ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο ιανυσµατική άλγεβρα Πράξεις µε διανύσµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια, αλλά δεν θα βρεθείτε σε 7 µίλια απόστασηαπό το σηµείο που ξεκινήσατε θα βρεθείτε µόνο σε 5. Χρειαζόµαστε µία άλγεβρα που να περιγράφει τέτοια µεγέθη, τα οποία, προφανώς, δεν προστίθενται µε τον συνηθισµένο τρόπο. Ο λόγος, φυσικά, που κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, είναι ότι οι µετατοπίσεις (τα ευθύγραµµα τµήµατα που συνδέουν ένα σηµείο µε ένα άλλο) έχουν όχι µόνο μέγεθος (µήκος ή µέτρο) αλλά και κατεύθυνση, και είναι ουσιώδες και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά να λαµβάνονται υπ όψη όταν τις προσθέτετε. Τέτοιου είδους αντικείµενα ονοµάζονται διανύσµατα: άλλα παραδείγµατα είναι η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η δύναµη και η ορµή. Αντιθέτως, ποσότητες που έχουν µέγεθος αλλά όχι κατεύθυνση ονοµάζονται βαθµωτά: Παραδείγµατα είναι η µάζα, το φορτίο, η πυκνότητα και η θερµοκρασία. Τα διανύσµατα θα τα συµβολίζω µε παχιά γράµµατα (A, B κ.λπ.) ενώ τα βαθµωτά 3 mi 4 mi 5 mi A A Σχήµα 1.1 Σχήµα 1.2 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ θα τα συµβολίζω µε πεζά γράµµατα. Το µέγεθος του διανύσµατος A γράφεται A ή, πιο απλά, A. Στα διαγράµµατα, τα διανύσµατα συµβολίζονται µε βέλη: το µήκος του βέλους αντιστοιχεί στο µέγεθος του διανύσµατος και η µύτη του βέλους δείχνει την κατεύθυνσή του. Το μείον A ( A) είναι ένα διάνυσµα µε µέγεθος ίσο µε του A αλλά µε αντίθετη κατεύθυνση (Σχ. 1.2). Σηµειώστε ότι τα διανύσµατα έχουν µέγεθος και κατεύθυνση αλλά δεν έχουν συγκεκριμένη θέση: µία µετατόπιση 4 µιλίων βόρεια της Ουάσιγκτον παριστάνεται από το ίδιο διάνυσµα µε µία µετατόπιση 4 µιλίων βόρεια της Βαλτιµόρης (αν αγνοήσουµε, βέβαια, την καµπυλότητα της επιφάνειας της Γης). Σ ένα διάγραµµα, λοιπόν, µπορείτε να µετατοπίζετε το βέλος όπως θέλετε, από τη στιγµή που δεν αλλάζετε το µήκος του ή την κατεύθυνσή του (παράλληλη µετατόπιση). Ορίζουµε τέσσερις πράξεις µε διανύσµατα: την πρόσθεση και τα τρία είδη του πολλαπλασιασµού. (i) Πρόσθεση δύο διανυσµάτων: Τοποθετήστε την ουρά του B στη µύτη του A το άθροισµα A + B είναι το διάνυσµα που δείχνει από την ουρά του A στη µύτη του B (Σχ. 1.3). (Ο κανόνας αυτός αποτελεί γενίκευση της ευνόητης διαδικασίας συνδυασµού δύο µετατοπίσεων.) Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική: A + B = B + A. 3 µίλια ανατολικά µετά από 4 µίλια βόρεια σας οδηγούν στο ίδιο σηµείο µε 4 µίλια βόρεια µετά από 3 µίλια ανατολικά. Η πρόσθεση είναι, επίσης, προσεταιριστική: (A + B)+C = A +(B + C). Για να αφαιρέσετε ένα διάνυσµα (Σχ. 1.4), προσθέστε το αντίθετό του: A B = A +( B). B A (A+B) (B+A) B A (A B) B A Σχήµα 1.3 Σχήµα 1.4 (ii) Πολλαπλασιασµός µε ένα βαθµωτό: Ο πολλαπλασιασµός ενός διανύσµατος µε ένα θετικό βαθµωτό µέγεθος a, πολλαπλασιάζει το μέτρο του, αφήνει όµως την κατεύθυνσή του ανέπαφη (Σχ. 1.5). (Αν το a είναι αρνητικό, η φορά αντιστρέφεται.) Ο πολλαπλασιασµός µε βαθµωτό είναι επιμεριστικός: a(a + B) =aa + ab.

3 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3 A 2A A θ B Σχήµα 1.5 Σχήµα 1.6 (iii) Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται από την A B AB cos θ, (1.1) όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα αν ενωθούν οι ουρές τους (Σχ. 1.6). Παρατηρήστε ότι το A B είναι ένα βαθμωτό µέγεθος (εξ ου και η εναλλακτική ονο- µασία βαθµωτό γινόµενο).τοβαθµωτόγινόµενοείναιαντιμεταθετικό, A B = B A, και επιμεριστικό, A (B + C) =A B + A C. (1.2) Γεωµετρικά, το A B είναι το γινόµενο του A επί το µήκος της προβολής του B στον άξονα του A (ή το γινόµενο του B επί το µήκος της προβολής του A στον άξονα του B). Αν τα δύο διανύσµατα είναι παράλληλα, τότε A B = AB. Συγκεκριµένα, για κάθε διάνυσµα A, A A = A 2. (1.3) Αν τα A και B είναι κάθετα, τότε A B =0. Παράδειγµα 1.1 Θέστε C = A B (Σχ. 1.7), και υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο του C µε τον εαυτό του. Λύση: ή C C =(A B) (A B) =A A A B B A + B B, C 2 = A 2 + B 2 2AB cos θ. Η ισότητα αυτή ονοµάζεται νόµος των συνηµιτόνων. (iv) Εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων: Το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται από την A B AB sin θ ˆn, (1.4)

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ A C A θ B Σχήµα 1.7 θ B Σχήµα 1.8 όπου το ˆn είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα (διάνυσµα µε µήκος 1) µε διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα A και B. (Θα χρησιµοποιώ ένα καπελάκι (ˆ)γιανασυµβολίζω τα µοναδιαία διανύσµατα.) Υπάρχουν, φυσικά, δύο κατευθύνσεις που είναι κάθετες σε οποιοδήποτε επίπεδο: η «προς ταµέσα»καιη«προςταέξω».ηκατεύθυνση του ˆn αποσαφηνίζεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού: τοποθετήστε τα δάχτυλά σας κατά µήκος της κατεύθυνσης του πρώτου διανύσµατος και κλείστε την παλάµη σας (µέσω της µικρότερης γωνίας) προς το µέρος του δεύτερου ο αντίχειράς σας τότε δείχνει την κατεύθυνση του ˆn. (Στο Σχ.1.8 το A B δείχνει προς τα μέσα στη σελίδα, ενώ το B A δείχνει έξω από τη σελίδα.) Παρατηρήστε ότι το A B είναι και αυτό ένα διάνυσμα (εξουκαιηεναλλακτικήονοµασίαδιανυσµατικό γινόµενο). Το εξωτερικό γινόµενο είναι επιμεριστικό, A (B + C) =(A B)+(A C), (1.5) αλλά όχι αντιμεταθετικό. Πράγµατι, (B A) = (A B). (1.6) Γεωµετρικά, το A B είναι το εµβαδόν ενός παραλληλογράµµου µε πλευρές τα A και B (Σχ. 1.8). Αν δύο διανύσµατα είναι παράλληλα, το εξωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν. Συγκεκριµένα, για κάθε διάνυσµα A. A A =0! Πρόβληµα 1.1 Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς των σχέσεων (1.1) και (1.4) και κατάλληλα σχήµατα, δείξτε ότι το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόµενο είναι επιµεριστικά (α)όταντατρίαδιανύσµαταείναισυνεπίπεδα (β) στη γενική περίπτωση. Πρόβληµα 1.2 Είναι το εξωτερικό γινόµενο προσεταιριστικό; (A B) C ; = A (B C). Αν είναι, αποδείξτε το αν όχι, δώστε ένα αντιπαράδειγµα.

5 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 5 (α) A A A A (β) Σχήµα Η διανυσµατική άλγεβρα υπό µορφή συνιστωσών Στην προηγούµενη παράγραφο όρισα τις τέσσερις διανυσµατικές πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασµό µε βαθµωτό, εσωτερικό γινόµενο και εξωτερικό γινόµενο) χωρίς αναφορά σε κάποιο συγκεκριµένο σύστηµα συντεταγµένων. Στην πράξη, είναι συχνά ευκολότερο να χρησιµοποιούµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες,, και να εργαζό- µαστε µε τις «συνιστώσες» των διανυσµάτων. Έστω ότι τα ˆ, ŷ, και ẑ είναι µοναδιαία διανύσµατα, παράλληλα µε τους άξονες,, και αντίστοιχα (Σχ. 1.9(α)). Κάθε διάνυσµα A µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει αυτών των µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης (Σχ. 1.9(β)) ως εξής: A = A ˆ + A ŷ + A ẑ. Οι αριθµοί A, A,καιA ονοµάζονται συνιστώσες του A. Γεωµετρικά, είναι οι προβολές του A πάνω στους τρεις άξονες συντεταγµένων. Μπορούµε τώρα να επαναδιατυπώσουµεκάθεµίααπότιςτέσσεριςδιανυσµατικέςπράξειςµεκανόνεςπράξεων µεταξύ των συνιστωσών: A + B =(A ˆ + A ŷ + A ẑ)+(b ˆ + B ŷ + B ẑ) = (A + B )ˆ +(A + B )ŷ +(A + B )ẑ. (1.7) (i) Κανόνας: Για να προσθέσετε διανύσματα, προσθέστε τις αντίστοιχες συνιστώσες. aa =(aa )ˆ +(aa )ŷ +(aa )ẑ. (1.8) (ii) Κανόνας: : Για να πολλαπλασιάσετε με ένα βαθμωτό, πολλαπλασιάστε με αυτό την κάθε συνιστώσα. Επειδή τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ŷ,καιẑ είναι κάθετα το ένα στο άλλο, Κατά συνέπεια, ˆ ˆ = ŷ ŷ = ẑ ẑ =1, ˆ ŷ = ˆ ẑ = ŷ ẑ =0. (1.9) A B = (A ˆ + A ŷ + A ẑ) (B ˆ + B ŷ + B ẑ) = A B + A B + A B. (1.10)

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (iii) Κανόνας: Για να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο, πολλαπλασιάστε τις αντίστοιχες συνιστώσες και προσθέστε τα γινόμενα. Ειδικότερα, A A = A 2 + A2 + A2, οπότε A = A 2 + A 2 + A 2. (1.11) (Αυτή είναι, αν προτιµάτε, η τριδιάστατη γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος.) Παρατηρήστε ότι το εσωτερικό γινόµενο του A µε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσµα ισούται µε τη συνιστώσα του A κατά µήκος της κατεύθυνσης του µοναδιαίου διανύσµατος (έτσι, A ˆ = A, A ŷ = A, και A ẑ = A ). Παροµοίως, 1 Εποµένως, ˆ ˆ = ŷ ŷ = ẑ ẑ =0, ˆ ŷ = ŷ ˆ = ẑ, ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆ, ẑ ˆ = ˆ ẑ = ŷ. (1.12) A B = (A ˆ + A ŷ + A ẑ) (B ˆ + B ŷ + B ẑ) (1.13) = (A B A B )ˆ +(A B A B )ŷ +(A B A B )ẑ. Η έκφραση αυτή, που είναι δύσκολο να τη θυµάται κανείς, µπορεί να γραφτεί πιο νοικοκυρεµένα υπό µορφή ορίζουσας: ˆ ŷ ẑ A B = A A A B B B. (1.14) (iv) Κανόνας: Για να βρείτε το εξωτερικό γινόμενο, υπολογίστε την ορίζουσα που η πρώτη γραμμή της είναι τα ˆ, ŷ, ẑ, η δεύτερή της γραμμή αποτελείται από τις συνιστώσες του A, και η τρίτη της γραμμή από τις συνιστώσες του B. Παράδειγµα 1.2 Βρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν δύο διαγώνιοι διαδοχικών εδρών ενός κύβου. Λύση: Μπορούµε να θεωρήσουµε έναν κύβο που η πλευρά του έχει µήκος 1 (χωρίς απώλεια της γενικότητας), και να τον τοποθετήσουµε όπως φαίνεται στο Σχ. 1.10, µε τη 1 Τα πρόσηµα αυτά χαρακτηρίζουν ένα δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων. (Σ ένα τέτοιο σύστηµα, όταν ο άξονας δείχνει έξω από τη σελίδα, ο άξονας δείχνει προς τα δεξιά και ο άξονας προς τα πάνω. Κάθε άλλο δεξιόστροφο σύστηµα προκύπτει µε µια σειρά διαδοχικών περιστροφών του συστήµατος αυτού γύρω από κάποιους άξονες στο χώρο.) Σε οποιοδήποτε αριστερόστροφο σύστηµα τα πρόσηµα αντιστρέφονται: ˆ ŷ = ẑ και ούτω καθ εξής. Θα χρησιµοποιούµε αποκλειστικά δεξιόστροφα συστήµατα.

7 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 7 µια γωνία του στην αρχή των αξόνων. Οι διαγώνιοι A και B των εδρών του σχήµατος είναι A =1ˆ +0ŷ +1ẑ, B =0ˆ +1ŷ +1ẑ. (0, 0, 1) B θ A (0, 1, 0) (1, 0, 0) Σχήµα 1.10 Έτσι, υπό µορφή συνιστωσών A B = =1. Εξάλλου, από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου έχουµε Εποµένως, A B = AB cos θ = 2 2cosθ =2cosθ. cos θ =1/2, ή θ =60. Μπορείτε, φυσικά, να βρείτε την απάντηση και µε ευκολότερο τρόπο, σχεδιάζοντας τη διαγώνιο της πάνω έδρας του κύβου, οπότε σχηµατίζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Σε περιπτώσεις όµως που η γεωµετρία του σχήµατος δεν είναι τόσο απλή, το τέχνασµα της σύγκρισης των δύο σχέσεων υπολογισµού του εσωτερικού γινοµένου µπορεί να βοηθήσει πολύ αποτελεσµατικά στην εύρεση γωνιών. Πρόβληµα 1.3 Βρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν οι εσωτερικές διαγώνιοι ενός κύβου. Πρόβληµα 1.4 Χρησιµοποιήστε το εξωτερικό γινόµενο για να βρείτε τις συνιστώσες του µοναδιαίου διανύσµατος ˆn που είναι κάθετο στο επίπεδο του Σχ Τριπλά γινόµενα Αφού το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι και αυτό ένα διάνυσµα, µπορού- µε να ορίσουµε το εσωτερικό ή το εξωτερικό του γινόµενο µε ένα τρίτο διάνυσµα, σχηµατίζοντας έτσι ένα τριπλό γινόµενο.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 3 n 1 2 n A θ C B Σχήµα 1.11 Σχήµα 1.12 (i) Το βαθµωτό τριπλό γινόµενο: A (B C). Γεωµετρικά, το A (B C), είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε πλευρές τα A, B, καιc, αφού B C είναι το εµβαδόν της βάσης και A cos θ είναι το ύψος (Σχ. 1.12). Προφανώς, λοιπόν A (B C) =B (C A) =C (A B), (1.15) αφού όλα αντιστοιχούν στο ίδιο σχήµα. Παρατηρήστε ότι τηρείται «αλφαβητική» σειρά τα τριπλά γινόµενα που δεν τηρούν την αλφαβητική σειρά, A (C B) =B (A C) =C (B A), λόγω της Εξίσωσης (1.6), έχουν αντίθετο πρόσηµο. Υπό µορφή συνιστωσών A A A A (B C) = B B B C C C. (1.16) Παρατηρήστεότι τοεσωτερικό καιτο εξωτερικό γινόµενο µπορούν να αντιµετατίθενται: A (B C) =(A B) C (αυτό συνάγεται άµεσα από την (1.15)) η τοποθέτηση των παρενθέσεων, εν τούτοις, είναι πολύ σηµαντική: η έκφραση (A B) C δεν έχει κανένα απολύτως νόηµα δεν µπορείτε να σχηµατίσετε το εξωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος και ενός βαθμωτού. (ii) Το ιανυσµατικό Τριπλό Γινόµενο: A (B C). Ο τύπος του διανυσµατικού τριπλού γινοµένου γίνεται πιο ευκολοµνηµόνευτος µε τον λεγόµενο κανόνα BAC CAB: A (B C) =B(A C) C(A B). (1.17) Παρατηρήστε ότι το (A B) C = C (A B) = A(B C)+B(A C) Οι ισότητες στην (1.15) προκύπτουν µε κυκλική µετάθεση των διανυσµάτων (Σ.τ.Μ.).

9 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 9 είναι ένα τελείως διαφορετικό διάνυσµα. Παρεµπιπτόντως, όλα τα ανώτερα διανυσµατικά γινόµενα µπορούν να απλοποιηθούν µε παρόµοιο τρόπο, συνήθως µε κατ επανάληψη εφαρµογή της (1.17), έτσι ώστε να µην είναι αναγκαίο µια έκφραση να περιέχει περισσότερα του ενός διανυσµατικά γινόµενα σε κάθε όρο. Για παράδειγµα, (A B) (C D) = (A C)(B D) (A D)(B C) A (B (C D)) = B(A (C D)) (A B)(C D). (1.18) Πρόβληµα 1.5 Αποδείξτε τον κανόνα BAC CABγράφοντας και τα δύο µέλη υπό µορφή συνιστωσών. Πρόβληµα 1.6 Αποδείξτε ότι [A (B C)] + [B (C A)] + [C (A B)] = 0. Κάτω από ποιες συνθήκες είναι A (B C) =(A B) C; ιανύσµατα θέσης, µετατόπισης, και απόστασης Η θέση ενός σηµείου στις τρεις διαστάσεις µπορεί να προσδιοριστεί από τις καρτεσιανές του συντεταγµένες (,, ). Τοδιάνυσµαπουέχειωςαρχήτηναρχήτωναξόνων και τέλος το εν λόγω σηµείο (Σχ. 1.13) λέγεται διάνυσµα θέσης: r ˆ + ŷ + ẑ. (1.19) Για το διάνυσµα θέσης θα χρησιµοποιήσω το σύµβολο r σε όλο το βιβλίο. Το µέτρο του, r = , (1.20) ισούται µε την απόσταση από την αρχή των αξόνων, και ˆr = r r = ˆ + ŷ + ẑ (1.21) είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα που δείχνει ακτινικά προς τα έξω. Το απειροστό διάνυσµα µετατόπισης,απότο(,, ) στο ( + d, + d, + d),είναι dl = d ˆ + d ŷ + d ẑ. (1.22) (Θα µπορούσαµε να το συµβολίσουµε µε dr, καθώς περίαυτού πρόκειται, αλλά ένα ειδικό σύµβολο για τις απειροστές µετατοπίσεις είναι χρήσιµο.) Στην ηλεκτροδυναµική συναντάµε συχνά προβλήµατα που αφορούν δύο σηµεία συνήθωςένασηµείο πηγής, r, όπου βρίσκεται ένα ηλεκτρικό φορτίο, και ένα ση- µείο πεδίου, r, στο οποίο υπολογίζουµε το ηλεκτρικό ή το µαγνητικό πεδίο (Σχ.1.14).

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ σημείο πηγής O r r (,, ) O r r r σημείο πεδίου Σχήµα 1.13 Σχήµα 1.14 Συµφέρει να υιοθετήσουµε από την αρχή ένα συντοµογραφικό σύµβολο για το διάνυσµα απόστασης από το σηµείο πηγής µέχρι το σηµείο πεδίου. Για αυτόν τον σκοπό θα χρησιµοποιήσω το γράµµα r: r r r. (1.23) Το µέτρο του είναι r = r r, (1.24) και το µοναδιαίο διάνυσµα µε κατεύθυνση από το r προς το r είναι Σε καρτεσιανές συντεταγµένες, Or = r r = r r r r. (1.25) r =( )ˆ +( )ŷ +( )ẑ, (1.26) r = ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2, (1.27) Or = ( )ˆ +( )ŷ +( )ẑ ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 (1.28) (απ όπου µπορεί κανείς να εκτιµήσει το πλεονέκτηµα του συνοπτικού συµβολισµού). Πρόβληµα 1.7 Βρείτε το διάνυσµα απόστασης r από το σηµείο πηγής (2,8,7) µέχρι το σηµείο πεδίου (4,6,8). Υπολογίστε το µέτρο του (r), και κατασκευάστε το µοναδιαίο διάνυσµα Or Πώς µετασχηµατίζονται τα διανύσµατα Ο ορισµός ενός διανύσµατος σαν «ποσότητα µε µέτρο και κατεύθυνση» δεν είναι εξ ολοκλήρου ικανοποιητικός: Τι ακριβώς σημαίνει «κατεύθυνση»; 2 Η ερώτηση αυτή 2 Η ενότητα αυτή µπορεί να παραλειφθεί χωρίς απώλεια συνέχειας.

11 1.1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 11 µπορεί να φαίνεται σχολαστική, σύντοµα όµως θα συναντήσουµε ένα είδος παραγώγου που µάλλον μοιάζει µε διάνυσµα, οπότε θα θέλαµε να ξέρουµε αν πράγµατι είναι διάνυσµα. Έχετε συνηθίσει, ίσως, να νοµίζετε πως οτιδήποτε έχει τρεις συνιστώσες που προστίθενται κατάλληλα είναι ένα διάνυσµα. Σκεφτείτε όµως το εξής: Έχουµε ένα κασόνι µε φρούτα που περιέχει N αχλάδια, N µήλα και N µπανάνες. Είναι άραγε το N = N ˆ + N ŷ + N ẑ διάνυσµα;έχειπράγµατιτρειςσυνιστώσεςκαιόταν το προσθέσετε µε ένα άλλο κασόνι που έχει M αχλάδια, M µήλα και M µπανάνες, το αποτέλεσµα είναι (N + M ) αχλάδια, (N + M ) µήλα και (N + M ) µπανάνες. Άρα προστίθεται σαν διάνυσµα. Σίγουρα όµως δεν είναι διάνυσµα µε τον τρόπο που ένας φυσικός εννοεί αυτή τη λέξη, διότι δεν έχει κάποια κατεύθυνση. Πού ακριβώς υστερεί; Η απάντηση είναι ότι το N δεν μετασχηματίζεται κατάλληλα όταν αλλάζετε τις συντεταγμένες. Το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιούµε για να περιγράφουµε τις θέσεις στον χώρο, είναι, βεβαίως, τελείως αυθαίρετο, υπάρχει όµως ένας συγκεκριµένος γεωµετρικός νόµος µετασχηµατισµού που µετατρέπει τις διανυσµατικές συνιστώσες από το ένα σύστηµα στο άλλο. Υποθέστε, για παράδειγµα, ότι το σύστηµα,,, έχει στραφεί κατά γωνία φ περί τον κοινό άξονα =, ωςπροςτοσύστηµα,,. Από το Σχ έχουµε ενώ A = A cos θ, A = A sin θ, A = A cos θ = A cos(θ φ) =A(cos θ cos φ +sinθ sin φ) = cosφa +sinφa, A = A sin θ = A sin(θ φ) =A(sin θ cos φ cos θ sin φ) = sin φa +cosφa. Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να εκφραστεί υπό µορφή πινάκων: ( A A ) ( cos φ sin φ = sin φ cos φ )( A A ). (1.29) A θ θ φ Σχήµα 1.15

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Γενικότερα, ο νόµος µετασχηµατισµού για περιστροφή γύρω από κάποιον αυθαίρετο άξονα στον χώρο, παίρνει τη µορφή: A A = R R R R R R A A, (1.30) A R R R A ή, συντοµότερα, A i = 3 R ij A j, (1.31) j=1 όπου ο δείκτης 1 είναι για το,ο2 για το και ο 3 για το.ταστοιχείατουπίνακαr µπορούν να προσδιοριστούν, για µια δεδοµένη περιστροφή, µε γεωµετρική µέθοδο, παρόµοια µε εκείνη που χρησιµοποιήσαµε για την περιστροφή γύρω από τον άξονα. Τώρα: Οι συνιστώσες του N µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο; Βεβαίως όχι όποιες συντεταγµένες και να χρησιµοποιήσετε για να αναπαραστήσετε τις θέσεις στον χώρο, θα υπάρχει πάντα η ίδια ποσότητα µήλων στο κασόνι. εν µπορείτε να µετατρέψετε ένα αχλάδι σε µπανάνα χρησιµοποιώντας ένα διαφορετικό σύστηµα αξόνων, μπορείτε όµως το A να το µετατρέψετε σε A. Τυπικά, λοιπόν, ένα διάνυσμα είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο τριών συνιστωσών που μετασχηματίζεται, όταν αλλάζουν οι συντεταγμένες, ακριβώς όπως οι συνιστώσες μιας μετατόπισης. Ως γνωστόν, η µετατόπιση είναι το πρότυπο συμπεριφοράς για όλα τα διανύσµατα. Παρεµπιπτόντως, ένας τανυστής (δεύτερης τάξης) είναι ένα µαθηµατικό αντικεί- µενο µε εννιά συνιστώσες T, T, T, T,..., T, για το µετασχηµατισµό των οποίων απαιτείται δύο φορές η δράση του πίνακα R: ή, συντοµότερα, T = R (R T + R T + R T ) +R (R T + R T + R T ) +R (R T + R T + R T ),... T ij = 3 k=1 l=1 3 R ik R jl T kl. (1.32) Εν γένει, ένας τανυστής τάξης n έχει n δείκτες και 3 n συνιστώσες και µετασχηµατίζεται αν δράσουµε πάνω του n φορές µε τον πίνακα R. Στην ιεραρχία αυτή, ένα διάνυσµα είναι τανυστής τάξης 1 και ένα βαθµωτό είναι τανυστής τάξης 0. Πρόβληµα 1.8 (α) Αποδείξτε ότι ο διδιάστατος πίνακας στροφής (1.29) διατηρεί το μήκος του A. ( ηλαδή, δείξτε ότι A B + A B = A B + A B.) (β) Ποιους περιορισµούς πρέπει να ικανοποιούν τα στοιχεία (R ij) του τριδιάστατου πίνακα στροφής (1.30) προκειµένου να διατηρούν το µήκος του A (για όλα τα A);

13 1.2. ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 13 Πρόβληµα 1.9 Βρείτε τον πίνακα µετασχηµατισµού R που περιγράφει µία στροφή 120 γύρω από έναν άξονα που περνάει από την αρχή των αξόνων και από το σηµείο (1, 1, 1). Η στροφή γίνεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού καθώς κοιτάτε κατά µήκος του άξονα προς την αρχή. Πρόβληµα 1.10 (α) Πώς µετασχηµατίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσµατος σε µία ευθύγραµµη µεταφορά των αξόνων (π.χ. =, = a, =, Σχ. 1.16(α)); (β) Πώς µετασχηµατίζονται οι συνιστώσες ενός διανύσµατος σε µία αντιστροφή των συντεταγµένων ( =, =, =, Σχ. 1.16(β)); (γ) Πώς µετασχηµατίζεται το εξωτερικό γινόµενο (1.13) δύο διανυσµάτων σε µία αντιστροφή; (Το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων δικαιολογηµένα ονοµάζεται ψευδοδιάνυσµα λόγω αυτής της «ανώµαλης» συµπεριφοράς του.) Το εξωτερικό γινόµενο δύο ψευδοδιανυσµάτων είναι διάνυσµα ή ψευδοδιάνυσµα; Κατονοµάστε δύο ψευδοδιανυσµατικές ποσότητες της κλασικής µηχανικής. (δ) Πώς µετασχηµατίζεται σε µια αντιστροφή το βαθµωτό τριπλό γινόµενο τριών διανυσµάτων; (Ένα τέτοιο αντικείµενο ονοµάζεται ψευδοβαθµωτό.) }a (α) (β) Σχήµα ιαφορικός λογισµός «Συνήθεις» παράγωγοι Ερώτηση: Υποθέστε ότι έχουµε µία συνάρτηση µιας µεταβλητής: f().τιµαςδίνειη παράγωγός της df /d; Απάντηση: Μας λέει πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η συνάρτηση f() όταν αλλάζουµε τη µεταβλητή κατά ένα απειροστό ποσό d: ( ) df df = d. (1.33) d Με λόγια: Αν αλλάξουµε την κατά ένα d, τότεηf αλλάζει κατά ένα df ηπαράγωγος είναι ο συντελεστής αναλογίας. Για παράδειγµα, στο Σχ. 1.17(α), η συνάρτηση

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ µεταβάλλεται αργά καθώς αλλάζει η και η παράγωγος είναι κατ αντιστοιχία µικρή. Στο Σχ. 1.17(β) η f αυξάνεται γρήγορα µε την και η παράγωγος γίνεται µεγάλη καθώςαποµακρύνεστεαπότοσηµείο =0. Γεωμετρική ερμηνεία. Η παράγωγος df /d είναι η κλίση της καµπύλης f(). f f (α) (β) Σχήµα Κλίση Υποθέστε, στη συνέχεια, ότι έχουµε µία συνάρτηση τριών µεταβλητών σαν τη θερ- µοκρασία, ας πούµε, T (,, ) σε ένα δωµάτιο. (Ξεκινώντας από µία γωνία του δω- µατίου, τοποθετήστε ένα σύστηµα αξόνων η T τότε θα δίνει τη θερµοκρασία κάθε σηµείου µε συντεταγµένες (,, ) στο δωµάτιο.) Θέλουµε να γενικεύσουµε την έννοια της «παραγώγου» για συναρτήσεις όπως η T, που εξαρτώνται όχι από μία αλλά από τρεις µεταβλητές. Υποτίθεται, τώρα, ότι η παράγωγος µας λέει πόσο γρήγορα µεταβάλλεται µία συνάρτηση όταν µετακινηθούµε κατά µία µικρή απόσταση. Εδώ όµως το πρόβληµα είναι πιο πολύπλοκο, διότι προφανώς η παράγωγος θα εξαρτάται και από την κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθούµε: Αν πάµε προς τα πάνω (προς την οροφή), η θερµοκρασία πιθανώς να αυξηθεί αρκετά γρήγορα, αλλά αν κινηθούµε οριζοντίως, µπορεί να µην αλλάξει καθόλου. Εν ολίγοις, η ερώτηση «Πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η T (,, );» έχει ένα άπειρο πλήθος απαντήσεων, µία για κάθε κατεύθυνση που επιλέγουµε να εξερευνήσουµε. Ευτυχώς, το πρόβληµα δεν είναι τόσο πολύπλοκο όσο φαίνεται. Σύµφωνα µε ένα θεώρηµα για τις µερικές παραγώγους, dt = ( T ) d + ( ) ( ) T T d + d. (1.34) Ο κανόνας αυτός µας λέει πόσο µεταβάλλεται η T αν αλλάξουµε τις τρεις µεταβλητές κατά απειροστά ποσά d, d και d. Παρατηρήστε ότι δεν χρειαζόµαστε άπειρο πλήθος παραγώγων τρεις µόνο φτάνουν: οι μερικές παράγωγοι κατά µήκος κάθε µιας από τις τρεις κατευθύνσεις των αξόνων. Η Εξίσωση (1.34) φέρνει στο νου ένα εσωτερικό γινόµενο: dt = ( T T ˆ + ŷ + T ) ẑ (d ˆ + d ŷ + d ẑ)

15 1.2. ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 15 = ( T ) (dl), (1.35) όπου T T T ˆ + ŷ + T ẑ (1.36) είναι η κλίση της T είναι µίαδιανυσματική ποσότητα µε τρεις συνιστώσες και αποτελεί τη γενίκευση της παραγώγου που αναζητούµε. Η Εξίσωση (1.35) είναι η τριδιάστατη εκδοχή της (1.33). Γεωμετρική Ερμηνεία της Κλίσης. Όπως κάθε διάνυσµα, η κλίση έχει μέτρο και κατεύθυνση. Για να προσδιορίσουµε το γεωµετρικό της νόηµα, ας ξαναγράψουµε το εσωτερικό γινόµενο (1.35) στη γενική µορφή: dt = T dl = T dl cos θ, (1.37) όπου θ είναι η γωνία µεταξύ των T και dl. Κρατώντας, τώρα, σταθερό το μέτρο του dl και διερευνώντας τις διάφορες κατευθύνσεις (µεταβάλλοντας, δηλαδή, την θ), είναι προφανές ότι η μέγιστη µεταβολή της T παρατηρείται στην κατεύθυνση θ =0 (αφού τότε θα είναι cos θ =1). Συνεπώς, µε το dl σταθερό, το dt παίρνει τη µέγιστη τιµή του αν κινηθώ προς την κατεύθυνση του T.Έτσι, Επιπλέον, Η κλί ση T δείχνει προς την κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης της συνάρτησης T. Το μέτρο T μας δίνει την κλίση (δηλαδή τον ρυθμό αύξησης) της T στην κατεύθυνση αυτή της μέγιστης αύξησής της. Φανταστείτε ότι βρίσκεστε στην πλαγιά ενός λόφου. Κοιτάξτε γύρω σας και βρείτε προς ποια κατεύθυνση η ανάβαση είναι δυσκολότερη. Αυτή είναι η κατεύθυνση της κλίσης. Μετρήστε τώρα την κλίση της πλαγιάς προς αυτή την κατεύθυνση (το πηλίκο του ύψους προς το αντίστοιχο µήκος). Αυτό είναι το μέτρο της κλίσης. (Η συνάρτηση για την οποία µιλάµε εδώ είναι το ύψος του λόφου, και οι συντεταγµένες από τις οποίες εξαρτάται είναι, ας πούµε, το γεωγραφικό µήκος και το γεωγραφικό πλάτος. Η συνάρτηση αυτή εξαρτάται µόνο από δύο µεταβλητές, όχι τρεις,τογεωµετρικόόµωςνόηµα της κλίσης γίνεται ευκολότερα αντιληπτό σε δύο διαστάσεις.) Παρατηρήστε από την (1.37) ότι η κατεύθυνση της πιο απότοµης καθόδου είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της πιο απότοµης ανόδου, ενώ σε γωνία 90 προςτηδιεύθυνσηαυτήηκλίσηείναι µηδέν (το διάνυσµα της κλίσης τέµνει κάθετα τις ισοϋψείς καµπύλες). Μπορείτε να φανταστείτε επιφάνειες που δεν έχουν τέτοιες ιδιότητες, δεν θα αντιστοιχούν όµως σε παραγωγίσιµες συναρτήσεις γιατί θα έχουν «σπασίµατα». Τι σηµαίνει άραγε µηδενική κλίση; Αν T =0στο (,, ) τότε dt =0για µικρές µετατοπίσεις γύρω από το σηµείο (,, ). Αυτό, λοιπόν, είναι ένα στάσιµο σηµείο της συνάρτησης T (,, ). Μπορεί να είναι ένα µέγιστο (κορυφή) ή ένα ελάχιστο (κοιλάδα) ή κάποιο σαγµατικό σηµείο (πέρασµα) ή κάποιο σηµείο καµπής («ράχη»).

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρόκειται για κατάσταση ανάλογη µε εκείνη των συναρτήσεων μιας µεταβλητής, ό- που ένας µηδενισµός της παραγώγου σηµατοδοτεί την ύπαρξη µεγίστου, ελαχίστου ή σηµείου καµπής της συνάρτησης. Ειδικότερα, αν θέλετε να εντοπίσετε τα ακρότατα µιας συνάρτησης τριών µεταβλητών, βρείτε πρώτα τα σηµεία όπου µηδενίζεται η κλίση. Παράδειγµα 1.3 Βρείτε την κλίση του r = (το µέτρο του διανύσµατος θέσης). Λύση: r = r r ˆ + ŷ + r ẑ = ˆ = ˆ + ŷ + ẑ = r 2 r = ˆr ŷ ẑ 2 Βγάζει νόηµα το αποτέλεσµα; Λοιπόν, το νόηµά του είναι ότι η απόσταση από την αρχή των αξόνων αυξάνεται µε τον ταχύτερο ρυθµό στην ακτινική διεύθυνση, και ότι ο ρυθμός αύξησήςτηςσεαυτήντηνκατεύθυνσηείναι1...ακριβώςό,τιαναµέναµε. Πρόβληµα 1.11 Βρείτε τις κλίσεις των παρακάτω συναρτήσεων: (α) f(,, ) = (β) f(,, ) = (γ) f(,, ) =e sin()ln(). Πρόβληµα 1.12 Το ύψος κάποιου λόφου (σε πόδια) δίνεται από την h(, ) = 10( ), όπου και είναι αντίστοιχα οι αποστάσεις (σε µίλια) ανατολικά και βόρεια κάποιας συγκεκριµένης πόλης (που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων). (α) Σε ποιο σηµείο βρίσκεται η κορυφή του λόφου; (β) Πόσο είναι το ύψος του; (γ) Πόσο απότοµη είναι η κλίση του λόφου (σε πόδια ανά µίλι) σ ένα σηµείο που βρίσκεται 1 µίλι ανατολικά και 1 µίλι βόρεια της πόλης; Προς ποια κατεύθυνση, στο σηµείο αυτό, η κλίση του λόφου γίνεται πιο απότοµη; Πρόβληµα 1.13 Έστω r το διάνυσµα απόστασης από κάποιο σταθερό σηµείο (,, ) στο σηµείο (,, ) και έστω r το µήκος του. είξτε ότι (α) (r 2 )=2r. (β) (1/r) = Or/r 2. (γ) Ποιος είναι ο γενικός τύπος για το (r n );

17 1.2. ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 17! Πρόβληµα 1.14 Υποθέστε ότι η f είναι µία συνάρτηση µόνο δύο µεταβλητών ( και ). είξτε ότι η κλίση f =( f/ )ŷ+( f/ )ẑ µετασχηµατίζεται σε στροφές όπως στην (1.29), δηλ. σαν διάνυσµα. [Υπόδειξη: ( f/ ) =( f/ )( / )+( f/ )( / ), (και ο τύπος για το f/ είναι παρόµοιος). Γνωρίζετε ότι = cos φ + sin φ, = sin φ + cos φ «λύστε» τις εξισώσεις αυτές ως προς και (σαν συναρτήσεις των και ) και υπολογίστε τις απαραίτητες παραγώγους /, /, κ.λπ.] Ο τελεστής Η κλίση µοιάζει µε ένα διάνυσµα,, που «πολλαπλασιάζει» ένα βαθµωτό µέγεθος T : ( T = ˆ + ŷ + ẑ ) T. (1.38) (Γράφω τα µοναδιαία διανύσµατα αριστερά, ώστε να µη νοµίζει κανείς ότι εννοώ π.χ. ˆ/ πράγµα που ισούται µε µηδέν αφού το ˆ είναι σταθερό. Ο παράγοντας που βρίσκεται στην παρένθεση της (1.38) ονοµάζεται «ντελ»: = ˆ + ŷ + ẑ. (1.39) Το ντελ, βεβαίως,δεν είναι διάνυσµα, µε τη συνήθη έννοια. Πράγµατι, δεν έχει κάποιο συγκεκριµένο νόηµα, παρά µόνο αν του δώσουµε µία βαθµωτή συνάρτηση για να δράσει πάνω της. Επιπλέον, δεν «πολλαπλασιάζεται» µε την T είναι µάλλον κάτι σαν εντολή για την παραγώγιση αυτής της συνάρτησης. Για να είµαστε ακριβείς, λοιπόν, θαέπρεπενα πούµε ότι το είναι ένας διανυσµατικός τελεστής που δρα πάνω στην T,όχιέναδιάνυσµαπου την πολλαπλασιάζει. Και όµως, παρά τα ξεχωριστά αυτά προσόντα που διαθέτει, το ουσιαστικά µι- µείται µε κάθε τρόπο τη συµπεριφορά ενός απλού διανύσµατος: σχεδόν οποιαδήποτε πράξη γίνεται µε τα άλλα διανύσµατα, µπορεί επίσης να γίνει και µε το,αναντικαταστήσουµε απλώς τη φράση «πολλαπλασιάζει» µε τη φράση «δρα πάνω της». Πρέπει, εποµένως, να πάρετε στα σοβαρά το διανυσµατικό προσωπείο του : πρόκειται για ένα έξοχο δείγµα απλοποίησης του συµβολισµού, πράγµα που θα αναγκαστείτε να αναγνωρίσετε αν τύχεινα διαβάσετε ποτέτην πρωτότυπη εργασία του Mawell για τον ηλεκτροµαγνητισµό, που γράφτηκε χωρίς ουσιαστικά να χρησιµοποιηθεί το σύµβολο. Ως γνωστόν, ένα κοινό διάνυσµα A πολλαπλασιάζεται µε τρεις τρόπους: 1. Πολλαπλασιάζεται µε ένα βαθµωτό a: Aa 2. Πολλαπλασιάζεται µε ένα άλλο διάνυσµα B, µέσω του εσωτερικού γινοµένου A B 3. Πολλαπλασιάζεται µε ένα άλλο διάνυσµα, µέσω του εξωτερικού γινο- µένου A B

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κατ αντιστοιχία υπάρχουν τρεις τρόποι µε τους οποίους µπορεί να δράσει ο τελεστής : 1. Πάνω σε µια βαθµωτή συνάρτηση T : T (η κλίση) 2. Πάνω σε µια διανυσµατική συνάρτηση v, µέσω του εσωτερικού γινο- µένου: v (η απόκλιση) 3. Πάνω σε µια διανυσµατική συνάρτηση v, µέσω του εξωτερικού γινο- µένου: v (ο στροβιλισµός). Ήδη µιλήσαµε για την κλίση. Στις επόµενες παραγράφους εξετάζουµε τα άλλα δύο είδη διανυσµατικών παραγώγων: την απόκλιση και τον στροβιλισµό Η απόκλιση Από τον ορισµό του έχουµε ( v = ˆ + ŷ + ẑ ) (v ˆ + v ŷ + v ẑ) = v + v + v. (1.40) Παρατηρήστε ότι η απόκλιση µιας διανυσματικής συνάρτησης είναι ένα βαθμωτό μέγεθος. ( εν είναι δυνατό να υπάρχει η απόκλιση ενός βαθµωτού: δεν έχει νόηµα.) Γεωμετρική ερμηνεία: Ορθώς έ χει επιλεγεί το όνοµα απόκλιση, διότι το v µας δείχνει κατά πόσο το διάνυσµα v εκπηγάζει (αποκλίνει) από το υπό συζήτηση ση- µείο. Η διανυσµατική συνάρτηση του Σχ. 1.18(α) έχει µεγάλη (θετική) απόκλιση στο κέντρο (αν τα βέλη δείχνανε προς τα μέσα, η απόκλιση θα ήταν η ίδια αλλά αρνητική.) Από την άλλη, η συνάρτηση του Σχ. 1.18(β) έχει µηδέν απόκλιση, ενώ η συνάρτηση του Σχ. 1.18(γ) έχει πάλι θετική απόκλιση. (Σας παρακαλώ να καταλάβετε ότι οι τιμές της συνάρτησης v είναι διανύσματα δηλαδή, σε κάθε σηµείο του χώρου αντιστοιχεί ένα διαφορετικό διάνυσµα. Στα σχήµατα, βέβαια, το µόνο που µπορώ να κάνω είναι να σχεδιάσω τα βέλη σε λίγα αντιπροσωπευτικά σηµεία.) Φανταστείτε ότι στέκεστε στην όχθη µιας µικρής ήρεµης λίµνης. Σκορπίστε λίγο πριονίδι, ή µερικές πευκοβελόνες ή ό,τι έχετε πρόχειρο στην επιφάνεια. Αν το υλικό που σκορπίσατε απλώνεται προς τα έξω, τότε το έχετε ρίξει σ ένα σηµείο µε θετική απόκλιση αν µαζευτεί τότε το έχετε ρίξει σ ένα σηµείο µε αρνητική απόκλιση. (Σύµφωνα µε το πρότυπο αυτό, η υπό συζήτηση διανυσµατική συνάρτηση ν δεν είναι παρά η ταχύτητα του νερού στην επιφάνεια της λίµνης είναι ένα διδιάστατο παράδειγµα, αλλά βοηθάει να αποκτήσου- µε µια «αίσθηση» τι σηµατοδοτεί η απόκλιση. Ένα σηµείο θετικής απόκλισης λέγεται «πηγή» ενώ ένα σηµείο αρνητικής απόκλισης λέγεται «χοάνη»). Παράδειγµα 1.4 Έστω ότι οι διανυσµατικές συναρτήσεις στο Σχ είναι οι: v a = r = ˆ + ŷ + ẑ, v b = ẑ,καιv c = ẑ. Υπολογίστε τις αποκλίσεις τους.

19 1.2. ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 19 (α) (β) (γ) Σχήµα 1.18 Λύση: v a = ()+ ()+ () =1+1+1=3. Όπως περιµέναµε, αυτή η διανυσµατική συνάρτηση έχει θετική απόκλιση. v b = (0) + (0) + (1)=0+0+0=0, επίσης αναµενόµενο. v c = (0) + (0) + ()=0+0+1=1.

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρόβληµα 1.15 Υπολογίστε την απόκλιση των παρακάτω διανυσµατικών συναρτήσεων: (α) v a = 2 ˆ +3 2 ŷ 2 ẑ. (β) v b = ˆ +2 ŷ +3ẑ. (γ) v c = 2 ˆ +(2 + 2 ) ŷ +2 ẑ. Πρόβληµα 1.16 Σχεδιάστε τη διανυσµατική συνάρτηση v = ˆr r 2, καιυπολογίστετηναπόκλισήτης. Ίσωςεκπλαγείτεαπότηναπάντηση...µπορείτενατην εξηγήσετε;! Πρόβληµα 1.17 είξτε ότι στις δύο διαστάσεις η απόκλιση µετασχηµατίζεται σε στροφές σαν βαθµωτό µέγεθος. [Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε την (1.29) για να προσδιορίσετε τα v και v, και τη µέθοδο του Προβλήµατος 1.14 για να υπολογίσετε τις παραγώγους. Πρέπει δηλαδή να δείξετε ότι v / + v / = v / + v /.] Ο στροβιλισµός Από τον ορισµό του,έχουµε: ˆ ŷ ẑ v = / / / v v v ( v = ˆ v ) + ŷ ( v v ) ( v + ẑ v ). (1.41) Σηµειώστε ότι ο στροβιλισµός µιας διανυσµατικής συνάρτησης v είναι (όπως όλα τα εξωτερικά γινόµενα) διάνυσμα. ( εν είναι δυνατόν να υπάρχει ο στροβιλισµός ενός βαθµωτού µεγέθους: δεν έχει νόηµα.) Γεωμετρική ερμηνεία: Ορθώςέχειεπιλεγείτοόνοµαστροβιλισμός, διότι το v είναι µέτρο του κατά πόσο το διάνυσµα v «στροβιλίζεται» (σχηµατίζει δίνη) γύρω από κάθε συγκεκριµένο σηµείο. Εποµένως, οι τρεις διανυσµατικές συναρτήσεις στο Σχ έχουν όλες µηδενικό στροβιλισµό (όπως µπορείτε εύκολα να δείτε και µόνοι σας), ενώ αντιθέτως ο στροβιλισµός των πεδίων πουαπεικονίζονται στο Σχ. 1.19είναι µεγάλος. Πράγµατι, ο στροβιλισµός αυτός έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα, πράγµα σύµφωνο µε τον κανόνα του δεξιού χεριού. Φανταστείτε (ξανά) ότι στέκεστε στην όχθη µιας µικρής ήρεµης λίµνης. Τοποθετήστε τώρα έναν µικρό τροχό (που µπορείτε να φτιάξετε µόνοι σας µε έναν φελλό, καρφώνοντας πάνω του µερικές οδοντογλυφίδες που δείχνουν ακτινικά προς τα έξω). Αν αρχίσει να περιστρέφεται, τότε τον τοποθετήσατε σ ένα σηµείο µη µηδενικού στροβιλισμού. Μία δίνη είναι σηµείο µε µεγάλο στροβιλισµό.

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά). Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα διανύσµατα

Τι είναι τα διανύσµατα Τι είναι τα διανύσµατα Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει τις επιπτώσεις των νόµων του Νεύτωνα σε ένα µονοδιάστατο κόσµο Θα αναπτύξουµε τώρα τη µηχανική στο χώρο των τριών διαστάσεων Αποδεικνύεται όµως ιδιαιτέρως

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο E1 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κεφάλαιο αυτό Ε1 γίνεται μια πολύ απλή εισαγωγή στους Καρτεσιανούς τανυστές, δηλαδή στους τανυστές σε Καρτεσιανά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Στην σύνθεση δυνάµεων (δηλαδή πρόσθεση δυνάµεων), ενεργούµε µε τέτοιον τρόπο ώστε από πολλές δυνάµεις, οι οποίες ενεργούν σε ένα υλικό σηµείο ή σώµα,

Διαβάστε περισσότερα