Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά. Δ. Ευταξιόπουλος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά. Δ. Ευταξιόπουλος"

Transcript

1 Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά Δ. Ευταξιόπουλος 14 Φεβρουαρίου 01

2

3 Περιεχόμενα 1 Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο άπειρων διαστάσεων Τάσεις και παραμορφώσεις Ο νόμος Hooke για ισότροπα υλικά Εξισώσεις κίνησης σε ελαστικό μέσο Ολοκλήρωση της εξίσωσης κύματος Τα κύματα Rayleigh Τα κύματα Love Ανάκλαση ελαστικών κυμάτων σε ελεύθερο σύνορο Ανάκλαση και διάθλαση κυμάτων στο σύνορο μεταξύ δύο μέσων

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

5 Κεφάλαιο 1 Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο άπειρων διαστάσεων 1.1 Τάσεις και παραμορφώσεις Οι τάσεις που ασκούνται σε μια επιφάνεια ενός στερεού σώματος, έχουν γενικά εφαπτομενικά και κάθετα προς την επιφάνεια, στοιχεία. Έστω ένα σώμα στον τρισδιάστατο χώρο που αναφέρεται στο Καρτεσιανό σύστημα O(x, y, z). Θεωρούμε τρία επίπεδα, κάθετα προς τους άξονες Ox, Oy και Oz αντίστοιχα, που τέμνονται στο σημείο P του σώματος. Γενικά υπάρχουν εννέα στοιχεία της τάσης που ασκούνται στα επίπεδα αυτά και συμβολίζονται με σ xx, σ yy, σ zz, σ xy, σ yz, σ zx, σ yx, σ zy και σ xz. Ο πρώτος δείκτης στα σύμβολα των τάσεων αναφέρεται στο επίπεδο όπου η τάση ασκείται και ο δεύτερος δείκτης αναφέρεται στη διεύθυνση της τάσης. Θεωρώντας ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο απειροστών διαστάσεων dx, dy και dz με μια κορυφή του να συμπίπτει με το σημείο P (Σχήμα 1.1) και απαιτώντας την ισορροπία των ροπών, μπορούμε να δείξουμε ότι σ xy = σ yx (1.1) σ yz = σ zy (1.) σ zx = σ xz (1.3) Εξ αιτίας των σχέσεων (1.1) - (1.3) απομένουν έξι ανεξάρτητα στοιχεία της τάσης. Από τα έξι αυτά στοιχεία μπορούν να βρεθούν οι τάσεις σε οποιοδήποτε άλλο επίπεδο περνά από το σημείο P και έτσι ορίζεται πλήρως η εντατική κατάσταση στο P. Αν τα στοιχεία της μετατόπισης στο σημείο P είναι u(x, y, z), v(x, y, z) και w(x, y, z) κατά μήκος των αξόνων x, y και z αντίστοιχα, τότε τα εννέα ανεξάρ- 5

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ z y x σ xx σ σ zy xz σ xy zx σ σ σ σ yz yx yy σ yy σ σ σ yx yz zx σ σ zy xy σ xz σ σ xx zz σ zz Σχήμα 1.1: Τα στοιχεία της τάσης που ασκούνται σ ένα παραλληλεπίπεδο απειροστών διαστάσεων. τητα στοιχεία της βαθμίδας της μετατόπισης, είναι u x, v x, w x, u y v y w y u z v z w z (1.4) (1.5) (1.6) Εναλλακτικά οι παραπάνω ποσότητες μπορούν να αναδιαταχθούν και να γραφούν όπως παρακάτω ɛ xy = u y + v x ω x = w y v z ɛ xx = u x, ɛ yy = v y, ɛ yz = v z + w y ω y = u z w x ɛ zz = w z ɛ zx = w x + u z ω z = v x u y (1.7) (1.8) (1.9) Οι ορθές παραμορφώσεις, ɛ xx, ɛ yy και ɛ zz αντιστοιχούν σε ανηγμένες επιμηκύνσεις και βραχύνσεις, ευθύγραμμων τμημάτων απειροστού μήκους, που περνούν από το σημείο P και είναι παράλληλα προς τους άξονες x, y και z. Οι διατμητικές παραμορφώσεις ɛ xy, ɛ yz και ɛ zx αντιστοιχούν σε μεταβολές των ορθών γωνιών μεταξύ δύο κάθετων μεταξύ τους ευθυγράμμων τμημάτων απειροστού μήκους, που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τους άξονες που φανερώνουν οι δείκτες των στοιχείων αυτών. Οι τρεις στροφές ω x,ω y και ω z δε σχετίζονται με κάποια παραμόρφωση ενός στοιχείου του υλικού γύρω από το P αλλά, εκφράζουν τη στροφή του ως στερεό

7 1.1. ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ 7 σώμα. Η σημασία αυτών των ποσοτήτων για μια παραμορφωσιακή κατάσταση στο επίπεδο, φαίνεται στο Σχήμα 1.. Το ABCD είναι ένα τετράγωνο απειροστών z C B B C θ v A w θ 1 D A D y Σχήμα 1.: Διάτμηση και στροφή σε δύο διαστάσεις. διαστάσεων που έχει μετατοπιστεί και παραμορφωθεί στο ρόμβο A B C D. θ 1 και θ είναι οι γωνίες που σχηματίζουν οι πλευρές A D και A B με τους άξονες y και z αντίστοιχα. Ισχύει ότι tan θ 1 = w y, tan θ = v z (1.10) και για μικρές παραμορφώσεις οι γωνίες μπορούν να θεωρηθούν ίσες με τις εφαπτόμενές τους. Έτσι, εξ αιτίας των (1.8) και (1.10) παίρνουμε τη σχέση ɛ yz = θ 1 + θ (1.11) για τη διατμητική παραμόρφωση. Φαίνεται από τo Σχήμα 1. ότι η ποσότητα ω x = θ 1 θ (1.1) είναι ίση με το διπλάσιο της γωνίας που στρέφεται η διαγώνιος AC. Όταν οι τρεις στροφές στη σχέση (1.9) μηδενίζονται, τότε η παραμορφωσιακή κατάσταση είναι αστρόβιλη (irrotational) και χαρακτηρίζεται ως καθαρή παραμόρφωση (pure strain).

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. Ο νόμος Hooke για ισότροπα υλικά Για ισότροπα υλικά οι σχέσεις τάσεων - παραμορφώσεων είναι οι ακόλουθες σ xx = λ + µɛ xx (1.13) σ yy = λ + µɛ yy (1.14) σ zz = λ + µɛ zz (1.15) σ yz = µɛ yz (1.16) σ zx = µɛ zx (1.17) σ xy = µɛ xy (1.18) όπου λ και µ είναι οι σταθερές του Lamé. µ είναι το μέτρο διάτμησης και = ɛ xx + ɛ yy + ɛ zz (1.19) είναι η διασταλτικότητα δηλαδή η αλλαγή του όγκου ενός κύβου του υλικού με μοναδιαίες διαστάσεις. Το μέτρο ελαστικότητας E και ο λόγος του Poisson ν δίνονται σαν συνάρτηση των σταθερών του Lamé μέσα από τις σχέσεις µ(3λ + µ) E = λ + µ λ ν = (λ + µ) (1.0) (1.1) Το μέτρο διόγκωσης k ορίζεται ως ο λόγος της εξωτερικά εφαρμοζόμενης υδροστατικής πίεσης p ως προς την ανηγμένη αλλαγή του όγκου. Τότε σ xx = σ yy = σ zz = p (1.) σ yz = σ zx = σ xy = 0 (1.3) και από τις σχέσεις (1.13) - (1.18), προκύπτει ότι ɛ xx = ɛ yy = ɛ zz = p 3λ + µ (1.4) και εξ αιτίας της (1.19) προκύπτει ότι k = p = λ + µ 3 (1.5) 1.3 Εξισώσεις κίνησης σε ελαστικό μέσο Για να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης για ένα ελαστικό μέσο, εξετάζουμε τη μεταβολή των τάσεων κατά μήκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου στοιχειωδών διαστάσεων dx, dy και dz, που έχει ακμές παράλληλες προς τους άξονες του

9 1.3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ 9 z dy σ zx+ σ z zx dz σ yx σ xx dz + σ xx σ xx x dx σ + σ yx y yx dx dy y x σ zx Σχήμα 1.3: Τάσεις που ασκούνται στις έδρες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Καρτεσιανού συστήματος (Σχήμα 1.3). Οι τάσεις μεταβάλλονται συνεχώς μέσα στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και οι δυνάμεις στις έδρες του προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας τις τάσεις με τα εμβαδά των επιφανειών όπου αυτές ασκούνται. Όπως φαίνεται από το Σχήμα 1.3, έξι ξεχωριστές δυνάμεις θα ασκούνται παράλληλα προς κάθε άξονα. Εξετάζοντας τη συνισταμένη δύναμη παράλληλα προς τον άξονα x, παίρνουμε ( σ xx + σ ) xx x dx dydz σ xx dydz+ ( σ yx + σ ) yx y dy dzdx σ yx dzdx+ ( σ zx + σ ) zx z dz dxdy σ zx dxdy (1.6) που τελικά δίνουν ( σxx x + σ yx y + σ ) zx dxdydz (1.7) z Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και αγνοώντας τις μαζικές δυνάμεις, γράφουμε την αδρανειακή δύναμη που ασκείται στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κατά τη διεύθυνση x, ως ρdxdydz u t (1.8) Εξισώνοντας τις εκφράσεις (1.7) και (1.8), παίρνουμε την εξίσωση κίνησης κατά τη διεύθυνση x, ως σ xx x + σ yx y + σ zx z = ρ u t (1.9)

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Αντίστοιχα παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης κατά τις διευθύνσεις y και z ως ( σxy x + σ yy y + σ ) zy = ρ v z t (1.30) ) ( σxz x + σ yz y + σ zz z = ρ w t (1.31) Οι εξισώσεις (1.9) - (1.31) ισχύουν ανεξάρτητα από τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού. Για να επιλυθούν αυτές για ένα γραμμικά ελαστικό και ισότροπο υλικό, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι αντίστοιχες σχέσεις τάσεων - παραμορφώσεων. Οι τελευταίες δίνονται από τις σχέσεις (1.13) - (1.18) και πρέπει να εισαχθούν στις (1.9) - (1.31). Η εξίσωση κίνησης κατά x τότε γίνεται x (λ + µɛ xx) + y (µɛ xy) + z (µɛ xz) = ρ u t (1.3) Λαμβάνοντας υπ όψη τις σχέσεις παραμορφώσεων - μετατοπίσεων (1.7) και (1.8), η (1.3) δίνει όπου (λ + µ) x + µ u = ρ u t (1.33) = x + y + z (1.34) είναι ο τελεστής Laplace σε τρεις διαστάσεις. Όμοια, οι εξισώσεις κίνησης κατά τις διευθύνσεις y και z (1.30) και (1.31), παίρνουν τη μορφή (λ + µ) y + µ v = ρ v t (1.35) (λ + µ) z + µ w = ρ w t (1.36) Οι (1.33), (1.35) και (1.36) είναι οι εξισώσεις κίνησης για ένα ισότροπο, γραμμικά ελαστικό μέσο, στο οποίο δεν ασκούνται μαζικές δυνάμεις. Θα φανεί στη συνέχεια ότι αυτές οι εξισώσεις εκφράζουν τη διάδοση δύο διαφορετικών τύπων κυμάτων στο ελαστικό μέσο. Έτσι, αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (1.33) ως προς x, τα δύο μέλη της εξίσωσης (1.35) ως προς y και τα δύο μέλη της εξίσωσης (1.36) ως προς z και προσθέσουμε κατά μέλη, τελικά παίρνουμε ή ισοδύναμα ρ t = (λ + µ) (1.37) t = c 1 (1.38)

11 1.3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ 11 όπου c 1 = λ + µ ρ (1.39) Η σχέση (1.38) παριστάνει μια εξίσωση κύματος. Ειδικότερα εκφράζει τη διάδοση της διασταλτικότητας μέσα στο ελαστικό μέσο, με ταχύτητα c 1 που δίνεται από τη σχέση (1.39). Αντίθετα, αν απαλείψουμε τη διασταλτικότητα από τις σχέσεις (1.35) και (1.36), παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της (1.35) ως προς z και τα δύο μέλη της (1.36) ως προς y και αφαιρώντας κατά μέλη, παίρνουμε ή εναλλακτικά ρ t ( w y v z ) ( w = µ y v ) z (1.40) ρ ω x t = µ ω x (1.41) όπου ω x είναι η στροφή γύρω από τον άξονα x, που δίνεται από την εξίσωση (1.9). Η εξίσωση (1.41) δείχνει ότι η στροφή διαδίδεται με ταχύτητα c = µ ρ (1.4) στο ελαστικό μέσο. Ανάλογες σχέσεις προκύπτουν και για τις στροφές ω y και ω z. Αν η διασταλτικότητα τότε οι εξισώσεις κίνησης (1.33), (1.35) και (1.36) γίνονται = 0 (1.43) ρ u t = µ u (1.44) ρ v t = µ v (1.45) ρ w t = µ w. (1.46) Για να είναι τα στοιχεία των στροφών ω x, ω y και ω z μηδενικά, δηλαδή για να είναι το πεδίο των μετατοπίσεων αστρόβιλο, θα πρέπει οι μετατοπίσεις u, v και w να παράγονται από δυναμικό φ μέσα από τις σχέσεις u = φ x, v = φ y, w = φ z όπου φ είναι μια συνάρτηση δυναμικού. Τότε ισχύουν οι σχέσεις = φ, (1.47) x = u (1.48)

12 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Εξ αιτίας των (1.48), η εξίσωση κίνησης (1.33) γίνεται (λ + µ) u = ρ u t (1.49) ενώ με όμοιο τρόπο οι άλλες δύο εξισώσεις κίνησης (1.35) και (1.36) γράφονται ως (λ + µ) v = ρ v t (1.50) (λ + µ) w = ρ w t (1.51) Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι στο εσωτερικό ενός ελαστικού σώματος, τα κύματα διαδίδονται με δυο διαφορετικές ταχύτητες. Κύματα που δεν περιλαμβάνουν στροφή διαδίδονται με ταχύτητα c 1 = λ + µ ρ (1.5) ενώ τα κύματα που δεν περιλαμβάνουν διασταλτικότητα διαδίδονται με ταχύτητα c = µ ρ (1.53) Τα πρώτα θα μπορούσαν να ονομαστούν αστρόβιλα (irrotational) και τα δεύτερα ισόχωρα (equivoluminal). Όμως οι καθιερωμένες ονομασίες τους είναι διαμήκη και εγκάρσια αντίστοιχα. Μπορεί ν αποδειχθεί ότι κάθε κύμα με επίπεδο μέτωπο (plane wave) που διαδίδεται μέσα σ ένα ισότροπο ελαστικό μέσο, πρέπει να ταξιδεύει με μια από τις δύο παραπάνω ταχύτητες, όπως αυτές δίνονται από τις σχέσεις (1.5) και (1.53). Το επίπεδο μέτωπο σημαίνει ότι οι μετατοπίσεις των υλικών σημείων είναι ίδιες μέσα σε επίπεδα κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Έτσι ας θεωρήσουμε ένα κύμα με επίπεδο μέτωπο που διαδίδεται παράλληλα προς τον θετικό άξονα x. Επειδή το ελαστικό μέσο θεωρείται ισότροπο, δεν υπάρχει απώλεια της γενικότητας θεωρώντας και τέτοιο. Έστω ακόμη ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού είναι c. Τότε οι μετατοπίσεις u, v και w θα είναι συναρτήσεις της παραμέτρου ψ = x ct. (1.54) Έτσι θα γράφουμε u = u(ψ) (1.55) v = v(ψ) (1.56) w = w(ψ) (1.57)

13 1.3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ 13 και θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις u t = u c ψ, u x = u ψ, v t = v c ψ, v x = v ψ, w t w x = c w ψ (1.58) = w ψ (1.59) ενώ οι αντίστοιχες μερικές παράγωγοι ως προς y και z είναι όλες ίσες με μηδέν. Αν συμβολίσουμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους των μετατοπίσεων u, v και w ως προς ψ με u, v και w αντίστοιχα και αντικαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση κίνησης (1.33), λαμβάνοντας υπ όψη τις (1.58) και (1.59), παίρνουμε ρc u = (λ + µ)u (1.60) ενώ αντίστοιχα από τις άλλες δύο εξισώσεις κίνησης κατά τις διευθύνσεις y και z παίρνουμε ρc v = µv (1.61) ρc w = µw (1.6) Οι εξισώσεις (1.60) - (1.6) μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα είτε αν c = λ + µ, v = 0, w = 0 (1.63) ρ είτε αν c = µ ρ, u = 0 (1.64) Στην πρώτη περίπτωση (σχέσεις (1.63)) έχουμε διαμήκες κύμα με τη διεύθυνση της διαταραχής των υλικών σημείων να είναι παράλληλη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Στη δεύτερη περίπτωση (σχέσεις (1.64)) έχουμε εγκάρσιο κύμα με τη διεύθυνση διαταραχής των υλικών σημείων να είναι κάθετη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα ρ και από το μέτρο διάτμησης µ του ελαστικού μέσου, όπως φαίνεται από τη σχέση (1.64). Αντίστοιχα, θα σκεφτόμασταν ότι η ταχύτητα διάδοσης των διαμήκων κυμάτων, εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα ρ και από το μέτρο διόγκωσης k. Όμως, από τη σχέση (1.5) έχουμε ότι k = λ + 3 µ (1.65) και κατά συνέπεια η σχέση (1.5) δίνει c 1 = k µ ρ (1.66)

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Επομένως όχι μόνο το μέτρο διόγκωσης k αλλά και το μέτρο διάτμησης µ εμπλέκονται στην ταχύτητα διάδοσης του διαμήκους κύματος. Η αιτία γι αυτό είναι ότι κατά τη διάδοση ενός διαμήκους κύματος, ένας στοιχειώδης κύβος στο ελαστικό μέσο δεν υποβάλλεται μόνο σε θλίψη και εφελκυσμό αλλά και σε διάτμηση, διότι το σχήμα του αλλάζει. 1.4 Ολοκλήρωση της εξίσωσης κύματος Οι εξισώσεις (1.37), (1.41) και (1.44) έχουν όλες την μορφή α t = c α (1.67) και όταν η παραμόρφωση είναι συνάρτηση μιας μόνο συντεταγμένης, π. χ. της x, τότε η (1.67) γίνεται Η γενική λύση της (1.68) είναι α t = c α x (1.68) α = f(x ct) + F (x + ct) (1.69) όπου f και F είναι αυθαίρετες συναρτήσεις που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. H f αντιστοιχεί σ ένα κύμα με επίπεδο μέτωπο που ταξιδεύει κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα x και η F σ ένα κύμα με επίπεδο μέτωπο που ταξιδεύει κατά τη διεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα x, δηλαδή αντίθετα από το προηγούμενο. Έστω μια διαταραχή που κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x και για χρόνο t = 0 βρίσκεται στη θέση x = x 0 και έχει τιμή f(x 0 ). Σε μεταγενέστερο χρόνο t = t 1, η διαταραχή θα έχει μετακινηθεί στη θέση x = x 0 +ct 1 και το μέγεθός της θα είναι f(x 0 + ct 1 ct 1 ) = f(x 0 ). Επομένως η διαταραχή διαδίδεται με σχήμα αμετάβλητο. Όταν η διαταραχή διαδίδεται ακτινικά από ένα σημείο, η παραμόρφωση θα εξαρτάται μόνο από το μέτρο r της ακτίνας, από το σημείο εκκίνησης. Επειδή r = x + y + z (1.70) έχουμε για την ακτινική διάδοση της διαταραχής τις εξισώσεις κίνησης α x = x α r r + 1 ( ) r x α r r r α y = y α r r + 1 ( ) r y α r r r α z = z α r r + 1 ( ) r z α r r r (1.71) (1.7) (1.73)

15 1.5. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH 15 Έτσι η εξίσωση (1.67) γίνεται α t = c ( α r + ) α r r (1.74) ή ισοδύναμα (rα) t = c (rα) r (1.75) που είναι της ίδιας μορφής με την (1.68). Η λύση της (1.75) έχει τη μορφή rα = f(r ct) + F (r + ct) (1.76) όπου η f(r ct) αντιστοιχεί σ ένα σφαιρικό κύμα που απομακρύνεται από την αρχή και η F (r + ct) αντιστοιχεί σ ένα σφαιρικό κύμα που πλησιάζει προς την αρχή. Το μέγεθος της διαταραχής είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης r από την αρχή. 1.5 Τα κύματα Rayleigh Σ ένα ισότροπο ελαστικό μέσο άπειρων διαστάσεων, μόνο δύο τύποι μαζικών κυμάτων μπορούν να διαδοθούν. Όταν όμως υπάρχει ένα σύνορο, μπορεί να δημιουργηθούν και επιφανειακά κύματα. Αυτά τα κύματα διερευνήθηκαν πρώτα από τον Lord Rayleigh (1887), που έδειξε ότι η επιρροή τους μειώνεται απότομα με το βάθος και ότι η ταχύτητα διάδοσής τους είναι μικρότερη από την αντίστοιχη των μαζικών κυμάτων (διαμήκων και εγκαρσίων). Θα εξετάσουμε τη διάδοση κυμάτων με επίπεδο μέτωπο, σ ένα ελαστικό μέσο με επίπεδο σύνορο και θα προσπαθήσουμε να βρούμε λύσεις των εξισώσεων κίνησης (1.33), (1.35) και (1.36) που να αντιστοιχούν σε διαταραχές οι οποίες περιορίζονται στη γειτονιά του συνόρου και ικανοποιούν τη συνθήκη για αφόρτιστο σύνορο (stress free boundary). Θεωρούμε ότι το επίπεδο σύνορο συμπίπτει με το επίπεδο xy και ότι ο θετικός ημιάξονας z κατευθύνεται προς το εσωτερικό τού σώματος. Θεωρούμε ότι το κύμα με επίπεδο μέτωπο ταξιδεύει κατά τη διεύθυνση x (Σχήμα 1.4). Επειδή οι μετατοπίσεις θα είναι ανεξάρτητες του y, μπορούμε να εισαγάγουμε δυο συναρτήσεις δυναμικού φ(x, z) και ψ(x, z), τέτοιες ώστε: u = φ x + ψ z w = φ z ψ x Έτσι η διασταλτικότητα, εξ αιτίας των (1.77) - (1.78), γράφεται ως (1.77) (1.78) = u x + w z = φ (1.79)

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ x O z Σχήμα 1.4: Ημίχωρος με ελεύθερη επιφάνεια στη θέση z = 0. ενώ η στροφή ω y στο επίπεδο xz δίνεται από τη σχέση ω y = u z w x = ψ (1.80) Οι εξισώσεις (1.79) και (1.80) δείχνουν ότι η συνάρτηση φ συνδέεται με τη διασταλτικότητα που δημιουργείται από τη διαταραχή, ενώ η συνάρτηση ψ συνδέεται με τη στροφή. Επομένως η εισαγωγή των δύο παραπάνω συναρτήσεων δυναμικού μας δίνει τη δυνατότητα να διαχωρίσουμε την επίδραση της διασταλτικότητας και της στροφής στο ελαστικό μέσο. Οι εξισώσεις κίνησης (1.33), (1.35) και (1.36) γράφονται ως ρ u t = (λ + µ) x + µ u (1.81) ρ v = (λ + µ) t y + µ v (1.8) ρ w t = (λ + µ) z + µ w (1.83) Αν οι μετατοπίσεις είναι ανεξάρτητες από το y, οι (1.81) και (1.83) γράφονται, αν ληφθούν υπ όψη οι (1.77) και (1.78), ως ρ ( ) φ + ρ ( ) ψ x t z t ρ ( ) φ ρ ( ) ψ z t x t = (λ + µ) x ( φ) + µ z ( ψ) (1.84) = (λ + µ) z ( φ) µ x ( ψ) (1.85)

17 1.5. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH 17 Οι δύο τελευταίες εξισώσεις θα ικανοποιούνται αν φ t = λ + µ φ = c ρ 1 φ (1.86) ψ t = µ ρ ψ = c ψ (1.87) Έστω τώρα ένα ημιτονοειδές κύμα με συχνότητα f όπου f = ω π = 1 T, (1.88) ω είναι η κυκλική συχνότητα του κύματος και T είναι η περίοδός του. Οι δύο τελευταίες συνδέονται μέσα από τη σχέση ω = π T Το κύμα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα των x με ταχύτητα c όπου (1.89) c = L T (1.90) L είναι το μήκος κύματος που δίνεται από τη σχέση L = π k (1.91) όπου k είναι ο κυματικός αριθμός. Επίσης c = ω k (1.9) Μπορούμε τώρα να δοκιμάσουμε ως λύσεις των (1.86) και (1.87), τις συναρτήσεις φ = F (z)e i(ωt kx) (1.93) ψ = G(z)e i(ωt kx) (1.94) όπου i = 1 (1.95) και F και G είναι συναρτήσεις που καθορίζουν τον τρόπο κατά τον οποίο αλλάζει το εύρος των κυμάτων, ως προς την απόσταση z από την ελεύθερη επιφάνεια. Αντικαθιστώντας την έκφραση για τη φ από την (1.93) στην εξίσωση (1.86), παίρνουμε ω F (z) = k F (z) + F (z) c (1.96) 1

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου Η (1.96) γράφεται και ως F (z) = d F (z) dz (1.97) F (z) (k h )F (z) = 0 (1.98) όπου h = ω c 1. (1.99) Η γενική λύση της (1.98) είναι F (z) = Ae qz + A e qz (1.100) όπου q = k h (1.101) Ο δεύτερος όρος στο δεξί μέλος της (1.100) αντιστοιχεί σε μια διαταραχή που αυξάνεται το εύρος της με την αύξηση της απόστασης από την ελεύθερη επιφάνεια. Επειδή αναζητάμε λύσεις για μειούμενο εύρος διαταραχής με την απομάκρυνση από την ελεύθερη επιφάνεια, θέτουμε A = 0 (1.10) Όμοια αν αντικαταστήσουμε την έκφραση της ψ από τη σχέση (1.94) στην εξίσωση (1.87), καταλήγουμε στην εξίσωση κ G(z) = k G(z) + G (z) (1.103) όπου κ = ω c. (1.104) Η εξίσωση (1.103) έχει ως λύση την G(z) = Be sz (1.105) όπου s = k κ. (1.106) Έτσι οι εξισώσεις (1.93) και (1.94) γίνονται φ = Ae qz+i(ωt kx) (1.107) ψ = Be sz+i(ωt kx) (1.108)

19 1.5. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH 19 Εισάγουμε τώρα τις παραπάνω εκφράσεις για τις λύσεις φ και ψ στις συνοριακές συνθήκες μηδενισμού των τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια. Οι συνθήκες αυτές είναι σ zz = 0 (1.109) σ zy = 0 (1.110) σ zx = 0 (1.111) για z = 0. Θυμίζουμε ότι η ορθή τάση σ zz δίνεται από τη σχέση σ zz = λ + µ w z. (1.11) Εδώ, εξ αιτίας των (1.78) και (1.79), η (1.11) γράφεται ως σ zz = (λ + µ) φ z + λ φ x µ ψ z. (1.113) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για τις συναρτήσεις φ και ψ από τις σχέσεις (1.107) και (1.108), στη σχέση (1.113) και θέτοντας z = 0, βρίσκουμε από την (1.109) A [ (λ + µ) q λk ] Bµisk = 0. (1.114) Όμοια από τη συνοριακή συνθήκη (1.111) και επειδή σ zx = µ ( u z + w ) x (1.115) καταλήγουμε στη σχέση σ zx = µ ( ) φ x z ψ x + ψ. z (1.116) Θέτοντας στην (1.116) τις εκφράσεις στα δεξιά μέλη των (1.107) και (1.108), παίρνουμε για z = 0 iqka + (s + k )B = 0. (1.117) Απαλείφοντας το λόγο A B από τις (1.114) και (1.117) βρίσκουμε 4µqsk = [ (λ + µ)q λk ] (s + k ). (1.118) Υψώνοντας στο τεράγωνο και τα δύο μέλη της (1.118) και αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για τα q και s από τις (1.101) και (1.106), γράφουμε 16µ (k h )(k κ )k = [ (λ + µ)h + µk ] (k κ ). (1.119)

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Διαιρώντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης με µ k βρίσκουμε ) ) 16 (1 (1 h κ = [ (λ + µ) µ Επειδή όμως k k 1 h k ] ) ( κ. (1.10) h = ω c 1, κ = ω c (1.11) k ισχύει ότι και επομένως h κ = µ λ + µ = 1 ν ν = α 1 (1.1) h = α 1 κ. (1.13) Εξ αιτίας των σχέσεων (1.1) και (1.13), η σχέση (1.10) γράφεται ως ή ισοδύναμα ως ( 16 1 α1 κ k ) ) ) 4 (1 κ = ( κ. (1.14) k k κ 6 1 8κ (4 16α 1)κ (α 1 1) = 0 (1.15) όπου κ 1 = κ k. (1.16) Η (1.15) είναι μια τριτοβάθμια εξίσωση ως προς το κ 1 και αν είναι γνωστή η τιμή του ν για το ελαστικό μέσο, το κ 1 μπορεί να βρεθεί με αριθμητικές μεθόδους. Τώρα, επειδή όπου κ 1 = κ k = ω kc = c c (1.17) c = ω k (1.18) είναι η ταχύτητα διάδοσης του επιφανειακού κύματος. Επομένως το κ 1 δίνει το λόγο ανάμεσα στην ταχύτητα διάδοσης του επιφανειακού κύματος και στην ταχύτητα διάδοσης του εγκαρσίου κύματος. Η ταχύτητα διάδοσης του επιφανειακού κύματος c είναι επομένως ανεξάρτητη από την κυκλική συχνότητα ω και εξαρτάται μόνο από τις ελαστικές σταθερές του υλικού. Επομένως δεν υπάρχει διασπορά των επιφανειακών κυμάτων και ένα τέτοιο κύμα θα διαδίδεται με σταθερή κυματομορφή, δηλαδή αναλλοίωτο όσον αφορά το σχήμα του κυματισμού.

21 1.5. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH 1 O ρυθμός με τον οποίο απομειώνονται τα επιφανειακά κύματα ως προς το βάθος z, εξαρτάται από τους συντελεστές εξασθένισης q και s. Από τις εξισώσεις (1.101) και (1.106) παίρνουμε q k = 1 α 1κ 1 (1.19) s k = 1 κ 1 (1.130) δηλαδή οι τιμές των q k και s k μπορούν βρεθούν γνωρίζοντας την τιμή του κ 1. Από τις εξισώσεις (1.77), (1.78), (1.107) και (1.108) βρίσκουμε u = (Aike qz + Bse sz )e i(ωt kx) (1.131) w = (Aqe qz Bike sz )e i(ωt kx) (1.13) Αν τώρα στις (1.131) και (1.13) θέσουμε την τιμή του B ως προς το A, που βρίσκουμε από τη σχέση (1.114), παίρνουμε τις εκφράσεις ] u = Ak [e qz qse sz sin(ωt kx) s + k (1.133) ] w = Aq [e qz k e sz cos(ωt kx). s + k (1.134) Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε ότι ν = 0.5 τότε από τη σχέση (1.1) βρίσκουμε ότι α 1 = 1 3 που έχει τις ρίζες και η εξίσωση (1.15) γίνεται (κ 1 4)(3κ 4 1 1κ 1 + 8) = 0 (1.135) κ 1 = 4, κ 1 = + 3, κ 1 = 3. (1.136) Οι σχέσεις (1.19) και (1.130) δείχνουν ότι οι πρώτες δύο τιμές του κ 1 στην (1.136) q s οδηγούν σε φανταστικές τιμές των k και και γι αυτό δεν αντιστοιχούν σε κύματα του τύπου που εξετάζουμε. Η τρίτη τιμή δίνει κ 1 = που σημαίνει k ότι τα επιφανειακά κύματα ταξιδεύουν με ταχύτητα c = κ 1 c = c (1.137) που αντιστοιχεί σ ένα ποσοστό της ταχύτητας των εγκαρσίων κυμάτων, όταν ν = 0.5.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Εισάγοντας την τιμή του κ 1 στις (1.19) και (1.130) παίρνουμε q = (1.138) k s = (1.139) k Από τη σχέση (1.133), o ρυθμός με τον οποίο το εύρος της μετατόπισης u κατά τη διεύθυνση της διάδοσης του επιφανειακού κύματος απομειώνεται είναι e qz qse sz s + k. (1.140) Θέτοντας τις τιμές των q k και s k παίρνουμε από τις (1.138) και (1.139) στην παραπάνω σχέση e kz e kz. (1.141) Η τελευταία έκφραση δίνει απότομα μειούμενες τιμές για αυξανόμενες τιμές του kz και μηδενίζεται για kz = Γι αυτή την τιμή του kz η μετατόπιση u μηδενίζεται για όλες τις τιμές των x και t. Υπάρχει επομένως ένα επίπεδο σε βάθος όπου δεν υπάρχει κίνηση των υλικών σημείων παράλληλα προς την ελεύ- z = 1.1 k θερη επιφάνεια. Αν L είναι το μήκος του επιφανειακού κύματος, τότε z = 0.193L διότι k = π. Για μεγαλύτερα βάθη, το εύρος αυξάνεται κατ απόλυτη τιμή έχοντας όμως αντίθετο πρόσημο. Έτσι οι ταλαντώσεις των υλικών σημείων L γίνονται με αντίθετη φάση. Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το εύρος της ταλάντωσης κάθετα προς την ελεύθερη επιφάνεια, ως προς το βάθος z, φαίνεται από τη σχέση (1.134) να εξαρτάται από τον παράγοντα e qz k e sz s + k. (1.14) Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές στην παραπάνω έκφραση παίρνουμε e fz 1.731e fz. (1.143) Ο παράγοντας αυτός δεν αλλάζει πρόσημο όταν μεταβάλλεται το βάθος, επομένως δεν υπάρχει πεπερασμένο βάθος για το οποίο μηδενίζεται το εύρος της ταλάντωσης των υλικών σημείων κάθετα προς την ελεύθερη επιφάνεια. Όταν αυξάνεται το z το εύρος της ταλάντωσης πρώτα αυξάνεται, παίρνει μια μέγιστη τιμή για z = 0.076L και μετά μειώνεται μονότονα. Σε βάθος ίσο με ένα μήκος κύματος, δηλαδή για kz = π, το εύρος της ταλάντωσης των υλικών σημείων κάθετα προς την ελεύθερη επιφάνεια έχει πέσει στο της τιμής του στην ελεύθερη επιφάνεια.

23 1.6. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ LOVE 3 Φαίνεται ότι το γινόμενο kz είναι η καθοριστική παράμετρος για την εξασθένιση του εύρους των ταλαντώσεων, τόσο παράλληλα όσο και κάθετα προς την ελεύθερη επιφάνεια. Επειδή ο κυματικός αριθμός k είναι ανάλογος της συχνότητας f, διότι k = π L = ωt ct = ω c = π c f (1.144) τα κύματα Rayleigh με υψηλή συχνότητα θα εξασθενήσουν πιο έντονα με την αύξηση του βάθους από τα αντίστοιχα κύματα Rayleigh με χαμηλή συχνότητα. Οι σχέσεις (1.133) και (1.134) για τις μετατοπίσεις u και w, δείχνουν ότι τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου κινούνται σε ελλειπτική τροχιά της οποίας ο μεγάλος άξονας είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια. Για τα υλικά σημεία που βρίσκονται πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια, ο λόγος των μηκών του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα της έλλειψης είναι ίσος με Όλοι οι παραπάνω αριθμητικοί υπολογισμοί έχουν γίνει με την τιμή ν = 0.5 για τον λόγο του Poisson. Παρόμοια όμως αποτελέσματα παίρνουμε αν χρησιμοποιήσουμε μια διαφορετική τιμή για το ν. Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε την ακραία τιμή για ν = 0.5 που αναφέρεται σε ασυμπίεστο υλικό, οπότε λόγω της σχέσης (1.1) α 1 = 0, η εξίσωση (1.15) γίνεται κ 6 1 8κ κ 1 16 = 0 (1.145) Η παραπάνω εξίσωση έχει μόνη πραγματική ρίζα την κ 1 = και επομένως τα επιφανειακά κύματα ταξιδεύουν με ταχύτητα c = c, μικρότερη δηλαδή από την αντίστοιχη των εγκαρσίων κυμάτων. Αντικατάσταση της τιμής αυτής στη σχέση (1.133) δείχνει ότι μετατόπιση των υλικών σημείων παράλληλα προς την ελεύθερη επιφάνεια, γίνεται μηδενική σε βάθος z = 0.138L. 1.6 Τα κύματα Love Μια σημαντική ώθηση για την ανάπτυξη της θεωρίας στη διάδοση των κυμάτων σε ελαστικά μέσα, έχει δοθεί από τις παρατηρήσεις στη σεισμολογία. Έτσι λοιπόν μια από τις πρώτες διαπιστώσεις των σεισμολόγων ήταν η ύπαρξη μεγάλων οριζοντίων μετατοπίσεων, δηλαδή μετατοπίσεων παράλληλων προς την ελεύθερη επιφάνεια της γης, κατά τη διάρκεια της κύριας δόνησης ενός σεισμού. Τέτοιες μετατοπίσεις καταγράφονταν από οριζόντια πολωμένα εγκάρσια κύματα (SH waves), κύματα δηλαδή πού η διεύθυνση διάδοσής τους είναι οριζόντια και οι μετατοπίσεις των υλικών σημείων πραγματοποιούνται στο οριζόντιο επίπεδο, κάθετα όμως προς τη διεύθυνση διάδοσης. Όμως τέτοιες μετατοπίσεις δεν είναι χαρακτηριστικές των κυμάτων Rayleigh, που είναι κατακόρυφα πολωμένα, δηλαδή οι μετατοπίσεις των υλικών σημείων πραγματοποιούνται στο κατακόρυφο επίπεδο. Παραπέρα, η κατακόρυφη μετατόπιση στα κύματα Rayleigh είναι μεγαλύτερη από

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ την αντίστοιχη οριζόντια. Το συμπέρασμα ήταν ότι οι επικρατούσες συνθήκες στη γη είναι διαφορετικές από αυτές ενός ισότροπου και ομογενούς ημίχωρου. Ο Love εκτίμησε ότι τέτοια κύματα ήταν αποτέλεσμα της ύπαρξης στρώσεων από διαφορετικά υλικά που υπάρχουν στη γη. Τα οριζόντια πολωμένα αυτά κύματα παγιδεύονται σε μια άνω στρώση και διαδίδονται μέσα από πολλαπλές ανακλάσεις μέσα στη στρώση. Τα βασικά στοιχεία αυτής της θεώρησης παρουσιάζονται παρακάτω. Θεωρούμε έναν ημίχωρο αποτελούμενο από ισότροπο υλικό που συμβολίζεται με τον άνω δείκτη (). Η συνοριακή επιφάνεια του ημιχώρου x = 0 συμπίπτει με το επίπεδο yz ενώ το ελαστικό μέσο καταλαμβάνει την περιοχή όπου x > 0 (Σχήμα 1.5). Το διάστημα d < x < 0 καταλαμβάνεται από στρώση διαφορετικού υλικού y d (1) O () x Σχήμα 1.5: Ημίχωρος με επιφανειακή στρώση υλικού. που συμβολίζεται με τον άνω δείκτη (1). Αναζητάμε πεδία μετατοπίσεων με μη μηδενικά στοιχεία μόνο κατά τη διεύθυνση z, δηλαδή πεδία όπου w (1) = w (1) (x, y, t), u (1) = v (1) = 0 (1.146) w () = w () (x, y, t), u () = v () = 0 (1.147) Οι διέπουσες εξισώσεις μπορούν να γραφούν με χρήση συναρτήσεων δυναμικού. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα όμως είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις κίνησης (1.44) γραμμένες με χρήση των μετατοπίσεων μόνο. Οι εξισώσεις αυτές για τα δύο μέσα παίρνουν τη μορφή w (1) = 1 c (1) w () = 1 c () w (1) t (1.148) w () t (1.149)

25 1.6. ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ LOVE 5 όπου ο τελεστής Laplace για δύο διαστάσεις παίρνει τη μορφή = x + y (1.150) Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος παίρνουν τη μορφή σ xz (1) = 0 για x = d (1.151) σ xz (1) = σ xz () για x = 0 (1.15) w (1) = w () για x = 0 (1.153) Οι δύο τελευταίες συνθήκες (1.15) και (1.153) εκφράζουν την πλήρη συγκόλληση της στρώσης (1) στον ημίχωρο () με τη συνέχεια τάσεων και μετατοπίσεων στη διαχωριστική επιφάνεια x = 0. Για τις εξισώσεις (1.148) και (1.149) αναζητάμε λύσεις της μορφής w (1) = G (1) (x)e ik(y ct) (1.154) w () = G () (x)e ik(y ct) (1.155) Αντικαθιστώντας τις τιμές των μετατοπίσεων από τις σχέσεις (1.154) και (1.155) στις εξισώσεις κίνησης (1.148) και (1.149), παίρνουμε d G (1) (x) + β (1) G (1) (x) = 0 dx (1.156) d G () (x) β () G () (x) = 0 dx (1.157) όπου β (1) = k ( β () = k ( c c (1) 1 1 c c () ) ) (1.158) (1.159) Οι λύσεις που προκύπτουν από τις (1.154) και (1.155) λόγω των (1.156) και (1.157), είναι τελικά w (1) = A 1 e i(ky β(1) x ωt) + A e i(ky+β() x ωt) (1.160) w () = B 1 e β()x e i(ky ωt) (1.161) Η λύση (1.160) αφορά κύματα με επίπεδο μέτωπο που διαδίδονται μέσα στη λωρίδα (1). Η λύση (1.161) αφορά κύματα που διατηρούν την ενέργειά τους κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια x = 0 ενώ απομειώνονται με την απομάκρυνση από αυτή.

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Αντικαθιστούμε τώρα τις λύσεις (1.160) και (1.161) στις συνοριακές συνθήκες (1.151) - (1.153) και παίρνουμε e iβ(1)d A 1 e iβ(1)d A = 0 (1.16) A 1 + A B 1 = 0 (1.163) iµ (1) A 1 + iµ (1) β (1) A µ () β () B 1 = 0 (1.164) Για την ύπαρξη μη τετριμμένης λύσης πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων να μηδενίζεται, δηλαδή πρέπει που με χρήση των (1.158) και (1.159) δίνει µ (1) ( c c (1) µ () β () µ (1) β (1) tan βd = 0 (1.165) ) 1 1/ µ () tan kd ( 1 c c (1) ( c c () ) ) 1 1/ 1/ = 0 (1.166) Χρησιμοποιώντας τη σχέση ω = kc (1.167) η εξίσωση (1.166) μπορεί να γραφεί με χρήση της συχνότητας και του κυματικού αριθμού. Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι τα κύματα Love είναι διασπειρόμενα. Οι ρίζες της (1.166) για διαφορετικές τιμές του k, θα δώσουν c = c(k) ή ω = ω(k). Οι πολλοί κλάδοι της συνάρτησης εφαπτομένης tan στη σχέση (1.166), δείχνουν ότι θα έχουμε πολλές ρίζες για κάθε τιμή του k. Έτσι οι καμπύλες διασποράς και το φάσμα συχνοτήτων, έχουν πολλούς κλάδους που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τρόπους διάδοσης. Παρατηρούμε ακόμη ότι, για μεγάλα μήκη κύματος σε σχέση με το πάχος d της στρώσης, δηλαδή όταν kd 0, τα κύματα Love διαδίδονται με την ταχύτητα των εγκαρσίων κυμάτων του ημιχώρου. 1.7 Ανάκλαση ελαστικών κυμάτων σε ελεύθερο σύνορο. Έχει αναφερθεί σε προηγούμενες ενότητες ότι στα στερεά σώματα διαδίδονται κύματα δύο ειδών, τα διαμήκη και τα εγκάρσια. Θα δείξουμε ότι όταν ένα διαμήκες ή εγκάρσιο κύμα προσπίπτει πάνω σ ένα σύνορο μεταξύ δύο σωμάτων,

Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους

Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους Οπτική, Σύγχρονη, Ατομική & Μοριακή Φυσική για Βιολόγους 011 Σαμουήλ Κοέν Μέρος Α. Οπτική Κ0. Εισαγωγικό Σημείωμα Κυματικής Σελίδα 1. Απλή Αρμονική Ταλάντωση.... Κ0-1 1.1 Ορισμοί... Κ0-1 1. Η Αρχή της

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που

Διαβάστε περισσότερα

K4: Η Εξίσωση Schrödinger & ο Κβαντικός Μικρόκοσμος

K4: Η Εξίσωση Schrödinger & ο Κβαντικός Μικρόκοσμος Σύγχρονη Φυσική Ι, Μέρος Δεύτερο Περιεχόμενα K0. Εισαγωγή Π1: Παράρτημα Οπτικής K1: Σωματιδιακή Φύση των ΗΜ Κυμάτων Π: Παράρτημα (Η Δυναμική Ενέργεια σε Σταθερό Ηλεκτρικό Πεδίο) K: Σωματιδιακή Φύση της

Διαβάστε περισσότερα

απόσταση ταλαντωτή από τη ΘΙ είναι 5cm τότε στην αντικατάσταση το µέγεθος αυτό ενδεχοµένως να είναι αρνητικό.. χ-t, υ-t, α-t

απόσταση ταλαντωτή από τη ΘΙ είναι 5cm τότε στην αντικατάσταση το µέγεθος αυτό ενδεχοµένως να είναι αρνητικό.. χ-t, υ-t, α-t 1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. εργάζοµαι µε µονάδες SI. κάνω σωστές πράξεις 3. χρησιµοποιώ τα σύµβολα που δόθηκαν και όχι δικά µου 4. προσέχω αν ζητιέται το µέτρο του µεγέθους ή η αριθµητική του τιµή 5. βρίσκω µε βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ Τί είναι ακουστική και ποια είναι τα πεδία ενασχόλησής της; Η ακουστική (acoustics) είναι ο κλάδος της φυσικής που μελετά τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά του ήχου, καθώς επίσης και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΖΕΥΞΕΙΣ- ΙΑ ΟΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Ο Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΡΖΑΚΑΣ ΠANAΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ασύρµατες

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ

ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Σαλαμίνα Φυσική Α Λυκείου 2 ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με το μικρό αυτό βιβλίου θα ήθελα να βοηθήσω τους μαθητές της Α τάξης του Ενιαίου Λυκείου να οργανώσουν

Διαβάστε περισσότερα

«ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (Τ1, Τ2, Τ2*) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΙΣΤΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΟΦΙΑ ΒΕΝΕΤΗ

«ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (Τ1, Τ2, Τ2*) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΙΣΤΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΟΦΙΑ ΒΕΝΕΤΗ «ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (Τ1, Τ2, Τ2*) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΙΣΤΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΟΦΙΑ ΒΕΝΕΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΔΠΜΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου MSc Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης 2η Εκδοση - Ιούλης 2013 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Περιεχόµενα 1 Ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ» ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ 1.1 Εισαγωγή Η επιστήµη των Μικροκυµάτων ξεκίνησε µε την ανάπτυξη του ραντάρ και επεκτάθηκε κατά τη διάρκεια του 2 ου Παγκοσµίου Πολέµου. Η ανακάλυψη των µικροκυµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε ΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σύνταξη σηµειώσεων : Πλαστήρα Β. ΑΙΓΑΛΕΩ, 2010 2 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στις σηµειώσεις αυτές έχουν καταγραφεί θεµελιώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ

ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΤΕΙΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΕΦ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΝΙΚΟΛΑΙΔΗ ΣΤΑΛΗΜΕΡΟΥ ΣΕΡΑΦΕΙΜ \Jf 1Ίο..vο \. ΤΙΤΛΟΣ: Ζηταμε να προσδιορισουμε τις αvηγμεvες παραμορφωσεις ε,γ που θα αναπτυχθουν σε

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Κρήτης

Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Κρήτης ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Κρήτης ιπλωµατική εργασία των φοιτητών Αγαθοκλέους Θεόφιλος Περικλεούς Τζούλια Χαραλάµπους Σωτήρης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ομάδαs Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

Φυσική Ομάδαs Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Φυσική Ομάδαs Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Υλικό Φυσικής-Χημείας 1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Υλικό Φυσικής-Χημείας 2 Το Φως 1) Δέσμη λευκού φωτός προσπίπτει στην επιφάνεια ενός πρίσματος όπως δείχνει το σχήμα και κατά την έξοδο από

Διαβάστε περισσότερα