V A (r) = 1 ρ(r r r. r 2 r 2 ) 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "V A (r) = 1 ρ(r r r. r 2 r 2 ) 2"

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ανάπτυξη σε πολύπολα Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου από το δυναμικό διπόλου Δυναμικό από πολωμένη ύλη Πυκνωτής με διηλεκτρικό Ο νόμος του Gauss σε διηλεκτρικό Συνέχειες και ασυνέχειες του πεδίου στην διαχωριστική επιϕάνεια διηλεκτρικών Συσχέτιση μικροσκοπικών και μακροσκοπικών μεγεθών 1

2 Ανάπτυξη σε πολύπολα Κατανομή ϕορτίου ρ, στην περιοχή της αρχής των αξόνων O εκτείνεται σε όγκο V. Το δυναμικό στο σημείο A(r) δίνεται από την (βλ. Σχ.(1) ) V A (r) = 1 ρ(r V )dv r r όπου dv ο στοιχειώδης όγκος. Για r πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της κατανομή, δηλαδή για r /r << 1, αναπτύσσουμε σε δυνάμεις του r /r r r 1 = [ (r r ) 2] 1/2 [ = r 2 2r r + r 2] 1/2 1 = r [ = 1 ( 1 1 ) ( 2r r + 1 ) r 2 r 2 r 2 2 r + 3 ( 2 8 = 1 r + r r + 1 ( r 2 r 3 2 r + 3(r ) r ) = 3 r 5 = 1 ˆr r ( r 2 r r 2 2 r + 3(ˆr ) r ) r 3 [ 1 2r r 2r r r 2 ] 1/2 + r 2 = r 2 r 2 ) ] όπου ˆr το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση r και χρησιμοποιήσαμε το ανάπτυγμα Στην περίπτωσή μας, (1 + ϵ) a = ! aϵ + 1 2! a(a 1)ϵ ϵ = 2r r + r 2 και a = 1/2 r 2 r 2 και αγνοήσαμε όρους (r /r) ν με ν > 2. Το δυναμικό λοιπόν γράϕεται V A (r) = 1 ρ(r V ) dv + 1 ˆr r r 4πϵ 0 V r 2 ρ(r ) dv (ˆr r ) 2 r 2 ρ(r ) dv V 2 r 3 Ας δούμε κάθε όρο ξεχωριστά. Στο πρώτο όρο, το r στον παρονομαστή μπορεί να βγει εκτός του ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα που μένει δεν είναι τίποτα άλλο από το συνολικό ϕορτίο Q της κατανομής. Οπότε, ο πρώτος όρος γράϕεται 1 ρ(r V ) dv = 1 1 ρ(r ) dv = 1 Q r 4πϵ 0 r V 4πϵ 0 r = Σχήμα 1: Κατανομή ϕορτίου ρ στην περιοχή της αρχής των αξόνων και σημείο A πολύ μακρυά σε σχέση με τις διαστάσεις της κατανομής 2

3 Ο δεύτερος όρος, βγάζοντας και πάλι το r 2 του παρονομαστή εκτός του ολοκληρώματος, και γράϕοντας ˆr = (ˆr x, ˆr y, ˆr z ) και r = (x, y, z ), γίνεται 1 1 ˆr r ρ(r ) dv = 1 1 [ˆr r 2 V 4πϵ 0 r 2 x x + ˆr y y + ˆr z z] ρ(r ) dv = V = 1 ] 1 [ˆr r 2 x x ρ(r ) dv + ˆr y y ρ(r ) dv + ˆr z z ρ(r ) dv = V V V = 1 1 r [ˆr xp 2 x + ˆr y p y + ˆr z p z ] = 1 1 r 2ˆr p όπου ορίζουμε ( ) p = (p x, p y, p z ) = x ρ(r ) dv, y ρ(r ) dv, z ρ(r ) dv = r ρ(r ) dv V V V V Το p εξαρτάται μόνο από την κατανομή και ονομάζεται διπολική ροπή της κατανομής ρ. Ας δούμε και τον τρίτο όρο από το V A. Ο αριθμητής του κλάσματος γράϕεται 3 (ˆr r ) 2 r 2 = i,j 3(ˆr i r i)(ˆr j r j) r 2ˆr 2 = i,j 3ˆr iˆr j r ir j i r 2ˆr iˆr i = i,j 3ˆr iˆr j r ir j i,j r 2ˆr iˆr j δ ij = i,j ˆr iˆr j ( 3r i r j r 2 δ ij ) = όπου i και j παίρνουν τις τιμές x, y, z, χρησιμοποιήσαμε ότι ˆr 2 = 1 και το σύμβολο δ ij (δέλτα του Kronecker) ορίζεται { 1, i = j δ ij = 0, i j Ο τρίτος όρος λοιπόν γράϕεται ( ) ˆr iˆr r 3 j 3r 2 i r j r 2 δ ij ρ(r ) dv = ˆr iˆr ij V 4πϵ 0 r 3 j Q ij 2 ij όπου ορίζουμε ( Q ij = 3r i r j r 2) ρ(r ) dv V εξαρτάται και πάλι μόνο από την κατανομή και ονομάζεται τετραπολική ροπή της κατανομής. Ξαναγράϕουμε λοιπόν το δυναμικό V A (r) = 1 Q r (ˆr p) + r2 r 3 2 ˆr iˆr j Q ij Στην περίπτωση που το ολικό ϕορτίο Q είναι μηδέν, ο σημαντικός όρος είναι ο δεύτερος V A (r) = 1 1 (ˆr p) r2 Στο σημείο αυτό ας δούμε ότι στην περίπτωση που Q = 0, η διπολική ροπή p είναι ανεξάρτητη από την αρχή των αξόνων που επιλέγουμε. Αν θεωρήσουμε ως νέα αρχή των αξόνων το O 1 με R το διάνυσμα OO 1, θα ισχύει βέβαια r = R + r 1 (βλ. Σχ.(2) ). Οπότε p = r ρ(r ) dv = V r dq = V (r 1 + R) dq = V r 1dq + R V dq = V r 1dq = p 1 V 3 i j

4 Σχήμα 2: Αλλαγή της αρχής των αξόνων στον υπολογισμό της διπολικής ροπής Στην περίπτωση που εκτός του συνολικού ϕορτίου Q και η διπολική ροπή της κατανομής είναι μηδέν, τότε ο σημαντικός όρος στο δυναμικό είναι αυτός της τετραπολικής ροπής. Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου από το δυναμικό διπόλου Από τη σχέση που συνδέει το πεδίο με το δυναμικό θα έχουμε ( ) ( ) ( ) 1 ˆr p 1 r p 1 xp x + yp y + zp z E = V = = = r 2 r 3 r 3 Ας δούμε κάθε όρο ξεχωριστά Οπότε Ομοια και τελικά xp x x r 3 yp y x r 3 zp z x r 3 xp x + yp y + zp z = x r 3 Το πεδίο λοιπόν γράϕεται = xp x x (x 2 + y 2 + z 2 ) = p x 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3p x x 2 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = yp y x (x 2 + y 2 + z 2 ) = 3p y yx 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = zp z x (x 2 + y 2 + z 2 ) = 3p z zx 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 p x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3(p xx + p y y + p z z)x 3/2 xp x + yp y + zp z y r 3 xp x + yp y + zp z z r 3 ( ) xpx + yp y + zp z r 3 E = 1 = p x 3(p r)x (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 r3 r 5 = p y 3(p r)y r3 r 5 = p z 3(p r)z r3 r 5 = p 3(p r)r r3 r 5 ( 3(p r)r p ) r 5 r 3 Στο Σχ.(3) σχεδιάζουμε τις δυναμικές γραμμές διπολικής ροπής, θεωρώντας ότι p = (0, 0, p). Περιμένουμε συμμετρία σε στροϕή γύρω από τον άξονα z. Οπότε, σχεδιάζουμε τις δυναμικές γραμμές στο επίπεδο (x, z) Για το σημείο B( r B, 0, 0) θα έχουμε r B p = 0 και το πεδίο γίνεται E B = 1 4 p r 3 B

5 Σχήμα 3: Δυναμικές γραμμές διπολικής ροπής p Για το σημείο Γ(0, 0, r Γ ), θα έχουμε r Γ p = r Γ p και επειδή τα r και p έχουν κοινό μοναδιαίο διάνυσμα στην περίπτωσή μας 3(p r)r r 5 = 3(r Γpr Γ ) r 5 Γ = 3(pˆr Γ) r 3 Γ = 3p r 3 Γ Και το ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Γ γίνεται E Γ = 1 2 p rγ 3 Μπορούμε να προσεγγίσουμε την έννοια του διπόλου με την απλούστερη κατασκευή που έχει διπολική ροπή: δύο ϕορτία q και q σε απόσταση l μεταξύ τους (βλ. Σχ.(4α) ). Εϕαρμόζοντας τον ορισμό της διπολικής ροπής για το ζευγάρι των ϕορτίων, το ολοκήρωμα γίνεται απλό άθροισμα στα δύο ϕορτία p = r ρ(r ) dv = r dq = r iq i = qr + + ( q)r = q (r + r ) = ql V V i=1,2 Δυναμική ενέργεια συστήματος ϕορτίων q και q σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E ext W = qv ext (r )+qv ext (r + ) = q ( V ext (r ) + V ext (r + l)) = q V ext = q ( E ext l) = E ext p (α) (β) Σχήμα 4: Σύστημα δύο ϕορτίων q και q 5

6 Σχήμα 5: Κύλινδρος υλικού με πόλωση P Η δυναμική ενέργεια γίνεται ελάχιστη όταν το πεδίο και η ηλεκτρική διπολική ροπή είναι παράλληλα και ομόρροπα. Μηχανική ροπή σε δίπολο από ομογενές εξωτερικό πεδίο Θεωρώντας ένα σύστημα δύο ϕορτίων q και q, συνδεδεμένα με μηχνικό τρόπο, που βρίσκονται σε ομεγενές ηλεκτρικό πεδίο E ext, στα δύο ϕορτία ακούνται οι δυνάμεις F 1 = F 2 = qe ext. Η συνολική δύναμη στο σύστημα είναι μηδέν αλλά η ροπή είναι (βλ. Σχ.(4β) ) N = r 1 F 1 + r 2 F 2 = r 1 F 1 r 2 F 1 = (r 1 r 2 ) F 1 = l F 1 = l qe ext = p E ext Στην περίπτωση που έχουμε μη ομεογενές ηλεκτρικό πεδίο, αποδεικνύεται ότι η συνολική δύναμη στο σύστημα των δύο ϕορτίων δίνεται από τις σχέσεις F x = p E x, F y = p E y, F z = p E z Δυναμικό από πολωμένη ύλη Θεωρούμε πολωμένη ύλη σε σχήμα κυλίνδρου με εμβαδόν βάσης A, όπου η πόλωση P είναι παράλληλη με τον άξονα του κυλίνδρου. Ο άξονας των z ταυτίζετται με τον άξονα του κυλίνδρου ενώ οι δύο βάσεις του κυλίνδρου βρίσκονται στα σημεία z = z 1 και z = z 2 (βλ. Σχ.(5) ). Στον απειροστού ύψους dz κύλινδρο αντιστοιχεί διπολική ροπή dp = P(Adz). Αυτή η απειροστή διπολική ροπή δημιουργεί στο σημεία A δυναμικό dv A = 1 ˆr dp = 1 dp cos θ = 1 P A cos θdz r 2 r 2 r 2 Προσπαθώντας να γράψουμε την παραπάνω σχέση ως συνάρτηση μόνο της γωνίας θ, παρατηρούμε ότι l = tan(π θ) = tan θ ldz z z A (z z A ) = dθ 2 cos 2 θ dz = (z z A) 2 l cos 2 θ dθ z z A = cos(π θ) = cos θ r 2 = (z z A) 2 r cos 2 θ Το δυναμικό στο A γίνεται 6

7 Σχήμα 6: Αντιστοιχεία πολωμένου υλικού και επιϕανειακής πυκνότητας ϕορτίου σ = ±P στις δύο βάσεις του υλικού V A = 1 θ2 P A cos θ (z z A) 2 θ 1 l cos 2 θ dθ cos2 θ (z z A ) = P A 1 2 l = P A 1 l (sin θ 2 sin θ 1 ) = P A ( 1 r 2 1 r 1 ) = 1 θ2 cos θdθ = θ ( 1 ) Q r 2 Q r 1 με Q = P A 1. Το δυναμικό είναι το ίδιο που δημιουργούν δύο ϕορτία ±Q στην θέση των δύο βάσεων του κυλινδρικού υλικού μας με επιϕανειακή πυκνότητα σ = Q/A = P A/A = P. Αν έχουμε ένα μεγάλου μεγέθους υλικό, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι απαρτίζεται από πολλούς κυλίνδρους, οπότε το αποτέλεσμα είναι πάλι το ίδιο: το δυναμικό που δημιουργεί αυτό το υλικό είναι το ίδιο με αυτό δύο επιϕανειακών πυκνοτήτων ϕορτίου σ = ±P στις δύο βάσεις του υλικού (βλ. Σχ.(6) ). Στην περίπτωση που η πόλωση P δεν είναι κάθετη στην εξωτερική επιϕάνεια του υλικού, η αντίστοιχη επιϕανειακή πυκνότητα δίνεται από τη σχέση σ = P όπου P η κάθετη στην επιϕάνεια συνιστώσα της πόλωσης. Πυκνωτής με διηλεκτρικό Πυκνωτής με ορθογώνιους οπλισμούς εμβαδού A και απόσταση μεταξύ των οπλισμών l έχει ϕορτίο Q. Η επιϕανειακή πυκνότητα ϕορτίου σε κάθε οπλισμό θα είνα σ = ±Q/A. Το ηλεκτρικό πεδίο E 0 και η διαϕορά δυαμικού V 0 ανάμεσα από τους οπλισμούς καθώς και η χωρητικότητα C 0 δίνονται από τις σχέσεις E 0 = σ = QA, V = E 0 l = QA l, C 0 = Q ϵ 0 ϵ 0 ϵ 0 V = ϵ A 0 l Γεμίζουμε τον χώρο ανάμεσα στους οπλισμούς με διηλεκτρικό. Τα μόρια του υλικού πολώνονται από το πεδίο του πυκνωτή. Η πόλωση P θα είναι παράλληλη με το ηλεκτρικό πεδίο. Στις επι- ϕάνειες του διηλεκτρικού θα εμϕανιστούν οι επιϕανειακές πυκνότητες δέσμιου ϕορτίο σ b = ±P. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε το διηλεκτρικό με τις δυο στρώσεις των δεσμίων ϕορτίων που δημιουργούν ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο E = σ b /ϵ 0 = P/ϵ 0 και ϕορά αντίθετη της P: E = P/ϵ 0. Επομένως, το συνολικό πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς θα είναι E = E 0 + E = E 0 P ϵ 0 1 Οι διαστάσεις της διπολικής ροπής p είναι ϕορτίο μήκος και της πόλωσης P είναι ϕορτίο/επιϕάνεια. Επομένως, πράγματι, πόλωση επιϕάνεια έχει διαστάσεις ϕπρτίου και η πόλωση έχει ίδιες διαστάσεις με την επιϕανειακή πυκνότητα ϕορτίου σ 7

8 Σχήμα 7: Πυκνωτής κενός και με διηλεκτρικό Ορίζουμε διηλεκτρική επιδεκτικότητα χ: P = χe σχετική διηλεκτρική επιδεκτικότητα χ r : χ r = χ ϵ 0 σχετική διηλεκτρική σταθερά ϵ r : ϵ r = 1 + χ ϵ 0 = 1 + χ r Οπότε, η σχέση με τα πεδία γράϕεται E = E 0 P ϵ 0 E = E 0 χe ϵ 0 διηλεκτρική σταθερά ϵ: ϵ = ϵ r ϵ 0 ) E (1 + χϵ0 = E 0 Eϵ r = E 0 E = 1 E 0 ϵ r Δηλαδή, το πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς του πυκνωτή με την παρουσία διηλεκτρικού είναι το πεδίο του πυκνωτή χωρίς διηλεκτρικό επί τον παράγοντα 1/ϵ r. Αυτή η σχέση είναι πολύ γενική και ισχύει σε κάθε περίπτωση: αν έχουμε διάϕορους αγωγούς στον κενό χώρο και το πεδίο (στον κενό χώρο) είναι E 0, αν γεμίσουμε τον κενό χώρο με διηλεκτρικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ϵ r, το πεδίο στο διηλεκτρικό είναι E 0 /ϵ r. Ας δούμε τώρα πώς αλλάζει η χωρητικότητα του πυκνωτή όταν έχει διηλεκτρικό. Η χωρητικότητα του κενού πυκνωτή δίνεται από τη σχέση C 0 = Q V 0 = Q E 0 l όπου Q το ϕορτίο του πυκνωτή και V 0 η διαϕορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του. Οταν βάλουμε διηλεκτρικό, έχοντας αποσυνδέσει τον πυκνωτή από την πηγή που τον ϕόρτισε, το ϕορτίο Q δεν αλλάζει. Λόγω της αλλαγής όμως του πεδίου (ουσιαστικά μείωση), μεταβάλλεται η διαϕορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του και επομένως η χωρητικότητά του C = Q V = Q El = ϵ Q r E 0 l = ϵ rc 0 λόγω της σχέσης E = E 0 /ϵ r. Προσέξτε ότι ϵ r > 1. Οπότε, η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξάνει με την εισαγωγή του διηλεκτρικού. Ο νόμος του Gauss σε διηλεκτρικό Σημειακό ϕορτίο Q μέσα σε διηλεκτρικό δημιουργεί ακτινικό πεδίο που, από ό,τι αναϕέρθηκε πιο πάνω, θα έχει τιμή E = 1 ( ) 1 Q ϵ r r 2 Επομένως, ακολουθώντας την ίδια τακτική όπως στην περίπτωση ϕορτίου σε κενό, η ροή από μια κλειστή επιϕάνεια που περιβάλλει το ϕορτίο θα είναι Φ = E da = 1 ϵ r Q ϵ 0 = Q ϵ 8

9 Αυτό ξαναγράϕεται ως ϵe da = Q D da = Q free όπου ορίσαμε την διηλεκτρική μετατόπιση D = ϵe και γράϕουμε Q free για να ξεχωρίσουμε τα ελεύθερα ϕορτία από τα δέσμια. Η αντίστοιχη διαϕορική μορϕή του νόμου, E = ρ/ϵ 0, τώρα γράϕεται D = ρ free Αν εϕαρμόσουμε το νόμο του Gauss βλέποντας και τα δέσμια ϕορτία Q b ως απλά ϕορτία, θα γράϕαμε (βλ. Σχ.8) ) E da = 1 (Q free + Q b ) ϵ 0 Χρησιμοποιώντας την σχέση που δίνει τα Q free ξαναγράϕουμε E da = 1 ( ) ϵe da + Q b (ϵ 0 ϵ) E da = Q b ϵ 0 Ο παράγοντας στην παρένθεση γράϕεται μιας και ϵ r = χ r + 1. Επομένως (ϵ 0 ϵ) E da = Q b με αντίστοιχη διαϕορική μορϕή ϵ 0 ϵ = ϵ 0 (1 ϵ r ) = ϵ 0 χ r = χ χe da = Q b P = ρ b P da = Q b Συνέχειες και ασυνέχειες του πεδίου στην διαχωριστική επιϕάνεια διηλεκτρικών Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε δύο διηλεκτρικά, με ϵ 1,2 οι διηλεκτρικές σταθερές τους, που διαχωρίζονται από μια επιϕάνεια (βλ. Σχ.(9) ). Τα αντίστοιχα ηλεκτρικά πεδία και οι διηλεκτρικές μετατοπίσεις είναι E 1,2 και D 1,2. Ας θεωρήσουμε μια κλειστή καμπύλη C σε μορϕή ορθογώνιου με τις μεγάλες πλευρές (μήκους l) παράλληλες με την διαχωριστική επιϕάνεια και τις άλλες πολύ μικρές. Μιας και το πεδίο μας είναι διατηρητικό, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην C θα πρέπει να μηδενίζεται E dl = 0 E 2 l E 1 l = 0 E 2 = E 1 C Σχήμα 8: Φορτίο Q σε διηλεκτρικό 9

10 όπου E 1,2 είναι οι συνιστώσες των αντιστοίχων πεδίων που είναι παράλληλες με την διαχωριστική επιϕάνεια, άρα παράλληλες και με τις μεγάλες πλευρές του ορθογωνίου. Οι κάθετες πλευρές είναι πολύ μικρές και δεν συνεισϕέρουν. Επομένως, κοντά στην διαχωριστική επιϕάνεια, η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου η παράλληλη με την διαχωριστική επιϕάνεια είναι συνεχής. Παίρνοντας τώρα ένα κύλινδρο με την καθεμιά βάση του (με εμβαδόν A) σε ένα από τα διηλεκτρικά και με πολύ μικρό ύψος (βλ. Σχ.(9) ), η συνολική ροή της διηλεκτρικής μετατόπισης D στην επιϕάνεια του κυλίνδρου θα μηδενίζεται μιας και δεν έχουμε καθόλου ελεύθερο ϕορτίο D da = 0 D 1 A D 2 A = 0 D 1 = D 2 s όπου η παράπλευρη επιϕάνεια είναι πολύ μικρή και δεν συνεισϕέρει. Βλέπουμε ότι η συνιστώσα της διηλεκτρικής μετατόπισης που είναι κάθετη στην διαχωριστική επιϕάνεια είναι συνεχής. Με την σχέση που συνδέει ηλεκτρικό πεδίο και διηλεκτρική μετατόπιση, D = ϵe, συμπεραίνουμε ότι ϵ 1 E 1 = ϵ 2 E 2 δηλαδή η κάθετη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίο δεν είναι συνεχής. Στην περίπτωση που ένα από τα διηλεκτρικά είναι το κενό, τότε το αντίστοιχο ϵ γίνετα ϵ 0 (ϵ r = 1). Συσχέτιση μικροσκοπικών και μακροσκοπικών μεγεθών. Mossoti Η ατομική/μοριακή πολωσιμότητα α ορίζεται ως Σχέση Clausius- p = αe eff όπου p η (μοριακή) διπολική ροπή και E eff το ηλεκτρικό πεδίο που προκαλεί την πόλωση. Θέλουμε να συσχετίσουμε το α, που είναι σαϕώς ένα μικροσκοπικό μέγεθος, με μακροσκοπικά μεγέθη όπως ϵ ή χ. Ας θεωρήσουμε έναν πυκνωτή με διηλεκτρικό. Γνωρίζουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο E ανάμεσα στις πλάκες θα οϕείλεται τόσο στην επιϕανειακή πυκνότητα των ελεύθερων ϕορτίων που είναι στις πλάκες του πυκνωτή όσο και στην επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων στις επιϕάνειες του διηλεκτρικού. Εμείς θέλουμε να συγκεντρωθούμε σε ένα μόριο του διηλεκτρικού, να βρούμε το πεδίο που πολώνει το μόριο και να εϕαρμόσουμε την σχέση p = αe eff. Αλλά θα πρέπει να εξαιρέσουμε το συγκεκριμένο μόριο που ουσιαστικά συμμετέχει και το ίδιο στον σχηματισμό του συνολικού πεδίου. Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα που θα βοηθήσει στον υπολογισμό του πεδίου στο σημείο που είναι το συγκεκριμένο μόριο. Υποθέστε ότι όλος ο χώρος είναι γεμάτος με διηλεκτρικό που παρουσιάζει πόλωση P, εκτός από μια κενή σϕαιρική κοιλότητα. Θέλουμε να βρούμε το πεδίο που δημιουργείται στο κέντρο O της σϕαιρικής κοιλότητας. Αυτό οϕείλεται στη επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων που εμϕανίζονται στην σϕαιρική επιϕάνεια και είναι ίση με (βλ. Σχ. (10) ) σ b = ±P = ±P cos θ Σχήμα 9: Συνέχεια-ασυνέχεια στις επιϕάνειες διηλεκτρικών 10

11 Οπότε, στο επάνω ημισϕαίριο θα εμϕανίζεται η σ b = P και στο κάτω ημισϕαίριο η σ b = +P. Ας βρούμε το πεδίο που δημιουργεί στο O το πάνω ημισϕαίριο. Διαλέγοντας ως στοιχειώδη επιϕάνεια την λουρίδα ανάμεσα στους παράλληλους με γωνία θ και γωνία θ + dθ, αυτή έχει εμβαδόν da = (2πR sin θ)(rdθ). Και το στοιχειώδες ϕορτίο θα είναι dq = σ b da = P cos θ (2πR sin θ)(rdθ) = 2πP R 2 cos θ sin θ Αυτό το στοιχειώδες ϕορτίο δημιουργεί στο O πεδίο de O = 1 2πP R 2 cos θ sin θdθ R 2 όπου το τελευταίο cos θ προβάλει το πεδίο στον άξονα που ορίζεται από το διάνυσμα της πόλωσης. Αυτό γιατί τα ϕορτία που είναι στην στοιχειώδη λουρίδα δημιουργούν πεδίο με διαϕορετική διεύθυνση και μόνο η προβολή στον άξονα που αναϕέραμε παραμένει. Η κάθετη σ αυτόν συνιστώσα αναιρείται. Το συνολικό πεδίο θα είναι E O = de = π/ πP R 2 cos 2 θ sin θ R 2 = P 2ϵ 0 cos θ π/2 0 cos 2 θ sin θdθ = P 1 2ϵ 0 3 Το πεδίο αυτό έχει ίδια ϕορά με την πόλωση P (το σ b του πάνω ημισϕαιρίου είναι αρνητικό). Το κάτω ημισϕαίριο συνεισϕέρει το ίδιο πεδίο με την ίδια ϕορά, οπότε, το συνολικό πεδίο στο Ο από το σ b στην συνολική επιϕάνεια της σϕαίρας θα είναι E O = P 3ϵ 0 Ενα σημαντικό στοιχείο αυτού του αποτελέσματος είναι ότι δεν εξαρτάται από την ακτίνα R της σϕαιρικής κοιλότητας. Γυρίζουμε στο υπολογισμό του πεδίου που δέχεται το απομονωμένο συγκεκριμένο μόριο που επιλέξαμε. Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μικρή σϕαιρική κοιλότητα γύρω από το μόριο. Οπότε, το μόριο δέχεται το πεδίο από την επιϕανειακή πυκνότητα των ελεύθερων ϕορτίων που είναι στις πλάκες του πυκνωτή και την επιϕανειακή πυκνότητα των δέσμιων ϕορτίων στις επιϕάνειες του διηλεκτρικού που είναι απέναντι στις πλάκες του πυκνωτή (που δημιουργούν το συνολικό πεδίο E ανάμεσα στις πλάκες του πυκνωτή) με επιπλέον τώρα και την επιϕανειακή πυκνότητα στην επιϕάνεια της σϕαιρικής κοιλότητας γύρω από το συγκεκριμένο μόριο. Άρα το συνολικό πεδίο στο μόριο θα είναι E eff = E + P 3ϵ 0 Σχήμα 10: Σϕαιρικό κενό σε διηλεκτρικό 11

12 Σχήμα 11: Σϕαιρικό κενό σε διηλεκτρικό που βρίσκεται σε πυκνωτή Χρησιμοποιώντας τώρα ότι P = χe, P = N V p, χ = ϵ 0 χ r = ϵ 0 (ϵ r 1) όπου N V γίνεται P N V αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου (θυμηθείτε ότι P = p/v ), η σχέση p = αe eff = α ( E + P ) χe 3ϵ 0 N V = α ( E + χe ) 3ϵ 0 χ 3ϵ 0 + χ = N V α ϵ r 1 3ϵ 0 ϵ r + 2 = N V α 3ϵ 0 Αυτή είναι η σχέση Clausius-Mossoti που συνδέει το μικροσκοπικό μέγεθος της ατομικής/μοριακής πολωσιμότητας α με το μακροσκοπικό μέγεθος της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ϵ r. 12

E = E 0 + E = E 0 P ϵ 0. = 1 + χ r. = Q E 0 l

E = E 0 + E = E 0 P ϵ 0. = 1 + χ r. = Q E 0 l Πυκνωτής με διηλεκτρικό Πυκνωτής με ορθογώνιους οπλισμούς εμβαδού A και απόσταση μεταξύ των οπλισμών l έχει ϕορτίο Q. Η επιϕανειακή πυκνότητα ϕορτίου σε κάθε οπλισμό θα είνα σ = ±Q/A. Το ηλεκτρικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3. ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 8-9 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγωγοί Διηλεκτρικά Ν. Τράκας Ι. Ράπτης Ζωγράφου 7.3.9 Να επιστραφούν λυμένες μέχρι.4.9 οι ασκήσεις 3 4 5 [ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά

Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά Δομή Διάλεξης Ηλεκτρική Μετατόπιση: Ορισμός-Χρησιμότητα-Οριακές συνθήκες Γραμμικά Διηλεκτρικά: Ορισμός - Εφαρμογές Ενέργεια σε Διηλεκτρικά Δυνάμεις σε Διηλεκτρικά

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ.

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ. Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1 Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

div E = ρ /ε 0 ρ p = - div P, σ p = P. n div E = ρ /ε 0 = (1 /ε 0 ) (ρ l + ρ p ) div (ε 0 E + P) = ρ l /ε 0

div E = ρ /ε 0 ρ p = - div P, σ p = P. n div E = ρ /ε 0 = (1 /ε 0 ) (ρ l + ρ p ) div (ε 0 E + P) = ρ l /ε 0 ιηλεκτρικά Υλικά Υλικά των µονώσεων Στερεά και ρευστά Επίδραση του Ηλεκτρικού πεδίου Η δράση του ηλεκτρικού πεδίου προσανατολίζει τα δίπολακαι δηµιουργεί το πεδίο της Πόλωσης Ρ Το προκύπτον πεδίο D της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η4. Χωρητικότητα και διηλεκτρικά

Κεφάλαιο Η4. Χωρητικότητα και διηλεκτρικά Κεφάλαιο Η4 Χωρητικότητα και διηλεκτρικά Κυκλώματα και στοιχεία κυκλωμάτων Τα ηλεκτρικά κυκλώματα αποτελούν τη βάση για το μεγαλύτερο μέρος των συσκευών που χρησιμοποιούνται στην κοινωνία μας. Τα ηλεκτρικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Όταν ένα δοκιμαστικό φορτίο βρεθεί μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται μια ηλεκτρική δύναμη: F e =q o E. Η ηλεκτρική δύναμη είναι συντηρητική. Έστω δοκιμαστικό φορτίο, q 0,

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 14: Ολοκλήρωση πολυπολικής ανάπτυξης και διηλεκτρικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την πολυπολική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 7-8 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν. Τράκας Ι. Ράπτης /4/8 Παράδοση των 3 4 5 μέχρι /4/8 [Σε χειρόγραφη μορφή στο μάθημα ή σε μορφή ενιαίου αρχείου PDF στις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όπως θα παρατηρήσετε, τα θέματα αφορούν σε θεωρία που έχει διδαχθεί στις παραδόσεις και σε ασκήσεις που είτε προέρχονται από τα λυμένα παραδείγματα του βιβλίου, είτε έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Αποτελείται από 2 χωρικά

Διαβάστε περισσότερα

Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική.

Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική. Ηλεκτρική δυναµική ενέργεια Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική. e o Έστω δοκιµαστικό φορτίο,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ 1 1. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΥΚΝΩΤΕΣ Ένας πυκνωτής είναι μια διάταξη που αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο. Οι πυκνωτές μπορεί να διαφέρουν σε σχήμα και μέγεθος αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ηλεκτρικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Χωρητικότητα Εικόνα: Όλες οι παραπάνω συσκευές είναι πυκνωτές, οι οποίοι αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο και ενέργεια. Ο πυκνωτής είναι ένα είδος κυκλώματος που μπορούμε να συνδυάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το ηλεκτρικό ρεύμα. και. πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια. Φυσικής Χημείας. Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης

Το ηλεκτρικό ρεύμα. και. πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια. Φυσικής Χημείας. Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης Το ηλεκτρικό ρεύμα και οι πηγές του. Μια διαδρομή σε μονοπάτια Φυσικής Χημείας. και Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης Η εργασία αυτή αφιερώνεται στους νέους συναδέλφους Φυσικούς και Χημικούς, αφού περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss Περιεχόµενα Κεφαλαίου 22 Ηλεκτρική Ροή Ο Νόµος του Gauss Εφαρµογές του Νόµου του Gauss Πειραµατικές επιβεβαιώσεις για τους Νόµους των Gauss και Coulomb 22-1 Ηλεκτρική Ροή Ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24)

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24) ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24) ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Ένας πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου

4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου 4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου. Ένας επίπεδος πυκνωτής αποτελείται από δύο παράλληλους οπλισμούς, οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους.8 mm και έχουν εμβαδόν 7.6 cm

Διαβάστε περισσότερα

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.. Σταθερό ρεύμα 5 Α μέσω χάλκινου σύρματος ρέει προς δεξαμενή ανοδείωσης. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το τμήμα του σύρματος μήκους, cm, σε ένα σημείο που

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α Ηλεκτρική ροή Hλεκτρική ροή: φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) που δηλώνει τον αριθμό των δυναμικών γραμών ενός ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν μία επιφάνεια. Εμβαδόν=Α Για παράδειγμα, η ηλεκτρική ροή για την

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 13 Ηλεκτρικό (Βαθμωτό) δυναμικό ΦΥΣ102 1 Διαφορά δυναμικού Η Ηλεκτροστατική Δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ (ΚΕΦ 28)

ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ (ΚΕΦ 28) ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ (ΚΕΦ 8) B που παράγεται από κινούμενο φορτίο Το Ηλ. Πεδίο στο P (δεν φαίνεται) είναι E = 1 4πε 0 q r rˆ Για το Μαγνητικό Πεδίο στο P προκύπτει πειραματικά ότι: µ 0 qv rˆ B = 4π

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο ΦΥΣ102 1 Στατικός

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΤΕΛΕΙΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/15/2014 Κυκλώματα και στοιχεία κυκλωμάτων Χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Ηλεκτρομαγνητισμός Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/15/2014 Ο νόμος του Gauss Νόμος Gauss Ο νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό

Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμων αγωγών Ο στροβιλισμός και η κλίση μαγνητικού πεδίου: ο νόμος του Ampere Εφαρμογές του Νόμου του Ampere To διανυσματικό δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 24 Χωρητικότητα, Διηλεκτρικά, Αποθήκευση Ηλεκτρικής Ενέργειας. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 24 Χωρητικότητα, Διηλεκτρικά, Αποθήκευση Ηλεκτρικής Ενέργειας. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 24 Χωρητικότητα, Διηλεκτρικά, Αποθήκευση Ηλεκτρικής Ενέργειας Περιεχόμενα 24 Πυκνωτές Προσδιορισμός Χωρητικότητας Πυκνωτή Παράλληλη και σε σειρά σύνδεση πυκνωτών Αποθήκευση Ηλεκτρικής Ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤO HΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΠΥΚΝΩΤΕΣ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤO HΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΠΥΚΝΩΤΕΣ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤO HΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΠΥΚΝΩΤΕΣ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο 30-03-014 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. HΛEKTPIKO ΦOPTIO: είναι το αίτιο των ηλεκτρικών δυνάµεων (εµπειρική αντίληψη).

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. HΛEKTPIKO ΦOPTIO: είναι το αίτιο των ηλεκτρικών δυνάµεων (εµπειρική αντίληψη). ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Ι ΑΣΚΩΝ: ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΒΕΛΓΑΚΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ / ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Στη σειρά των φροντιστηρίων αυτών καταβάλλεται µια προσπάθεια να κατανοηθούν και να εµπεδωθούν κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

B 2Tk. Παράδειγμα 1.2.1

B 2Tk. Παράδειγμα 1.2.1 Παράδειγμα 1..1 Μία δέσμη πρωτονίων κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου,0 Τ, που έχει την κατεύθυνση του άξονα των θετικών z, (Σχ. 1.4). Τα πρωτόνια έχουν ταχύτητα με μέτρο 3,0 10 5 m / s

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r . (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r Φ Ε da Ε A Το επιφανειακό ολοκλήρωµα υπολογίζεται πάνω στην επιφάνεια Α, ενώ Ε είναι η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται ένας πυκνωτής

Από τι αποτελείται ένας πυκνωτής Πυκνωτές Οι πυκνωτές είναι διατάξεις οι οποίες αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο. Xρησιµοποιούνται ως «αποθήκες ενέργειας» που µπορούν να φορτίζονται µε αργό ρυθµό και µετά να εκφορτίζονται ακαριαία, παρέχοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Στις παρενθέσεις δίνονται τα μόρια του κάθε ερωτήματος. Σε ένα σωματίδιο που κινείται στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 23 Ηλεκτρικό Δυναµικό. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 23 Ηλεκτρικό Δυναµικό. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 23 Ηλεκτρικό Δυναµικό Διαφορά Δυναµικού-Δυναµική Ενέργεια Σχέση Ηλεκτρικού Πεδίου και Ηλεκτρικού Δυναµικού Ηλεκτρικό Δυναµικό Σηµειακών Φορτίων Δυναµικό Κατανοµής Φορτίων Ισοδυναµικές Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ B που παράγεται από κινούμενο φορτίο Το Ηλ. Πεδίο στο P (δεν φαίνεται) είναι E 1 4 0 q r 2 rˆ Για το Μαγνητικό Πεδίο στο P προκύπτει πειραματικά ότι: 0 qv rˆ Έχουμε εισάγει την

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1 . Ηλεκτρικό Φορτίο Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των σωματιδίων από τα οποία οικοδομείται η ύλη. Υπάρχουν δύο είδη φορτίου (θετικό αρνητικό). Κατά την φόρτιση το φορτίο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Νόμος του Gauss μέσα σε διηλεκτρικό υλικό. είναι το φορτίο πόλωσης (επαγόμενα φορτία).

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Νόμος του Gauss μέσα σε διηλεκτρικό υλικό. είναι το φορτίο πόλωσης (επαγόμενα φορτία). Kεφ. 16 (Part II, pages 10-5) ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ Νόμος του Gauss μέσα σε διηλεκτρικό υλικό!! Ε da q / ε Α!! όπου q ολ q free -q π και qπ A Ρ da είναι το φορτίο πόλωσης (επαγόμενα φορτία). ολ ο Συνεπώς η

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Ηλεκτρική ροή Θα εξετάσουμε πρώτα την ένοια της ροής (π.χ. σωματιδίων) από μια S ταχύτητα σωματιδίων υ πιφάνεια S κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Η ένταση J της ακτινοβολίας σωματιδίων ΔΝ ανά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

m 1 m 2 2 (z 2 + R 2 ). 3/2

m 1 m 2 2 (z 2 + R 2 ). 3/2 1 : Θέμα o από εξέταση της 2/2/2: α) Ποια η γενική μορή δηλ ανεξαρτήτως συστήματος συντεταγμένων) του μαγνητικού πεδίου B που δημιουργεί μαγνητικό δίπολο ροπής m σε σημείο P τέτοιο ώστε το διάνυσμα από

Διαβάστε περισσότερα