Η ιαστολή του Χρόνου και Ταξίδια στο ιάστηµα

Transcript

1 Η ιασολή ου Χρόνου και Ταξίδια σο ιάσηµα Πόσο διαρκεί ένα αξίδι σο διάσηµα αν ληφθεί υπόψη η διασολή ου χρόνου; Για να απανήσουµε σο ερώηµα αυό πρέπει να ορίσουµε µε σαφήνεια ις συνθήκες ου αξιδιού Ας υποθέσουµε όι ένα διασηµόπλοιο ξεκινά από η Γη µε µηδενική αρχική αχύηα η χρονική σιγµή και κινείαι καά µήκος ου άξονα ων x µε µια σαθερή επιάχυνση όπως ην αισθάνοναι οι επιβάες ου διασηµοπλοίου Η ιµή ης επιάχυνσης µπορεί να επιλεγεί έοια ώσε οι επιβάες ου διασηµοπλοίου να υφίσαναι εχνηή βαρύηα ίση ή παραπλήσια µε αυήν ης Γης Θα υπολογίσουµε ην απόσαση ου διασηµοπλοίου από η Γη, x( ), συναρήσει ου χρόνου όπως ον µερά κάποιος ση Γη, και ον ανίσοιχο χρόνο που έχει περάσει για ους επιβάες ου διασηµοπλοίου Έσω όι σο σύσηµα S ης Γης, ο οποίο θεωρούµε αδρανειακό, η χρονική σιγµή, ο διασηµόπλοιο βρίσκεαι σε απόσαση x( ) από η Γη και κινείαι µε αχύηα ( ) (βλ Σχήµα, διακεκοµµένη γραµµή) Τη χρονική σιγµή, θεωρούµε ένα αδρανειακό σύσηµα S που κινείαι µε σαθερή αχύηα ( ) ως προς ο σύσηµα S, και µέσα σο οποίο ο διασηµόπλοιο είναι σιγµιαία ακίνηο Η φράση «ο διασηµόπλοιο κινείαι µε σαθερή επιάχυνση όπως ην αισθάνοναι οι επιβάες ου διασηµοπλοίου» σηµαίνει όι η επιάχυνση ου διασηµοπλοίου σο σύσηµα S είναι ίση µε Εποµένως, αν περάσει χρόνος σο σύσηµα S, και εποµένως και για ο διασηµόπλοιο, αυό θα αποκήσει αχύηα σο σύσηµα S Ο ανίσοιχος χρόνος που πέρασε για ο σύσηµα S ης Γης είναι (λαµβάνονας υπόψη η διασολή ου χρόνου) γ, όπου γ και η νέα αχύηα ου διασηµοπλοίου σο σύσηµα S ης Γης είναι (χρησιµοποιώνας ον µεασχηµαισµό ων αχυήων) ( ) + ( ) + γ ( + ) ( ) ( ) + + γ Από η σχέση αυή βρίσκουµε όι Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

2 Σο όριο, καθώς, αυή η σχέση δίνει: ( ) ( + ) ( ) γ γ ( ) + γ 3 d 3 d γ γ 3 δηλαδή όι η επιάχυνση ου διασηµοπλοίου σο σύσηµα S ης Γης είναι γ φορές µικρόερη από αυήν που νιώθουν οι επιβάες ου διασηµοπλοίου Η σχέση αυή µπορεί να ολοκληρωθεί ως προς για να µας δώσει ην αχύηα ( ) Έσι, ( ) d ( ) d 3 Κάνουµε ην αλλαγή µεαβληής sin θ, d osθ dθ, οπόε και ( ) osθ dθ ( sin θ) 3 d ή, ( ) d θ d os θ Με η βοήθεια πινάκων ολοκληρωµάων (ή καλής µνήµης!) [ anθ] ( ) ή Αυή η εξίσωση µπορεί να λυθεί για να δώσει ην ( ) : ( ) sinθ osθ και ελικά,, + + Αυή είναι η αχύηα ου διασηµοπλοίου όπως αυή παραηρείαι σο σύσηµα S ης Γης Παραηρούµε όι η αχύηα πλησιάζει ασυµπωικά ην καθώς Μπορούµε να λύσουµε ως προς και να βρούµε η χρονική σιγµή, όπως η µερά κάποιος σο σύσηµα ης Γης, καά ην οποία ο διασηµόπλοιο θα κινείαι µε αχύηα : γ Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

3 Σύµφωνα µε ην Κλασική Μηχανική, ένα σώµα που κινείαι µε σαθερή επιάχυνση, θα αποκήσει αχύηα ίση µε ην αχύηα ου φωός σο κενό,, σε χρόνο Για 9, ms, ίση µε η µέση επιάχυνση ης βαρύηας σην επιφάνεια ης Γης, η σαθερά έχει ην ιµή δηλαδή σχεδόν ένα έος 3 ms 3, s,9 y, 9, ms Η ανηγµένη αχύηα ου διασηµοπλοίου ως προς η Γη, β, είναι β + + η οποία για µεγάλες ιµές ου (δηλαδή για ), δίνεαι προσεγγισικά από η σχέση: β Ο ανίσοιχος παράγονας Lorenz, γ, είναι: γ + + ο οποίος για µεγάλες ιµές ου (δηλαδή για ), δίνεαι προσεγγισικά από η σχέση: γ Ποια είναι η απόσαση ου διασηµοπλοίου από η Γη µεά ην παρέλευση χρόνου σο σύσηµα ης Γης; Από η σχέση dx d έχουµε Ολοκληρώνονας, έχουµε και ελικά d dx + x( ) d dx ή + d + x( ) + x( ) + Η κίνηση αυή ονοµάζεαι υπερβολική κίνηση Για µεγάλες ιµές ου (δηλαδή για ), είναι ( ) x( ) Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

4 Θα βρούµε ώρα ον χρόνο που περνά σο σύσηµα ου διασηµοπλοίου,, συναρήσει ου χρόνου που περνά σο σύσηµα ης Γης Η σχέση ανάµεσα σε ένα απειροσό χρονικό διάσηµα ση Γη, d, και ο ανίσοιχο χρονικό διάσηµα σο διασηµόπλοιο, d, είναι: d γ d Εποµένως, όαν ση Γη περνά συνολικός χρόνος, ο ανίσοιχος συνολικός χρόνος σο διασηµόπλοιο είναι: και ελικά d d d + + +, ( ) d ln ln + + Για µεγάλες ιµές ου (δηλαδή για ), είναι ln Μπορούµε να λύσουµε ως προς, ον χρόνο που µεριέαι ση Γη, συναρήσει ου χρόνου σο διασηµόπλοιο, : e e sinh e Για µεγάλες ιµές ου (δηλαδή για ), είναι Αν ανικαασήσουµε για ο συναρήσει ου σο x( ) βρίσκουµε ην απόσαση x( ) συναρήσει ου : x( ) osh ο οποίο για µεγάλες ιµές ου δίνει: x( ) e d Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

5 Σον πίνακα που ακολουθεί δίνοναι µερικές χαρακηρισικές ιµές αυών ων µεγεθών για 9, ms, σο οποίο ανισοιχεί η παράµερος, 9 y (y) (y) β γ x (ly) Ανικείµενο,9,,44,4 5,3,3,93 5,5 4,4 Εγγύαος ου Κεναύρου 9,5,9,994 9,, Σείριος (Ελ!),94,995 33,4 9, 5,, ,4, ,, , ιάµερος ου Γαλαξία µας 4,4,5 5 3,5 4,4 9,4 9, 4 3,4,3 3,3, 9,3 5,,54 y έος, 9,35 9,,5 Γαλαξίας ης Ανδροµέδας 9,3 Γαλαξίας Abell 35 IR9 9,3 ιάµερος ου οραού σύµπανος ly έος φωός Ο εγγύαος ου Κεναύρου είναι ο πλησιέσερο σε εµάς άσρο Ο γαλαξίας ης Ανδροµέδας (Μ3) είναι ο πλησιέσερος σε εµάς γαλαξίας Ο γαλαξίας Abell 35 IR9 είναι ο πιο µακρινό ανικείµενο, η απόσαση ου οποίου έχει µερηθεί Σχόλια Οι χρόνοι που υπολογίσηκαν πιο πάνω δεν προβλέπουν σάση ου διασηµοπλοίου σους διάφορους προορισµούς Αν ο διασηµόπλοιο θα σαµαήσει σε κάποιο προορισµό, η καλύερη µέθοδος θα ήαν ση µέση ου αξιδιού να εφαρµόσει επιβράδυνση για ο υπόλοιπο ου αξιδιού Σε αυή ην περίπωση ο χρόνος για ολόκληρο ο αξίδι µέχρι απόσαση x, θα είναι ίσος µε φορές ον χρόνο που απαιείαι για να καλυφθεί η µισή απόσαση ου ελικού προορισµού: x( x+ 4 ) Τα αριθµηικά αποελέσµαα φαίνοναι να εισηγούναι όι α µεγάλα αξίδια σο διάσηµα γίνοναι δυναά χάρη ση διασολή ου χρόνου που προβλέπεαι από η Σχεικόηα Τα πράγµαα είναι όµως πολύ διαφορεικά αν εξεασούν µερικές πολύ σηµανικές δυσκολίες που υπάρχουν: Μολονόι κινούµενοι µε αχύηες κονά σην αχύηα ου φωός σο κενό κάνουµε α αξίδια σύνοµα για ους αξιδιώες, ο χρόνος περνά µε πολύ πιο γρήγορο ρυθµό ση Γη Η επισροφή ση Γη θα ήαν µάλλον άσκοπη Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

6 Η ενέργεια που απαιείαι για να επιαχυνθεί ένα διασηµόπλοιο σε έοιες αχύηες είναι εράσια Από η Σχεικισική υναµική είναι γνωσό πως όαν ένα σώµα µε µάζα ηρεµίας m επιαχυνθεί σε αχύηα που ανισοιχεί σε παράγονα Lorenz γ, συµπεριφέρεαι σαν να έχει µάζα ίση µε m γ m, η ολική ου ενέργεια είναι E γ m και η κινηική ου ενέργεια είναι K γ Ένα ανικείµενο µάζας ηρεµίας k κινούµενο µε γ, θα έχει ( ) m 9 µάζα ίση µε ένα όνο και κινηική ενέργεια K 9 J Για να παραχθεί όση ενέργεια θα πρέπει να υποσεί σχάση και να µεαραπεί πλήρως σε ενέργεια µια µάζα ίση µε 999 φορές ο k Οι πυρηνικοί ανιδρασήρες έχουν µια απόδοση περίπου 3 % και δεν θα µπορούσαν να παράσχουν παρά µόνο ένα πολύ µικρό κλάσµα ης ενέργειας που θα απαιείο για να επιαχύνουν ακόµη και ο ίδιο ο σχάσιµο υλικό που θα µεέφεραν 3 Η ακινοβόληση ων επιβαών και ων συσκευών από ις κοσµικές ακινοβολίες θα είναι σοβαρόαο πρόβληµα Σο διάσηµα υπάρχει η κοσµική ακινοβολία η οποία δηµιουργεί σοβαρά προβλήµαα ακόµη και σε µικρά αξίδια µέσα σο ηλιακό µας σύσηµα Η κοσµική ακινοβολία αποελείαι κυρίως από πρωόνια, µε µια πυκνόηα περίπου πρωόνιο ανά κυβικό µέρο, και α οποία κινούναι ήδη µε αχύηες που πλησιάζουν ην αχύηα ου φωός σο κενό Το όι ο αξίδι θα διαρκέσει λίγο δεν είναι πλεονέκηµα Ένα σώµα µε µια διαοµή m εγκάρσια σην καεύθυνση κίνησής ου, κινούµενο καά µια απόσαση ίση µε 5 ένα έος φωός ( 9, 5 m ) θα «σαρώσει» έναν όγκο ίσο µε βοµβαρδισεί µε 5 3 9,5 m και θα εποµένως πρωόνια Αν η αχύηα ου διασηµοπλοίου ανισοιχεί σε γ α πρωόνια που θα βοµβαρδίζουν ο διασηµόπλοιο θα έχουν ενέργειες ης άξης ων E γ mp 93 Me Te Αυή είναι µόλις ης ενέργειας σην οποία επιαχύνοναι α πρωόνια σον επιαχυνή LHC που καασκευάσηκε σο CERN 4 Ένα άλλο σοβαρό πρόβληµα θα οφείλεαι σην σκόνη που υπάρχει σο διάσηµα Μικροί κόκκοι ύλης αιωρούναι σο διάσηµα, αποµεινάρια ασρικών και άλλων εκρήξεων Αν ο διασηµόπλοιο, κινούµενο µε γ, συγκρουσεί µε ένα κόκκο σκόνης µάζας ηρεµίας m µ, θα «αισθανθεί» όι συγκρούεαι µε µια µάζα ίση µε m γ m µ m που κινείαι µε αχύηα, και έχει κινηική ενέργεια ίση µε K γ Αυή είναι πολύ µεγάλη ενέργεια και ανισοιχεί σην κινηική ( ) m 9 J ενέργεια ενός πλοίου µάζας όνων που κινείαι µε αχύηα σχεδόν 5 kmh Προφανώς ο κόκκος ης σκόνης θα διαπεράσει ο διασηµόπλοιο, προκαλώνας σοβαρές ζηµιές Από αυά φαίνεαι όι α αξίδια σο διάσηµα παρουσιάζουν σηµανικές εχνικές δυσκολίες Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας

7 Κίνηση διασηµοπλοίου µε σαθερή επιάχυνση, όπως αυή γίνεαι αισθηή σους επιβάες ου Μεγέθη σο σύσηµα ης Γης, S:, x,, β, γ Μεγέθη σο σύσηµα ου διασηµοπλοίου, S : Μέγεθος Εξίσωση Προσέγγιση για Επιάχυνση ου διασηµοπλοίου ως προς η Γη, συναρήσει ου χρόνου σο σύσηµα αναφοράς ης Γης, Ταχύηα ου διασηµοπλοίου ως προς η Γη, συναρήσει ου χρόνου σο σύσηµα αναφοράς ης Γης, Χρονική σιγµή,, σο σύσηµα ης Γης, καά ην οποία ο διασηµόπλοιο κινείαι µε αχύηα d d + + γ βγ Ανηγµένη αχύηα ου διασηµοπλοίου συναρήσει ου χρόνου, ως προς η Γη β + 3 d 3 d β Χρονική σιγµή,, σο σύσηµα ης Γης, καά ην οποία ο διασηµόπλοιο κινείαι µε ανηγµένη αχύηα β β Παράγονας Lorenz ου διασηµοπλοίου συναρήσει ου χρόνου, ως προς η Γη Χρονική σιγµή,, σο σύσηµα ης Γης, καά ην οποία ο διασηµόπλοιο κινείαι µε παράγονα Lorenz ίσο µε γ Απόσαση ου διασηµοπλοίου από η Γη, συναρήσει ου χρόνου Χρονική σιγµή,, σο σύσηµα ης Γης, καά ην οποία ο διασηµόπλοιο απέχει από η Γη απόσαση x Χρόνος που πέρασε για ους επιβάες ου διασηµοπλοίου συναρήσει ου χρόνου που πέρασε ση Γη, Χρόνος που πέρασε ση Γη, όαν για ους επιβάες ου διασηµοπλοίου έχει περάσει χρόνος Απόσαση ου διασηµοπλοίου από η Γη, σο σύσηµα ης Γης, συναρήσει ου χρόνου που πέρασε σο σύσηµα ου διασηµοπλοίου γ + γ x( ) + x( x+ ) ln + + sinh x( ) osh γ x( ) γ x ln e x( ) e Κ Χρισοδουλίδης: Ειδική Θεωρία ης Σχεικόηας