Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

2 Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτή θα ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα του μη-στατιστικού ελέγχου υποθέσεων.

3 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Μια ποινική δίκη αποτελεί ένα παράδειγμα ελέγχου υποθέσεων εκτός του πεδίου της στατιστικής. Σε μια δίκη οι ένορκοι πρέπει να αποφασίσουν μεταξύ δύο υποθέσεων. Η μηδενική υπόθεση είναι H 0 : Ο κατηγορούμενος είναι αθώος Η εναλλακτική υπόθεση ή υπόθεση έρευνας είναι H 1 : Ο κατηγορούμενος είναι ένοχος Οι ένορκοι δεν γνωρίζουν ποια από τις δύο υποθέσεις είναι σωστή. Αυτοί πρέπει να αποφασίσουν με βάση τα στοιχεία που παρουσιάζονται στο δικαστήριο.

4 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στη γλώσσα της στατιστικής, η καταδίκη του κατηγορούμενου ονομάζεται απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Δηλαδή, οι ένορκοι λένε ότι υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την ενοχή του κατηγορούμενου (δηλαδή, υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση).

5 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Η αθωωτική απόφαση των ενόρκων ισοδυναμεί με το ότι δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση. Σημειώστε ότι οι ένορκοι δεν λένε ότι ο κατηγορούμενος είναι αθώος, απλώς ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση. Αυτός είναι ο λόγος που ποτέ δεν λέμε ότι αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση.

6 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Υπάρχουν δύο πιθανοί τύποι σφάλματος. Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθινή μηδενική υπόθεση. Δηλαδή, ένα σφάλμα Τύπου Ι συμβαίνει όταν οι ένορκοι καταδικάζουν έναν αθώο. Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση. Συμβαίνει όταν ένας ένοχος αθωώνεται.

7 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Η πιθανότητα του σφάλματος Τύπου Ι συμβολίζεται με α (το ελληνικό γράμμα άλφα). Η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ συμβολίζεται με β (το ελληνικό γράμμα βήτα). Αυτές οι δύο πιθανότητες έχουν αντίστροφη συσχέτιση, που σημαίνει ότι ο περιορισμός της μιας έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της άλλης.

8 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στο δικαστικό μας σύστημα, τα σφάλματα Τύπου Ι θεωρούνται πολύ πιο σοβαρά. Προσπαθούμε να αποφύγουμε την καταδίκη αθώων ανθρώπων. Είμαστε περισσότερο πρόθυμοι να αθωώσουμε ένοχους ανθρώπους. Φροντίζουμε να περιορίσουμε το α απαιτώντας από την κατηγορούσα αρχή να αποδείξει την ενοχή και δίνοντας οδηγίες στους ενόρκους να κηρύξουν κάποιον ένοχο μόνο εάν υπάρχουν «αποδείξεις πέραν πάσης λογικής αμφιβολίας».

9 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Οι βασικές έννοιες είναι οι εξής: 1. Υπάρχουν δύο υποθέσεις, η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική υπόθεση. 2. Η διαδικασία ξεκινά θεωρώντας ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. 3. Στόχος είναι καθοριστεί εάν υπάρχουν επαρκείς αποδείξεις ώστε να συνάγεται ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. 4. Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις: Συνάγεται ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία που υποστηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση. Συνάγεται ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να υποστηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση.

10 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων 5. Μπορούν να προκύψουν δύο πιθανά σφάλματα. Σφάλμα Τύπου Ι: Απόρριψη μιας αληθινής μηδενικής υπόθεσης Σφάλμα Τύπου ΙΙ: Μη απόρριψη μιας ψευδούς μηδενικής υπόθεσης. P(σφάλμα Τύπου Ι) = α P(σφάλμα Τύπου ΙΙ) = β

11 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (1) Υπάρχουν δύο υποθέσεις. Η μία ονομάζεται μηδενική υπόθεση και η άλλη εναλλακτική υπόθεση ή υπόθεση έρευνας. Ο συνήθης συμβολισμός είναι: προφέρεται H «μηδέν» H 0 : «μηδενική» υπόθεση H 1 : «εναλλακτική» υπόθεση ή υπόθεση «έρευνας» Η μηδενική υπόθεση (H 0 ) θα δηλώνει πάντα ότι η παράμετρος ισούται με την τιμή που ορίζεται στην εναλλακτική υπόθεση (H 1 )

12 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Πάρτε και πάλι το Παράδειγμα 10.1 (μέση ζήτηση υπολογιστών κατά το χρόνο συναρμολόγησης). Αντί να υπολογίσει τη μέση ζήτηση, ο διευθυντής λειτουργιών θέλει να ξέρει εάν ο μέσος είναι διαφορετικός των 350 μονάδων. Μπορούμε να αναδιατυπώσουμε αυτό το αίτημα σε έναν έλεγχο υπόθεσης: H 0 :µ = 350 Επομένως, η υπόθεση έρευνας γίνεται: H 1 :µ 350 Είναι αυτό που μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε

13 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (2) Η διαδικασία ελέγχου αρχίζει με την παραδοχή ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Επομένως, μέχρι να έχουμε περαιτέρω στατιστικά στοιχεία, θα υποθέσουμε ότι: H 0 : = 350 (υποτίθεται ότι είναι ΑΛΗΘΗΣ)

14 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (3) Ο στόχος της διαδικασίας είναι να καθορίσουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία ώστε να συνάγεται ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. Δηλαδή, υπάρχουν επαρκείς στατιστικές πληροφορίες ώστε να καθοριστεί εάν αυτή η διατύπωση είναι αληθής; H 1 :µ 350 Είναι αυτό που μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε

15 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (4) Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις που μπορούν να ληφθούν: Συμπεραίνεται ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να υποστηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση (και σε άλλη διατύπωση: απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης) Συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση (και σε άλλη διατύπωση: μη απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν λέμε ότι αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση..

16 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Από τη στιγμή που διατυπώνονται η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση, το επόμενο βήμα είναι η επιλογή ενός τυχαίου δείγματος και ο υπολογισμός ενός ελέγχου (στο παράδειγμα αυτό, ο δειγματικός μέσος). Εάν η τιμή του ελέγχου δεν συνάδει με την μηδενική υπόθεση απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και καταλήγουμε ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής.

17 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Για παράδειγμα, εάν προσπαθούμε να αποφασίσουμε εάν ο μέσος δεν ισούται με 350, μια μεγάλη του τιμή του x (ας πούμε, 600) θα παρείχε επαρκή στοιχεία. Εάν το x είναι κοντά στο 350 (ας πούμε, 355) δεν θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτό παρέχει πολλά στοιχεία ώστε να καταλήξουμε ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι διαφορετικός από 350.

18 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (5) Σε κάθε έλεγχο μπορούν να προκύψουν δύο πιθανά σφάλματα: Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθή μηδενική υπόθεση και Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση. Υπάρχουν πιθανότητες που σχετίζονται με κάθε τύπο σφάλματος: P(σφάλμα Τύπου Ι) = α P(σφάλμα Τύπου ΙΙ ) = β Το α ονομάζεται στάθμη σημαντικότητας.

19 Τύποι Σφαλμάτων Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθή μηδενική υπόθεση (δηλαδή, Απόρριψη της H 0 όταν είναι ΑΛΗΘΗΣ) H 0 T F Απόρριψη I Απόρριψη II Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση (δηλαδή, ΔΕΝ απορρίπτουμε την H 0 όταν είναι ΨΕΥΔΗΣ)

20 Παράδειγμα 11.1 Η διευθύντρια ενός πολυκαταστήματος εξετάζει την καθιέρωση ενός νέου συστήματος τιμολόγησης των πελατών. Διαπιστώνει ότι το νέο σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό εάν ο μέσος μηνιαίος λογαριασμός των πελατών είναι πάνω από 170 ευρώ. Επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα 400 πελατών, στο οποίο ο δειγματικός μέσος είναι 178 ευρώ. Η διευθύντρια γνωρίζει ότι οι λογαριασμοί είναι κατά προσέγγιση κανονικής κατανομής με τυπική απόκλιση 65 ευρώ. Μπορεί η διευθύντρια να συμπεράνει από αυτό ότι το νέο σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό;

21 Παράδειγμα 11.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Το σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό εάν ο μέσος λογαριασμός για όλους τους πελάτες είναι μεγαλύτερος από 170 ευρώ. Εκφράζουμε αυτή την πεποίθηση ως υπόθεση έρευνάς μας, δηλαδή: H 1 : µ > 170 (είναι αυτό που θέλουμε να καθορίσουμε) Επομένως, η μηδενική υπόθεσή μας γίνεται: H 0 : µ = 170 (αυτό καθορίζει μια ενιαία τιμή για την παράμετρο που μας ενδιαφέρει)

22 Παράδειγμα 11.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Τι θέλουμε να δείξουμε: H 0 : µ = 170 (θα υποθέσουμε ότι αυτό είναι αληθές) H 1 : µ > 170 Γνωρίζουμε: n = 400, = 178, και σ = 65 Τι κάνουμε στη συνέχεια;

23 Παράδειγμα 11.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Για να ελέγξουμε τις υποθέσεις μας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: Τη μέθοδο της περιοχής απόρριψης (που συνήθως χρησιμοποιείται όταν υπολογίζουμε στατιστικά στοιχεία χειρόγραφα), και Τη μέθοδο της τιμής-p (που γενικώς απαιτεί χρήση υπολογιστή και στατιστικού λογισμικού). Θα τις εξετάσουμε και τις δύο με τη σειρά

24 Παράδειγμα 11.1 Περιοχή Απόρριψης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Φαίνεται λογικό να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης εάν η τιμή του δειγματικού μέσου είναι μεγαλύτερη από 170, δηλαδή εάν >. α = P(σφάλμα Τύπου Ι) = P( απόρριψη της H 0 με δεδομένο ότι η H 0 είναι αληθής) α = P( > )

25 Παράδειγμα 11.1 Απομένει να υπολογίσουμε το το 170. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ και να το συγκρίνουμε με Μπορούμε να το υπολογίσουμε με βάση όποια στάθμη σημαντικότητας θέλουμε

26 Παράδειγμα 11.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Με στάθμη σημαντικότητας 5% (δηλαδή α=0.05), έχουμε Επιλύοντας υπολογίζουμε = Από τη στιγμή που ο μέσος μας (178) είναι μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή που υπολογίσαμε (175.34), απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της H 1, δηλαδή ότι: µ > 170 και ότι είναι οικονομικά αποδοτική η καθιέρωση ενός νέου συστήματος τιμολόγησης.

27 Παράδειγμα 11.1 Η Μεγάλη Εικόνα H 0 : = 170 H 1 : > 170 = =178 Απόρριψη H 0 υπέρ της

28 Τυποποιημένος Έλεγχος Μια ευκολότερη μέθοδος είναι η χρήση του τυποποιημένου ελέγχου: και η σύγκριση με το :(περιοχή απόρριψης: z > ) Αφού z = 2.46 > (z 0.05 ), απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της H 1

29 Παράδειγμα 11.1 Η Μεγάλη Εικόνα και Πάλι.05 H 0 : = 170 H 1 : > 170 Απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της 0 Z.05 =1.645 z = 2.46 Z

30 Τιμή p-value ενός Ελέγχου Τιμή-p είναι η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρει ο έλεγχος μια τιμή τουλάχιστον τόσο ακραία όσο αυτή που έχει υπολογιστεί από το δείγμα με δεδομένη την αλήθεια της μηδενικής υπόθεσης. Στην περίπτωση του παραδείγματος του υποκαταστήματος, ποια είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουμε ένα δειγματικό μέσο τουλάχιστον τόσο ακραίο με αυτόν που έχει ήδη παρατηρηθεί (δηλαδή, = 178), με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση (H 0 : µ = 170) είναι αληθής; τιμή-p

31 Τιμή-p ενός Ελέγχου Τιμή-p = P(Z > 2.46) τιμή-p = z =2,46

32 Ερμηνεία της τιμής-p Όσο μικρότερη είναι η τιμή-p, τόσο περισσότερα στατιστικά στοιχεία υπάρχουν που υποστηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση. Εάν η τιμή-p είναι μικρότερη από 1%, υπάρχει συντριπτική απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p είναι μεταξύ 1% και 5%, υπάρχει ισχυρή απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p είναι μεταξύ 5% και 10%, υπάρχει ασθενής απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p υπερβαίνει το 10%, δεν υπάρχει απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Παρατηρούμε μια τιμή-p , επομένως υπάρχει συντριπτική απόδειξη υπέρ της H 1 : > 170.

33 Ερμηνεία της Τιμής-p Συντριπτική Απόδειξη (Πολύ Σημαντικός) Ισχυρή Απόδειξη (Σημαντικός) Ασθενής Απόδειξη (Μη Σημαντικός) Καμία Απόδειξη (Μη Σημαντικός) p=0.0069

34 Ερμηνεία της Τιμής-p Σύγκριση της τιμής-p με την επιλεγμένη τιμή της στάθμης σημαντικότητας: Εάν η τιμή-p είναι μικρότερη από το α, κρίνουμε ότι η τιμήp είναι αρκετά μικρή ώστε να απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Εάν η τιμή-p είναι μεγαλύτερη από μηδενική υπόθεση., δεν απορρίπτουμε τη Αφού η τιμή-p = < α = 0.05, απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της H 1

35 Συμπεράσματα ενός Ελέγχου Υπόθεσης Εάν απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν δεν απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια της εναλλακτικής υπόθεσης. Να θυμάστε: Η εναλλακτική υπόθεση είναι η πιο σημαντική. Αντιπροσωπεύει αυτό που ερευνούμε.

36 Παράδειγμα Έναρξης Κεφαλαίου: Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Η εταιρεία Federal Express (FedEx) στέλνει τιμολόγια στους πελάτες της ζητώντας την πληρωμή τους εντός 30 ημερών. Ο λογαριασμός αναφέρει μια διεύθυνση, και οι πελάτες αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τους δικούς τους φακέλους για να αποστείλουν τις πληρωμές τους. Σήμερα ο αριθμητικός μέσος και η μέση απόκλιση που απαιτείται για την πληρωμή των λογαριασμών είναι 24 ημέρες και 6 ημέρες, αντίστοιχα. Ο Οικονομικός Διευθυντής (CFO) πιστεύει ότι η συμπερίληψη ενός έτοιμου φακέλου (με διεύθυνση και γραμματόσημο) θα μείωνε τον χρόνο αποπληρωμής.

37 Παράδειγμα Έναρξης Κεφαλαίου Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Υπολογίζει ότι η βελτίωση στη ροή χρημάτων που προέρχεται από τη μείωση κατά 2 ημέρες της περιόδου πληρωμής θα αντιστοιχούσε στο κόστος των φακέλων και των γραμματοσήμων. Κάθε περαιτέρω μείωση του χρόνου πληρωμής θα παρήγαγε κέρδος. Για να τεκμηριώσει την πεποίθηση αυτή, επιλέγει τυχαία 220 πελάτες και εσωκλείει ένα έτοιμο φάκελο με τα τιμολόγιά τους. Ο αριθμός των ημερών μέχρι την είσπραξη της πληρωμής καταγράφηκε. Μπορεί ο Οικονομικός Διευθυντής να συμπεράνει ότι το σχέδιο θα είναι κερδοφόρο;

38 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Στόχος της μελέτης είναι να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με την μέση περίοδο πληρωμής. Επομένως, η παράμετρος που πρέπει να ελεγχθεί είναι ο μέσος του πληθυσμού. Θέλουμε να ξέρουμε εάν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να δείχνουν ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι μικρότερος των 22 ημερών. Επομένως, η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 :μ < 22 Η μηδενική υπόθεση είναι H 0 :μ = 22

39 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ο έλεγχος είναι z x / n Θέλουμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής μόνο εάν ο δειγματικός μέσος και άρα η τιμή του ελέγχου είναι επαρκώς μικρή. Ως αποτέλεσμα, εντοπίζουμε την περιοχή απόρριψης στο αριστερό άκρο της κατανομής δειγματοληψίας. Ορίζουμε τη στάθμη σημαντικότητας στο 10%.

40 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Περιοχή απόρριψης: z z z Από τα στοιχεία στο αρχείο Xm11-00 υπολογίζουμε ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ και x xi 220 4, z x / n / τιμή-p = P(Z < -0.91) =

41 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων ΕΡΜΗΝΕΙΑ Συμπέρασμα: Δεν υπάρχουν επαρκείς στατιστικές αποδείξεις ώστε να καταλήξουμε ότι ο μέσος είναι μικρότερος από 22. Δεν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι το σχέδιο θα είναι κερδοφόρο.

42 Έλεγχος Ενός και Δύο Άκρων Το παράδειγμα του πολυκαταστήματος (Παράδειγμα 11.1) ήταν ένας έλεγχος ενός άκρου, επειδή η περιοχή απόρριψης εντοπίζεται μόνο στο ένα άκρο της κατανομής δειγματοληψίας Ορθότερα, ήταν ένα παράδειγμα ελέγχου δεξιού άκρου.

43 Έλεγχος Ενός και Δύο Άκρων Το παράδειγμα Έτοιμων Φακέλων είναι ένας έλεγχος αριστερού άκρου, επειδή η περιοχή απόρριψης βρισκόταν στο αριστερό άκρο της κατανομής δειγματοληψίας.

44 Έλεγχος Δύο Άκρων Ο έλεγχος δύο άκρων χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να ελέγξουμε μια υπόθεση έρευνας ότι μια παράμετρος δεν ισούται ( ) με κάποια τιμή.

45 Παράδειγμα 11.2 Τα τελευταία χρόνια, ένας αριθμός εταιρειών ανταγωνίζεται την εταιρεία AT&T στον τομέα των υπεραστικών τηλεφωνημάτων. Όλες διαφημίζουν ότι οι χρεώσεις τους είναι χαμηλότερες από αυτές της AT&T, και άρα και οι λογαριασμοί τους θα είναι χαμηλότεροι. Η AT&T αντέδρασε ισχυριζόμενη ότι ο μέσος πελάτης δεν θα έχει διαφορά στην τιμολόγηση. Έστω ότι ένας στατιστικός αναλυτής που εργάζεται για την AT&T προσδιορίζει ότι ο μέσος και η τυπική απόκλιση των μηνιαίων λογαριασμών υπεραστικών τηλεφωνημάτων όλων των οικιακών πελατών είναι $17.09 και $3.87, αντίστοιχα.

46 Παράδειγμα 11.2 Στη συνέχεια λαμβάνει ένα τυχαίο δείγμα 100 πελατών και επανυπολογίζει το λογαριασμό του τελευταίου μήνα τους χρησιμοποιώντας τις χρεώσεις ενός μεγάλου ανταγωνιστή. Υποθέτοντας ότι η τυπική απόκλιση αυτού του πληθυσμού είναι η ίδια και για την AT&T, μπορούμε να υπολογίσουμε σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% ότι υπάρχει μια διαφορά μεταξύ των λογαριασμών της AT&T και εκείνων του μεγάλου ανταγωνιστή;

47 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η προς έλεγχο παράμετρος είναι ο μέσος του πληθυσμού των λογαριασμών των πελατών της AT&T με βάση τις χρεώσεις του ανταγωνιστή. Αυτό που θέλουμε να προσδιορίσουμε είναι εάν ο μέσος αυτός διαφέρει από τα $ Επομένως, η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 : µ Η μηδενική υπόθεση ακολουθεί αυτομάτως. H 0 : µ = 17.09

48 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η περιοχή απόρριψης ορίζεται έτσι, ώστε να μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση όταν ο έλεγχος είναι μεγάλος ή όταν είναι μικρός. ο έλεγχος είναι «μικρός» ο έλεγχος είναι «μεγάλος» Δηλαδή, ορίζουμε μια περιοχή απόρριψης δύο άκρων. Το συνολικό εμβαδόν στην περιοχή απόρριψης πρέπει να έχει άθροισμα α, επομένως διαιρούμε αυτή την πιθανότητα με 2.

49 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% (δηλαδή, α = 0.05), έχουμε α/2 = Άρα, z = 1.96 και η περιοχή απόρριψής μας είναι : z < or- z > z z z

50 Παράδειγμα 11.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Από το αρχείο Xm11-02, υπολογίζουμε = Χρησιμοποιώντας τον τυποποιημένο έλεγχο: Βρίσκουμε ότι: Αφού z = 1.19 δεν είναι μεγαλύτερο από το 1,96, ούτε μικρότερο από το 1.96 δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της H 1. Δηλαδή «υπάρχει ανεπαρκής απόδειξη για να συμπεράνουμε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ των λογαριασμών της AT&T και του ανταγωνιστή».

51 Τιμή-p Ελέγχου Δύο Άκρων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Γενικώς, η τιμή-p σε ένα έλεγχο δύο άκρων καθορίζεται από τη σχέση τιμή-p = 2P(Z > z ) όπου z είναι η πραγματική τιμή του ελέγχου και z είναι απόλυτη τιμή του. Για το Παράδειγμα 11.2 βρίσκουμε τιμή-p = 2P(Z > 1.19) = 2(0.1170) =

52 Σύνοψη Ελέγχων Ενός και Δύο Άκρων Έλεγχος Ενός Άκρου (αριστερό άκρο) Έλεγχος Δύο Άκρων Έλεγχος Ενός Άκρου (δεξιό άκρο)

53 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Όπως και ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης, ο έλεγχος υποθέσεων βασίζεται στην κατανομή δειγματοληψίας ενός στατιστικού δείκτη του δείγματος. Το αποτέλεσμα του ελέγχου υπόθεσης είναι μια έκφραση πιθανοτήτων για τον στατιστικό δείκτη του δείγματος. Υποθέτουμε ότι ο μέσος του πληθυσμού ορίζεται από την μηδενική υπόθεση.

54 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον έλεγχο και βρίσκουμε πόσο πιθανό είναι ένα δείγμα να έχει αυτήν την μεγάλη (ή μικρή) τιμή, όταν είναι αληθής η μηδενική υπόθεση. Εάν η πιθανότητα είναι μικρή συμπεραίνουμε ότι η μηδενική υπόθεση είναι αβάσιμη και την απορρίπτουμε.

55 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Όταν εμείς (ή ο υπολογιστής) υπολογίζουμε την τιμή του ελέγχου z x / n μετράμε επίσης και τη διαφορά μεταξύ του μέσου του δείγματος και της υποθετικής τιμής της παραμέτρου. Η μονάδα μέτρησης της διαφοράς είναι το τυπικό σφάλμα.

56 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Στο Παράδειγμα 11.2 βρήκαμε ότι η τιμή του ελέγχου ήταν z = Αυτό σημαίνει ότι ο δειγματικός μέσος ήταν 1.19 τυπικά σφάλματα πάνω από την υποθετική τιμή του. Στον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής βλέπουμε ότι μια τέτοια τιμή δεν θεωρείται απίθανη. Επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Η έννοια της μέτρησης της διαφοράς μεταξύ μέσου δείγματος και της υποθετικής τιμής της παραμέτρου με όρους τυπικών σφαλμάτων είναι μια έννοια που θα χρησιμοποιείται συχνά σε όλη την έκταση αυτού του βιβλίου.

57 Πιθανότητα Σφάλματος Τύπου ΙΙ Είναι σημαντικό να κατανοούμε τη σχέση μεταξύ σφαλμάτων Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ, δηλαδή πώς υπολογίζεται η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ και η ερμηνεία του. Θυμηθείτε το Παράδειγμα 11.1 H 0 : µ = 170 H 1 : µ > 170 Σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% απορρίψαμε τη H 0 υπέρ της H 1 αφού ο μέσος δείγματος (178) ήταν μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή του (175.34).

58 Πιθανότητα Σφάλματος β Τύπου ΙΙ Ένα σφάλμα Τύπου II προκύπτει όταν δεν απορρίπτεται μια ψευδής μηδενική υπόθεση. Στο Παράδ. 11.1, αυτό σημαίνει ότι εάν είναι μικρότερο από (η κρίσιμη τιμή μας) δεν θα απορρίψουμε τη μηδενική μας υπόθεση, κάτι που σημαίνει ότι δεν θα εγκαταστήσουμε το νέο σύστημα τιμολόγησης. Επομένως, μπορούμε να δούμε ότι β = P( < με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής)

59 Παράδειγμα 11.1 (ανασκόπηση) β = P( < με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής) Η συνθήκη λέει απλά ότι ο μέσος είναι 170. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το β για κάποια νέα τιμή του µ. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι αν ο μέσος μηνιαίος λογαριασμός πελατών είναι 180 ευρώ το νέο σύστημα τιμολόγησης θα ήταν τόσο επικερδές που θα ήταν καταστροφική η απώλεια της ευκαιρίας εγκατάστασής του. β = P( < , με δεδομένο ότι µ = 180), επομένως

60 Παράδειγμα 11.1 (ανασκόπηση) η αρχική μας υπόθεση η νέα μας υπόθεση

61 Επίδραση του β στην Τιμή του α Η μείωση της στάθμης σημαντικότητας α, αυξάνει την τιμή του β και αντιστρόφως. Παράδειγμα: Μεταβολή του α σε 0.01 στο Παράδειγμα Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 170 z / n 65/ 400 x

62 Επίδραση του β στην Τιμή του α Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(x ) x P / n P z / 400

63 Επίδραση του β στην τιμή του α Η μείωση της στάθμης σημαντικότητας α, αυξάνει την τιμή του β και αντιστρόφως. Δείτε και πάλι αυτό το διάγραμμα. Μετατόπιση της γραμμής κρίσιμης τιμής προς τα δεξιά (προς μείωση του α) θα σημαίνει ένα μεγαλύτερο εμβαδόν κάτω από την κατώτερη καμπύλη του β (και αντιστρόφως)

64 Αξιολόγηση του Ελέγχου Ο στατιστικός έλεγχος μιας υπόθεσης ορίζεται αποτελεσματικά από δύο παράγοντες, τη στάθμη σημαντικότητας (α) και το μέγεθος του δείγματος (n), που και οι δύο επιλέγονται από τον στατιστικό. Επομένως, εάν η πιθανότητα ενός σφάλματος (β) Τύπου ΙΙ κρίνεται ως μεγάλη, μπορούμε να τη μειώσουμε αυξάνοντας το α, ή/και αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος, n.

65 Αξιολόγηση του Ελέγχου Για παράδειγμα, έστω ότι αυξήσαμε το n από ένα μέγεθος δείγματος 400 λογαριασμών σε 1,000 στο Παράδειγμα Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 170 z / n 65/ 1,000 x

66 Αξιολόγηση του Ελέγχου Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P( x ) x P / n 65/ 1,000 P z

67 Αυξάνοντας το μέγεθος δείγματος μειώνουμε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ: Σύγκριση του β με n=400 και n=1,000 n= n=1,

68 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ για n = 400 και για n = 1,000 περιγράφει μια έννοια της οποίας η σημασία δεν μπορεί να υποεκτιμηθεί. Αυξάνοντας το μέγεθος δείγματος μειώνουμε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ. Μειώνοντας την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ καθιστούμε αυτόν τον τύπο σφάλματος λιγότερο συχνό, άρα λαμβάνουμε καλύτερες αποφάσεις μακροπρόθεσμα. Το εύρημα αυτό βρίσκεται στην καρδιά της εφαρμοσμένης στατιστικής ανάλυσης και ενισχύει την πρώτη πρόταση του βιβλίου, δηλαδή ότι «η στατιστική είναι ένας τρόπος για να εξάγουμε πληροφορίες από τα δεδομένα».

69 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Σε όλο το βιβλίο υπάρχουν εφαρμογές στατιστικών μεθόδων στην χρηματοοικονομική, το μάρκετινγκ, τη διοίκηση παραγωγής, τη διαχείριση ανθρώπινων πόρων, και στα οικονομικά. Σε όλες αυτές τις εφαρμογές ο στατιστικός πρέπει να εξάγει από κάποια δεδομένα πληροφορίες που θα τεκμηριώσουν μια απόφαση. Όσο περισσότερες είναι οι πληροφορίες τόσο καλύτερη θα είναι η απόφαση. Χωρίς αυτές τις πληροφορίες πρέπει να βασίζεται σε εικασίες, στο ένστικτο, και στην τύχη. Ένας διάσημος στατιστικός, ο W. Edwards Deming, το είπε με τον καλύτερο τρόπο: «Χωρίς δεδομένα δεν είστε τίποτα περισσότερο από ένας άνθρωπος με μια άποψη».

70 Ισχύς ενός Ελέγχου Ένας άλλος τρόπος έκφρασης της καλής εκτέλεσης ενός ελέγχου είναι η ισχύς του: η πιθανότητα να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση όταν είναι όντως ψευδής. Όταν μπορούν να γίνουν περισσότεροι του ενός έλεγχοι σε μια δεδομένη κατάσταση, φυσικά θα προτιμήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο που αποδεικνύεται σωστός τις περισσότερες φορές. Εάν (με δεδομένα την ίδια εναλλακτική υπόθεση, το μέγεθος δείγματος, και τη στάθμη σημαντικότητας) ένας έλεγχος έχει μεγαλύτερη ισχύ από έναν δεύτερο έλεγχο, τότε λέμε ότι ο πρώτος έλεγχος είναι πιο ισχυρός.

71 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Υπολογίστε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ όταν ο πραγματικός μέσος είναι 21. Θυμηθείτε ότι H 0 :μ = 22 H 1 :μ < 22 n = 220 σ = 6 α = 0.10

72 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 21.48

73 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(x ) x P / n P z / 220

74 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Υπολογίστε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ όταν ο πραγματικός μέσος είναι Θυμηθείτε ότι H 0 :μ = H 1 :μ n = 100 σ = 3.87 α = 0.05

75 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης (έλεγχος δύο άκρων) z z z z / x x / 100 or z z / or z z x x 16.33

76 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(16.33 x ) x P 3.87/ 100 / n P 1.21 z / 100

77 Αξιολόγηση του Ελέγχου Η ισχύς ενός ελέγχου ορίζεται ως 1. Αντιπροσωπεύει την πιθανότητα απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης όταν είναι ψευδής. Π.χ., όταν σε μια δεδομένη συνθήκη μπορούν να εκτελεστούν περισσότεροι του ενός έλεγχοι, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τον έλεγχο που αποδεικνύεται σωστός τις περισσότερες φορές. Εάν ένας έλεγχος έχει μεγαλύτερη ισχύ από ένα δεύτερο έλεγχο, τότε λέμε ότι ο πρώτος έλεγχος είναι πιο ισχυρός και ότι είναι ο προτιμώμενος έλεγχος.

78 Τα Επόμενα Βήματα Προσέγγιση ICI Αναγνώριση Υπολογισμός Ερμηνεία Το πιο δύσκολο μέρος της στατιστικής (στην πραγματική ζωή και στις τελικές εξετάσεις) είναι η αναγνώριση της ορθής τεχνικής.

79 Τα Επόμενα Βήματα Υπάρχουν διάφοροι παράγοντες για την αναγνώριση της ορθής τεχνικής. Οι πρώτοι δύο είναι 1. Τύπος δεδομένων: συνεχή, διατακτικά, ονομαστικά 2. Στόχος του προβλήματος

80 Στόχοι του Προβλήματος 1.Περιγραφή ενός πληθυσμού 2. Σύγκριση δύο πληθυσμών 3. Σύγκριση δύο ή περισσότερων πληθυσμών 4. Ανάλυση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών 5. Ανάλυση της σχέσης ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική 1 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΤΟ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΙΚΟ ΠΑΡΚΟ ΑΣΠΑΙΤΕ Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολογίας Εργαστήριο Συλλογής και Επεξεργασίας Δεδομένων Διδάσκοντες: Σπύρος Αδάμ, Λουκάς Μιχάλης, Παναγιώτης Καράμπελας Εξαμηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Έλεγχοι υποθέσεων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική;

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Copyright 2009 Cengage Learning 1.1 Τι είναι η Στατιστική; «Στατιστική είναι ένας τρόπος για την αναζήτηση πληροφοριών μέσα σε δεδομένα» Copyright 2009 Cengage Learning

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10,12 KELLER

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10,12 KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 63 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 610 369051, Φαξ: 610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών

Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών Σύγκριση Δύο Πληθυσμών Προηγούμενα εξετάσαμε τεχνικές για την εκτίμηση και τον έλεγχο παραμέτρων για έναν πληθυσμό. Θα συνεχίσουμε να εξετάζουμε αυτές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές

Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές Copyright 2009 Cengage Learning 2.1 Εισαγωγή & Ανασκόπηση Η περιγραφική στατιστική ασχολείται με την αναδιάταξη, τη σύνοψη, και την παρουσίαση ενός

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα