ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
|
|
- Ασπασία Παππάς
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΕΣ ΚΑΙ ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Π. ΤΡΙΠΟΛΙΤΑΚΗΣ Επιβλέπουσα: Αικατερίνη Πανοπούλου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πειραιώς Πειραιάς, Οκτώβριος 011
2 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά την επιρροή της ανάλυσης στο πεδίο των συχνοτήτων (frequecy domai) στο κλασικό μοντέλο CAPM. Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε τις μηνιαίες αποδόσεις σε τρία διαφορετικά είδη χαρτοφυλακίων, τα book o marke, τα momeum και τα ize, όπως χρησιμοποιούνται ευρέως στη σχετική βιβλιογραφία. Επιπλέον, διακρίνουμε δυο διαφορετικές χρονικές περιόδους, για τις οποίες το κλασικό μοντέλο CAPM παρουσιάζει διαφορετική συμπεριφορά. Η ανάλυση σε πεδία συχνοτήτων (φασματική ανάλυση) μας παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για να απομονώσουμε τα ενυπάρχοντα κυκλικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών και μάλιστα, όπως θα δείξουμε, διατηρώντας τη μεταβλητότητα της αρχικής χρονοσειράς σε επιλεγμένες κυκλικές περιόδους. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να φιλτράρουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες επιρροές, επιδιώκοντας στη βελτίωση των χαρακτηριστικών του κλασικού CAPM, που είναι η απόρριψή του στην περίοδο και η αδυναμία τιμολόγησης του κινδύνου κατά την επιπλέον διαστρωματική ανάλυση σε ize και book o marke χαρτοφυλάκια. Syopi Thi hei udie he ifluece of he frequecy domai aalyi o he adard CAPM model. For hi purpoe, we examie he mohly performace of hree differe ype of porfolio, he book o marke, momeum ad ize porfolio, which are widely ued i he relaed lieraure. Moreover, we diiguih bewee wo differe ime period for which he adard CAPM model how differe behavior. The aalyi i he frequecy domai (pecral aalyi) give u he ool o iolae he ihere cyclic characeriic of he ime erie ad ideed, a we will how, by maiaiig he volailiy of he origial ime erie i eleced cyclical period. I hi way, we ca filer ou horerm ad log-erm ifluece, eekig o improve he characeriic of claic CAPM, which i dicharged i he period ad, imulaeouly, cao price he rik i he furher croecioal aalyi io ize ad book o marke porfolio.
3 3 Ευχαριστίες Για τη συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας οφείλω να ευχαριστήσω την Επίκουρο Καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Πειραιώς, κ. Κατερίνα Πανοπούλου, για την αμέριστη συμπαράσταση και καθοδήγηση καθόλη τη διάρκεια της εκπόνησής της.
4 4 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Φασματική ανάλυση χρονοσειράς Στάσιμες χρονοσειρές.. 8. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων Το δειγματικό περιοδόγραμμα Γραμμικά φίλτρα Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εμπειρική ανάλυση δεδομένων Περιγραφή δεδομένων Στατιστική περιγραφή δεδομένων Μεθοδολογία..30 Συμπεράσματα Παράρτημα Παράρτημα...68 Βιβλιογραφία
5 5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα Το κλασικό μοντέλο εκτίμησης των αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων ή το Sadard CAPM αναπτύχθηκε από τους W. Sharpe, J. Lier και J. Moi, βασιζόμενο στις παρακάτω υποθέσεις 1 Υ1 Τα κόστη συναλλαγών είναι αμελητέα σε σχέση με το συνολικό όγκο συναλλαγών. Υ Τα περιουσιακά στοιχεία είναι απείρως διαιρετά. Υ3 Οι φόροι προσωπικού εισοδήματος είναι αμελητέοι (επομένως ένα άτομο είναι αδιάφορο στην επιλογή μεταξύ του κέρδους από μερίσματα ή από άλλες επενδύσεις κεφαλαίου). Υ4 Ένα μεμονωμένο άτομο ή επιχείρηση δεν μπορεί να επηρεάσει την τιμή μιας μετοχής (τέλειος ανταγωνισμός). Υ5 Όλα τα άτομα επενδύουν με βάση την αναμενόμενη απόδοση και τη διασπορά των αποδόσεων. Υ6 Επιτρέπονται απεριόριστες ανοιχτές πωλήσεις (hor ale). Υ7 Επιτρέπεται απεριόριστος δανεισμός με το ακίνδυνο επιτόκιο (rik free rae) Υ8 Ισορροπία αποδόσεων-διασποράς-χρόνου (όλοι οι επενδυτές αναμένουν τις ίδιες αποδόσεις και διασπορά αποδόσεων, και επενδύουν στον ίδιο χρονικό ορίζοντα). Υ9 Όλα τα περιουσιακά στοιχεία είναι εμπορεύσιμα. Η εξίσωση του κλασικού CAPM Έστω i η απόδοση του στοιχείου ή χαρτοφυλακίου i, free η ακίνδυνη απόδοση και m η απόδοση της αγοράς. Τότε ισχύει η σχέση Ε( i ) = free + i (Ε( ) m free ), [1.1] όπου i = Cov( i, m ) Var( ) m = συντελεστής συστηματικού ρίσκου ή συντελεστής «βήτα» [1.] Η σχέση [1.1] υποδηλώνει ότι η αναμενόμενη απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου ή χαρτοφυλακίου, ξεπερνά την ακίνδυνη απόδοση κατά ένα ποσό γραμμικά ανάλογο με το συστηματικό ή μη-διαφοροποιήσιμο μέρος του ρίσκου. Με άλλα λόγια, ο επενδυτής δεν αναμένει 1 βλ. Elo, Gruber 007:84 και Fabozzi 006:08
6 6 την αποζημίωσή του για το μέρος εκείνο του ρίσκου το οποίο μπορεί να αντισταθμίσει με μια κατάλληλη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου του, και το οποίο δεν σχετίζεται με τον κίνδυνο της αγοράς (ιδιάζων ή μη-συστηματικό μέρος του ρίσκου). Η σχέση [1.1] μπορεί να εξεταστεί (βλ. 3.3) για i σταθερό. Στην πραγματικότητα, η σταθερότητα του συντελεστή βήτα δεν εξασφαλίζεται. Για παράδειγμα, αν μια εταιρεία μεταβάλλει την κεφαλαιοποίησή της, τότε δεν εξασφαλίζεται η σταθερότητα της συνδιασποράς Cov(, ). Οι Fama και Frech (199, 1993) εξέτασαν το κλασικό CAPM με σταθερό βήτα και βρήκαν ότι το μοντέλο αδυνατεί να εξηγήσει κάποιες ανωμαλίες τιμολόγησης. Για παράδειγμα, αναφέρουν ότι το μοντέλο δεν μπορεί να εξηγήσει γιατί i) χαρτοφυλάκια με μικρές εταιρείες ξεπερνούν σε απόδοση τις μεγάλες εταιρείες (επιρροή μεγέθους, βλ. 3.3), ii) χαρτοφυλάκια εταιρειών με μεγάλη αναλογία λογιστικής αξίας προς αξία από την αγορά ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχη μικρή αναλογία (book o marke επιρροή, βλ. 3.3) και iii) γιατί χαρτοφυλάκια εταιρειών με σχετικά μεγαλύτερες αποδόσεις στο παρελθόν ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχα χαμηλές προηγούμενες αποδόσεις (momeum επιρροή, βλ. 3.3). i m Μια πιθανή αιτία για την αποτυχία του κλασικού CAPM να εξηγήσει τις παραπάνω διαφοροποιήσεις, είναι η υπόθεση του σταθερού βήτα. Πολλές αναλύσεις (για παράδειγμα των Jagaaha και Wag (1996), των Fama και Frech (1997, 006) και των Ag και Che (007)) εντοπίζουν μια συνδιασπορά ανάμεσα στο χρονικά μεταβαλλόμενο βήτα και στη χρονικά μεταβαλλόμενη υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς. Οι Fero και Harvey (1999) και οι Pekova και Zhag (005) χρησιμοποιούν βοηθητικές μεταβλητές για να εντοπίσουν τις μεταβολές του βήτα και της υπερβάλλουσας απόδοσης της αγοράς, αλλά και τη συνδιασπορά τους. Οι Abdymomuov και Morley (011) ερευνούν τις μεταβολές του βήτα σε book o marke και momeum χαρτοφυλάκια σε σχέση με κάποιες διακριτές αλλαγές στη μεταβλητότητα της αγοράς των μετοχών και στις υπερβάλλουσες αποδόσεις της αγοράς. Oι Badi και Garcia (010) επιχειρούν να εκτιμήσουν τη δυνατότητα τιμολόγησης του κινδύνου (rik pricig) στο κλασικό CAPM, διακρίνοντας σε βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες σωρευτικές αποδόσεις, και καταφέρνουν να εξομαλύνουν τη γραμμική σχέση του χρονικά μεταβαλλόμενου βήτα ως προς τις μέσες αποδόσεις, για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Η δική μας ανάλυση εστιάζει στο φιλτράρισμα των αποδόσεων των διαμερισμένων χαρτοφυλακίων και στη βελτίωση της προσαρμογής του κλασικού μοντέλου CAPM, για τις διάφορες κυκλικές συνιστώσες. Όπως θα δείξουμε, το μοντέλο CAPM βελτιώνεται με χρήση ειδικού φίλτρου, η Αυτό το διαχωρισμό υιοθετούμε κι εμείς (βλ. Fama και Frech 199 και Fama και Frech 1993).
7 7 βελτίωση όμως αυτή δεν αφορά και την τιμολόγηση του κινδύνου, ο οποίος προκύπτει αρνητικός σε σχέση με τις μέσες αποδόσεις. Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία της φασματικής ανάλυσης, με στόχο την κατανόηση των ιδιοτήτων και των σχετικών μηχανισμών της. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, έχουμε την εφαρμογή των μηχανισμών αυτών στα δεδομένα των χαρτοφυλακίων μας και την εξαγωγή των συμπερασμάτων. Ακολουθούν τα Παραρτήματα, στα οποία συμπεριλαμβάνονται αναλυτικά όλοι οι πίνακες, τα στατιστικά συμπεράσματα και κάποια επιπλέον γραφήματα.
8 8 Κεφάλαιο Φασματική ανάλυση χρονοσειράς.1 Στάσιμες χρονοσειρές Ισχυρή Στασιμότητα Η χρονοσειρά { κάθε k (k ), η από κοινού κατανομή των { κατανομή των {, 1 k k } είναι (ισχυρά) στάσιμη, αν για κάθε 1,,, 1,,, και για } ταυτίζεται με την από κοινού,, }. Η από κοινού κατανομή, λοιπόν, των { k παραμένει σταθερή για οποιαδήποτε κοινή χρονική μετατόπιση κατά k. 1,,, } Στασιμότητα έως βαθμού m Η χρονοσειρά { } είναι στάσιμη έως το βαθμό m (m ), αν για κάθε 1,,, και για κάθε k, οι από κοινού ροπές έως του βαθμού m των { είναι ίσες με τις από κοινού ροπές έως βαθμού m των {, ή 1 k k,, } k 1, 1 Ε[ { } m { } m m { } 1 ] = Ε[ { } m { } m m { } ] 1 ( m 1 + m + + m m : i m, m για κάθε i) 1 k k k,, } Διακρίνουμε δυο βασικές περιπτώσεις m = m 3 = = m = 0 και m1 m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 ] = Ε[ { } m ] = σταθερό και ανεξάρτητο του. 1. m 3 = m 4 = = m = 0 και m 1 + m m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 = Ε[ { } m { } m ] = συνάρτηση του ( ) μόνο. 0 0 { } m ] Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι, i) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m = 1, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ. ii) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m =, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ (η στάσιμη βαθμού είναι και στάσιμη βαθμού 1) και για m 1 =, Ε[ ( ) ] = = σταθερά (ανεξάρτητη του ) Var( ) = Ε[ ( ) ] E [ ] = = = σταθερά. 3 Βλ. Prieley:105 και Mood, Graybill:159
9 9 iii) Αν m = και m 1 = m = 1, τότε για κάθε και, E[ ( ) μόνο Cov(, ) = E[ ] ] = συνάρτηση της διαφοράς = συνάρτηση της διαφοράς ( ) μόνο. Συνεπώς, μια στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού, i) Έχει σταθερή μέση τιμή μ για κάθε ii) Έχει σταθερή διασπορά για κάθε iii) Η συνδιασπορά για οποιαδήποτε χρονικά σημεία, εξαρτάται μόνο από το διάστημα ( - ) και όχι από το που βρίσκονται τα σημεία, στο χρόνο. Εξαιτίας των ιδιοτήτων αυτών, η στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού κρίνεται ικανοποιητική για τα οικονομικά μοντέλα μας και εφεξής αυτή θα εννοείται ως η «στάσιμη» χρονοσειρά. Αυτοσυσχέτιση Aν x = Var( ) και (τ) = Cov(, ) είναι η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης, τότε ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, ως ρ(τ) = (τ)/. Για μια x στάσιμη χρονοσειρά, (0) = Cov(, ) = Var( ) = x ρ(0) = 1. Επίσης, (τ) (0) ρ(τ) 1 για κάθε τ. Αν η στάσιμη χρονοσειρά λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές ( ), τότε ισχύει ότι για κάθε (-τ) = (τ) για κάθε τ ρ(-τ) = ρ(τ). Τέλος, για μια στάσιμη χρονοσειρά, φυσιολογικά (τ),ρ(τ) 0 όταν τ. 4. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς Περίοδος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα Ορίζονται ως Τ = Περίοδος = Ο χρόνος ενός κύκλου (στις αντίστοιχες χρονικές μονάδες μέτρησης) ν = 1/Τ = Συχνότητα = Αριθμός κύκλων ανά μονάδα χρόνου ω = πν = π/τ = Κυκλική συχνότητα = συχνότητα σε rad ανά μονάδα χρόνου Φασματική αναπαράσταση Grager Σύμφωνα με τον Grager 5, για τη στάσιμη χρονοσειρά { ορίζεται η φασματική της αναπαράσταση: } i = e dz ( ) = [co( ) ii( )] dz ( ), [.1] όπου Ζ(ω) είναι μια (μιγαδική) στοχαστική διαδικασία στο (-π, π) με τα εξής χαρακτηριστικά: 4 Το τ χαρακτηρίζεται ως το lag (υστέρηση). 5 Βλ. Arrow και Iriligaor 1984: 989
10 10 (i) E[dZ(ω)] = 0, για κάθε ω, 0, αν ω λ (ii) Ε[dZ(ω) dz(λ) ] = ( ) ( ) ( ), αν ω = λ, x df x f d όπου dz(λ) είναι η συζυγής της προσαύξησης dz(λ) και f(ω) η (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της. Προφανώς, Ε[dZ(ω) dz(λ) ] ω=λ = Ε[ dz(ω) ] = Var[dZ(ω)]. Η παραπάνω αυτή αναπαράσταση της μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα άθροισμα ενός απείρου αριθμού ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών (εξαιτίας των χαρακτηριστικών (i) και (ii), συνδεδεμένων με κάποια αντίστοιχη συχνότητα (μεταβλητές ή συνιστώσες συχνότητας). Το ολοκλήρωμα όλων των στοιχειωδών διασπορών Var[dZ(ω)] ισούται με την διασπορά χρονοσειράς, κάτι που χρησιμεύει στην ανάλυση της σχετικής σημασίας των μεταβλητών συχνότητας. Βάσει του ότι ω=π/τ, έχουμε ότι οι μικρές (ή χαμηλές) κυκλικές συχνότητες αντιστοιχούν σε μεγάλες οικονομικές περιόδους Τ, ενώ οι μεγάλες (ή υψηλές) κυκλικές συχνότητες (κοντά στο π) αντιστοιχούν σε σύντομες οικονομικές περιόδους Τ. Αυτή η διάκριση καθιστά τη φασματική ανάλυση συχνοτήτων πιο ελκυστική από την κλασσική ανάλυση χρονοσειρών (που βασίζεται στην καθαυτή μελέτη της ρ(τ)) όταν πρωταρχικός στόχος είναι η ανίχνευση των οικονομικών κύκλων στην πραγματοποίηση μιας χρονοσειράς. 6 x της Θεώρημα Wold 7 Οι συναρτήσεις {ρ(τ): τ = 0, ±1, ±, } αποτελούν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης μιας στάσιμης χρονοσειράς διακριτού χρόνου, { συνάρτηση F(ω) η οποία: : = 0, ±1, ±, }, αν και μόνο αν υπάρχει (i) Διαθέτει τα χαρακτηριστικά συνάρτησης κατανομής [δηλ. 0 F(ω) 1 για κάθε ω στο (-π, π), F(-π) = 0, F(π) = 1 και η F(ω) είναι μη-φθίνουσα] στο διάστημα (-π, π) και i (ii) ρ(τ) = e df ( ), τ = 0, ±1, ±, Η συνάρτηση F καλείται φασματική συνάρτηση κατανομής. Σημειώνουμε ότι, αν η είναι τέτοια ώστε η F(ω) να είναι παντού διαφορίσιμη, τότε η f(ω) = df(ω)/dω (f 0) υπάρχει για κάθε ω, και η αυτοσυσχέτιση ρ(τ) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως 6 Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να διευκρινίσουμε ότι ω π ή πν π ή ν ½ ή Τ. 7 Βλ. Prieley:
11 11 i ρ(τ) = e f ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.] (Kανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα Η ρ(τ) μπορεί να αντιστραφεί (βλ. Prieley: 5) δίνοντας την παρακάτω συνάρτηση συχνοτήτων ή (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα: f(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [.3] Αν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ρ(-τ) = ρ(τ) και άρα και f(-ω)= f(ω) για όλα τα ω στο (-π, π). Τότε, μάλιστα, η [.3] γίνεται, 8 f(ω) = 1 1 [co( ) ii( )] ( ) (0)[co(0) ii(0)] + 1 [co( ) ii( )] ( ) = 1 1 ( )co( ), -π ω π [.4] 1 Αντίστοιχα με την [.] και επειδή (τ) = x ρ(τ), θα έχουμε ότι: (τ) = e i f x ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.5] (Μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα διακριτού χρόνου, { : = 0, ±1, ±, } και (τ) = Cov(, Έστω μια στάσιμη χρονοσειρά ) η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης. Τότε ορίζουμε ως (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα της τη συνάρτηση h(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [. 6] Συγκρίνοντας με τη [.3] και λαμβάνοντας υπόψη ότι (τ) = x ρ(τ), παρατηρούμε ότι h(ω) = x f(ω). Μάλιστα, f 0 h 0. Aν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε f(-ω) = f(ω) h(-ω)= h(ω) για όλα τα ω στο [-π, π]. 8 Βλ. Prieley: 08, 17
12 1 Αν η στάσιμη { τη [.4], η [.6] γράφεται ως: } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ισχύει (-τ) = (τ) και, αντίστοιχα με h(ω) = 1 (0) ( )co( ), -π ω π [.7] 1 Ερμηνεία του φάσματος Έχουμε πει ότι h(ω) = x f(ω), και η [.5], τότε, γίνεται i (τ) = e h( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.9] Για τ = 0 θα είναι, (0) = h( ) d x = h( ) d [.10] Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η περιοχή κάτω από τη συνάρτηση φάσματος h(ω), για -π ω π, αντιστοιχεί στη διασπορά της χρονοσειράς { }. 9 Επειδή η h(ω) είναι μη-αρνητική, το ολοκλήρωμα 1 h( ) d, 0 < 1 < π είναι θετικό και εκφράζει το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { 1 συχνότητες ω όπου 1. Αν λάβουμε υπόψη και ότι h(-ω)= h(ω), τότε η ποσότητα } που συνδέεται με τις 1 h( ) d, 0 < 1 < π αναπαριστά το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { κυκλικών συχνοτήτων μικρότερων ή ίσων από μια δεδομένη συχνότητα 1. 0 } που συνδέεται με ένα σύνολο 9 Βλ. Hamilo: 156
13 13.3 Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων Τα επόμενα παραδείγματα είναι ενδεικτικά και στοιχειώδη στη μελέτη της φασματικής πυκνότητας μιας χρονοσειράς. Παράδειγμα 1 Η φασματική πυκνότητα του «λευκού θορύβου» Για την εξίσωση του «λευκού θορύβου» είναι γνωστό ότι (βλ. Prieley: 33): ρ(τ) = 1, = 0 0, = ±1, ±,... Συνεπώς, η φασματική πυκνότητα f(ω), με βάση τη σχέση [.4] θα ισούται με f(ω) = 1 (0) ( )co( ) 1 = 1, -π ω π [.11] Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή της πυκνότητας σε όλες τις κυκλικές συχνότητες ω στο (-π, π). Παράδειγμα Διακριτή χρονοσειρά A(1) Για τη διακριτή χρονοσειρά A(1) της μορφής { x ax 1 }, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης βρίσκεται για a 1, ίση με (βλ. Prieley: 119) ρ(τ) = a, οπότε από την [.4] και με δεδομένο ότι co(ωτ) = e( e i ), έχουμε ότι f(ω) = = 1 1 a co( ) 1 1 e 1 ( i ae ) 1 = 1 i ae 1 e i 1 ae = 1 a (1 a a co ), -π ω π, a 1 [.1] Η φασματική πυκνότητα f(ω) για διάφορες (θετικές) τιμές του a παριστάνεται στο γράφημα 1.
14 14 Γράφημα 1 φασματική πυκνότητα f(ω) της διακριτής A(1) [α = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9] Για όλα τα α από 0 έως 1, παρατηρούμε μια μεγαλύτερη συγκέντρωση πυκνότητας (και άρα και διασποράς) στις χαμηλότερες κυκλικές συχνότητες (ω 0) ή όταν Τ..4 Το δειγματικό περιοδόγραμμα Έστω μια πραγματοποίηση { y : = 1,,, T} της στάσιμης χρονοσειράς { Y }. Τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις δειγματικές (αυτο)συνδιακυμάνσεις ˆ( ), όπου τ η υστέρηση, ως 10 T 1 (y y)(y y), για = 0, 1,,...,T-1 ˆ( ) = 1 ˆ( ), για = -1, -,..., - (T-1) [.13] όπου y είναι ο δειγματικός μέσος, y = T 1 y. Για κάθε ω ορίζεται, αντίστοιχα με τη σχέση [.6], T 1 το δειγματικό φάσμα ή δειγματικό περιοδόγραμμα: T-1 1 h ˆ( ) = ˆ( ) i e [.14] T+1 Όπως στη σχέση [.7], το δειγματικό περιοδόγραμμα μπορεί να γραφεί και ως: 10 Βλ. Hamilo: 158
15 15 T-1 1 h ˆ( ) = ˆ(0) ˆ ( )co( ), -π ω π [.15] 1 Αποδεικνύεται, τότε, το δειγματικό ανάλογο του θεωρήματος αναπαράστασης Grager M y = â 0 + { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.16] 1 όπου 1 =π/τ, =4π/Τ,, = πμ/τ, δηλαδή = π/t με = 1,,,Μ και T /, αν Τ άρτιος M= (T-1) /, αν Τ περιττός, ώστε π για κάθε, ενώ το â0 και οι συντελεστές â και ˆ προκύπτουν από την παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων του μοντέλου y = a 0 + M 1 { a co[ ( 1)] i[ ( 1)]} + u [.17] Η σχέση [.17] δηλώνει ότι οποιαδήποτε πραγματοποίηση { y : = 1,,, T : T - περιττός} μιας στάσιμης χρονοσειράς { Y } μπορεί να εκφρασθεί ως μια σταθερά συν ένα σταθμισμένο άθροισμα Μ ή (Τ-1) περιοδικών συναρτήσεων με Μ ή (Τ-1)/ διαφορετικές συχνότητες. 11 Αν και το ω μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή από 0 έως π, εμείς, λοιπόν, αποδίδουμε όλη τη δειγματική διασπορά σε ένα αριθμό συχνοτήτων το πλήθος των οποίων εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων. Αυτό μας περιορίζει στο να ανάγουμε στη συχνότητα τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Το μοντέλο [.17] αντιστοιχεί σε ένα πολυμεταβλητό γραμμικό μοντέλο της μορφής Y = B + U όπου Y = [ y1 y και... y T ], = 1 x z x z 1 x z x z M 1M T1 T1 TM TM T (M +1) U = [ u1 u... u T ], x = co[ ( 1) ] και z = i[ ( 1) ]., B = [ a0 a1 1 a M M ] 11 Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει και για Τ άρτιο. Σημειώνουμε ότι για λόγους ευκολίας επιλέγουμε θετικές κυκλικές συχνότητες από 0 έως π.
16 16 Σύμφωνα με τους Hamilo (1994) και Weber (001), αν επιλέξουμε Τ περιττό (ώστε Τ = Μ+1), τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων στο μοντέλο [.17], με Τ επεξηγηματικές μεταβλητές και Τ παρατηρήσεις, έχει τέλεια προσαρμογή, ώστε U ˆ 0 Y ˆ = Y. Τότε, προκύπτουν τα εξής: (i) ˆ = [ â0 1 ˆ â M â 1 ˆ ] M = T T T T y y x y z y x y z T T T T 1 1 M M ώστε y = y + M { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.18] 1 με a ˆ = T T 1 y x, για = 1,,, M και ˆ = T y z, για = 1,,, M [.19] T 1 (ii) Δειγματική Διασπορά = 1 T T ( y y) = 1 1 ˆ [.0] ( aˆ ) 1 και το μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα δίνεται από την ποσότητα 1 ˆ ( aˆ ). (iii) Tο μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα εκφράζεται ισοδύναμα ως 1 ˆ ˆ ( a ) = 4π hˆ( ) [.1] όπου h ˆ( ) το δειγματικό περιοδόγραμμα στη συχνότητα. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, στην περιγραφή του μοντέλου [.17], στη συχνότητα ανάγουμε τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Έτσι, η ποσότητα της διασποράς της Y, δεν συνδέεται μόνο με τη συχνότητα 1 ˆ ˆ ( a ), ως μέρος αλλά και με κύκλους συχνοτήτων κοντά στην. Εφόσον = π/t με = 1,,,Μ 1 = π/τ και από τη σχέση [.1] έχουμε ότι 1 ˆ ( aˆ ) = ( 1 ) h ˆ( ), που είναι περίπου διπλάσιο από το εμβαδόν που
17 17 περικλείει η συνάρτηση h ˆ( ) ανάμεσα στις συχνότητες 1 και, όπως φαίνεται στο γράφημα. 1 Γράφημα Δειγματικό περιοδόγραμμα ˆ( ) h Y-Axi h ˆ( ) π Πηγή:Weber 008, Hamilo:163 Επομένως, με βάση τη σχέση [.0] η συνολική δειγματική διασπορά κατανέμεται σε όλο το εμβαδόν του δειγματικού περιοδογράμματος, ώστε να είναι ανάλογη με το συνολικό εμβαδόν ως εξής T 1 1 ˆ ˆ π ˆ y ˆ y a 1 h h T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το δειγματικό περιοδόγραμμα, με χρήση των [.19] και [.1], ισοδύναμα υπολογίζεται ως T T T 1 ˆ ˆ h( ) = ( ˆ ) y x y z 8π πτ 1 1 [.] Εφαρμογή σε δεδομένα των αποδόσεων αγοράς Οι αποδόσεις της αγοράς εξομοιώνονται στο value-weighed (στάθμιση βάσει της κεφαλαιοποίησης) χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από όλες τις μετοχές των δεικτών NYSE, AME και NASDAQ. Η χρονοσειρά περιέχει μηνιαία δεδομένα από το 197 έως και το Αυτό είναι αντίστοιχο με τη συνεχή περίπτωση (το ω λαμβάνει πραγματικές τιμές από 0 έως 1 < π) όπου το μέρος της διασποράς της χρονοσειράς που συνδέεται με συχνότητες έως την 1 δίνεται από το διπλάσιο του ολοκληρώματος 1 h( ) d (βλ..). 0
18 18 Η κυκλική συχνότητα = π/t ανταποκρίνεται σε περιόδους π/ = T/. Επομένως, με βάση το γράφημα 3b, παρατηρούμε μια κορυφή περίπου στο =1, συνεπώς έχουμε μια κυκλική περίοδο ίση με 1007/1 = 83,9 μήνες ή περίπου 7 χρόνια. Η περίοδος αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως η διάρκεια ενός πλήρους οικονομικού-χρηματιστηριακού κύκλου (ανάπτυξη (bull marke) - ύφεση (bear marke) ανάπτυξη), ώστε το εμβαδόν κάτω από την περιοχή αυτή (για =1±), να εξηγεί το ποσοστό της διασποράς στις μηνιαίες αποδόσεις που οφείλεται στους οικονομικούς κύκλους. Γράφημα 3 Αποδόσεις αγοράς και δειγματικό περιοδόγραμμα (3a) marke reur (3b) ample periodogram of marke reur Στο γράφημα 3a έχουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις των αποδόσεων της αγοράς, ενώ στο γράφημα 3b υπολογίζουμε το δειγματικό περιοδόγραμμα h ˆ( ) σε συνάρτηση του, για τα = π/t, με βάση τον τύπο [.], για Τ= 1007 και Μ = (Τ-1)/= Πηγή: Keeh Frech library (hp://mba.uck.darmouh.edu/page/faculy/ke.frech/daa_library.hml) Εξομάλυνση του περιοδογράμματος Σύμφωνα με τον Hamilo (Hamilo 1994:165), για μπορούμε να ορίσουμε μια νέα τιμή h ˆ ( ), υποθέτοντας ότι hˆ ( ) h ˆ( ) για συχνότητες i i i κοντά στην. 14 Το h ˆ ( ) μπορεί, τότε, να υπολογισθεί ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των τιμών των h ˆ( i ) για συχνότητες i κοντά στην, όπου οι σταθμίσεις θα εξαρτώνται από την απόσταση ανάμεσα στα i,. 13 Στο παράρτημα βρίσκονται οι σχετικοί αλγόριθμοι που υλοποιούνται στο στατιστικό περιβάλλον του EView 6 (Κώδικες Κ1-Κ3). 14 Ο δείκτης προκύπτει από την αγγλική λέξη «mooh».
19 19 Η στάθμιση θα είναι της μορφής w(m) = (g + 1 m )/ ( g 1), όπου g = παράμετρος εύρους (badwidh) έτσι ώστε ˆ g 1 m h ( ) [ ] ( ) [.3] g ˆ h m m g ( g 1) Παρατηρούμε ότι η στάθμιση γίνεται με μεγαλύτερη βαρύτητα για τις πιο κοντινές τιμές και λαμβάνει την ελάχιστη τιμή, που ισούται με 1/ ( g 1), όταν m = ± g, ενώ, εύκολα, αποδεικνύεται g ότι w( m) = Στη συνέχεια εξομαλύνουμε τα δεδομένα του γραφήματος 3b, για g=0, και έτσι m g προκύπτει το επόμενο περιοδόγραμμα. Γράφημα 4 Εξομαλυμένο δειγματικό περιοδόγραμμα (a) marke reur mooh periodogram badwidh= (4b) periodogram moohig badwidh= Η πρώτη κορυφή παρατηρείται περίπου για =4 που αντιστοιχεί σε περίοδο Τ/=1007/5 4 μήνες ή περίπου 3,5 έτη και αφορά το μέρος της διασποράς που οφείλεται σε μακροπρόθεσμες επιρροές, δηλαδή, στους κύκλους της αγοράς. 16 Η δεύτερη κορυφή συμβαίνει περίπου για =116, ώστε Τ/=8.7 μήνες, κάτι που αντιστοιχεί σε έναν κύκλο που περιέχει βραχυπρόθεσμες ή εποχιακές επιρροές. Ακολουθούν αντίστοιχοι κύκλοι (βραχείας διάρκειας) 5.9, 4.4,.9,.4 και. μηνών. g 15 Πράγματι, ( g 1 m ) = mg g g g g ( g 1) m ( g 1) 1 m ( g 1)( g 1) g( g 1) / ( g 1). mg mg m g m0 16 Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τον C.J. Grager (βλ. Ghyel και Swao: 11), σύμφωνα με τους οποίους η μέση διάρκεια των οικονομικών κύκλων είναι περίπου ίση με 40 μήνες.
20 0.5 Γραμμικά φίλτρα Φιλτράρισμα ή φίλτρο Έστω η διακριτή χρονοσειρά { } και a μια δοσμένη (ντετερμινιστική) ακολουθία πραγματικών. Ονομάζουμε ένα φιλτράρισμα ή φίλτρο τη χρονοσειρά { Y } Y = a [.4] Το φίλτρο, λοιπόν, είναι ένας σταθμισμένος γραμμικός συνδυασμός παρελθοντικών (lag), τωρινών και μελλοντικών (lead) τιμών της { }. Αποδεικνύεται, 17 ότι εάν η { } είναι στάσιμη χρονοσειρά με φασματική πυκνότητα h ( ) και a τέτοια ώστε a <, τότε η Y παραπάνω, είναι επίσης στάσιμη με φασματική πυκνότητα όπως hy ( ) = h ( ), ω π [.5] ( ) όπου, ( ) = μεταβίβασης. i ae η συνάρτηση απόκρισης συχνοτήτων και ( ) η συνάρτηση Τα βάρη a υπολογίζονται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στην A( ), ώστε a = 1 π i e A( ) d, = 0, ±1, ±, [.6] Φίλτρο Low-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.7] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «low-pa». Το φίλτρο low-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες (απολύτως) μικρότερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε υψηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Λαμβάνοντας υπόψη και τη σχέση [.5] συμπεραίνουμε ότι το low-pa φίλτρο διατηρεί, για τις συχνότητες εκείνες, αμετάβλητη την κατανομή της διασποράς x της χρονοσειράς { }. 18 Αποδεικνύεται (βλ. Baxer και Kig 1995) ότι τα κατάλληλα βάρη για το (ιδανικό) low-pa φίλτρο είναι ίσα με a 0 = 0 /π και a = i( 0 )/π για = ±1, ±, [.8] a 17 Βλ. Weber, Prieley: Για 0 ω έχουμε ότι π/τ π/ Τ
21 1 Φίλτρο High-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.9] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «high-pa». Το φίλτρο high-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες μεγαλύτερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε χαμηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Φίλτρο Bad-Pa Αν, με βάση τη [.5], επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, ω 1 0, αλλιώς a, τέτοια ώστε [.30] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «bad-pa». Το φίλτρο bad-pa διατηρεί τις μεταβλητές συχνοτήτων στην περιοχή ( ω 1, ω ), ενώ όλες οι μεταβλητές των υπολοίπων συχνοτήτων αφαιρούνται. Με τον τρόπο αυτό απομονώνονται τα κυκλικά χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς σε μια συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων ή περιόδων. Είναι εύκολο να δούμε ότι το φίλτρο bad-pa μπορεί να γραφεί ως διαφορά δυο low-pa, για τις συναρτήσεις απόκρισης των οποίων έχουμε ότι = ( ) 1, 0, (άνω φίλτρο) και = ( ) 1, 1 0, 1 (κάτω φίλτρο) Τότε, = ( ) ( ) ( ) [.31].6 Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad Το φίλτρο Baxer-Kig Οι Baxer και Kig (1995) εξήγαγαν ένα bad-pa φίλτρο αφαιρώντας τις βραχυπρόθεσμες συνιστώσες (υψηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ= έως 18 μηνών και τις μακροπρόθεσμες συνιστώσες (χαμηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ=96 μηνών και άνω (συνιστώσες τάσης). Οι ενδιάμεσες συνιστώσες (για περιοδικότητες από 18 έως 96 μήνες) που παραμένουν, αποτελούν την περιοχή εμφάνισης των οικονομικών κύκλων (buie cycle). Η μέθοδος που ακολουθείται πάνω σε ένα δείγμα δεδομένων, χρησιμοποιεί το γραμμικό φίλτρο [.4]
22 με πεπερασμένο αριθμό από k lag και lead, ώστε να ορίζεται μια νέα (προσεγγιστική) συνάρτηση απόκρισης 19, η A ( ) k = k i be [.3] k Αντίστοιχα, έχουμε το φιλτράρισμα k Y = b [.33] k Για την ακριβή εύρεση των βαρών συνάρτησης 0 b της συνάρτησης [.3] ζητείται η ελαχιστοποίηση της Q = ( ) ( ) d k = k i i ae be d k [.34] Τα βέλτιστα βάρη όπου b για το φίλτρο bad-pa προκύπτουν, τότε, ίσα με a τα βάρη του (ιδανικού) άνω-φίλτρου low-pa, b = a a + θ θ [.35] a τα βάρη του (ιδανικού) κάτω-φίλτρου low-pa, όπως ορίζονται στη σχέση [.8], και θ μια σταθερά η οποία εξαρτάται από τον αριθμό των υστερήσεων k ώστε θ = 1 k k a k 1 και θ = 1 k k a k 1 [.36] Το φίλτρο συχνοτήτων Baxer-Kig συμβολίζεται ως BP k (p,q), όπου p είναι η μικρότερη και q η μεγαλύτερη περίοδος. Στα γραφήματα 5a και 5b έχουμε την εφαρμογή του bad-pa φίλτρου Baxer-Kig πάνω στη χρονοσειρά των αποδόσεων της αγοράς από το 197 έως το Η συνάρτηση αυτή προσεγγίζει την ιδανική συνάρτηση απόκρισης A( ) για k ±. Γενικά, για μεγαλύτερο k έχουμε και καλύτερη προσέγγιση της ιδανικής συνάρτησης απόκρισης που λαμβάνει τιμές ακριβώς ίσες με 0,1, ταυτόχρονα, όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε περισσότερες τιμές από το δείγμα μας (τις k αρχικές και k τελευταίες τιμές). 0 Βλ. Ever 006. Το Α(ω) είναι η συνάρτηση απόκρισης που ορίζεται στη σχέση [.5].
23 3 Γράφημα 5 Το φίλτρο Baxer-Kig (5a) Fixed Legh Symmeric (Baxer-Kig) Filer lag/lead = (5b) Frequecy epoe Fucio _1 No-cyclical Cycle Acual Ideal cycle/period Στο σχήμα 5a έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Baxer-Kig στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Στο σχήμα 5b έχουμε την απόκριση A ( ) για k=36, σε συνάρτηση με τη συχνότητα f (κύκλοι ανά περίοδο). Η ιδανική συνάρτηση απόκρισης σχηματίζεται για k=. k Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald 1 Για τις = 1,,,T παρατηρήσεις, το φίλτρο Chriiao- Fizgerald προκύπτει με βάση την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης Q = ( ) B T ( ) h( ) d [.37] όπου Α(ω) η συνάρτηση απόκρισης του ιδανικού φίλτρου bad-pa, Β(ω) η προσεγγιστική συνάρτηση απόκρισης, η οποία ορίζεται ως ( ) = 1 i be, = 1,,,T [.38] T και h(ω) η (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της δοθείσας χρονοσειράς { }. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι έχουμε Τ διαφορετικές συναρτήσεις απόκρισης και Τ δυνατά φίλτρα (εξισώνουμε f=t και p= 1) με Τ βάρη Y, T = b για το κάθε φίλτρο, p b [.39] f Τα φίλτρα αυτά είναι μη-συμμετρικά (διαφορετικός αριθμός lag και lead), με μοναδική εξαίρεση την περίπτωση όπου p=f (συμμετρικό φίλτρο Chriiao-Fizgerald), δηλαδή στην ημερομηνία εκείνη για την οποία =(T+1)/. 1 Βλ. Ever 006 και Chriiao και Fizgerald 003.
24 4 Η ελαχιστοποίηση της [.37] δίνει τα Τ βέλτιστα βάρη b, 1 1 a0 a, για 1 0 b = a, για,..., T a0 a, για T 1 [.40] όπου τα βάρη του ιδανικού bad-pa φίλτρου, a i 1 {i( i ) i( 1i )}, για i 0 i ( 1 ) /, για i=0 [.41] με 1, όπως ορίζονται στη σχέση [.30]. Γράφημα 6 Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald aymmeric Aymmeric (ime-varyig) Filer Στο γράφημα 6 έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Chriiao-Fizgerald aymmeric στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Το EView δημιουργεί έναν πίνακα ΤxΤ με Τ φίλτρα (ανά στήλη) και Τ βάρη για κάθε φίλτρο (ανά γραμμή). _1 No-cyclical Cycle Στη συνέχεια (Κεφάλαιο 3), και με τη χρήση των προαναφερθέντων φίλτρων, εξάγουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συνιστώσες των αποδόσεων χαρτοφυλακίων book o marke, ize και momeum (όπως τα κατηγοριοποιούν οι Fama και Frech - 199, 1993), επιδιώκοντας τη βελτίωση των χαρακτηριστικών του στατικού μοντέλου CAPM.
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ31 Θεωρία Κεφαλαιαγοράς και υποδείγματα αποτίμησης κεφαλαιακών περιουσιακών στοιχείων
ΔΕΟ31 Θεωρία Κεφαλαιαγοράς και υποδείγματα αποτίμησης κεφαλαιακών περιουσιακών στοιχείων 1.1 Θεωρία Κεφαλαιαγοράς Η θεωρία κεφαλαιαγοράς αποτελεί τη συνέχεια της θεωρίας χαρτοφυλακίου. Στη θεωρία χαρτοφυλακίου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:
Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το
Διαβάστε περισσότεραΣυσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων
Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος:
Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδημαϊκό έτος: 2017 2018 Ασκήσεις 3 ης ΟΣΣ Άσκηση 1 η. Έστω οι προσδοκώμενες αποδόσεις και ο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση Επενδύσεων
Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη για το CAPM Δράκος και Καραθανάσης Κεφάλαιο 18 Εαρινό Εξάμηνο 2018 1 Οι Κύριες Υποθέσεις του Υποδείγματος CAPM Το CAPM (Capital Asset Pricing Model-Υπόδειγμα Αποτίμησης Κεφαλαιακών(Περιουσιακών)
Διαβάστε περισσότεραΧρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών
Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραKEΦΑΛΑΙΟ 2 Θεωρία Χαρτοφυλακίου
KEΦΑΛΑΙΟ Θεωρία Χαρτοφυλακίου.1 Απόδοση και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοση και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίσουμε τον υπολογισμό ανάλογα με το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ- ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. ΟΡΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες
ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 3 Επομένως τα μερίσματα για τα έτη 2015 και 2016 είναι 0, 08 0,104
ΘΕΜΑ 3 ΙΑ) Η οικονομική αξία της μετοχής BC θα υπολογιστεί από το συνδυασμό των υποδειγμάτων α) D D προεξόφλησης IV για τα πρώτα έτη 05 και 06 και β) σταθερής k k αύξησης μερισμάτων D IV (τυπολόγιο σελ.
Διαβάστε περισσότεραE[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]
1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΣυνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος
ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2
013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ
Διαβάστε περισσότερα0,40 0, ,35 0,40 0,010 = 0,0253 1
ΔΕΟ3 1ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ CAPM ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Έστω ότι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς αποτελείται από τρεις μετοχές οι οποίες συμμετέχουν με τα εξής ποσοστά:: W1 = 0,25, W2 = 0,35, W3 = 0,40. Ο παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)
Διαβάστε περισσότεραΣτασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή
Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότερα3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου
Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα
Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότερα2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier
2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΞέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)
Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων»
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων» Οδηγίες: Σχετικά με την παράδοση της εργασίας θα πρέπει: Το κείμενο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 4.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Διαβάστε περισσότερα1.2 Απλός Κινητός Μέσος (Simple -equally-weighted- Moving Average)
Μέθοδοι Εξομάλυνσης Οι διαδικασίες της εξομάλυνσης (smoohig και της παρεμβολής (ierpolaio αποτελούν ένα περίπλοκο πεδίο έρευνας και γνώσης και έχουν άμεση πρακτική εφαρμογή στις οικονομικές επιστήμες..
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα
Διαβάστε περισσότεραΧρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008
Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραwww.oleclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Στον πίνακα που ακολουθεί παρατίθενται οι κατανομές των αποδόσεων δύο μετοχών. Πιθανότητα (π ) 0,5 0,5 0,5 0,5 r Α 10% 6% 13% 3% r Β 0% 5% -1% 16% Α. Να υπολογιστεί η εκτιμώμενη
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότερα