ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΗ-ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΣΕ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ (HF) - AC ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ

Transcript

1 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΗ-ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΣΕ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ (HF) - AC ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ 1

2 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑ Νόμος Fourier για τη μεταφορά θερμότητας Νόμος Wiedemann-Franz-Lorenz Θερμική Αντίσταση

3 Θερμική αγωγιμότητα Η θερμική αγωγιμότητα ενός υλικού είναι ένα μέτρο της ευκολίας με την οποία μεταφέρεται θερμότητα από το ένα σημείο στο άλλο μέσα στο υλικό. Μηχανισμοί μεταφοράς θερμότητας (θερμικής αγωγής) α) Στα μέταλλα: κυρίως μέσω των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας (εικ.) β) Μη-μεταλλικά υλικά: μέσω ταλαντώσεων πλέγματος Σχηματική αναπαράσταση μηχανισμού θερμικής αγωγής στα μέταλλα Τα ταχέως κινούμενα ηλεκτρόνια της θερμής περιοχής (απορρόφηση θερμότητας από πηγή θερμότητας) φτάνουν στη ψυχρή περιοχή, συγκρούονται με ιόντα και μεταφέρουν την ενέργειά τους στο πλέγμα. 3

4 Νόμος Fourier για τη μεταφορά θερμότητας Ρυθμός μεταφοράς θερμότητας: ሶ Q = Πειραματικές μετρήσεις δείχνουν ότι Q ሶ = Aκ δt δx κ θερμική αγωγιμότητας (thermal conductivity) του υλικού A επιφάνεια διατομής Τ dq dt δt δx βαθμίδα ή βάθμωση (gradient) της θερμοκρασίας Το αρνητικό πρόσημα δηλώνει την κατεύθυνση της ροής θερμότητας: θερμότερο ψυχρότερο 4

5 ሶ Νόμος Fourier Νόμος Ohm: μια ενδιαφέρουσα σύγκριση Νόμος Fourier για τη μεταφορά θερμότητας: Q ሶ = Aκ δt δx Ο παράγοντας που προκαλεί ροή θερμότητας ( Q) ሶ είναι η βάθμωση του θερμοκρασίας ( δt ) δx με συντελεστή τη θερμική αγωγιμότητα κ Νόμος του Ohm για το ηλεκτρικό ρεύμα: J = σe E = δv δx J = I A = q q ሶ = Aσ δv δx A Ο παράγοντας που προκαλεί ηλεκτρικό ρεύμα ( q) ሶ είναι η βάθμωση του ηλεκτρικού δυναμικού ( δv ) δx με συντελεστή την ηλεκτρική αγωγιμότητα σ 5

6 Νόμος Wiedemann-Franz-Lorenz: Η συσχέτιση συντελεστών θερμικής και ηλεκτρικής αγωγιμότητας στα μέταλλα κ σ = C WFL T C WFL = αριθμός Lorenz (σταθερά) C WFL = π2 k 2 3e 2 = WΩK 2 Ο νόμος WFL δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε θερμοκρασίες δωματίου και υψηλότερες (εικ.) 6

7 Συμπεράσματα από νόμο WFL: Ανεξαρτησία θερμικής αγωγιμότητας από τη θερμοκρασία Νόμος WFL: κ σ = C WFL T Εφόσον, για καθαρά μέταλλα σ Τ 1 αναμένουμε κ σχετικά ανεξάρτητη της θερμοκρασίας Ποιοτικά, κ = constant για T > 100 K (εικ.) 7

8 Θερμική αγωγιμότητα στα μη-μεταλλικά υλικά Δεν υπάρχουν ελεύθερα ηλεκτρόνια Η μεταφορά θερμότητας (ενέργειας) γίνεται μέσω των ταλαντώσεων του πλέγματος. (Εικ.) Θερμαίνοντας το ένα άκρο του κρυστάλλου, το πλάτος ταλάντωση των ατόμων εκεί αυξάνεται Θεωρώντας τους δεσμούς μεταξύ των ατόμων σαν αλυσίδα ελατηρίων, η ταλάντωση μεταβιβάζεται στα γειτονικά άτομα. Η διάδοση της θερμότητας γίνεται με τη μορφή κύματος ταλάντωσης (vibrational wave) προς το ψυχρότερο άκρο. Όσο ισχυρότερη είναι η σύζευξη των ατόμων, τόσο μεγαλύτερη η θερμική αγωγιμότητα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (α) Διαμάντι (ισχυρότατοι ομοιοπολικοί δεσμοί C), κ 1000 Wm 1 K 1 (β) Πολυμερή υλικα (ασθενέστατοι δευτερεύοντες δεσμοί), κ < 1 Wm 1 K 1 8

9 Τυπικές τιμές για τη θερμική αγωγιμότητα διαφόρων κατηγοριών υλικών στους 25 C 9

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.20 Θερμική αγωγιμότητα μείγματος Υπολογίστε τη θερμική αγωγιμότητα στους 100 C μπρούτζου 95/5 (95% Cu-5% Sn) με πορώδες 15% κ.ο. (παρασκευασμένος από μεταλλική κονία) αν γνωρίζετε ότι η ηλεκτρική του αγωγιμότητα είναι m -1. ΛΥΣΗ Από τον κανόνα της ανάμειξης για τον υπολογισμό της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης σε ετερογενές μίγμα και το νόμος WFL σ eff = σ c 1 χ χ κ σ = C WFL T Μπορούμε να έχουμε έναν αντίστοιχο κανόνα ανάμειξης για τον υπολογισμό της θερμικής αγωγιμότητας ετερογενών μειγμάτων κ eff = κ c 1 χ χ Συνέχεια 10

11 ΛΥΣΗ (συνέχεια) κ c = κ 95/5 = σc WFL T = = 73.2 Wm 1 K 1 Αντικαθιστώντας στον κανόνα ανάμειξης, παίρνουμε κ eff = κ c 1 χ = 73.2 Wm 1 K χ = 57.9Wm 1 K 1 2 (0.15) 11

12 Θερμική αντίσταση Σε αντιστοιχία με το ηλεκτρικό ρεύμα I = q ሶ = dqτdt ( σε CΤs) και την ηλεκτρική αντίσταση R που ορίζεται από το νόμο του Ohm R = V I (R σε Ω) ορίζουμε το θερμικό ρεύμα (heat current) dqτdt ( σε calτs και JΤs) ሶ Q = και τη θερμική αντίσταση (thermal resistance), θ, από το νόμο WFL [εικ. (α)] ሶ Q = Aκ T L L κa = T ሶ Q θ = T ሶ Q Ορισμός θερμικής αντίστασης: θ = Τ L κa (ηλεκτρική αντίσταση R = Τ L σa) 12

13 ሶ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.21 Θερμική αγωγιμότητα μείγματος Υπολογίστε τη διαφορά θερμοκρασίας T = T 1 T 2 μεταξύ των δύο άκρων ενός ορειχάλκινου κυλίνδρου ειδικής αντίστασης 50 nω m ο οποίος απάγει θερμότητα με ρυθμό 10W. ΛΥΣΗ Αν θ η θερμική αντίσταση του ορειχάλκινου κυλίνδρου, η θερμοκρασιακή διαφορά των άκρων του δίνεται από τη σχέση T = θ Q Η θερμική αντίσταση είναι θ = L κa = L = κ(π d2 4 ) 4L πκd 2 όπου κ η θερμική αγωγιμότητα του ορειχάλκου για την οποία ξέρουμε κ = σtc WFL = 1 ρ TC WFL Αντικαθιστώντας διαδοχικά παίρνουμε T = 4ρL πtc WFL d 2 ሶ Q = Ω m m π 300 K WΩK m 2 10 W = 6.5 K ( ) 13

14 14 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΜΗ-ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Φορείς φορτίου στους ημιαγωγούς Μηχανισμοί ηλεκτρικής αγωγιμότητας σε ιοντικούς κρυστάλλους (μονωτές) Ηλεκτρική αγωγιμότητα υάλων

15 Ηλεκτρική αγωγιμότητα μη μεταλλικών υλικών Όλα τα μέταλλα, λόγω μεγάλης συγκέντρωσης ηλεκτρονίων αγωγιμότητας, είναι καλοί αγωγοί (conductors) του ηλεκτρισμού. Αναμένουμε, τα στερεά που δεν έχουν μεταλλικό δεσμό να είναι κακοί αγωγοί, πρακτικά μονωτές. Βασιζόμενοι στη τιμής της αγωγιμότητας, κατατάσσουμε τα υλικά σε τρεις κατηγορίες: 1. Αγωγούς (Conductors), 2. Ημιαγωγούς (Semiconductors) 3. Μονωτές (Insulators) 15

16 Ηλεκτρική αγωγιμότητα μη μεταλλικών υλικών (συνέχεια) Από τον πίνακα αγωγιμοτήτων των υλικών, παρατηρούμε: Ενώ οι αγωγοί ταυτίζονται σχεδόν ολοκληρωτικά με τα μέταλλα Δεν υπάρχει σαφές όριο μεταξύ μονωτών και ημιαγωγών Τα μη-μεταλλικά στοιχεία δεν είναι τέλειοι μονωτές (έχουν μικρή αλλά μημηδενική αγωγιμότητα) Είναι ορθότερο να θεωρούμε τους μονωτές ως υλικά μεγάλης ειδικής αντίστασης (μικρής αγωγιμότητας) 16

17 Ημιαγωγοί Σε τέλειο κρύσταλλο πυριτίου, κάθε άτομο Si συνδέεται με τα (τέσσερα) γειτονικά του με ομοιοπολικό δεσμό, δηλαδή, ζεύγος ηλεκτρονίων [εικ. (α)]. Από την κινητική θεωρία γνωρίζουμε ότι τα άτομα ταλαντώνονται με πλάτος ανάλογο της θερμοκρασίας. Σε αυξημένες θερμοκρασίες, ορισμένα άτομα έχουν στατιστικά (κατανομή Boltzmann) ενέργεια (πλάτος) ταλάντωσης ικανή να σπάσει το δεσμό. Ένας σπασμένος δεσμός σημαίνει την απελευθέρωση ενός ηλεκτρονίου e [εικ. (β)]. Το e, υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου E, μπορεί να ολισθαίνει, είναι δηλαδή ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας (conduction electron) Απομακρυνόμενο το e αφήνει πίσω του μια περιοχή με ολικό θετικό φορτίο. Η περιοχή του σπασμένου δεσμού λέγεται οπή (hole, h + ) h + E 17

18 Ημιαγωγοί (συνέχεια) Ένα ηλεκτρόνια από γειτονικό δεσμό μπορεί να κάνει ένα άλμα και να καλύψει αυτό τον δεσμό, αφήνοντας μια οπή στη δική του θέση [εικ. (γ)] Με διαδοχικά άλματα, οι οπές μπορούν να περιφέρονται μέσα στον κρύσταλλο [εικ. (δ)] Πρακτικά, οι οπές θεωρούνται ως ελεύθερα θετικά φορτισμένα σωματίδια. Στην παρουσία ηλεκτρικού πεδίου E, οι οπές ολισθαίνουν προς την κατεύθυνση του πεδίου και συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα όπως τα ηλεκτρόνια από τα οποία προήλθαν. 18

19 Μηχανισμοί δημιουργίας ηλεκτρονίων - οπών 1. Θερμικός (εγγενής) μηχανισμός [εικ. (α)]: Σπάσιμο δεσμού λόγω αυξημένης ενέργειας ταλάντωσης και δημιουργία ζεύγους ηλεκτρονίουοπής Εξαρτάται από τη θερμοκρασία Συμβαίνει σε κάθε ημιαγωγό Δημιουργεί ίσες συγκεντρώσεις οπών και ηλεκτρονίων (σε κάθε σπασμένο δεσμό αντιστοιχεί από 1 e και 1 h + ) 19

20 Μηχανισμοί δημιουργίας ηλεκτρονίων οπών (συνέχεια) 2. Μηχανισμός νόθευσης (doping): εκ προθέσεως αντικατάσταση ορισμένων ατόμων Si από άτομα 5-σθενούς ατόμου, π.χ., As [εικ. (β1)] και δημιουργία 1 e /(doped atom) νόθευση τύπου n από άτομα 3-σθενούς ατόμου, π.χ., B [εικ. (β2)] και δημιουργία 1 h + /(doped atom) νόθευση τύπου p 20

21 Μηχανισμοί δημιουργίας ηλεκτρονίων οπών (συνέχεια) 3. Ύπαρξη ατελειών λόγω μηστοιχειομετρίας [εικ. (γ)] Π.χ., μη-στοιχειομετρικός κρύσταλλος ZnO Υπάρχει πλεόνασμα ατόμων Zn (έλλειψη ατόμων O) Δημιουργία 2 e /(Zn atom) 21

22 Ολική αγωγιμότητα κρυστάλλου ημιαγωγού σ = epμ h + enμ e όπου, n η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας μ e η κινητικότητα ολίσθησης των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας p η συγκέντρωση των οπών μ h η κινητικότητα ολίσθησης των οπών στον κρύσταλλο του ημιαγωγού Οι συγκεντρώσεις n και p είναι πολύ μικρότερες της συγκέντρωσης ελευθέρων ηλεκτρονίων στα μέταλλα αγωγιμότητα ημιαγωγών αγωγιμότητας μετάλλων Παρότι οι κινητικότητες ολίσθησης μ e και μ h των περισσοτέρων ημιαγωγών είναι μεγαλύτερες της κινητικότητας των ηλεκτρονίων των μετάλλων. 22

23 Ηλεκτρική αγωγιμότητα σε ιοντικούς κρυστάλλους Οι μηχανισμοί 1. Θετικό ιόν από κανονική πλεγματική θέση μεταπηδά (διαχέεται) σε γειτονικό πλεγματικό κενό ή κενό ατέλειας Schottky (κενό ζεύγους ανιόντος-κατιόντος) Οι κενές θέσεις κατιόντων υποβοηθούν τη διάχυση θετικών ιόντων Ατέλεια Schottky 2. Κατιόν σε παραπλεγματική θέση διαχέεται σε διπλανή παραπλεγματική θέση Η διάχυση γίνεται πάντα στη κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου E Κατιόν διαχέεται μεταξύ παραπλεγματικών θέσεων 23

24 Ηλεκτρική αγωγιμότητα σε ιοντικούς κρυστάλλους Οι μηχανισμοί (συνέχεια) 3. Ιόν (κατιόν) πρόσμειξης (συνήθως μικρότερο των εγγενών κατιόντων) διαχέεται μεταξύ παραπλεγματικών θέσεων Οι κενές θέσεις κατιόντων υποβοηθούν τη διάχυση θετικών ιόντων Ατέλεια Schottky 4. Ελεύθερο ηλεκτρόνιο e, η ύπαρξη του οποίου οφείλεται στην απουσία ανιόντος, ολισθαίνει (drift) αντίθετα στο E Υπενθύμιση: Ένας ιοντικός κρύσταλλος πρέπει να παραμένει ηλεκτρικά ουδέτερος. Επομένως, η ύπαρξη κατιόντων προσμείξεων σε παραπλεγματικές θέσεις πρέπει να συνοδεύεται από ίσο αριθμό e, επιπλέον ανιόντων ή κενών θέσεων κατιόντων. Κενή θέση ανιόντος λειτουργεί ως δότης Κατιόν διαχέεται μεταξύ παραπλεγματικών θέσεων Κατιόν πρόσμειξης διαχέεται μεταξύ παραπλεγματικών θέσεων 24

25 Ηλεκτρική αγωγιμότητα σε υάλους (γυαλιά) 1. Πολλά γυαλιά περιέχουν ορισμένα ευκίνητα ιόντα στη δομή τους Παράδειγμα: Θετικό ιόν Na + σε πυριτικό γυαλί μπορεί να μεταπηδά από μια παραπλεγματική θέση προς γειτονική πάντα προς την κατεύθυνση του πεδίου E Το συμβατικό γυαλί (στα τζάμια) έχει μεγάλη συγκέντρωση Na +. Για > C γίνεται αρκετά αγώγιμο. 25

26 Παραδείγματα τυπικών μηχανισμών αγωγής σε επιλεγμένα υλικά όπου εμπλέκονται ανιόντα και κατιόντα 26

27 Συνολική αγωγιμότητα μη-μεταλλικών υλικών Η αγωγιμότητα ενός υλικού εξαρτάται από όλους τους μηχανισμούς. Κάθε τύπος φορέων (ηλεκτρόνια, οπές, ιόντα) έχει τη δική του συνεισφορά. Συνολική αγωγιμότητα: σ = σ q i n i μ i όπου, q i το φορτίο του φορέα τύπου i (π.χ., για ηλεκτρόνια και οπές, q i = e) n i μ i η συγκέντρωση των φορέων τύπου i η κινητικότητα ολίσθησης των φορέων τύπου i Ο κυρίαρχος μηχανισμός αγωγιμότητας μεταβάλλεται ανάλογα με τη θερμοκρασία, τη σύσταση του υλικού και τις συνθήκες περιβάλλοντος (π.χ., πίεση) 27

28 Συνολική αγωγιμότητα μη-μεταλλικών υλικών (συνέχεια) Δεδομένου ότι ο μηχανισμός αγωγιμότητας στα μη-μεταλλικά υλικά έχει το χαρακτήρα μεταπήδησης (διάχυσης) από μια πλεγματική (ή παραπλεγματική) θέση σε γειτονική, αναμένουμε να χαρακτηρίζεται από μια θερμοκρασιακή εξάρτηση τύπου Arrhenius σ = σ 0 e E σ kt όπου, E σ η ενέργεια ενεργοποίησης για την ειδική αγωγιμότητα (σχετίζεται με τον ελάχιστο φραγμό δυναμικού που απαιτείται για να υπερπηδήσει ένα άτομο σε γειτονική πλεγματική θέση σ 0 προ-εκθετική παράγων που εξαρτάται από τη θερμοκρασία σ ο = Α Τ A σταθερά ανεξάρτητη της θερμοκρασίας 28

29 Συνολική αγωγιμότητα μη-μεταλλικών υλικών (συνέχεια) Λογαριθμίζοντας τη σχέση σ = σ 0 e E σ kt παιρνουμε τη γραμμική σχέση ln σ ως προς το αντίστροφο της θερμοκρασίας, 1 T ln σ = ln σ 0 E σ k 1 T από την κλίση της οποίας υπολογίζουμε την ενέργεια ενεργοποίησης E σ (βλ. εικ.) 29

30 Σχέση κινητικότητας ολίσθησης και συντελεστή διάχυσης ιόντων Ο συντελεστής διάχυσης D i ευκινησίας των ιόντων. για ένα συγκεκριμένο είδος ιόντων είναι μέτρο της Όσο υψηλότερος ο συντελεστής διάχυσης τόσο υψηλότερη η κινητικότητα ολίσθησης μ i των ιόντων τόσο μεγαλύτερη η ιοντική αγωγιμότητα q i n i μ i (q i φορτίο ιόντος, π.χ., για Na +, q Na + = +e) Σχέση Einstein για κινητικότητα ολίσθησης και συντελεστή διάχυσης μ i = 1 f e kt D i όπου, f αριθμητικός παράγων (λόγος Haven) f = 1 αν η διάχυση ενός ιόντος δεν επηρεάζεται από τη διάχυση των υπολοίπων f < 1 αν η διάχυση ενός ιόντος επηρεάζεται από τη διάχυση των υπολοίπων 30

31 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.24 Αγωγιμότητα καθαρού (ιοντικού) κρυστάλλου KCI Μετρήσεις ηλεκτρικής αγωγιμότητας σε καθαρό κρύσταλλο KCl δίνουν τιμές cm -1 και cm -1 σε θερμοκρασίες 518 C και 674 C, αντίστοιχα. (α) Που οφείλεται η αγωγιμότητα στον κρύσταλλο; (β) Πόση είναι η ενέργεια ενεργοποίησης, E σ ; (γ) Πόση γίνεται η αγωγιμότητα στους 594 C; ΛΥΣΗ (α) Στη διάχυση των κατιόντων K + (βλ. σχετ. πίνακα παραπάνω) (β) σ=σ 0 e E σ kt σ ο = Α Τ ൡ σ = Α Τ e E σ kt για T 1 = 791 K και T 2 = 947 K έχουμε σ 1 = Α Τ 1 e E σ kt1 και σ 2 = Α Τ 2 e E σ kt2 Διαιρώντας κατά μέλη, έχουμε σ 1 σ 2 = Τ 2 Τ 1 e E σ k 1 T 1 1 T 2 31

32 ΛΥΣΗ (συνέχεια) σ 1 = Τ 2 e E σ 1 1 k T 1 T 2 σ 2 Τ 1 Παίρνοντας τους λογαρίθμους των δύο μελών έχουμε E σ = kτ 1Τ 2 (Τ 2 Τ 1 ) ln σ 2Τ 2 = σ 1 Τ ln = 2.03 ev (γ) Θέτοντας E σ = 2.03 ev στη σχέση σ 1 = Α Τ 1 e E σ kτ1 υπολογίζουμε το συντελεστή Α = Ω 1 cm 1 Οπότε η αγωγιμότητα στους T 3 = = 867 K υπολογίζεται σ 3 = Α e E σ kτ 3 = ( ) e (2,03) ( Τ 3 (867) )(867) = Ω 1 cm 1 32

33 33 ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΣΕ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ (HF) - AC ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Επιδερμικό φαινόμενο Μιγαδική αναπαράσταση της ac αγωγιμότητας σ ac

34 Αντίσταση αγωγού στο εναλλασσόμενο ρεύμα Λόγω Η/Μ επαγωγής, η αντίσταση ενός αγωγού στο εναλλασσόμενο (AC) ρεύμα, εκτός από την ωμική αντίσταση R, παρουσιάζει και έναν επιπλέον όρο, την ανάδραση ή επαγωγική αντίσταση X L = ωl ω = 2πf η κυκλική συχνότητα του ρεύματος συχνότητας f L ο συντελεστής αυτεπαγωγής ή αυτεπαγωγή του αγωγού Η επαγωγική αντίσταση μειώνεται σημαντικά όταν το ρεύμα ρέει σε έναν κυλινδρικό φλοιό πλησιέστερα στην επιφάνεια του αγωγού Συνεπώς, ενώ το συνεχές ρεύμα κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλη τη διατομή του αγωγού, το ρεύμα σε υψηλές συχνότητες προτιμά να ρέει σε ένα επιφανειακό (επιδερμικό) στρώμα βάθους δ (επιδερμικό φαινόμενο skin effect) 34

35 Επιδερμικό βάθος δ Το επιδερμικό βάθος δ δ = 1 1Τ2 2 ωσμ σ η αγωγιμότητα του υλικού του αγωγού μ η μαγνητική διαπερατότητα (magnetic permeability) του υλικού του αγωγού μ r η σχετική μαγνητική διαπερατότητα (relative magnetic permeability) του υλικού του αγωγού μ r = Τ μ μ 0 μ 0 = 4π 10 7 H/m η μαγνητική διαπερατότητα του κενού 35

36 δ = = ωσμ 1 πfσμ r μ 0 = 1 4π fσμ r δ(σε m) 4fσ(σε 1 Τ MS m)μ r Παράδειγμα Το επιδερμικό βάθος ρεύματος 10 MHz σε χάλκινο αγωγό (σ = 59 Τ MS m, μ r = 1) είναι δ σε m μm 36

37 Αντίσταση HF ανά μονάδα μήκους αγωγού λόγω επιδερμικού φαινομένου Λόγω επιδερμικού φαινομένου, η ενεργός διατομή A του αγωγού στις υψηλές συχνότητες (HF) περιορίζεται σημαντικά. Πρακτικά γίνεται A = πα 2 π α δ 2 2παδ Τότε, η ac αντίσταση του αγωγού ανά μονάδα μήκους r ac = ρτa είναι r ac ρ 2παδ ω Τ 1 2 ρ η AC ειδική αντίσταση, ίση σχεδόν με τη DC τιμή της Πρακτικά, επομένως r ac ω Τ 1 2 r ac = R l = ρ l A l = ρ A 37

38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.27 Επιδερμικό φαινόμενο σε χάλκινο σύρμα σε HF (α) Πόση είναι η μεταβολή, σε σχέση με τη DC αντίσταση, για χάλκινο σύρμα ακτίνας 1 mm σε AC σήμα (ρεύμα) 10 MHz; (β) Πόση είναι η μεταβολή στο 1GHz; Για το χαλκό, ρ dc = Ω m και σ dc = μ r 1 ΛΥΣΗ 1Τρ dc = Ω 1 m 1 = 59 MSΤm. Επίσης, (α) Η αντίσταση ανά μονάδα μήκους του σύρματος στο συνεχές ρεύμα είναι r dc = Σε υψηλές συχνότητες είναι r ac = ρ dc Τ2παδ ρ dc Τπα 2 Η σχετική τους τιμή είναι r ac Τr dc = ατ2δ Στα 10 MHz, δ 20 μm (βλ., Παράδειγμα, σελ 35) Επομένως, r ac Τr dc = 10 3 m Τ m 25, δηλαδή, στα 10 MHz η αντίσταση του χαλκού αυξάνεται κατά 25 φορές. r dc = R l = ρ dc l A l = ρ dc A = ρ dc πα 2 38

39 ΛΥΣΗ (συνέχεια) (β) Στο 1 GHz, το επιδερμικό βάθος του ρεύματος είναι δ μm που οδηγεί σε λόγο r ac Τr dc = 10 3 m Τ m 250 δηλαδή, ή η αντίσταση του χαλκού αυξάνεται κατά 250 φορές. Στο 1 GHz το ρεύμα στο σύρμα χαλκού περιορίζεται σε ένα επιφανειακό στρώμα πάχους μόλις 2 μm. Το μεγαλύτερο τμήμα της διατομής του σύρματος δεν αξιοποιείται. Γι' αυτό το λόγο, δεν πρέπει να χρησιμοποιείται χαλκός σε εφαρμογές HF. Η πλέον ενδεδειγμένη λύση είναι χρήση οπτικών ινών. 39

40 Αγωγιμότητα AC Εξίσωση κίνησης του ηλεκτρονίου σε αγωγό υπό την επίδραση χρονο-εξαρτώμενου ηλεκτρικού πεδίου Σε DC ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση x (E x ) Η μέση ταχύτητα των ηλεκτρονίων v dx (ταχύτητα ολίσθησης drift velocity) είναι ανεξάρτητη από το χρόνο v dx = eτe x Τm e τ ο μέσος χρόνος σκέδασης που σχετίζεται με την αγωγιμότητα στο συνεχές ρεύμα σ dc = e2 nτ m e Το dc ρεύμα είναι J x = σ dc E x Σε AC ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση x [E x (t)] Η μέση ταχύτητα των ηλεκτρονίων v dx εξαρτάται από το χρόνο Εξίσωση κίνησης του ηλεκτρονίου ee x Kv dx = m e dv dx dt Kv dx η δύναμη αντίστασης στην κίνηση του ηλεκτρονίου 40

41 Αγωγιμότητα AC Εξίσωση κίνησης του ηλεκτρονίου σε αγωγό υπό την επίδραση χρονο-εξαρτώμενου ηλεκτρικού πεδίου (συνέχεια) ee x Kv dx = m e dv dx dt Μετά την πάροδο κάποιου χρόνου από την εφαρμογή του πεδίου, η ταχύτητα v dx σταθεροποιείται ( dv dx Τdt = 0) στη γνωστή τιμή v dx = eτe x Τm e Από την εξίσωση κίνησης στη σταθερή κατάσταση προκύπτει K = m e Ττ Οπότε η εξίσωση κίνησης του ηλεκτρονίου γράφεται ee x dv dx m e Ττ v dx = m e dt 41

42 Λύση της εξίσωσης κίνησης του ηλεκτρονίου σε βηματικό ηλεκτρικό πεδίο Μεταβατική συμπεριφορά Έστω πεδίο με βηματική συμπεριφορά, εικ. (α) E x = 0, t 0 E x = E x0, t 0, t < t off Τη χρονική στιγμή t = 0, v dx = 0 και J x = 0 ee x Τ m e τ v dx = m e dv dx dt Για t > 0, η λύση της εξίσωσης με σταθερό E x0 είναι, εικ. (β) v dx t = v dx 1 e t Τ τ v dx = eτe x0 Τm e Η σταθερά για το χρόνο ανόδου, τ, είναι ο μέσος ελεύθερος χρόνος, η τιμή του είναι της τάξης s, πολύ μικρός αλλά όχι μηδενικός. 42

43 Λύση της εξίσωσης κίνησης του ηλεκτρονίου σε AC ηλεκτρικό πεδίο Αγωγιμότητα AC Έστω AC πεδίο κυκλικής συχνότητας ω: E x = E x0 e jωt Με αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης ee x dv dx m e Ττ v dx = m e dt έχουμε ee x0 e jωt dv dx m e Ττ v dx = m e dt με λύση v dx = eτe x0 m e 1 + jωτ ejωt 43

44 Αγωγιμότητα AC (συνέχεια) v dx = eτe x0 m e 1 + jωτ ejωt ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Σε AC πεδίο, η ταχύτητα ολίσθησης εξαρτάται από τη συχνότητα. Η πυκνότητα ρεύματος, J x = env dx, εξαρτάται επίσης από τη συχνότητα. Η AC αγωγιμότητα, που ορίζεται βάσει της σχέσης J x = σ ac E x, γράφεται σ ac = e 2 nτ m e 1 + jωτ = σ jωτ σ 0 = e 2 nττm e η DC αγωγιμότητα 44

45 Πραγματικό και φανταστικό μέρος της σ ac Τη σχέση για την ac αγωγιμότητα σ ac = σ jωτ μπορούμε να γράψουμε σε ορθογώνια μορφή σ ac = σ jσ, όπου σ = σ ω 2 τ 2 και σ = σ 0ωτ 1 + ω 2 τ 2 Το πραγματικό μέρος σ σχετίζεται με τις απώλειες Joule, δηλαδή με τις απώλειες σε μορφή θερμότητας του ηλεκτρικού ρεύματος στον αγωγό (αυτό που υπολογίζουμε με τις παραστάσεις Ι 2 R ή V 2 /R) 45

46 Το μέτρο (η απόλυτη τιμή) της σ ac και η εξάρτησή της από τη συχνότητα Το μέτρο σ ac ή σ(ω) της AC αγωγιμότητας σ ac = σ 0 Τ 1 + jωτ είναι σ(ω) = σ ω 2 τ 2 Για ωτ 1 ή ω s 1, η σ ac έχει κυρίως πραγματικό μέρος, σ ac σ 1 Για ωτ 1 ή ω s 1, η σ Τ 1 ω 2 και οι απώλειες joule μειώνονται έντονα με τη συχνότητα Για ω = Τ 1 τ (ω = s 1 ), σ(ω) = 1 2 = ~10 14 s 1 (InfraRed) 46

47 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.28 Μεταβολή της σ ac στα 100 GHz και 100 THz Για το χαλκό, ο μέσος ελεύθερος χρόνος των ηλεκτρονίων είναι τ = s. Πόση είναι η μεταβολή σ ac Τσ 0 σε σχέση με τη DC αγωγιμοτητα σ 0 όταν μεταβαίνουμε στα 100 GHz και 100 THz; ΛΥΣΗ Στα 100 GHz, ω = 2π Hz = rad/s Οπότε ωτ = rad/s s = Επομένως σ ac σ 0 = = jωτ = ω 2 τ 2 j ωτ 1 + ω 2 τ j = j Στα 100 GHz παρατηρούμε ότι η μείωση στο πραγματικό μέρος της αγωγιμότητας (απώλεια ισχύος) είναι αμελητέα 47

48 ΛΥΣΗ (συνέχεια) Στα 100 THz, ω = 2π Hz = rad/s Οπότε ωτ = rad/s s = 15.7 Επομένως σ ac σ 0 = j δηλαδή, στα 100 THz παρατηρούμε ότι (α) το φανταστικό μέρος της αγωγιμότητας είναι πολύ μεγαλύτερο του πραγματικού σ σ (β) το πραγματικό μέρος (δηλαδή οι απώλεια ισχύος) είναι πολύ μικρότερη από τη dc τιμή, σ = σ