ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΧΡΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΧΩΡΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΣΧΟΛΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Spatial optimization for the allocation of students to schools Μεταπτυχιακή διατριβή του Χατζηπαρασκευά Ευριπίδη Επιβλέπων καθηγητής: Συμβουλευτική επιτροπή: Καβρουδάκης Δημήτριος Βαΐτης Μιχαήλ Κουκούλας Σωτήριος Φεβρουάριος 2019

2 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Στη σύζυγό μου, Μαριλένα και τους γιούς μου, Στρατή και Κωνσταντίνο 1

3 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης I. Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέπων της παρούσας διατριβής, επίκουρο καθηγητή του τμήματος Γεωγραφίας, κ. Καβρουδάκη Δημήτρη για την συνεχή πολύτιμη υποστήριξη και καθοδήγηση που μου προσέφερε σε όλα τα στάδιά της. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδακτορικό φοιτητή του τμήματος Γεωγραφίας κ. Μπάτσαρη Μάριο, για την βοήθειά που μου πρόσφερε στα αρχικά στάδια της εργασίας. Ευχαριστώ επίσης όλους του διδάσκοντες στο ΠΜΣ «Γεωγραφία και Εφαρμοσμένη Γεωπληροφορική», για την ποιότητα των γνώσεων που μου προσέφεραν στον κύκλο των μεταπτυχιακών μαθημάτων. Τέλος, ένα μεγάλο ευχαριστώ στην οικογένειά μου που με στήριζε συνεχώς και «ανέχθηκε» την απουσία μου από κοντά της, τον ενάμιση αυτόν χρόνο των σπουδών μου στο τμήμα. 2

4 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες II. Πίνακας περιεχομένων I. Ευχαριστίες... 2 II. Πίνακας περιεχομένων... 3 III. Κατάλογος εικόνων-γραφημάτων... 5 IV. Κατάλογος πινάκων... 5 V. Κατάλογος χαρτών... 5 Περίληψη... 6 Abstract... 6 Εισαγωγή... 8 Αντικείμενο - Στόχοι - σκοπιμότητα... 8 Μεθοδολογία προσέγγισης Διάρθρωση εργασίας Κεφάλαιο 1ο Χωροταξική κατανομή μαθητών στις Σχολικές Μονάδες- Εκπαιδευτική νομοθεσία Δαπάνες μεταφοράς μαθητών δημόσιων σχολείων Κεφάλαιο 2ο Γραμμικός Προγραμματισμός Μαθηματική διατύπωση Ακέραιος προγραμματισμός Αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Ανάλυση χωρικών δικτύων (spatial network analysis) Βασικοί ορισμοί θεωρίας δικτύων Χωρικά δίκτυα Ανάλυση χωροθέτησης-κατανομής Μοντελοποίηση προβλήματος χωροθέτησης υποδομών Κεφάλαιο 3ο Δεδομένα Εξαγωγή δεδομένων οδικού δικτύου-openstreetmap Χωρικά δεδομένα περιοχής μελέτης Τεχνολογίες και λογισμικά QGIS PostgreSQL PostGIS

5 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης pgrouting Γλώσσα προγραμματισμού R/R studio Περιοχή μελέτης Κεφάλαιο 4ο Μεθοδολογία υλοποίησης εφαρμογής Προετοιμασία δεδομένων Δημιουργία τοπολογίας δικτύου Γεωκωδικοποίηση διευθύνσεων μαθητών Αντιστοίχιση διευθύνσεων μαθητών στους πλησιέστερους κόμβους του δικτύου Προετοιμασία και εκτέλεση αλγορίθμου κατανομής Υλοποίηση διεπαφής εφαρμογής Αποτελέσματα Κεφάλαιο 5ο Συμπεράσματά ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αυτό το έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 3.0 (CC BY-NC-SA 3.0). Επιτρέπεται σε τρίτους να διανέμουν, να αναμειγνύουν, και να δημιουργούν πάνω στο παρόν έργο, κατά μη-εμπορικό τρόπο, αρκεί να πιστώνουν τον συγγραφέα για την αρχική δημιουργία και να υπαγάγουν τις νέες τους δημιουργίες υπό τους ίδιους όρους. 4

6 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες III. Κατάλογος εικόνων-γραφημάτων Εικόνα 1: Παράδειγμα μη προσανατολισμένου γράφου. Με κεφαλαία σημειώνονται οι κόμβοι, με μικρά οι ακμές (Καβρουδάκης, 2017) Εικόνα 2: Παράδειγμα αναπαράστασης χωρικού δικτύου: Δίκτυο μαζικής μεταφοράς (τραμμετρό) Άμστερνταμ (SergioGeorgini [GFDL ( or CC BY-SA 4.0 ( from Wikimedia Commons) Εικόνα 3 Φάσεις υλοποίησης εφαρμογής Εικόνα 4 Απόσπασμα της τοπολογίας δικτύου Εικόνα 5: Μορφή αρχείου δεδομένων εισόδου για τους (ενδεικτικούς) μαθητές προς κατανομή Εικόνα 6 Απεικόνιση του οδικού δικτύου της περιοχής μελέτης, σε μορφή χωρικού δικτύου (επεξεργασία-οπτικοποίηση σε περιβάλλον R studio, R igraph package) Εικόνα 7: Βασικό παράθυρο εισαγωγής δεδομένων εφαρμογής (Στιγμιότυπο) Εικόνα 8: Απεικόνιση διεπαφής αποτελεσμάτων γεωκωδικοποίησης (Στιγμιότυπο) Εικόνα 9: Απεικόνιση διεπαφής αποτελεσμάτων επίλυσης του προβλήματος βελτιστοποίησης κατανομής μαθητών στις σχολικές μονάδες (Στιγμιότυπο) Εικόνα 10 Χαρτογραφική απεικόνιση των αναθέσεων των μαθητών (Στιγμιότυπο διεπαφής) Εικόνα 11 Γράφημα convex hull και ραβδόγραμμα του πλήθους των μαθητών ανα σχολική μονάδα (επεξεργασία R studio) IV. Κατάλογος πινάκων Πίνακας 1: Χωρητικότητες Α τάξης γυμνασίων της περιοχής μελέτης Πίνακας 2: Χρόνοι εκτέλεσης βασικών λειτουργιών εφαρμογής Πίνακας 3: Χαρακτηριστικά δικτύου περιοχής μελέτης Πίνακας 4: Απόσπασμα των δεδομένων κόμβων (actors) και ακμών (relations) του δικτύου της περιοχής μελέτης (περιβάλλον R studio) Πίνακας 5: Στατιστικά στοιχεία αποστάσεων δείγματος 360 μαθητών από τις 6 σχολικές μονάδες Πίνακας 6: Πίνακας παραμέτρων μοντέλου επίλυσης χωροθέτησης (δείγμα 360 μαθητών) Πίνακας 7: Απόσπασμα πίνακα ανάθεσης μαθητών στις σχολικές μονάδες Πίνακας 8: Αποτελέσματα κατανομής μαθητών για τις 6 σχολικές μονάδες της περιοχής μελέτης (360 μαθητές) V. Κατάλογος χαρτών Χάρτης 1 : Η περιοχή μελέτης (πηγή:openstreetmap) Χάρτης 2: Σχολικές μονάδες (Γυμνάσια) περιοχής μελέτης Χάρτης 3: Υφιστάμενη χωροταξική κατανομή μαθητών βασισμένη στην διαίρεση της πόλης σε σταθερές ζώνες Χάρτης 4: Περιοχές κάλυψης με κριτήριο απόστασης 500 και 800μ (επεξεργασία QGis, pgrouting plugin) Χάρτης 5: Χάρτης ανάθεσης μαθητών (επεξεργασία Qgis)

7 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Περίληψη Η κατανομή του μαθητικού δυναμικού στις πρώτες τάξεις των υφιστάμενων σχολικών μονάδων ενός συγκεκριμένου τύπου (πχ γυμνάσια) σε μία αστική περιοχή, είναι μία διαδικασία που απαιτείται κατά την έναρξη κάθε σχολικής χρονιάς. Πρόκειται για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλαπλές παραμέτρους. Εκτός από την ελαχιστοποίηση απόστασης της οικίας διαμονής μαθητών και των αντίστοιχων σχολικών μονάδων, πρέπει να ληφθούν υπόψη, από τις αρμόδιες αρχές εκπαίδευσης, παράμετροι όπως οι μέγιστες χωρητικότητες των μονάδων, το ελάχιστο πλήθος μαθητών ανά σχολική μονάδα, προκειμένου να χρησιμοποιηθεί αποδοτικά το προσωπικό, οι περιπτώσεις διαμονής μαθητών σε κοινή διεύθυνση και άλλες. Στην εργασία αυτή, το πρόβλημα μοντελοποιείται με γραμμικό προγραμματισμό, και σχεδιάζεται μία ολοκληρωμένη εφαρμογή κατανομής μαθητών για χρήση από τις αρμόδιες αρχές, εφαρμόζοντας μεθόδους χωρικής ανάλυσης δικτύων με χρήση ανοικτών/ελεύθερων τεχνολογιών. Εφαρμογή της λύσης αυτής, γίνεται στην περίπτωση της πόλης της Μυτιλήνης, και της κατανομής των αποφοίτων των δημοτικών στην πρώτη τάξη των γυμνασίων της πόλης. Abstract The allocation of students to the first grades of existing school units of a particular type (e.g. primary, junior high or high schools) in an urban area is a process that is required at the beginning of each school year. This is an optimization problem with multiple parameters. In addition to minimizing the distance between pupils' home and their respective school units, the relevant education authorities must take into account parameters such as maximum school capacities, the minimum number of pupils per school unit in order to make efficient use of staff, and others. 6

8 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες In this thesis, the problem is modeled by linear programming, and a user-friendly application is developed for use by education authorities in order to allocate students to schools based on several criteria. This is achieved by applying spatial analysis methods using open / free technologies and software. Implementation of this solution is made and results were evaluated, for the case of distribution of the graduates of the primary schools to the junior high school s first grade, for the city of Mytilene, Lesvos, Greece. 7

9 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Εισαγωγή Αντικείμενο - Στόχοι - σκοπιμότητα Η χωροθέτηση μία υποδομής στην βέλτιστη δυνατή τοποθεσία, αποτελεί ένα σημαντικό πρόβλημα απόφασης. Ως υποδομή, χαρακτηρίζεται οποιοδήποτε κέντρο εξυπηρέτησης στο οποίο κάποιοι εν δυνάμει πελάτες καλούνται να απευθυνθούν προκειμένου να δεχθούν τις υπηρεσίες του. Η χωροθέτηση υποδομών μπορεί να αφορά εμπορικά καταστήματα μίας επιχειρηματικής αλυσίδας, νοσοκομεία, σταθμούς πυροσβεστικής, σχολεία, κλπ. Τέτοια προβλήματα αναζήτησης βέλτιστων θέσεων των σημείων παροχής υπηρεσιών για την εξυπηρέτηση των «πελατών» χαρακτηρίζονται ως προβλήματα χωροθέτησης κατανομής (Location allocation). Η βέλτιστη θέση έχει να κάνει με την ικανοποίηση διαφόρων κριτηρίων όπως χωρητικότητα υποδομής, βέλτιστη απόσταση, πυκνότητα πληθυσμού, ελαχιστοποίηση κόστους εγκατάστασης κλπ. Στην περίπτωση της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, η χωροθέτηση των σχολικών μονάδων, κατά κανόνα στην Ελληνική επικράτεια, δεν έχει γίνει με βάση κάποια συστηματική επιστημονική μελέτη και ανάλυση των κοινωνικών δεδομένων (πληθυσμιακή κατανομή, πολεοδομικό σχεδιασμό, αστική εξάπλωση ή άλλες κοινωνικές παραμέτρους). Σε διάφορες πολιτικές περιόδους, ελήφθησαν αποφάσεις σύστασης σχολικών μονάδων, οι οποίες βασίστηκαν σε στενές κοινωνικές-πολιτικές και οικονομικές συνθήκες της εποχής, χωρίς μακρόπνοο σχεδιασμό. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, με την πάροδο των ετών, και τις πληθυσμιακές και κοινωνικές αλλαγές που παρατηρούνται στην επικράτεια, να διογκώνονται πιθανές δυσλειτουργίες ή να προκύπτουν νέα θέματα που έχουν να κάνουν με την ανισοκατανομή του μαθητικού πληθυσμού στις υφιστάμενες σχολικές μονάδες. Οι δυσλειτουργίες αυτές σε γενικές γραμμές έχουν να κάνουν: α) με την κατανομή του δυναμικού των εκπαιδευτικών στις σχολικές μονάδες, στις οποίες σημαντικός αριθμός εκπαιδευτικών έχουν οργανική θέση με βάση τις ανάγκες τα προηγούμενα χρόνια, και το ενδεχόμενο υπερβολικής έλλειψης ή υπερβολικού 8

10 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες πλεονάσματος προσωπικού από έτος σε έτος. Συνέπεια του γεγονότος αυτού είναι η ανάγκη μετακινήσεων-αποσπάσεων ή μεταθέσεων εκπαιδευτικών, προκαλώντας δυσάρεστες κοινωνικό-οικονομικές καταστάσεις για τους εμπλεκόμενους και τις οικογένειές τους β) με την πιθανή υπέρβαση της χωρητικότητας κάποιων σχολικών μονάδων, με βάση τις υφιστάμενες κτιριακές υποδομές και τον εξοπλισμό, λόγω υπερβολικού αριθμού μαθητών που εγγράφονται σε αυτά. Το γεγονός αυτό έχει σαν συνέπεια είτε την ανάγκη μετακίνησης αριθμού μαθητών μετά την έναρξη του σχολικού έτους (κοινωνικές αντιδράσεις), είτε τον έκτακτο σχεδιασμό επέκτασης των υποδομών της σχολικής μονάδας (οικονομικός αντίκτυπος, μη επαρκής χρόνος υλοποίησης των παρεμβάσεων) γ) με την σπατάλη οικονομικών πόρων και χρόνου για την μετακίνηση μαθητών από τον τόπο διαμονής στην σχολική μονάδα, λόγω μη ορθολογικής ανάθεσης των μαθητών στα σχολεία, όσον αφορά την απαιτούμενη διανυόμενη απόσταση προς αυτήν. Η σπατάλη οικονομικών πόρων δύναται να αφορά, είτε την μετακίνηση με ίδια μέσα, είτε την μίσθωση από πλευράς πολιτείας μεταφορικών μέσων για τους απομακρυσμένους μαθητές. Με βάση τα παραπάνω, οι διευθύνσεις πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης βρίσκονται αντιμέτωπες κάθε νέα σχολική χρονιά με το πρόβλημα της δίκαιης και ταυτόχρονα λειτουργικής κατανομής του μαθητικού δυναμικού στις πρώτες τάξεις κάθε βαθμίδας. Οι αποφάσεις κατανομής των μαθητών με βάση την σταθερή χωροταξική διαίρεση μιας πόλης σε περιοχές ευθύνης των σχολικών μονάδων, δεν έχει λύσει το πρόβλημα. Από την άλλη, η συστηματικότερη αναζήτηση λύσης με κλασσικές μεθόδους, σε τακτική ετήσια βάση, απαιτεί υπερβολικούς πόρους σε διοικητικό προσωπικό και χρόνο. Στην παρούσα εργασία, προτείνεται μία αυτοματοποιημένη λύση κατανομής του μαθητικού δυναμικού στις υφιστάμενες σχολικές μονάδες της περιοχής μελέτης, βασισμένη σε μεθόδους χωρικής ανάλυσης με την βοήθεια τεχνολογιών Γεωγραφικών Συστημάτων πληροφορίας (Geographic Information Systems, GIS) και λογισμικών αποκλειστικά ελεύθερου/ανοικτού κώδικα. Κατά την υλοποίηση της 9

11 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης συγκεκριμένης πρότασης αποφεύχθηκε η λύση της χρήσης εμπορικών-κλειστών λογισμικών. Ο βασικοί λόγοι είναι αφ ενός, ότι οι υλοποιήσεις «μαύρου κουτιού» των λογισμικών αυτών, δεν επιτρέπουν την παραμετροποίηση/τροποποίηση των λύσεων που παράγουν προκειμένου να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, αφ ετέρου το συχνά υψηλό κόστος απόκτησης τους καθιστά αδόκιμη την πιθανή χρήση τους σε πραγματικές συνθήκες. Στόχος της εργασίας είναι να αναλύσει τα χωρικά δεδομένα μαθητών και σχολικών μονάδων, προκειμένου να βρεθεί και να παρουσιαστεί μία πρόταση κατανομής των μαθητών η οποία θα είναι δίκαια, και θα πληροί τα απαραίτητα κριτήρια που έχουν τεθεί για το σκοπό αυτό. Παράλληλα, επιδίωξη της παρούσας λύσης είναι, η όλη διαδικασία εισαγωγής δεδομένων και εξαγωγής αποτελεσμάτων να αποτελεί αποκλειστική αρμοδιότητα των υπευθύνων στελεχών των διευθύνσεων εκπαίδευσης, έτσι ώστε παράλληλα να εξασφαλίζεται η προστασία των προσωπικών δεδομένων των μαθητών. Μεθοδολογία προσέγγισης Για τους σκοπούς της εργασίας, αρχικά επιχειρήθηκε μία αναζήτηση στην βιβλιογραφία, προκειμένου να εντοπισθούν έρευνες με συναφές αντικείμενο, και να καταγραφούν πρακτικές και τεχνολογίες. Η αναζήτηση δεδομένων έγινε αρχικά όσον αφορά τα χωρικά δεδομένα της περιοχής μελέτης (γεωγραφικός χάρτης, πληροφορίες οδικού δικτύου, κτήρια) και σε δεύτερο επίπεδο τα δεδομένα που αφορούν τις σχολικές μονάδες και την διαδικασία ανάθεσης των μαθητών στα σχολεία. Η επεξεργασία και η ανάλυση των δεδομένων έγινε κάνοντας χρήση ανοικτών τεχνολογιών. Χρησιμοποιήθηκε χωρική βάση δεδομένων PostgreSQL/PostGIS για την αποθήκευση και διαχείριση των δεδομένων, προκειμένου να αξιοποιηθούν οι δυνατότητες άντλησης πληροφορίας μέσω ερωτημάτων SQL στη βάση. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, χωρικά και μη ερωτήματα να μπορούν να εκτελεστούν από τον διακομιστή που φιλοξενεί την βάση, άροντας τις απαιτήσεις υψηλής επεξεργαστικής ισχύος στον υπολογιστή-πελάτη. Το βασικό περιβάλλον ανάπτυξης του κώδικα της εφαρμογής, ήταν το R studio, δεδομένου ότι η γλώσσα R αποτελεί μία από τις πιο δημοφιλής γλώσσες για ανάλυση 10

12 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες και οπτικοποίηση δεδομένων. Μέσα από την R, έλαβε χώρα η συλλογή δεδομένων, η επεξεργασία και η άντληση πληροφορίας από την χωρική βάση, μέσω ερωτημάτων SQL, η εκτέλεση του αλγορίθμου επίλυσης του προβλήματος κατανομής των μαθητών καθώς και η ανάπτυξη ενός δυναμικού περιβάλλοντος διεπαφής για τον τελικό χρήστη. Διάρθρωση εργασίας Η παρούσα εργασία ακολουθεί την δομή-διάρθρωση που περιγράφεται παρακάτω. Πέρα από την εισαγωγή, όπου παρουσιάζεται η προβληματική της εργασίας, η μεθοδολογία και η δομή της, η εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο αφορά την καταγραφή της επικρατούσας κατάστασης όσον αφορά την νομοθεσία που διέπει την φοίτηση των μαθητών στις σχολικές μονάδες δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης καθώς και την χωροταξική κατανομή τους. Επίσης καταγράφεται το νομοθετικό πλαίσιο που αφορά την κάλυψη των εξόδων μεταφοράς των μαθητών προς τις σχολικές μονάδες, με βάση την απόσταση από την οικία διαμονής. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται το θεωρητικό πλαίσιο της παρούσας εργασίας, γίνεται αναφορά στις βασικές έννοιες, θεωρίες και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τις ανάγκες της χωρικής ανάλυσης. Επίσης γίνεται μία καταγραφή των χαρακτηριστικών και των απαιτήσεων των προβλημάτων χωρικής βελτιστοποίησης. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μία καταγραφή των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν για την παρούσα εργασία, καθώς και την μεθοδολογία άντλησής των. Επίσης γίνεται καταγραφή των βασικών τεχνολογιών που χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση της εργασίας, καθώς και περιγραφή της περιοχής μελέτης και της υφιστάμενης κατάστασης όσον αφορά τις σχολικές μονάδες (γυμνάσια) και της χωροταξικής κατανομής του μαθητικού δυναμικού. Η μεθοδολογία υλοποίησης της εργασίας καθώς και η καταγραφή των αποτελεσμάτων που εξήχθησαν, περιλαμβάνονται στο τέταρτο κεφάλαιο. Ποιο συγκεκριμένα, περιγράφονται τα στάδια της επεξεργασίας των δεδομένων, αναφέρονται οι τεχνολογίες που εμπλέκονται σε κάθε ένα από αυτά, ενώ στα 11

13 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης αποτελέσματα καταγράφονται οι τελικές λύσεις κατανομής του μαθητικού δυναμικού στις υφιστάμενες σχολικές μονάδες με τρία διαφορετικά πλήθη μαθητών. Στο τελευταίο, πέμπτο, κεφάλαιο γίνεται μία ανακεφαλαίωση των προηγουμένων και επιχειρείται σχολιασμός των αποτελεσμάτων, προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα. Επισημαίνονται αρνητικά και θετικά σημεία της πρότασης της εργασία, και προτείνονται σημεία επέκτασης και βελτίωσης της. 12

14 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Κεφάλαιο 1ο 1.1. Χωροταξική κατανομή μαθητών στις Σχολικές Μονάδες- Εκπαιδευτική νομοθεσία Η παροχή δωρεάν Παιδείας στη χώρα μας αποτελεί θεμελιώδες κοινωνικό αγαθό, το οποίο προβλέπεται από το Σύνταγμα της Ελλάδος (άρθρο 16). Για την περίπτωση της πρωτοβάθμιας αλλά και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μία από τις βασικές προϋποθέσεις για την ύπαρξη ίσων ευκαιριών πρόσβασης στη δωρεάν παιδεία, είναι και η όσο το δυνατόν ευκολότερη και δικαιότερη πρόσβαση στις σχολικές μονάδες. Έτσι η επιλογή της θέσης των σχολικών μονάδων σε μία συγκεκριμένη περιοχή αποτελεί βασικό παράγοντα για την παροχή ίσων ευκαιριών στους μαθητές. Παρόλα αυτά κατά το παρελθόν στην Ελληνική επικράτεια οικονομικοί, πολιτικοί και άλλοι παράγοντες επηρέασαν τα κριτήρια με τα οποία γινόταν η χωροθέτηση των σχολικών μονάδων. Έτσι πολλές φορές παρουσιάζεται προβληματική χωροθέτηση σχολικών μονάδων η οποία εντείνει το ήδη υπάρχον πρόβλημα της αποδοτικής κατανομής των μαθητών, σε περιοχές και πόλεις με πάνω από μια σχολική μονάδα ίδιου τύπου. Ταυτόχρονα οποιεσδήποτε βελτιωτικές παρεμβάσεις επιχειρούνται από την πλευρά της πολιτείας ή όποιες τυχόν προτάσεις υποβάλλονται από την εκπαιδευτική κοινότητα, συχνά σκοντάφτουν σε οικονομικά ή κοινωνικά εμπόδια. Οι μαθητές φοιτούν σε σχολείο της περιοχής όπου βρίσκεται η μόνιμη κατοικία τους, όπως προβλέπει το άρθρο 12 του Π.Δ. 104/79. Σύμφωνα με το άρθρο αυτό στις πόλεις στις οποίες λειτουργούν περισσότερα του ενός σχολεία του ίδιου τύπου, οι περιοχές ευθύνης τους, καθώς και το ανώτατο πλήθος μαθητών που μπορούν να φοιτήσουν σε αυτά, καθορίζονται με αποφάσεις της οικίας διεύθυνσης δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Σύμφωνα με την Υ.Α. Φ.353/324/105657/Δ1 «Καθορισμός των ειδικότερων καθηκόντων και αρμοδιοτήτων των προϊσταμένων των περιφερειακών υπηρεσιών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, των διευθυντών και υποδιευθυντών των σχολικών μονάδων και ΣΕΚ και των συλλόγων των διδασκόντων» 13

15 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης (ΦΕΚ 1340/Β/2002), οι προϊστάμενοι δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης είναι υπεύθυνοι για τον καθορισμό της περιφέρεια εγγραφής των μαθητών στις σχολικές μονάδες (χωροταξική κατανομή), ύστερα από εισήγηση των αρμοδίων οργάνων. Στην περίπτωση υπέρβασης του ανώτατου ορίου (χωρητικότητας) κάποιου σχολείου, ο αρμόδιος διευθυντής δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης άρει την υπεραριθμία με αυτεπάγγελτη υποχρεωτική μεταγραφή ανάλογου αριθμού μαθητών σε άλλες σχολικές μονάδες λαμβάνοντας υπόψιν τα χωροταξικά δεδομένα σε συνδυασμό με τις προτιμήσεις των κηδεμόνων των μαθητών. Σύμφωνα με το άρθρο 9 του ΦΕΚ 120/Β/ , για την εγγραφή στην Α τάξη του γυμνασίου, οι κηδεμόνες των μαθητών καταθέτουν εντός του μηνός Δεκεμβρίου του διανυόμενου σχολικού έτους στα δημοτικά σχολεία στα οποία φοιτούν στη τελευταία τάξη, αίτηση δήλωσης εγγραφής, στο Γυμνάσιο. Στα γυμνάσια εκτός των αστικών κέντρων, διαβιβάζονται αρμοδίως τα απολυτήρια των δημοτικών της περιοχής. Ειδικά στην περίπτωση των αστικών κέντρων (όπου λειτουργούν πλέον του ενός Γυμνάσια), τα απολυτήρια των απολυόμενων από το δημοτικό μαθητών, διαβιβάζονται στα Γυμνάσια σύμφωνα με κοινή απόφαση των Διευθυντών/ντριών των οικείων Διευθύνσεων Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, η οποία ορίζει τα Γυμνάσια στα οποία εγγράφονται οι απόφοιτοι/ες κάθε Δημοτικού. Όσον αφορά για τους αποφοιτήσαντες μαθητές των γυμνασίων η διαδικασία είναι πλέον διαφορετική. Από το παρόν σχολικό έτος έχει τεθεί σε εφαρμογή η διαδικασία ηλεκτρονικών αιτήσεων εγγραφών- δηλώσεων προτιμήσεων για τους μαθητές που εγγράφονται σε Δημόσιο Γενικό ή Επαγγελματικό λύκειο σύμφωνα με την με αρ. πρωτ /ΓΔ4/ (ΦΕΚ 120, Β ) Υπουργική Απόφαση. Σύμφωνα με την Υ.Α αυτή οι αιτήσεις γίνονται ηλεκτρονικά, σε διάφορες χρονικά φάσεις, από τον Μάιο του προηγούμενου σχολικού έτους, μέχρι την έναρξη του νέου. Η ανάθεση των μαθητών στα λύκεια γίνεται με επεξεργασία των ηλεκτρονικών αιτήσεων από την διεύθυνση δευτεροβάθμιας, και ο έλεγχος των δικαιολογητικών γίνεται από της σχολικές μονάδες σε δεύτερη φάση. 14

16 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες 1.2. Δαπάνες μεταφοράς μαθητών δημόσιων σχολείων Μία επιπρόσθετη σημαντική παράμετρος που πρέπει να ληφθεί υπόψιν όσον αφορά την κατανομή των μαθητών στις σχολικές μονάδες, έχει να κάνει με τις περιπτώσεις φοίτησης μαθητών που η απόσταση σχολικής μονάδας-οικίας είναι μεγάλη. Κοινές υπουργικές αποφάσεις καθορίζουν τα κριτήρια και τις διαδικασίες σύμφωνα με τα οποία προβλέπεται κάλυψη των εξόδων μεταφοράς τους προς τις σχολικές μονάδες. Η πρόσφατη Κοινή Υπουργική Απόφαση (ΚΥΑ) 50025/ (ΦΕΚ 4217/τ.Β / ) «Μεταφορά μαθητών δημόσιων σχολείων από τις Περιφέρειες» καθορίζει τις ελάχιστες αποστάσεις της κατοικίας του μαθητή από τις σχολικές μονάδες, πάνω από τις οποίες δικαιούται δωρεάν μεταφορά. Έτσι ορίζονται δύο περιπτώσεις ελάχιστών αποστάσεων: Περίπτωση Α: Για μεταφορά μαθητών με ειδικά μαθητικά δελτία (ΕΜΔ) και ίδια μέσα των Περιφερειών και των Δήμων α μέτρα για μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης β μέτρα για μαθητές Γυμνασίων γ μέτρα για μαθητές Λυκείων και ΕΠΑΛ Περίπτωση Β: Για μεταφορά μαθητών με δημόσια σύμβαση υπηρεσιών α μέτρα για μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης κατ ελάχιστον μέχρι την Β τάξη του Δημοτικού β μέτρα για μαθητές Γυμνασίων γ μέτρα για μαθητές Λυκείων και ΕΠΑΛ Εκτός από τις περιπτώσεις μεταφοράς μαθητών που περιγράφονται παραπάνω, σε περίπτωση που κρίνεται οικονομικά ασύμφορη η κάλυψη των δαπανών μεταφοράς, προβλέπονται οι εξής περιπτώσεις: α. Οι μαθητές επιλέγουν να εγκατασταθούν σε άλλη κατοικία, στην έδρα της σχολικής μονάδας, οπότε δικαιούνται ένα μηνιαίο επίδομα, ή 15

17 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης β. μεταφέρονται με ιδία μέσα, με ευθύνη των κηδεμόνων τους, οι οποίοι δικαιούνται μία προβλεπόμενη χιλιομετρική αποζημίωση βασισμένη στις ημέρες παρουσίας του μαθητή στο σχολείο. Το κόστος μεταφοράς των μαθητών, καθώς και τις προβλεπόμενες διαδικασίες αναλαμβάνει η Περιφερειακή Ενότητα, στην οποία έχει έδρα το σχολείο υποδοχής των μαθητών. Για το σχολικό έτος η πρώτη δόση της επιχορήγησης των Περιφερειών για την κάλυψη των δαπανών μεταφοράς μαθητών ήταν ύψους 70 εκατ. ευρώ (Εφημερίδα Έθνος, 2018). 16

18 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Κεφάλαιο 2ο 2.1. Γραμμικός Προγραμματισμός Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι η διαδικασία αναζήτησης βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία παράλληλα θα ικανοποιεί ένα σύνολο γραμμικών ανισοτήτων. Ποιο συγκεκριμένα, αφορά την μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μίας γραμμικής συνάρτησης υπό την προϋπόθεση ικανοποίησης συγκεκριμένων γραμμικών περιορισμών. Χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης της κατανομής περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ένα πλήθος «ανταγωνιστικών» δραστηριοτήτων, όπως επίσης και για πλήθος προβλημάτων τα οποία μπορούν να διαμορφωθούν με ανάλογο τρόπο (Frederick S. Hillier, 2000). Ο όρος «γραμμικός» αναφέρεται στο γεγονός ότι όλες οι μαθηματικές συναρτήσεις που περιγράφουν το μοντέλο είναι γραμμικές. Ο όρος «προγραμματισμός» έχει να κάνει με τον σχεδίαση των δραστηριοτήτων του συστήματος που περιγράφει, προκειμένου να προκύψει η κατά το δυνατόν βέλτιστη λύση. Ο γραμμικός προγραμματισμός αποτελεί μία από τις σπουδαιότερες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του 20 ου αιώνα. Στην εποχή μας χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στον εμπορικό και βιομηχανικό τομέα αλλά και σε άλλους τομείς της κοινωνίας όπου βρίσκει εφαρμογή σε ανάλογα προβλήματα. Στη βιβλιογραφία εμφανίζονται πλήθος από περιπτώσεις προβλημάτων βελτιστοποίησης για τα οποία η εύρεση λύσης επιχειρείται μέσα από την μοντελοποίηση γραμμικού προγραμματισμού. Προβλήματα όπως: Εύρεση βέλτιστων επιπέδων παραγωγής και διανομής μεταξύ ενός συνόλου εργοστασίων, αποθηκών και σημείων πώλησης. (Arumugham, 2018; Uzorh & Nnanna, 2014) Αναζήτηση της βέλτιστης θέσης εγκατάστασης μία αποθήκης με στόχο την μεγιστοποίησης της περιοχής κάλυψης με βάση το δίκτυο μεταφορών και τις 17

19 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης αποστάσεις από τα σημεία πώλησης (Drezner & W. Hamacher, 2002a),(Kratica, Dugošija, & Savić, 2014) Πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (travelling salesman): εύρεση της συντομότερης διανυόμενης απόστασης εντός ενός δικτύου σημείων (πόλεων), (Diaby, 2006) Πρόβλημα κατάτμησης αποθέματος (cutting stock problem): Εύρεση του βέλτιστου τρόπου κατάτμησης του αποθέματος ενός υλικού στα διάφορα προκαθορισμένα μεγέθη, προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το εναπομείναν άχρηστο υλικό (Nonato & Grazia Scutell`a, 1998). Εύρεση βέλτιστης κατανομής πανεπιστημιακών εργασιών σε φοιτητές, με βάση κριτήρια επιλογής, φόρτου διδακτικού προσωπικού (Anwar & Bahaj, 2003) Εύρεση του βέλτιστου τρόπου χωροθέτησης πακέτων σε container, με στόχο την ελαχιστοποίηση του αχρησιμοποίητου χώρου και λαμβάνοντας υπόψιν την μέγιστη χωρητικότητα (Gharehgozli, Yu, De Koster, & Udding, 2014). Ανάθεση των διαθέσιμων αιθουσών χειρουργείου στις διάφορες ειδικότητες με βάση διάφορα κριτήρια όπως προτεραιότητα περιστατικού, καθώς και άλλους κλινικούς περιορισμούς (Zhang, Murali, Dessouky, & Belson, n.d.) Μαθηματική διατύπωση Η γενική διατύπωση του γραμμικού προγραμματισμού είναι η παρακάτω (Ιωαννίδης, 2009): Να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών x 1, x 2, x n που ικανοποιούν m ανισότητες (ή ισότητες) και ταυτόχρονα ελαχιστοποιούν ή μεγιστοποιούν συγκεκριμένη συνάρτηση. Οι μεταβλητές x 1, x 2, x n λέγονται μεταβλητές απόφασης (decision variables). Οι m ανισότητες λέγονται περιορισμοί (constraints) και δίνονται ως εξής: n g i (x 1,, x n ) = j=1 a ij x j {, =, } b i, i = 1,2,, m (1.1) οι σταθερές b i θεωρούνται οι γνωστές, οι a ij είναι σταθερές 18

20 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Η συνάρτηση η οποία πρέπει να μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (objective function), δίνεται από: z = f(x 1, x 2, x n ) = j=1 c j x j (1.2) n Τα c j είναι σταθερές και λέγονται συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. Εφικτή (feasible) χαρακτηρίζεται κάθε λύση που ικανοποιεί όλους του περιορισμούς του μοντέλου. Σε περίπτωση που παραβιάζεται ένας τουλάχιστον περιορισμός, τότε η λύση είναι μη εφικτή (non feasible). Κάθε εφικτή λύση που βελτιστοποιεί (ελαχιστοποιεί ή μεγιστοποιεί ανάλογα την περίπτωση) την αντικειμενική συνάρτηση, ονομάζεται βέλτιστη (optimal) λύση Ακέραιος προγραμματισμός Στην γενική μορφή του ορισμού του γραμμικού προγραμματισμού, τα μοντέλα είναι συνεχή, με την έννοια ότι οι μεταβλητές μπορεί να πάρουν και κλασματικές τιμές, κάτι που συχνά είναι μία ρεαλιστική παραδοχή. Υπάρχουν παρόλα αυτά και περιπτώσεις προβλημάτων όπου οι κλασματικές τιμές δεν είναι συμβατές με τη πραγματικότητα. Ο ακέραιος προγραμματισμός (integer programming) καλύπτει τις περιπτώσεις προβλημάτων όπου οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές. Σε γενικές γραμμές υπάρχει περίπτωση ένα τέτοιο πρόβλημα να είναι γραμμικό αλλά και μη γραμμικό. Όταν κάποιες από τις μεταβλητές απόφασης δεν περιορίζονται σε ακέραιες τιμές, τότε το πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως μεικτού ακέραιου προγραμματισμού (mixed integer programming). Ειδική κατηγορία τέτοιων προβλημάτων αποτελούν εκείνα που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν μόνο δυαδικές (binary) τιμές 0 ή Αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Ο πρώτος αλγόριθμος που αναπτύχθηκε για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, ήταν η μέθοδο simplex (Dantzig, 1963) η οποία προτάθηκε από τον George Dantzig αρχικά από το Ακόμα και σήμερα θεωρείται ως μία από τις αποτελεσματικότερες και πιο αξιόπιστες μεθόδους για την επίλυση τέτοιων 19

21 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης προβλημάτων. Η κύρια εναλλακτική μέθοδος είναι η μέθοδος εσωτερικού σημείου (interior-point method),(karmarkar, 1984) η οποία έχει επωφεληθεί από τη εξέλιξη της αρχιτεκτονικής των υπολογιστών και τον παράλληλο προγραμματισμό, και θεωρείται ταχύτερη από την simplex. Παρόλα αυτά η τεράστια ποικιλία μοντέλων και οι πολυπληθείς τρόποι χρήσης του γραμμικού προγραμματισμού, οδηγούν στο γεγονός ότι και οι δύο αλγόριθμοι βρίσκουν εφαρμογές στην πράξη μέχρι και σήμερα. Στην εποχή μας έχουν αναπτυχθεί ποικίλες εμπορικές αλλά και ανοικτού κώδικα υλοποιήσεις μεθόδων επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού ή μεικτού ακέραιου προγραμματισμού. Οι υλοποιήσεις αυτές παρουσιάζουν μεγάλες αποκλίσεις όσον αφορά την απόδοση και ευρωστία τους εξαρτώμενες από το είδος των μοντέλων που καλούνται να λύσουν. Η λεπτομερής περιγραφή λειτουργίας των αλγορίθμων επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι έξω από το σκοπό αυτής της εργασίας. Δημοφιλείς ανοικτού κώδικα υλοποιήσεις (solvers) είναι (Meindl & Templ, 2012) οι GLPK, LP_SOLVE, CLP και άλλες, ενώ εμπορικές υλοποιήσεις είναι οι Cplex, Gurobi και άλλες. Όπως αναφέρεται στην μελέτη σύγκρισης, υπάρχουν διαφορές σε ταχύτητα παραγωγής βέλτιστης λύσης ή ακόμα και στο κατά πόσο μπορεί κάποια υλοποίηση να καταλήξει σε κάποια λύση έστω και μετά από μεγάλο συγκριτικά χρόνο, σε κάποιες κατηγορίες προβλημάτων Ανάλυση χωρικών δικτύων (spatial network analysis) Βασικοί ορισμοί θεωρίας δικτύων Η έννοια του «δικτύου» είναι κάτι παραπάνω από εμφανείς στις σύγχρονες κοινωνίες. Η τηλεφωνία λαμβάνει χώρα μέσα από ένα τεράστιο τηλεπικοινωνιακό δίκτυο, η μεταφορά ενέργειας για οικιακή και βιομηχανική χρήση γίνεται μέσω του ενεργειακού δικτύου κάθε χώρα, το διαδίκτυο είναι ουσιαστικά το δίκτυο των δικτύων των υπολογιστών σε παγκόσμια κλίμακα, οι κοινωνικές σχέσεις δημιουργούν ένα κοινωνικό δίκτυο, φυσικό ή εικονικό, το δημόσιο συγκοινωνιακό δίκτυο μιας 20

22 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες πόλης αποτελείται από τα μέσα μεταφοράς (λεωφορεία, μετρό, κλπ). Σε όλα τα δίκτυα, ο λόγος ύπαρξης είναι η δυνατότητα μεταφορά μέσω αυτού κάποιου φυσικού ή όχι υποκειμένου (δεδομένα, ενέργεια, κοινωνικές σχέσεις κλπ). Η μαθηματική μοντελοποίηση των δικτύων δίνει την δυνατότητα μελέτης και ανάλυσής τους, μέσω αλγορίθμων, και αποτελεί επιστημονικό κλάδο των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών. Ένα δίκτυο (ή γράφος) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κόμβων (vertices) και κλάδων ή ακμών (edges) G={V,A} όπου V είναι το σύνολο των κόμβων και Α το σύνολο των ακμών (Καβρουδάκης, 2017). Η ακμή που συνδέει τους κόμβους i και j συμβολίζεται (i,j). Αν κάθε ακμή έχει μία συγκεκριμένη διεύθυνση τότε το δίκτυο ονομάζεται προσανατολισμένο (directed) ενώ σε αντίθετη περίπτωση καλείται μη προσανατολισμένο (undirected). Στην περίπτωση που δεν ισχύει κάτι από τα δύο καθολικά σε ολόκληρο το δίκτυο, τότε το δίκτυο χαρακτηρίζεται μικτό (mixed). Εικόνα 1: Παράδειγμα μη προσανατολισμένου γράφου. Με κεφαλαία σημειώνονται οι κόμβοι, με μικρά οι ακμές (Καβρουδάκης, 2017) Βασικό στοιχείο του δικτύου αποτελεί ο κόμβος (vertex). Σχεδιάζεται ως τελεία ή κύκλος, ενώ ένα σύνολο από κόμβους του δικτύου G αναπαρίσταται συνήθως ως V(G) ή απλά V. Η ακμή (edge είναι ουσιαστικά ένα ζεύγος στοιχείων του δικτύου. Αναπαρίσταται ως γραμμή που συνδέει δύο τερματικούς κόμβους (endpoints), ενώ μαθηματικά ένα σύνολο ακμών του G δίνεται ως E(G) ή Ε. 21

23 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Χωρικά δίκτυα Στην επιστήμη των μαθηματικών, ως «μετρικός χώρος» ορίζεται ένα οποιοδήποτε σύνολο εφοδιασμένο με μία συνάρτηση απόστασης, η οποία καλείται μετρική. Η μετρική ορίζει μία μη αρνητική απόσταση μεταξύ δύο σημείων του συνόλου, και απαιτείται να πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις: α) Η απόσταση των σημείων είναι μηδέν, μόνο όταν τα δύο σημεία είναι ίδια, β) Η απόσταση του ενός σημείου από το δεύτερο, είναι ίση με την απόσταση του δευτέρου από το πρώτο και γ) το άθροισμα των αποστάσεων του πρώτου σημείου από το δεύτερο, και του δευτέρου από ένα τρίτο, είναι ίσο ή μεγαλύτερο από την απόσταση του πρώτου σημείου από το τρίτο. Εικόνα 2: Παράδειγμα αναπαράστασης χωρικού δικτύου: Δίκτυο μαζικής μεταφοράς (τραμ-μετρό) Άμστερνταμ (SergioGeorgini [GFDL ( or CC BY-SA 4.0 ( from Wikimedia Commons) 22

24 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Ένα χωρικό δίκτυο είναι ένας γράφος του οποίου οι κόμβοι είναι ενσωματωμένοι σε ένα μετρικό χώρο (Barthélemy, 2011). Με απλά λόγια, στα χωρικά δίκτυα μπορεί να εφαρμοστεί μία συνάρτηση απόστασης μεταξύ δύο κόμβων του δικτύου. Συχνά για την ανάλυση των χωρικών δικτύων, η μετρική απόστασης που χρησιμοποιείται είναι η γεωγραφική απόσταση. Η ανάλυση ενός δικτύου λαμβάνοντας υπόψιν την τοποθεσία αποτελεί στις μέρες μας αντικείμενο εκτεταμένης μελέτης. Ιδιαιτέρως έχουν μελετηθεί σε ότι αφορά τις μεταφορές και τα δίκτυα μετακίνησης, συνδεσμολογίας δρομολογητών δικτύων δεδομένων/διαδικτύου, μεταφοράς ενέργειας, αστικά οδικά δίκτυα και άλλα (εικόνα 2). Παράλληλα η ανάλυση χωρικών δικτύων επεκτείνεται και σε άλλα δίκτυα, που ίσως σε μια πρώτη ανάγνωση η έννοια της θέσης δεν ενδιαφέρει, παρόλα αυτά η προσθήκη χωρικών χαρακτηριστικών στο δίκτυο δημιουργεί νέα δεδομένα όπως πχ κοινωνικά δίκτυα (Scellato, Noulas, Lambiotte, & Mascolo, 2011) Ανάλυση χωροθέτησης-κατανομής Κατά τις τελευταίες δεκαετίες παρατηρείται αυξανόμενο ενδιαφέρον όσον αφορά την μελέτη, ανάλυση και επίλυση προβλημάτων χωροθέτησης υποδομών. Η βιβλιογραφία περιγράφει μεγάλη ποικιλία τέτοιων προβλημάτων που βρίσκουν εφαρμογή σε διάφορους τομείς (Drezner & W. Hamacher, 2002b). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον εντοπίζεται στην περίπτωση προβλημάτων χωροθέτησης-κατανομής (location-allocation) τα οποία αναζητούν λύση χωροθέτησης ενός πλήθους κέντρων εξυπηρέτησης, και την κατανομή των σημείων απαίτησης σε αυτά, με τρόπο ώστε το δίκτυο εξυπηρέτησης να είναι όσο το δυνατόν αποδοτικό. Η τυποποίηση από τον (Hakimi, 1964), του προβλήματος εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων εξυπηρέτησης σε ένα γράφο, τα οποία απαιτούν ελαχιστοποίηση του χρόνου μεταφοράς από τα εξυπηρετούμενα σημεία προς την πλησιέστερη υποδομή, ανέδειξε τα προβλήματα χωροθέτησης κατανομής. Η σχετική βιβλιογραφία που ασχολείται με την μοντελοποίηση προβλημάτων χωροθέτησης κατανομής ταξινομείται (Francis, McGinnis, & White, 1992) σε τέσσερις βασικές κατηγορίες, ανάλογα με τα συνεχή ή διακριτά χαρακτηριστικά του χώρου εγκατάστασης των σημείων εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση της κατηγορίας των διακριτών προβλημάτων χωροθέτησης κατανομής ανήκει και το πρόβλημα p-median στο οποίο 23

25 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης ο σκοπός είναι η αναζήτηση λύσης η οποία να ελαχιστοποιεί τη συνολική απόσταση ή «κόστος» από τα σημεία απαίτησης προς τα σημεία εξυπηρέτησης, Η μελέτη του συγκεκριμένου προβλήματος, ξεκίνησε στις αρχές του 20 ου αιώνα από τον Weber (Weber & Friedrich, 1929), και αφορούσε την χωροθέτηση ενός κέντρου εξυπηρέτησης (αποθήκη) η οποία θα ελαχιστοποιούσε το συνολικό απαιτούμενο χρόνο για την εξυπηρέτηση ενός πλήθους πελατών. Στα προβλήματα χωροθέτησης κατανομής, τα «κόστη» ή «βάρη» μπορεί να σχετίζονται αποκλειστικά με την φυσική απόσταση (πχ μήκος διαδρομής, χρόνος που απαιτήθηκε) αλλά και με άλλα σχετικά χαρακτηριστικά (αξία-δαπάνη, χρόνος εξυπηρέτησης, και άλλα). Σε άλλες περιπτώσεις οι υποδομές θεωρούνται ότι μπορούν να εξυπηρετήσουν οποιοδήποτε πλήθος απαιτήσεων (uncapacitated )ενώ σε άλλες περιπτώσεις προβλημάτων τίθεται ανώτατο όριο στον αριθμό αυτό για κάθε υποδομή (capacitated). Ο ακέραιος προγραμματισμός έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως σε προβλήματα χωροθέτησης/κατανομής. Έχουν παρουσιαστεί εφαρμογές στις οποίες δεν λαμβάνεται υπόψιν η χωρητικότητα των σημείων εξυπηρέτησης και άλλες στις οποίες αποτελεί ένα επιπλέον κριτήριο (Boloori Arabani & Farahani, 2012; Lin, 2014). Έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για την εύρεση λύσεων ομαδοποίησης (clustering) προκειμένου να εντοπιστούν υποσύνολα χαρακτηριστικών (features) για τα οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα αποστάσεων από το πλησιέστερο κέντρο (Benati, Puerto, & Garcia, 2018). Στο παρελθόν έχει μελετηθεί το θέμα της βέλτιστης κατανομής των μαθητών αλλά και της χωροταξίας και του σχεδιασμού των σχολικών μονάδων σε αστικά ή μή κέντρα, με βασικά κριτήρια, της απόστασης μαθητή από τη σχολική μονάδα, την μεγιστοποίηση της περιοχής κάλυψης και την χωρητικότητα των σχολικών μονάδων Παραδείγματα μελετών είναι η ανάθεση μαθητών με εφαρμογή του αλγορίθμου p- median, για τη πόλη του Ντακάρ (Fagueye Ndiaye, Babacar Mbaye Ndiaye, 2012) και το Bandung της Ινδονησίας (Alifi, Hayati, & Supangkat, 2017) αλλά και άλλες (Armstrong, Lolonis, & Honey, 1993; Møller-Jensen, 1998). Σε εθνικό επίπεδο έχει μελετηθεί σχετικό προβλήμα χωροθέτησης κατανομής, με εφαρμογή στην περίπτωση της περιοχής του νομού Μαγνησίας (Καραδήμας, 2012). 24

26 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Είναι γεγονός ότι τα προβλήματα χωροθέτησης κατανομής, αποτελούν συνδυαστικά προβλήματα βελτιστοποίησης αφού η λύση τους βασίζεται στην ανάλυση της χωρικής κατανομής των σημείων απαίτησης (πελάτες) με κριτήριο την ελαχιστοποίησης του οποιουδήποτε κόστους. H λύση τέτοιων προβλημάτων είναι μη τετριμμένη λόγω του πολύ μεγάλου χώρου λύσεων, ενώ τα προβλήματα χαρακτηρίζονται ως NP-hard (Megiddo, N., & Supowit, 1984) λόγω του ότι είναι αδύνατη η εύρεση βέλτιστης λύσης σε πολυωνυμικό χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η εφαρμογή αλγορίθμων ακριβούς αναζήτησης λύσης με γραμμικό προγραμματισμό, ενδείκνυται μόνο σε προβλήματα μικρής κλίμακας. Για μεγάλης κλίμακας προβλήματα, έχουν προταθεί διάφοροι ευρετικοί (Heuristic) αλγόριθμοι επίλυσης. Πρόκειται για μέθοδους αναζήτησης που βασίζονται σε κάποιο ευρετικό μηχανισμό, ο οποίος βασίζεται στη γνώση για το συγκεκριμένο πρόβλημα και στη «κοινή λογική». Στόχος συνήθως της ευρετικής αναζήτησης είναι η εύρεση μία «καλής» εύκολα και γρήγορα και όχι απαραίτητα της βέλτιστης λύσης Μοντελοποίηση προβλήματος χωροθέτησης υποδομών Ας θεωρήσουμε το κλασικό πρόβλημα χωροθέτησης υποδομών. Δοθέντος ενός συνόλου L από τοποθεσίες πελατών και ένα σύνολο F από υποψήφιες θέσεις υποδομών εξυπηρέτησης, αναζητείται η βέλτιστη πρόταση για τελική εγκατάσταση των υποδομών αυτών καθώς και την περιοχή κάλυψής πελατών της κάθε μίας έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος. Θα πρέπει να ικανοποιηθούν όλες οι ανάγκες εξυπηρέτησης a i, ενώ ταυτόχρονα υπάρχει όριο εξυπηρέτησης (μέγιστη χωρητικότητα) C για κάθε υποδομή. Ως κόστος (το οποίο πρέπει να ελαχιστοποιηθεί) ορίζεται το άθροισμα των αποστάσεων c ij μεταξύ υποδομή j και του εξυπηρετούμενου πελάτη i, ενώ προστίθεται πάντα ένα πάγιο κόστος f j για την εγκατάσταση της υποδομής στη θέση j. Ορίζεται y j =1 όταν επιλέγεται η θέση j για εγκατάσταση υποδομής ενώ σε άλλη περίπτωση η τιμή είναι 0. Επίσης ορίζεται x ij =1 όταν ο πελάτης I ανατίθεται στην υποδομή j, αλλιώς είναι ίσο με 0. Με βάση τα παραπάνω, η διατύπωση του προβλήματος δίνεται με ακέραιο γραμμικό προγραμματισμό ως εξής (Dalgleish et al., 2007): 25

27 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Απαίτηση ελαχιστοποίησης (minimize) j F c ij x ij + j F f j y j i L (1) Υπό την προϋπόθεση ότι (subject to): j F x ij = 1 i L (2) x ij y j i L, j F (3) i L a i x ij Cy j j F (4) x ij {0,1} i L, j F (5) y j {0,1} j F (6) Στην περίπτωση που δεν υπάρχει πάγιο κόστος στην εγκατάσταση μία υποδομής, η απαίτηση ελαχιστοποίησης του μοντέλου περιορίζεται στην αντικειμενική συνάρτηση: Minimize j F c ij x ij j F f j y j i L Ο περιορισμός (2) εξασφαλίζει ότι κάθε πελάτης θα εξυπηρετηθεί σίγουρα από κάποια υποδομή. Ο περιορισμός (3) εξαναγκάζει την εγκατάσταση υποδομής στη θέση j αν ανατεθεί σε αυτή τουλάχιστο ένας πελάτης. Τέλος ο περιορισμός (4) ελέγχει τον περιορισμό χωρητικότητας της κάθε υποδομής. Οι τελευταίες δύο αφορούν τον έλεγχο του πεδίου τιμών του x ij και y j (δυαδικές τιμές, όπως περιγράφηκε προηγουμένως). 26

28 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Κεφάλαιο 3ο 3.1. Δεδομένα Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας, απαιτήθηκαν δεδομένα από ποικίλες πηγές. Όπως περιγράφεται παρακάτω, απαιτήθηκαν δεδομένα χαρτογράφησης της περιοχής μελέτης, του οδικού δικτύου της περιοχής, καθώς και ενδεικτικά δεδομένα μαθητών προκειμένου να γίνει η δοκιμή της εφαρμογής Εξαγωγή δεδομένων οδικού δικτύου-openstreetmap Τα δεδομένα υποβάθρου που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία, αντλήθηκαν από το δικτυακό τόπο του πρότζεκτ OpenStreetMap ( Το πρότζεκτ OpenStreetMap είναι ένας ανοικτός, επεξεργάσιμος, διαδραστικός, παγκόσμιος χάρτης ο οποίος βασίζεται σε εθελοντικές συνεισφορές χρηστών από όλο το κόσμο. Οι βασικές κατηγορίες στοιχείων (elements) των δεδομένων του OpenStreetMap είναι ( About OpenStreetMap - OpenStreetMap Wiki, 2017) α) κόμβοι (nodes) οι οποίοι καθορίζουν σημεία ποικίλου ενδιαφέροντος πάνω στην επιφάνεια του χάρτη (πόλεις, σιντριβάνια, σηματοδότες, στύλους ηλεκτροδότησης κλπ.) β) διαδρομές (ways), οι οποίες καθορίζουν διάφορα γραμμικά χαρακτηριστικά του χάρτη ή σύνορα (οδοί, κτίρια, πάρκα κλπ.) και τέλος, γ) σχέσεις (relations) οι οποίες χρησιμοποιούνται συχνά για να καθορίσουν την συσχέτιση των άλλων στοιχείων (χαρακτηρισμός εθνικών οδών, κατεύθυνση κυκλοφορίας κλπ.). Όλα τα παραπάνω συνοδεύονται από μία ή περισσότερες σημάνσεις (tags) οι οποίες επεξηγούν την σημασία κάθε στοιχείου Τα δεδομένα του OpenStreetMap είναι αδειοδοτημένα υπό την Open Data Commons Open Database License (ODbL) ( ODbL Open Data Commons, 2018), και είναι 27

29 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης διαθέσιμα για επεξεργασία και χρήση από οποιονδήποτε ενδιαφερόμενο. Είναι δυνατή η εξαγωγή δεδομένων μία περιοχής αλλά και ολόκληρου του πλανήτη. Τα δεδομένα του openstreetmap μπορούν να εξαχθούν είτε από τον δικτυακό τόπο απευθείας, είτε από άλλους δικτυακούς τόπους οι οποίοι συγχρονίζουν και διαθέτουν τα δεδομένα αυτά. Τα δεδομένα μπορούν να εξαχθούν σε διάφορες μορφές, όπως OSM XML, PBF Format, o5m, Overpass JSON και άλλες Χωρικά δεδομένα περιοχής μελέτης Για τις ανάγκες της εφαρμογής όσον αφορά την περιοχή μελέτης της Μυτιλήνης, έγινε αξιοποίηση των δεδομένων χωρικής αποτύπωσής των κτιρίων της περιοχής, αποτέλεσμα μελέτης και επεξεργασία από την ομάδα του επίκουρου καθηγητή Δρ Καβρουδάκη Δημήτρη (Εργαστήριο Χωρικής Ανάλυσης, Συστημάτων Γεωγραφικών Πληροφοριών και Τηλεπισκόπισης, Τμήμα Γεωγραφίας, Πανεπιστήμιο Αιγαίου). Το shapefile των κτιρίων ήταν απαραίτητο, επειδή η σχετική πληροφορία στο Openstreetmap είναι ανεπαρκής για την συγκεκριμένη περιοχή. Τέλος, δημιουργήθηκε shapefile αρχείο με τις τοποθεσίες των υφιστάμενων σχολικών μονάδων, καθώς και τις χωρητικότητες της πρώτης τάξης του καθενός, τους βάσει των εγκυκλίων της διεύθυνσης δευτεροβάθμιας του νομού Λέσβου. Σε όλα τα δεδομένα επιλέχθηκε το Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστημα Αναφοράς 1987 (GGRS87 / Greek Grid - EPSG:2100) 3.2. Τεχνολογίες και λογισμικά Η επεξεργασία και ανάλυση των δεδομένων, έγινε με την χρήση τεχνολογιών ελευθέρων και ανοικτών λογισμικών τα οποία επίσης εν συντομία περιγράφονται παρακάτω: QGIS Το QGIS είναι μία ανοικτή και ελεύθερη εφαρμογή GIS, διαθέσιμη σε διάφορα λειτουργικά συστήματα, η οποία επιτρέπει την προβολή, επεξεργασία και ανάλυση γεωχωρικών δεδομένων. Υποστηρίζει διανυσματικά (vector) αλλά και ψηφιογραφικά (raster) γεωχωρικά δεδομένα, έχει μία εκτεταμένη βάση ενθέτων (plugins) και 28

30 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες υποστηρίζεται από μία πολυπληθής κοινότητα προγραμματιστών οι οποίοι σε τακτά χρονικά διαστήματα ενημερώνουν και επεκτείνουν την εφαρμογή. Η άδεια χρήσης του είναι η GNU General Public License PostgreSQL Σύστημα διαχείρισης βάσεων δεδομένων με υποστήριξη γεωγραφικών δεδομένων, το οποίο έχει αναπτυχθεί μέσω μίας κοινοπραξίας (PostgreSQL Global Development Group) διαφόρων εταιριών αλλά και ιδιωτών προγραμματιστών. Διατίθεται δωρεάν και είναι ανοικτού κώδικά και η άδεια χρήσης της (PostgreSQL License) επιτρέπει, όπως αναφέρεται μεταξύ άλλων ( PostgreSQL: License, 2018), την χρήση, αντιγραφή τροποποίηση και διανομή του λογισμικού για σκοπό εμπορικό ή μή. Κύρια χαρακτηριστικά της είναι η αξιοπιστία, η υποστήριξη πληθώρας χαρακτηριστικών και οι επιδόσεις κατά την διαχείριση και επεξεργασία των δεδομένων. H postgresql μπορεί να υποστηρίξει από απλές βάσεις δεδομένων για προσωπική χρήση, μέχρι συστήματα βάσεων δεδομένων βασισμένα σε server, με ταυτόχρονη πρόσβαση πολλών χρηστών μέσω διαδικτύου PostGIS Η PostGIS είναι μια επέκταση (extention) της Postqresql για διαχείρισης χωρικών βάσεων δεδομένων. Με την εγκατάσταση της επέκτασης PostGIS στη Postqresql, δίνεται η δυνατότητα υποστήριξης γεωγραφικών και χωρικών αντικειμένων με εκτέλεση χωρικών ερωτημάτων SQL. Η επέκταση αυτή προσθέτει έξτρα τύπους δεδομένων στη βάση Postgresql όπως geometry, geography, raster και άλλα. Παράλληλα προσθέτει συναρτήσεις, τελεστές και επεκτάσεις δεικτών τα οποία εφαρμόζονται σε αυτούς τους χωρικού τύπους δεδομένων. Η δυνατότητα επεξεργασίας και ανάλυσης δεδομένων vector και raster με την χρήση SQL αποτελεί σημαντικό χαρακτηριστικό, αφού οι απαιτήσεις υπολογιστικών πόρων μεταφέρονται από τον υπολογιστή πελάτη στον διακομιστή. Η PostGIS είναι επίσης λογισμικό ελεύθερο και ανοικτού κώδικα και διανέμεται κάτω από την άδεια GNU General Public License ( GNU General Public License version 2 Open Source Initiative, 2018). 29

31 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης pgrouting Πρόκειται για μία επέκταση (extention) του συστήματος διαχείρισης γεωχωρικών βάσεων PostGIS / PostgreSQL, ή οποία παρέχει δυνατότητες δρομολόγησης καθώς και άλλες λειτουργικότητες ανάλυσης δικτύων. Προϋπόθεση για να γίνει δυνατή η ανάλυση δικτύων (πχ οδικών), είναι η δημιουργία τοπολογίας δικτύου δρομολόγησης βασισμένη στα αντίστοιχα δεδομένα (πχ δεδομένα οδών) που διαχειρίζεται η βάση. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ακμή (edge) του δικτύου θα πρέπει να καταλήγει στα δύο άκρα της, σε δύο μοναδικούς κόμβους (nodes) οι οποίοι μπορεί βέβαια να συνδέονται με άλλες ακμές επίσης. Από το δίκτυο αυτό των διασυνδεδεμένων ακμών και κόμβων δημιουργείται ένας γράφος ο οποίος χρησιμοποιείται για τις λειτουργίες δρομολόγησης του από το pgrouting. Η βιβλιοθήκη του pgrouting περιλαμβάνει χαρακτηριστικά όπως ο υπολογισμός συντομότερης διαδρομής Dijkstra, απόστασης διαδρομής, Κ-shortest path, πολλαπλών εναλλακτικών διαδρομών, K-Dijkstra, ένα προς πολλά συντομότερες διαδρομές και άλλα. Οι δυνατότητες και τα χαρακτηριστικά του pgrouting διατίθενται κατά βάση κάτω από την άδεια GNU General Public License, version Γλώσσα προγραμματισμού R/R studio H R είναι μία γλώσσα προγραμματισμού, προσανατολισμένη στην στατιστική ανάλυση δεδομένων και την γραφική απεικόνισή τους. Χρησιμοποιείται ευρέως από στατιστικολόγους, ειδικούς εξόρυξης δεδομένων (data miners) και γενικά σε οποιονδήποτε επιστημονικό τομέα ο οποίος απαιτεί ανάλυση δεδομένων. Υπάρχουν εκδόσεις για διάφορα λειτουργικά συστήματα είναι ανοικτού κώδικα και διατίθεται κάτω από την GNU General Public License. Η ενεργή κοινότητα χρηστών της επεκτείνει συνεχώς την λειτουργικότητά της γλώσσας, με νέες λειτουργίες (libraries ή packages). Το R Studio είναι ένα περιβάλλον ανάπτυξης κώδικα σε R το οποίο παρέχει ένα εξελιγμένο προγραμματιστικό περιβάλλον με συντάκτη, λειτουργίες εκσφαλμάτωσης (debugging) και εργαλεία οπτικοποίησης. Αναπτύσσεται από μία ομάδα προγραμματιστών της κοινότητας της R και παρέχει εκδόσεις εμπορικές και μη. Η δωρεάν έκδοση του R studio παρέχεται κάτω από άδεια AGPL ( GNU Affero General Public License, 2007). 30

32 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες 3.3. Περιοχή μελέτης Η παρούσα εργασία, έχει σαν περιοχή μελέτης την έκταση που καλύπτουν τα δημοτικά διαμερίσματα της Μυτιλήνης (πρωτεύουσα της νήσου Λέσβου), των Λουτρών, της Αγίας Μαρίνας, των Αλυφαντών, και των Ταξιαρχών. Ο συνολικός πληθυσμός των διαμερισμάτων αυτών του Δήμου Λέσβου ανέρχεται στους κατοίκους (Ελληνική Στατιστική Αρχή/ ΕΛΣΤΑΤ, 2014). Χάρτης 1 : Η περιοχή μελέτης (πηγή:openstreetmap) Στην περιοχή αυτή ο μαθητικός πληθυσμός ο οποίος ηλικιακά ανήκει στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση κατανέμεται σε 6 Ημερήσια και 1 Εσπερινό Γυμνάσιο, 5 Γενικά Λύκεια, 2 Ημερήσια Επαγγελματικά Λύκεια, 1 Εσπερινό Επαγγελματικό λύκειο καθώς και ένα Μουσικό σχολείο (Γυμνάσιο και Λύκειο). Όσον αφορά τα Ημερήσια Γυμνάσια, τα οποία αφορά η παρούσα εργασία, δεν συνυπολογίζεται το Μουσικό σχολείο Μυτιλήνης το οποίο εγγράφει μαθητές απ' όλο το νησί, μετά από δήλωση του κηδεμόνα και όχι μέσα από την διαδικασία της κατανομής του μαθητικού πληθυσμού. Η χωροθέτηση των έξι Γυμνασίων τα οποία εξυπηρετούν το πληθυσμό 31

33 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης ολόκληρης της περιοχής μελέτης, φαίνεται στον χάρτη 2. Παρατηρείται συγκέντρωση των σχολικών μονάδων εντός του αστικού πυρήνα της πόλης τα οποία όμως είναι ανομοιόμορφα κατανεμημένα, συνέπεια της έλλειψης μακρόπνοου σχεδιασμού, αλλά και της άναρχης αστικής εξάπλωσης τις τελευταίες δεκαετίες (χάρτης 2). Χάρτης 2: Σχολικές μονάδες (Γυμνάσια) περιοχής μελέτης Η χωροταξική κατανομή των Γυμνασίων της πόλης, καθορίστηκε με την υπ.αριθ. 4613/ απόφαση της διεύθυνσης δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ν.λέσβου. Η χαρτογραφική αποτύπωση της χωροταξικής κατανομής φαίνεται στον χάρτη 3. Να σημειωθεί ότι το 1ο Γυμνάσιο εξυπηρετεί μόνο περιοχές στα προάστια της πόλης (Βαρειά, Αγία Μαρίνα, Αλυφαντά, Ταξιάρχες κλπ). 32

34 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Χάρτης 3: Υφιστάμενη χωροταξική κατανομή μαθητών βασισμένη στην διαίρεση της πόλης σε σταθερές ζώνες. (, Η αποτύπωση των σχολικών μονάδων της περιοχής μελέτης αναδεικνύει την ανομοιόμορφη χωροθέτηση τους, εντός της πόλης. Το γεγονός αυτό απεικονίζεται και στον χάρτη 4, όπου εμφανίζονται μεγάλες περιοχές εντός του αστικού ιστού, οι οποίες απέχουν πάνω από 800μ από τις πλησιέστερες σχολικές μονάδες. Περιοχές προς τα ανατολικά, βόρεια και ιδιαίτερα προς τα νότια της πόλης, απέχουν μεγάλες αποστάσεις από τα πλησιέστερα γυμνάσια. Το ίδιο συμβαίνει και στους οικισμούς και τα χωριά πλησίον της πόλης, τα οποία περιλαμβάνει η περιοχή μελέτης, και στα οποία δεν υπάρχουν σχολικές μονάδες δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Μαθητέςκάτοικοι των περιοχών αυτών μεταφέρονται με δαπάνη της πολιτείας στα σχολεία της πόλης είτε με Ειδικά Μαθητικά Δελτία, είτε μισθωμένα οχήματα, είτε με ιδία μέσα (με χιλιομετρική αποζημίωση). 33

35 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Χάρτης 4: Περιοχές κάλυψης με κριτήριο απόστασης 500 και 800μ (επεξεργασία QGis, pgrouting plugin) Όσον αφορά την χωρητικότητα των σχολείων, η υπ.αρίθμ 2287/ απόφαση της διεύθυνσης δευτεροβάθμιας ν. Λέσβου, καθορίζει μεταξύ άλλων, τον μέγιστο αριθμό της Α τάξης κάθε γυμνασίου όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Σχολική μονάδα 1 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Εξήντα (60) 2 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Εξήντα (60) Ανώτατο όριο μαθητών Α τάξης 3 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Ογδόντα πέντε (85) 4 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Ενενήντα (90) 5 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Ενενήντα (90) 6 ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Σαράντα τέσσερις (44) Πίνακας 1: Χωρητικότητες Α τάξης γυμνασίων της περιοχής μελέτης 34

36 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Κεφάλαιο 4ο 4.1. Μεθοδολογία υλοποίησης εφαρμογής Στο κεφάλαιο αυτό, παρατίθενται τα στάδια υλοποίησης της τελικής εφαρμογής, στα οποία αναφέρονται όλες οι διαδικασίες εφαρμογής τεχνικών και λογισμικών αποφεύγοντας παράλληλα τις λεπτομερειακές αναφορές σε λιγότερο σημαντικά ή καθαρά τεχνικά σημεία. Όπως φαίνεται και παρακάτω, η υλοποίηση μιας τέτοιας αυτοματοποιημένης εφαρμογής ανάθεσης των μαθητών σε σχολικές μονάδες αλλά και σε οποιαδήποτε παρόμοια περίπτωση κατανομής μέσω χωρικής ανάλυσης, απαιτεί τον συνδυασμό τεχνολογιών και την επεξεργασία των χωρικών και μη δεδομένων σε διάφορες πλατφόρμες. Ο λόγος που γίνεται αυτό, είναι προκειμένου να αξιοποιηθούν τα πλεονεκτήματα της κάθε τεχνολογίας και να εκτελεστούν λειτουργίες στις οποίες πλεονεκτούν κάποιες απέναντι στις υπόλοιπες. Τα βασικά στάδια της υλοποίησης εμφανίζονται παρακάτω: Εικόνα 3: Φάσεις υλοποίησης εφαρμογής Προετοιμασία δεδομένων Η εξαγωγή των χαρτογραφικών δεδομένων της περιοχής μελέτης από το openstreetmap προτζεκτ, έγινε απ ευθείας από το δικτυακό τόπο 35

37 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Η εξαγωγή έγινε σε μορφή OSM XML. Το εξαγόμενο αρχείο έχει πληροφορίες, σε μορφή XML που παρέχεται από το API του openstreetmap, για όλα τα στοιχεία που περιέχονται στην εξαγόμενη περιοχή. Το αρχείο εισήχθη στο περιβάλλον QGIS και διατηρήθηκε μόνο το τμήμα με τις πληροφορίες που αφορούσαν οδικό δίκτυο, ακτογραμμές και άλλα γραμμικά χαρακτηριστικά (Γεωμετρίες lines ή multilines). Η πληροφορία που διατηρήθηκε αποθηκεύτηκε σε μορφή ESRI shapefile. Τα δεδομένα ελέγχθηκαν σε πρώτο στάδιο οπτικά και διεγράφησαν δεδομένα γραμμών που είχαν αποτυπωθεί στο χάρτη αλλά δεν αντιπροσώπευαν οδικό δίκτυο (κλειστές γραμμές ή διάσπαρτα ευθύγραμμα τμήματα). Επόμενο στάδιο ήταν η προετοιμασία των δεδομένων των οδών, προκειμένου να δημιουργηθεί η τοπολογία δικτύου. Για το σκοπό αυτό, το οδικό δίκτυο στην τελική του μορφή, θα έπρεπε να αποτελείται μόνο από ευθύγραμμα τμήματα τα οποία ουσιαστικά θα συνέδεαν κάθε σημείο (κόμβο) το οποίο αντιπροσωπεύει στο δίκτυο, είτε κτίριο, είτε διασταύρωση. Έτσι σε πρώτη φάση, απαιτήθηκε το «σπάσιμο» των γραμμών στις διασταυρώσεις έτσι ώστε το αρχείο να περιέχει μόνο απλά ευθύγραμμα τμήματα (ακμές). Η επεξεργασία έγινε με την χρήση του plugin v.clean από την βιβλιοθήκη του λογισμικού GRASS GIS (λογισμικό ανοικτού κώδικα), το οποίο δημιούργησε επίσης και ένα shapefile με τα σημεία των διασταυρώσεων. Μέσω του plugin αυτού έγινε επίσης έλεγχος και διόρθωση του δικτύου για πιθανές εγγραφές με ίδια γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Τα δεδομένα κτιρίων της πόλης, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω διατέθηκαν από την ομάδα του Δρ. Καβρουδάκη Δημήτρη (Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Γεωγραφίας).Η ομάδα επεξεργάστηκε δεδομένα τα οποία διέθεσε η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ, μετά από αίτημα του τμήματος Γεωγραφίας του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Τα πρωτογενή δεδομένα αποτελούσαν τα οικοδομικά τετράγωνα και δεδομένα πληθυσμού ανά ηλικιακή περιοχή (0-4, 5-9, κλπ.) και φύλλο (ΕΛΣΤΑΤ, 2011). Τα δεδομένα αυτά συνδυάστηκαν με έρευνα πεδίου προκειμένου να καταγραφεί και η χρήση γης ανά όροφο κτιρίου, προκειμένου να γίνει αναγωγή του πληθυσμού σε επίπεδο κτιρίου. Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας, χρησιμοποιήθηκε μόνο η χωρική πληροφορία των κτιρίων της πόλης. 36

38 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Το αρχείο shapefile με τα δεδομένα των κτιρίων καθαρίστηκε από πληροφορία που δεν ήταν χρήσιμη για την παρούσα εργασία, και κατόπιν μέσω QGIS και του λειτουργίας polygon centroids, δημιουργήθηκαν κεντροειδή σε κάθε κτίριο στα οποία μεταφέρθηκαν όλα τα attributes του αντίστοιχου πολυγώνου (κτιρίου). Τα κεντροειδή αυτά κατόπιν «μετατοπίστηκαν» γεωμετρικά στο πλησιέστερο σημείο του οδικού δικτύου, με χρήση της λειτουργίας snap points to lines στο περιβάλλον του QGis. Η τελική φάση προετοιμασίας των δεδομένων δικτύου ήταν ο εκ νέου κατακερματισμός των γραμμών, σε όποιο σημείο αντιστοιχούσε με κεντροειδή κτιρίου, προκειμένου κάθε ακμή να περιέχει μόνο στα άκρα της, κόμβους του δικτύου. Η λειτουργία που χρησιμοποιήθηκε στο QGIS ήταν η connect nodes to lines. Στην εικόνα 5 απεικονίζεται τμήμα της τοπολογίας, όπου κάθε κτίριο και κάθε διασταύρωση έχει αποτυπωθεί με ένα κόμβο πάνω στο οδικό δίκτυο, ενώ κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο γειτονικούς κόμβους, αποτελεί ξεχωριστή εγγραφή. Εικόνα 4 Απόσπασμα της τοπολογίας δικτύου Όσον αφορά τα δεδομένα των μαθητών οι οποίοι θα κατανεμηθούν στα υφιστάμενα γυμνάσια της περιοχής, στην πραγματικότητα μπορούν να αντληθούν είτε από το νέο σύστημα ηλεκτρονικών εγγραφών (το οποίο επί του παρόντος αφορά μόνο τις εγγραφές των αποφοιτησάντων των γυμνασίων στα λύκεια) είτε από το ενιαίο πληροφοριακό σύστημα μηχανογραφικής υποστήριξη των σχολικών μονάδων και των διοικητικών δομών της εκπαίδευσης, 37

39 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Οι αρμόδιες αρχές (διευθύνσεις πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης) που σύμφωνα με την νομοθεσία είναι υπεύθυνες για την χωροταξική κατανομή των μαθητών στις σχολικές μονάδες, έχουν την δυνατότητα να εξάγουν τις πληροφορίες των μαθητών σε αρχείο διαφόρων τύπων (pdf, csv, excel κλπ), επιλέγοντας τα πεδία πληροφορίας που επιθυμούν, τηρώντας ασφαλώς τις προδιαγραφές προστασίας δεδομένων. Στην παρούσα εργασία, χρησιμοποιήθηκαν «κατασκευασμένα» δεδομένα μαθητών για τις ανάγκες της προσομοίωσης. Το απαιτούμενο αρχείο εισόδου των στοιχείων των μαθητών στην εφαρμογή, είναι σε μορφή excel (.xlsx) ενώ η δομή και τα πεδία πληροφορίας που απαιτούνται φαίνονται παρακάτω (εικόνα 2). Στην εικόνα φαίνονται τρία επιπλέον πεδία που απαιτούνται για την εισαγωγή των συντεταγμένων (σε σύστημα αναφοράς WGS84) και την διεύθυνση που αντιστοιχείται μέσω της διαδικασίας γεωκωδικοποίησης, προκειμένου να είναι δυνατός ο έλεγχος των αποτελεσμάτων. Εικόνα 5: Μορφή αρχείου δεδομένων εισόδου για τους (ενδεικτικούς) μαθητές προς κατανομή 38

40 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Δημιουργία τοπολογίας δικτύου Η δημιουργία τοπολογίας δικτύου με την χρήση του pgrouting, προϋποθέτει την δημιουργία μιας βάσης δεδομένων στο περιβάλλον της PostgreSQL. Στο σύστημα της PostgreSQL εγκαθίστανται η επέκταση PostGIS προκειμένου να διαχειριστεί η βάση χωρικά δεδομένα, καθώς και η επέκταση pgrouting προκειμένου να γίνει η δημιουργία τοπολογίας δικτύου. Η έκδοση της PostgreSQL που χρησιμοποιήθηκε είναι η 11.0, της επέκτασης PostGIS και η έκδοση του pgrouting είναι η Η βάση εγκαταστάθηκε τοπικά, σε περιβάλλον windows 10. Η διαχείριση της βάσης σε πρώτο επίπεδο έγινε μέσα από το περιβάλλον του pgadmin 4 (έκδοση 3.4), ενός εργαλείου επίσης ανοικτού κώδικα, για την διαχείριση βάσεων PostgreSQL. Το pgadmin δίνει μεταξύ άλλων, την δυνατότητα σύνταξης ερωτημάτων SQL τα οποία κατόπιν εκτελούνται από τον διακομιστή που φιλοξενεί την διαχειριζόμενη βάση. Η «δημιουργία τοπολογίας» των δεδομένων οδικού δικτύου της περιοχής σημαίνει ότι θα πρέπει να δημιουργηθεί ένα γράφος στον οποίο κάθε ακμή του οδικού δικτύου, θα πρέπει να συνδέεται στα άκρα της με δύο μοναδικούς κόμβους του δικτύου, στους οποίους βέβαια είναι δυνατόν να συνδέονται και άλλες ακμές. Το σύνολο των ακμών, οι οποίες συνδέονται με τους κόμβους δημιουργούν τον ζητούμενο γράφο, ο οποίος μετέπειτα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για δρομολόγηση. Η διαδικασίας δημιουργίας της τοπολογίας, γίνεται με την εντολή pgr_createtopology: SELECT pgr_createtopology('roads_splitted_all', , 'geom', 'id', 'source', 'target', clean := TRUE); όπου 'roads_splitted_all' είναι ο πίνακας των ακμών του διασπασμένου δικτύου Το αποτέλεσμα της διαδικασίας, είναι η δημιουργία δύο (2) πινάκων στη βάση δεδομένων, ενός με τα edges και με τις ταυτότητες των κόμβων (vertices) που συνδέει, και ενός με τον κατάλογο των κόμβων. Και οι δύο πίνακες συμπεριλαμβάνουν ασφαλώς και την αντίστοιχη χωρική πληροφορία κάθε οντότητας. Στο πίνακα των vertices έχει προστεθεί, σε δεύτερη φάση, η πληροφορία της χωρητικότητας στα id που αντιστοιχούν στα έξι σχολεία της πόλης. 39

41 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Εικόνα 6 Απεικόνιση του οδικού δικτύου της περιοχής μελέτης, σε μορφή χωρικού δικτύου (επεξεργασία-οπτικοποίηση σε περιβάλλον R studio, R igraph package) Γεωκωδικοποίηση διευθύνσεων μαθητών Γεωκωδικοποίηση (Geocoding) είναι η διαδικασία κατά την οποία γεωγραφικά στοιχεία όπως διευθύνσεις, σημεία ενδιαφέροντος κλπ. συσχετίζονται με γεωγραφικές συντεταγμένες. Αντίστροφη γεωκωδικοποίηση (reverse geocoding) είναι η διαδικασία αντιστοίχισης των γεωγραφικών συντεταγμένων ενός σημείο με μία φιλική προς τον χρήστη περιγραφική διεύθυνση. Ζητούμενο στην παρούσα εργασία, είναι η επεξεργασία του αρχείου Excel με τις διευθύνσεις μαθητών, μέσα από μία αυτοματοποιημένη διαδικασία γεωκωδικοποίησης, η οποία θα προσθέτει την πληροφορία των συντεταγμένων καθώς και την διεύθυνση που αντιστοιχήθηκε στις τρεις τελευταίες στήλες του αρχείου (lat, lon, geoaddress). Αυτό υλοποιήθηκε σε περιβάλλον R κάνοντας χρήση 40

42 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες της βιβλιοθήκης ggmap (Kahle & Wickham, 2013), η οποία στην τελευταία έκδοσή της δίνει την δυνατότητα δήλωσης API key για το Geocoding API της Google, σύμφωνα με τις τελευταίες προδιαγραφές του. Οι υπηρεσίες γεωκωδικοποίησης προσφέρονται ως υπηρεσία από την Google με ποικίλα μοντέλα χρέωσης, παρόλα αυτά παρέχονται δωρεάν εάν τα requests προς τους διακομιστές της Google, δεν ξεπερνάνε σε πλήθος κάποιες λίγες χιλιάδες σε ημερήσια βάση. Έτσι η γεωκωδικοποίηση γίνεται με χρήση του API της Google και οι συντεταγμένες καταγράφονται στο αρχείο των διευθύνσεων σε σύστημα WGS84. Στο σημείο αυτό να τονιστεί ότι είναι σημαντικός ο έλεγχος των αποτελεσμάτων της γεωκωδικοποίησης διότι είναι πιθανά λάθη αντιστοίχισης που οφείλονται σε παράγοντες όπως λανθασμένη ή ελλιπής αναγραφή διεύθυνσης ή χρήση ονόματος οδού η οποία δεν είναι καταγεγραμμένη στις βάσεις της Google. Σε αυτή την περίπτωση απαιτείται η διόρθωση των αναγραφόμενων διευθύνσεων και η επανάληψη της διαδικασίας γεωκωδικοποίησης. Να τονιστεί βέβαια ότι, για παράδειγμα, κατά τις δοκιμές γεωκωδικοποίησης, επί συνόλου 75 διευθύνσεων τα αποτελέσματα ήταν σωστά σε ποσοστό πάνω από 94% και μόνο 4 διευθύνσεις χρειάστηκαν διόρθωση. Αντίθετα στην περίπτωση της προσομοίωσης με πλήθος 360 διευθύνσεων από ολόκληρη την έκταση της πόλης, χρειάστηκε η διόρθωση σε 50 περίπου διευθύνσεις (ακρίβεια γεωκωδικοποίησης 86% περίπου). Το γεγονός οφείλεται κατά βάση στην ελλιπή καταγραφή στις βάσεις δεδομένων της Google μικρών οδών, ή παρόδων σε κάποιες γειτονιές της πόλης Αντιστοίχιση διευθύνσεων μαθητών στους πλησιέστερους κόμβους του δικτύου Στο στάδιο αυτό γίνεται η αντιστοίχιση των σημείων που προέκυψαν από την γεωκωδικοποίηση στα πλησιέστερα vertices του δικτύου, προκειμένου να ενημερωθεί κατάλληλα το πεδίο πληθυσμού μαθητών του σχετικού πίνακα («roadsfinal_vertices_pgr»). Μετά από την διαδικασία αυτή, ο πίνακας των vertices του οδικού δικτύου περιέχει και την πληροφορία του πληθυσμού των μαθητών, χωρικά κατανεμημένη με βάση την διεύθυνση κατοικίας. 41

43 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Η διαδικασία έγινε με εκτέλεση ερωτημάτων SQL στην βάση δεδομένων. Αρχικά δημιουργείται ο πίνακας με τα χωρικά προσδιορισμένα σημεία των μαθητών και κατόπιν δημιουργήθηκε ένας προσωρινός πίνακας («table math_vert_dist») με τις αποστάσεις κάθε σημείου μαθητών από το εκάστοτε πλησιέστερο vertice του δικτύου. create table math_vert_dist as (select distinct on (snapped.id) snapped.id as snapid, vert.id as pgrid, st_distance (snapped.the_geom,vert.geom) as dist from roadsfinal_vertices_pgr as vert, mathites as snapped order by snapped.id, dist) Στη συνέχεια αφού μηδενιστεί το πεδίο των πληθυσμών των μαθητών (pop12), ενημερώνεται το πεδίο αυτό για τα vertices του δικτύου που αναφέρονται στον προσωρινό πίνακα που δημιουργήθηκε προηγουμένως. update roadsfinal_vertices_pgr set pop12 = (select count (*) from math_vert_dist where math_vert_dist.pgrid = roadsfinal_vertices_pgr.id) from mathites, math_vert_dist where math_vert_dist.snapid=mathites.id and roadsfinal_vertices_pgr.id=math_vert_dist.pgrid Προετοιμασία και εκτέλεση αλγορίθμου κατανομής Η εκτέλεση του αλγορίθμου κατανομής απαιτεί την κατασκευή ενός πίνακα αποστάσεων δικτύου (distance matrix) ο οποίος αναγράφει την διανυόμενη απόσταση δικτύου για κάθε κόμβο του οδικού δικτύου στον οποίο έχει αντιστοιχηθεί ένας ή περισσότεροι μαθητές, προς τους κόμβους των έξι σχολείων της περιοχής. Η όλη διαδικασία γίνεται σε περιβάλλον R, στην οποία γίνεται αξιοποίηση της 42

44 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες βιβλιοθήκης igraph (Csardi & Nepusz, 2006) η οποία εξειδικεύεται στην ανάλυση και οπτικοποίηση δεδομένων δικτύων. Η διαδικασία περιλαμβάνει την δημιουργία δικτύου (αντικειμένου igraph) στην R και κατόπιν τη κατασκευή του πίνακα αποστάσεων δικτύου, το οποίο αφορά μόνο το υποσύνολο των vertices με μαθητές σε σχέση με τα vertices των σχολείων. Ο υπολογισμός των ελάχιστων αποστάσεων γίνεται με χρήση του αλγορίθμου Dijkstra. Αφού δημιουργηθεί ο πίνακας αποστάσεων γίνεται επεξεργασία των δεδομένων που περιέχει, από τον αλγόριθμο επίλυσης της κατανομής. Το πρόβλημα μοντελοποιείται μέσω της βιβλιοθήκης ompr της R και εισάγονται οι περιορισμοί (constraints). Πρόκειται για ένα γραμμικό πρόβλημα βελτιστοποίησης μεικτού ακεραίου προγραμματισμού. Αφού γίνει η μαθηματική διατύπωση του μοντέλου στο περιβάλλον της R, καλείται ο κώδικας επίλυσης (solver). Ο κώδικας αυτός επεξεργάζεται τα δεδομένα υλοποιώντας συγκεκριμένο αλγόριθμο επίλυσης μοντέλων Μεικτού Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (mixed integer linear programming). Οι βιβλιοθήκες της R που χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση και επίλυση του μοντέλου είναι η ompr.roi, ROI.plugin.glpk (Schumacher, 2018). Η μοντελοποίηση του προβλήματος σε περιβάλλον R έγινε όπως φαίνεται παρακάτω: library(ompr) library(magrittr) model <- MIPModel() %>% add_variable( x[i,j], i=1:n, j=1:m, type="binary" ) %>% set_objective(sum_expr(transportcost(i,j) * x[i,j], i=1:n, j=1:m), "min") %>% (1) add_constraint(sum_expr(x[i,j], i=1:n) <= getcapacity(j), j=1:m) %>% (2) add_constraint(sum_expr(x[i,j], i=1:n) >=3, j=1:m) %>% (3) add_constraint(x[i,j]==x[getsamehouse(i,m),j],i=1:n, j=1:m) %>% (4) add_constraint(sum_expr(x[i,j], j=1:m) == 1, i=1:n) (5) 43

45 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Η σχέση (1) είναι η αντικειμενική συνάρτηση ενώ οι σχέσεις (2), (3), (4) και (5) είναι οι περιορισμοί που ορίστηκαν στο μοντέλο. Πιο συγκεκριμένα: ο έλεγχος χωρητικότητας (ανώτατου αριθμού μαθητών που μπορεί να δεχθεί στην πρώτη τάξη) του εκάστοτε σχολείου, η οποία δεν πρέπει να παραβιάζεται (σχέση 2). Αυτό επιτυγχάνεται με κατασκευή και χρήση συνάρτησης (getcapacity) που επιστρέφει την χωρητικότητα της κάθε σχολικής μονάδας. ο έλεγχος κατώτατου αριθμού μαθητών ανά σχολική μονάδα (για τις ανάγκες της προσομοίωσης τέθηκε κατώτατο όριο οι τρεις (3) μαθητές) (σχέση 3) η υποχρεωτική ανάθεση κάθε μαθητή σε ένα σχολείο (δεν πρέπει να υπάρξει μαθητής που δεν θα κατανεμηθεί σε σχολείο) (σχέση 4) ο έλεγχος έτσι ώστε όλοι οι μαθητές που κατοικούν στην ίδια διεύθυνση να ανατεθούν στην ίδια σχολική μονάδα (σχέση 5). Αυτό επιτυγχάνεται με την κατασκευή και χρήση συνάρτησης (getsamehouse) ελέγχει για ύπαρξη ή όχι μαθητή με ίδια χωρικά χαρακτηριστικά με τον υπό ανάθεση μαθητή Για την επίλυση του μοντέλου, είναι απαραίτητη η παραδοχή της επάρκειας μαθητών και χωρητικότητας σχολείων, καθώς επίσης και παραδοχών σε σχέση με τα κάτω όρια μαθητών ανά σχολείο και πλήθους μαθητών ανά διεύθυνση κατοικίας. Η κλήση του αλγορίθμου επίλυσης έγινε ως εξής: library(ompr.roi) library(roi.plugin.glpk) result = solve_model(model, with_roi(solver = "glpk", verbose =F)) 4.2. Υλοποίηση διεπαφής εφαρμογής Ο σχεδιασμός της διεπαφής της εφαρμογής κατανομής των μαθητών στις σχολικές μονάδες βασίστηκε στη βιβλιοθήκη Shiny της R (Chang, Cheng, Allaire, Xie, & McPherson, 2018). Πρόκειται για ένα framework για σχεδιασμό web εφαρμογών και παρέχεται κάτω από άδεια GPLv3. Η βιβλιοθήκη παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία και 44

46 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες προδιαμορφωμένες διεπαφές web για την διασύνδεση δεδομένων εισόδου για επεξεργασία μέσω της R, με την οπτικοποίησης των αποτελεσμάτων της επεξεργασίας. Προσφέρει ταυτόχρονα δυνατότητες αλληλεπίδρασης και τροποποίησης δεδομένων εισόδου /εξόδου μέσα από τη διεπαφή. Η διεπαφή (εικόνες 7,8,9 και 10) σχεδιάστηκε έτσι ώστε να δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να εισάγει προς επεξεργασία το αρχείο excel με τα δεδομένα των μαθητών και να ελέγχει πιθανά λάθη στην αναγραφή των διευθύνσεων, τα οποία προκαλούν εσφαλμένη γεωκωδικοποίηση, και να επανεισάγει τα δεδομένα στην περίπτωση αυτή. Μετά την επεξεργασία των δεδομένων από της R, η διεπαφή δίνει την δυνατότητα οπτικοποίησης των αποτελεσμάτων σε πίνακα, και χάρτες καθώς και εξαγωγής των αποτελεσμάτων σε shapefile. Εικόνα 7: Βασικό παράθυρο εισαγωγής δεδομένων εφαρμογής (Στιγμιότυπο) 45

47 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Εικόνα 8: Απεικόνιση διεπαφής αποτελεσμάτων γεωκωδικοποίησης (Στιγμιότυπο) Εικόνα 9: Απεικόνιση διεπαφής αποτελεσμάτων επίλυσης του προβλήματος βελτιστοποίησης κατανομής μαθητών στις σχολικές μονάδες (Στιγμιότυπο) 46

48 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Εικόνα 10 Χαρτογραφική απεικόνιση των αναθέσεων των μαθητών (Στιγμιότυπο διεπαφής) 4.3. Αποτελέσματα Για τις ανάγκες τις προσομοίωσης χρησιμοποιήθηκαν ενδεικτικά δεδομένα μαθητών, με τυχαία στοιχεία διευθύνσεων και προσωπικών στοιχείων. Χρησιμοποιήθηκαν αρχεία 20, 75 και 360 μαθητών. Οι χωρητικότητες ορίστηκαν σύμφωνα με την απόφαση της διεύθυνσης δευτεροβάθμιας (πίνακας 1). Ο ελάχιστος αριθμός μαθητών ανά σχολική μονάδα ορίστηκε στους 3, προκειμένου να είναι δυνατή η κάλυψη του περιορισμού και για τις τρεις περιπτώσεις. Παρακάτω (πίνακας 2) παρατίθενται ενδεικτικοί χρόνοι εκτέλεσης για τις βασικές διαδικασίες της γεωκωδικοποίησης και της εκτέλεσης του αλγορίθμου επίλυσης του γραμμικού μοντέλου. Αριθμός μαθητών Γεωκωδικοποίηση Επίλυση γραμμικού μοντέλου Με χωρητικότητα (capacitated) Χωρίς χωρητικότητα (non capacitated) 20 5, secs 0, secs 0, secs 75 21,0198 secs 2, secs 2, secs ,4 secs 16,73444 secs 15,31086 secs Πίνακας 2: Χρόνοι εκτέλεσης βασικών λειτουργιών εφαρμογής 47

49 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Οι χρόνοι προφανώς δεν είναι σταθεροί σε κάθε επανάληψης εκτέλεσης, ανάλογα με τις συνθήκες εκτέλεσης του αλγορίθμους, όσον αφορά τους υπολογιστικούς πόρους του υπολογιστή. Τα στοιχεία του πίνακα αναφέρονται σε υπολογιστή με επεξεργαστή Intel Pentium G GHz, 8 GB RAM, λειτουργικό Windows 10 64bit. Η γεωκωδικοποίηση δημιούργησε ένα πίνακα στην χωρική βάση με τις συντεταγμένες του σημείου κατοικίας του κάθε μαθητή. Ακολούθησε η επεξεργασία προκειμένου να βρεθούν οι πλησιέστεροι κόμβοι στο δίκτυο, στους οποίους ενημερώθηκε η στήλη του πληθυσμού. Το δίκτυο που δημιουργήθηκε έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά (πίνακας 3): Δίκτυο περιοχής μελέτης Κόμβοι (nodes) Ακμές (edges) Κατευθυνόμενο Όχι Πίνακας 3: Χαρακτηριστικά δικτύου περιοχής μελέτης head(actors) id pop12 is_school schoolname schoolcapacity NA <NA> NA o Gymnasio o Gymnasio o Gymnasio NA <NA> NA NA <NA> NA head(relations) from to mikos road_id Πίνακας 4: Απόσπασμα των δεδομένων κόμβων (actors) και ακμών (relations) του δικτύου της περιοχής μελέτης (περιβάλλον R studio) 48

50 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Ακόμα και στην περίπτωση εκτέλεσης του αλγορίθμου με 360 διευθύνσεις μαθητών, ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου ήταν μικρός (λιγότερα από 4 λεπτά), ενώ κατέληξε στην εύρεση βέλτιστης λύσης. 1 ο 2 ο 3 ο 4 ο 5 ο 6 ο Γυμνάσιο Γυμνάσιο Γυμνάσιο Γυμνάσιο Γυμνάσιο Γυμνάσιο Min. 109,8 94,22 66,66 53,26 192,7 2,606 1st Qu. 852,0 909,96 846,68 572,44 717,5 1341,559 Median 1371,3 1618, , , ,6 2100,883 Mean 1887,8 2077, , , ,0 2444,719 3rd Qu. 1837,7 2139, , , ,2 2572,503 Max , , , , , ,839 Πίνακας 5: Στατιστικά στοιχεία αποστάσεων δείγματος 360 μαθητών από τις 6 σχολικές μονάδες Η δημιουργία του πίνακα αποστάσεων (distance matrix), περιείχε τις αποστάσεις οδικού δικτύου από κάθε κατοικία μαθητή προς όλες τις διαθέσιμες σχολικές μονάδες. Βασικά στατιστικά μεγέθη του πίνακα αποστάσεων, καταγράφονται στον πίνακα 5. Όσον αφορά την επίλυση του γραμμικού μοντέλου, αυτή έγινε με περιορισμούς χωρητικότητας (capacitated), αλλά και χωρίς περιορισμούς χωρητικότητας (non capacitated). Οι παράμετροι των μοντέλων, για την περίπτωση των 360 μαθητών, φαίνονται παρακάτω (πίνακας 6): Mixed integer linear optimization problem Πλήθος μαθητών:360 Σχολικές μονάδες:6 capacitated Non capacitated Variables: Variables: Continuous: 0 Continuous: 0 Integer: 0 Integer: 0 Binary: 2160 Binary: 450 Model sense: minimize Model sense: minimize Constraints: 2532 Constraints: 2526 Αποτέλεσμα επίλυσης [1] "optimal" [1] "optimal" Πίνακας 6: Πίνακας παραμέτρων μοντέλου επίλυσης χωροθέτησης (δείγμα 360 μαθητών) 49

51 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Το πλήθος των περιορισμών (constraints) που αναγράφεται στον πίνακα 6, προκύπτει από την εφαρμογή τους σε όλο το πλήθος των μαθητών. Στον πίνακα 7 απεικονίζονται ενδεικτικά κάποια αποτελέσματα της προτεινόμενης (βέλτιστης) κατανομής των μαθητών. Όνομα Επώνυμο Σχολείο Διανυόμενη απόσταση (μ) ΙΓΝΑΤΙΟΣ 6o Gymnasio 93, ΚΑΛΛΙΟΠΗ 2o Gymnasio 94, ΜΑΡΙΑ -ΕΙΡΗΝΗ 4o Gymnasio 102, ΙΩΑΝΝΗΣ 3o Gymnasio 103, ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6o Gymnasio 107, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ 6o Gymnasio 107, ΑΓΛΑΪΑ 4o Gymnasio 109, ΑΝΝΑ-ΜΑΡΙΑ 1o Gymnasio 109, ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 1o Gymnasio 110, ΜΙΧΑΕΛΑ-ΤΑΞΙΑΡΧΟΥΛΑ 6o Gymnasio 111, ΙΓΝΑΤΙΟΣ 6o Gymnasio 93, ΚΑΛΛΙΟΠΗ 2o Gymnasio 94, ΜΑΡΙΑ -ΕΙΡΗΝΗ 4o Gymnasio 102, Πίνακας 7: Απόσπασμα πίνακα ανάθεσης μαθητών στις σχολικές μονάδες Μετά την ανάθεση των μαθητών στις σχολικές μονάδες, ο αλγόριθμος έδωσε τα συγκεντρωτικά του πίνακα 8: Σε αυτόν αναγράφεται και η συνολική διανυόμενη απόσταση των μαθητών που ανατέθηκαν σε κάθε σχολείο, αλλά και η μέση διανυόμενη απόσταση ανά μαθητή. 50

52 Χρήση μεθόδων χωρικής βελτιστοποίησης για κατανομή μαθητών σε σχολικές μονάδες Σχολική μονάδα Χωρητικότητα Πλήθος μαθητών Συνολική διανυόμενη απόσταση (μ) Μέση διανυόμενη απόσταση ανά μαθητή (μ) 1o Γυμνάσιο ,16 912,519 2o Γυμνάσιο ,14 431,538 3o Γυμνάσιο , ,664 4o Γυμνάσιο ,38 489,325 5o Γυμνάσιο , ,214 6o Γυμνάσιο ,48 631,486 Πίνακας 8: Αποτελέσματα κατανομής μαθητών για τις 6 σχολικές μονάδες της περιοχής μελέτης (360 μαθητές) Οι γραφικές αναπαραστάσεις των αποτελεσμάτων της εικόνας 10, παρήχθησαν από τον αλγόριθμο στο περιβάλλον του R studio. Ο τελικός χάρτης 5 απεικονίζει την ανάθεση των 360 μαθητών στις σχολικές μονάδες. Η χαρτογράφηση έγινε στο περιβάλλον του Qgis, με χρήση των shapefiles που εξήχθησαν από την εφαρμογή, μετά το τέλος της εκτέλεσης του αλγορίθμου. Εικόνα 11 Γράφημα convex hull και ραβδόγραμμα του πλήθους των μαθητών ανα σχολική μονάδα (επεξεργασία R studio) 51

53 Χατζηπαρασκευάς Ευριπίδης Χάρτης 5: Χάρτης ανάθεσης μαθητών (επεξεργασία QGIS) 52