ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1. ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ Ο Robert Hooke έγρψε το 678, "he power of any spring is in the same proportion with the tension thereof". Αυτή η δήλωση είνι η βάση του πρώτου ρεολογικού νόµου γι ιδνικά ελστικά στερεά που είνι ο νόµος του Hooke. Μπορεί ν γρφεί ως: τ G γ Οπως συζητήθηκε πριν, υτός ο νόµος ισχύει γι τ περισσότερ µέτλλ κι στερεά σε µικρές πρµορφώσεις, γ. Σε µεγλύτερες πρµορφώσεις, η συµπεριφορά των πργµτικών υλικών ποκλίνει όλο κι περισσότερο πό υτόν τον νόµο µε την ύξηση της πρµόρφωσης (strain). Το Σχήµ - πεικονίζει ποτελέσµτ γι έν ελστικό υλικό που εξετάστηκε σε εφελκυσµό (tension) κι συµπίεση (compression). Γι µικρές πρµορφώσεις η τάση είνι γρµµική συνάρτηση της πρµόρφωσησ, λλά σε µεγάλες πρµορφώσεις η τάση είνι µεγλύτερη πό υτή που προβλέπει ο νόµος του Hooke. Μί εξίσωση που περιγράφει τ πειρµτικά ποτελέσµτ του Σχήµτος - είνι: G - όπου είνι η δύνµη εφελκυσµού (tensile force) διιρεµένη µε την εγκάρσι διτοµή "a", f/a. Ο λόγος επιµήκυνσης,, ορίζετι ως: L L Σχήµ -: Τάση εφελκυσµού κι συµπίεσης σν συνάρτηση του λόγου επιµήκυνσης γι έν ελστικό δείγµ (πό Macosco, 994).

2 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - Εν άλλο είδος πειράµτος που είνι σηµντικό στην πειρµτική ρεολογί είνι η πλή διάτµηση (simple shear). Το Σχήµ - δείχνει πειρµτικά δεδοµέν γι έν ελστικό δείγµ (rubber sample) σε διάτµηση µετξύ δύο πράλληλων πλκών σε στθερή πόστση,. Η διτµητική τάση είνι γρµµική συνάρτηση της πρµόρφωσησ (strain) γι πλτιά περιοχή πρµορφώσεων; όµως γι τις συνιστώσες της τάσης, δηλδή τις κάθετες τάσεις κι, η γρµµικότητ δεν ισχύει. Γι ελστικά υλικά (rubbers) οι εξής σχέσεις ισχύουν γι τη διφορά κάθετων τάσεων (normal stress difference), κι γι την διτµητική τάση, - G γ G γ όπου γ είνι η πρµόρφωση (strain) που ορίζετι ως: γ s Οι πρπάνω εξισώσεις µπορούν ν προέλθουν πό τον νόµο του Hooke ότν γρφεί κτάλληλ σε τρεις διστάσεις χρησιµοποιώντς κτάλληλο µέτρο πρµόρφωσης. Σχήµ -: ιτµητική κι κάθετες τάσεις σν συνάρτηση της διτµητικής πρµόρφωσης γι έν ελστικό δείγµ (silicone rubber,from Macosco, 994)

3 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ -.. Ο ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Γι ν δούµε πώς οι διτµητικές κι κάθετες τάσεις νπτύσσοντι, θεωρούµε το Σχήµ -, όπου µί δύνµη, f, εξσκείτι σε έν σώµ. Μί τοµή δι µέσου του σηµείου P σχεδόν κάθετ στην κτεύθυνση της δύνµης, πράγει µί επιφάνει, a, της οποίς ο προσντολισµός ορίζετι πό το διάνυσµ n (κάθετο στην επιφάνει).η τάση πάνω στο επίπεδο είνι tf/a. Επειδή τ υλικά συµπεριφέροντι διφορετικά κάτω πό διάτµηση κι εφελκυσµό, είνι χρήσιµο ν νλύσουµε το διάνυσµ τάσης (stress vector) t n στις συνιστώσες της. Γι έν σύστηµ κρτεσινών συντετγµένων µπορούµε ν γράψουµε: t n r r r n nn m nm o no όπου ο πρώτος κάτω δείκτης (subscript) δείχνει το επίπεδο πάνω στο οποίο η συνιστώσ σκείτι, κι ο δεύτερος κάτω δείκτης την διεύθυνση της συνιστώσς σε υτό το επίπεδο. Εάν πάρουµε µί άλλη διφορετική τοµή, τότε τρεις άλλες συνιστώσες θ ορισθούν. Ετσι µπορούµε ν οδηγηθούµε στην κόλουθη ερώτηση/πορί: Γι ν χρκτηρίσουµε την κτάστση τάσης σε έν σηµείο, είνι πρίτητο ν θεωρήσουµε έν περιόριστο ριθµό επιπέδων δι µέσου του σηµείου P? Η πάντηση είνι όχι, επειδή όλες οι τάσεις που δρούν στ διάφορ επίπεδ λληλοσυσχετίζοντι. Η τάση σε οποιοδήποτε επίπεδο που περνάει πό το σηµείο P µπορεί ν υπολογισθεί πό µιά ποσότητ που λέγετι τνυστής τάσης (stress tensor). Αυτή είνι µί ειδική µθηµτική ποσότητ που µς βοηθάει ν υπολογίσουµε την κτάσττη τάσης (state of stress) σε οποιοδήποτε σηµείο στο υλικό. Θεωρούµε τρί µοιβί κάθετ επίπεδ που τέµνοντι στο σηµείο P κι τ σχετιζόµεν δινύσµτ τους. Οι διευθύνσεις των επιπέδων είνι, y, κι z. Οπως φίνετι στο Σχήµ - τρεις τάσεις (συνιστώσες) σκούντι πάνω σε κάθε έν πό τ τρί κάθετ επίπεδ. Αυτό προκύπτει επειδή το κάθε διάνυσµ τάσης µπορεί ν νλυθεί σε τρεις συνιστώσες, φού διιρέσουµε τις ντίστοιχες δυνάµεις µε τις ντίστοιχες επιφάνειες.

4 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 4 Σχήµ -: (a) Μί δύνµη σκείτι σε έν σώµ (b) Μί τοµή δι µέσου του σηµείου P σχεδόν κάθετ στην κτεύθυνση της δύνµης, οριζει την τάση t n f/a (c) Μί άλλη τοµή σχεδόν πράλληλ στην κτεύθυνση της δύνµης.οι ίσες κι ντίθετες δνάµεις που σκούντι στο σηµείο P ντιπροσωπεύοντι πό τό t m.. Τώρ εάν σχηµτίσουµε το τετράεδρο γύρω πό το P, πό την συνθήκη τοπικής ισορροπίς (local equilibrium), το ισοζύγιο δύνµης σε κάθε επίπεδο δίνει (πόδειξέ το!!): tn i ( n n y y n z z ) j ( n y n y yy n z zy ) k ( n z n y yz n z zz ) ή χρησιµοποιώντς την σηµειολογί Gibbs (notation) t n n. όπου είνι ο τνυστής τάσης που ορίζετι ως:

5 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 5 y z y yy yz z zy zz Σχήµ -4: (a) Τρί µοιβίως κάθετ επίπεδ που τέµνοντι στο P (b) οι συνιστώσες της τάσης που σκούντι σε κάθε επίπεδο (c) Το επίπεδο n v σχηµτίζει το τετράεδρο.

6 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΑΣΗΣ Ο τνυστής τάσης είνι συµµετρικός ( ji ). Ετσι πρέπει ν ορίσουµε µόνο έξι συνιστώσες. Οι κτευθύνσεις, y κι z µπορούν ν ντικτστθούν µε, κι : Στην σηµειολογί του Gibbs (notation) υτό γράφετι: όπου είνι ο νάστροφος τνυστής του (συνθήκη γι την συµµετρί τνυστή).... ΠΙΕΣΗ Ρευστό ορίζετι το υλικό που δεν µπορεί ν στηρίξει διτµητικές τάσεις χωρίς ν ρεύσει. Οτν το ρευστό είνι σε ισορροπί, µπορεί ν στηρίξει µόνο µί οµοιόµορφη κάθετη τάση,. Αυτή η κάθετη τάση λέγετι υδροσττική πίεση (hydrostatic pressure), p. Ετσι γι έν ρευστό σε ισορροπί, ο τνυστής τάσης πίρνει την εξής µορφή: - p - p - p - p - p Το ρνητικό πρόσηµο προέρχετι πό την συνθήκη προσήµου (sign convention), ότι µί συµπιεστική τάση θεωρείτι ως ρνητική τάση (όµως υτό δεν σηµίνει ότι πρίτητ πρέπει ν δείχνει προς την ρνητική κτεύθυνση). Η ολική τάση µπορεί ν γρφεί ως: - p τ

7 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 7 όπου τ είνι ο ιξώδης τνυστής τάσης (etra or viscous stress tensor). Συχνά ο νφέρετι σν ο ολικός τνυστής τάσης κι ο τ πλά σν ο τνυστής τάσης. Η δράση της πίεσης δεν είνι σηµντική στην ρεολογί επειδή δεν µπορεί ν προκλέσει πρµόρφωση στο ρευστό. Ως εκ τούτου, στην ρεολογί ενδιφερόµστε γι διφορές κάθετων τάσεων κι όχι γι τις πόλυτες τιµές των. ύο τέτοιες διφορές µπορούν ν ορισθούν µονδικά; Η πρώτη διφορά κάθετης τάσης, N, κι η δεύτερη διφορά κάθετης τάσης, N, N N - - τ τ - - τ τ Η τρίτη διφορά κάθετης τάσης, N, µπορεί ν υπολογισθεί πό τον συνδισµό των δύο πρώτων: N - τ -τ N N... ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ (PRNPAL SRESSES) ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΙΩΤΕΣ (NVARANS) Οι νλοίωτες του τνυστή τάσης είνι χρήσιµες στην γρφή κτσττικών εξισώσεων, γι πράδειγµ ότν γράφουµε το ιξώδες ενός πολυµερούς σν συνάρτηση της τάσης. Οµως το ιξώδες είνι ριθµητική ποσότητ κι η τάση είνι τνυστής, οπότε πως µπορούν υτές οι ποσότητες ν συσχετιστούν? Αυτό είνι πιθνό µε την χρησιµοποίηση των νλοίωτων του τνυστή τάσης ντί γι τον τνυστή. Επιπλέον, υτές οι νλοίωτες είνι νεξάρτητες πό το σύστηµ συντετγµένων, το οποίο είνι έν βολικό στοιχείο στην πργωγή κτσττικών εξισώσεων. Πρώτ θεωρούµε έν διάνυσµ, v. Εν διάνυσµ έχει µι µόνο νλοίωτη, που είνι το µέγεθος του (v.v) /. Επισηµίνετι κι πάλι ότι υτή η νλοίωτη είνι νεξάρτητη πό το σύστηµ συντετγµένων. Οι συνιστώσες του δινύσµτος εξρτώντι πό το σύστηµ συντετγµένων λλά όχι πό το µέγεθός του. Η κινητική ενέργει είνι επίσης µί άλλη ποσότητ νεξάρτητη πό το σύστηµ συντετγµένων η οποί προέρχετι πό την νλοίωτη του δινύσµτος της τχύτητς, κι γράφετι ως, E k /m(v.v). Γι τνυστές υπάρχουν τρείς νλείωτες κι υτές είνι νεξάρτητες πό το σύστηµ συντετγµένων που χρησιµοποιείτι:

8 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 8 [ - tr ] - det Η φυσική σηµσί των τριών νλοίωτων µπορεί ν βρεθεί µε νφορά στις κύριες τάσεις (principal stresses). Είνι πάντοτε εφικτό ν ορίσουµε µί ειδική τοµή δι µέσου ενός σώµτος έτσι ώστε ν υπάρχουν µόνο κάθετες τάσεις που δρούν πάνω σ υτό το επίπεδο, κι όχι διτµητικές. Αυτό ονοµάζετι κύριο επίπεδο (principal plane) κι η τάση που δρά σ υτό κύρι τάση (principal stress), σ. Υπάρχουν τρί τέτοι επίπεδ που περνούν δι µέσου ενός σηµείου κι έτσι τρεις κύριες τάσεις. Οι προσντολισµοί των τριών επιπέδων ορίζουν τις κύριες διευθύνσεις οι οποίες ορίζουν έν σύστηµ συντετγµένων όπου ο τνυστής τάσης πίρνει την εξής µορφή (κύριος τνυστής τάσης). - - σ p σ σ Αυτή η µορφή του τνυστή σχετίζετι µε την γενική του µορφή µε την εξής σχέση: n.( -σ ) όπου n ορίζει τους τρεις κύριους άξονες. Τέλος οι νλοίωτες του κύριου τνυστή τάσης είνι: σ σ σ [ - tr ] σ σ σ σ σ σ det σ σ σ Επισηµίνετι ότι οι τρεις νλοίωτες είνι οι ίδιες όπως δόθηκν πριν, επειδή όπως προνφέρµε είνι νεξάρτητες πό το σύστηµ συντετεγµένων που περιλµβάνει κι το σύστηµ συντετγµένων µε τους τρεις κύριους άξονες... ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΓΩΣΗΣ (NE

9 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 9 DEORMAON ENSORS) Τώρ που έχουµε έν τρόπο ν κθορίσουµε την τάση σε έν σηµείο του υλικού, χρειζόµστε κι έν πρόµοιο µέτρο πρµόρφωσης (measure of deformation). Θεωρούµε το Σχήµ -5 το οποίο πριστάνει µί υθίρετη πρµόρφωση ενός στοιχείου του υλικού που δείχνει την κίνηση µετξύ δύο γειτονικών σηµείων. Σε ισορροπί ή στον περσµένο χρόνο t, η πόστση µετξύ δύο σηµείων δίνετι πό το διάνυσµ d, κι µετά την πρµόρφωση ή τον τωρινό χρόνο t, υτό έχει γίνει d. Επιθυµούµε ν συσχετίσουµε d σν συνάρτηση του d. Αυτό δίνετι πό τον τνυστή (τνυστής κλίσης πρµόρφωσης), or i j Μ υτόν τον ορισµό, υποθέτουµε ότι το µπορεί ν εκφρσθεί σν µί συνάρτηση του κι χρόνου t, που µπορεί επίσης ν διφορισθεί (differentiable function), (,t ) Εάν είνι γνωστή, τότε, d µπορεί ν βρεθεί πό την d ως: d.d Σχήµ -5: Πρµόρφωση κυβικού στοιχείου υλικούπεικονίζοντς την κίνηση δύο γειτονικών σηµείων.

10 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - Πρκάτω οι συνιστώσες του δίνοντι σε κρτεσινές, κυλινδρικές κι σφιρικές συντετγµένες. ΠΙΝΑΚΑΣ.: Συνιστώσες του (τνυστής κλίσης πρµόρφωσης) Κρτεσινές συντετγµένες (rectangular coordinates) (, y, z) / zy / y z / z y y/ yy y/ y yz y/ z z z/ zy z/ y zz z/z Κυλινδρικές συντετγµένες (cylindrical coordinates) (r, θ, z) rr r/ r rθ r/r θ rz r/ z θr r θ/ r θθ r θ/r θ θz r θ/ z zr z/ r zθ z/r θ zz z/ z Σφιρικές συντετγµένες (spherical coordinates) (r,θ,φ) rr r/ r rθ r/r θ rφ r/rsinθ φ θr r θ/ r θθ r θ/r θ θφ r θ/rsinθ φ φr rsinθ φ/ r φθ rsinθ φ/r θ φφ rsinθ φ/rsinθ φ

11 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ.: Υπολόγισε τον τνυστή γι µονοξονική επιµήκυνση ή µονξονικό εφελκυσµό (uniaial etension), πλή διάτµηση (simple shear) κι περιστροφή στερεού σώµτος (solid body rotation). Βλ. το Σχήµ -6 γι επεξηγήσεις υτών των κινήσεων. Σχήµ -6: Εν τεµάχιο υλικού υποβάλλετι στ πρκάτω είδη πρµορφώσεων (a) µονοξονική επιµήκυνση/εφελκυσµό (uniaial etension) (b) πλή διάτµηση (simple shear) (c) περιστροφή στερεού σώµτος (solid body rotation) ().Μονοξονική επιµήκυνση/εφελκυσµός (uniaial etension): Οι συνρτήσεις µεττόπισης γι υτή την πρµόρφωση είνι:

12 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - Χρησιµοποιώντς j i Εάν το υλικό είνι συµπίεστο, τότε ο όγκος πρέπει ν είνι στθερός. V V or b) Απλή διάτµηση (simple shear): Σε πλή διάτµηση, επίπεδ του υλικού ολισθίνουν το έν πάνω στο άλλο στην κτεύθυνση ροής. s γ

13 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - γ (c) Περιστροφή στερεού σώµτος (solid body rotation): Σ υτή την περίπτωση δεν έχουµε πρµόρφωση λλά µόνο περιστροφή. cosθ sinθ sinθ cosθ cosθ sinθ sinθ cosθ Ακόµ κι άν οι διστάσεις του τεµχίου του υλικού δεν λλάζουν µήκος, το δεν είνι µηδέν που σηµίνει ότι περιγράφει πρµόρφωση κι περιστροφή. Εάν κάνµε έν πείρµ εφελκυσµού σε µί φντστική συσκευή που περιστρεφότν, η πρµόρφωση δεν θ ήτν διφορετική πρόλη την περιστροφή. Ως εκ τούτου πρέπει ν πλείψουµε την περιστροφή πό το.... ΟΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΟΥ NGER (NGER ENSOR) Η επιλογή του δεν είνι πολύ βολική γι ν µετρήσουµε την πρµόρφωση επειδή περιλµβάνει ή περιγράφει περιστροφή. Γι πράδειγµ εάν είµστε πάνω σε έν περιστρεφόµενο τρπέζι µζί µε έν υλικό, δεν θ περιµένµε τ ποτελέσµτ ν λλάξουν εάν το υλικό υποβλλότν σε κθρή περιστροφή. Αυτή η ρχή λέγετι ρχή νλοίωτου πλισίου ή διφορί (frame invariance or indifference). Ετσι χρειζόµστε έν µέτρο πρµόρφςσης που ν ποκλείει την περιστροφή. Αρχικά θέτουµε το σν έν γινόµενο του V γι πρµόρφωση (stretching) κι R γι περιστροφή (rotation), V. R

14 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 4 Γι ν πλείψουµε την περιστροφή, πολλπλσιάζουµε µε τον νάστροφο τνυστή. Μ υτόν τον τρόπο, πίρνουµε έν συµµετρικό τνυστή οποίος µπορεί ν συσχετισθεί µε τον τνυστή τάσης ο οποίος είνι επίσης ενς συµµετρικός τνυστής. Ο νέος τνυστής λέγετι τνυστής πρµόρφωσης του inger (inger deformation tensor) κι µς δίνει σχετικές τοπικές λλγές στην επιφάνει του υλικού,. or ik jk k i k j Μπορούµε επίσης ν εκφράσουµε την πρµόρφωση σν συνάρτηση της λλγής µήκους. Αυτό γίνετι µε την θεώρηση του τνυστή auchy-green,, που ορίζετι ως:. or ki kj k i j k... ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (SRAN ENSOR) Οτν δεν υπάρχει πρµόρφωση,. Σ υτή την περίπτωση γι ν µηδενίσουµε τ στοιχεί του ότν δεν υπάρχει πρµόρφωση, ορίζουµε τον πεπερσµένο τνυστή πρµόρφωσης (finite strain tensor) ως: E - Οι ντίστροφοι τνυστές του inger κι auchy συχνά χρησιµοποιούντι γι την πργωγή κτσττικών εξισώσεων. Αυτοί ορίζοντι ως: - ( - ). - or - - ki - kj k i k j κι - -. ( - ) or - - ik - jk i k j k

15 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ ΚΥΡΙΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ (PRNPAL SRANS) Μπορούµε πάλι ν ορίσουµε τις τρεις νλοίωτες (invariants) των τνυστών του inger κι auchy γι διφορετικά είδη πρµορφώσεων (µονοξονικό εφελκυσµό, πλή διάτµηση κι περιστροφή στερεού σώµτος). Αυτό µπορεί ν γίνει εύκολ: (a). Μονοξονικός εφελκυσµός (uniaial etension): Εάν το ορίζετι ο λόγοσ των µηκών του πρµορφωµένου κι του ρχικού δείγµτος ντίστοιχ σε µονοξονικό εφελκυσµό, L/L, τότε: - - µε tr [ - tr det ] (b). Απλή διάτµηση (simple shear): γ γ γ γ γ Υπολογίζοντς τις νλοίωτες βλέπουµε ότι: γ

16 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 6 tr γ γ Ετσι οι νλοίωτες των δύο τνυστών είνι οι ίδιες που σηµίνει ότι η µέση λλγή µήκους είνι η ίδι µε την µέση λλγή επιφάνεις. (c.). Περιστροφή στερεού σώµτος (solid body rotation): Τ ποτελέσµτ εδώ είνι: and Επισηµίνετι ότι γι E- όλες οι νλοίςτες είνι µηδέν το οποίο σηµίνει οτι σε κθρή περιστροφή δεν υπάρχει λλγή µηκ ςν ή επιφνειών µέσ στο υλικό. Το Σχήµ -7 δείχνει την δεύτερη νλοίςτη σν συνάρτηση της πρώτης γι διφορετικές πρµορφώσεις. Εινι ένς βολικός τρόπος γι ν δούµε τ διφορετικά είδη πρµορφώσεων ποθ εξρτώντι πό τις τιµές τςν νλοίωτων. 5 ompression Simple shear or planar etension 5 5 ension Σχήµ -7: Η δεύτερη νλοίωτη του τνυστή inger σν συνάρτηση της πρώτης γι διφορετικές πρµορφώσεις σε έν υµπιεστο υλικό.

17 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 7 Η φυσική σηµσί έχει ως κολούθως: - Η τετργωνική ρίζ της πρώτης νλοίωτης διά είνι η µέση λλγή στο µήκος ενός γρµµικού τµήµτος στο σηµείο P, που έχει υπολογισθεί προς όλες τις πιθνές κτευθύνσεις - Η τετργωνική ρίζ της δεύτερης νλοίωτης είνι η µέση λλγή επιφάνεις πάνω σε όλ τ επίπεδ δι µέσου του σηµείου P. - Η τρίτη νλοίωτη είνι η λλγή του όγκου ενός στοιχείου..4. ΝΕΟΧΟΥΚΙΑΝΟ ΣΤΕΡΕΟ (NEO-HOOKEAN SOLD) ΚΑΙ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ (GENERAL ELAS SOLD) Το ΝεοΧουκινό στερεό ορίζετι ως: τ G or - p G ή - p G E, p when at rest Αυτή η κτσττική εξίσωση δίνει µί δρµτική βελτίωση στις προβλέψεις του νόµου του Hooke, όπως είδµε προηγουµένως. Μί άλλη πιο γενική έκφρση γι την συµπεριφορά ενός στερεού είνι: f f f f... όπου. Το θεώρηµ ayley-amilton δηλώνει ότι όλοι οι τνυστές ικνοποιούν την χρκτηριστική τους εξίσωση που είνι: - - Ετσι το µπορεί εύκολ ν εκφρσθεί σν συνάρτηση του,, κι. Υψηλότερες δυνάµεις µπορούν επίσης ν εκφρσθούν χρησιµοποιώντς υτό το θεώρηµ. Μί χρήσιµη εξίσωση που

18 ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ - Κ - 8 προκύπτει πό υτό το θεώρηµ είνι η εξίσωση Mooney-Rivlin ως, - p g g - όπου g κι g µπορεί ν είνι συνρτήσεις της πρώτης κι δεύτερης νλόιωτης του. Το Σχήµ -8, δείχνει την βελτίωση του ΝεοΧουκινού µοντέλου (Neo-Hookean) στην πρόβλεψη πειρµτικών δεδοµένων ενός δείγµτος σιλικόνης σε περιράµτ εφελκυσµού κι συµπίεσης. Σχήµ -8: Αποτελέσµτ πειρµάτων εφελκυσµού κι συµπίεσης ενός δείγµτος σιλικόνης κι η πρόβλεψή τους πό το ΝεοΧουκινό µοντέλο (from Macosco, 994)