Κεφάλαιο 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος. , τότε ο μετασχηματισμός Fourier

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του διακριτού μετασχηματισμού Fourier και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της κυκλικής συνέλιξης σημάτων διακριτού χρόνου και αναλύεται η σχέση της γραμμικής και της κυκλικής συνέλιξης σημάτων διακριτού χρόνου Παρουσιάζονται αλγόριθμοι γρήγορου μετασχηματισμού Fourier Προαπαιτούμενη γνώση Σειρές Κεφάλαιο, Κεφάλαιο, Κεφάλαιο 3, Κεφάλαιο 4 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier Ορισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier Ο ευθύς διακριτός μετασχηματισμός Fourier(DiscreteFourierTransform DFT) σημείων μίας ακολουθίας xn ( ) πεπερασμένου μήκους που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0: ] ορίζεται ως ακολούθως: X ( ) x( n) W, [0: ] n0 όπου j / W e (8) Ο ορισμός του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) σημείων ισχύει και για την ακολουθία xn ( ) πεπερασμένου μήκους L που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0: L ] Στην περίπτωση αυτή γίνεται συμπλήρωση με μηδενικά(zeropadding) στο τέλος του σήματος Oαντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier(InverseDiscreteFourierTransform IDFT) σημείων ορίζεται ως ακολούθως: x( n) X ( ) W, n[0: ] (83) 0 Ο ευθύς και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) σημείων αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: DFT x( n) X ( ) Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier είναι διακριτός, τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και στο πεδίο της συχνότητας Σχέση του DFT με DTFT Αν το σήμα xn ( ) είναι πεπερασμένου χρόνου στο διάστημα [0: ], τότε ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) του σήματος xn ( ) είναι: j X e x( n) e n0 jn Τότε, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) προκύπτει από τον μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) για τις ισαπέχουσες συχνότητες ( / ), [0: ] : (8) 87

2 j( / ) j( / ) n X e x( n) e X ( ) n0 8 Υπολογισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier Ο υπολογισμόςδιακριτού μετασχηματισμού Fourier μίας ακολουθίας γίνεται χρησιμοποιώντας τον ορισμό από την (8) Παράδειγμα Δίνεται το σήμα x( n) ( n) Ο διακριτός μετασχηματισμού Fourier σημείων του σήματος x( n) ( n) είναι: X ( ) x( n) W, [0: ], n0 όπου j W e Συνεπώς, X ( ) ( n) W W, [0: ] Παράδειγμα Δίνεται το σήμα x( n) ( n) ( n 5) Ο διακριτός μετασχηματισμού Fourier 0 σημείων του σήματος xn ( ) είναι: X ( ) x( n) W, [0:9], όπου j W0 e e Συνεπώς, X ( ) ( n) ( n 5) W, [0:9] Επομένως / n0 9 n0 0 /0 j/5 9 n0 9 n0 0 Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler j e cos( ) jsin( ) έχουμε: 0 j/5 5 j X ( ) ( n) ( n 5) W W W e e, [0:9] j X ( ) e cos( ) j sin( ) cos( ) j sin( ) j 0, [0:9] 83 Υπολογισμός αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier Ο υπολογισμός ΙDFT σημείων της ακολουθίας X ( ) μπορεί να γίνει με χρήση του ορισμού του αντίστροφου DFT σημείων από την (83) Επίσης, υπολογισμός ΙDFT σημείων της ακολουθίας X ( ) μπορεί να γίνει με δύο μεθόδους μέσω DFT σημείων 88

3 Μέθοδος * x( n) X ( ) W n0 * (84) Απόδειξη * * x( n) X ( ) W x( n) X ( ) W x ( n) X ( ) W * * * x ( n) X ( ) W x( n) X ( ) W 0 0 Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, πρώτα υπολογίζεται η συζυγής ακολουθία X * ( ) της ακολουθίας X ( ), μετά γίνεται ο υπολογισμός DFT σημείων της ακολουθίας X * ( ), μετά υπολογίζεται η συζυγής ακολουθία του DFT σημείων της ακολουθίας X * ( ) και τέλος γίνεται διαίρεση διά Μέθοδος x( n) f ( n) όπου f ( n) X ( ) W n0 Απόδειξη Αν f ( n) X ( ) W n0 W, επειδή ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: j / j W e e cos( ) j sin( ) cos( ) j sin( ), W, ( n) W W W W W, μπορούμε να γράψουμε: ( n) x( n) X ( ) W X ( ) W f ( n) 0 0 Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, πρώτα υπολογίζεται η ακολουθία f( n) που είναι ο DFT σημείων της ακολουθίας X ( ), μετά υπολογίζεται η ακολουθία f ( n) και τέλος γίνεται διαίρεση διά 84 Κυκλική συνέλιξη Από την ακολουθία πεπερασμένου μήκους x( n), n[0: ] μπορεί να σχηματιστεί μία περιοδική ακολουθία xn ( ) με θεμελιώδη περίοδο, που ονομάζεται περιοδική επέκταση της ακολουθίας xn ( ) ανά δείγματα: x( n) x( nmod ) x(( n)) (87) Η περιοδική συνέλιξη δύο περιοδικών σημάτων διακριτού χρόνου με την ίδια θεμελιώδη περίοδο ορίζεται ως ακολούθως: x ( n) # x ( n) x ( ) x ( n ) 0 Η κυκλική συνέλιξη σημείων δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους ορίζεται ως ακολούθως: * (85) (86) (88) 89

4 x( n) x ( n) # x ( n) x ( ) x ( n ) 0 Αν το σήμα είναι πεπερασμένου μήκους και το σήμα είναι πεπερασμένου μήκους, όπου, τότε η κυκλική συνέλιξη σημείων είναι πεπερασμένου μήκους, όπου max{, } και υπολογίζεται συμπληρώνοντας στο τέλος με μηδενικά (zeropadding) τα σήματα, ώστε να αποκτήσουν μήκος Η κυκλική συνέλιξη σημείων και η κυκλική συνέλιξη M σημείων, όπου M, δεν είναι γενικά ίσες μεταξύ τους 84 Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης Η διαδικασία του υπολογισμού της κυκλικής συνέλιξης γίνεται σε έξι βήματα: Συμπλήρωση με μηδενικά (zeropadding), αν χρειάζεται Παραγωγή της περιοδικής επέκτασης του ενός σήματος 3 Αναδίπλωση της περιοδικής επέκτασης του ενός σήματος 4 Κυκλική μετατόπιση του αναδιπλωμένου σήματος στο διάστημα χρόνου του άλλου(αμετακίνητου) σήματος 5 Πολλαπλασιασμός των τιμών του αμετακίνητου σήματος με τις τιμές του μετατοπισμένου σήματος 6 Πρόσθεση των τιμών Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) και x ( ) 9 ( ) 8 ( ) 7 ( ) Να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων x( n) x( n) # x( n) Το σήμα υπάρχει στο χρονικό διάστημα [0:3] και είναι μήκους 4 και το σήμα στο χρονικό διάστημα [0: ] και είναι μήκους 3 Επομένως, η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων είναι πεπερασμένου μήκους 4, επειδή max{, } και υπολογίζεται συμπληρώνοντας πρώτα με μηδενικά το δεύτερο σήμα, ώστε να αποκτήσει μήκος 4 Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης φαίνεται παρακάτω: (89) x ( 3 4 x ( x ( συμπλήρωση με μηδενικά x ( περιοδική επέκταση x ( ) x (0) x ( ) x () x ( ) x () x (3 ) x (3) Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης 84 Σχέση γραμμικής και κυκλικής συνέλιξης Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους δεν είναι γενικά ίσες μεταξύ τους Αν το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους και το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους, τότε η γραμμική συνέλιξη x ( n) x ( n) x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους και η κυκλική 90

5 συνέλιξη σημείων xc ( n) x ( n) # x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους c Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη συνδέονται ως εξής: α Αν, τότε c xc ( n) x ( n) δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη είναι ίσες μεταξύ τους β Αν, τότε c xc ( n) x ( n) x ( n c ), n[0 : c ] δηλαδή η κυκλική συνέλιξη μπορεί να υπολογιστεί από τη γραμμική συνέλιξη Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) και x ( n ) 9 ( n ) 8 ( n ) 7 ( n ) Το σήμα x ( n) είναι μήκους 4 και το σήμα x ( n) είναι μήκους 3 Συνεπώς, η γραμμική συνέλιξη x ( n) x ( n) x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 6 α Να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη 6 σημείων Στην περίπτωση αυτή c, οπότε Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη c xc ( n) x ( n) 4 σημείων είναι: n x ( n) x ( n) c β Να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων Στην περίπτωση αυτή c, οπότε c xc ( n) x ( n) x ( n c ), n[0 : c ] Η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων προκύπτει από το άθροισμα της γραμμικής συνέλιξης και της μετατόπισης της γραμμικής συνέλιξης κατά 4 προς τα αριστερά για n[0:3] c n x ( n) x ( n 4) x ( n) x ( n) x ( n ) c c Μπορείτε να διερευνήσετε την κυκλική συνέλιξη με το Διαδραστικό πρόγραμμα 8 Διαδραστικό πρόγραμμα 8Κυκλική συνέλιξη 9

6 85 Ιδιότητες διακριτού μετασχηματισμού Fourier Στον Πίνακα 8 παρουσιάζονται oι βασικές ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Ιδιότητα διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Σήμα διακριτού χρόνου () Γραμμικότητα c x ( n) c x ( n) Συμμετρία πραγματικού σήματος Συμμετρία φανταστικού σήματος Κυκλική x(( n n0 )) μετατόπιση Κυκλική x(( n)) αναδίπλωση Κυκλική x( n) x( n) συνέλιξη Πίνακας 8Ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) X xn ( ) c X( ) c X ( ) xn () * X ( ) X (( )) πραγματικό σήμα xn () * X ( ) X (( )) φανταστικό σήμα 0 W X ( ) X * ( ) # X ( ) X ( ) Η ακόλουθη ιδιότητα της κυκλικής συνέλιξηςπαρέχει τη δυνατότητα υπολογισμού της κυκλικής συνέλιξης σημείων μέσω του DFT σημείων Αν x( n) x ( n) # x ( n), τότε Παράδειγμα x ( n) x ( n), n[0: ] Να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη σημείων x( n) x ( n) # x ( n) Ο DFT σημείων του σήματος x ( n) είναι: Για Για X ( ) X ( ) X ( ) n0 n0 n0 έχουμε: έχουμε: X ( ) x ( n) W W W, [0: ] 0 0 n X ( ) W W n0 n0 n0 [: ] n W X( ) W W 0, n0 n0 W W γιατί j / j W W e e cos( ) j sin( ) cos( ) j sin( ) Άρα,, 0 X( ) 0, [: ] Προφανώς ο DFT σημείων του σήματος x ( n) είναι X ( ) X( ) Συνεπώς, (80) 9

7 , 0 X ( ) X( ) X ( ) X( ) 0, [: ] Από την ιδιότητα της κυκλικής συνέλιξης, ο αντίστροφος DFTτης ακολουθίας συνέλιξη x( n) x( n) # x( n) Άρα, x( n) X ( ) W, n[0: ] 0 οπότε n0 x( n) X ( ) W X (0) W X ( ) W 0 0W Άρα, x( n), n[0: ] X ( ) είναι η κυκλική 86 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorsInc, 005 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IngleandProais, 003 καιleis, 0 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Ασημάκης, 008 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eaton, Bateman, Hauberg, Wehbring, 0 και Hansen, 0 H συνάρτηση signaldft υπολογίζει το διακριτό μετασχηματισμό Fourier (DiscreteFourierTransform DFT) μίας ακολουθίας xn ( ) πεπερασμένου μήκους, που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0: ] function [X]=signaldft(xn,) % DFT % x(n) -- X() % = length of x(n) n=[0::-]; =[0::-]; W=exp(-j**pi/); =n'*; W=W^; X=xn*W; H συνάρτηση signaldft έχει εισόδους το διάνυσμα xn του σήματος και τον αριθμό, που αντιστοιχεί στο πλήθος των σημείων του διακριτού μετασχηματισμού Fourier Η συνάρτηση έχει έξοδο το διάνυσμα X του διακριτού μετασχηματισμού Fourier Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων του σήματος x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) απαιτείται η κλήση x=[:4]; =4; [X]=signaldft(xn,) Η συνάρτηση signalcirshift εκτελεί την κυκλική μετατόπιση κατά πεπερασμένου μήκους, που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0: ] function [y]=signalcirshift(x,m,) % circural shift % x(n) of length % y(n) = x((n-m)) x=[x zeros(,-length(x))]; n=[0::-]; n=mod(n-m,); y=x(n+); m μίας ακολουθίας xn ( ) 93

8 Η συνάρτηση signalcirshift έχει εισόδους το διάνυσμα xn του σήματος, τον αριθμό, που αντιστοιχεί στο πλήθος των σημείων του διακριτού μετασχηματισμού Fourier και τον αριθμό mτης κυκλικής μετατόπισηςη συνάρτηση έχει έξοδο το διάνυσμα y του κυκλικά μετατοπισμένου σήματος Για παράδειγμα, για την κυκλική μετατόπιση του σήματος x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) κατά απαιτείται η κλήση x=[:4]; =4; m=; [y]=signalcirshift(x,m,) Η συνάρτηση signalcirconv υπολογίζει την κυκλική συνέλιξη σημείων δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους function [y]=signalcirconv(x,x,) % circular convolution % y(n)=x(n) x(n) x=[x zeros(,-length(x))]; x=[x zeros(,-length(x))]; m=[0::-]; x=x(mod(-m,)+); H=zeros(,); for n=:: H(n,:)=signalcirshift(x,n-,); end; y=x*h'; Η συνάρτηση signalcirconv έχει εισόδους τα διανύσματα xκαιx των σημάτων και τον αριθμό, που αντιστοιχεί στο πλήθος των σημείων της κυκλικής συνέλιξηςη συνάρτηση έχει έξοδο το διάνυσμα yτης κυκλικής συνέλιξης Η συνάρτηση signalcirconvχρησιμοποιεί τη συνάρτηση signalcirshift Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης 4 σημείων των σημάτων x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) και x ( n ) 4( n ) 5 ( n ) 6 ( n ) 7 ( n 3) απαιτείται η κλήση x=[:3]; x=[4:7]; =4; [y]=signalcirconv(x,x,) Η συνάρτηση [y]=cconv(x,x,)υπολογίζει την κυκλική συνέλιξη σημείων δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους Η συνάρτηση cconv έχει εισόδους τα διανύσματα x και x των σημάτων και τον αριθμό, που αντιστοιχεί στο πλήθος των σημείων της κυκλικής συνέλιξης και έχει έξοδο το διάνυσμα y της κυκλικής συνέλιξης Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης 4 σημείων των σημάτων x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) και x ( n ) 4( n ) 5 ( n ) 6 ( n ) 7 ( n 3) απαιτείται η κλήση x=[:3]; x=[4:7]; =4; [y]= cconv(x,x,) Η συνάρτηση cconv είναι διαθέσιμη σε Matlab, αλλά δεν είναι διαθέσιμη σε Octave 8 Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier Ορισμός γρήγορου μετασχηματισμού Fourier ΓρήγοροςμετασχηματισμόςFourier(FastFourierTransform FFT) ονομάζεταιτοσύνολο των αλγορίθμων για το γρήγορο υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DiscreteFourierTransform DFT) Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμούfourier (DFT) σημείων ενός σήματος με χρήση του ορισμού απαιτούνται μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και ( ) μιγαδικές προσθέσεις Επομένως, η πολυπλοκότητα του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DiscreteFourierTransform DFT) είναι της τάξης O ΟπλέονκλασσικόςαλγόριθμοςFFTείναιοαλγόριθμοςFFT με βάση (radix- FFT), ο οποίοςβασίζεταιστηντεχνική «διαίρεικαιβασίλευε» (divideandconquer) Η βασική ιδέα του αλγορίθμου radix- FFTείναι η διάσπαση του σήματος, τον DFT σημείων του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, σε σήματα με μισό μήκος /το κάθε ένα Η διάσπαση επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουμε στον (απλό) 94

9 υπολογισμό DFT σημείων Η διάσπαση μπορεί να γίνει τόσο στο πεδίο του χρόνουκαι ονομάζεται αποδεκάτιση στον χρόνο(decimationintime DIT), οπότε προκύπτει ο αλγόριθμος FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο(decimationintimefft DITFFT) (Cooley&Tuey, 965), όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων και ονομάζεται αποδεκάτιση στη συχνότητα(decimationinfrequency DIF), οπότε προκύπτει ο αλγόριθμος FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα(decimationinfrequencyfft DIFFFT)(Gentleman&G Sande, 966) Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμούfourier (DFT) σημείων ενός σήματος με χρήση FFTαπαιτούνται log μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και log μιγαδικές προσθέσεις Επομένως, η πολυπλοκότητα τουγρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FastFourierTransform FFT) είναι της τάξης O log Η βέλτιστη λειτουργία του FFTαλγορίθμου επιτυγχάνεται όταν m, δηλαδή το μήκος είναι δύναμη του Επομένως, οfftαλγόριθμος είναι ιδιαίτερα ταχύς και μάλιστα παρουσιάζει τη μεγαλύτερη δυνατή εξοικονόμηση χρόνου σε σχέση με τον αλγόριθμο που βασίζεται στη χρήση του ορισμού του DFT Η χειρότερη περίπτωση για τον FFTαλγόριθμο είναι η περίπτωση, όπου το μήκος είναι πρώτος αριθμός Τότε ο αλγόριθμος δεν παρουσιάζει εξοικονόμηση χρόνου σε σχέση με τον αλγόριθμο, που βασίζεται στη χρήση του ορισμού του DFT Στην περίπτωση, που το μήκος δεν είναι δύναμη του ούτε πρώτος αριθμός, υπάρχουν FFTαλγόριθμοι, που είναι ταχείς Ο αλγόριθμος FFT με βάση r(radix-rfft)έχει ως βασική ιδέα τη διάσπαση (αποδεκάτιση) του σήματος, τον DFT σημείων του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, σε r σήματαμήκους / r Ο αλγόριθμος FFT πρώτων παραγόντωνέχει ως βασική ιδέα τη διάσπαση (αποδεκάτιση) του σήματοςχρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση του σε γινόμενο πρώτωναριθμών Χρήσιμη βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Chu&George, 000, Rao, Kim, Hwang, 00, Σκόδρας&Αναστασόπουλος, FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο Θεωρούμε το σήμα διακριτού χρόνου xn ( ) πεπερασμένης διάρκειας όπου άρτιος Η βασική ιδέα του αλγορίθμου FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο(decimationintimefft DITFFT) είναι η διάσπαση του σήματος τον DFT σημείων, του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, σε σήματα με μισό μήκος / το κάθε ένα: το ένα σήμα αποτελείται από τα δείγματα του σήματος με άρτιο (even) δείκτη και το άλλο σήμα αποτελείται από τα δείγματα του σήματος με περιττό (odd) δείκτη Τα δείγματα του σήματος με άρτιο (even) δείκτη είναι /: x ( n) x( n), n 0,,,, (8) και τα δείγματα του σήματος με περιττό (odd) δείκτη είναι επίσης /: x ( n) x( n ), n 0,,,, (8) Στην περίπτωση αυτή, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) σημείων του σήματος xn ( ) είναι: j / W e και γράφεται: Όμως οπότε X ( ) x( n) W, [0, ] n0 / / (n) n0 n0 n0 X ( ) x( n) W x( n) W x(n ) W W e e W j / ( j )/( /) / / (n) x( n) W x( n) W n0 n0 /, 95

10 / / / / (n) / / n0 n0 n0 n0 X ( ) x ( n) W x ( n) W x ( n) W W x ( n) W Άρα, X ( ) X( ) W X ( ), 0,,, όπου / ( ) ( ) / n0 X x n W / ( ) ( ) / n0 X x n W 96 (84) (85) (83) Έτσι, οι πρώτες / τιμές του DFT σημείων του σήματος xn ( ) μπορούν να υπολογιστούν από τους DFT / σημείων των σημάτων και Για τον υπολογισμό των υπόλοιπων / τιμών του DFT σημείων του σήματος xn ( ) χρησιμοποιούνται οι σχέσεις: X X, 0,,, X X, 0,,, οι οποίες ισχύουν επειδή / / / n( /) n / X x ( n) W / x ( n) W / W / x ( n) W / X n0 n0 n0 / / / n( /) n / X x ( n) W / x ( n) W / W / x ( n) W / X n0 n0 n0 επειδή n / n / j /( /) j n / W e e Άρα, X X( ) W X ( ), 0,,, επειδή W W Έτσι καταλήγουμε στις σχέσεις: X ( ) X( ) W X ( ), 0,,, X X( ) W X ( ), 0,,, (86) (87) Η βασική δομή των παραπάνω σχέσεων ονομάζεται πεταλούδα DIT(DITbutterfly) και περιγράφεται από τις σχέσεις: A a W b (88) B a W b (89) Η πεταλούδα DITφαίνεται στο Σχήμα 8 Ο πολλαπλασιασμός με την ποσότητα γίνεται πριντην πρόσθεση/αφαίρεση Για τον υπολογισμό της πεταλούδας απαιτείται ένας μιγαδικός πολλαπλασιασμός και δύο μιγαδικές προσθέσεις Κάθε μιγαδικός πολλαπλασιασμός απαιτεί τέσσερις πραγματικούς πολλαπλασιασμούς και δύο πραγματικές προσθέσειςκάθε μιγαδική πρόσθεση απαιτεί δύο πραγματικές προσθέσεις W

11 Σχήμα 8Η πεταλούδα DIT Έτσι, ο υπολογισμός του DFT σημείων του σήματος xn ( ) μήκους, ανάγεται στον υπολογισμό των DFT / σημείων των σημάτων x ( n) και x ( n ) μήκους / Άρα, συνολικά έχουμε μείωση της πολυπλοκότητας κατά 50% περίπου Θεωρούμε ότι το μήκος του σήματος xn ( ) είναι δύναμη του : m Η διαδικασία διάσπασης του σήματος σε δείγματα με άρτιο και περιττό δείκτη μπορεί να επαναληφθεί Έτσι ο κάθε DFT /σημείων μπορεί να υπολογιστεί με DFT /4 σημείων Η διαδικασία διάσπασης (αποδεκάτισης) επαναλαμβάνεται m log φορές Στο τέλος καταλήγουμε σε υπολογισμό / DFT σημείων Ο κάθε ένας από τους /DFT μπορεί να υπολογιστεί με μία μιγαδική πρόσθεση και μία μιγαδική αφαίρεση Αντιστροφή bit Για την εφαρμογή του αλγορίθμου απαιτείται αναδιάταξη της θέσης των δειγμάτων του αρχικού σήματος, ώστε στην έξοδο να έχουμε το αποτέλεσμα με την επιθυμητή κανονική διάταξη Η διάταξη των δειγμάτων εξόδου (DFT του αρχικού σήματος) είναι κανονική, ενώ η διάταξη των δειγμάτων εισόδου (αρχικό σήμα) δεν είναι κανονική, ως αποτέλεσμα της σταδιακής αποσύνθεσης των δειγμάτων εισόδου Η διάταξη των δειγμάτων εισόδου προκύπτει από την (κανονική) διάταξη των δειγμάτων εξόδου με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων των δεικτών τους (bit-reversal) Αν m, ο μη αρνητικός ακέραιος n με δυαδική αναπαράσταση n b m bb μετατρέπεται με αντιστροφή bit στο μη αρνητικό ακέραιο με δυαδική αναπαράσταση n bb b m και το δείγμα εισόδου αρχικής θέσης n αποθηκεύεται στη νέα θέση n Στον Πίνακα 8 φαίνεται η αντιστοίχιση των κανονικών και των αναδιατεταγμένων δεικτών για 8 Οι έξοδοι, που προκύπτουν σε κάθε βήμα, μπορούν να αποθηκευτούν στις ίδιες θέσεις, όπου είναι αποθηκευμένες οι είσοδοι, γιατί οι είσοδοι δεν χρειάζονται στο επόμενο βήμα αναδιάταξη κανονική διάταξη με αντιστροφή της σειράς των bit δεκαδικός δυαδικός δυαδικός δεκαδικός Πίνακας 8Αναδιάταξη δεικτών με αντιστροφή bit Παράδειγμα Δίνεται το σήμα: 0 n 0 97

12 x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) Να υπολογίσετε τον DFT 4 σημείων του σήματος xn ( ) με τον αλγόριθμο FFTμε αποδεκάτιση στον χρόνο (DITFFT) Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) 4 σημείων του σήματος xn ( ) είναι: 3 X ( ) x( n) W, [0,3] n0 4 j /4 j / W4 e e cos j sin cos j sin 0 j j Το διάγραμμα ροής DITFFT 4 σημείων φαίνεται στο Σχήμα 8 Αξίζει να σημειωθεί η αναδιάταξη στα δείγματα εισόδου, ώστε η διάταξη των δειγμάτων εξόδου να είναι κανονική Σχήμα 8Διάγραμμα ροής DITFFT 4 σημείων Ο υπολογισμός DFT 4 σημείων με DITFFTφαίνεται παρακάτω: x(0) X(0) W 0 4 W 0 4 x() 3 3 ( j) ( ) j X () x() X () W 0 4 W4 j 98

13 x(3) 4 4 ( j) ( ) j X(3) Υπολογισμός DFT με DITFFT Ο DFT 4 σημείων του σήματος xn ( ) είναι: 0, 0 j, X( ), j, 3 83 FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα Θεωρούμε το σήμα διακριτού χρόνου xn ( ) πεπερασμένης διάρκειας, όπου άρτιος Η βασική ιδέα του αλγορίθμου FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα(decimationinfrequencyfft DIFFFT) είναι η διάσπαση του σήματος τον DFT σημείων, του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, σε σήματα με μισό μήκος /το κάθε ένα: το ένα σήμα αποτελείται από τα πρώτα / δείγματα του σήματος και το δεύτερο σήμα αποτελείται από τα επόμενα / δείγματα του σήματος: x ( n) x( n), n 0,,,, (80) ( ), 0,,,, x n xn n (8) Στην περίπτωση αυτή, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) σημείων του σήματος xn ( ) είναι: X ( ) x( n) W,0 n0 j / W e και γράφεται: / n0 n0 n/ X ( ) x( n) W x( n) W x( n) W / x ( n) W x ( n) W n0 / Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι: j, ά e, ό κάνουμε διάσπαση της ακολουθίας X ( ) σε δύο ακολουθίες, η μία αποτελείται από τα δείγματα της ακολουθίας X ( ) με άρτιο (even) δείκτη και η άλλη αποτελείται από τα δείγματα της ακολουθίας X ( ) με περιττό (odd) δείκτη: / n0 X ( ) x ( n) x ( n) W / n0 / X ( ) x ( n) x ( n) W W n / Θέτοντας x ( n) x( n) x( n), n 0,,,, n x ( n) x( n) x( n) W, n 0,,,, έχουμε: (8) (83) (84) (85) 99

14 / X ( ) x ( n) W n0 / n0 / X ( ) x ( n) W / και X ( ) X ( ), 0,,,, X ( ) X ( ), 0,,,, Έτσι, καταλήγουμε στις σχέσεις: X ( ) X( ) X ( ), 0,,,, n X ( ) X( ) X ( ) W, 0,,,, (86) (87) Η βασική δομή των παραπάνω σχέσεων ονομάζεται πεταλούδα DIF(DIFbutterfly) και περιγράφεται από τις σχέσεις: A a b (88) B ( a b) W (89) Η πεταλούδα DIFφαίνεται στο Σχήμα 83 Ο πολλαπλασιασμός με την ποσότητα γίνεται μετάτην πρόσθεση/αφαίρεση Για τον υπολογισμό της πεταλούδας απαιτείται ένας μιγαδικός πολλαπλασιασμός και δύο μιγαδικές προσθέσεις Κάθε μιγαδικός πολλαπλασιασμός απαιτεί τέσσερις πραγματικούς πολλαπλασιασμούς και δύο πραγματικές προσθέσειςκάθε μιγαδική πρόσθεση απαιτεί δύο πραγματικές προσθέσεις W Σχήμα 83Η πεταλούδα DIF Έτσι, ο υπολογισμός του DFT του σήματος xn ( ) μήκους, ανάγεται στον υπολογισμό των DFT των σημάτων x ( n) και x ( n) μήκους / Άρα, συνολικά έχουμε μείωση της πολυπλοκότητας κατά 50% περίπου Θεωρούμε ότι το μήκος του σήματος xn ( ) είναι δύναμη του : m Η διαδικασία διάσπασης του σήματος σε δείγματα με άρτιο και περιττό δείκτη μπορεί να επαναληφθεί Έτσι ο κάθε DFT / σημείων μπορεί να υπολογιστεί με DFT /4 σημείων Η διαδικασία διάσπασης (αποδεκάτισης) επαναλαμβάνεται m log φορές Στο τέλος καταλήγουμε σε υπολογισμό /DFT σημείων Ο κάθε ένας από τους /DFT μπορεί να υπολογιστεί με μία μιγαδική πρόσθεση και μία μιγαδική αφαίρεση Αντιστροφή bit Για την εφαρμογή του αλγορίθμου απαιτείται αναδιάταξη της θέσης των δειγμάτων εξόδου, ώστε στην έξοδο να έχουμε το αποτέλεσμα με την επιθυμητή κανονική διάταξη 300

15 Η διάταξη των δειγμάτων εισόδου (αρχικό σήμα) είναι κανονική, ενώ η διάταξη των δειγμάτων εξόδου (DFT του αρχικού σήματος) δεν είναι κανονική Η διάταξη των δειγμάτων εξόδου προκύπτει από την (κανονική) διάταξη των δειγμάτων εισόδου με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων των δεικτών τους (bitreversal) Οι έξοδοι, που προκύπτουν σε κάθε βήμα, μπορούν να αποθηκευτούν στις ίδιες θέσεις, όπου είναι αποθηκευμένες οι είσοδοι, γιατί οι είσοδοι δεν χρειάζονται στο επόμενο βήμα Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα είναι ίση με την πολυπλοκότητα του αλγορίθμου FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο Παράδειγμα Δίνεται το σήμα: x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) Να υπολογίσετε τον DFT 4 σημείων του σήματος xn ( ) με τον αλγόριθμο FFTμε αποδεκάτιση στη συχνότητα (DIFFFT) Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) 4 σημείων του σήματος xn ( ) είναι: 3 X ( ) x( n) W, [0,3] n0 4 j /4 j / W4 e e cos j sin cos j sin 0 j j Το διάγραμμα ροής DIFFFT 4 σημείων φαίνεται στο Σχήμα 84 Αξίζει να σημειωθεί η αναδιάταξη στα δείγματα εξόδου, ώστε η διάταξη των δειγμάτων εξόδου να είναι κανονική Σχήμα 84Διάγραμμα ροής DIFFFT 4 σημείων Ο υπολογισμός DFT 4 σημείων με DIFFFTφαίνεται παρακάτω: 30

16 x(0) X (0) 0 4 x(3) 4 ( 4) ( j) j ( ( j)) j X(3) Υπολογισμός DFT με DITFFT Ο DFT 4 σημείων του σήματος xn ( ) είναι: 0, 0 j, X( ), j, 3 W Οι αλγόριθμοι FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο και FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα είναι ιδιαίτερα ταχείς σε σχέση με τον DFT Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) m σημείων ενός σήματος με χρήση του ορισμού απαιτούνται μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και ( ) μιγαδικές προσθέσεις Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) m σημείων ενός σήματος με χρήση FFT απαιτούνται log μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και log μιγαδικές προσθέσεις Στον Πίνακα 83 παρουσιάζεται η πολυπλοκότητα των αλγορίθμων DFT και FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο / στη συχνότητα Αξίζει να σημειωθεί ότι όσο αυξάνει ο αριθμός, τόσο ταχύτερος γίνεται ο αλγόριθμος FFT σε σχέση με τον DFT DFT FFT μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί μιγαδικές προσθέσεις μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί μιγαδικές προσθέσεις ( ) log log Πίνακας 83Πολυπλοκότητα DFT και FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο / στη συχνότητα 84 FFT με βάση r m Θεωρούμε το σήμα διακριτού χρόνου xn ( ) πεπερασμένης διάρκειας, όπου r Η βασική ιδέα του αλγορίθμου FFT με βάση r(radix-rfft)είναι η διάσπαση (αποδεκάτιση) του σήματος, τον DFT σημείων, m του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, σε r σήματαμήκους / r r : x ( n) x( r n) x ( n) x( r n ) x ( n) x( r n ) 3 W x() 4 6 (46) X() x() 3 ( 3) ( j) j X() W4 j W 0 4

17 xr ( n) x( r n r ) n 0,,,, / r Τότε ( i) X W X ( ) i r ( i) ( i) X Wr W X i ( ) r i r ( i) ( i) X Wr W X i ( ) r i r ( i) ( i) X ( r ) Wr W X i ( ) (830) r i 0,,, / r Έτσι ο υπολογισμός του DFT σημείων του σήματος xn ( ) μήκους, ανάγεται στον υπολογισμό r DFT / r σημείων Ο αλγόριθμος DITFFTείναι ειδική περίπτωση του αλγορίθμουfftμε βάση r, όταν η βάση είναι r Έτσι ο DITFFTαλγόριθμος ονομάζεται και αλγόριθμος FFTμε βάση (radix- FFT) Η πολυπλοκότητα τουfftμε βάση r είναι της τάξης O log r 85 FFT πρώτων παραγόντων Θεωρούμε το σήμα διακριτού χρόνου xn ( ) πεπερασμένης διάρκειας p p pm, όπου p, p,, pm είναι πρώτοιαριθμοί Η βασική ιδέα του αλγορίθμου FFT πρώτων παραγόντωνείναι η διάσπαση του σήματος,τον DFT σημείων, του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση του σε γινόμενο πρώτωναριθμών, δηλαδή, η αποδεκάτιση του σήματος xn ( ) σε p / σήματα μήκους p p p : x3( n) x( p n ) x ( n) x( p n p ) n0,,,, Τότε r x ( n) x( p n) 3 m x ( n) x( p n ) p p X W X ( ) i ( i) i i (83) 0,,, Η διαδικασία επαναλαμβάνεται με p και p3 p4 Η διαδικασία επαναλαμβάνεται pm m m Η πολυπλοκότητα τουfftπρώτων παραγόντωνείναι της τάξης O pi m i Στην περίπτωση όπου p p p m (οπότε η βάση είναι r ), η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου FFT πρώτων παραγόντων είναι της τάξης O log φορές m Ο αλγόριθμος FFT πρώτων παραγόντων απαιτεί pi m (μιγαδικούς) πολλαπλασιασμούς i 303

18 Επομένως, η πολυπλοκότητα του FFT πρώτων παραγόντων εξαρτάται από την τιμή του και από την παραγοντοποίηση του Έτσι, όταν είναι δύναμη του, τότε ο εκτελέσιμος χρόνος είναι πολύ μικρός, ενώ όταν είναι πρώτος αριθμός, τότε ο εκτελέσιμος χρόνος είναι πολύ μεγάλος 8 Μπορείτε να διερευνήσετε το γρήγορο μετασχηματισμό Fourier (FFT)με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα 8Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FFT) Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 86 Απόκριση συχνότητας FIR φίλτρων και FFT Μία εφαρμογή του FFTείναι ο υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας ενός FIRφίλτρου με χρήση FFT Θεωρούμε ένα σήμα x( n), n[0: L ] πεπερασμένου μήκους Τότε ο DFT σημείων του σήματος είναι: (83) όπου j / W e (833) Όταν L, τότε το σήμα συμπληρώνεται με L μηδενικά στο τέλος (zeropadding) Είναι γνωστό ότι η κρουστική απόκριση ενός FIR φίλτρου είναι ένα σήμα πεπερασμένου μήκους L : h( n), n[0: L ] Επίσης j είναι γνωστό ότι η απόκριση συχνότητας του FIR φίλτρου είναι ο DTFT H e της κρουστικής απόκρισης : L X ( ) x( n) W, [0: ] hn ( ) n0 L j H e h( n) e n0 (834) j Ο DTFT H e της κρουστικής απόκρισης hn ( ) μπορεί να υπολογιστεί από τον DFT σημείων (FFT σημείων) της κρουστικής απόκρισης με συμπλήρωση μηδενικών στο τέλος, σε ισαπέχουσες συχνότητες σε κάποιο διάστημα συχνοτήτων μήκους, όπως για παράδειγμα στο διάστημα [0, ]: Η χρήση αρκετά μεγάλης τιμής του jn L j / j( / ) n H e H ( ) h( n) e, [0: ] n0 (835) οδηγεί σε πολύ ικανοποιητικό υπολογισμό της απόκρισης συχνότητας Παράδειγμα Δίνεται η κρουστική απόκριση του FIRφίλτρου Hann (ονομασία από τον J vonhann) h( n) cos n, n[0: L ] L Στο Σχήμα 85 φαίνεται η κρουστική απόκριση του φίλτρου Hann με μήκος L 304

19 h(n) time n Σχήμα 85Κρουστική απόκριση φίλτρου Hann Η απόκριση συχνότητας του FIRφίλτρου Hann μπορεί να υπολογιστεί με χρήσηfft Στο Σχήμα 86 φαίνεται το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του φίλτρου Hann και το μέτρο της απόκρισης συχνότητας, ο 0 0 υπολογισμός της οποίας έγινε με χρήση FFT σημείων της κρουστικής απόκρισης, σε ισαπέχουσες συχνότητες στο διάστημα [, ] 305

20 0 8 magnitude frequency Σχήμα 86Απόκριση συχνότητας φίλτρου Hann 87 Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σε προγραμματιστικό περιβάλλον Η συνάρτηση [X]=fft(x,) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ευθέως διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) με αλγόριθμους γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FFT) Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο το διάνυσμα x με τις τιμές ενός σήματος διακριτού χρόνου και την παράμετρο με το πλήθος των σημείων τουδιακριτού μετασχηματισμού Fourier Η συνάρτηση συμπληρώνει αυτόματα το σήμα με μηδενικά, αν απαιτείται Η συνάρτηση παράγει στην έξοδο το διάνυσμα X με το διακριτό μετασχηματισμό Fourier σημείων Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων του σήματος x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) απαιτείται η κλήση: x=[ 3 4]; =4; [X]=fft(x,) Το αποτέλεσμα είναι: X = i i Η συνάρτηση x=ifft(x,) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο το διάνυσμα X με τις τιμές ενός σήματος διακριτού χρόνου και την παράμετρο με το πλήθος των σημείων τουαντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier Η συνάρτηση παράγει στην έξοδο το διάνυσμα x με τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier σημείων Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του αντίστροφου 0, 0 j, μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων του σήματος X( ), j, 3 απαιτείται η κλήση: X=[0 -+i - --i]; =4; [x]=ifft(x,) Το αποτέλεσμα είναι: x =

21 83 Λυμένες Ασκήσεις Να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 0 σημείων του σήματος x( n) u( n) u( n ) Λύση Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier σημείων του σήματος x( n) u( n) u( n ) είναι: X ( ) x( n) W, [0: ], n0 j / W e Επομένως, j /0 W0 e Δηλαδή, j3 /5 e X ( ), [0:9] j /5 e Να υπολογίσετε τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier σημείων του σήματος X ( ) Λύση Ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier σημείων του σήματος X ( ) είναι: x( n) X ( ) W, n[0: ], j / W e Επομένως, n0 x( n) X ( ) W ( ) W (0) W, n[0: ] 3 Δίνεται η γραμμική συνέλιξη x ( n) των σημάτων πεπερασμένου μήκους x ( n) και x ( n) : x ( n) x ( n) x ( n) ( n) 0 ( n ) 0 ( n ) 30 ( n 3) 40 ( n 4) W n X ( ) x( n) W u( n) u( n ) W0 W0 W0, [0 :9] W n0 n0 n0 n Να υπολογίσετε την κυκλική συνέλιξη 3 σημείων xc ( n) x( n) # x( n) των σημάτων και Λύση Η γραμμική συνέλιξη x ( n) x ( n) x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 5 και η κυκλική συνέλιξη 3 σημείων xc ( n) x( n) # x( n) είναι πεπερασμένου μήκους c 3 Επομένως, αφού c, ισχύει: xc ( n) x ( n) x ( n c ), n[0 : c ] Άρα, η κυκλική συνέλιξη 3 σημείων προκύπτει από το άθροισμα της γραμμικής συνέλιξης και της μετατόπισης της γραμμικής συνέλιξης κατά c 3 προς τα αριστερά για n[0: ], όπως φαίνεται παρακάτω: n x ( n) x ( n3) x ( n) x ( n) x ( n ) c c

22 Άρα, x ( n) x ( n) # x ( n) 3 ( n) 50 ( n ) 0 ( n ) c 4 Να υπολογίσετε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier 4 σημείων του σήματος x( n) ( n) 0 ( n 3) Λύση Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier σημείων του σήματος x( n) ( n) 0 ( n 3) είναι: X ( ) x( n) W, [0: ], n0 W e Για 4 j / j /4 j / W4 e e cos j sin cos j sin 0 j j, οπότε 3 n0 n0 X ( ) x( n) W ( n) 0 ( n 3) W W4 0W4 0 ( j), [0:3] Επομένως, 3 X ( ) 0 ( j), [0:3] Δηλαδή, 30 X(0) 0 ( j) X () 0 ( j) 0 ( j) 0 j X j j 3 6 () 0 ( ) 0 ( ) X (3) 0 ( j) 0 ( j) 0 j Άρα,, 0 0 j, X( ) 9, 0 j, 3 5 Να κατασκευάσετε το διάγραμμα ροής DIT FFT 8 σημείων Λύση Το διάγραμμα ροής DIT FFT 8 σημείων φαίνεται στο Σχήμα

23 Σχήμα 87Διάγραμμα ροής DITFFT 8 σημείων 6 Να κατασκευάσετε το διάγραμμα ροής DIF FFT 8 σημείων Λύση Το διάγραμμα ροής DIF FFT 8 σημείων φαίνεται στο Σχήμα

24 84 Ασκήσεις Σχήμα 88Διάγραμμα ροής DIFFFT 8 σημείων Να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 0 σημείων των σημάτων: x ( n ), n [0 :9] x ( n) ( n) ( n ) x n e n ( ) j n/5, [0:9] 3 x ( n) u( n) u( n 5) 4 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier 0 σημείων των ακολουθιών: X ( ), n [0 :9] 30

25 X ( ) cos( / 5) 3 Να υπολογίσετε την κυκλική συνέλιξη 4 σημείων x( n) x( n) # x( n) των σημάτων: x ( n ) 3 ( n ) ( n ) ( n ) x ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n 3) 4 Δίνεται το σήμα x( n) ( n) ( n ) 3 ( n 3) με DFT 5 σημείων X ( ) Να υπολογίσετε τον IDFT της ακολουθίας Y( ) X ( ) 5 Δίνεται το σήμα x( n) ( n) 3 ( n 3) Να υπολογίσετε τον FFT 4 σημείων του σήματος xn ( ) α με χρήση του αλγορίθμου FFTμε αποδεκάτισηστον χρόνο, β με χρήση του αλγορίθμου FFTμε αποδεκάτισηστη συχνότητα 85 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 3 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier Υπολογισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Δίνεται το σήμα xn ( ) πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να γράψετε πρόγραμμα για την παραγωγή του σήματος xn ( ) και για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων xn ( ) και X ( ) Γραμμικότητα Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της γραμμικότητας του διακριτού μετασχηματισμού Fourier Να παράγετε τα σήματα x ( n) και x ( n) πεπερασμένου μήκους 4 : x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) x ( n ) 9 ( n ) 8 ( n ) 7 ( n ) 6 ( n 3) Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( n) x( n) 3 x( n) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 4 σημείων X ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να υπολογίσετε τους διακριτούς μετασχηματισμούς Fourier 4 σημείων X ( ) και X ( ) και να υπολογίσετε την ποσότητα Y( ) X( ) 3 X ( ) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων X ( ) και Y ( ) και να διαπιστώσετε ότι είναι ίσα 3 Κυκλική μετατόπιση Δίνεται το σήμα xn ( ) πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalcirshift να γράψετε πρόγραμμα για την παραγωγή του σήματος xn ( ) και για την εκτέλεση των κυκλικών μετατοπίσεων x ( n), x ( n), x ( n) και x ( n ) του σήματος xn ( ) 3 4 κατά,, 3 και 4, αντίστοιχα Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων 4 Ιδιότητα κυκλικής μετατόπισης διακριτού μετασχηματισμού Fourier 3

26 Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της κυκλικής μετατόπισης του διακριτού μετασχηματισμού Fourier Να παράγετε το σήμα xn ( ) πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalcirshift να παράγετε την κυκλική μετατόπιση yn () του σήματος xn ( ) κατά Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 4 σημείων Y ( ) 0 Να υπολογίσετε την ποσότητα Z( ) W X ( ) για n0 Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων xn ( ) και yn () Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων Y ( ) και Z ( ) και να διαπιστώσετε ότι είναι ίσα 5 Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης σημείων Δίνονται τα σήματα πεπερασμένου μήκους: x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) x ( n ) 4( n ) 5 ( n ) 6 ( n ) 7 ( n 3) Να παράγετε τα σήματα x ( n) και x ( n) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalcirconv να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης 4 σημείων xn ( ) των σημάτων x ( n) και x ( n) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων x ( n), x ( n ) και xn ( ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση cconv Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση cconv να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης 4 σημείων xn ( ) των σημάτων x ( n) και x ( n) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων x ( n), x ( n ) και xn ( ) 6 Κυκλική συνέλιξη σημείων και κυκλική συνέλιξη M σημείων όπου M Δίνονται τα σήματα πεπερασμένου μήκους: x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) x ( n ) 4( n ) 5 ( n ) 6 ( n ) 7 ( n 3) Να παράγετε τα σήματα x ( n) και x ( n) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalcirconv να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό της κυκλικής συνέλιξης 5 σημείων x ( n) 5 και της κυκλικής συνέλιξης 6 σημείων x ( n) 6 των σημάτων x ( n) και x ( n) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων x ( n) και x ( n) 5 6 και να επιβεβαιώσετε ότι η κυκλική συνέλιξη 5 σημείων και η κυκλική συνέλιξη 6 σημείων δεν είναι ίσες μεταξύ τους 7 Γραμμική συνέλιξη ίση με κυκλική συνέλιξη Δίνονται τα σήματα πεπερασμένου μήκους: x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) x ( n ) 5( n ) 6 ( n ) 7 ( n ) 8 ( n 3) Το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 4 και το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 4 Η γραμμική συνέλιξη y ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 7 και η κυκλική συνέλιξη 7 σημείων yc ( n) είναι πεπερασμένου μήκους c 7 Στην περίπτωση αυτή η γραμμική συνέλιξη και η κυκλική συνέλιξη 7 σημείων είναι ίσες μεταξύ τους: y ( n) y ( n) c γιατί ισχύει η σχέση: 3

27 c, αφού 7 c Να παράγετε τα σήματα x ( n) και x ( n) Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις conv και signalcirconv να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό της γραμμικής συνέλιξης y ( n ) και της κυκλικής συνέλιξης 7 σημείων y ( n) των σημάτων x ( n) και x ( n) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων y ( n ) και yc ( n) και να επιβεβαιώσετε ότι η γραμμική συνέλιξη και η κυκλική συνέλιξη 7 σημείων είναι ίσες μεταξύ τους 8 Σχέση γραμμικής συνέλιξης και κυκλικής συνέλιξης Δίνονται τα σήματα πεπερασμένου μήκους: x ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) x ( n ) 5( n ) 6 ( n ) 7 ( n ) 8 ( n 3) Το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 4 και το σήμα x ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 4 Η γραμμική συνέλιξη y ( n) είναι πεπερασμένου μήκους 7 και η κυκλική συνέλιξη 4 σημείων yc ( n) είναι πεπερασμένου μήκους c 4 Στην περίπτωση αυτή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη συνδέονται με την ακόλουθη σχέση: yc ( n) y ( n) y ( n c ), n[0: c ] γιατί ισχύει η σχέση: c, αφού c 4 7 Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της παραπάνω σχέσης μεταξύ της γραμμικής συνέλιξης και της κυκλικής συνέλιξης Να παράγετε τα σήματα x ( n) και x ( n ) Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις conv και signalcirconv να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό της γραμμικής συνέλιξης y ( n) και της κυκλικής συνέλιξης 4 σημείων y ( n) των σημάτων x ( n) και x ( n) Να υπολογίσετε το σήμα c y ( n 4) Να υπολογίσετε το άθροισμα y ( n) y ( n c ) Να σχεδιάσετε τα σήματα y ( n ), y ( n 4), y ( n) y ( n c ) και yc ( n ) Να επιβεβαιώσετε ότι ισχύει η σχέση yc( n) y ( n) y ( n c), n[0 :3] c 9 Διακριτός και γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σήματος μικρού μήκους Να γράψετε πρόγραμμα για να επιβεβαιώσετε ότι οι διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σήματος μικρού μήκους είναι ίσοι Να μελετήσετε τη συνάρτηση fft Δίνεται το σήμα πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) ( n) ( n 3) Να παράγετε το σήμα xn ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fft να υπολογίσετε το γρήγορο μετασχηματισμό Fourier 4 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 4 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων xn ( ), X ( ) και X ( ) και να επιβεβαιώσετε ότι οι συναρτήσεις fft και signaldft παράγουν το ίδιο αποτέλεσμα 0 Υπολογισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) με FFT Δίνεται το σήμα xn ( ) πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) n, n[0:5] Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fft να γράψετε πρόγραμμα για την παραγωγή του σήματος xn ( ) τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων xn ( ) και X ( ) και για Υπολογισμός αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) με IFFT 33

28 Να μελετήσετε τη συνάρτηση fft και τη συνάρτηση ifft Δίνεται το σήμα xn ( ) πεπερασμένου μήκους 4 : x( n) n, n[0:5] Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fft να γράψετε πρόγραμμα για την παραγωγή του σήματος xn ( ) και για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ifft να γράψετε πρόγραμμα για τον υπολογισμό του αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier 4 σημείων yn () του σήματος X ( ) Να εμφανίσετε τις τιμές των σημάτων xn ( ) και yn () και να διαπιστώσετε ότι είναι ίσα Απόκριση συχνότητας FIR φίλτρου με χρήση FFT Να υπολογίσετε με χρήση FFT για και να σχεδιάσετε το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του FIR φίλτρου με κρουστική απόκριση h( n), n[0: M] 3 Διακριτός και γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σήματος μεγάλου μήκους Να γράψετε πρόγραμμα για να επιβεβαιώσετε ότι οι διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σήματος μεγάλου μήκους είναι ίσοι Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση rand να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου xn ( ) 00 σημείων Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fft να υπολογίσετε το γρήγορο μετασχηματισμό Fourier 00 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signaldft να υπολογίσετε το διακριτό μετασχηματισμό Fourier 00 σημείων X ( ) του σήματος xn ( ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς X ( ) X ( ) και να εμφανίσετε το αποτέλεσμα Ενδεικτικό αποτέλεσμα: 30 4 Υπολογισμός εκτελέσιμου χρόνου του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier Να γράψετε πρόγραμμα για να υπολογίσετε τον εκτελέσιμο χρόνο του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση rand να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x ( n) 600 σημείων Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις cloc, fft και etime να υπολογίσετε τον εκτελέσιμο χρόνο t του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier 600 σημείων X ( ) του σήματος x ( n) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση rand να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x ( n) 67 σημείων Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις cloc, fft και etime να υπολογίσετε τον εκτελέσιμο χρόνο t του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier 67 σημείων X ( ) του σήματος x ( n) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση rand να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x ( n) σημείων Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις cloc, fft και etime να υπολογίσετε τον εκτελέσιμο χρόνο t 3 του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier 6384 σημείων X ( ) 3 του σήματος x ( n) 3 Να εμφανίσετε τους εκτελέσιμους χρόνους t, t και t 3 Να παρατηρήσετε ότι: t t t3 επειδή - ο αριθμός 600 είναι πρώτος αριθμός, - ο αριθμός 67 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: 0357, 4 - ο αριθμός 6384 είναι δύναμη του : Εκτελέσιμος χρόνος του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier Να γράψετε πρόγραμμα για να υπολογίσετε τον εκτελέσιμο χρόνο του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier Να μελετήσετε τις συναρτήσεις cloc και etime 34

29 0 Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση rand να παράγετε σήματα διακριτού χρόνου σημείων όπου [: ] Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις cloc, fft και etime να υπολογίσετε τους εκτελέσιμους χρόνους των γρήγορων μετασχηματισμών Fourier των σημάτων Να σχεδιάσετε εκτελέσιμους χρόνους (σε sec) των γρήγορων μετασχηματισμών Fourier των σημάτων 6 Απόκριση συχνότητας FIR φίλτρων μέσω FFT Δίνεται η κρουστική απόκριση του FIR φίλτρου Hann (ονομασία από τον J VonHann) h( n) cos n, n[0: L ] L και η κρουστική απόκριση του FIR φίλτρου Hamming (ονομασία από τον R Hamming) h( n) cos n, n[0: L ] L Να σχεδιάσετε τις κρουστικές αποκρίσεις των φίλτρων για L 0 Να υπολογίσετε τις αποκρίσεις συχνότητας των φίλτρων με χρήση FFT σημείων και να σχεδιάσετε το μέτρο των αποκρίσεων συχνότητας για L και L 3 Τι παρατηρείτε; 35

30 86 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 8 με τον Ήχο 8 Ήχος 8Περίληψη Κεφαλαίου 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier(DFT)προκύπτει από τον μετασχηματισμό Fourierδιακριτού χρόνου (DTFT)για τις ισαπέχουσες συχνότητες ( / ), [0: ] Η κυκλική συνέλιξη μπορεί να υπολογιστεί από τη γραμμική συνέλιξη Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμούfourier (DFT) σημείων ενός σήματος με χρήση του ορισμού απαιτούνται μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και ( ) μιγαδικές προσθέσεις Η πολυπλοκότητα του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DiscreteFourierTransform DFT) είναι της τάξης O Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FastFourierTransform FFT) ονομάζεται το σύνολο των αλγορίθμων για τον γρήγορο υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DiscreteFourierTransform DFT) ΟκλασσικόςαλγόριθμοςFFTείναιοαλγόριθμοςFFT με βάση (radix- FFT), ο οποίοςβασίζεταιστηντεχνική «διαίρεικαιβασίλευε» (divideandconquer) Η βασική ιδέα του αλγορίθμου radix- FFTείναι η διάσπαση του σήματος, του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε, τον DFT σημείων, σε σήματα με μισό μήκος /το κάθε ένα Η διάσπαση επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουμε στον (απλό) υπολογισμό DFT σημείων Η διάσπαση μπορεί να γίνει τόσο στο πεδίο του χρόνου και ονομάζεται αποδεκάτιση στον χρόνο (DecimationInTime DIT), οπότε προκύπτει ο αλγόριθμος FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο (DecimationInTimeFFT DITFFT),όσοκαι στο πεδίο των συχνοτήτων και ονομάζεται αποδεκάτιση στη συχνότητα (DecimationInFrequency DIF), οπότε προκύπτει ο αλγόριθμος FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα (DecimationInFrequencyFFT DIFFFT)Για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμούfourier (DFT) σημείων ενός σήματος με χρήση FFTαπαιτούνται log μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και log μιγαδικές προσθέσεις Επομένως, η πολυπλοκότητα τουγρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FastFourierTransform FFT) είναι της τάξης O log Στον αλγόριθμο DITFFT η διάταξη των δειγμάτων εξόδου (DFT του αρχικού σήματος) είναι κανονική, ενώ η διάταξη των δειγμάτων εισόδου (αρχικό σήμα) δεν είναι κανονική, ως αποτέλεσμα της σταδιακής αποσύνθεσης των δειγμάτων εισόδου Η διάταξη των δειγμάτων εισόδου προκύπτει από την (κανονική) διάταξη των δειγμάτων εξόδου με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων των δεικτών τους (bitreversal) Στον αλγόριθμο DIFFFT η διάταξη των δειγμάτων εισόδου (αρχικό σήμα) είναι κανονική, ενώ η διάταξη των δειγμάτων εξόδου (DFT του αρχικού σήματος) δεν είναι κανονική Η διάταξη των δειγμάτων εξόδου προκύπτει από την (κανονική) διάταξη των δειγμάτων εισόδου με αντιστροφή της σειράς των δυαδικών ψηφίων των δεικτών τους (bit-reversal) 36

31 Βιβλιογραφία/Αναφορές Chu, E, &George, A (000) Inside the FFT Blac Box: Serial and Parallel Fast Fourier Transform Algorithms CRC Press LLC Cooley, J W, & Tuey, JW (965) An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series Mathematics of Computation, 9, Eaton, J W, Bateman, D, Hauberg, S, Wehbring R (0) GU Octave (3rd ed) Gentleman, W M, & and Sande, G (996) Fast Fourier transforms for fun and profit Proceedings of Fall Joint Computer Conference, (pp ) Hansen J S (0) GU Octave Beginner's Guide Pact Publishing Ingle, V K, & Proais, J G (003) Digital Signal Processing using MATLAB Stamford, CT: Thomson Broos Cole Leis, J W (0) Digital Signal Processing using MATLAB for students and researchers J Wiley and Sons Rao, K R, Kim, D, Hwang, J J (00)Fast Fourier Transform Algorithms and Applications Springer Science+Business Media BV The MathWors Inc (005) Signal Processing Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (008) ΨηφιακήΕπεξεργασίαΣημάτων Gutenberg Σκόδρας, Α, &Αναστασόπουλος, Β (003)Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ 37

32 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 83 Διαδραστικό πρόγραμμα 83Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 84 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 84Κριτήριο αξιολόγησης 38