ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,"

É Λαμπρόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.. Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph. KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: εν ε ιτρέ εται η ολική ή µερική αναδηµοσίευση του κειµένου ή των σχηµάτων χωρίς την ρα τή άδεια του συραφέα.

3 Τηλ.: , (α) 4 Ca. 0 Με βάση το πρότυπο φλοιών να προβλέψετε τιµές ια το σπιν και την οµοτιµία του πυρήνα 4 (β) Να υπολοίσετε την µανητική ροπή του 0Ca. Συκρίνετε την τιµή αυτή µε την πειραµατική τιµή 1.µ N. () Υπολοίστε την συχνότητα του µανητικού πυρηνικού συντονισµού (µετάπτωση της διπολικής ροπής στο µανητικό πεδίο) του 4 0Ca ια µανητικό πεδίο 4Τ ( = 4000 Gauss ). (α) Ο πυρήνας 4 0Ca περιέχει 0 p και n. Tα 0 p, σύµφωνα µε το ρότυ ο των φλοιών, δεν έχουν καµµία επίπτωση στον προσδιορισµό των ιδιοτήτων του πυρήνα (και αυτό διότι λόω του άρτιου πλήθους των p η δράση τους απαλείφεται). Για τα n, η αντιµετώπιση είναι τελείως διαφορετική: τα τοποθετούµε στα «υρηνικά τροχιακά» µέχρι το τελευταίο. Οι ιδιότητες του υρήνα θα καθορισθούν από τους κβαντικούς αριθµούς αυτού του τελευταίου ασύζευκτου νετρονίου. Αναλυτικότερα: 1s1/ 1p/ 4 1p1/ 1d5/ 6 s1/ 1d 4 /

4 Τηλ.: , 1f7/ Βλέπουµε ότι το τελευταίο n καταλήει στην κατάσταση 1f 7/, δηλαδή j= 7/ και l = (f - κατάσταση). Άρα ια τον 4 0Ca, θα έχουµε: π 7 (β) Για την µανητική ρο ή του 4 0 l J =, διότι π = ( 1) = ( 1) = 1 Ca, θα χρησιµοποιηθεί ο τύπος: µ = µ N gl+ gs j+ gl gs j 1 όπου τα g L, g S είναι αυτά του n, ενώ οι κβαντικοί l, s και j είναι αυτοί του τελευταίου ασύζευκτου νετρονίου. ηλαδή: 1 7 gl = 0, gs =,8, l =, s =, j= Άρα: 1 1 1,8 7,8 + + µ = µ N (,8) 7 (,8)( 5/ ) µ = µ N + 4 (,8) 7 (,8) 5 µ = µ N µ = 1,915 µ N H τιµή αυτή διαφέρει από την πειραµατική τιµή µ = 1, µ N, διότι ο αρχικός τύπος που χρησιµοποιήθηκε ια την µ ισχύει ια ελεύθερο νουκλεόνιο και όχι ια ασύζευκτο: οι µανητικές ιδιότητες των νουκλεονίων τρο ο οιούνται εντός του πυρηνικού περιβάλλοντος. () Υπό την επίδραση εξωτερικού µανητικού πεδίου B, ο πυρήνας αποκτά πρόσθετη ενέρεια µ B E= Jz, οπότε υπάρχουν J+ 1 ισαπέχουσες στάθµες λόω των αντίστοιχων τιµών του J z. J Μεταπτώσεις µεταξύ αυτών των σταθµών προκαλούνται όταν η συχνότητα ω ενός χρονοµεταβαλλόµενου µανητικού πεδίου B 1(t) ικανοποιεί την συνθήκη συντονισµού: µ B ħ ω= E= J ( ) ( ) ( l s )( l+ s+ 1 ) ( + ) 4

5 Τηλ.: , Εποµένως, η συχνότητα NMR ν θα είναι: µb ν= π Jħ Για τον πυρήνα 4 0Ca, θα έχουµε: 1,µ N 4 T c ν= π(7/) ħc Όµως: 14 µ N =,15 10 MeV/T ħ c= 197,4 MeV fm 8 c= 10 m/s= 10 fm/s Άρα: 9 1,, fm/s MeV ν= ν= 11,50 MHz 7π 197,7 MeV fm (α) Συµπληρώστε τον κάτωθι πίνακα: Πεδίο αλληλεπίδρασης Bαρυτικό Ασθενές Ηλεκτροµανητικό Ισχυρό Ανταλλασόµενο (α) Μποζόνιο (α) Σπιν (ħ ) Εµβέλεια αλληλεπίδρασης (cm) (β) Θεωρείστε τους πυρήνες µε µικρό µαζικό αριθµό και Z= N=. Ανοώντας τον όρο της ενέρειας ζευαρώµατος, δείξτε ότι ο ηµιεµπειρικός τύπος µάζας δίνει σαν ενέρεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο: B 1/ d / = α b 4 είξτε ότι η έκφραση αυτή έχει µέιστη τιµή ια Z= = 6 (σίδηρος) (α) Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε τα ζητούµενα χαρακτηριστικά: 5

6 Τηλ.: , Πεδίο αλληλεπίδρασης Ανταλλασόµενο (α) Μποζόνιο (α) Σπιν (ħ ) Εµβέλεια αλληλεπίδρασης (cm) Bαρυτικό Γκραβιτόνιο Άπειρη Ασθενές + 0 W, W, Z 4 10 Ηλεκτροµανητικό Φωτόνιο 1 Άπειρη Ισχυρό Γκλουόνια 5 10 (β) Με βάση τον ηµιεµ ειρικό τύ ο (της υρής σταόνας) έχουµε: ( ) / s N Z dz δ B= α b 1/ /4 Εάν Z = N = και ανοώντας τον όρο σύζευξης δ, θα έχουµε: /4 / d Z B b d Z B= α b = α 1/ /4 4/ Θέτοντας Z= /, εύκολα προκύπτει η σχέση: B 1/ d / = α b 4 Για να βρεθεί πού εµφανίζει µέιστο αυτή η σχέση, µηδενίζουµε την πρώτη παράωο της B συνάρτησης f() = : 1 4/ d 1/ b d b b = 0 = = 4/ 1/ 4 d Όµως b= 1,0 MeV και d= 0,584 MeV και συνεπώς: 5 και Z= 6 (α) Στους κατοπτρικούς πυρήνες He και 1H, οι ενέρειες σύνδεσης είναι 7,78 MeV και 8,49 MeV αντίστοιχα. Να δικαιολοήσετε ότι το δυναµικό της ισχυρής αλληλεπίδρασης του V (pp) ισούται µε το δυναµικό της ισχυρής αλληλεπίδρασης του πρωτονίου πρωτονίου ( ) ST νετρονίου νετρονίου ( ) ST (β) V (nn). Σε ποια φυσική έννοια οδηεί η ανωτέρω ισότητα δυναµικών; Να υπολοίσετε το ισοτοπικό σπιν του αντιπρωτονίου. (α) Για να αποδείξουµε ότι V ST(pp) = V ST(nn), αρκεί να δείξουµε ότι η διαφορά των ενερειών σύνδεσης ισούται µε την διαφορά των όρων Coulomb. ηλαδή, θα πρέπει: 6

7 Τηλ.: , e (8, 49 7,78)MeV= UC 0,764 MeV= r όπου r είναι η απόσταση µεταξύ των πρωτονίων στο He, µε 1/ r= r fm= 1,7fm. λλά: εποµένως: Άρα: e 1 α= = ħc 17 ( α είναι η σταθερά λε τής υφής) ħc 197, 7 e = = MeV fm e = 1,440 MeV fm e 1,440 MeV fm = = 0,8 MeV r 1,7 fm Η τιµή αυτή προσείζει πολύ την τιµή 0,764 MeV και συνεπώς µπορούµε να ισχυρισθούµε ότι V ST(pp) = V ST(nn). Η ισότητα αυτή οδήησε στην εισαωή της ένοιας του ισοτο ικού spin. ηλαδή το p και το n, συµπεριφέρονται µε τον ίδιο τρόπο ως προς τις υρηνικές αλληλε ιδράσεις µε αποτέλεσµα να αποτελούν τα δύο µέλη της (ισοτοπικής) διπλέτας. Άρα: 1 I+ 1= I= Η τρίτη ροβολή του ισοτοπικού spin I, θα έχει δύο δυνατές τιµές: I =+ ή I =. Η 1 υψηλότερη τιµή I =+ αποδίδεται κατά σύµβαση στο πλέον φορτισµένο σωµατίδιο, δηλαδή 1 στο p ενώ η χαµηλότερη I = στο n. Άρα: p = I, I =, + ενώ n = I, I =, Συµ ερασµατικά: Ο κβαντικός αριθµός Ι εκφράζει την «οµαδο οίηση» Ν σωµατιδίων µε «παρεµφερείς» ιδιότητες: I+1=N. Ο κβαντικός αριθµός I εκφράζει την «διαφορετικότητα» των µελών της οµάδας ως προς κάποια ιδιότητά τους π.χ. το φορτίο (β) Το αντι ρωτόνιο (p) συκροτεί ισοτοπική διπλέτα µε το αντινετρόνιο (n). Εποµένως: 1 I+ 1= I= και συνεπώς I =+, 0 7

8 Τηλ.: , Όµως, τώρα το p είναι αρνητικά φορτισµένο και άρα θα του αποδοθεί η χαµηλή τιµή I =, 1 ενώ στο n προφανώς η τιµή I =+. Άρα: p = I, I =, n = I, I =, + Το δευτέριο ( 1H), µπορεί να σχηµατισθεί από την σύλληψη θερµικών νετρονίων (αµελητέας κινητικής ενέρειας, E ~ 1/40eV ) από άτοµο υδροόνου σύµφωνα µε την ακόλουθη αντίδραση: κιν 1 n+ 1H 1H+ Η ενέρεια σύνδεσης του δευτερίου έχει προσδιορισθεί πειραµατικά: B=,5MeV. (α) Υπολοίστε την µάζα του πυρήνα του δευτερίου (β) Υπολοίστε την ενέρεια σύνδεσης από τον ηµιεµπειρικό τύπο της µάζας, συκρίνετέ την µε την πειραµατική τιµή και σχολιάστε τα αποτελέσµατά σας. () είξτε ότι η ενέρεια στην σχέση (1) συνδέεται µε την ενέρεια σύνδεσης Β µε την εξίσωση: B= E + ( E ) M c όπου M είναι η µάζα του πυρήνα του δευτερίου. Υπολοίστε την ενέρεια σύνδεσης Β. E και συκρίνατέ την µε την (α) Είναι νωστό ότι η ενέρεια σύνδεσης Β του πυρήνα 1H, θα είναι: B= m + m M p n p n ( ) M = m + m B= 98, 7+ 99,57, 5 MeV M = 1,8756GeV (β) Θα χρησιµοποιήσουµε τον ηµιεµ ειρικό τύ ο ια Z= 1, N= 1, =. ( ) / N Z dz δ B= α b s 1/ /4 / 0,584, 5 B= 1 * MeV 1* MeV MeV MeV 1/ /4 0,584,5 B= 8 1 1,58 MeV= 1,9 MeV 1, 5 1,68 8

9 Τηλ.: , Το αποτέλεσµα αυτό είναι φανερά εσφαλµένο: το Β δεν µ ορεί να έχει αρνητική τιµή ια σταθερό πυρήνα. Αυτό οφείλεται στο ότι εφαρµόσαµε τον ηµιεµπειρικό τύπο που ισχύει µε καλή ακρίβεια ια 0 180, ια το 1H, όπου το = (δηλαδή εκτός των ορίων εφαρµοής του τύπου). () Θα εφαρµόσουµε τις αρχές διατήρησης της ορµής (Α Ο) και ενέρειας (Α Ε) Αρχή ιατήρησης Ορµής 0= p + p (Θεωρούµε αµελητέα την ορµή των θερµικών νετρονίων, ενώ το H είναι ακίνητο) Άρα ια τα µέτρα των ορµών: p = p Αρχή ιατήρησης Ενέρειας Όµως: Άρα: Επίσης: Τελικά: mn+ m p = E+ E p E T M M = + + M p m m E M n+ p = + + M p = p = E ( E ) mn+ m p M = E+ M ( E ) B= E+ M Για τον υπολοισµό της E λύνουµε την παραπάνω δευτεροβάθµια εξίσωση και βρίσκουµε E = 1,99 MeV, η οποία όπως παρατηρούµε βρίσκεται πολύ κοντά στην τιµή της ενέρεια; σύνδεσης Β. Στην φυσική ραδιενερό σειρά U ηµιζωής s. Να υπολοισθεί: (α) η ηλικία τριών δειµάτων βράχων, όπου βρέθηκε ότι ο λόος και 0.5 αντίστοιχα. (β) η τιµή του λόου s Pb, ο µητρικός πυρήνας είναι ο µακροβιότερος µε χρόνο 8 06 U/ Pb είναι ίσος µε, U/ 88Ra, δεδοµένου ότι ο χρόνος ηµιζωής του 6 Ra είναι 9

10 Τηλ.: , (α) Με βάση τα δεδοµένα, οι υρήνες διασ άσθηκαν, δηλαδή: Συνεπώς: (όπου k =, 1, 1/ λ t Pb U,0 U,0 U, Pb δεν είναι αρά οι υρήνες 8 9 U, ου λ t ( ) N = N N e = N 1 e N N e N N 1 e λ t U U,0 = = Pb U,0 κατά περίπτωση). ηλαδή: λ t ( ) e = k k e e ( 1+ k) = k λt= ln 1 + k Η ηλικία του κάθε δείµατος θα είναι λοιπόν: 1 k t= ln λ 1+ k (β) Αν δεχθούµε ότι έχει επιτευχθεί µεταβατική ισορρο ία, δηλαδή ότι έχουµε ισότητα ραδιενερειών, θα ισχύει: N1 NU λra λ1n1= λn = = N NRa λ U ln Όµως T1/ = ( T 1/ είναι ο χρόνος ηµιζωής). Άρα: λ 17 N1 1, =, N 5,11 10 λ t λ t λ t k k 10

11 Τηλ.: , Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωµάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύχρονη Φυσική Πιθανότητες Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χηµεία Πρακτικά Χηµείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτροµανητισµός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντοµηχανική Ι, ΙΙ Συστήµατα Τηλε ικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υ ολοιστές Ε ιλοές H σίουρη λύση ου οδηεί στο τυχίο 11

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ PhD Τηλ: 1 69 97 985, wwwdlaggr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ: 1 69 97 985, E-mail: dlag@ottgr, wwwdlaggr Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, PhD KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ: 1 69