ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ"

Transcript

1 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΤΙΒΩΝ ΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Λούκας Τσούκκας, Χρύσω Κύπρου, Αθανάσιος Γαγάτσης Πανεπιστήµιο Κύπρου, Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο σκοπός της παρούσας έρευνας είναι διπλός. Πρώτο, να εξετάσει την επίδραση των διαφορετικών µορφών αναπαράστασης στην επίδοση των µαθητών σε µοτίβα απλής και σύνθετης δοµής µε βάση τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων: α) εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, β) υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα και γ) ρητή χρήση ενός γενικού κανόνα, και δεύτερο να ελέγξει αν τα τρία αυτά επίπεδα µπορούν να αποτελέσουν τη βάση για το σχεδιασµό και την εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων κατάλληλων για την εισαγωγή των µαθητών στην άλγεβρα. Σε 143 µαθητές Στ τάξης δηµοτικού χορηγήθηκε αρχικό και τελικό δοκίµιο µοτίβων µε δραστηριότητες οι οποίες αφορούσαν στη συνέχιση ενός µοτίβου, τη συµπλήρωση µεγαλύτερων όρων του µοτίβου και τη διατύπωση γενίκευσης. Σε 49 από αυτούς έγινε διδακτική παρέµβαση. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι η αρχική µορφή αναπαράστασης επηρέασε την επίδοση των µαθητών κυρίως στα σύνθετα µοτίβα και ότι αντιµετώπισαν µε µεγαλύτερη δυσκολία τη λεκτική µορφή αναπαράστασης και µε µικρότερη τη συµβολική, ενώ η εικονική ήταν η πλέον εύκολη. Η διδακτική παρέµβαση είχε ως αποτέλεσµα τη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να επιλύουν απλά και σύνθετα µοτίβα και να κάνουν γενίκευση. 1. Εισαγωγή Τα µοτίβα βρίσκονται στην καρδιά των µαθηµατικών. Η ικανότητα των µαθητών να αναγνωρίζουν ή να αναπτύσσουν µοτίβα σχετίζεται µε την ικανότητά τους να συλλογίζονται µαθηµατικά (Liljedahl & Zazkis, 2001). O Schoenfeld (1992) περιγράφει τα Μαθηµατικά ως την επιστήµη των µοτίβων. Όπως ακριβώς τα µοτίβα, τα οποία περιλαµβάνουν µια σειρά από συστατικά µέρη που εξελίσσονται µ ένα σαφή και σταθερό τρόπο, έτσι και τα µαθηµατικά συνεπάγονται µια συστηµατική προσπάθεια για ανακάλυψη της φύσης των αρχών και των νόµων που διέπουν µε λογικό και συνεπή τρόπο διαφορετικά θεωρητικά συστήµατα ή µοντέλα του πραγµατικού κόσµου. Τα τελευταία χρόνια, οι δραστηριότητες µε µοτίβα έχουν γίνει ένα χαρακτηριστικό γνώρισµα του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών και πολλές προσπάθειες αποσκοπούν στη µέτρηση της επίδρασης και της αξίας τέτοιων εµπειριών στην ποιότητα και το σύνολο της µάθησης (Orton & Orton, 1996). Με βάση τις υποδείξεις διεθνών οργανισµών (π.χ. NCTM, 2000), πολλές χώρες έχουν προβεί στην εισαγωγή κεφαλαίου άλγεβρας στα νέα αναλυτικά τους προγράµµατα από τα προσχολικά χρόνια, γεγονός που αποδεικνύει το αυξανόµενο ενδιαφέρον γι αυτό το θέµα, καθώς επίσης και τη σπουδαιότητα και ανάγκη για ανάπτυξη αλγεβρικού συλλογισµού από µικρή ηλικία. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 203

2 Λ. Τσούκκας, κ.ά. 2. Θεωρητικό µέρος Αναπαραστάσεις και κατανόηση των µοτίβων Οι µαθητές έρχονται καθηµερινά σε επαφή µε µια ποικιλία αναπαραστάσεων στο µάθηµα των Μαθηµατικών. Αυτές οι αναπαραστάσεις είναι αναγκαίες για την παρουσίαση και την επικοινωνία µαθηµατικών ιδεών, όπως τα µοτίβα και µπορούν να πάρουν µια ή περισσότερες µορφές: λεκτική, συµβολική, εικονική κ.ά. (Gagatsis & Elia, 2004). Οι Zazkis & Liljedahl (2002) διακρίνουν τα µοτίβα σε διάφορες κατηγορίες µε βάση τη µορφή αναπαράστασης ή άλλα κριτήρια π.χ. αριθµητικά µοτίβα, γεωµετρικά µοτίβα, µοτίβα µε υπολογιστικές διαδικασίες, γραµµικά µοτίβα και µοτίβα δευτεροβάθµιας εξίσωσης, επαναλαµβανόµενα µοτίβα κ.ά. Σύµφωνα µε τους Orton, Orton & Roper (1999) οι διαφορετικές αναπαραστάσεις ενεργοποιούν διαφορετικές διαδικασίες και στρατηγικές. Η ενεργοποίηση κατάλληλων στρατηγικών εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τον τρόπο µε τον οποίο θα αναπαρασταθούν τα στοιχεία του µοτίβου. Ο σηµαντικός ρόλος των διαφορετικών αναπαραστάσεων στη µάθηση των µαθηµατικών φάνηκε µέσα από πολλές έρευνες όσον αφορά στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και τη λύση προβλήµατος (Duval, 2002; Gagatsis & Elia, 2004; Mousoulides & Gagatsis, 2004). Με βάση τα αποτελέσµατα των προαναφερθείσων ερευνών, η κατανόηση µιας έννοιας προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας σε µια ποικιλία αναπαραστάσεων και την ικανότητα ευέλικτου χειρισµού της έννοιας µέσα σε συγκεκριµένα συστήµατα αναπαράστασης. Εποµένως, η αναγνώριση σχέσεων στα µοτίβα σε διαφορετικές αναπαραστάσεις και ο συνδυασµός διαφορετικών µορφών αναπαράστασης ενός µοτίβου µπορεί να παίζει σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση της γενίκευσης από τους µαθητές και στην ανάπτυξη αλγεβρικού συλλογισµού. Ο Lannin (2005) εξέτασε τις αιτιολογήσεις που δίνουν µαθητές Στ τάξης δηµοτικού για τις γενικεύσεις που κάνουν στα µοτίβα σε εικονική ή λεκτική αναπαράσταση και τον τρόπο µε τον οποίο αυτές οι αιτιολογήσεις τους βοηθούν να κατανοήσουν τις γενικεύσεις που κάνουν, χρησιµοποιώντας προγράµµατα υπολογιστικών φύλλων ως εργαλείο διδασκαλίας. Οι αιτιολογήσεις που έδιναν οι µαθητές για τα µοτίβα κατηγοριοποιήθηκαν σε πέντε επίπεδα, ως ακολούθως: Επίπεδο 0: Καµιά αιτιολόγηση, Επίπεδο 1: Προσφυγή σε εξωτερική βοήθεια, Επίπεδο 2: Εµπειρική απόδειξη, Επίπεδο 3: Γενικό παράδειγµα και Επίπεδο 4: Επαγωγική αιτιολόγηση. Οι Michael et al. (προς δηµοσίευση) εξέτασαν την επίδραση των διαφορετικών µορφών αναπαράστασης στην επίδοση µαθητών Ε και Στ τάξης δηµοτικού σε µοτίβα απλής και σύνθετης δοµής σε δραστηριότητες οι οποίες αφορούσαν στη συνέχιση ενός µοτίβου, την εύρεση όρων σε µεγαλύτερες θέσεις και τη διατύπωση γενίκευσης. Η κατανόηση των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων κατηγοριοποιήθηκε σε τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας: εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα και ρητή χρήση ενός γενικού κανόνα. Επίσης, τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι η αρχική µορφή αναπαράστασης επηρέασε την επίδοση των παιδιών, κυρίως στα σύνθετα µοτίβα. Οι µαθητές αντιµετώπιζαν µε µεγαλύτερη ευκολία την εικονική µορφή αναπαράστασης σε σχέση µε τη λεκτική µορφή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 204

3 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις Οι Kyriakides & Gagatsis (2003) ερεύνησαν την αναπτυξιακή επίδοση σε δραστηριότητες µε µοτίβα µαθητών Α µέχρι Στ τάξης δηµοτικού, αναπτύσσοντας και επικυρώνοντας ένα µοντέλο το οποίο περιλαµβάνει έξι παράγοντες (κατηγορίες µοτίβων), ως ακολούθως: α) επαναλαµβανόµενα µοτίβα µε συµβολική αριθµητική µορφή, β) επαναλαµβανόµενα µοτίβα µε γεωµετρικά σχήµατα, γ) αναπτυσσόµενα µοτίβα µε συµβολική αριθµητική µορφή, δ) αναπτυσσόµενα µοτίβα µε γεωµετρικά σχήµατα ε) απλά µοτίβα που απαιτούν απλές αριθµητικές πράξεις και στ) σύνθετα µοτίβα που απαιτούν πιο σύνθετες αριθµητικές πράξεις. Εισαγωγή στην άλγεβρα µέσα από δραστηριότητες µοτίβων Η παραδοσιακή διδασκαλία της άλγεβρας στο σχολείο έχει κατακριθεί για την απλή ενασχόληση µε σύµβολα που συνήθως δεν έχουν πραγµατικό νόηµα για τους µαθητές (Mason, 1996). Αρκετοί ερευνητές έχουν προτείνει τη διερεύνηση µέσω δραστηριοτήτων µοτίβων ως εναλλακτική λύση για την εισαγωγή στην άλγεβρα. Η διερεύνηση µοτίβων αποτελεί µια βασική δραστηριότητα στα µαθηµατικά, αλλά και σε όλες τις επιστήµες. Οι µαθητές που προσπαθούν να εκφράσουν τα µοτίβα µαθηµατικά βρίσκονται σε πολύ ευνοϊκή θέση για να µάθουν την αλγεβρική γλώσσα και να ασχοληθούν µε την αλγεβρική δραστηριότητα (Lee & Freiman, 2006). Η διερεύνηση µοτίβων µπορεί να οδηγήσει σε ένα πλούσιο αλγεβρικό συλλογισµό για τις µεταβλητές και τους άγνωστους όρους, για την ισοδυναµία των αλγεβρικών εκφράσεων, για το χειρισµό συµβόλων και για τη λύση εξίσωσης µε σκοπό την εύρεση του αγνώστου. Οι English και Warren (1998) εισηγούνται µια προσέγγιση µε µοτίβα για την εισαγωγή της έννοιας της µεταβλητής. Υποστηρίζουν ότι στην παραδοσιακή διδασκαλία οι µεταβλητές εισάγονται ως άγνωστοι όροι σε εξισώσεις, όπου δε φαίνεται η πραγµατική τους φύση. Επιπρόσθετα, µια προσέγγιση µε µοτίβα δίνει στους µαθητές την ευκαιρία να παρατηρήσουν και να εκφράσουν γενικεύσεις και να τις καταγράψουν συµβολικά. Προτείνουν οι δραστηριότητες µοτίβων να µην περιορίζονται µόνο στην εισαγωγή της έννοιας της µεταβλητής, καθώς παρέχουν µια χρήσιµη και σταθερή βάση για εργασία µε σύµβολα. Η χρήση προγραµµάτων υπολογιστικών φύλλων στη διδασκαλία Από ένα πλήθος ερευνών σχετικών µε τη χρήση προγραµµάτων υπολογιστικών φύλλων στο µάθηµα των Μαθηµατικών έχει βρεθεί ότι η χρήση της τεχνολογίας µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές να κάνουν διασυνδέσεις ανάµεσα στις άτυπες ιδέες τους και στις τυπικές αναπαραστάσεις (Sutherland & Rojano, 1993; Healy & Hoyles, 1999). Επιπρόσθετα, τα υπολογιστικά φύλλα επιτρέπουν στους µαθητές να συλλογίζονται ευέλικτα και να προβαίνουν σε γενικεύσεις µε βάση επαναληπτικό (recursive) συλλογισµό ή µε ρητή (explicit) γενίκευση. Αυτή η ευελιξία µπορεί να κάνει πιο προσιτή τη γενίκευση προβληµατικών καταστάσεων στους µαθητές. Κατά τη διάρκεια της παρούσας έρευνας, το πρόγραµµα υπολογιστικών φύλλων Excel αποτέλεσε ένα ευέλικτο εργαλείο, το οποίο είχε σκοπό τόσο να ενθαρρύνει όσο και να εξαναγκάσει τους µαθητές να αιτιολογούν τις γενικεύσεις στις οποίες προέβαιναν κατά τη διδακτική παρέµβαση. Καθώς οι µαθητές χρησιµοποιούσαν το 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 205

4 Λ. Τσούκκας, κ.ά. πρόγραµµα, µπορούσαν εύκολα να καταλήξουν τόσο σε επαναληπτικούς (recursive) όσο σε ρητούς (explicit) γενικούς κανόνες. 3. Η έρευνα Η παρούσα έρευνα βασίστηκε σε προηγούµενη έρευνα των Michael et al. (προς δηµοσίευση) καθώς και σε αντίστοιχη έρευνα του Lannin (2005). Το θεωρητικό µοντέλο που προτείνουµε µε βάση τις προαναφερθείσες δύο έρευνες είναι: Επίπεδο 1: Εµπειρικό παράδειγµα. Τα παιδιά συµπληρώνουν το µοτίβο µέσα από την ακρίβεια συγκεκριµένων παραδειγµάτων. Επίπεδο 2: Γενικό παράδειγµα. Συµπληρώνουν µεγαλύτερους όρους του µοτίβου. Επίπεδο 3: Επαγωγικός συλλογισµός. Τα παιδιά γενικεύουν το µοτίβο, δίνοντας ένα συµβολικό κανόνα ή µια γενική αιτιολόγηση. Λαµβάνοντας υπόψη τα πιο πάνω, η παρούσα µελέτη επιχείρησε να διερευνήσει τα ακόλουθα ερευνητικά ερωτήµατα: 1. Μπορούν τα προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων να επικυρωθούν εµπειρικά µε βάση την επίδοση των µαθητών σε έργα µοτίβων που σχεδιάστηκαν να αντιστοιχούν σ αυτά τα επίπεδα; 2. Πώς επηρεάζει η αρχική αναπαράσταση την επιτυχή συµπλήρωση απλών και σύνθετων µοτίβων σε κάθε ένα από τα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας; 3. Τα τρία προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα; Μεθοδολογία Το δείγµα της έρευνας αποτέλεσαν 143 µαθητές Στ τάξης δηµοτικού από έξι τµήµατα δηµοτικών σχολείων µιας αγροτικής περιφέρειας της Κύπρου, 73 κορίτσια και 70 αγόρια. Πριν από την έρευνα οι µαθητές δε συµµετείχαν συστηµατικά σε δραστηριότητες γενίκευσης µοτίβων. Κάθε µαθητής συµπλήρωσε πρώτα ένα δοκίµιο µοτίβων στο διάστηµα µιας διδακτικής περιόδου. Ακολούθως, 49 από τους µαθητές αυτούς δέχτηκαν παρεµβατική διδασκαλία διάρκειας έξι διδακτικών περιόδων. Μετά από µια βδοµάδα επαναχορηγήθηκε στους µαθητές το δοκίµιο µοτίβων. οκίµιο µοτίβων Το δοκίµιο περιελάµβανε τα ακόλουθα έξι µοτίβα: (α) ένα λεκτικό µοτίβο απλής µορφής (όπως ακριβώς δίνεται από τους Kyriakides & Gagatsis, 2003) µε τη γενίκευση ν + 3, (β) ένα απλό συµβολικό µοτίβο µε τη γενίκευση ν + 1, (γ) ένα απλό εικονικό µοτίβο µε τη γενίκευση ν + 2 (Michael et al., προς δηµοσίευση), (δ) ένα σύνθετο λεκτικό µοτίβο µε τη γενίκευση (ν ν) + 2, (ε) ένα σύνθετο συµβολικό µε τη γενίκευση (ν ν) + 1 και (στ) ένα σύνθετο εικονικό µε τη γενίκευση ν (ν +1). Για κάθε ένα από τα προαναφερθέντα µοτίβα ζητήθηκε πρώτα από τους µαθητές να συνεχίσουν το µοτίβο, συµπληρώνοντας τους τρεις επόµενους όρους σ έναν πίνακα (επίπεδο 1). Ακολούθως, έπρεπε να βρουν όρους σε µεγαλύτερες θέσεις, όπως τον 20 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 206

5 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις και τον 100 (επίπεδο 2). Τέλος, ζητήθηκε από τους µαθητές να γράψουν ένα γενικό κανόνα για το µοτίβο, χρησιµοποιώντας σύµβολα ή, αν προτιµούσαν, λέξεις (επίπεδο 3). Παραδείγµατα των έργων φαίνονται στο Παράρτηµα. Για την κωδικοποίηση των απαντήσεων των µαθητών σε κάθε ένα από τα έργα χρησιµοποιήθηκαν τα ακόλουθα σύµβολα: S = απλά µοτίβα, C = σύνθετα µοτίβα, v = λεκτική µορφή, p = εικονική µορφή, s = συµβολική µορφή, 1 = επίπεδο 1, 2 = επίπεδο 2, 3 = επίπεδο 3. Για παράδειγµα, η µεταβλητή «Cv1» αντιπροσωπεύει τη συνέχιση του σύνθετου µοτίβου λεκτικής µορφής βρίσκοντας τους τρεις επόµενους όρους. ιδακτική παρέµβαση Βασικό στοιχείο στην έρευνα αυτή είναι ότι οι δραστηριότητες µοτίβων επιλέγηκαν, σχεδιάστηκαν και οργανώθηκαν µε βάση τα τρία προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα και την ιεραρχική τους διάταξη, µε σκοπό να διερευνηθεί αν τα επίπεδα αυτά µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Σηµαντικό επίσης στοιχείο αποτελεί το γεγονός ότι στη διδακτική παρέµβαση συµπεριλήφθηκαν έργα µοτίβων µε διαφορετική αρχική µορφή αναπαράστασης (λεκτική, συµβολική, εικονική). Αυτό έγινε γιατί ένας από τους βασικούς σκοπούς της εργασίας ήταν να µελετήσει την επίδραση της αρχικής αναπαράστασης στην επιτυχή συµπλήρωση απλών και σύνθετων µοτίβων. Επίσης, λόγω του ότι πολλοί ερευνητές (π.χ. Orton et al., 1999) τονίζουν την αξία διδακτικών καταστάσεων που επιτρέπουν στους µαθητές µε τη βοήθεια γεωµετρικών µορφών να συνδέσουν το γενικό κανόνα µε µια εικονική αναπαράσταση. Έτσι, στη διδακτική παρέµβαση συµπεριλήφθηκαν περισσότερα έργα µοτίβων µε µια προφανή γεωµετρική σύνδεση, όπως τα προβλήµατα µε τις κάρτες και τα κουτιά σοκολάτων και καραµέλων (αναφέρονται στη συνέχεια). Η παρουσίαση των µοτίβων µε εικονική αναπαράσταση βοήθησε τους µαθητές να εµβαθύνουν στην κατανόηση της έννοιας των πράξεων και των διαδικασιών, που χρησιµοποίησαν στους κανόνες που διατύπωσαν (Lannin, 2003, 2004). Σύµφωνα µε πολλούς ερευνητές (Lannin, 2005; Zazkis & Liljedahl, 2002) µια ορθή, ισχυρή αιτιολόγηση του γενικού κανόνα του µοτίβου από τους µαθητές - που αποτελεί απόδειξη της σε βάθος και όχι επιφανειακής κατανόησής του - προϋποθέτει τη σύνδεσή του µε µια γενική σχέση που υπάρχει στο πλαίσιο της συγκεκριµένης µαθηµατικής κατάστασης. Για το λόγο αυτό στη διδακτική παρέµβαση δόθηκε έµφαση στη συσχέτιση, εύρεση και επεξήγηση της απευθείας (explicit) γενίκευσης (γενικού κανόνα) µε βάση το αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος, εικονικό ή λεκτικό. Κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέµβασης ήταν εµφανής η προσπάθεια να οδηγηθούν οι µαθητές σε µια τέτοια σύνδεση. Υποβάλλονταν ερωτήµατα και προβληµατισµοί που παρέπεµπαν τους µαθητές στο αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος όπως είναι: α) Μπορείτε να δείξετε στο αρχικό σχήµα πώς καταλήξατε στους δύο γενικούς κανόνες ν (ν+2), ν ν +2; β) Παρουσιάστε τους 7 πρώτους όρους του µοτίβου ν (ν+3) µε σχήµα, γ) Μπορείτε να σκεφτείτε µια λεκτική µαθηµατική κατάσταση για το µοτίβο ν ν+3 και δ) Συγκρίνετε τα σχήµατα που παρουσιάζουν τα δύο µοτίβα. Ο ρόλος του δασκάλου ήταν σηµαντικός και συνέβαλε στο να ανατρέχουν οι µαθητές πίσω στο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 207

6 Λ. Τσούκκας, κ.ά. πλαίσιο της µαθηµατικής κατάστασης. Όταν οι µαθητές κλήθηκαν να συσχετίσουν το γενικό κανόνα που διατύπωσαν για ένα µοτίβο µε ένα διάγραµµα, µια εικόνα ή µια µαθηµατική κατάσταση ωθήθηκαν να αναπτύξουν περαιτέρω συνδέσεις µεταξύ του πλαισίου και του κανόνα. Έτσι, για το πιο κάτω πρόβληµα κατασκεύασαν τα σχήµατα που φαίνονται στο Σχήµα 1 για να δικαιολογήσουν τους κανόνες που διατύπωσαν για τον υπολογισµό των σοκολάτων σε οποιοδήποτε κουτί. Οι super σοκολάτες είναι τακτοποιηµένες σε κουτιά µε τέτοιο τρόπο που µια καραµέλα τοποθετείται στο κέντρο τεσσάρων σοκολάτων, όπως φαίνεται δίπλα. Εξήγησε µε λέξεις και µε σχέδιο και περίγραψε έναν κανόνα, που θα σου επιτρέπει να βρεις τον αριθµό των καραµέλων και των σοκολάτων που περιέχει οποιοδήποτε κουτί. (ν+1) ν 1 ν ν Μία καραµέλα (ν+1) Κουτί 1 ( ν =1) ύο καραµέλες Κουτί 2 ( ν =2) (ν+1) (ν+1) ν ν + 2 ν + 1 Σχήµα 1: Σχήµατα των µαθητών για τους γενικούς κανόνες (ν+1) (ν+1) και ν ν + 2 ν + 1 Όπως επισηµαίνεται από τους Lannin (2005) και Rivera & Becker (2005) η κατανόηση µιας γενικής σχέσης που υπάρχει σε ένα πλαίσιο µπορεί να επιτρέψει στους µαθητές να την εφαρµόσουν σε άλλες σχετικές παρόµοιες καταστάσεις προβλήµατος, βελτιώνοντας έτσι την ικανότητά τους να προβαίνουν σε γενικεύσεις. Για το λόγο αυτό κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέµβασης, οι µαθητές ενθαρρύνονταν να εξετάζουν και να συγκρίνουν µοτίβα µε ίδια ή παρόµοια µαθηµατική δοµή (Σχήµα 2). Έτσι για παράδειγµα, τέθηκαν ερωτήµατα όπως: α) Σε τι διαφέρει το µοτίβο µε γενικό κανόνα ν (ν+2) από το µοτίβο ν (ν+1) και το µοτίβο ν ν+2; Παρουσιάστε τα µοτίβα µε σχήµα, και β) Με βάση το µοτίβο 4 ν+1 παρουσιάστε το µοτίβο 3 v+1. Σε τι διαφέρουν και σε τι µοιάζουν τα δύο µοτίβα µεταξύ τους; Ποιο αυξάνεται µε πιο γρήγορο ρυθµό; Γιατί; ν 1 ν 2 1 ν (ν +1) ν (ν +2) ν ν +1 ν ν ν 1 ν 2 ν Σχήµα 2: Παρουσίαση µε διάγραµµα και σύγκριση όµοιων στη δοµή µοτίβων Σύµφωνα µε το Lannin (2004) πρέπει να γίνεται παρουσίαση και των δύο µορφών γενίκευσης ενός µοτίβου, επαναληπτική (recursive) και απευθείας (explicit), και συζήτηση για τον τρόπο που αυτές οι µορφές σχετίζονται µεταξύ τους, καθώς και των 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 208

7 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις πλεονεκτηµάτων και των µειονεκτηµάτων τους και σύγκριση της αποτελεσµατικότητας της κάθε µιας. Η επαναληπτική (recursive) γενίκευση είναι σηµαντική και δεν πρέπει να παραγνωρίζεται (Rivera & Becker, 2005), γιατί µεταξύ άλλων θέτει τις βάσεις για κατανόηση των εννοιών του ρυθµού µεταβολής και της κλίσης της γραµµικής γραφικής παράστασης. Έτσι, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3, οι µαθητές συµπλήρωσαν το µοτίβο για το παρακάτω πρόβληµα, εκµεταλλευόµενοι την υπολογιστική δύναµη του προγράµµατος υπολογιστικών φύλλων Excel, εφαρµόζοντας και συγκρίνοντας και τους δύο τρόπους γενίκευσης. Σε µια τετραγωνική πισίνα θα τοποθετηθεί κεραµικό περίγραµµα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήµα. Εξήγησε µε λέξεις και µε σχέδιο και περίγραψε έναν κανόνα, που θα σου επιτρέπει να βρεις τον αριθµό των κεραµικών που χρειάζονται για οποιαδήποτε τετραγωνική πισίνα. Α 1 Πλάτος Πισίνας Αριθµός κεραµικών = A2+1 =B2+4 4 = A3+1 =B3+4 5 = A4+1 =B ,,,,, 100 = A99+1 =B99+4 Β Σχήµα 3: Παρουσίαση και σύγκριση των δύο κανόνων στον Η/Υ Πρώτα οι µαθητές έµαθαν να γράφουν φόρµουλες στο λογισµικό πρόγραµµα Excel και στη συνέχεια να εκφράζουν τις αλγεβρικές σχέσεις (γενικούς κανόνες) µε τη βοήθεια του προγράµµατος. όθηκε ιδιαίτερη προσοχή ώστε να γίνεται συσχέτιση των εµπειρικών αποτελεσµάτων που παρέχονταν από το πρόγραµµα µε το συγκεκριµένο πλαίσιο του προβλήµατος, ώστε να αποθαρρύνονται οι µαθητές να εστιάζουν την προσοχή τους, µόνο στα εµπειρικά δεδοµένα που παρέχονταν από το πρόγραµµα. Ανάλυση δεδοµένων Αρχικά, βρέθηκαν τα ποσοστά επιτυχίας για τα έργα του δοκιµίου. Κατασκευάστηκαν επίσης ένα διάγραµµα οµοιότητας και ένα συνεπαγωγικό για όλο το δείγµα, µε τη χρήση του στατιστικού προγράµµατος CHIC (Bodin, Coutourier & Gras, 2000). 4. Αποτελέσµατα Η ανάλυση διακύµανσης ANOVA δεν έδειξε στατιστικά σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο οµάδων (πειραµατικής και οµάδας ελέγχου) σε κανένα από τα έργα του αρχικού δοκιµίου, γι αυτό και τα δείγµατα µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα. Όσον αφορά στην επίδοση των παιδιών στην επίλυση έργων µοτίβων στο αρχικό τεστ, τόσο για την πειραµατική οµάδα όσο και για την οµάδα ελέγχου, υπήρξε µεγάλη και στατιστικά σηµαντική διαφορά (F = 5,74, F= 4,21, αντίστοιχα, p=0,000) στην επιτυχία των µαθητών στα απλά (49-100%) και στα σύνθετα (16-88%) µοτίβα (Πίνακας 1). Α 1 Πλάτος Πισίνας Αριθµός κεραµικών [= 4*(A2+1)] ,,,,,,,,,,,,,,, Β 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 209

8 Λ. Τσούκκας, κ.ά. Μεταβλητές Pretest -test test -test Post Pre- Post Βελτίωση Μεταβλητές Βελτίωση Απλά Μοτίβα % % % Σύνθετα µοτίβα % % % Sv Cv Sv Cv Sv Cv Ss Cs Ss Cs Ss Cs Sp Cp Sp Cp Sp Cp Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας της πειραµατικής οµάδας στο αρχικό και τελικό τεστ Τα απλά µοτίβα σε λεκτική µορφή φαίνεται να είναι τα πιο εύκολα για τα παιδιά (59-100%). Οι µαθητές ανταποκρίθηκαν µε µεγάλη επιτυχία στα ερωτήµατα που αφορούν στο πρώτο επίπεδο, συµπληρώνοντας τους τρεις επόµενους όρους του µοτίβου, ενώ λιγότερα παιδιά επιτυγχάνουν στα επίπεδα 2 και 3, όπου τους ζητείται να βρουν τους επόµενους όρους και να κάνουν γενίκευση. Στα σύνθετα µοτίβα, τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας παρατηρήθηκαν σε αυτά µε εικονική µορφή (45-88%), ενώ τα χαµηλότερα στα µοτίβα µε λεκτική αρχική αναπαράσταση (16-53%). Όσον αφορά στα σύνθετα µοτίβα, οι µαθητές αντιµετώπισαν τα προβλήµατα του επιπέδου 1 µε µεγαλύτερη επιτυχία (53-88%) σε σύγκριση µε αυτά των επιπέδων 2 και 3 (16-45%). Παρόλα αυτά φαίνεται ότι οι µαθητές που µπόρεσαν να βρουν τους επόµενους όρους, µπόρεσαν να προχωρήσουν ένα βήµα πιο πέρα και να γενικεύσουν, διατυπώνοντας και το γενικό κανόνα. Η ανάλυση συνδιακύµανσης ANCOVA κατέδειξε στατιστικά σηµαντικές διαφορές στη γενική επίδοση των µαθητών της πειραµατικής οµάδας στο αρχικό και στο τελικό τεστ, αλλά και στην πλειοψηφία των επιµέρους έργων του δοκιµίου. Η βελτίωση των µαθητών στην αντιµετώπιση απλών και σύνθετων µοτίβων ήταν και στις δύο περιπτώσεις στατιστικά σηµαντική και περίπου ίση (Μ.Ο. pretest =6,45, Μ.Ο. posttest =8,42, F=29,39, p=0,000, Μ.Ο. pretest =4.00, Μ.Ο. posttest =6.00, F=34.38, p=0,000, αντίστοιχα). Μεγαλύτερη ήταν η βελτίωση στα επίπεδα 2 και 3 σε όλα τα έργα, µε µεγαλύτερη βελτίωση στο έργο µε αρχική αναπαράσταση τη συµβολική (33, 37%, αντίστοιχα) στα απλά µοτίβα και στο έργο µε εικονική µορφή (35, 37%, αντίστοιχα) στα σύνθετα. Η µικρότερη βελτίωση παρατηρήθηκε στο έργο µε αρχική τη συµβολική µορφή αναπαράστασης στα σύνθετα µοτίβα (20%, 22%, αντίστοιχα). Η µεγαλύτερη βελτίωση σε όλα σχεδόν τα έργα ήταν στο επίπεδο 3, κάτι που υποδεικνύει ότι η διδακτική παρέµβαση ήταν πιο αποτελεσµατική όσον αφορά στη διατύπωση ενός γενικού κανόνα. Η ανάλυση διακύµανσης ANOVA δεν έδειξε στατιστικά σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στην επίδοση των µαθητών των δύο οµάδων (πειραµατικής και οµάδας ελέγχου) στο αρχικό δοκίµιο, ούτε ανάµεσα στην επίδοση των µαθητών της οµάδας ελέγχου στα ίδια έργα του αρχικού και τελικού δοκιµίου. Για το λόγο αυτό, τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 210

9 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις αποτελέσµατα που ακολουθούν αναφέρονται στους µαθητές και των δύο οµάδων και πηγάζουν µέσα και από τα δύο δοκίµια. Όπως φαίνεται από το διάγραµµα οµοιότητας ( ιάγραµµα 1), που προέκυψε µε τη µέθοδο Gras, δηµιουργούνται ξεχωριστές οµάδες οµοιότητας ανάµεσα στις απαντήσεις των µαθητών στα σύνθετα και στα απλά µοτίβα, ανάλογα και µε τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητάς τους, κάτι που υποδεικνύει το σηµαντικό ρόλο της δοµής των µοτίβων στους τρόπους λύσης που εφαρµόζουν οι µαθητές, αλλά και µια αλληλεπίδραση του µαθηµατικού επιπέδου των µοτίβων και του είδους γνωστικής πολυπλοκότητάς τους. Sva1 Svb1 Spa1 Ssa1 Spb1 Sva2 Sva3 Cva2 Cva3 Csa2 Csa3 Cvb2 Cvb3 Csb3 Csb2 Cpb3 Cpa2 Cpa3 Cpb2 Cpa1 Svb2 Svb3 Spb3 Ssb2 Spb2 Ssb3 Ssa2 Ssa3 Spa2 Spa3 Cva1 Csa1 Cvb1 Csb1 Ssb1 Cpb1 ιάγραµµα 1: ιάγραµµα οµοιότητας για την οµάδα ελέγχου (αρχικό και τελικό δοκίµιο) Επίσης, στο διάγραµµα παρατηρείται ανάµειξη ανάµεσα στα έργα µε σύνθετα µοτίβα των δύο δοκιµίων. Μια ερµηνεία που µπορεί να δοθεί σ αυτό είναι ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε συνέπεια τα σύνθετα µοτίβα των δύο δοκιµίων, κάτι που ενισχύει το συµπέρασµα ότι η µαθηµατική δοµή και πολυπλοκότητα των µοτίβων αποτελεί καθοριστικό παράγοντα που επηρεάζει τον τρόπο µε τον οποίο οι µαθητές αντιµετωπίζουν τα έργα µοτίβων. Οι περισσότερες από τις σχέσεις οµοιότητας στο διάγραµµα δείχνουν ότι η αρχική αναπαράσταση επηρέασε τους µαθητές στα σύνθετα µοτίβα στα επίπεδα 2 και 3. Είναι εµφανές ότι οι µαθητές και στα δύο τεστ αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο απλά και σύνθετα µοτίβα στην ίδια µορφή αναπαράστασης (Sva2-Sva3, Svb2-Svb3, Ssa2- Ssa3, Spa2-Spa3, Cva2-Cva3, Csa2-Cas3, Cvb2-Cvb3, Csb2-Csb3, Cpa2-Cpa3, Cs2- Cs3, Cp2-Cp3, Cv2-Cv3), όταν κλήθηκαν να συµπληρώσουν µεγαλύτερους όρους ή να γράψουν ένα γενικό κανόνα (επίπεδα 2 και 3), γεγονός που υποδεικνύει το σηµαντικό ρόλο της αρχικής αναπαράστασης ενός µοτίβου στην επίδοση των µαθητών. Όπως φαίνεται από το ιάγραµµα 1, οι µαθητές αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο απλά (Sva1, Svb1, Spa1, Ssa1, Spb1) και σύνθετα µοτίβα (Cva1, Csa1, Cvb1, Csb1, Cpb1) για την εύρεση των επόµενων όρων (επίπεδο 1), ανεξάρτητα από τη µορφή αναπαράστασής τους. Ίσως ο διαφορετικός τρόπος µε τον οποίο οι µαθητές προσέγγισαν τα απλά 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 211

10 Λ. Τσούκκας, κ.ά. µοτίβα στο επίπεδο 1 σε σχέση µε αυτά του επιπέδου 2 και 3 να οφείλεται στην απλότητα των µοτίβων αυτών και στο χαµηλό βαθµό δυσκολίας τους, κάτι που υποστηρίζεται από τα ψηλά ποσοστά επιτυχίας (Πίνακας 1) που είχαν οι µαθητές στα έργα αυτά (98-100%). Ωστόσο, η περίπτωση των σύνθετων µοτίβων επιπέδου 1 υποδεικνύει µε σαφή τρόπο την επίδραση που έχουν τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των έργων µαζί µε την πολυπλοκότητα της δοµής τους στον τρόπο που οι µαθητές αντιµετωπίζουν προβλήµατα µοτίβων. Ο σαφής διαχωρισµός των απαντήσεων των µαθητών στα έργα επιπέδου 1 και επιπέδων 2 και 3 φανερώνει την παρουσία στεγανοποίησης στους τρόπους επίλυσης των µαθητών, όταν καλούνται να συµπληρώσουν τους αµέσως επόµενους όρους και όταν καλούνται να υπολογίσουν µεγαλύτερους όρους ή να γενικεύσουν. Περαιτέρω υποστήριξη στη διαπίστωση αυτή παρέχει το γεγονός ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε παρόµοιο τρόπο έργα που περιλαµβάνουν απλά (Ssb2- Spb2, Svb3-Spb3) και σύνθετα µοτίβα (Cva2-Csa2, Cvb3- Csb3) του ίδιου επιπέδου. Μέσα από το διάγραµµα οµοιότητας για την πειραµατική οµάδα ( ιάγραµµα 2) ενισχύονται τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από το αντίστοιχο διάγραµµα για την οµάδα ελέγχου. Παρατηρείται µάλιστα µεγαλύτερη οµοιογένεια στην επίλυση των έργων επιπέδου 2 και 3 στο ίδιο πεδίο αναπαράστασης, κάτι που ενισχύει το συµπέρασµα ότι η αρχική αναπαράσταση του µοτίβου αποτελεί καθοριστικό παράγοντα στον τρόπο που αντιµετωπίζουν και επιλύουν τα έργα αυτά οι µαθητές. εν είναι σαφής η διάκριση ανάµεσα στις απαντήσεις των µαθητών στα σύνθετα και στα απλά µοτίβα. Έτσι για παράδειγµα, όπως φαίνεται από την πιο ισχυρή κλάση οµοιότητας υπάρχει σηµαντική σχέση οµοιότητας ανάµεσα στις λύσεις των απλών έργων του αρχικού τεστ και των σύνθετων έργων του τελικού τεστ (επιπέδων 2 και 3) (π.χ. Ssa2, Ssa3-Cvb2, Cvb3). Μάλιστα, αυτή η σχέση οµοιότητας είναι περισσότερο ισχυρή από τη σχέση ανάµεσα στις λύσεις των σύνθετων έργων του αρχικού και τελικού τεστ στα ίδια επίπεδα (π.χ. Cvb2, Cvb3-Cva2, Cva3). Αυτό υποδεικνύει ότι η διδακτική παρέµβαση βελτίωσε την ικανότητα των µαθητών να αντιµετωπίζουν κάποια από τα σύνθετα έργα του τελικού τεστ µε την ίδια ευκολία όπως τα απλά έργα του αρχικού τεστ. Το συµπέρασµα αυτό ενισχύουν και τα αποτελέσµατα της σύγκρισης των σχετικών µέσων όρων µε τη βοήθεια του ελέγχου t-test, µε βάση τα οποία η επίδοση των µαθητών στα σύνθετα µοτίβα, στα επίπεδα 2 και 3 στο τελικό δοκίµιο αυξήθηκε σε στατιστικά σηµαντικό βαθµό (Μ.Ο. pretest =1,84, Μ.Ο. posttest =3,57, µε µέγιστη τιµή το 4, t=-5,81, p=0,000) σε σχέση µε την αντίστοιχη επίδοση στο αρχικό δοκίµιο. Πριν το παρεµβατικό πρόγραµµα όλα τα σύνθετα έργα στα επίπεδα 2 και 3 (Cva2-Cva3, Csa2-Csa3, Cpa2-Cpa3) αντιµετωπίζονταν µε παρόµοιο τρόπο από τους µαθητές και µε διαφορετικό τρόπο από τα αντίστοιχα έργα στο επίπεδο 1. Ωστόσο, αυτό δε συνέχισε να ισχύει µετά τη διδακτική παρέµβαση όσον αφορά στο σχετικό έργο λεκτικής αναπαράστασης (Cpa2-Cpa3), το οποίο αντιµετωπίστηκε µε παρόµοιο τρόπο µε το ερώτηµα στο επίπεδο 1 του ίδιου έργου (Cpa1-Cpa2-Cpa3) και στη συνέχεια µε απλά µοτίβα (Ssb2-Ssb3). εδοµένης επίσης της µικρής βελτίωσης του ποσοστού επιτυχίας των µαθητών στο έργο Cpa1 (6%), φαίνεται ότι το στοιχείο της 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 212

11 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις διδακτικής παρέµβασης που συνέβαλε ώστε οι µαθητές να αντιµετωπίζουν τα τρία επίπεδα του Sva1 Svb1 Ssa1 Spa1 Sva2 Sva3 Ssa2 Ssa3 Spa2 Spa3 Cvb2 Cvb3 Csb2 Csb3 Cva1 Cva2 Cva3 Csa2 Csa3 Cpa2 Cpa3 Cvb1 Csb1 Csa1 Cpa1 Ssb2 Ssb3 Cpb1 Cpb2 Cpb3 Svb2 Svb3 Spb2 Spb3 Ssb1 Spb1 ιάγραµµα 2: ιάγραµµα οµοιότητας για την πειραµατική οµάδα (αρχικό και τελικό) εικονικού αυτού έργου µε παρόµοιο τρόπο είναι η βελτίωση της ικανότητάς τους να βασίζονται, να ερµηνεύουν και να χρησιµοποιούν το αρχικό πλαίσιο του προβλήµατος (στην περίπτωση αυτή την αρχική εικονική αναπαράσταση) ως βάση για την εύρεση µεγαλύτερων όρων και του γενικού κανόνα. Σε έρευνα του ο Lannin (2005) διαπίστωσε ότι όταν οι µαθητές αποτύγχαναν να κάνουν γενίκευση, αυτό οφειλόταν γενικά σε µια έλλειψη σύνδεσης µε µια εικονική αναπαράσταση, που να δηµιουργεί µια σχέση µεταξύ του κανόνα και του πλαισίου. Τα πιο πάνω σχετίζονται και µε τη διαφορά µεταξύ της βελτίωσης της επίδοσης των µαθητών στα επίπεδα 2 και 3 στο σύνθετο λεκτικό (επίπεδο 2: 29%, επίπεδο 3: 31%) και το συµβολικό µοτίβο (επίπεδο 2: 20%, επίπεδο 3: 22%). Φαίνεται ότι η µη ύπαρξη πλαισίου στο συµβολικό έργο περιόρισε το ποσοστό βελτίωσης των µαθητών, ενώ το λεκτικό πλαίσιο τους δυσκόλεψε σε λιγότερο βαθµό. Σε κάποιο βαθµό, η πιο πάνω διαφορά µπορεί να οφείλεται στο γεγονός ότι οι µαθητές ασχολούνται περισσότερο µε δραστηριότητες συµβολικών µοτίβων στην τάξη, άρα τα περιθώρια βελτίωσης ήταν πιο περιορισµένα παρά στα λεκτικά. Μια σφαιρική άποψη του συνεπαγωγικού διαγράµµατος των απαντήσεων των µαθητών της πειραµατικής οµάδας ( ιάγραµµα 3) δείχνει ότι η επιτυχία των µαθητών στην επίλυση σύνθετων µοτίβων συνεπάγεται την επιτυχία στο χειρισµό των απλών µοτίβων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 213

12 Λ. Τσούκκας, κ.ά. Ssb3 Cva3 Ssb2 Csa3 Cva2 Cpa2 Cpa3 Cvb3 Csa2 Cva1 Ssa3 Csb3 Cvb2 Csb2 Ssa2 Cvb1 Spa3 Sva3 Csb1 Cpb3 Sva2 Spa2 Cpb2 ιάγραµµα 3: Συνεπαγωγικό διάγραµµα για την πειραµατική οµάδα Μια πιο αναλυτική παρατήρηση των µεταβλητών που αναφέρονται στα σύνθετα µοτίβα, αποκαλύπτει ότι επιτυχία στην εύρεση του γενικού κανόνα (επίπεδο 3), υπονοεί την επιτυχία στη συµπλήρωση όρων στις περαιτέρω θέσεις (επίπεδο 2), κάτι το οποίο συνεπάγεται στη συνέχεια την εύρεση των επόµενων όρων (επίπεδο 1) (π.χ. Cva3, Cva2, Cva1 και Csb3, Csb2, Csb1, αλλά και Csa3, Csa2). Οι συνεπαγωγές αυτές δείχνουν ότι τα έργα του επιπέδου 3 είναι δυσκολότερα για τους µαθητές από αυτά του επιπέδου 2 και αυτά πιο περίπλοκα από έργα του επιπέδου 1. Ο αριθµός των συνεπαγωγικών σχέσεων που έχουν προαναφερθεί είναι µικρότερος στο τελικό τεστ τόσο για τα σύνθετα όσο και για τα απλά µοτίβα. Το αποτέλεσµα αυτό σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι στο τελικό τεστ δεν παρατηρήθηκαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στους µέσους όρους επιτυχίας των παιδιών στα επίπεδα 2 και 3 τόσο για τα απλά (t=1,429, p=0,159) όσο και για τα σύνθετα µοτίβα (t=1,709, p=0,83), φανερώνει πως η διδακτική παρέµβαση είχε ως αποτέλεσµα τη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να επιλύουν απλά και σύνθετα µοτίβα επιπέδου 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 214

13 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις 3 σε µεγαλύτερο βαθµό παρά επιπέδου 2. Το αποτέλεσµα αυτό ήταν αναµενόµενο γιατί η διδακτική παρέµβαση εστίασε σε µεγαλύτερο βαθµό στη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών να κάνουν γενίκευση. Είναι αξιοσηµείωτο ότι οι περισσότερες συνεπαγωγικές σχέσεις µεταξύ των απαντήσεων των µαθητών στα έργα των τριών επιπέδων διαµορφώνονται µέσα στην ίδια µορφή αναπαράστασης του µοτίβου (π.χ., Cva3, Cva2, Cva1 και Csb3, Csb2, Csb1), δείχνοντας ότι τα διαφορετικά επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας στην κατανόηση των µοτίβων από τους µαθητές είναι ενδο-αναπαραστατικά. Οι ανάλογες συνεπαγωγικές σχέσεις εµφανίζονται επίσης µεταξύ των µεταβλητών που αντιπροσωπεύουν την επιτυχία στα απλά µοτίβα (Ssa3, Ssa2 και Sva3, Sva2, Spa3, Spa2), µε εξαίρεση τις µεταβλητές που αντιπροσωπεύουν την επιτυχία στα έργα του επιπέδου 1. Οι απαντήσεις των µαθητών σε αυτά τα έργα που απαιτούν τη συνέχιση των επόµενων όρων ενός απλού µοτίβου δε συµπεριλαµβάνονται στο διάγραµµα, γεγονός που υποδεικνύει τον αυτόνοµό τους χαρακτήρα, δεδοµένου ότι είναι και τα έργα µε τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας. Είναι πιθανόν για τον ίδιο λόγο να µη συµπεριλαµβάνονται µεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις απαντήσεις των µαθητών της πειραµατικής οµάδας σε απλά µοτίβα επιπέδου 2 και 3 (π.χ. Svb2, Svb3) και σύνθετα µοτίβα επιπέδου 1 (Cpb1), γιατί τα έργα αυτά αντιµετωπίζονταν πλέον µε µεγαλύτερη ευκολία από αυτούς. Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα, ο ρόλος και η σηµασία της αρχικής αναπαράστασης του µοτίβου στην επιτυχία των µαθητών ανιχνεύεται κυρίως στα σύνθετα έργα που απαιτούσαν τη διατύπωση ενός γενικού κανόνα (Cva3, Csa3, Cpa3 και Cvb3, Csb, Cpb3) και σε µικρότερο βαθµό σ αυτά που απαιτούσαν την εύρεση µεγαλυτέρων όρων του µοτίβου (Cvb2, Csb2, Cpb2 και Cva2, Csa2). Η επιτυχία των µαθητών στο λεκτικό µοτίβο συνεπάγεται την επιτυχία στο συµβολικό κάτι που στη συνέχεια συνεπάγεται την επιτυχία στο εικονικό. Η επιτυχία των µαθητών σε έργα επιπέδου 1 που απαιτούσαν τη συµπλήρωση των επόµενων όρων ενός µοτίβου δεν επηρεάζεται από την αρχική µορφή αναπαράστασης του µοτίβου πιθανώς λόγω του απλού χαρακτήρα τους. 5. Συζήτηση Τα αποτελέσµατα που προέρχονται από την εφαρµογή της στατιστικής συνεπαγωγικής µεθόδου του Gras για την επίδοση των µαθητών επικυρώνουν εµπειρικά τα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων των µοτίβων που προτείνονται στην παρούσα έρευνα και την ιεραρχική τους σειρά. Το πρώτο επίπεδο αναφέρεται στην εµπειρική αφαίρεση των µαθηµατικών σχέσεων, η οποία στην έρευνα αυτή αφορά στη συνέχιση ενός µοτίβου. Στο δεύτερο επίπεδο, το οποίο αντιπροσωπεύει την υπονοούµενη χρήση ενός γενικού κανόνα, οι µαθητές είναι ικανοί να συµπληρώνουν το µοτίβο µεγαλύτερων όρων. Το τρίτο επίπεδο, το οποίο ενσωµατώνει τη σαφή χρήση ενός γενικού κανόνα, αφορά στη διατύπωση ενός γενικού κανόνα. Φάνηκε επίσης ότι οι µαθητές που είχαν ελλείψεις στο πρώτο επίπεδο κατανόησης των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα αντιµετώπιζαν δυσκολίες στο δεύτερο επίπεδο και απέτυχαν να εκφράσουν µε σαφήνεια µια γενίκευση στο τρίτο επίπεδο. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 215

14 Λ. Τσούκκας, κ.ά. Τα ευρήµατα της έρευνας δείχνουν ότι οι µαθητές λύνουν µε µεγαλύτερη επιτυχία τα απλά µοτίβα σε σχέση µε τα σύνθετα. Όλοι σχεδόν οι µαθητές έχουν κατακτήσει το πρώτο επίπεδο στα απλά µοτίβα. Συνεχίζουν µε ακρίβεια ένα µοτίβο, εφόσον είναι συνηθισµένοι σε έργα αυτής της µορφής. Το επόµενο στάδιο, το οποίο αφορά στη συνέχιση του µοτίβου µεγαλύτερων όρων, κατακτήθηκε από λιγότερους µαθητές, κυρίως στα σύνθετα µοτίβα. Οι Orton et al. (1999) έχουν διαπιστώσει ότι ένα σηµαντικό εµπόδιο στην επιτυχή γενίκευση είναι η αριθµητική ανικανότητα και η προσκόλληση σε επαναληπτικές µεθόδους. Οι µέθοδοι αυτές εµποδίζουν τους µαθητές να δουν τη γενική δοµή όλων των στοιχείων (Zazkis & Liljedahl, 2002). Όσον αφορά στο τρίτο επίπεδο συλλογισµού στα µοτίβα, µόνο ένας µικρός αριθµός µαθητών ήταν σε θέση να διατυπώσει ένα κανόνα στα σύνθετα µοτίβα. Αντίθετα, όπως διαφάνηκε µέσα από τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας που είχαν οι µαθητές µετά τη διδακτική παρέµβαση, τα πιο πάνω εµπόδια µειώθηκαν σε µεγάλο, βαθµό γεγονός που υποδεικνύει την καταλληλότητα της παρέµβασης και ότι τα προτεινόµενα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των µοτίβων µπορούν να αποτελέσουν βάση για σχεδιασµό, οργάνωση και εφαρµογή δραστηριοτήτων µοτίβων, που αποσκοπούν στην επιτυχή εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Σε αυτό συνηγορεί και το γεγονός ότι η παρέµβαση υποβοήθησε σε µεγαλύτερο βαθµό τους µαθητές να λύνουν σύνθετα µοτίβα, να βασίζονται στο πλαίσιο του προβλήµατος για τη διατύπωση ενός κανόνα (π.χ. εικονική αναπαράσταση) και να κάνουν γενίκευση, στοιχεία που σύµφωνα µε πολλούς ερευνητές (Lannin, 2005; Rivera & Becker, 2005; Lee & Freiman, 2006) αποτελούν βασικά στοιχεία στην οργάνωση δραστηριοτήτων µοτίβων που αποσκοπούν στην εισαγωγή των µαθητών στην τυποποιηµένη άλγεβρα. Ένα βασικό ερώτηµα αυτής της έρευνας ήταν επίσης η διερεύνηση του ρόλου των διαφορετικών αναπαραστάσεων σε δραστηριότητες που αφορούσαν απλά και σύνθετα µοτίβα στα τρία επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα. Ανεξάρτητα από τον ενδο-αναπαραστατικό χαρακτήρα της ιεραρχίας των τριών επιπέδων γνωστικής πολυπλοκότητας (καθώς διατηρείται σε κάθε µορφή αναπαράστασης ενός µοτίβου), τα αποτελέσµατα αυτής της έρευνας και πιο συγκεκριµένα οι διαφορές ανάµεσα στις βαθµολογίες των µαθητών σε έργα ίδιου επιπέδου γνωστικής πολυπλοκότητας και ίδιας δοµής υποδεικνύουν την επίδραση των διαφορετικών αναπαραστατικών µορφών στην επίδοση των µαθητών. Στα σύνθετα µοτίβα, η εικονική µορφή αναπαράστασης διευκολύνει τους µαθητές να συµπληρώσουν µεγαλύτερους όρους του µοτίβου ή να εκφράσουν ρητά µια γενίκευση σε σχέση µε τη λεκτική µορφή αναπαράστασης. Η εικονική αναπαράσταση σ αυτές τις δραστηριότητες είναι πιο εύκολη λόγω του ότι πιθανόν να βοηθά τους µαθητές να αναγνωρίσουν κάποιες σχέσεις που δεν είναι ορατές στη λεκτική αναπαράσταση. Τα αποτελέσµατα αυτά βρίσκονται σε συµφωνία µε τα ευρήµατα του Lannin (2005), των Rivera & Becker (2005) και Michael et al. (προς δηµοσίευση), τα οποία εισηγούνται ότι τέτοιες καταστάσεις επιτρέπουν στους µαθητές να συσχετίσουν τον κανόνα µε την οπτική αναπαράσταση. Τα σύνθετα µοτίβα λεκτικής µορφής φαίνεται να δυσκολεύουν περισσότερο όλους τους µαθητές σε όλα τα επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας σε σχέση µε τις άλλες µορφές αναπαράστασης. Ένας πιθανός λόγος αυτής της δυσκολίας είναι το γεγονός ότι οι µαθητές έπρεπε να κωδικοποιήσουν τα δεδοµένα του λεκτικού 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 216

15 Επίπεδα Κατανόησης Μοτίβων σε Πολλαπλές Αναπαραστάσεις µοτίβου σε σύµβολα και στη συνέχεια να συγκρίνουν τους όρους µε τους αριθµούς. Στα µοτίβα απλής δοµής, ο ρόλος της αναπαράστασης φάνηκε να υποχωρεί, ίσως επειδή οι µαθητές ήταν ικανοί να αναγνωρίσουν το ίδιο µοτίβο πίσω από τις διαφορετικές αναπαραστάσεις. Πιστεύουµε ότι θα ήταν ενδιαφέρουσα µια έρευνα που θα προτείνει και θα επικυρώνει εµπειρικά ένα µοντέλο το οποίο να ενσωµατώνει τις λειτουργίες και τις διασυνδέσεις των τριών διαστάσεων της κατανόησης των µοτίβων, οι οποίες έχουν ερευνηθεί στην παρούσα έρευνα π.χ. επίπεδα γνωστικής πολυπλοκότητας, πολλαπλές αναπαραστάσεις, δοµή των µοτίβων, µε σκοπό να αναλυθεί η κατανόηση των µαθηµατικών σχέσεων στα µοτίβα και να καθοριστούν οι παράγοντες που επηρεάζουν την ανάπτυξή της. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bodin, A., Coutourier, R., & Gras, R. (2000). CHIC: Classification Hiérarchique Implicative et Cohésive-Version sous Windows CHIC 1.2. Rennes: Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques. Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), English, L.D. & Warren, E.A. (1998). Introducing the variable through pattern exploration. Mathematics Teacher, 91(2), Gagatsis, A., & Elia, I. (2004). The effects of different modes of representations on mathematical problem solving. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proc. 28 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp ). Bergen, Norway: PME. Kyriakides, L. & Gagatsis, A. (2003). Assessing Student Problem-Solving Skills. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 10 (4), Lannin, J. K. (2005).Generalization and Justification: The challenge of Introducing Algebraic Reasoning Through Patterning Activities, Mathematical Thinking and Learning, 7(3), Lee, L. (1996). An initiation into algebraic culture through generalization activities. In N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp Michael, S., Elia, I., Gagatsis, A., Theoklitou, A., & Savva, A. (προς δηµοσίευση). Levels of understanding of patterns in multiple representations. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 217

16 Λ. Τσούκκας, κ.ά. Mousoulides, N., & Gagatsis, A. (2004). Algebraic and geometric approach in function problem solving. In M. J. Hoines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proc. 28 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Bergen, Norway: PME. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, Reston, VA. Orton, J. & Orton, A. (1996). Making sense of children s patterning. In L. Puig & A. Gutierrez (Eds.), Proc. 20 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp ). Valencia, Spain: PME. Orton, A., Orton, J. & Roper, T. (1999). Pictorial and practical contexts and the perception of pattern. In Orton, A. (Ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics. London: Cassell. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York: Macmillan. Zazkis, R. & Liljedahl, P. (2002). Generalization of patterns: The tension between algebraic thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 49, ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Η Βαλεντίνη θέλει να δηµιουργήσει ένα Φιλοτελιστικό Όµιλο. Την πρώτη βδοµάδα ο Όµιλός της είχε µόνο τρία µέλη. εν ανησυχεί όµως για τον αριθµό των µελών, γιατί τα σχέδιά της είναι κάθε νέο µέλος να βρίσκει καινούρια µέλη στο τέλος κάθε βδοµάδας. Έτσι, τη δεύτερη βδοµάδα ο Όµιλός της είχε έξι µέλη, την τρίτη έντεκα µέλη, την τέταρτη δεκαοκτώ α. Συνέχισε το πιο πάνω µοτίβο µε τις τρεις επόµενες βδοµάδες. β. Συµπλήρωσε τον πίνακα. Εβδοµάδα 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 20 η 100 η Μέλη γ. Μπορείς να περιγράψεις ένα κανόνα που θα σου επιτρέπει να βρεις τα µέλη του Οµίλου για οποιαδήποτε βδοµάδα; Γράψε τον και µε σύµβολα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 218

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση Μαθηµατική Μοντελοποίηση Μοντελοποίηση Απαιτητική οικονοµία και αγορά εργασίας Σύνθετες και περίπλοκες προβληµατικές καταστάσεις Μαθηµατικές και τεχνολογικές δεξιότητες Επίλυση σύνθετων προβληµάτων Μαθηµατικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής,

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Γιαννάκης Βασιλειάδης, Γιώργος Σαββίδης, Μαίρη Κουτσελίνη Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Γιαννάκης Βασιλειάδης, Γιώργος Σαββίδης, Μαίρη Κουτσελίνη Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αναγνωστικός Αλφαβητισµός σε Μαθητές Ε Τάξης ηµοτικού ΑΝΑΓΝΩΣΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ Ε ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΗ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΝΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Διδάσκουσες:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Μ. Καλδρυμίδου, Ε. Μορόγλου Π. Τ. Ν. - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων mkaldrim@uoi.gr, manmo@otenet.gr Στην εργασία αυτή επιχειρείται

Διαβάστε περισσότερα

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη:

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη: Ανάλυση και Συγκριτικές Επισηµάνσεις Σχολικών Βιβλίων του ηµοτικού Σχολείου (Ελλάδας, Κύπρου, Αγγλίας) όσον αφορά στην Έννοια της Πιθανότητας. Συγγραφέας: Ιδιότητα: Καλαβάσης Φραγκίσκος Σκουµπουρδή Χρυσάνθη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας 1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντρέας Κουσιάππας, Ελένη Κοιλιάρη Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής-Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 415 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Μεταφετζής Γιώργος Δάσκαλος, 1ο ΔΣ Βόλου gmetafetz@in.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 495 H ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟΝ Η.Υ. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Τσιπουριάρη Βάσω Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Προγράμματος Αλφαβητισμού στο Γυμνάσιο Πρώτο Έτος Αξιολόγησης (Ιούλιος 2009)

Αξιολόγηση Προγράμματος Αλφαβητισμού στο Γυμνάσιο Πρώτο Έτος Αξιολόγησης (Ιούλιος 2009) Αξιολόγηση Προγράμματος Αλφαβητισμού στο Γυμνάσιο Πρώτο Έτος Αξιολόγησης (Ιούλιος 2009) 1. Ταυτότητα της Έρευνας Το πρόβλημα του λειτουργικού αναλφαβητισμού στην Κύπρο στις ηλικίες των 12 με 15 χρόνων

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα από την επίλυση εξισώσεων στη μελέτη των μεταβολών, των σχέσεων, των κανονικοτήτων και δομών, σε ένα περιβάλλον αναλυτικού συμβολικού συλλογισμού με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σεπτέμβριος 2013 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης: Σύνδεσμος Επιθεωρητής: Eνδοτμηματική Επιτροπή Μαθηματικών: Σύμβουλοι Μαθηματικών:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Λαδιάς Αναστάσιος, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Β Αθήνας Μπέλλου Ιωάννα, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 87-94 ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Αναστασιάδου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο

Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο Οι Διαστάσεις του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού στην Κύπρο 1. Ταυτότητα της Έρευνας Η έρευνα του Λειτουργικού Αναλφαβητισμού έγινε πλέον θεσμός στα πλαίσια του εκπαιδευτικού συστήματος της Κύπρου, αφού διεξάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ. 2014 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Μπακέττα Βασιλική, Πετροπούλου Γεωργία Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Θεσμικό πλαίσιο στα ΠΠΣ Πειραματική εφαρμογή προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Μιχαήλ Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου

Ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Μιχαήλ Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου Ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος Μιχαήλ Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Στην παρούσα έρευνα εξετάζεται ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Συναισθηματικός τομέας και χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων: Η περίπτωση Ελλήνων μαθητών Μέσης Εκπαίδευσης

Συναισθηματικός τομέας και χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων: Η περίπτωση Ελλήνων μαθητών Μέσης Εκπαίδευσης Συναισθηματικός τομέας και χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων: Η περίπτωση Ελλήνων μαθητών Μέσης Εκπαίδευσης Αμπράζης Στυλιανός Πανεπιστήμιο Αθήνας Δεληγιάννη Ελένη Πανεπιστήμιο Αθήνας

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Λεωνίδας Κυριακίδης Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το Δυναμικό Μοντέλο Εκπαιδευτικής Αποτελεσματικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗN ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗN ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Μοντελοποίηση και Λύση Προβλήµατος στα Μαθηµατικά Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗN ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Νίκος Μουσουλίδης, Μαρία Κάττου, Μάριος Πιττάλης, Κωνσταντίνος Χρίστου Τµήµα Επιστηµών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Συγγραφική ομάδα: Δεληγιάννη Ελένη Μάκη-Παναούρα Γεωργία Παντζιαρά Μαριλένα Παπαριστοδήμου Έφη Σιακαλλή Μύρια Χειμωνή Μαρία ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Νέο Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη του πληθυσµού των µεταναστών στην Ελλάδα

Μελέτη του πληθυσµού των µεταναστών στην Ελλάδα Μελέτη του πληθυσµού των µεταναστών στην Ελλάδα Συγγραφέας: Γιώργος Ψυχάρης, ΕΕΤ, ΦΠΨ Αθηνών Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Στατιστική Σε σχέση µε το εκπαιδευτικό λογισµικό που προτείνει: ιαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Εγγραφο Γ2/4769/4-9-1998 ΣΧΕΤ. 2794/23-6-98 έγγραφο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Σας αποστέλλουµε οδηγίες για τη διδασκαλία των µαθηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός

Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός Αντικείµενο της συγκεκριµένης δραστηριότητας είναι η µεθοδική παρατήρηση των καιρικών συνθηκών για ένα σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα, η καταγραφή και οργάνωση των παρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Ερευνώντας τις ερμηνείες φοιτητών και τις διδακτικές πρακτικές εκπαιδευτικών σε θέματα σχετικά με την έννοια της περιοδικότητας Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια, ΑΣΠΑΙΤΕ Επιστημονική υπεύθυνη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Παρακολούθηση Διδασκαλίας στη βάση του Δυναμικού Μοντέλου Εκπαιδευτικής Αποτελεσματικότητας. Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 28 Νοεμβρίου 2013

Παρακολούθηση Διδασκαλίας στη βάση του Δυναμικού Μοντέλου Εκπαιδευτικής Αποτελεσματικότητας. Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 28 Νοεμβρίου 2013 Παρακολούθηση Διδασκαλίας στη βάση του Δυναμικού Μοντέλου Εκπαιδευτικής Αποτελεσματικότητας Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 28 Νοεμβρίου 2013 Σκοπός τη σημερινής παρουσίασης: αναγνώριση της παρατήρησης ως πολύτιμη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για αξιολόγηση στο πλαίσιο ομότιμης συνεργατικής μάθησης

Οδηγίες για αξιολόγηση στο πλαίσιο ομότιμης συνεργατικής μάθησης Οδηγίες για αξιολόγηση στο πλαίσιο ομότιμης συνεργατικής μάθησης Τι είναι το PeLe; Το PeLe είναι ένα διαδικτυακό περιβάλλον που ενθαρρύνει την αξιολόγηση στο πλαίσιο της ομότιμης συνεργατικής μάθησης και

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση της ικανότητας επίλυσης προβλήµατος

Αξιολόγηση της ικανότητας επίλυσης προβλήµατος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ MAΘHMA ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 2: Προβλήματα σχετικά με τη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ο Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης

5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης 5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης Μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση για τις πιο αποτελεσματικές στρατηγικές και τεχνικές μάθησης για τους μαθητές όλων των ηλικιών ανοίγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

Τα διδακτικά σενάρια

Τα διδακτικά σενάρια 2.2.4.1 Τα διδακτικά σενάρια Το ζήτηµα της διδακτικής αξιοποίησης του λογισµικού αποτελεί σηµείο προβληµατισµού ερευνητών και εκπαιδευτικών που ασχολούνται µε την ένταξη των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό Υπόβαθρο ΤΠΕ. Κυρίαρχες παιδαγωγικές θεωρίες

Παιδαγωγικό Υπόβαθρο ΤΠΕ. Κυρίαρχες παιδαγωγικές θεωρίες Παιδαγωγικό Υπόβαθρο ΤΠΕ Κυρίαρχες παιδαγωγικές θεωρίες Θεωρίες μάθησης για τις ΤΠΕ Συμπεριφορισμός (behaviorism) Γνωστικές Γνωστικής Ψυχολογίας (cognitive psychology) Εποικοδομητισμός (constructivism)

Διαβάστε περισσότερα

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ ΟΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Περίληψη

Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ ΟΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Περίληψη Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ ΟΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ριάνα Θεοδούλου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου, e-mail: rianath@hotmail.com Γεώργιος Φιλίππου

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5.1. Οι γνώσεις υποψηφίων δασκάλων για την υπολογιστική εκτίμηση Σε μια έρευνα των Lemonidis

Διαβάστε περισσότερα