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Για κάθε A, µε < < δ, ισχύουν οι σχέσεις f( ) < ε και g ( ) b < ε Εοµένως, f( ) f( ) f( ) < ε και άρα, f ( ) < ε Εοµένως, f ( g ) ( ) b f ( ) g( ) b b f( ) < ( ε ) ε b ε = ( ε b ) ε ε Αν λοιόν ε = mi{, } >, τότε f ( g ) ( ) b < ( ε b ) ε b ε ε ( b ) ε ( b ) = ε ε b ε b Για το (vii) αρατηρούµε ότι f ( ) bf( ) g( ) = Σύµφωνα µε τα (iv) και (v), g ( ) b g ( ) b ( bf ( ) g( )) = Έστω ε > Τότε υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Για κάθε A, µε < < δ, ισχύουν οι σχέσεις < και g ( ) b < b / bf ( ) g( ) ε b / (Σηµειώνουµε ότι ο αριθµός b / είναι θετικός) Άρα b g( ) b g( ) b g( ) = g( ) b < b / και εοµένως, b < g( ), ήτοι f( ) bf( ) g( ) ε b < Άρα, = < = ε g( ) b g ( ) b g ( ) b b Για το (viii) αρχικά αρατηρούµε ότι, σύµφωνα µε το (i) της ρότασης 55, θα έχουµε και εοµένως ορίζεται η ρίζα k Έστω ε > k k Αν =, τότε, για ε = ε >, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: f( ) < ε = ε για κάθε A, µε < < δ Εοµένως k f( ) < ε

7 7 Υοθέτουµε ότι > Όως στην αόδειξη του (vii) για την g, υάρχει δ > µε < f ( ) για κάθε A, µε < < δ Εοµένως, k k k s k s k s k ( f( )) s= s= > > k k k k s= k k k = Εφόσον k ε k k >, µορούµε να υοθέσουµε ότι το δ είναι τέτοιο ώστε να ισχύει η ειλέον σχέση k k ε k f ( ) <, για κάθε A, µε < < δ k k k Εοµένως k f ( ) f( ) ε k = < = ε ] k k s k s k k ( f( )) k / s= Ας δούµε κάοιες εφαρµογές του αραάνω θεωρήµατος: 57 Παραδείγµατα Να υολογιστούν τα όρια: 3 (i) ( ), (ii) ( ) 4 3 (iii) ( ) 8, (iv) Λύση: (i) ( ) = = ( ) ( ) = 4 = ( 4) = 4 = (ii) ( ) (iii) ( ) 8 = 8 = = ( ) ( 8) = ( ) ( ) ) ( ) 8 = 3 3= 3 ( ) (iv) 3 3 () = = = Στο ροηγούµενο αράδειγµα ο υολογισµός των ορίων έγινε ουσιαστικά µε αλή αντικατάσταση στη θέση του της οριακής του τιµής Αυτό δεν είναι άντοτε εφικτό, όως στην ερίτωση κατά την οοία έχουµε ένα κλάσµα του οοίου ο αρονοµαστής µηδενίζεται α αυτή την οριακή τιµή Εφαρµόζουµε τότε άλλες τεχνικές: Να υολογιστούν τα όρια: (i), (ii) 3 8 (iv) 3 4, (v) 3 3 4, (iii) ( ),

8 8 Λύση: (i) 3 3 = ( ) ( ) 4 4 ( )( ) = = = 8 ( )( 4) ( ) ( ) ( )(3 ) (ii) = = = = 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 = = ( ) ( ) ( ) (iii) = = = ( ) ( )( ) = = ( ( )) = ( ) = = φορές 4 ( ) 4 6 (iv) = = ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) 6 ( 3)( ) = = = = ( 3) 4 ( 3) 4 4 ( 3) 3 4 ( ) ( ) = = = ( 5 3 ) () ( 3 ) ( ) ( ) 3 (v) = = ( 5 3)( ) ( 5 3)( 3 ) = = ( )( ) ( ) ( ) ( 5 3 )(3 5) 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 3 (3 5)( ) 5 3 (3 5) = = = ( )( ) 3 ( ) 3 = = ( ) 3 b 3 Να υολογιστούν τα b R, ώστε = 3 b Λύση: Εφόσον = 3, τότε ( ) b = b ( ) = 3 = Άρα ( ) b=, δηλαδή b= b Εοµένως, = = =

9 9 ( ) = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )( ) ( ) = = = ( ) ( ) = = = Θα ρέει λοιόν να έχουµε b = 34 = 6 = 3 Αό τη σχέση αυτή ροκύτει = 34 και εοµένως, = 4 είξτε ότι δεν υάρχει το si *Αόδειξη: Αν υήρχε το si, έστω αυτό, τότε για ε =, θα υήρχε δ > µε την ιδιότητα: si <, για κάθε R µε < < δ Θεωρούµε τις ακολουθίες =, =,, και (4 ) b =, (4 ) =,, Έχουµε, si = si = και si = si = b Προφανώς = b = Εοµένως υάρχει µε < δ και b < δ, για κάθε = si(/) -/ Ο / - Τότε θα είχαµε: = = ( ) = si < και = άειρη ταλάν τωση si <, για κάθε Άρα b < =, δηλαδή <, άτοο Άλυτες ασκήσεις Να υολογιστούν τα όρια: (i) (iv) , > 3 5 6, (ii) , (iii) ( ) 8,

10 Να υολογιστούν τα όρια: (i), (ii) 3 7 4, (iii) f( ) 3 Αν 3 =, να βρεθεί το f( ) 4 b 4 Να υολογιστούν τα b, R ώστε = Στη συνέχεια ασχολούµαστε µε τα λεγόµενα λευρικά όρια Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R {} R µε f( ) = Η συνάρτηση αυτή δεν έχει όριο στο Πράγµατι, αν = R, τότε για ε = >, θα υήρχε δ > µε την ιδιότητα <, για κάθε R µε < < δ Προφανώς δ ( δ,) και δ (, δ ) Αλλά, αν ( δ,) τότε f( ) = = ενώ, αν (, δ ), τότε f( ) = = > -δ Ο δ < - Εοµένως, = = f ( δ) f( δ) = ( f( δ) ) ( f( δ) ) f( δ) ( f ( δ ) f ( δ ) < =, δηλαδή <, άτοο Οι εριορισµοί f :(,) R και f :(, ) R µε f( ) = = και f( ) = = έχουν όριο στο Είναι f( ) = και f( ) = Το ροηγούµενο αράδειγµα µας οδηγεί στον εόµενο ορισµό: 58 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και R

11 i) Υοθέτουµε ότι το είναι σηµείο συσσωρεύσεως του συνόλου (, ) A Θα λέµε ότι η f συγκλίνει σ έναν αριθµό R για (ή µε τιµές µικρότερες του ) αν f( ) =, όου f ο εριορισµός της f στο σύνολο (, ) A Ισοδύναµα, για κάθε ε > υάρχει δ > µε την ιδιότητα: A ( δ, ) f( ) < ε Συµβολίζουµε µε f ( ) τον αριθµό f() > f() < O ii) Υοθέτουµε ότι το είναι σηµείο συσσωρεύσεως του συνόλου A (, ) Θα λέµε ότι η f συγκλίνει σ έναν αριθµό R για (ή µε τιµές µεγαλύτερες του ) αν f( ) =, όου f ο εριορισµός της f στο σύνολο A (, ) Ισοδύναµα, για κάθε ε > υάρχει δ > µε την ιδιότητα: A ( δ, ) f( ) < ε Συµβολίζουµε µε f ( ) τον αριθµό 59 Πρόταση Έστω f : A R µια συνάρτηση και R σηµείο συσσωρεύσεως του Α Υοθέτουµε ότι τα λευρικά όρια f ( ) και f ( ) υάρχουν στο R Τότε το f ( ) υάρχει αν και µόνον αν κοινή τιµή των λευρικών ορίων ισούται µε το f ( ) = f( ) Στην ερίτωση αυτή, η f ( ) Αόδειξη: Προφανώς, αν το = f( ) υάρχει, τότε f ( ) = f( ) = Υοθέτουµε ότι ορίων Έστω ε > Εφόσον f ( ) = f( ) και συµβολίζουµε µε την κοινή τιµή των λευρικών f ( ) =, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: f( ) < ε, για κάθε A ( δ, ) Οµοίως, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: f( ) < ε, για κάθε A δ (, ) Θέτουµε δ δ δ έχουµε f( ) < ε = mi{, } > Τότε, για κάθε A µε < < δ θα

12 5 Παραδείγµατα Να βρεθούν (αν υάρχουν) τα όρια: i) f( ) = 3 Λύση: Παρατηρούµε ότι f ( ) και ii) f ( ), όου ( )( ) f( ) = Το εδίο ορισµού της f είναι το σύνολο ( )( ) R {, } Είσης, ( )( ) αν και µόνον αν ή και ( )( ) < αν και µόνον αν < <, αν ή > ( )( ) Συνεώς, f( ) = = ( )( ), αν < < ή < < Εοµένως, f ( ) = = και f ( ) = = Άρα υάρχει το f ( ) και ισούται µε µηδέν Ακόµη, f ( ) = 3 = και f ( ) f ( ) = = 3 Συνεώς, δεν υάρχει το Να βρεθεί (αν υάρχει) το Λύση: Παρατηρούµε ότι = ( ) και εοµένως αράσταση λοιόν ισούται µε = ( )( ) Τώρα, αν < τότε = = ενώ, αν ( )( ) ( )( ) > τότε = = ( )( ) ( )( ) Συνεώς, Άρα δεν υάρχει το = = και 3 = Η = 3 Να ροσδιοριστεί το R ώστε να υάρχει το όριο f ( ), όου 3 < f( ) =, αν, αν

13 3 Λύση: Παρατηρούµε ότι 3 3 f ( ) = = Αλλά, ( )( ) = = = ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3( ) 6 3 = = = Εοµένως f ( ) 4 3 Ακόµη, f( ) f ( ) = f( ), δηλαδή, 3 ή Εοµένως = = = Για να υάρχει το όριο 3 = ή = 3 f ( ) θα ρέει ± 5 = = = = ± 5 = 4 4 Άλυτες ασκήσεις Να βρεθούν (αν υάρχουν) τα όρια: i) f( ) και ii) f( ), όου Να υολογιστούν τα όρια: (i) και (ii) 3, αν < 3 3 ίνεται η συνάρτηση f( ) = 5 5, αν 3 Να βρεθεί η τιµή του, ώστε να υάρχει το f( ) 3 f( ) = Πρόταση Ισχύει ότι =, όου > *Αόδειξη: Η ερίτωση = είναι τετριµένη Υοθέτουµε > Θεωρούµε την ακολουθία b =, =,, Αό την ρόταση 6 ε = ροκύτει ότι b < και αό το λήµµα 9 ότι b = O Έστω ε > Εφόσον b =, υάρχει δείκτης µε ε < b <, για κάθε Έστω δ = b = b δ = δ < < τότε αό την ρόταση 6, ροκύτει ότι < < και λόγω Αν b b της σχέσης ε <, αίρνουµε ε < < b

14 4 ηλαδή, = < ε Σύµφωνα µε τον ορισµό του λευρικού ορίου, = Με αρόµοιο τρόο (θεωρώντας την ακολουθία c =, =,, ) ε ροκύτει ότι υάρχει δείκτης µε c < ε, για κάθε Έστω δ = c = Αν < < δ c τότε, < < c < < και = O δ c c λόγω της σχέσης < ε, αίρνουµε < < ε < ε Εοµένως = Εφόσον = =, έεται ότι = Η ερίτωση < < ανάγεται στην ροηγούµενη, αφού = = = ( ) ( ) Αρκετές φορές δεν είµαστε σε θέση να υολογίσουµε άµεσα το όριο µιας συνάρτησης Σε τέτοιες εριτώσεις «εγκλωβίζουµε» τη συνάρτησή µας ανάµεσα σε δύο ισοσυγκλίνουσες συναρτήσεις 5 Πρόταση (Κριτήριο αρεµβολής ) Έστω ότι f ( ) h( ) g( ) για κάθε (( δ, ) (, δ )) A, όου δ > Υοθέτουµε είσης ότι f ( ) = g ( ) = Τότε το h ( ) υάρχει και είναι ίσο µε Αόδειξη: = g() Έστω ε > Εειδή f ( ) = g ( ) =, υάρχει δ >, τέτοιο ώστε δ < δ και h() = h() f( ) < ε και g ( ) < ε, για = f() κάθε A, µε < < δ Αό τη σχέση f( ) < ε ροκύτει O -d -δ d δ ότι ε < f ( ) και αό τη σχέση

15 5 g ( ) < ε ροκύτει ότι g ( ) < ε Εφόσον f ( ) h( ) g( ), οι δύο αυτές σχέσεις µας δίνουν: ε < h ( ) < ε h ( ) < ε, για κάθε A, µε < < δ 53 Παραδείγµατα si ( / ) Να δειχθεί ότι = Αόδειξη: Εφόσον, µορούµε να εριοριστούµε στο διάστηµα, Αν, τότε > και εοµένως = si(/ ) si(/ ) Παρατηρούµε ότι = και ειλέον = = si(/ ) Αό το κριτήριο της αρεµβολής ροκύτει ότι = ου είναι ισοδύναµο µε si(/ ) το ότι = Να δειχθεί ότι e = Αόδειξη: Γνωρίζουµε ότι e, για κάθε R (όρισµα ) Θέτοντας αντί, αίρνουµε e Αν <, τότε η τελευταία σχέση συνεάγεται ότι e Εοµένως, e, για κάθε < e e Αν (,), τότε Εειδή =, έεται ότι = e e Αν <, τότε και εειδή =, έεται ότι = e Εφόσον τα δύο λευρικά όρια είναι ίσα, ροκύτει ότι = Η εόµενη ρόταση µας ειτρέει να αλλάζουµε τη µεταβλητή όταν υολογίζουµε όρια 54 Πρόταση ίνονται οι συναρτήσεις g: A B R και f : B R Υοθέτουµε ότι: (i) g ( ) = και g( ) για κάθε ου ανήκει σε µια εριοχή (( δ, ) (, δ )) A του (χωρίς το ) (ii) f ( u ) = b u

16 6 Τότε f ( g ( )) = b *Αόδειξη: Έστω ε > Εφόσον f ( u ) = b, υάρχει δ > µε την ιδιότητα u ( u B και < u < δ ) f( u) b < ε () Εφόσον g ( ) =, υάρχει δ > µε την ιδιότητα ( A και < < δ ) g ( ) < δ () Μορούµε να υοθέσουµε ότι δ < δ, οότε ισχύουν ταυτόχρονα η () και η σχέση g( ) Εοµένως < g ( ) < δ, για κάθε (( δ, ) (, δ )) A g f -δ δ b-ε b bε -δ δ Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (), αίρνουµε ( A και < < δ ) f( g( )) b < ε 55 Παράδειγµα Να υολογιστεί το όριο e Λύση: Παρατηρούµε ότι ( ) = Ακόµη, η αράσταση u = είναι διάφορη του, για κάθε ( /,) (, ) (Μελέτη τριωνύµου) Εδώ έχουµε τις συναρτήσεις f : R (, ) µε f ( u) g : R R µε g( ) = Ακόµη, g ( ) = Άρα e = e u = e u u = e και Άλυτες ασκήσεις [/ ] ( ) Να υολογιστεί το όριο:, όου [ ] είναι το ακέραιο µέρος του e e e e Να υολογιστoύν τα όρια: (i) και (ii) Πρόταση (Όρια τριγωνοµετρικών συναρτήσεων) Ισχύουν τα εξής: i) si = si, ii) cos = cos και iii) t = t, όου k Αόδειξη: Το (iii) ροκύτει αό τα (i) και (ii) του θεωρήµατος 56 Θα αοδείξουµε λοιόν τα (i) και (ii)

17 7 Αρχικά δείχνουµε ότι si = και cos = Εφαρµόζουµε ένα γεωµετρικό ειχείρηµα Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο Έχουµε si =ΟΒ=ΑΜ<Ο Μ< µήκος τόξου Ο Μ = Εειδή =, τότε, µε βάση το κριτήριο αρεµβολής, si = Αν,, τότε cos = si Εοµένως, cos = si = = B si O > M A O < Ας εξετάσουµε τώρα τη γενική ερίτωση: Αό την O A O τριγωνοµετρία ξέρουµε ότι si A B AB si A si B= cos si και B M A B B A cos A cos B= si si Οι σχέσεις αυτές για A= και B =, δίνουν si si = cos si και cos cos = si si = Εοµένως, si si = cos si si Κάνοντας τον µετασχηµατισµό u =, βρίσκουµε (µε βάση την ρόταση 54) ότι si = si u = u si si = si = si Για Αό το κριτήριο της αρεµβολής αίρνουµε ( ) το συνηµίτονο σκετόµαστε αρόµοια Η εόµενη ρόταση µας αρέχει δύο ολύ χρήσιµα (για τον υολογισµό των αραγώγων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων) όρια 53 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i) si = και (ii) cos = Αόδειξη: (i) Και εδώ εφαρµόζουµε ένα γεωµετρικό ειχείρηµα Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο

18 8 > < B si Ν M t O cos A O O cos A O si B M t Ν Αό τα αραάνω σχήµατα έχουµε: Εµβαδόν Τριγώνου Ο ΜΟ = OO AΜ Εµβαδόν Κυκλικού Τοµέα OO Μ = ΟΟ µήκος τόξου Ο Μ Εµβαδόν Τριγώνου ΟΟ Ν = OO O Ν Εειδή (Ο ΜΟ)< (OO Μ)< (ΟΟ Ν), αίρνουµε ΑΜ< µήκος τόξου Ο Μ< Ο Ν Περίτωση : > Στην ερίτωση αυτή έχουµε si si si si < < t < < cos < < > cos cos> Περίτωση : < Στην ερίτωση αυτή έχουµε ΑΜ = si, µήκος τόξου Ο Μ = και Ο Ν = t Άρα ΑΜ = si, µήκος τόξου Ο Μ = και Ο Ν = t si si si Άρα si < <t < < cos < < > cos cos> si Σε κάθε ερίτωση έχουµε cos < < Αλλά cos = cos = Αό το κριτήριο si αρεµβολής αίρνουµε = si Η γραφική αράσταση της συνάρτησης =, είναι η ακόλουθη: = si - - Ο Είναι µια συνεχής καµύλη, χωρίς το σηµείο (, ) cos (ii) Για την αόδειξη του τύου = χρησιµοοιούµε την τριγωνοµετρική

19 9 si si cos ταυτότητα cos = si Έχουµε λοιόν: = = si Θέτοντας cos siu u =, αίρνουµε (µε βάση την ρόταση 54) = si u = u u siu = si u = = u u u 58 Παραδείγµατα t si Να υολογιστούν τα όρια: i), ii), όου b, si b cos cos 4 iii) si t t si t si t Λύση: i) = = = = = cos cos cos si si b si b si ii) = = Για το, θέτουµε sib b sib b sib si si u b u u = Εοµένως, = = Όµοια, = = u u si b u si u si = = Άρα = siu si b b u u iii) Εδώ χρησιµοοιούµε την τριγωνοµετρική ταυτότητα: b b cos cosb= si si 4 4 si si cos cos 4 Έχουµε λοιόν : si 3 si = = = si si si si 3 = 6 = 6 = 6 3 ( )si 3si Να υολογιστούν τα όρια: i), ii), si cos cos iii), iv) και v) cos 6 4si ( )si si Λύση: i) = = =, 3si si ( ) ii) = 3 = 3 = 3 = 3( ) =3 = 6 si cos( ) iii) = Θέτουµε u = Εοµένως, cos si ( ) si cosu cosu u = = = = cos u si u u u u si u

20 iv) Θέτουµε u = Εοµένως, = u 6 6 Άρα, cos = cos ( u ) = cos( u ) = cos ucos si usi = = cos u 3 si u = si u 3 si u cosu = si u(si u 3 cos u) Ακόµη, 4si = 4si( u ) = 4siucos 4cosusi = = 4si u 4cosu = ( 3 siu cosu ) cos si (si 3 cos ) si Εοµένως, u u = u = (si u 3 cos u) u 4si ( 3si u cosu) u siu = (si u 3 cos u) 3siu cosu u siu cosu 3 u u u cos si u Έχουµε λοιόν: = (si 3 cos) 6 4si u u si u cosu 3 u u u u = 3 3 = si si cos v) = = = = Άλυτες ασκήσεις si si Να υολογιστoύν τα όρια: (i), (ii) e cos t, (iii), (iv), si 5 (v) 5 4 t Να υολογιστoύν τα όρια: (i) si t και (ii) 3 si si 3 Να υολογιστεί το όριο: (Υόδειξη: Χρησιµοοιείστε την ανισότητα cos < < cos si της αόδειξης της ρότασης 53 για να καταλήξετε στη σχέση < < Στη συνέχεια χρησιµοοιήστε το (ii) της ρότασης 53) Στα ροηγούµενα αναφερθήκαµε σε όρια συναρτήσεων ου είναι ραγµατικοί αριθµοί και όχι ή Όως καταλαβαίνει κανείς, αυτό δεν είναι ο κανόνας Ας δούµε το ακόλουθο αράδειγµα:

21 Θεωρούµε τη συνάρτηση f :(,) (, ) R µε τύο f( ) = Η γραφική της αράσταση είναι η ακόλουθη: Παρατηρούµε ότι συνάρτηση αίρνει ολοένα ιο µεγάλες τιµές, καθώς το λησιάζει στο µηδέν Λέµε ότι η συνάρτηση τείνει στο για και γράφουµε = Ας διατυώσουµε τώρα τον σχετικό ορισµό: 4 / / O / 59 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και R σηµείο συσσώρευσης του εδίου ορισµού της Α i) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει για στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Γράφουµε Αν A και < < δ, τότε f( ) > ε f( ) = ii) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει για στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Γράφουµε f( ) = Αν A και < < δ, τότε f( ) < ε Είσης, αν f είναι ο εριορισµός της f στο σύνολο A (, ) και f ο εριορισµός της στο A (, ), τότε θέτουµε: α) f( ) = αν f ( ) =, β) f( ) = αν f ( ) =, γ) f( ) = αν f ( ) = και δ) f( ) = αν f ( ) = Για τον υολογισµό αειριζόµενων ορίων είναι χρήσιµη η ακόλουθη ρόταση:

22 5 Πρόταση Έστω f, g: A R συναρτήσεις και R σηµείο συσσώρευσης του κοινού εδίου ορισµού Α Ισχύουν τα εξής: i) Αν f ( ) g( ) για κάθε A και f( ) =, τότε ( ) = g ii) Αν f ( ) g( ) για κάθε A και g ( ) =, τότε f( ) = iii) iv) Αν f( ) = R ή f( ) = και ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = g Αν f( ) = R ή f( ) = και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = g v) Αν f( ) = R µε > και ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = vi) vii) Αν f( ) = R µε > και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = g g Αν f( ) = R µε < και ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = Αν f( ) = R µε < και ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = Αν f( ) = g( ) = ή f( ) = g( ) =, τότε [ f( ) g( )] = viii) Αν f( ) = ή f( ) =, τότε i) = ( ) f Αν f( ) = και f( ) > για κάθε A, τότε f Αν f( ) = και f( ) < για κάθε A, τότε ( ) f ( ) = = ) Αν f( ) για κάθε A και f( ) = τότε k f( ) =, όου k θετικός ακέραιος *Αόδειξη: Οι (i) και (ii) ροκύτουν άµεσα αό τον ορισµό Για το (iii) θεωρούµε ένα ε > Αν f ( ) = τότε υάρχει δ > µε την ιδιότητα: ( A και δ ) < < f( ) < Η σχέση f( ) < συνεάγεται τη σχέση f( ) > Παρατηρούµε ότι < και συνεώς < (άρα > ) Ακόµη, εειδή g ( ) =, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: ( A και δ ) < < g ( ) > ε > Αν δ = mi{ δ, δ}, τότε για κάθε A µε < < δ, θα συναληθεύουν οι σχέσεις f( ) > και g ( ) > ε > Με ρόσθεση κατά µέλη ροκύτει η ειθυµητή ανισότητα Αν f( ) = g( ) =, τότε ειλέγουµε τα δ, δ > ώστε να ισχύουν οι ανισότητες f( ) > ε / και g ( ) > ε / Η (iv) ροκύτει µε ανάλογο τρόο

23 3 Για την (v) υοθέτουµε αρχικά ότι Εφόσον ( ) = Θεωρούµε ένα ε > Τότε και ε / > g f ( ) =, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: ( A και < < δ ) f ( ) < / Η σχέση f ( ) < / συνεάγεται τη σχέση f ( ) > / Ακόµη, εειδή g ( ) =, υάρχει A και < < δ δ > µε την ιδιότητα: ( ) g( ) > ε / Αν δ = mi{ δ, δ}, τότε για κάθε A µε < < δ, θα συναληθεύουν ε οι σχέσεις f ( ) > / και g( ) > ε / Εοµένως και η σχέση f( ) g( ) > = ε Αν ( ) =, το δ > ειλέγεται έτσι ώστε g( ) < ε /, για κάθε A µε g < < δ Η αόδειξη της (vi) είναι αρόµοια Για την (vii) αρκεί να βρούµε δ > µε f( ) > και g ( ) f( ) = g( ) = και f( ) < και g ( ) < ε, στην ερίτωση g ( ) =, για κάθε A µε < < δ Για την (viii) υοθέτουµε αρχικά ότι την ιδιότητα f( ) f( ) > ε, στην ερίτωση f ( ) = = Έστω ε > Τότε υάρχει δ > µε f( ) > / ε < < ε, για κάθε A µε < < δ Αν f( ) =, τότε υάρχει δ > µε την ιδιότητα A µε < < δ f( ) < / ε ε < <, για κάθε f( ) Για την (i) θεωρούµε δ > µε την ιδιότητα < f( ) < / ε (στην ερίτωση ου f( ) > ), για κάθε A µε < < δ Τότε f( ) εξετάζεται αρόµοια k Για το () θεωρούµε ε > Τότε και ε > Εφόσον ιδιότητα: ( A και δ ) f( ) > ε Η δεύτερη ερίτωση =, υάρχει δ > µε την k < < f( ) > ε k f( ) > ε και τελειώσαµε 5 Παραδείγµατα k Έστω k θετικός ακέραιος Παρατηρούµε ότι αν ο k είναι άρτιος τότε >, για κάθε k Εφόσον =, αό (i) της ροηγούµενης ρότασης ροκύτει ότι k = k k Αν ο k είναι εριττός τότε >, για > ενώ, <, για < Άρα k = και k = Στο εόµενο σχήµα δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f( ) =, για k = k

24 4 O Να υολογιστούν τα όρια: i), ii), iii) Λύση: i) Παρατηρούµε ότι ( 3) = 3 >, ( ) = και για κάθε < έχουµε < Συνδυάζοντας το (v) και το (i) της ροηγούµενης ρότασης, συµεραίνουµε ότι 3 = ii) Παρατηρούµε ότι = <, ( 6) > (Μορούµε να υοθέσουµε ότι, γιατί ) 6 Εοµένως, = 4 = και για κάθε ± έχουµε 3 iii) Παρατηρούµε ότι = ( )( ) και 3 = ( ) ( ) Εοµένως, = = Εφόσον <, < 3 3 ( ) ( ) ( ) και άρα =( ) Συνεώς, = 3 3 για κάθε Εοµένως,, για κάθε < < Ακόµη, = και > 3 = = 3 Να δειχθεί ότι και k ( /) t = t = και ( /) t = Γενικότερα, k t =

25 5 Αόδειξη: Παρατηρούµε ότι si = si = >, cos = cos = και ( /) ( /) cos > για κάθε, Σύµφωνα µε την ροηγούµενη ρόταση, t = ( /) = si ( /) cos = Η αόδειξη της ισότητας t = είναι αρόµοια ( /) O 3 5 Για τη γενική ερίτωση, αρκεί να θυµηθούµε ότι η συνάρτηση ερίοδο (Ειροσθέτως, k = ( k ) ) = t είναι εριοδική µε Άλυτες ασκήσεις 3 4 Να υολογιστoύν τα όρια: (i) 3, (ii) 7 4, (iii), (iv) 3, (v) 3 t si( ) ( /) Να υολογιστoύν τα όρια: (i) ( /) f( ) 3 Να βρείτε το f( ), όταν: (i) = 4 5, (ii), (iii) t και (ii) ( f( )(3 ) ) 5 =

26 6 5 Όριο συνάρτησης για ή Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύο ακόλουθη: f( ) = Η γραφική της αράσταση είναι η - O Παρατηρούµε ότι καθώς το αυξάνει και τείνει στο η τιµή της συνάρτησης τείνει ρος τον αριθµό Αντίστοιχη εικόνα αρουσιάζει η συνάρτηση καθώς το τείνει στο Ο ακριβής εψιλον-τικός ορισµός αυτής της ιδιότητας είναι ο εξής: 5 Ορισµός Θεωρούµε µια συνάρτηση f : A R i) Υοθέτουµε ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διαστήµατος ( δ, ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση συγκλίνει στο R για, αν για κάθε ε > υάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f( ) < ε, για κάθε A ( δ, ) ii) Υοθέτουµε ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διαστήµατος (, δ ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση συγκλίνει στο R για, αν για κάθε ε > υάρχει δ >, τέτοιο ώστε: f( ) < ε, για κάθε A (, δ ) 5 Παρατήρηση Γνωρίζουµε ότι οι ακολουθίες ραγµατικών αριθµών είναι συναρτήσεις µε εδίο ορισµού το σύνολο N = {,,, } ή το σύνολο N {} = {,,3, } Είσης, για κάθε δ >, το σύνολο N ( δ, ) είναι µη κενό Κατά συνέεια, οι συγκλίνουσες ακολουθίες αοτελούν ειδική ερίτωση των συγκλινουσών (για ) συναρτήσεων Ορθότερο λοιόν θα ήταν να γράφουµε για το όριο µιας ακολουθίας ( ), αντί του Είναι θέµα ρουτίνας για τον εξοικειωµένο µε την εψιλοντική διαδικασία αναγνώστη να αοδείξει ότι ισχύουν και εδώ αντίστοιχα αοτελέσµατα µε αυτά των 54 και 56 Η µόνη

27 7 διαφορά είναι ότι, αντί να αίρνουµε το ελάχιστο αό τα εµλεκόµενα δ, αίρνουµε το µέγιστο αό αυτά 53 Πρόταση (µοναδικότητα του ορίου) Υοθέτουµε ότι η συνάρτηση f τείνει, για (ή για ), ρος τους αριθµούς και Τότε = Η αραάνω ρόταση µας ειτρέει να συµβολίζουµε το µοναδικό όριο µιας συνάρτησης f, για (αντίστοιχα για ), µε το σύµβολο f ( ) (αντίστοιχα µε το f ( ) ) 54 Θεώρηµα Υοθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό εδίο ορισµού Α Τότε ισχύουν τα εξής: i) c= c= c, όου c ii) Αν f ( ) = τότε f ( ) = Αντίστοιχα, αν f ( ) =, τότε f ( ) = iii) Αν f ( ) = και λ, τότε ( λ f ( )) = λ Αντίστοιχα, αν f ( ) = και λ, τότε ( λ f ( )) = λ iv) Αν f ( ) = και g( ) = b, τότε ( f ( ) g( )) = b Αντίστοιχα, αν f ( ) = και g( ) = b, τότε ( f( ) g( )) = b v) Αν f ( ) = και g( ) = b, τότε ( f ( g ) ( )) = b Αντίστοιχα, αν f ( ) = και g( ) = b, τότε ( f ( g ) ( )) = b vi) Αν f ( ) =, g( ) = b, g ( ) για κάθε A και b, τότε f ( ) = Αντίστοιχα, αν f ( ) =, g( ) = b, g ( ) για κάθε g ( ) b A και b, τότε f ( ) = g ( ) b vii) Αν f( ) για κάθε A και f ( ) Αντίστοιχα, αν f ( ) =, k k f ( ) = =, τότε k k f ( ) =

28 8 55 Παράδειγµα Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύο f( ) = Τότε f( ) = f( ) = Πράγµατι, αν ε >, τότε η σχέση < < ε είναι ισοδύναµη µε τη σχέση > Αν θέσουµε δ =, τότε ε ε για κάθε ( δ, ) έχουµε < < ε Άρα = f() = - Ο Η σχέση άλι ε < < είναι ισοδύναµη µε τη σχέση αίρνουµε ε < <, για κάθε (, δ ) < Και εδώ θέτουµε δ = και ε ε 56 Πρόταση Θεωρούµε µια ρητή συνάρτηση µε τύο f( ) = b b b b, όου b ηλαδή, υοθέτουµε ότι ο αρονοµαστής έχει βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του βαθµού του αριθµητή Τότε f( ) = f( ) = b Αόδειξη: Παρατηρούµε ότι, για κάθε, έχουµε ( ) f( ) = = = b b b b ( b b b b ) = b b b b

29 9 Έχουµε ήδη δείξει (αράδειγµα 55) ότι = = Αό το v) του θεωρήµατος 54 ροκύτει ότι = = για κάθε θετικό ακέραιο k k k Εοµένως, = = = = ± ± ± ± Άρα, ( ) ± ± f = =, σύµφωνα και µε τα iii), ± b b b b b ± ± ± iv) και vi) του θεωρήµατος Παραδείγµατα 4 3 Να βρεθούν τα όρια: i) 3, ii) Λύση: i) = = =, σύµφωνα µε την ροηγούµενη 3 3 ρόταση 4 ii) =, σύµφωνα µε την ροηγούµενη ρόταση 4 3 Να βρεθούν τα όρια: i) ( ) 3, ii) ( ) 4 3 iii), iv) 3, v) 4 Λύση: i) ( ) 9 ( ), 3 ( ) 3 = = = Εφόσον, µορούµε να 3 3 υοθέσουµε ότι > Εοµένως, = = = = = = 3 4 ( 3) 8 5 ii) ( 4 3) = = 4 ( 3) 4 3 Εφόσον, µορούµε να υοθέσουµε ότι <

30 Εοµένως, = = = = = = = =4 4 3 iii) = = = = = iv) = = = = 4 4 < 4 v) = = = < = = = Να βρεθούν τα b R,, ώστε b = 3 Λύση: Εφόσον b = και 3 b = 3 = b = 3 b 3 b Άρα = = = = 3 3 Τώρα, b = b= = 6 () 5 5 = = = () 4 4 Η γεωµετρική ερµηνεία του αραάνω γεγονότος είναι η ακόλουθη: και εοµένως,

31 3 3 Η αόσταση ενός σηµείου της γραφικής αράστασης της συνάρτησης = αό το 5 σηµείο της ευθείας = ου βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη µε αυτό τείνει στο 4 µηδέν, καθώς το = 5 4 O διαφορά = -3-5 Λέµε ότι η ευθεία = είναι µια λάγια ασύτωτη της γραφικής αράστασης της 4 3 συνάρτησης = Έχουµε λοιόν τον εόµενο ορισµό: 58 Ορισµός Θεωρούµε µια συνάρτηση f : ( δ, ) ή της µορφής (, δ ), όου δ > A R Υοθέτουµε ότι το Α εριέχει ένα διάστηµα της µορφής i) Αν το όριο [ f ( ) b] ή το όριο [ f ( ) b] υάρχει και είναι µηδέν, τότε η ευθεία = b λέγεται λάγια ασύτωτη της γραφικής αράστασης της f Αν = η ευθεία = b λέγεται οριζόντια ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της f ii) Αν R είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Α και f( ) = ±, τότε η ευθεία = ± λέγεται κάθετη ασύµτωτη της γραφικής αράστασης της f 59 Παρατηρήσεις i) Ακολουθώντας τη µέθοδο του ροηγουµένου αραδείγµατος, µορεί να δείξει κανείς ότι οι f ( ) αριθµοί b R, ορίζονται µονοσήµαντα ως εξής: = και b= [ f( ) ] ± ± ii) Στο αράδειγµα 5) δείξαµε ότι t = Άρα οι ευθείες = k ± k είναι κάθετες ασύµτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης = t

32 3 5 Παραδείγµατα Να βρεθούν όλες οι ασύµτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης 3 = 5 Λύση: Έχουµε ήδη βρει µια ασύµτωτη, την = Παίρνουµε τώρα τα όρια για : = και = Καταλήγουµε στην 4 ίδια ευθεία Η συνάρτησή µας έχει εδίο ορισµού το R {} Ενδεχοµένως λοιόν να αειρίζεται στο σηµείο = Παρατηρούµε ότι (/ ) = µε <, για < Ανάλογα βρίσκουµε ότι ευθείες 5 = και 4 3 = (/ ) =, γιατί ( ) 3 = < και ( ) 4 (/ ) = 3 = Οι ζητούµενες ασύµτωτες είναι λοιόν οι = 5 4 O = -3 - Να βρεθούν όλες οι ασύµτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης = Λύση: Το εδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το R { } Οι ρίζες της εξίσωσης = είναι το - και το Είναι = ( )( ) Είναι > < ή > και Έχουµε < < < ( ) ( ) 4 = = = > και

33 33 ( ) ( ) 7 Εοµένως, = = = > = =, =, = και Οι ευθείες = και = είναι οι κάθετες ασύµτωτες = για ± Άρα έχουµε οριζόντιες ασύµτωτες ( = ) 3 b = = Η οριζόντια ασύµτωτη είναι η ευθεία = ± - O = - -- Άλυτες ασκήσεις 3 3 Να υολογιστoύν τα όρια: (i) 3 3, (ii), (iii) ( ), (iv) ( ), (v), (vi) ( ) ( ) ( 3) ( 4) είξτε ότι: = (Υόδειξη: ιαιρέστε αριθµητή και αρονοµαστή µε το ) 3 Να βρεθούν οι ασύµτωτες των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων: (i) f( ) =, (ii) g ( ) = 3 3, και (iii) h ( ) = Όως στα όρια για R, έτσι και δω ισχύει το κριτήριο της αρεµβολής Η αόδειξή του είναι αρόµοια µε αυτήν της µορφής 5 και, γι αυτό αραλείεται

34 34 5 Πρόταση (κριτήριο αρεµβολής) i) Έστω f ( ) h( ) g( ) για κάθε ( δ, ) A, όου δ > Αν f( ) = g( ) = R, τότε και h ( ) = ii) Έστω f ( ) h( ) g( ) για κάθε A (, δ ), όου δ > Αν f( ) = g( ) = R, τότε και h ( ) = 5 Παράδειγµα si si Να βρεθούν τα όρια: i) και ii) ± 3 si si Λύση: i) για κάθε Ακόµη, = = ± ± si = Άρα = ± si si ii) 3 3 3, εφόσον > και = 3 si Άρα = 3 Άλυτες ασκήσεις ίνεται η συνάρτηση f :(, ) R, για την οοία ισχύει η σχέση: κάθε > Να υολογιστεί το f( ) ( ) ( ) f, για Τέλος, θα ασχοληθούµε µε τα αειριζόµενα όρια, για ± εν έχουµε αρά να τροοοιήσουµε τον ορισµό Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση i) Υοθέτουµε ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διαστήµατος ( δ, ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει, για, στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Αν A ( δ, ) τότε f( ) > ε

35 35 Γράφουµε f( ) = Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει, για, στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Γράφουµε f( ) = Αν A ( δ, ) τότε f( ) < ε ii) Υοθέτουµε ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διαστήµατος (, δ ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει, για, στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Γράφουµε f( ) = Αν A (, δ ) τότε f( ) > ε Θα λέµε ότι η συνάρτηση f συγκλίνει, για, στο αν, για κάθε ε > (οσοδήοτε µεγάλο) υάρχει δ > µε την ιδιότητα: Γράφουµε f( ) = Αν A (, δ ) τότε f( ) < ε Είναι ροφανές ότι, µε ορισµένες τροοοιήσεις, µορεί κανείς εύκολα να εαληθεύσει αοτελέσµατα αντίστοιχα µε αυτά της ρότασης 5 ιατυώνουµε την αντίστοιχη ρόταση: 54 Πρόταση Έστω f, g: A R συναρτήσεις Υοθέτουµε ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον σηµείο του διαστήµατος ( δ, ) Ισχύουν τα εξής: i) Αν f ( ) g( ) για κάθε A και f( ) =, τότε g ( ) = ii) Αν f ( ) g( ) για κάθε A και g ( ) =, τότε f( ) = iii) Αν f( ) = R ή f( ) = και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = iv) Αν f( ) = R ή f( ) = και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = v) Αν f( ) = R µε > και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = Αν f( ) = R µε > και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] =

36 36 vi) Αν f( ) = R µε < και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = Αν f( ) = R µε < και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = vii) Αν f( ) = g( ) = ή f( ) = g( ) =, τότε [ f( ) g( )] = Αν f( ) = και g ( ) =, τότε [ f( ) g( )] = viii) Αν f( ) = ή f( ) =, τότε = f( ) i) Αν f( ) = και f( ) > για κάθε A, τότε = f ( ) Αν f( ) = και f( ) < για κάθε A, τότε = f ( ) ) Αν f( ) για κάθε A και f( ) = τότε k f( ) =, όου k θετικός ακέραιος Όλα τα αραάνω ισχύουν και για, αντί, µε την ροϋόθεση ότι, για κάθε δ >, το Α εριέχει ένα τουλάχιστον σηµείο του διαστήµατος (, δ ) 55 Παραδείγµατα Έστω k θετικός ακέραιος Εφόσον =, τότε, µε εαγωγή εί του k και εφαρµόζοντας το (vii) της ροηγούµενης ρότασης, καταλήγουµε στο συµέρασµα ότι k = Για, ακολουθούµε την ίδια µέθοδο και συµεραίνουµε ότι: i) k άρτιος: Τότε k = ii) k εριττός: Τότε k = Έστω f ( ) = m m m m b b b b ρητή συνάρτηση µε m> και, b m Τότε Αλλά, m m m m m m m m m = b b b b b b b b b b b b m m m m = b m και m = Με βάση τα (v) και (vi) της ρότασης 54, m m, αν τα και είναι οµόσηµοι m m b m = b b b b, αν τα m και b είναι ετερόσηµοι

37 37 Ειδικά για ολυωνυµικές συναρτήσεις, αν m m m > ( m m ) =, αν m < Για διακρίνουµε δύο εριτώσεις: i) m- άρτιος: m m, αν τα και είναι οµόσηµοι m m b m = b b b b, αν τα m και b είναι ετερόσηµοι Ειδικά για ολυωνυµικές συναρτήσεις, αν m m m > ( m m ) =, αν m < ii) m- εριττός: m m, αν τα και είναι οµόσηµοι m m b m = b b b b, αν τα m και b είναι ετερόσηµοι Ειδικά για ολυωνυµικές συναρτήσεις, αν m m m < ( m m ) =, αν m > 3 Να βρεθούν τα όρια: i) ( ), ii) ( ) iii) ( ) Λύση: i) Έχουµε ( ) και =, σύµφωνα µε το ροηγούµενο αράδειγµα Άρα =, σύµφωνα µε το () της ρότασης 54 Είσης, = και εοµένως, σύµφωνα µε το (iii) της ίδιας ρότασης αίρνουµε ( ) = Ακόµη, = = > και = ii) ( ) = Άρα = (ρόταση 54 (v)) iii) ( ) = = = < =, = > και = Άρα = (ρόταση 54 (v))

38 38 Άλυτες ασκήσεις 3 5 Να υολογιστούν τα όρια: (i), (ii) 3 7 (iv), (v) , (iii) Να υολογιστούν τα όρια ( ) και ( ) του R 3, για τις διάφορες τιµές Κλείνουµε την αράγραφο αυτή µε ένα αοτέλεσµα, το οοίο είναι γενίκευση της ρότασης 54 Για να το διατυώσουµε χρειαζόµαστε κάοιους συµβολισµούς 56 Συµβολισµοί* Έστω R Αν ε >, τότε θέτουµε s (, ε ) = ( ε, ε) Ακόµη, θέτουµε s(, ε) = ( ε, ) και s(, ε ) (, ε ) = Μορεί κανείς να ελέγξει ότι, όλοι οι ορισµοί ου δώσαµε για τα όρια συναρτήσεων µορούν να διατυωθούν κατά ενιαίο τρόο ως εξής: Έστω f : A R µια συνάρτηση και b, R {, } Υοθέτουµε ότι για κάθε δ > το σύνολο A ( ) {} s(, δ ) δεν είναι κενό Τότε f ( ) = b αν και µόνον αν για κάθε ε > υάρχει δ > τέτοιο ώστε, f ( ) s( b, ε ), για κάθε A ( ) {} s(, δ ) Πράγµατι, αν b R,, η σχέση ( A {} ) s(, δ ) είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη: A και < < δ Είσης, η σχέση f ( ) s( b, ε ) είναι ισοδύναµη µε την f( ) b < ε Αν R και b =, η σχέση f ( ) s( b, ε ) είναι ισοδύναµη µε την f( ) > ε Για, η σχέση A {} s(, δ ) είναι ισοδύναµη µε τη συνθήκη: A και ( ) < δ Μορεί κανείς να ελέγξει όλους τους δυνατούς συνδυασµούς 57 Πρόταση ίνονται οι συναρτήσεις g: A B R και f : B R Έστω b, R {, } Υοθέτουµε ότι: (i) ( ) = b και g( ) b για κάθε και s (, δ ) A, όου δ >

39 39 (ii) f ( u ) = c u b Τότε f ( g ( )) = c *Αόδειξη: Έστω ε > Εφόσον f ( u ) = c, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: u b u ( B {} b ) s(, b δ ) f( u) s(, c ε ) () Εφόσον g ( ) = b, υάρχει δ > µε την ιδιότητα: ( A {} ) s(, δ ) g() s(, b δ ) Μορούµε να υοθέσουµε ότι δ < δ, οότε ( A {} ) s(, δ ) g() B ( ) {} b s(, b δ ) () Αν συνδυάσουµε τις σχέσεις () και () θα άρουµε A {} s(, δ ) f ( g ( )) scε (, ) ( ) 58 Παράδειγµα Να υολογιστεί το si Λύση: si si = Θέτουµε u = = g( ) Παρατηρούµε ότι siu g ( ) = = Εφαρµόζουµε την ροηγούµενη ρόταση µε g ( ) =, f( u) =, u siu = και b = Έχουµε λοιόν si = = u> u u

40 4 53 Συνεχείς συναρτήσεις Στα εόµενα σχήµατα αριστάνονται οι γραφικές αραστάσεις τεσσάρων συναρτήσεων g( ) f( ) g( ) O b O b h( ) r( ) O b O b Παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις g, h και r αρουσιάζουν ιδιοµορφία στο σηµείο Η γραφική τους αράσταση φαίνεται να «διακότεται» στο σηµείο αυτό Η g αρουσιάζει µια οή στη γραφική της αράσταση Υάρχει το g ( ) αλλά αυτό δεν είναι ίσο µε το g ( ) Στις εριτώσεις των h και r, αρατηρούµε ουσιωδέστερη διαταραχή στη γραφική αράσταση Σ αυτές τις εριτώσεις δεν υάρχει ούτε το όριο της συνάρτησης στο ( Η h έχει δύο διαφορετικά εερασµένα λευρικά όρια ενώ η r έχει ένα εερασµένο αριστερό και ένα αειριζόµενο δεξιό λευρικό όριο) Λέµε ότι οι συναρτήσεις g, h και r είναι ασυνεχείς στο ενώ, η f είναι συνεχής στο σηµείο αυτό 53 Ορισµός Θεωρούµε µια συνάρτηση f : A R και ένα σηµείο του εδίου ορισµού της Α i) Αν το είναι σηµείο συσσωρεύσεως του Α τότε, λέµε ότι η f είναι συνεχής στο αν υάρχει το f ( ) και ισούται µε την τιµή f ( ) της f στο

41 4 ii) Αν το δεν είναι σηµείο συσσωρεύσεως του Α τότε, η f εξ ορισµού, θεωρείται συνεχής στο σηµείο αυτό iii) Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του εδίου ορισµού της 53 Παρατηρήσεις Αν το είναι σηµείο συσσωρεύσεως του Α τότε, µε βάση τον ορισµό του ορίου, θα έχουµε: «Για κάθε ε > υάρχει δ >, τέτοιο ώστε f( ) f( ) < ε για κάθε A µε < < δ» () Προφανώς το ικανοοιεί τη σχέση f( ) f( ) < ε Εοµένως, στην ερίτωση αυτή, η φράση «για κάθε A µε < < δ» µορεί να αντικατασταθεί αό τη φράση «για κάθε A µε < δ» (Ισοδύναµα, για κάθε A ( δ, δ ) ) Ακόµη, αν το είναι µεµονωµένο σηµείο του Α, τότε ροφανώς ισχύει η αραάνω συνθήκη () Εοµένως η συνθήκη () είναι ικανή και αναγκαία για να είναι η f συνεχής στο Αν η f : B R είναι συνεχής στο σηµείο, το οοίο είναι σηµείο συσσωρεύσεως του συνόλου Β, τότε, εφαρµόζοντας την ρόταση 57, για κάθε συνάρτηση g : A B µε την ιδιότητα g ( u ) =, όου R {, }, θα έχουµε: u f ( g( u)) = f( ) = f( ) = f( g( u)) u u 533 Παραδείγµατα Οι ολυωνυµικές συναρτήσεις είναι συνεχείς σε οοιοδήοτε σηµείο του εδίου m m m m m m = m m ορισµού τους καθώς, ( ) Γενικότερα, οι ρητές συναρτήσεις είναι συνεχείς (ο αρονοµαστής δεν µηδενίζεται στα σηµεία του εδίου ορισµού τους) Έχουµε ήδη δείξει (ρόταση 5) ότι οι εκθετικές συναρτήσεις είναι συνεχείς Είσης δείξαµε (ρόταση 56) ότι οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς Η συνάρτηση f : R R µε τύο f ( ) = [ ] δεν είναι συνεχής στα σηµεία = k Z Πράγµατι, αν k Z, τότε θεωρούµε τα διαστήµατα ( k, k) και ( k, k ) Αν ( k, k) τότε f ( ) = k και εοµένως f ( ) = k k Στην ερίτωση αυτή το λέγεται µεµονωµένο σηµείο του Α

42 4 Αν ( k, k ) τότε f ( ) f ( ), η f δεν είναι συνεχής στο k k = k και εοµένως f ( ) = k Εφόσον δεν υάρχει το k 3 Θεωρούµε τη συνάρτηση f :(,5] R, η οοία ορίζεται ως εξής: 4 αν, f( ) = αν < < 3, 5 3 αν 3 < 5, αν = 5 Να εξεταστεί σε οια σηµεία του εδίου ορισµού της είναι συνεχής Λύση: Στα διαστήµατα (,), (, 3) και (3, 5) είναι συνεχής γιατί διατηρεί τον ίδιο ρητό ή ολυωνυµικό τύο Αοµένουν τα σηµεία, 3 και 5 Σηµείο =: Σύµφωνα µε τον ορισµό 53, εξετάζουµε ρώτα αν υάρχει το όριο f ( ) 4 Παίρνουµε τα λευρικά όρια: Εειδή f( ) = για <, έχουµε f ( ) = 4 = Εειδή f ( ) = για < < 3, έχουµε f ( ) = ( ) = Άρα 4 υάρχει το f ( ) και ισούται µε Αλλά f () = =, οότε η f είναι συνεχής στο σηµείο = Σηµείο =3: Εειδή f ( ) = για < < 3, έχουµε f( ) = 5 3 για 3< < 5, έχουµε 3 3 f ( ) = ( ) = Εειδή 3 3 f ( ) = ( 5 3) = 3 εν υάρχει 3 λοόν το f ( ) και συνεώς, η f δεν είναι συνεχής στο σηµείο =3 3 - O Σηµείο =5: Εειδή το 5 είναι δεξιό άκρο του διαστήµατος (,5], το µε το 5 5 f ( ) συµίτει f ( ) Εοµένως, f ( ) = ( 5 3) = 3 Ακόµη, f (5) = Συνεώς, η f δεν είναι συνεχής στο σηµείο =5 5 5

43 43 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε τον ακόλουθο τύο: αν <, f( ) = 3 b αν Να ροσδιοριστούν τα b, R ώστε η αραάνω συνάρτηση να είναι συνεχής Λύση: Η συνάρτηση f έχει ράγµατι εδίο ορισµού το R γιατί η υόρριζη οσότητα είναι άντα θετική (γιατί;) Εφόσον η f είναι συνεχής στο -, θα έχουµε f( ) = f( ) και εοµένως, [ f ] = f = Αλλά [ f( )( ) ] ( )( ) ( ) Εοµένως = = Για = ο τύος της συνάρτησης γίνεται Εοµένως, f ( ) = = ( ) = αν <, f( ) = 3 b αν 4 = = ( ) ( )( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = = = ( ) ( ) ( ) 4 3 Ακόµη, f ( ) = f( ) = ( ) b = b 3 Θα ρέει να έχουµε λοιόν b= b= 4 4 ( ) Άλυτες ασκήσεις, αν < < Να εξεταστούν ως ρος τη συνέχεια οι συναρτήσεις: (i) f( ) = 3 3, αν και (ii) 4, αν (, 4] [, ) ( ) =, αν ( 4,) g 4 3, αν < 3 ίνεται η συνάρτηση f( ) =, αν > 4 Να ροσδιοριστεί το R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο

44 44 3 Να ροσδιορίσετε τα b, R, ώστε η συνάρτηση f µε τύο b, αν < f( ) = 5, αν = b, αν > να είναι συνεχής Εκµεταλλευόµενοι τις ιδιότητες των ορίων (θεώρηµα 56) µορούµε εύκολα να αοδείξουµε την εόµενη ρόταση: 534 Πρόταση Υοθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο σηµείο του κοινού εδίου ορισµού τους Α Τότε και οι αρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο σηµείο : i) λ f, όου λ R, ii) f, iii) f ± g, iv) fg, v) f g, αν g ( ) για κάθε A, vi) k f, αν f( ) για κάθε A, όου k θετικός ακέραιος Αν χρησιµοοιήσουµε την ρόταση 54, µορούµε εξίσου εύκολα να αοδείξουµε την ακόλουθη ρόταση: 535 Πρόταση Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : A B R και g: B R Υοθέτουµε ότι η f είναι συνεχής σ ένα σηµείο A και ότι η g είναι συνεχής στο σηµείο f ( ) B Τότε η g f είναι συνεχής στο Συνδυάζοντας κανείς τις δύο ροηγούµενες ροτάσεις µε το αράδειγµα 533, µορεί να κατασκευάσει συναρτήσεις µε ένα σωρό ολύλοκους τύους (Αρκεί να εριοριστεί στα εδία ορισµού για τα οοία έχουν νόηµα οι τύοι αυτοί) 3 e Έτσι, η συνάρτηση µε τύο f( ) = cos( ) 3 si( ) είναι συνεχής Γνωρίζουµε όµως (βλ Παράδειγµα 533)) ότι, µε την ίδια ερίου ευκολία, µορεί να κατασκευάσει κανείς συναρτήσεις ου δεν είναι συνεχείς Ίσως ένα αό τα ιο αθολογικά αραδείγµατα είναι η συνάρτηση Dirichlet, η οοία ορίζεται ως εξής: αν o είναι ρητός, f( ) = αν ο είναι άρρητος

45 45 Χρησιµοοιώντας τον ορισµό του εερασµένου ορίου µορεί να δείξει κανείς ότι δεν υάρχει το όριο f ( ) για κάθε R Άρα η f δεν είναι ουθενά συνεχής! Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε ορισµένα θεµελιώδη θεωρήµατα ου αφορούν τις συνεχείς συναρτήσεις Ξεκινάµε µε ένα εώνυµο θεώρηµα: 536 Θεώρηµα του Bolzo Θεωρούµε µια συνεχή συνάρτηση f :[, b] R, ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ b, ] Υοθέτουµε ότι η f αίρνει ετερόσηµες τιµές στα άκρα του διαστήµατος [ b,, ] δηλαδή f( ) f( b ) < Τότε η f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστηµα (, b ) Η αόδειξη του θεωρήµατος αυτού είναι αρκετά λετή, γι αυτό και την αραθέτουµε σε ειδικό αράρτηµα στο τέλος αυτού του κεφαλαίου Η γεωµετρική σηµασία του θεωρήµατος του Bolzo είναι η ακόλουθη: Αν φανταστούµε µια συνεχή γραµµή, η οοία συνδέει δύο σηµεία του καρτεσιανού ειέδου R R ου βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα των τότε, η γραµµή αυτή θα τέµνει τον άξονα των f() ρίζα O ξ b f(b) 537 Παρατήρηση Αν η σχέση f( ) f( b ) < αντικατασταθεί αό τη σχέση f( ) f( b), τότε η διατύωση του θεωρήµατος Bolzo τροοοιείται ως εξής: «Θεωρούµε µια συνεχή συνάρτηση f :[, b] R, ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ b, ] Υοθέτουµε ότι f( ) f( b) Τότε η f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο κλειστό διάστηµα [, b ]»

46 Πόρισµα Αό το θεώρηµα του Bolzo ροκύτει ότι αν µια συνεχής συνάρτηση, ορισµένη σ ένα διάστηµα (εερασµένο ή άειρο) δεν έχει ρίζες, τότε διατηρεί σταθερό ρόσηµο 539 Παραδείγµατα ίνεται η συνάρτηση f : R R µε 4 3 f ( ) = 5 Να δειχθεί ότι η f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (,) Λύση: Παρατηρούµε ότι 4 3 f ( ) = ( ) ( ) ( ) 5( ) = 9> και 4 3 f () = 5 = 3 < Η f αίρνει λοιόν ετερόσηµες τιµές στα άκρα του διαστήµατος Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzo, υάρχει ξ (,) µε f ( ξ ) = Να δειχθεί ότι η εξίσωση cos = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα, Λύση: Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση f : ότι f () = > και f = < συµέρασµα R R µε f ( ) = cos Παρατηρούµε (γιατί > ) Αό το θεώρηµα Bolzo ροκύτει το 53 Πρόταση (ύαρξη -στής ρίζας µη αρνητικού αριθµού) Έστω και θετικός ακέραιος Τότε υάρχει (ακριβώς ένας) µη αρνητικός αριθµός ξ µε την ιδιότητα ξ = Αόδειξη: Μορούµε να υοθέσουµε ότι > Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f ( ) =, για κάθε R Έχουµε f() = < Εειδή f( ) = ( ) =, υάρχει δ > µε την ιδιότητα f( ) > >, για κάθε δ Ο εριορισµός της f στο διάστηµα [, δ ] αίρνει ετερόσηµες τιµές στα άκρα του διαστήµατος αυτού Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzo, η f έχει µια ρίζα στο διάστηµα αυτό, δηλαδή, υάρχει ξ [, δ ] µε ξ = Αό το θεώρηµα Bolzo ροκύτει ένα ενδιαφέρον όρισµα:

47 47 53 Πόρισµα (θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής) Θεωρούµε µια συνεχή συνάρτηση f :[, b] R, ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ b, ] Αν λ είναι ένας αριθµός ου βρίσκεται µεταξύ των f ( ) και f ( b ), τότε υάρχει ξ [ b, ] τέτοιο ώστε, f ( ξ ) = λ Αόδειξη: Η ερίτωση λ = f ( ) = f( b) είναι τετριµένη Υοθέτουµε f ( ) < λ < f( b) Η συνάρτηση g:[, b] R µε τύο g ( ) = f( ) λ αίρνει στα άκρα του διαστήµατος [ b, ] ετερόσηµες τιµές Αό το θεώρηµα του Bolzo ροκύτει ότι υάρχει ξ ( b, ) τέτοιο ώστε, g( ξ ) = f( ξ) = λ Η ερίτωση f ( ) > λ > f( b) αντιµετωίζεται αρόµοια 53 Παρατήρηση Η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος είναι η ακόλουθη: Κάθε οριζόντια ευθεία ου κείται µεταξύ των ευθειών = f( ) και = f( b) τέµνει τη γραφική αράσταση της f σ ένα =f() =λ =f(b) O ξ ξ ξ 3 b τουλάχιστον σηµείο 533 Παρατήρηση Αό το ροηγούµενο όρισµα ροκύτει ότι η εικόνα ενός διαστήµατος Α (εερασµένου ή άειρου), µέσω µιας συνεχούς συνάρτησης, είναι είσης διάστηµα Πράγµατι, αν, είναι οι εικόνες δύο σηµείων και, µε <, τότε και κάθε τιµή µεταξύ των και είναι εικόνα κάοιου σηµείου του διαστήµατος [, ], (το διάστηµα [, ] εριέχεται στο εδίο ορισµού Α της συνάρτησης, εφόσον το Α είναι διάστηµα) Άλυτες ασκήσεις Να δείξετε ότι οι ακόλουθες εξισώσεις έχουν µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (,) :

48 48 (i) = και (ii) 5 5 = είξτε ότι η εξίσωση cos = 4 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) 3 ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f και g, για τις οοίες ισχύει f( ) g( ) = c, όου c R Αν η εξίσωση f( ) = έχει δύο ρίζες ετερόσηµες r < και r >, τότε η εξίσωση g= ( ) έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα [ r, r ] 4 ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g:[, b] R, για τις οοίες ισχύει f( ) g( b ) > είξτε ότι η εξίσωση f( ) g( ) b = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( b, ) Εξίσου σηµαντικό για την κατανόηση της συµεριφοράς των συνεχών συναρτήσεων ου ορίζονται σε κλειστά διαστήµατα είναι το εόµενο θεώρηµα 534 Θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής Θεωρούµε µια συνεχή συνάρτηση f :[, b] R M Τότε η f είναι φραγµένη Ειλέον, αν M = sup{ f( ) [, b]} και m= if{ f( ) [, b]}, τότε υάρχουν, m [ b, ] µε f ( ) = M και f ( ) = m O b Και αυτού του θεωρήµατος η αόδειξη είναι αρκετά λετή και αρατίθεται στο αράρτηµα Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε την ύαρξη αντιστρόφου µιας συνεχούς συνάρτησης Η εόµενη ρόταση αναφέρεται στη µονοτονία των συνεχών συναρτήσεων 535 Πρόταση i) Θεωρούµε µια συνεχή συνάρτηση f :[, b] R Αν η f είναι - τότε είναι γνησίως µονότονη ii) Γενικότερα, αν f : A R είναι µια συνεχής και - συνάρτηση, όου Α είναι διάστηµα (εερασµένο ή άειρο, κλειστό ή όχι), τότε η f είναι γνησίως µονότονη *Αόδειξη: i) Υοθέτουµε ότι f ( ) < f( b) Αρχικά θα αοδείξουµε ότι αν < s< b, τότε f ( ) < f( s) < f( b) Εειδή η f είναι -, f ( s) f( ) Έστω ότι f () s < f() Ο εριορισµός της f στο διάστηµα [, s b ] είναι (ροφανώς) συνεχής

49 49 Εειδή f () s < f() < f() b, αό το θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής ροκύτει ότι υάρχει t (, s b) µε f () t = f( ) Αυτό είναι άτοο, γιατί η f είναι f(b) - ( t ) Άρα f () s > f() Με αρόµοιο συλλογισµό δείχνουµε ότι f () s < f() b Έστω τώρα < b Αό το ροηγούµενο συµέρασµα ροκύτει ότι f ( ) f( ) < f( b) f() f(s) O s t b Εφαρµόζοντας άλι το ροηγούµενο συµέρασµα στον εριορισµό της f στο διάστηµα [, b ], ροκύτει ότι f ( ) f( ) < f( ) f( b) Εοµένως η f είναι γνησίως αύξουσα Αν τώρα f ( ) > f( b), τότε f ( ) < f( b) και εοµένως η f είναι γνησίως αύξουσα Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα ii) Θεωρούµε δύο σηµεία < του διαστήµατος Α Εφόσον η f είναι -, f ( ) f( ) Υοθέτουµε ότι f ( ) < f( ) Θα δείξουµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Έστω λοιόν s, t δύο σηµεία του Α µε s < t Θα δείξουµε ότι f () s < f() t Θέτουµε = mi{,, s, t} και b= m{,, s, t} Εφόσον το Α είναι διάστηµα, το κλειστό διάστηµα [ b,, ] το οοίο εριέχει και τα τέσσερα σηµεία,, s, t εριέχεται στο Α Σύµφωνα µε το (i), η f είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα [ b, ] Εειδή f ( ) < f( ), θα είναι γνησίως αύξουσα στο [ b, ] και εοµένως, f ( s) < f( t) Η ερίτωση f ( ) > f( ) αντιµετωίζεται αρόµοια Σύµφωνα µε την αρατήρηση 533, αν f : A R είναι µια συνεχής και - συνάρτηση, όου Α διάστηµα, τότε το B = f( A) είναι διάστηµα και ορίζεται η αντίστροφη f : B A συνάρτηση Με βάση την ρόταση 535, η f, άρα και η f, είναι γνησίως µονότονες, του ίδιου τύου µονοτονίας εν γνωρίζουµε αν η f είναι συνεχής Η εόµενη ρόταση 537 µας το εξασφαλίζει Ας δούµε ρώτα ένα λήµµα 536 Λήµµα* Έστω f :[ b, ] [ f( ), f( b)] µια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση, όου < b και f :[ f( ), f( b)] [, b] η αντίστροφή της Τότε f ( ) = και f ( ) = b f ( ) f ( b)

50 5 Αόδειξη: Έστω ε > Μορούµε να υοθέσουµε ότι ε < b, οότε [, ε ) [ b, ] Έστω δ = f( ε ) f( ) > Τότε f ([, ε )) = [ f( ), f( ε )) = [ f( ), f( ) δ ) Εοµένως, f ([ f( ), f( ) δ )) = [, ε ) Αν λοιόν < f( ) < δ, τότε ( ) < f < ε Η δεύτερη ερίτωση εξετάζεται αρόµοια 537 Πρόταση Έστω f : A B= f( A) µια συνεχής και - συνάρτηση, όου Α διάστηµα, ου δεν είναι µονοσύνολο Τότε και η αντίστροφή της f : B A είναι συνεχής *Αόδειξη: Υοθέτουµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Έστω = f( ) B, όου A Αν το είναι αριστερό άκρο του διαστήµατος Α, τότε το = f( ) είναι αριστερό άκρο του διαστήµατος Β Στην ερίτωση αυτή υάρχει b> µε [, b] A Εφαρµόζοντας το ροηγούµενο λήµµα για τον εριορισµό της f στο διάστηµα [, b ], συµεραίνουµε ότι f ( ) = Αν το είναι δεξιό άκρο του διαστήµατος Α, τότε το = f( ) είναι δεξιό άκρο του διαστήµατος Β Στην ερίτωση αυτή υάρχει < µε [, ] A Εφαρµόζοντας το ροηγούµενο λήµµα για τον εριορισµό της f στο διάστηµα [, ], συµεραίνουµε ότι f ( ) = Αν τέλος, το είναι εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος Α, τότε υάρχουν < < b µε [ b, ] A Εφαρµόζοντας το ροηγούµενο λήµµα για τον εριορισµό της f στα διαστήµατα [, ] και [, b ], συµεραίνουµε ότι f ( ) = f ( ) = Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η f : A B= { B} είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα Παρατηρούµε ότι =, όου φ :B B είναι η συνεχής συνάρτηση f ( f) φ µε τύο φ ( ) = Η f σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής 54 Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις-κυκλοµετρικές συναρτήσεις Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις Έστω > Θεωρούµε τη συνάρτηση ep : R (, ) µε τύο ep ( ) = Έχουµε δείξει (ρόταση 5) ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής Ακόµη, αν >, η ep είναι γνησίως αύξουσα, αν = είναι σταθερή ενώ αν <, τότε είναι γνησίως φθίνουσα