ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΕΣ ΚΑΙ ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Π. ΤΡΙΠΟΛΙΤΑΚΗΣ Επιβλέπουσα: Αικατερίνη Πανοπούλου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πειραιώς Πειραιάς, Οκτώβριος 011

2 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά την επιρροή της ανάλυσης στο πεδίο των συχνοτήτων (frequecy domai) στο κλασικό μοντέλο CAPM. Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε τις μηνιαίες αποδόσεις σε τρία διαφορετικά είδη χαρτοφυλακίων, τα book o marke, τα momeum και τα ize, όπως χρησιμοποιούνται ευρέως στη σχετική βιβλιογραφία. Επιπλέον, διακρίνουμε δυο διαφορετικές χρονικές περιόδους, για τις οποίες το κλασικό μοντέλο CAPM παρουσιάζει διαφορετική συμπεριφορά. Η ανάλυση σε πεδία συχνοτήτων (φασματική ανάλυση) μας παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για να απομονώσουμε τα ενυπάρχοντα κυκλικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών και μάλιστα, όπως θα δείξουμε, διατηρώντας τη μεταβλητότητα της αρχικής χρονοσειράς σε επιλεγμένες κυκλικές περιόδους. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να φιλτράρουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες επιρροές, επιδιώκοντας στη βελτίωση των χαρακτηριστικών του κλασικού CAPM, που είναι η απόρριψή του στην περίοδο και η αδυναμία τιμολόγησης του κινδύνου κατά την επιπλέον διαστρωματική ανάλυση σε ize και book o marke χαρτοφυλάκια. Syopi Thi hei udie he ifluece of he frequecy domai aalyi o he adard CAPM model. For hi purpoe, we examie he mohly performace of hree differe ype of porfolio, he book o marke, momeum ad ize porfolio, which are widely ued i he relaed lieraure. Moreover, we diiguih bewee wo differe ime period for which he adard CAPM model how differe behavior. The aalyi i he frequecy domai (pecral aalyi) give u he ool o iolae he ihere cyclic characeriic of he ime erie ad ideed, a we will how, by maiaiig he volailiy of he origial ime erie i eleced cyclical period. I hi way, we ca filer ou horerm ad log-erm ifluece, eekig o improve he characeriic of claic CAPM, which i dicharged i he period ad, imulaeouly, cao price he rik i he furher croecioal aalyi io ize ad book o marke porfolio.

3 3 Ευχαριστίες Για τη συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας οφείλω να ευχαριστήσω την Επίκουρο Καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Πειραιώς, κ. Κατερίνα Πανοπούλου, για την αμέριστη συμπαράσταση και καθοδήγηση καθόλη τη διάρκεια της εκπόνησής της.

4 4 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Φασματική ανάλυση χρονοσειράς Στάσιμες χρονοσειρές.. 8. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων Το δειγματικό περιοδόγραμμα Γραμμικά φίλτρα Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εμπειρική ανάλυση δεδομένων Περιγραφή δεδομένων Στατιστική περιγραφή δεδομένων Μεθοδολογία..30 Συμπεράσματα Παράρτημα Παράρτημα...68 Βιβλιογραφία

5 5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα Το κλασικό μοντέλο εκτίμησης των αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων ή το Sadard CAPM αναπτύχθηκε από τους W. Sharpe, J. Lier και J. Moi, βασιζόμενο στις παρακάτω υποθέσεις 1 Υ1 Τα κόστη συναλλαγών είναι αμελητέα σε σχέση με το συνολικό όγκο συναλλαγών. Υ Τα περιουσιακά στοιχεία είναι απείρως διαιρετά. Υ3 Οι φόροι προσωπικού εισοδήματος είναι αμελητέοι (επομένως ένα άτομο είναι αδιάφορο στην επιλογή μεταξύ του κέρδους από μερίσματα ή από άλλες επενδύσεις κεφαλαίου). Υ4 Ένα μεμονωμένο άτομο ή επιχείρηση δεν μπορεί να επηρεάσει την τιμή μιας μετοχής (τέλειος ανταγωνισμός). Υ5 Όλα τα άτομα επενδύουν με βάση την αναμενόμενη απόδοση και τη διασπορά των αποδόσεων. Υ6 Επιτρέπονται απεριόριστες ανοιχτές πωλήσεις (hor ale). Υ7 Επιτρέπεται απεριόριστος δανεισμός με το ακίνδυνο επιτόκιο (rik free rae) Υ8 Ισορροπία αποδόσεων-διασποράς-χρόνου (όλοι οι επενδυτές αναμένουν τις ίδιες αποδόσεις και διασπορά αποδόσεων, και επενδύουν στον ίδιο χρονικό ορίζοντα). Υ9 Όλα τα περιουσιακά στοιχεία είναι εμπορεύσιμα. Η εξίσωση του κλασικού CAPM Έστω i η απόδοση του στοιχείου ή χαρτοφυλακίου i, free η ακίνδυνη απόδοση και m η απόδοση της αγοράς. Τότε ισχύει η σχέση Ε( i ) = free + i (Ε( ) m free ), [1.1] όπου i = Cov( i, m ) Var( ) m = συντελεστής συστηματικού ρίσκου ή συντελεστής «βήτα» [1.] Η σχέση [1.1] υποδηλώνει ότι η αναμενόμενη απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου ή χαρτοφυλακίου, ξεπερνά την ακίνδυνη απόδοση κατά ένα ποσό γραμμικά ανάλογο με το συστηματικό ή μη-διαφοροποιήσιμο μέρος του ρίσκου. Με άλλα λόγια, ο επενδυτής δεν αναμένει 1 βλ. Elo, Gruber 007:84 και Fabozzi 006:08

6 6 την αποζημίωσή του για το μέρος εκείνο του ρίσκου το οποίο μπορεί να αντισταθμίσει με μια κατάλληλη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου του, και το οποίο δεν σχετίζεται με τον κίνδυνο της αγοράς (ιδιάζων ή μη-συστηματικό μέρος του ρίσκου). Η σχέση [1.1] μπορεί να εξεταστεί (βλ. 3.3) για i σταθερό. Στην πραγματικότητα, η σταθερότητα του συντελεστή βήτα δεν εξασφαλίζεται. Για παράδειγμα, αν μια εταιρεία μεταβάλλει την κεφαλαιοποίησή της, τότε δεν εξασφαλίζεται η σταθερότητα της συνδιασποράς Cov(, ). Οι Fama και Frech (199, 1993) εξέτασαν το κλασικό CAPM με σταθερό βήτα και βρήκαν ότι το μοντέλο αδυνατεί να εξηγήσει κάποιες ανωμαλίες τιμολόγησης. Για παράδειγμα, αναφέρουν ότι το μοντέλο δεν μπορεί να εξηγήσει γιατί i) χαρτοφυλάκια με μικρές εταιρείες ξεπερνούν σε απόδοση τις μεγάλες εταιρείες (επιρροή μεγέθους, βλ. 3.3), ii) χαρτοφυλάκια εταιρειών με μεγάλη αναλογία λογιστικής αξίας προς αξία από την αγορά ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχη μικρή αναλογία (book o marke επιρροή, βλ. 3.3) και iii) γιατί χαρτοφυλάκια εταιρειών με σχετικά μεγαλύτερες αποδόσεις στο παρελθόν ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχα χαμηλές προηγούμενες αποδόσεις (momeum επιρροή, βλ. 3.3). i m Μια πιθανή αιτία για την αποτυχία του κλασικού CAPM να εξηγήσει τις παραπάνω διαφοροποιήσεις, είναι η υπόθεση του σταθερού βήτα. Πολλές αναλύσεις (για παράδειγμα των Jagaaha και Wag (1996), των Fama και Frech (1997, 006) και των Ag και Che (007)) εντοπίζουν μια συνδιασπορά ανάμεσα στο χρονικά μεταβαλλόμενο βήτα και στη χρονικά μεταβαλλόμενη υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς. Οι Fero και Harvey (1999) και οι Pekova και Zhag (005) χρησιμοποιούν βοηθητικές μεταβλητές για να εντοπίσουν τις μεταβολές του βήτα και της υπερβάλλουσας απόδοσης της αγοράς, αλλά και τη συνδιασπορά τους. Οι Abdymomuov και Morley (011) ερευνούν τις μεταβολές του βήτα σε book o marke και momeum χαρτοφυλάκια σε σχέση με κάποιες διακριτές αλλαγές στη μεταβλητότητα της αγοράς των μετοχών και στις υπερβάλλουσες αποδόσεις της αγοράς. Oι Badi και Garcia (010) επιχειρούν να εκτιμήσουν τη δυνατότητα τιμολόγησης του κινδύνου (rik pricig) στο κλασικό CAPM, διακρίνοντας σε βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες σωρευτικές αποδόσεις, και καταφέρνουν να εξομαλύνουν τη γραμμική σχέση του χρονικά μεταβαλλόμενου βήτα ως προς τις μέσες αποδόσεις, για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Η δική μας ανάλυση εστιάζει στο φιλτράρισμα των αποδόσεων των διαμερισμένων χαρτοφυλακίων και στη βελτίωση της προσαρμογής του κλασικού μοντέλου CAPM, για τις διάφορες κυκλικές συνιστώσες. Όπως θα δείξουμε, το μοντέλο CAPM βελτιώνεται με χρήση ειδικού φίλτρου, η Αυτό το διαχωρισμό υιοθετούμε κι εμείς (βλ. Fama και Frech 199 και Fama και Frech 1993).

7 7 βελτίωση όμως αυτή δεν αφορά και την τιμολόγηση του κινδύνου, ο οποίος προκύπτει αρνητικός σε σχέση με τις μέσες αποδόσεις. Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία της φασματικής ανάλυσης, με στόχο την κατανόηση των ιδιοτήτων και των σχετικών μηχανισμών της. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, έχουμε την εφαρμογή των μηχανισμών αυτών στα δεδομένα των χαρτοφυλακίων μας και την εξαγωγή των συμπερασμάτων. Ακολουθούν τα Παραρτήματα, στα οποία συμπεριλαμβάνονται αναλυτικά όλοι οι πίνακες, τα στατιστικά συμπεράσματα και κάποια επιπλέον γραφήματα.

8 8 Κεφάλαιο Φασματική ανάλυση χρονοσειράς.1 Στάσιμες χρονοσειρές Ισχυρή Στασιμότητα Η χρονοσειρά { κάθε k (k ), η από κοινού κατανομή των { κατανομή των {, 1 k k } είναι (ισχυρά) στάσιμη, αν για κάθε 1,,, 1,,, και για } ταυτίζεται με την από κοινού,, }. Η από κοινού κατανομή, λοιπόν, των { k παραμένει σταθερή για οποιαδήποτε κοινή χρονική μετατόπιση κατά k. 1,,, } Στασιμότητα έως βαθμού m Η χρονοσειρά { } είναι στάσιμη έως το βαθμό m (m ), αν για κάθε 1,,, και για κάθε k, οι από κοινού ροπές έως του βαθμού m των { είναι ίσες με τις από κοινού ροπές έως βαθμού m των {, ή 1 k k,, } k 1, 1 Ε[ { } m { } m m { } 1 ] = Ε[ { } m { } m m { } ] 1 ( m 1 + m + + m m : i m, m για κάθε i) 1 k k k,, } Διακρίνουμε δυο βασικές περιπτώσεις m = m 3 = = m = 0 και m1 m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 ] = Ε[ { } m ] = σταθερό και ανεξάρτητο του. 1. m 3 = m 4 = = m = 0 και m 1 + m m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 = Ε[ { } m { } m ] = συνάρτηση του ( ) μόνο. 0 0 { } m ] Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι, i) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m = 1, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ. ii) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m =, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ (η στάσιμη βαθμού είναι και στάσιμη βαθμού 1) και για m 1 =, Ε[ ( ) ] = = σταθερά (ανεξάρτητη του ) Var( ) = Ε[ ( ) ] E [ ] = = = σταθερά. 3 Βλ. Prieley:105 και Mood, Graybill:159

9 9 iii) Αν m = και m 1 = m = 1, τότε για κάθε και, E[ ( ) μόνο Cov(, ) = E[ ] ] = συνάρτηση της διαφοράς = συνάρτηση της διαφοράς ( ) μόνο. Συνεπώς, μια στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού, i) Έχει σταθερή μέση τιμή μ για κάθε ii) Έχει σταθερή διασπορά για κάθε iii) Η συνδιασπορά για οποιαδήποτε χρονικά σημεία, εξαρτάται μόνο από το διάστημα ( - ) και όχι από το που βρίσκονται τα σημεία, στο χρόνο. Εξαιτίας των ιδιοτήτων αυτών, η στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού κρίνεται ικανοποιητική για τα οικονομικά μοντέλα μας και εφεξής αυτή θα εννοείται ως η «στάσιμη» χρονοσειρά. Αυτοσυσχέτιση Aν x = Var( ) και (τ) = Cov(, ) είναι η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης, τότε ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, ως ρ(τ) = (τ)/. Για μια x στάσιμη χρονοσειρά, (0) = Cov(, ) = Var( ) = x ρ(0) = 1. Επίσης, (τ) (0) ρ(τ) 1 για κάθε τ. Αν η στάσιμη χρονοσειρά λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές ( ), τότε ισχύει ότι για κάθε (-τ) = (τ) για κάθε τ ρ(-τ) = ρ(τ). Τέλος, για μια στάσιμη χρονοσειρά, φυσιολογικά (τ),ρ(τ) 0 όταν τ. 4. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς Περίοδος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα Ορίζονται ως Τ = Περίοδος = Ο χρόνος ενός κύκλου (στις αντίστοιχες χρονικές μονάδες μέτρησης) ν = 1/Τ = Συχνότητα = Αριθμός κύκλων ανά μονάδα χρόνου ω = πν = π/τ = Κυκλική συχνότητα = συχνότητα σε rad ανά μονάδα χρόνου Φασματική αναπαράσταση Grager Σύμφωνα με τον Grager 5, για τη στάσιμη χρονοσειρά { ορίζεται η φασματική της αναπαράσταση: } i = e dz ( ) = [co( ) ii( )] dz ( ), [.1] όπου Ζ(ω) είναι μια (μιγαδική) στοχαστική διαδικασία στο (-π, π) με τα εξής χαρακτηριστικά: 4 Το τ χαρακτηρίζεται ως το lag (υστέρηση). 5 Βλ. Arrow και Iriligaor 1984: 989

10 10 (i) E[dZ(ω)] = 0, για κάθε ω, 0, αν ω λ (ii) Ε[dZ(ω) dz(λ) ] = ( ) ( ) ( ), αν ω = λ, x df x f d όπου dz(λ) είναι η συζυγής της προσαύξησης dz(λ) και f(ω) η (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της. Προφανώς, Ε[dZ(ω) dz(λ) ] ω=λ = Ε[ dz(ω) ] = Var[dZ(ω)]. Η παραπάνω αυτή αναπαράσταση της μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα άθροισμα ενός απείρου αριθμού ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών (εξαιτίας των χαρακτηριστικών (i) και (ii), συνδεδεμένων με κάποια αντίστοιχη συχνότητα (μεταβλητές ή συνιστώσες συχνότητας). Το ολοκλήρωμα όλων των στοιχειωδών διασπορών Var[dZ(ω)] ισούται με την διασπορά χρονοσειράς, κάτι που χρησιμεύει στην ανάλυση της σχετικής σημασίας των μεταβλητών συχνότητας. Βάσει του ότι ω=π/τ, έχουμε ότι οι μικρές (ή χαμηλές) κυκλικές συχνότητες αντιστοιχούν σε μεγάλες οικονομικές περιόδους Τ, ενώ οι μεγάλες (ή υψηλές) κυκλικές συχνότητες (κοντά στο π) αντιστοιχούν σε σύντομες οικονομικές περιόδους Τ. Αυτή η διάκριση καθιστά τη φασματική ανάλυση συχνοτήτων πιο ελκυστική από την κλασσική ανάλυση χρονοσειρών (που βασίζεται στην καθαυτή μελέτη της ρ(τ)) όταν πρωταρχικός στόχος είναι η ανίχνευση των οικονομικών κύκλων στην πραγματοποίηση μιας χρονοσειράς. 6 x της Θεώρημα Wold 7 Οι συναρτήσεις {ρ(τ): τ = 0, ±1, ±, } αποτελούν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης μιας στάσιμης χρονοσειράς διακριτού χρόνου, { συνάρτηση F(ω) η οποία: : = 0, ±1, ±, }, αν και μόνο αν υπάρχει (i) Διαθέτει τα χαρακτηριστικά συνάρτησης κατανομής [δηλ. 0 F(ω) 1 για κάθε ω στο (-π, π), F(-π) = 0, F(π) = 1 και η F(ω) είναι μη-φθίνουσα] στο διάστημα (-π, π) και i (ii) ρ(τ) = e df ( ), τ = 0, ±1, ±, Η συνάρτηση F καλείται φασματική συνάρτηση κατανομής. Σημειώνουμε ότι, αν η είναι τέτοια ώστε η F(ω) να είναι παντού διαφορίσιμη, τότε η f(ω) = df(ω)/dω (f 0) υπάρχει για κάθε ω, και η αυτοσυσχέτιση ρ(τ) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως 6 Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να διευκρινίσουμε ότι ω π ή πν π ή ν ½ ή Τ. 7 Βλ. Prieley:

11 11 i ρ(τ) = e f ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.] (Kανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα Η ρ(τ) μπορεί να αντιστραφεί (βλ. Prieley: 5) δίνοντας την παρακάτω συνάρτηση συχνοτήτων ή (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα: f(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [.3] Αν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ρ(-τ) = ρ(τ) και άρα και f(-ω)= f(ω) για όλα τα ω στο (-π, π). Τότε, μάλιστα, η [.3] γίνεται, 8 f(ω) = 1 1 [co( ) ii( )] ( ) (0)[co(0) ii(0)] + 1 [co( ) ii( )] ( ) = 1 1 ( )co( ), -π ω π [.4] 1 Αντίστοιχα με την [.] και επειδή (τ) = x ρ(τ), θα έχουμε ότι: (τ) = e i f x ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.5] (Μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα διακριτού χρόνου, { : = 0, ±1, ±, } και (τ) = Cov(, Έστω μια στάσιμη χρονοσειρά ) η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης. Τότε ορίζουμε ως (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα της τη συνάρτηση h(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [. 6] Συγκρίνοντας με τη [.3] και λαμβάνοντας υπόψη ότι (τ) = x ρ(τ), παρατηρούμε ότι h(ω) = x f(ω). Μάλιστα, f 0 h 0. Aν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε f(-ω) = f(ω) h(-ω)= h(ω) για όλα τα ω στο [-π, π]. 8 Βλ. Prieley: 08, 17

12 1 Αν η στάσιμη { τη [.4], η [.6] γράφεται ως: } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ισχύει (-τ) = (τ) και, αντίστοιχα με h(ω) = 1 (0) ( )co( ), -π ω π [.7] 1 Ερμηνεία του φάσματος Έχουμε πει ότι h(ω) = x f(ω), και η [.5], τότε, γίνεται i (τ) = e h( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.9] Για τ = 0 θα είναι, (0) = h( ) d x = h( ) d [.10] Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η περιοχή κάτω από τη συνάρτηση φάσματος h(ω), για -π ω π, αντιστοιχεί στη διασπορά της χρονοσειράς { }. 9 Επειδή η h(ω) είναι μη-αρνητική, το ολοκλήρωμα 1 h( ) d, 0 < 1 < π είναι θετικό και εκφράζει το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { 1 συχνότητες ω όπου 1. Αν λάβουμε υπόψη και ότι h(-ω)= h(ω), τότε η ποσότητα } που συνδέεται με τις 1 h( ) d, 0 < 1 < π αναπαριστά το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { κυκλικών συχνοτήτων μικρότερων ή ίσων από μια δεδομένη συχνότητα 1. 0 } που συνδέεται με ένα σύνολο 9 Βλ. Hamilo: 156

13 13.3 Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων Τα επόμενα παραδείγματα είναι ενδεικτικά και στοιχειώδη στη μελέτη της φασματικής πυκνότητας μιας χρονοσειράς. Παράδειγμα 1 Η φασματική πυκνότητα του «λευκού θορύβου» Για την εξίσωση του «λευκού θορύβου» είναι γνωστό ότι (βλ. Prieley: 33): ρ(τ) = 1, = 0 0, = ±1, ±,... Συνεπώς, η φασματική πυκνότητα f(ω), με βάση τη σχέση [.4] θα ισούται με f(ω) = 1 (0) ( )co( ) 1 = 1, -π ω π [.11] Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή της πυκνότητας σε όλες τις κυκλικές συχνότητες ω στο (-π, π). Παράδειγμα Διακριτή χρονοσειρά A(1) Για τη διακριτή χρονοσειρά A(1) της μορφής { x ax 1 }, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης βρίσκεται για a 1, ίση με (βλ. Prieley: 119) ρ(τ) = a, οπότε από την [.4] και με δεδομένο ότι co(ωτ) = e( e i ), έχουμε ότι f(ω) = = 1 1 a co( ) 1 1 e 1 ( i ae ) 1 = 1 i ae 1 e i 1 ae = 1 a (1 a a co ), -π ω π, a 1 [.1] Η φασματική πυκνότητα f(ω) για διάφορες (θετικές) τιμές του a παριστάνεται στο γράφημα 1.

14 14 Γράφημα 1 φασματική πυκνότητα f(ω) της διακριτής A(1) [α = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9] Για όλα τα α από 0 έως 1, παρατηρούμε μια μεγαλύτερη συγκέντρωση πυκνότητας (και άρα και διασποράς) στις χαμηλότερες κυκλικές συχνότητες (ω 0) ή όταν Τ..4 Το δειγματικό περιοδόγραμμα Έστω μια πραγματοποίηση { y : = 1,,, T} της στάσιμης χρονοσειράς { Y }. Τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις δειγματικές (αυτο)συνδιακυμάνσεις ˆ( ), όπου τ η υστέρηση, ως 10 T 1 (y y)(y y), για = 0, 1,,...,T-1 ˆ( ) = 1 ˆ( ), για = -1, -,..., - (T-1) [.13] όπου y είναι ο δειγματικός μέσος, y = T 1 y. Για κάθε ω ορίζεται, αντίστοιχα με τη σχέση [.6], T 1 το δειγματικό φάσμα ή δειγματικό περιοδόγραμμα: T-1 1 h ˆ( ) = ˆ( ) i e [.14] T+1 Όπως στη σχέση [.7], το δειγματικό περιοδόγραμμα μπορεί να γραφεί και ως: 10 Βλ. Hamilo: 158

15 15 T-1 1 h ˆ( ) = ˆ(0) ˆ ( )co( ), -π ω π [.15] 1 Αποδεικνύεται, τότε, το δειγματικό ανάλογο του θεωρήματος αναπαράστασης Grager M y = â 0 + { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.16] 1 όπου 1 =π/τ, =4π/Τ,, = πμ/τ, δηλαδή = π/t με = 1,,,Μ και T /, αν Τ άρτιος M= (T-1) /, αν Τ περιττός, ώστε π για κάθε, ενώ το â0 και οι συντελεστές â και ˆ προκύπτουν από την παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων του μοντέλου y = a 0 + M 1 { a co[ ( 1)] i[ ( 1)]} + u [.17] Η σχέση [.17] δηλώνει ότι οποιαδήποτε πραγματοποίηση { y : = 1,,, T : T - περιττός} μιας στάσιμης χρονοσειράς { Y } μπορεί να εκφρασθεί ως μια σταθερά συν ένα σταθμισμένο άθροισμα Μ ή (Τ-1) περιοδικών συναρτήσεων με Μ ή (Τ-1)/ διαφορετικές συχνότητες. 11 Αν και το ω μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή από 0 έως π, εμείς, λοιπόν, αποδίδουμε όλη τη δειγματική διασπορά σε ένα αριθμό συχνοτήτων το πλήθος των οποίων εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων. Αυτό μας περιορίζει στο να ανάγουμε στη συχνότητα τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Το μοντέλο [.17] αντιστοιχεί σε ένα πολυμεταβλητό γραμμικό μοντέλο της μορφής Y = B + U όπου Y = [ y1 y και... y T ], = 1 x z x z 1 x z x z M 1M T1 T1 TM TM T (M +1) U = [ u1 u... u T ], x = co[ ( 1) ] και z = i[ ( 1) ]., B = [ a0 a1 1 a M M ] 11 Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει και για Τ άρτιο. Σημειώνουμε ότι για λόγους ευκολίας επιλέγουμε θετικές κυκλικές συχνότητες από 0 έως π.

16 16 Σύμφωνα με τους Hamilo (1994) και Weber (001), αν επιλέξουμε Τ περιττό (ώστε Τ = Μ+1), τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων στο μοντέλο [.17], με Τ επεξηγηματικές μεταβλητές και Τ παρατηρήσεις, έχει τέλεια προσαρμογή, ώστε U ˆ 0 Y ˆ = Y. Τότε, προκύπτουν τα εξής: (i) ˆ = [ â0 1 ˆ â M â 1 ˆ ] M = T T T T y y x y z y x y z T T T T 1 1 M M ώστε y = y + M { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.18] 1 με a ˆ = T T 1 y x, για = 1,,, M και ˆ = T y z, για = 1,,, M [.19] T 1 (ii) Δειγματική Διασπορά = 1 T T ( y y) = 1 1 ˆ [.0] ( aˆ ) 1 και το μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα δίνεται από την ποσότητα 1 ˆ ( aˆ ). (iii) Tο μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα εκφράζεται ισοδύναμα ως 1 ˆ ˆ ( a ) = 4π hˆ( ) [.1] όπου h ˆ( ) το δειγματικό περιοδόγραμμα στη συχνότητα. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, στην περιγραφή του μοντέλου [.17], στη συχνότητα ανάγουμε τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Έτσι, η ποσότητα της διασποράς της Y, δεν συνδέεται μόνο με τη συχνότητα 1 ˆ ˆ ( a ), ως μέρος αλλά και με κύκλους συχνοτήτων κοντά στην. Εφόσον = π/t με = 1,,,Μ 1 = π/τ και από τη σχέση [.1] έχουμε ότι 1 ˆ ( aˆ ) = ( 1 ) h ˆ( ), που είναι περίπου διπλάσιο από το εμβαδόν που

17 17 περικλείει η συνάρτηση h ˆ( ) ανάμεσα στις συχνότητες 1 και, όπως φαίνεται στο γράφημα. 1 Γράφημα Δειγματικό περιοδόγραμμα ˆ( ) h Y-Axi h ˆ( ) π Πηγή:Weber 008, Hamilo:163 Επομένως, με βάση τη σχέση [.0] η συνολική δειγματική διασπορά κατανέμεται σε όλο το εμβαδόν του δειγματικού περιοδογράμματος, ώστε να είναι ανάλογη με το συνολικό εμβαδόν ως εξής T 1 1 ˆ ˆ π ˆ y ˆ y a 1 h h T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το δειγματικό περιοδόγραμμα, με χρήση των [.19] και [.1], ισοδύναμα υπολογίζεται ως T T T 1 ˆ ˆ h( ) = ( ˆ ) y x y z 8π πτ 1 1 [.] Εφαρμογή σε δεδομένα των αποδόσεων αγοράς Οι αποδόσεις της αγοράς εξομοιώνονται στο value-weighed (στάθμιση βάσει της κεφαλαιοποίησης) χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από όλες τις μετοχές των δεικτών NYSE, AME και NASDAQ. Η χρονοσειρά περιέχει μηνιαία δεδομένα από το 197 έως και το Αυτό είναι αντίστοιχο με τη συνεχή περίπτωση (το ω λαμβάνει πραγματικές τιμές από 0 έως 1 < π) όπου το μέρος της διασποράς της χρονοσειράς που συνδέεται με συχνότητες έως την 1 δίνεται από το διπλάσιο του ολοκληρώματος 1 h( ) d (βλ..). 0

18 18 Η κυκλική συχνότητα = π/t ανταποκρίνεται σε περιόδους π/ = T/. Επομένως, με βάση το γράφημα 3b, παρατηρούμε μια κορυφή περίπου στο =1, συνεπώς έχουμε μια κυκλική περίοδο ίση με 1007/1 = 83,9 μήνες ή περίπου 7 χρόνια. Η περίοδος αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως η διάρκεια ενός πλήρους οικονομικού-χρηματιστηριακού κύκλου (ανάπτυξη (bull marke) - ύφεση (bear marke) ανάπτυξη), ώστε το εμβαδόν κάτω από την περιοχή αυτή (για =1±), να εξηγεί το ποσοστό της διασποράς στις μηνιαίες αποδόσεις που οφείλεται στους οικονομικούς κύκλους. Γράφημα 3 Αποδόσεις αγοράς και δειγματικό περιοδόγραμμα (3a) marke reur (3b) ample periodogram of marke reur Στο γράφημα 3a έχουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις των αποδόσεων της αγοράς, ενώ στο γράφημα 3b υπολογίζουμε το δειγματικό περιοδόγραμμα h ˆ( ) σε συνάρτηση του, για τα = π/t, με βάση τον τύπο [.], για Τ= 1007 και Μ = (Τ-1)/= Πηγή: Keeh Frech library (hp://mba.uck.darmouh.edu/page/faculy/ke.frech/daa_library.hml) Εξομάλυνση του περιοδογράμματος Σύμφωνα με τον Hamilo (Hamilo 1994:165), για μπορούμε να ορίσουμε μια νέα τιμή h ˆ ( ), υποθέτοντας ότι hˆ ( ) h ˆ( ) για συχνότητες i i i κοντά στην. 14 Το h ˆ ( ) μπορεί, τότε, να υπολογισθεί ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των τιμών των h ˆ( i ) για συχνότητες i κοντά στην, όπου οι σταθμίσεις θα εξαρτώνται από την απόσταση ανάμεσα στα i,. 13 Στο παράρτημα βρίσκονται οι σχετικοί αλγόριθμοι που υλοποιούνται στο στατιστικό περιβάλλον του EView 6 (Κώδικες Κ1-Κ3). 14 Ο δείκτης προκύπτει από την αγγλική λέξη «mooh».

19 19 Η στάθμιση θα είναι της μορφής w(m) = (g + 1 m )/ ( g 1), όπου g = παράμετρος εύρους (badwidh) έτσι ώστε ˆ g 1 m h ( ) [ ] ( ) [.3] g ˆ h m m g ( g 1) Παρατηρούμε ότι η στάθμιση γίνεται με μεγαλύτερη βαρύτητα για τις πιο κοντινές τιμές και λαμβάνει την ελάχιστη τιμή, που ισούται με 1/ ( g 1), όταν m = ± g, ενώ, εύκολα, αποδεικνύεται g ότι w( m) = Στη συνέχεια εξομαλύνουμε τα δεδομένα του γραφήματος 3b, για g=0, και έτσι m g προκύπτει το επόμενο περιοδόγραμμα. Γράφημα 4 Εξομαλυμένο δειγματικό περιοδόγραμμα (a) marke reur mooh periodogram badwidh= (4b) periodogram moohig badwidh= Η πρώτη κορυφή παρατηρείται περίπου για =4 που αντιστοιχεί σε περίοδο Τ/=1007/5 4 μήνες ή περίπου 3,5 έτη και αφορά το μέρος της διασποράς που οφείλεται σε μακροπρόθεσμες επιρροές, δηλαδή, στους κύκλους της αγοράς. 16 Η δεύτερη κορυφή συμβαίνει περίπου για =116, ώστε Τ/=8.7 μήνες, κάτι που αντιστοιχεί σε έναν κύκλο που περιέχει βραχυπρόθεσμες ή εποχιακές επιρροές. Ακολουθούν αντίστοιχοι κύκλοι (βραχείας διάρκειας) 5.9, 4.4,.9,.4 και. μηνών. g 15 Πράγματι, ( g 1 m ) = mg g g g g ( g 1) m ( g 1) 1 m ( g 1)( g 1) g( g 1) / ( g 1). mg mg m g m0 16 Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τον C.J. Grager (βλ. Ghyel και Swao: 11), σύμφωνα με τους οποίους η μέση διάρκεια των οικονομικών κύκλων είναι περίπου ίση με 40 μήνες.

20 0.5 Γραμμικά φίλτρα Φιλτράρισμα ή φίλτρο Έστω η διακριτή χρονοσειρά { } και a μια δοσμένη (ντετερμινιστική) ακολουθία πραγματικών. Ονομάζουμε ένα φιλτράρισμα ή φίλτρο τη χρονοσειρά { Y } Y = a [.4] Το φίλτρο, λοιπόν, είναι ένας σταθμισμένος γραμμικός συνδυασμός παρελθοντικών (lag), τωρινών και μελλοντικών (lead) τιμών της { }. Αποδεικνύεται, 17 ότι εάν η { } είναι στάσιμη χρονοσειρά με φασματική πυκνότητα h ( ) και a τέτοια ώστε a <, τότε η Y παραπάνω, είναι επίσης στάσιμη με φασματική πυκνότητα όπως hy ( ) = h ( ), ω π [.5] ( ) όπου, ( ) = μεταβίβασης. i ae η συνάρτηση απόκρισης συχνοτήτων και ( ) η συνάρτηση Τα βάρη a υπολογίζονται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στην A( ), ώστε a = 1 π i e A( ) d, = 0, ±1, ±, [.6] Φίλτρο Low-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.7] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «low-pa». Το φίλτρο low-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες (απολύτως) μικρότερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε υψηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Λαμβάνοντας υπόψη και τη σχέση [.5] συμπεραίνουμε ότι το low-pa φίλτρο διατηρεί, για τις συχνότητες εκείνες, αμετάβλητη την κατανομή της διασποράς x της χρονοσειράς { }. 18 Αποδεικνύεται (βλ. Baxer και Kig 1995) ότι τα κατάλληλα βάρη για το (ιδανικό) low-pa φίλτρο είναι ίσα με a 0 = 0 /π και a = i( 0 )/π για = ±1, ±, [.8] a 17 Βλ. Weber, Prieley: Για 0 ω έχουμε ότι π/τ π/ Τ

21 1 Φίλτρο High-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.9] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «high-pa». Το φίλτρο high-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες μεγαλύτερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε χαμηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Φίλτρο Bad-Pa Αν, με βάση τη [.5], επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, ω 1 0, αλλιώς a, τέτοια ώστε [.30] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «bad-pa». Το φίλτρο bad-pa διατηρεί τις μεταβλητές συχνοτήτων στην περιοχή ( ω 1, ω ), ενώ όλες οι μεταβλητές των υπολοίπων συχνοτήτων αφαιρούνται. Με τον τρόπο αυτό απομονώνονται τα κυκλικά χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς σε μια συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων ή περιόδων. Είναι εύκολο να δούμε ότι το φίλτρο bad-pa μπορεί να γραφεί ως διαφορά δυο low-pa, για τις συναρτήσεις απόκρισης των οποίων έχουμε ότι = ( ) 1, 0, (άνω φίλτρο) και = ( ) 1, 1 0, 1 (κάτω φίλτρο) Τότε, = ( ) ( ) ( ) [.31].6 Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad Το φίλτρο Baxer-Kig Οι Baxer και Kig (1995) εξήγαγαν ένα bad-pa φίλτρο αφαιρώντας τις βραχυπρόθεσμες συνιστώσες (υψηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ= έως 18 μηνών και τις μακροπρόθεσμες συνιστώσες (χαμηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ=96 μηνών και άνω (συνιστώσες τάσης). Οι ενδιάμεσες συνιστώσες (για περιοδικότητες από 18 έως 96 μήνες) που παραμένουν, αποτελούν την περιοχή εμφάνισης των οικονομικών κύκλων (buie cycle). Η μέθοδος που ακολουθείται πάνω σε ένα δείγμα δεδομένων, χρησιμοποιεί το γραμμικό φίλτρο [.4]

22 με πεπερασμένο αριθμό από k lag και lead, ώστε να ορίζεται μια νέα (προσεγγιστική) συνάρτηση απόκρισης 19, η A ( ) k = k i be [.3] k Αντίστοιχα, έχουμε το φιλτράρισμα k Y = b [.33] k Για την ακριβή εύρεση των βαρών συνάρτησης 0 b της συνάρτησης [.3] ζητείται η ελαχιστοποίηση της Q = ( ) ( ) d k = k i i ae be d k [.34] Τα βέλτιστα βάρη όπου b για το φίλτρο bad-pa προκύπτουν, τότε, ίσα με a τα βάρη του (ιδανικού) άνω-φίλτρου low-pa, b = a a + θ θ [.35] a τα βάρη του (ιδανικού) κάτω-φίλτρου low-pa, όπως ορίζονται στη σχέση [.8], και θ μια σταθερά η οποία εξαρτάται από τον αριθμό των υστερήσεων k ώστε θ = 1 k k a k 1 και θ = 1 k k a k 1 [.36] Το φίλτρο συχνοτήτων Baxer-Kig συμβολίζεται ως BP k (p,q), όπου p είναι η μικρότερη και q η μεγαλύτερη περίοδος. Στα γραφήματα 5a και 5b έχουμε την εφαρμογή του bad-pa φίλτρου Baxer-Kig πάνω στη χρονοσειρά των αποδόσεων της αγοράς από το 197 έως το Η συνάρτηση αυτή προσεγγίζει την ιδανική συνάρτηση απόκρισης A( ) για k ±. Γενικά, για μεγαλύτερο k έχουμε και καλύτερη προσέγγιση της ιδανικής συνάρτησης απόκρισης που λαμβάνει τιμές ακριβώς ίσες με 0,1, ταυτόχρονα, όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε περισσότερες τιμές από το δείγμα μας (τις k αρχικές και k τελευταίες τιμές). 0 Βλ. Ever 006. Το Α(ω) είναι η συνάρτηση απόκρισης που ορίζεται στη σχέση [.5].

23 3 Γράφημα 5 Το φίλτρο Baxer-Kig (5a) Fixed Legh Symmeric (Baxer-Kig) Filer lag/lead = (5b) Frequecy epoe Fucio _1 No-cyclical Cycle Acual Ideal cycle/period Στο σχήμα 5a έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Baxer-Kig στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Στο σχήμα 5b έχουμε την απόκριση A ( ) για k=36, σε συνάρτηση με τη συχνότητα f (κύκλοι ανά περίοδο). Η ιδανική συνάρτηση απόκρισης σχηματίζεται για k=. k Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald 1 Για τις = 1,,,T παρατηρήσεις, το φίλτρο Chriiao- Fizgerald προκύπτει με βάση την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης Q = ( ) B T ( ) h( ) d [.37] όπου Α(ω) η συνάρτηση απόκρισης του ιδανικού φίλτρου bad-pa, Β(ω) η προσεγγιστική συνάρτηση απόκρισης, η οποία ορίζεται ως ( ) = 1 i be, = 1,,,T [.38] T και h(ω) η (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της δοθείσας χρονοσειράς { }. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι έχουμε Τ διαφορετικές συναρτήσεις απόκρισης και Τ δυνατά φίλτρα (εξισώνουμε f=t και p= 1) με Τ βάρη Y, T = b για το κάθε φίλτρο, p b [.39] f Τα φίλτρα αυτά είναι μη-συμμετρικά (διαφορετικός αριθμός lag και lead), με μοναδική εξαίρεση την περίπτωση όπου p=f (συμμετρικό φίλτρο Chriiao-Fizgerald), δηλαδή στην ημερομηνία εκείνη για την οποία =(T+1)/. 1 Βλ. Ever 006 και Chriiao και Fizgerald 003.

24 4 Η ελαχιστοποίηση της [.37] δίνει τα Τ βέλτιστα βάρη b, 1 1 a0 a, για 1 0 b = a, για,..., T a0 a, για T 1 [.40] όπου τα βάρη του ιδανικού bad-pa φίλτρου, a i 1 {i( i ) i( 1i )}, για i 0 i ( 1 ) /, για i=0 [.41] με 1, όπως ορίζονται στη σχέση [.30]. Γράφημα 6 Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald aymmeric Aymmeric (ime-varyig) Filer Στο γράφημα 6 έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Chriiao-Fizgerald aymmeric στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Το EView δημιουργεί έναν πίνακα ΤxΤ με Τ φίλτρα (ανά στήλη) και Τ βάρη για κάθε φίλτρο (ανά γραμμή). _1 No-cyclical Cycle Στη συνέχεια (Κεφάλαιο 3), και με τη χρήση των προαναφερθέντων φίλτρων, εξάγουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συνιστώσες των αποδόσεων χαρτοφυλακίων book o marke, ize και momeum (όπως τα κατηγοριοποιούν οι Fama και Frech - 199, 1993), επιδιώκοντας τη βελτίωση των χαρακτηριστικών του στατικού μοντέλου CAPM.

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ31 Άσκηση η 2 η Εργασία ΔEO3 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν τη δεύτερη εργασία της ενότητας ΔΕΟ3 Η επιχείρηση Α εκδίδει σήμερα ομολογία ονομαστικής αξίας.000 με ετήσιο επιτόκιο έκδοσης 7%. Το

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Θεωρία Αποτελεσματικών Αγορών (Επανάληψη) Μεταπτυχιακό στην Οικονομική Επιστήμη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ

Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Θεωρία Αποτελεσματικών Αγορών (Επανάληψη) Μεταπτυχιακό στην Οικονομική Επιστήμη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Θεωρία Αποτελεσματικών Αγορών (Επανάληψη) Μεταπτυχιακό στην Οικονομική Επιστήμη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Κατερίνα Κύρτσου Σελίδα-1 Υποθέσεις Δεν υπάρχει κόστος συναλλαγών Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 4: ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑΓΟΡΑΣ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα