συνάρτηση κατανομής πιθανότητας

Transcript

1 Στατιστική των σεισμών Κεφ.13 Θ.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Τμήμα Γεωλογίας

2 Η στατιστική των σεισμών ασχολείται λί με τη μελέτη της κατανομής των σεισμών λαμβάνοντας υπ όψη σαν κύρια παράμετρο το σεισμικό μγ μέγεθος Η ανάλυση γίνεται με καθαρά πιθανολογικά κριτήρια χωρίς να λαμβάνεται υπ όψη το σεισμοτεκτονικό καθεστώς

3 Βασικές έννοιες από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η έννοια της Πιθανότητας Έστω ότι από ένα σύνολο n παρατηρήσεων μιας παραμέτρου Υ βρίσκουμε την τιμή Υ=Υ i, n i φορές, η ποσότητα n i /n ονομάζεται σχετική συχνότητα εμφάνισης και εκφράζει την στατιστική πιθανότητα P(Y) της παραμέτρου Υ. P ( Y ) = n i n

4 Βασικές έννοιες από τη θεωρία των Παράδειγμα πιθανοτήτων Σε μια περιοχή έχουν γίνει n σεισμοί από τους οποίους οι k είναι μεγαλύτεροι από 6. P (> > 6) = k / n F n k k = = 1 = P F + P =1 n n

5 Βασικές έννοιες από τη θεωρία των πιθανοτήτων Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Έστω Μ τυχαίο σεισμικό μέγεθος και m ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να λάβει τιμές m 1 m m n. Έστω Ρ η πιθανότητα το τυχαίο μέγεθος Μ να είναι μικρότερο του m F M (m)=p(m<m) Στην περίπτωση που ο αριθμός m παίρνει όλες τις δυνατές τιμές στο διάστημα (m 1,m n ) τότε η πιθανότητα F M (m) περιγράφει μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Μ.

6 Βασικές έννοιες από τη θεωρία των F M M( (m) πιθανοτήτων F m (m n )=1 1 F m (m 1 )=0 0 m 1 m n m Γενική μορφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας

7 Η κατανομή Poisson Έστω λ ένας θετικός αριθμός και έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Ν παίρνει τιμές μς 0,1,2,3,, Αν η πιθανότητα P(Ν= (Ν=k) παρέχεται από τη σχέση P ( N = k ) = e λ λ k k! Τότε η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ονομάζεται κατανομή Poisson Η πιθανότητα να συμβούν k «γεγονότα» αν ο ρυθμός εμφάνισης είναι λ.

8 Στατιστική των σεισμών Στατιστικά το απλούστερο μοντέλο για την περιγραφή της σεισμικότητας με το χρόνο είναι αυτό της κατανομής Poisson. Η κατανομή αυτή υποθέτει ότι οι σεισμοί είναι μεμονωμένα γεγονότα και η γένεση του ενός δεν επηρεάζει την γένεση των υπολοίπων. Εάν α είναι ο μέσος αριθμός εμφάνισης σεισμών σε ένα χρονικό διάστημα t, η πιθανότητα n σεισμοί να γίνουν μέσα σ αυτό το χρονικό διάστημα είναι P( N = n, t) = n ( at) e n!! ( at) Wanner, 1937

9 Στατιστική των σεισμών Παράδειγμα Αν σε μία περιοχή έχουμε 5 σεισμούς κάθε αιώνα με μέγεθος >6τότε η πιθανότητα να έχουμε ένα σεισμό με μέγεθος Μ>6 σε 10 χρόνια θα είναι (α=5/100): P(n = 1, t = 10) = ((5/100)*10) 1! 1 e (5/100)*10 = 0.3 Η πιθανότητα να μην συμβεί κανένας σεισμός Μ>6 P(N=0)=e -(5/100)*10 =0.61

10 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Σχέση Gutenberg Richter Ένας από τους σημαντικότερους στατιστικούς νόμους στη Σεισμολογία χρησιμοποιείται για να περιγράψει την κατανομή των σεισμικών μεγεθών σε μια περιοχή. Προτάθηκε από τους Gutenberg Richter το 1941 μετά από μελέτη της σεισμικότητας στην Καλιφόρνια.

11 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Σχέση Gutenberg Richter Οι Gutenberg Richter βρήκαν ότι ο αριθμός των σεισμών n(μ) μεγέθους μγ Μ ΔΜ σε μια περιοχή και για χρονικό διάστημα k ετών, εκφράζεται από την εμπειρική σχέση Logn(M)=a-bM

12 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Σχέση Gutenberg Richter O Utsu το 1961 έδειξε ότι είναι προτιμότερο ρ να χρησιμοποιείται ο αριθμός των σεισμών με μέγεθος ίσο ή μεγαλύτερο από Μ (δηλ. η συσσωρευτική συχνότητα) logn k (M)=a k -bm Ν(Μ)=Σn(M)dm συσσωρευτική συχνότητα Όσο αυξάνει το μγ μέγεθος μειώνεται ο αριθμός των σεισμών σε μία περιοχή

13 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Σχέση Gutenberg Richter Gutenberg-Richter: logn=a-bm N αριθμός σεισμών μεγαλύτερων από Μ 10 a a, b σταθερές lo ogn b 0 Magnitude a, b υπολογίζονται από τους σεισμικούς καταλόγους

14 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Σχέση Gutenberg Richter Οι παράμετροι a, b είναι πολύ σημαντικοί στη Σεισμολογία, ιδιαίτερα η b, η παράμετρος a εκφράζει τον λογάριθμο του αριθμού των σεισμών με μέγεθος 0 και μεγαλύτερο και η τιμής της μεταβάλλεται από περιοχή σε περιοχή Εξαρτάται από : Τη χρονική περίοδο των παρατηρήσεων Την έκταση της περιοχής έρευνας Την σεισμικότητα

15 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Η παράμετρος b Η παράμετρος b εκφράζει τον ρυθμό αύξησης του αριθμού των σεισμών καθώς μειώνεται το μέγεθός τους. Οι τιμές μς της παραμέτρου ρ b κυμαίνονται από 0.4 έως 1.4 Η παράμετρος b εξαρτάται από τις τάσεις και από τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού της εστιακής περιοχής, άρα και από την τεκτονική.

16 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Η παράμετρος b Επίσης το b μεταβάλλεται με το βάθος (καθώς το βάθος αυξάνει, το b μειώνεται) καθώς και με τη γεωλογική γ ηλικία της περιοχής, υψηλές τιμές έχουν βρεθεί για τις Αλπικές ζώνες ( ) 18)και 1.8) ενδιάμεσες για τις ηπειρωτικές πλατφόρμες ( ) 0.7)

17 Κατανομή του b στην Ελλάδα

18 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Ποσοτικά μέτρα Από την σχέση Gutenberg-Richter προκύπτουν διάφορα ποσοτικά μέτρα για τον στατιστικό καθορισμό της σεισμικότητας π.χ. Ο ετήσιος αριθμός σεισμών με μέγεθος Μ ή μεγαλύτερο 10 a N M = bm 10

19 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Ποσοτικά μέτρα Η μέση περίοδος επανάληψης των σεισμών Τ Μ bm 10 T M = = 1/ a 10 N M

20 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Ποσοτικά μέτρα Το πιθανότερο μέγιστο μέγεθος Μ*, σε k χρόνια M * = a + log k b

21 Κατανομή της συχνότητας μεγεθών Ποσοτικά μέτρα To συχνότερα παρατηρούμενο μέγιστο ετήσιο μέγεθος Μ 1 =a/b 1 H πιθανότητα P να συμβεί σεισμός μεγέθους Μ ή μεγαλύτερου σε χρόνο t P a bm ) = 1 exp( 10 t

22 Σχέση Gutenberg Richter για την Ελλάδα

23 Μέση περίοδος επανάληψης

24 Μέση περίοδος επανάληψης

25 Υπολογισμός των παραμέτρων ab a,b Μέθοδος της μέσης τιμής Σεισμικός κατάλογος (πληρότητα, η κλίμακα μεγέθους, εξαρτημένα γεγονότα) Η συχνότητα των σεισμών κάθε μεγέθους ανάγεται σε χρονικό διάστημα ενός έτους και στην συνέχεια υπολογίζεται η αθροιστική συχνότητα Μέθοδος των ακραίων τιμών Χρησιμοποιούμε μόνο τις τιμές των μέγιστων Χρησιμοποιούμε μόνο τις τιμές των μέγιστων μεγεθών των σεισμών

26 Υπολογισμός των παραμέτρων a,b ab Καταγράφονται οι σεισμοί ανάλογα με το μέγεθός τους σε διάφορες τάξεις μεγεθών Μ 1,ΜΜ 2 ΜΜ n με ορισμένο βήμα ταξινόμησης ΔΜ, έτσι για κάθε τιμή μεγέθους Μ i αντιστοιχεί ορισμένος αριθμός σεισμών n 1,n 2 n n. Στη συνέχεια υπολογίζεται η συσσωρευτική κατανομή των μεγεθών και δημιουργείται το γράφημα LogN M. Οι τιμές των παραμέτρων ρ a, b υπολογίζονται με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

27 Ο σεισμικός κύκλος

28 Σεισμικές ακολουθίες Σεισμική ακολουθία ή σεισμική σειρά ονομάζεται το σύνολο των σεισμικών δονήσεων που συμβαίνουν σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Ο μεγαλύτερος σεισμός της ακολουθίας καλείται α κύριος σεισμός σμός ενώ οι σεισμοί σμο που προηγούνται και ακολουθούν τον κύριο σεισμό ονομάζονται, προσεισμοί και μετασεισμοί αντίστοιχα.

29 Σεισμικές ακολουθίες - Προσεισμοί Μ<7 7<Μ<7.8 Δεν παρατηρείται ελάττωση του χρόνου αύξησης της προσεισμικής δράσης με το μέγεθος του κύριου σεισμού. Μ>7.8 Ρυθμός εμφάνισης προσεισμών με τον χρόνο n=at -c Όπου α,c σταθερές με την c να προσεγγίζει το 1

30 Σεισμικές ακολουθίες - Προσεισμοί Από τη μελέτη των προσεισμών σεισμών με μέγεθος > 6 προκύπτει η παρακάτω σχέση για την Ελλάδα logp= μ for όπου M for είναι το μέγεθος του προσεισμού. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η πιθανότητα να συμβεί προσεισμός μεγέθους >4.4 είναι 42%, για κύριους σεισμούς > 6.0

31 Σεισμικές ακολουθίες - Μετασεισμοί Η συχνότητα εμφάνισης μετασεισμών είναι αντιστρόφως ανάλογη του εστιακού βάθους και της ηλικίας των πετρωμάτων στην εστιακή περιοχή

32 Σεισμικές ακολουθίες Η σχέση Gutenberg Richter ισχύει και για την περίπτωση των σεισμικών ακολουθιών. Έχει δειχθεί ότι η παράμετρος b είναι μικρότερη για τους προσεισμούς. Μέσες τιμές είναι 0.67 για Μέσες τιμές είναι 0.67 για προσεισμούς και 0.92 για μετασεισμούς

33 Σεισμικές ακολουθίες Σμηνοσειρές (Swarm) Στην περίπτωση που όλοι οι σεισμοί μιας σεισμικής ακολουθίας συμβαίνουν σε μια πολύ περιορισμένη περιοχή και κανένας σεισμός δεν έχει μέγεθος αρκετά μεγαλύτερο από του υπόλοιπους η ακολουθία αυτή ονομάζεται σμηνοσειρά (swarm) και οι σεισμοί, σμηνοσεισμοί.

34 Σεισμικές ακολουθίες Σμηνοσειρές (Swarm) Οι σμηνοσεισμοί συμβαίνουν συνήθως σε ηφαιστειακές περιοχές και έχουν μικρό μέγεθος κατά κανόνα Πολλές φορές παρουσιάζουν περιοδικότητα Η παράμετρος b παρουσιάζει μεγάλη απόκλιση από την τιμή 1(συνήθως 2,2.5) για τις σμηνοσειρές

35 Παράδειγμα σμηνοσειράς

36 Είδη σεισμικών ακολουθιών

37 Σχέση μεταξύ μεγέθους κύριου σεισμού και μετασεισμού Συνήθως η διαφορά των μεγεθών είναι της τάξης του 1.2 και αυξάνεται για σεισμούς με βάθος μεγαλύτερο των 50km. Ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα στον κύριο σεισμό και τον ισχυρότερο μετασεισμό του δεν είναι σταθερός και εξαρτάται από το μγ μέγεθος το βάθος του σεισμού καθώς και από τα γεωτεκτονικά χαρακτηριστικά της περιοχής.

38 Σχέση μεταξύ μεγέθους κύριου σεισμού και μετασεισμού Η πιθανότητα να συμβεί ο μεγαλύτερος μετασεισμός σε χρόνο μεγαλύτερο από Τ 1 μετά τη γένεση του κυρίου σεισμού δίνεται από: Ρ(Τ( 1 )= Τ 0.2Τ 1 Από την παραπάνω σχέση η πιθανότητα να συμβεί ο μεγαλύτερος μετασεισμός μετά την πρώτη μέρα είναι 53% και μετά την πρώτη εβδομάδα 34%.

39 Χρονική κατανομή της συχνότητας των μετασεισμών Η συχνότητα του αριθμού των μετασεισμών μετά από κάθε κύριο σεισμό ελαττώνεται με την πάροδο του χρόνου. Η ελάττωση αυτή ακολουθεί ένα νόμο που είναι γνωστός ως ο νόμος του Omori και περιγράφεται από την σχέση: n = c ( k + t ) p Όπου n η συχνότητα των μετασεισμών, k, c, και p είναι σταθερές που εξαρτώνται από το μέγεθος του σεισμού, το p παίρνει τιμές από

40 Χωρική κατανομή των μετασεισμών και τρόπος έκλυσης της μετασεισμικής ενέργειας Η χωρική κατανομή των μετασεισμών, η συχνότητα και το μέγεθός τους καθορίζονται από την κατανομή των κλείθρων, τις φυσικές ιδιότητες της ρηξιγενούς επιφάνειας και από το μέγεθος της αποθηκευμένης δυναμικής ενέργειας. Εμπειρική σχέση ανάμεσα σε «μετασεισμικό όγκο,εμβαδόν» και μέγεθος κυρίου σεισμού logv= m loga=1.02m Έχει σημασία για τον καθορισμό της ρηξιγενούς επιφάνειας να χρησιμοποιούνται τα δδ δεδομένα των πρώτων 1-2 ημερών

41 Χωρική και χρονική κατανομή των μετασεισμών του σεισμού της Sumatra (26/12/ /03/2005)

42

43