Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Transcript

1 Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

2 Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτή θα ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα του μη-στατιστικού ελέγχου υποθέσεων.

3 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Μια ποινική δίκη αποτελεί ένα παράδειγμα ελέγχου υποθέσεων εκτός του πεδίου της στατιστικής. Σε μια δίκη οι ένορκοι πρέπει να αποφασίσουν μεταξύ δύο υποθέσεων. Η μηδενική υπόθεση είναι H 0 : Ο κατηγορούμενος είναι αθώος Η εναλλακτική υπόθεση ή υπόθεση έρευνας είναι H 1 : Ο κατηγορούμενος είναι ένοχος Οι ένορκοι δεν γνωρίζουν ποια από τις δύο υποθέσεις είναι σωστή. Αυτοί πρέπει να αποφασίσουν με βάση τα στοιχεία που παρουσιάζονται στο δικαστήριο.

4 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στη γλώσσα της στατιστικής, η καταδίκη του κατηγορούμενου ονομάζεται απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Δηλαδή, οι ένορκοι λένε ότι υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την ενοχή του κατηγορούμενου (δηλαδή, υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση).

5 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Η αθωωτική απόφαση των ενόρκων ισοδυναμεί με το ότι δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση. Σημειώστε ότι οι ένορκοι δεν λένε ότι ο κατηγορούμενος είναι αθώος, απλώς ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση. Αυτός είναι ο λόγος που ποτέ δεν λέμε ότι αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση.

6 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Υπάρχουν δύο πιθανοί τύποι σφάλματος. Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθινή μηδενική υπόθεση. Δηλαδή, ένα σφάλμα Τύπου Ι συμβαίνει όταν οι ένορκοι καταδικάζουν έναν αθώο. Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση. Συμβαίνει όταν ένας ένοχος αθωώνεται.

7 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Η πιθανότητα του σφάλματος Τύπου Ι συμβολίζεται με α (το ελληνικό γράμμα άλφα). Η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ συμβολίζεται με β (το ελληνικό γράμμα βήτα). Αυτές οι δύο πιθανότητες έχουν αντίστροφη συσχέτιση, που σημαίνει ότι ο περιορισμός της μιας έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της άλλης.

8 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στο δικαστικό μας σύστημα, τα σφάλματα Τύπου Ι θεωρούνται πολύ πιο σοβαρά. Προσπαθούμε να αποφύγουμε την καταδίκη αθώων ανθρώπων. Είμαστε περισσότερο πρόθυμοι να αθωώσουμε ένοχους ανθρώπους. Φροντίζουμε να περιορίσουμε το α απαιτώντας από την κατηγορούσα αρχή να αποδείξει την ενοχή και δίνοντας οδηγίες στους ενόρκους να κηρύξουν κάποιον ένοχο μόνο εάν υπάρχουν «αποδείξεις πέραν πάσης λογικής αμφιβολίας».

9 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Οι βασικές έννοιες είναι οι εξής: 1. Υπάρχουν δύο υποθέσεις, η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική υπόθεση. 2. Η διαδικασία ξεκινά θεωρώντας ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. 3. Στόχος είναι καθοριστεί εάν υπάρχουν επαρκείς αποδείξεις ώστε να συνάγεται ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. 4. Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις: Συνάγεται ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία που υποστηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση. Συνάγεται ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να υποστηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση.

10 Μη-Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων 5. Μπορούν να προκύψουν δύο πιθανά σφάλματα. Σφάλμα Τύπου Ι: Απόρριψη μιας αληθινής μηδενικής υπόθεσης Σφάλμα Τύπου ΙΙ: Μη απόρριψη μιας ψευδούς μηδενικής υπόθεσης. P(σφάλμα Τύπου Ι) = α P(σφάλμα Τύπου ΙΙ) = β

11 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (1) Υπάρχουν δύο υποθέσεις. Η μία ονομάζεται μηδενική υπόθεση και η άλλη εναλλακτική υπόθεση ή υπόθεση έρευνας. Ο συνήθης συμβολισμός είναι: προφέρεται H «μηδέν» H 0 : «μηδενική» υπόθεση H 1 : «εναλλακτική» υπόθεση ή υπόθεση «έρευνας» Η μηδενική υπόθεση (H 0 ) θα δηλώνει πάντα ότι η παράμετρος ισούται με την τιμή που ορίζεται στην εναλλακτική υπόθεση (H 1 )

12 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Πάρτε και πάλι το Παράδειγμα 10.1 (μέση ζήτηση υπολογιστών κατά το χρόνο συναρμολόγησης). Αντί να υπολογίσει τη μέση ζήτηση, ο διευθυντής λειτουργιών θέλει να ξέρει εάν ο μέσος είναι διαφορετικός των 350 μονάδων. Μπορούμε να αναδιατυπώσουμε αυτό το αίτημα σε έναν έλεγχο υπόθεσης: H 0 :µ = 350 Επομένως, η υπόθεση έρευνας γίνεται: H 1 :µ 350 Είναι αυτό που μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε

13 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (2) Η διαδικασία ελέγχου αρχίζει με την παραδοχή ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Επομένως, μέχρι να έχουμε περαιτέρω στατιστικά στοιχεία, θα υποθέσουμε ότι: H 0 : = 350 (υποτίθεται ότι είναι ΑΛΗΘΗΣ)

14 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (3) Ο στόχος της διαδικασίας είναι να καθορίσουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία ώστε να συνάγεται ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής. Δηλαδή, υπάρχουν επαρκείς στατιστικές πληροφορίες ώστε να καθοριστεί εάν αυτή η διατύπωση είναι αληθής; H 1 :µ 350 Είναι αυτό που μας ενδιαφέρει να καθορίσουμε

15 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (4) Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις που μπορούν να ληφθούν: Συμπεραίνεται ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να υποστηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση (και σε άλλη διατύπωση: απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης) Συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να στηρίξουν την εναλλακτική υπόθεση (και σε άλλη διατύπωση: μη απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης υπέρ της εναλλακτικής) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν λέμε ότι αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση..

16 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Από τη στιγμή που διατυπώνονται η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση, το επόμενο βήμα είναι η επιλογή ενός τυχαίου δείγματος και ο υπολογισμός ενός ελέγχου (στο παράδειγμα αυτό, ο δειγματικός μέσος). Εάν η τιμή του ελέγχου δεν συνάδει με την μηδενική υπόθεση απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση και καταλήγουμε ότι η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής.

17 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων Για παράδειγμα, εάν προσπαθούμε να αποφασίσουμε εάν ο μέσος δεν ισούται με 350, μια μεγάλη του τιμή του x (ας πούμε, 600) θα παρείχε επαρκή στοιχεία. Εάν το x είναι κοντά στο 350 (ας πούμε, 355) δεν θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτό παρέχει πολλά στοιχεία ώστε να καταλήξουμε ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι διαφορετικός από 350.

18 Έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων (5) Σε κάθε έλεγχο μπορούν να προκύψουν δύο πιθανά σφάλματα: Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθή μηδενική υπόθεση και Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση. Υπάρχουν πιθανότητες που σχετίζονται με κάθε τύπο σφάλματος: P(σφάλμα Τύπου Ι) = α P(σφάλμα Τύπου ΙΙ ) = β Το α ονομάζεται στάθμη σημαντικότητας.

19 Τύποι Σφαλμάτων Το σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει όταν απορρίπτουμε μια αληθή μηδενική υπόθεση (δηλαδή, Απόρριψη της H 0 όταν είναι ΑΛΗΘΗΣ) H 0 T F Απόρριψη I Απόρριψη II Το σφάλμα Τύπου ΙΙ προκύπτει όταν δεν απορρίπτουμε μια ψευδή μηδενική υπόθεση (δηλαδή, ΔΕΝ απορρίπτουμε την H 0 όταν είναι ΨΕΥΔΗΣ)

20 Παράδειγμα 11.1 Η διευθύντρια ενός πολυκαταστήματος εξετάζει την καθιέρωση ενός νέου συστήματος τιμολόγησης των πελατών. Διαπιστώνει ότι το νέο σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό εάν ο μέσος μηνιαίος λογαριασμός των πελατών είναι πάνω από 170 ευρώ. Επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα 400 πελατών, στο οποίο ο δειγματικός μέσος είναι 178 ευρώ. Η διευθύντρια γνωρίζει ότι οι λογαριασμοί είναι κατά προσέγγιση κανονικής κατανομής με τυπική απόκλιση 65 ευρώ. Μπορεί η διευθύντρια να συμπεράνει από αυτό ότι το νέο σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό;

21 Παράδειγμα 11.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Το σύστημα θα είναι οικονομικά αποδοτικό εάν ο μέσος λογαριασμός για όλους τους πελάτες είναι μεγαλύτερος από 170 ευρώ. Εκφράζουμε αυτή την πεποίθηση ως υπόθεση έρευνάς μας, δηλαδή: H 1 : µ > 170 (είναι αυτό που θέλουμε να καθορίσουμε) Επομένως, η μηδενική υπόθεσή μας γίνεται: H 0 : µ = 170 (αυτό καθορίζει μια ενιαία τιμή για την παράμετρο που μας ενδιαφέρει)

22 Παράδειγμα 11.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Τι θέλουμε να δείξουμε: H 0 : µ = 170 (θα υποθέσουμε ότι αυτό είναι αληθές) H 1 : µ > 170 Γνωρίζουμε: n = 400, = 178, και σ = 65 Τι κάνουμε στη συνέχεια;

23 Παράδειγμα 11.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Για να ελέγξουμε τις υποθέσεις μας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: Τη μέθοδο της περιοχής απόρριψης (που συνήθως χρησιμοποιείται όταν υπολογίζουμε στατιστικά στοιχεία χειρόγραφα), και Τη μέθοδο της τιμής-p (που γενικώς απαιτεί χρήση υπολογιστή και στατιστικού λογισμικού). Θα τις εξετάσουμε και τις δύο με τη σειρά

24 Παράδειγμα 11.1 Περιοχή Απόρριψης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Φαίνεται λογικό να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης εάν η τιμή του δειγματικού μέσου είναι μεγαλύτερη από 170, δηλαδή εάν >. α = P(σφάλμα Τύπου Ι) = P( απόρριψη της H 0 με δεδομένο ότι η H 0 είναι αληθής) α = P( > )

25 Παράδειγμα 11.1 Απομένει να υπολογίσουμε το το 170. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ και να το συγκρίνουμε με Μπορούμε να το υπολογίσουμε με βάση όποια στάθμη σημαντικότητας θέλουμε

26 Παράδειγμα 11.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Με στάθμη σημαντικότητας 5% (δηλαδή α=0.05), έχουμε Επιλύοντας υπολογίζουμε = Από τη στιγμή που ο μέσος μας (178) είναι μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή που υπολογίσαμε (175.34), απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της H 1, δηλαδή ότι: µ > 170 και ότι είναι οικονομικά αποδοτική η καθιέρωση ενός νέου συστήματος τιμολόγησης.

27 Παράδειγμα 11.1 Η Μεγάλη Εικόνα H 0 : = 170 H 1 : > 170 = =178 Απόρριψη H 0 υπέρ της

28 Τυποποιημένος Έλεγχος Μια ευκολότερη μέθοδος είναι η χρήση του τυποποιημένου ελέγχου: και η σύγκριση με το :(περιοχή απόρριψης: z > ) Αφού z = 2.46 > (z 0.05 ), απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της H 1

29 Παράδειγμα 11.1 Η Μεγάλη Εικόνα και Πάλι.05 H 0 : = 170 H 1 : > 170 Απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της 0 Z.05 =1.645 z = 2.46 Z

30 Τιμή p-value ενός Ελέγχου Τιμή-p είναι η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρει ο έλεγχος μια τιμή τουλάχιστον τόσο ακραία όσο αυτή που έχει υπολογιστεί από το δείγμα με δεδομένη την αλήθεια της μηδενικής υπόθεσης. Στην περίπτωση του παραδείγματος του υποκαταστήματος, ποια είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουμε ένα δειγματικό μέσο τουλάχιστον τόσο ακραίο με αυτόν που έχει ήδη παρατηρηθεί (δηλαδή, = 178), με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση (H 0 : µ = 170) είναι αληθής; τιμή-p

31 Τιμή-p ενός Ελέγχου Τιμή-p = P(Z > 2.46) τιμή-p = z =2,46

32 Ερμηνεία της τιμής-p Όσο μικρότερη είναι η τιμή-p, τόσο περισσότερα στατιστικά στοιχεία υπάρχουν που υποστηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση. Εάν η τιμή-p είναι μικρότερη από 1%, υπάρχει συντριπτική απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p είναι μεταξύ 1% και 5%, υπάρχει ισχυρή απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p είναι μεταξύ 5% και 10%, υπάρχει ασθενής απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν η τιμή-p υπερβαίνει το 10%, δεν υπάρχει απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Παρατηρούμε μια τιμή-p , επομένως υπάρχει συντριπτική απόδειξη υπέρ της H 1 : > 170.

33 Ερμηνεία της Τιμής-p Συντριπτική Απόδειξη (Πολύ Σημαντικός) Ισχυρή Απόδειξη (Σημαντικός) Ασθενής Απόδειξη (Μη Σημαντικός) Καμία Απόδειξη (Μη Σημαντικός) p=0.0069

34 Ερμηνεία της Τιμής-p Σύγκριση της τιμής-p με την επιλεγμένη τιμή της στάθμης σημαντικότητας: Εάν η τιμή-p είναι μικρότερη από το α, κρίνουμε ότι η τιμήp είναι αρκετά μικρή ώστε να απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Εάν η τιμή-p είναι μεγαλύτερη από μηδενική υπόθεση., δεν απορρίπτουμε τη Αφού η τιμή-p = < α = 0.05, απορρίπτουμε τη H 0 υπέρ της H 1

35 Συμπεράσματα ενός Ελέγχου Υπόθεσης Εάν απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της εναλλακτικής υπόθεσης. Εάν δεν απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια της εναλλακτικής υπόθεσης. Να θυμάστε: Η εναλλακτική υπόθεση είναι η πιο σημαντική. Αντιπροσωπεύει αυτό που ερευνούμε.

36 Παράδειγμα Έναρξης Κεφαλαίου: Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Η εταιρεία Federal Express (FedEx) στέλνει τιμολόγια στους πελάτες της ζητώντας την πληρωμή τους εντός 30 ημερών. Ο λογαριασμός αναφέρει μια διεύθυνση, και οι πελάτες αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τους δικούς τους φακέλους για να αποστείλουν τις πληρωμές τους. Σήμερα ο αριθμητικός μέσος και η μέση απόκλιση που απαιτείται για την πληρωμή των λογαριασμών είναι 24 ημέρες και 6 ημέρες, αντίστοιχα. Ο Οικονομικός Διευθυντής (CFO) πιστεύει ότι η συμπερίληψη ενός έτοιμου φακέλου (με διεύθυνση και γραμματόσημο) θα μείωνε τον χρόνο αποπληρωμής.

37 Παράδειγμα Έναρξης Κεφαλαίου Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Υπολογίζει ότι η βελτίωση στη ροή χρημάτων που προέρχεται από τη μείωση κατά 2 ημέρες της περιόδου πληρωμής θα αντιστοιχούσε στο κόστος των φακέλων και των γραμματοσήμων. Κάθε περαιτέρω μείωση του χρόνου πληρωμής θα παρήγαγε κέρδος. Για να τεκμηριώσει την πεποίθηση αυτή, επιλέγει τυχαία 220 πελάτες και εσωκλείει ένα έτοιμο φάκελο με τα τιμολόγιά τους. Ο αριθμός των ημερών μέχρι την είσπραξη της πληρωμής καταγράφηκε. Μπορεί ο Οικονομικός Διευθυντής να συμπεράνει ότι το σχέδιο θα είναι κερδοφόρο;

38 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Στόχος της μελέτης είναι να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με την μέση περίοδο πληρωμής. Επομένως, η παράμετρος που πρέπει να ελεγχθεί είναι ο μέσος του πληθυσμού. Θέλουμε να ξέρουμε εάν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να δείχνουν ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι μικρότερος των 22 ημερών. Επομένως, η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 :μ < 22 Η μηδενική υπόθεση είναι H 0 :μ = 22

39 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ο έλεγχος είναι z x / n Θέλουμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής μόνο εάν ο δειγματικός μέσος και άρα η τιμή του ελέγχου είναι επαρκώς μικρή. Ως αποτέλεσμα, εντοπίζουμε την περιοχή απόρριψης στο αριστερό άκρο της κατανομής δειγματοληψίας. Ορίζουμε τη στάθμη σημαντικότητας στο 10%.

40 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων Περιοχή απόρριψης: z z z Από τα στοιχεία στο αρχείο Xm11-00 υπολογίζουμε ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ και x xi 220 4, z x / n / τιμή-p = P(Z < -0.91) =

41 Σχέδιο Έτοιμων Φακέλων ΕΡΜΗΝΕΙΑ Συμπέρασμα: Δεν υπάρχουν επαρκείς στατιστικές αποδείξεις ώστε να καταλήξουμε ότι ο μέσος είναι μικρότερος από 22. Δεν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι το σχέδιο θα είναι κερδοφόρο.

42 Έλεγχος Ενός και Δύο Άκρων Το παράδειγμα του πολυκαταστήματος (Παράδειγμα 11.1) ήταν ένας έλεγχος ενός άκρου, επειδή η περιοχή απόρριψης εντοπίζεται μόνο στο ένα άκρο της κατανομής δειγματοληψίας Ορθότερα, ήταν ένα παράδειγμα ελέγχου δεξιού άκρου.

43 Έλεγχος Ενός και Δύο Άκρων Το παράδειγμα Έτοιμων Φακέλων είναι ένας έλεγχος αριστερού άκρου, επειδή η περιοχή απόρριψης βρισκόταν στο αριστερό άκρο της κατανομής δειγματοληψίας.

44 Έλεγχος Δύο Άκρων Ο έλεγχος δύο άκρων χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να ελέγξουμε μια υπόθεση έρευνας ότι μια παράμετρος δεν ισούται ( ) με κάποια τιμή.

45 Παράδειγμα 11.2 Τα τελευταία χρόνια, ένας αριθμός εταιρειών ανταγωνίζεται την εταιρεία AT&T στον τομέα των υπεραστικών τηλεφωνημάτων. Όλες διαφημίζουν ότι οι χρεώσεις τους είναι χαμηλότερες από αυτές της AT&T, και άρα και οι λογαριασμοί τους θα είναι χαμηλότεροι. Η AT&T αντέδρασε ισχυριζόμενη ότι ο μέσος πελάτης δεν θα έχει διαφορά στην τιμολόγηση. Έστω ότι ένας στατιστικός αναλυτής που εργάζεται για την AT&T προσδιορίζει ότι ο μέσος και η τυπική απόκλιση των μηνιαίων λογαριασμών υπεραστικών τηλεφωνημάτων όλων των οικιακών πελατών είναι $17.09 και $3.87, αντίστοιχα.

46 Παράδειγμα 11.2 Στη συνέχεια λαμβάνει ένα τυχαίο δείγμα 100 πελατών και επανυπολογίζει το λογαριασμό του τελευταίου μήνα τους χρησιμοποιώντας τις χρεώσεις ενός μεγάλου ανταγωνιστή. Υποθέτοντας ότι η τυπική απόκλιση αυτού του πληθυσμού είναι η ίδια και για την AT&T, μπορούμε να υπολογίσουμε σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% ότι υπάρχει μια διαφορά μεταξύ των λογαριασμών της AT&T και εκείνων του μεγάλου ανταγωνιστή;

47 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η προς έλεγχο παράμετρος είναι ο μέσος του πληθυσμού των λογαριασμών των πελατών της AT&T με βάση τις χρεώσεις του ανταγωνιστή. Αυτό που θέλουμε να προσδιορίσουμε είναι εάν ο μέσος αυτός διαφέρει από τα $ Επομένως, η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 : µ Η μηδενική υπόθεση ακολουθεί αυτομάτως. H 0 : µ = 17.09

48 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Η περιοχή απόρριψης ορίζεται έτσι, ώστε να μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση όταν ο έλεγχος είναι μεγάλος ή όταν είναι μικρός. ο έλεγχος είναι «μικρός» ο έλεγχος είναι «μεγάλος» Δηλαδή, ορίζουμε μια περιοχή απόρριψης δύο άκρων. Το συνολικό εμβαδόν στην περιοχή απόρριψης πρέπει να έχει άθροισμα α, επομένως διαιρούμε αυτή την πιθανότητα με 2.

49 Παράδειγμα 11.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% (δηλαδή, α = 0.05), έχουμε α/2 = Άρα, z = 1.96 και η περιοχή απόρριψής μας είναι : z < or- z > z z z

50 Παράδειγμα 11.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Από το αρχείο Xm11-02, υπολογίζουμε = Χρησιμοποιώντας τον τυποποιημένο έλεγχο: Βρίσκουμε ότι: Αφού z = 1.19 δεν είναι μεγαλύτερο από το 1,96, ούτε μικρότερο από το 1.96 δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της H 1. Δηλαδή «υπάρχει ανεπαρκής απόδειξη για να συμπεράνουμε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ των λογαριασμών της AT&T και του ανταγωνιστή».

51 Τιμή-p Ελέγχου Δύο Άκρων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Γενικώς, η τιμή-p σε ένα έλεγχο δύο άκρων καθορίζεται από τη σχέση τιμή-p = 2P(Z > z ) όπου z είναι η πραγματική τιμή του ελέγχου και z είναι απόλυτη τιμή του. Για το Παράδειγμα 11.2 βρίσκουμε τιμή-p = 2P(Z > 1.19) = 2(0.1170) =

52 Σύνοψη Ελέγχων Ενός και Δύο Άκρων Έλεγχος Ενός Άκρου (αριστερό άκρο) Έλεγχος Δύο Άκρων Έλεγχος Ενός Άκρου (δεξιό άκρο)

53 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Όπως και ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης, ο έλεγχος υποθέσεων βασίζεται στην κατανομή δειγματοληψίας ενός στατιστικού δείκτη του δείγματος. Το αποτέλεσμα του ελέγχου υπόθεσης είναι μια έκφραση πιθανοτήτων για τον στατιστικό δείκτη του δείγματος. Υποθέτουμε ότι ο μέσος του πληθυσμού ορίζεται από την μηδενική υπόθεση.

54 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον έλεγχο και βρίσκουμε πόσο πιθανό είναι ένα δείγμα να έχει αυτήν την μεγάλη (ή μικρή) τιμή, όταν είναι αληθής η μηδενική υπόθεση. Εάν η πιθανότητα είναι μικρή συμπεραίνουμε ότι η μηδενική υπόθεση είναι αβάσιμη και την απορρίπτουμε.

55 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Όταν εμείς (ή ο υπολογιστής) υπολογίζουμε την τιμή του ελέγχου z x / n μετράμε επίσης και τη διαφορά μεταξύ του μέσου του δείγματος και της υποθετικής τιμής της παραμέτρου. Η μονάδα μέτρησης της διαφοράς είναι το τυπικό σφάλμα.

56 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Στο Παράδειγμα 11.2 βρήκαμε ότι η τιμή του ελέγχου ήταν z = Αυτό σημαίνει ότι ο δειγματικός μέσος ήταν 1.19 τυπικά σφάλματα πάνω από την υποθετική τιμή του. Στον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής βλέπουμε ότι μια τέτοια τιμή δεν θεωρείται απίθανη. Επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Η έννοια της μέτρησης της διαφοράς μεταξύ μέσου δείγματος και της υποθετικής τιμής της παραμέτρου με όρους τυπικών σφαλμάτων είναι μια έννοια που θα χρησιμοποιείται συχνά σε όλη την έκταση αυτού του βιβλίου.

57 Πιθανότητα Σφάλματος Τύπου ΙΙ Είναι σημαντικό να κατανοούμε τη σχέση μεταξύ σφαλμάτων Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ, δηλαδή πώς υπολογίζεται η πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ και η ερμηνεία του. Θυμηθείτε το Παράδειγμα 11.1 H 0 : µ = 170 H 1 : µ > 170 Σε μια στάθμη σημαντικότητας 5% απορρίψαμε τη H 0 υπέρ της H 1 αφού ο μέσος δείγματος (178) ήταν μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή του (175.34).

58 Πιθανότητα Σφάλματος β Τύπου ΙΙ Ένα σφάλμα Τύπου II προκύπτει όταν δεν απορρίπτεται μια ψευδής μηδενική υπόθεση. Στο Παράδ. 11.1, αυτό σημαίνει ότι εάν είναι μικρότερο από (η κρίσιμη τιμή μας) δεν θα απορρίψουμε τη μηδενική μας υπόθεση, κάτι που σημαίνει ότι δεν θα εγκαταστήσουμε το νέο σύστημα τιμολόγησης. Επομένως, μπορούμε να δούμε ότι β = P( < με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής)

59 Παράδειγμα 11.1 (ανασκόπηση) β = P( < με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής) Η συνθήκη λέει απλά ότι ο μέσος είναι 170. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το β για κάποια νέα τιμή του µ. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι αν ο μέσος μηνιαίος λογαριασμός πελατών είναι 180 ευρώ το νέο σύστημα τιμολόγησης θα ήταν τόσο επικερδές που θα ήταν καταστροφική η απώλεια της ευκαιρίας εγκατάστασής του. β = P( < , με δεδομένο ότι µ = 180), επομένως

60 Παράδειγμα 11.1 (ανασκόπηση) η αρχική μας υπόθεση η νέα μας υπόθεση

61 Επίδραση του β στην Τιμή του α Η μείωση της στάθμης σημαντικότητας α, αυξάνει την τιμή του β και αντιστρόφως. Παράδειγμα: Μεταβολή του α σε 0.01 στο Παράδειγμα Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 170 z / n 65/ 400 x

62 Επίδραση του β στην Τιμή του α Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(x ) x P / n P z / 400

63 Επίδραση του β στην τιμή του α Η μείωση της στάθμης σημαντικότητας α, αυξάνει την τιμή του β και αντιστρόφως. Δείτε και πάλι αυτό το διάγραμμα. Μετατόπιση της γραμμής κρίσιμης τιμής προς τα δεξιά (προς μείωση του α) θα σημαίνει ένα μεγαλύτερο εμβαδόν κάτω από την κατώτερη καμπύλη του β (και αντιστρόφως)

64 Αξιολόγηση του Ελέγχου Ο στατιστικός έλεγχος μιας υπόθεσης ορίζεται αποτελεσματικά από δύο παράγοντες, τη στάθμη σημαντικότητας (α) και το μέγεθος του δείγματος (n), που και οι δύο επιλέγονται από τον στατιστικό. Επομένως, εάν η πιθανότητα ενός σφάλματος (β) Τύπου ΙΙ κρίνεται ως μεγάλη, μπορούμε να τη μειώσουμε αυξάνοντας το α, ή/και αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος, n.

65 Αξιολόγηση του Ελέγχου Για παράδειγμα, έστω ότι αυξήσαμε το n από ένα μέγεθος δείγματος 400 λογαριασμών σε 1,000 στο Παράδειγμα Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 170 z / n 65/ 1,000 x

66 Αξιολόγηση του Ελέγχου Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P( x ) x P / n 65/ 1,000 P z

67 Αυξάνοντας το μέγεθος δείγματος μειώνουμε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ: Σύγκριση του β με n=400 και n=1,000 n= n=1,

68 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ για n = 400 και για n = 1,000 περιγράφει μια έννοια της οποίας η σημασία δεν μπορεί να υποεκτιμηθεί. Αυξάνοντας το μέγεθος δείγματος μειώνουμε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ. Μειώνοντας την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ καθιστούμε αυτόν τον τύπο σφάλματος λιγότερο συχνό, άρα λαμβάνουμε καλύτερες αποφάσεις μακροπρόθεσμα. Το εύρημα αυτό βρίσκεται στην καρδιά της εφαρμοσμένης στατιστικής ανάλυσης και ενισχύει την πρώτη πρόταση του βιβλίου, δηλαδή ότι «η στατιστική είναι ένας τρόπος για να εξάγουμε πληροφορίες από τα δεδομένα».

69 Κατανόηση των Βασικών Στατιστικών Εννοιών Σε όλο το βιβλίο υπάρχουν εφαρμογές στατιστικών μεθόδων στην χρηματοοικονομική, το μάρκετινγκ, τη διοίκηση παραγωγής, τη διαχείριση ανθρώπινων πόρων, και στα οικονομικά. Σε όλες αυτές τις εφαρμογές ο στατιστικός πρέπει να εξάγει από κάποια δεδομένα πληροφορίες που θα τεκμηριώσουν μια απόφαση. Όσο περισσότερες είναι οι πληροφορίες τόσο καλύτερη θα είναι η απόφαση. Χωρίς αυτές τις πληροφορίες πρέπει να βασίζεται σε εικασίες, στο ένστικτο, και στην τύχη. Ένας διάσημος στατιστικός, ο W. Edwards Deming, το είπε με τον καλύτερο τρόπο: «Χωρίς δεδομένα δεν είστε τίποτα περισσότερο από ένας άνθρωπος με μια άποψη».

70 Ισχύς ενός Ελέγχου Ένας άλλος τρόπος έκφρασης της καλής εκτέλεσης ενός ελέγχου είναι η ισχύς του: η πιθανότητα να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση όταν είναι όντως ψευδής. Όταν μπορούν να γίνουν περισσότεροι του ενός έλεγχοι σε μια δεδομένη κατάσταση, φυσικά θα προτιμήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο που αποδεικνύεται σωστός τις περισσότερες φορές. Εάν (με δεδομένα την ίδια εναλλακτική υπόθεση, το μέγεθος δείγματος, και τη στάθμη σημαντικότητας) ένας έλεγχος έχει μεγαλύτερη ισχύ από έναν δεύτερο έλεγχο, τότε λέμε ότι ο πρώτος έλεγχος είναι πιο ισχυρός.

71 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Υπολογίστε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ όταν ο πραγματικός μέσος είναι 21. Θυμηθείτε ότι H 0 :μ = 22 H 1 :μ < 22 n = 220 σ = 6 α = 0.10

72 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης z z z x x 21.48

73 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.1 Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(x ) x P / n P z / 220

74 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Υπολογίστε την πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ όταν ο πραγματικός μέσος είναι Θυμηθείτε ότι H 0 :μ = H 1 :μ n = 100 σ = 3.87 α = 0.05

75 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Στάδιο 1: Περιοχή απόρριψης (έλεγχος δύο άκρων) z z z z / x x / 100 or z z / or z z x x 16.33

76 Υπολογισμός του β στο Παράδειγμα 11.2 Στάδιο 2: Πιθανότητα ενός σφάλματος Τύπου ΙΙ P(16.33 x ) x P 3.87/ 100 / n P 1.21 z / 100

77 Αξιολόγηση του Ελέγχου Η ισχύς ενός ελέγχου ορίζεται ως 1. Αντιπροσωπεύει την πιθανότητα απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης όταν είναι ψευδής. Π.χ., όταν σε μια δεδομένη συνθήκη μπορούν να εκτελεστούν περισσότεροι του ενός έλεγχοι, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τον έλεγχο που αποδεικνύεται σωστός τις περισσότερες φορές. Εάν ένας έλεγχος έχει μεγαλύτερη ισχύ από ένα δεύτερο έλεγχο, τότε λέμε ότι ο πρώτος έλεγχος είναι πιο ισχυρός και ότι είναι ο προτιμώμενος έλεγχος.

78 Τα Επόμενα Βήματα Προσέγγιση ICI Αναγνώριση Υπολογισμός Ερμηνεία Το πιο δύσκολο μέρος της στατιστικής (στην πραγματική ζωή και στις τελικές εξετάσεις) είναι η αναγνώριση της ορθής τεχνικής.

79 Τα Επόμενα Βήματα Υπάρχουν διάφοροι παράγοντες για την αναγνώριση της ορθής τεχνικής. Οι πρώτοι δύο είναι 1. Τύπος δεδομένων: συνεχή, διατακτικά, ονομαστικά 2. Στόχος του προβλήματος

80 Στόχοι του Προβλήματος 1.Περιγραφή ενός πληθυσμού 2. Σύγκριση δύο πληθυσμών 3. Σύγκριση δύο ή περισσότερων πληθυσμών 4. Ανάλυση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών 5. Ανάλυση της σχέσης ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές