1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος"

Transcript

1 Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο κατηγορούµενος είναι ένοχος µ 100 Μια υπόθεση µπορεί να είναι αληθινή ή όχι (απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται) και συνεπώς λαµβάνεται απόφαση µε βάση των δεδοµένων του δείγµατος. Μια υπόθεση παραµένει να είναι αληθής, µέχρι τη στιγµή που λαµβάνεται η απόφαση να απορριφθεί Η απόρριψη ή όχι µιας υπόθεσης µπορεί να είναι σωστή ή όχι Λάθη τύπου Ι και ΙΙ. Η αρχική υπόθεση, συµβολίζεται µε H0, είναι µια υπόθεση για µία ή περισσότερες παραµέτρους του πληθυσµού. Η υπόθεση αυτή θεωρούµε ότι ισχύει µέχρις ότου έχουµε επαρκή στατιστικά ευρήµατα για να αποφασίσουµε να την απορρίψουµε. H0: µ = 100 Η εναλλακτική υπόθεση, συµβολίζεται µε H1, είναι η υπόθεση που καλύπτει όλες τις άλλες περιπτώσεις που δεν συµπεριλαµβάνονται στην αρχική. H1: µ 100 H0 και H1 είναι: Αµοιβαία αποκλειόµενες Μόνο µία µπορεί να είναι αληθινή. Συµπληρωµατικές Ο συνδυασµός τους καλύπτουν όλα τα πιθανά ενδεχόµενα και εποµένως είτε η µία είτε η άλλη θα είναι αληθινή. Η αρχική υπόθεση: Αντιπροσωπεύει την αντίληψη µας για το τι επικρατεί στον πληθυσµό. Τιµόθεος Αγγελίδης 1

2 Θεωρείται ότι είναι αληθινή µέχρι να αποδείξουµε το αντίθετο χρησιµοποιώντας µια στατιστική συνάρτηση (συνάρτηση ελέγχου) που θα µας οδηγήσει να απορρίψουµε την αρχική. Η στατιστική ελέγχου (test statistic) είναι απλώς µια συνάρτηση που υπολογίζεται από τα δεδοµέναis. Με βάση τη τιµή που λαµβάνει, αποφασίζουµε αν θα απορρίψουµε ή όχι την αρχική υπόθεση. Ο κανόνας απόφασης (decision rule) µιας στατιστικής υπόθεσης είναι ένας κανόνας που καθορίζει τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η αρχική υπόθεση µπορεί να απορριφθεί. Για παράδειγµα, έστω ότι H0: µ = 100. Θα πρέπει να δηµιουργήσουµε ένα κανόνα που να βασίζεται στην εξής λογικής: Απέρριψε την H0 αν ο δειγµατικός µέσος είναι µικρότερος από την τιµή 95 ή µεγαλύτερος από την τιµή 105 Υπάρχουν δύο εναλλακτικές: H0 είναι αληθινή H0 είναι λανθασµένη Υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις: Απορρίπτω την H0 εν απορρίπτω H0 Μια απόφαση µπορεί να είναι σωστή µε δύο τρόπους: εν απορρίπτω µια αληθινή H0 Απορρίπτω µια λανθασµένη H0 Μια απόφαση µπορεί να είναι λανθασµένη µε δύο τρόπους : Λάθος Τύπου Ι: Απορρίπτω µια αληθινή H0 Η πιθανότητα του σφάλµατος Ι συµβολίζεται µε α. Λάθος Τύπου ΙΙ: εν απορρίπτω µια λανθασµένη H0 Η πιθανότητα του σφάλµατος ΙΙ συµβολίζεται µε β Η τελική απόφαση µπορεί να είναι λανθασµένη µε δύο τρόπους: Λάθος τύπου Ι: Απορρίπτω την H0 όταν είναι αληθινή Η πιθανότητα λάθος τύπου Ι ορίζεται µε το α. α ονοµάζεται επίπεδο σηµαντικότητας (level of significance) Λάθος τύπου ΙΙ: δέχοµαι µια µη αληθινή H0 Τιµόθεος Αγγελίδης 2

3 Η πιθανότητα λάθος τύπου ΙΙ ορίζεται µε το β. 1 - β ονοµάζεται δύναµη (power) του τεστ. Κατάσταση Απόφαση Ηο: Αληθινή Η1: Αληθινή εν απορρίπτω Ηο Σωστή: Πιθανότητα =1-α Λάθος τύπου ΙΙ (β) Απορρίπτω Ηο Λάθος τύπου Ι (α) Πιθανότητα = α Σωστή Πιθανότητα =1-β Η δύναµη (power) ενός στατιστικού ελέγχου είναι η πιθανότητα να απορρίψουµε την αρχική υπόθεση όταν αυτή είναι λανθασµένη. Power = (1 - β) Επηρεάζεται από την απόσταση µεταξύ της τιµής της παραµέτρου κάτω από την αρχική υπόθεση και της πραγµατικής τιµής του πληθυσµού: όσο µεγαλύτερη είναι η απόσταση, τόσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη του τεστ. Επηρεάζεται από την τυπική απόκλιση του πληθυσµού: όσο µικρότερη είναι, τόσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη του τεστ. Επηρεάζεται από το µέγεθος του δείγµατος: όσο µεγαλύτερο είναι, τόσο µεγαλύτερη είναι η δύναµη του τεστ. 2. Η τιµή p-value Η τιµή p-value είναι η πιθανότητα η στατιστική συνάρτηση να λάβει µια ακραία τιµή, ή µεγαλύτερη από αυτήν, όταν η αρχική υπόθεση είναι αληθινή. Η τιµή p-value είναι το µικρότερο επίπεδο σηµαντικότητας, α, στο οποίο η αρχική υπόθεση µπορεί να απορριφθεί. Τιµόθεος Αγγελίδης 3

4 Κανόνας: Όταν η τιµή p-value είναι µικρότερη από a, απέρριψε την H0. εν υπάρχει γενικά αποδεκτός κανόνας που να οδηγεί στην επιλογή του επιπέδου σηµαντικότητας στα προβλήµατα ελέγχου στατιστικών υποθέσεων. Οι δυσκολίες αυτές οδήγησαν τους Στατιστικούς να δηµιουργήσουν την p-value τιµή. Η τιµή αυτή είναι το λεγόµενο παρατηρούµενο επίπεδο σηµαντικότητας. Ορισµός: Ορίσουµε ως παρατηρούµενο επίπεδο σηµαντικότητας την πιθανότητα η στατιστική συνάρτηση ελέγχου να πάρει µια τιµή τόσο ακραία ή περισσότερο ακραία από αυτήν που πήρε για το συγκεκριµένο δείγµα, κάτω από την µηδενική υπόθεση. Η χρησιµοποίηση της p-value τιµής αντί του επιπέδου σηµαντικότητας α στην αντιµετώπιση ενός προβλήµατος στατιστικού ελέγχου υποθέσεως δεν µεταβάλλει την κλασική στατιστική µεθοδολογία. Απλά εκείνο που συµβαίνει είναι ότι ο ερευνητής αναφέρει στον ενδιαφερόµενο την τιµή p-value και αφήνει την επιλογή του κατά πόσο θα πρέπει να απορριφθεί ή όχι η µηδενική υπόθεση στον ενδιαφερόµενο. Για την αποφυγή παρανοήσεων, θα πρέπει να τονισθεί ότι η τιµή p-value δεν είναι η πιθανότητα ότι η µηδενική υπόθεση είναι σωστή. Στην κλασική στατιστική θεωρία δεν υπάρχει τρόπος να προσδιορίσουµε την πιθανότητα να είναι σωστή η µηδενική υπόθεση. Η µηδενική υπόθεση θα είναι πάντα σωστή ή λάθος. Αυτό που παρέχει η τιµή p-value είναι η πιθανότητα να βρούµε ενδείξεις αντίθετες µε την µηδενική υπόθεση τόσο ισχυρές από αυτές που έχουµε διαθέσιµες αν η µηδενική υπόθεση ίσχυε. 3. Μονόπλευρες και δίπλευρες εναλλακτικές υποθέσεις Όταν η µηδενική υπόθεση έχει τη µορφή Ηο:, τότε η εναλλακτική έχει τη µορφή. Η εναλλακτική αυτή ονοµάζεται µονόπλευρή προς τα δεξιά. Όταν η µηδενική υπόθεση έχει τη µορφή Ηο:, τότε η εναλλακτική έχει τη µορφή. Η εναλλακτική αυτή ονοµάζεται µονόπλευρή προς τα αριστερά. Τιµόθεος Αγγελίδης 4

5 Όταν η µηδενική υπόθεση έχει τη µορφή Ηο:, τότε η εναλλακτική έχει τη µορφή. Η εναλλακτική αυτή ονοµάζεται µονόπλευρή προς τα αριστερά. 4. Γενική µορφή της στατιστικής ελέγχου και ο τρόπος ελέγχου Τα βήµατα που πρέπει να ακολουθήσουµε όταν ελέγχουµε µία υπόθεση είναι τα εξής: 1. ιατύπωση των υποθέσεων Ηο και Η1 2. Επιλογή του επιπέδου σηµαντικότητας α και της κατάλληλης στατιστικής ελέγχου 3. Προσδιορισµός του κανόνα αποφάσεως και συνεπώς των περιοχών απόρριψης ή µη απορρίψεως της αρχικής υποθέσεως µε βάση την τιµή του α και της µορφής της Η1 4. Υπολογισµός της τιµής της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου από το δείγµα. Αν η τιµή αυτή βρίσκεται στην περιοχή απορρίψεως, τότε η Η0 απορρίπτεται. Τιµόθεος Αγγελίδης 5

6 Εκτός από τις περιπτώσεις ελέγχου υποθέσεων για τις διακυµάνσεις, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου έχει την εξής µορφή: Ανάλογα µε τα δεδοµένα, όπως και στις περιπτώσεις των διαστηµάτων εµπιστοσύνης, η TS θα έχει Ν(0,1) ή t κατανοµή. 1. Έλεγχοι Υποθέσεων για το ενός πληθυσµού Όταν θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα έλεγχο υποθέσεων για το µέσο ενός πληθυσµού, θέτουµε ή αν η είναι άγνωστη. 1.1 Έλεγχοι υποθέσεων για το όταν Η τιµή του είναι γνωστή και ο πληθυσµός που προέρχεται ο πληθυσµός είναι κανονικός Η τιµή του είναι άγνωστη και ο πληθυσµός που προέρχεται ο πληθυσµός είναι κανονικός Έλεγχοι υποθέσεων για το όταν, η τιµή του είναι γνωστή και ο πληθυσµός που προέρχεται ο πληθυσµός είναι κανονικός Εφόσον η κατανοµή του πληθυσµού υποτίθεται ότι είναι, έπεται ότι. Εποµένως: Με βάση αυτή τη µορφή της Η1, διακρίνουµε τις εξής τρεις περιπτώσεις: 1. Αν Η1: µ>µο, τότε απορρίπτουµε την Ηο αν TS > Ζα 2. Αν Η1: µ<µο, τότε απορρίπτουµε την Ηο αν TS <- Ζα 3. Αν Η1: µ µο, τότε απορρίπτουµε την Ηο αν TS > Ζα/2 ή TS < -Ζα/2 Μία βιοµηχανία γνωρίζει ότι η ποσότητα του τυριού που παράγεται από 1000 κιλά γάλα είναι 300 κιλά µε τυπική απόκλιση 11 κιλά τυρί. Προτείνεται µια νέα µέθοδος. Η µέση Τιµόθεος Αγγελίδης 6

7 ποσότητα παραγόµενου τυριού είναι 305 µε τυπική απόκλιση 11. Τα στοιχεία αυτά επιλέχθηκαν από ένα δείγµα µεγέθους 10. Α)Υπήρξε βελτίωση? Χρησιµοποιείστε επίπεδο σηµαντικότητας α=5% και α=10% Β)Ποιο είναι το µικρότερο επίπεδο σηµαντικότητας στο οποίο θα µπορούσε να απορριφθεί η αρχική υπόθεση (p-value) Γ)Να υπολογισθεί και να ερµηνευτεί η δύναµη του ελέγχου για α=5% και µ=310. Λύση Α) Για α=5%, Ζα=1.645, εποµένως δεν απορρίπτω την αρχική υπόθεση Για α=10%, Ζα=1.28, εποµένως απορρίπτω την αρχική υπόθεση Β) Το µικρότερο επίπεδο εµπιστοσύνης στο οποίο θα µπορούσαµε να απορρίψουµε την Ηο είναι η τιµή P=P(Z>1.44) = Εποµένως, αν µας δοθεί α=8%, τότε απορρίπτουµε την Ηο. Αν µας δοθεί α=7% τότε δεν την απορρίπτουµε Γ) Για να υπολογίσουµε τη δύναµη του ελέγχου όταν α=5% και µ=µ1=310, ξεκινάµε από τον κανόνα αποφάσεως, ο οποίος είναι Απορρίπτω την αρχική υπόθεση αν ηλαδή απέρριψε την αρχική αν µην απορρίπτεις όταν. Εποµένως: και εποµένως οπότε δύναµη =1-β(µ=310) = = Ερµηνεία Αν η υπόθεση Ηο:µ=300 είναι εσφαλµένη και στην πραγµατικότητα ισχύει ότι µ=310, τότε ο έλεγχος θα απορρίψει την Ηο µε πιθανότητα 89.07%. Τιµόθεος Αγγελίδης 7

8 Για το προηγούµενο παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι η νέα µέθοδος απλώς δοκιµάζεται, χωρίς να υπάρχει κανένας ισχυρισµός ότι είναι αποτελεσµατικότερη από την παραδοσιακή. Υπάρχει, µε άλλα λόγια, περισσότερη αβεβαιότητα για την τιµή του µέσου µ. Να διατυπωθούν οι υποθέσεις Ηο και Η1 και να ελεγχθεί στα επίπεδα α=5% και α=10%, όπως και να απαντηθούν και τα β και γ ερωτήµατα του προηγούµενου παραδείγµατος. Λύση Α)Ο έλεγχος είναι δίπλευρος Για α=5%, οι κριτικές τιµές είναι και 1.96, ενώ για α=10% αυτές είναι και 1.645, ενώ ΤS = Εποµένως επειδή η ΤS βρίσκεται στην περιοχή µη απορρίψεως δεν απορρίπτουµε την αρχική υπόθεση. Β)Επειδή έχουµε δίπλευρο έλεγχο και µας ενδιαφέρει τόσο η περίπτωση µ>300 όσο και η περίπτωση µ<300, η τιµή P=P(Z>1.44 ή z<-1.44)=2*p(z>1.44) = 2* = Γ) Ο κανόνας αποφάσεως απόρριψης είναι ή δηλαδή απέρριψε την Ηο αν και. Άρα η πιθανότητα σφάλµατος ΙΙ για µ=310 είναι Εποµένως η δύναµη του ελέγχου για µ=310 είναι ισή µε 1-β= Έλεγχοι υποθέσεων για το όταν, η τιµή του είναι άγνωστή και ο πληθυσµός που προέρχεται ο πληθυσµός είναι κανονικός Εφόσον η διακύµανση είναι άγνωστη, έπεται ότι Τιµόθεος Αγγελίδης 8

9 Για το προηγούµενο παράδειγµα, αν η διακύµανση του πληθυσµού ήταν άγνωστη, τότε θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε τη δειγµατική εκτίµηση. Έστω s=11.8. να κάνετε τον µονόπλευρο έλεγχο για επίπεδο σηµαντικότητας α=5% Λυση Α) Επειδή δεν απορρίπτω την αρχική υπόθεση. 1.2 Μεγάλα δείγµατα Με βάση το κεντρικό οριακό θεώρηµα µπορώ να χρησιµοποιώ την κανονική κατανοµή. Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρούµε ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι n=36, ο δειγµατικός µέσος ισούται µε 305 µε τυπική απόκλιση s= 11. Να πραγµατοποιήσετε τον έλεγχο Λύση µε βάση το p value. Η τιµή P είναι η πιθανότητα P(Ζ>2.73)= Για οποιοδήποτε επίπεδο σηµαντικότητα α> απορρίπτω την αρχική υπόθεση. Μέχρι το έτος 1987 στις εξετάσεις στο µάθηµα της Στατιστικής στη σχολή Ικάρων έχει διαπιστωθεί από παρατηρήσεις πολλών ετών, ότι η µέση βαθµολογία των σπουδαστών Τιµόθεος Αγγελίδης 9

10 ήταν 87 µονάδες µε τυπική απόκλιση σ=9 µονάδες. Στις εξετάσεις της περιόδου Ιανουαρίου του τρέχοντας έτους από τυχαίο δείγµα 36 σπουδαστών διαπιστώνεται µέση βαθµολογία 90 µονάδων. Με την προϋπόθεση ότι η τυπική απόκλιση σ=9 ισχύει, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η µέση βαθµολογία δεν έχει αυξηθεί; Επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Λύση Η υπόθεση θα είναι H H 0 1 : µ = 87 : µ > 87 Επειδή σ είναι γνωστή και έχουµε µεγάλο δείγµα θα χρησιµοποιήσουµε την κανονική κατανοµή. X µ Στατιστικό στοιχείο: = = 2 σ / n 9 / 6 Κριτική τιµή (έλεγχο µιας ουράς): = z 5 = 1, 645 z α % Επειδή 2>1,645 απορρίπτεται ότι η βαθµολογία έχει παραµένει σταθερή (απορ. Η 0 ) Τιµόθεος Αγγελίδης 10

11 Τιµόθεος Αγγελίδης 11

12 Λύση Ένας µύλος για να είναι λειτουργικός, θα πρέπει η ταχύτητα του αέρα να ξεπερνάει τα 20 µίλια την ώρα. Σε 50 διαφορετικές στιγµές καταγράφηκε η ταχύτητα του αέρα (=25, σ=12). Η περιοχή που επιλέχθηκε είναι κατάλληλη? ηλαδή, η ταχύτητα του αέρα είναι µεγαλύτερη από 20? Στην περίπτωση του σφάλµατος τύπου Ι (α), θα απορρίπταµε την αρχική υπόθεση όταν αυτή είναι σωστή, δηλαδή, θα είχαµε λανθασµένα Τιµόθεος Αγγελίδης 12

13 Λύση συµπεράνει ότι η ταχύτητα του αέρα ξεπερνάει τα 20 µίλια. Η συνέπεια αυτής της απόφασης θα ήταν να κτίζαµε σε λάθος µέρος τον ανεµόµυλο. Το κόστος θα ήταν σηµαντικό και γι αυτό θέτουµε α=0,01. Στην περίπτωση του σφάλµατος τύπου ΙΙ (β), δεν θα απορρίπταµε την αρχική υπόθεση όταν αυτή είναι λάθος, δηλαδή, θα είχαµε λανθασµένα συµπεράνει ότι η ταχύτητα του αέρα δεν ξεπερνάει τα 20 µίλια. Η συνέπεια αυτής της απόφασης είναι ότι δεν θα κτίζαµε τον ανεµόµυλο σε ένα µέρος που είναι κατάλληλο. Το κόστος αυτού του σφάλµατος δεν είναι µεγάλο. Ωστόσο, θεωρείστε ότι όταν η ταχύτητα του αέρα ξεπερνάει τα 25 µίλια, τα κέρδη είναι τεράστια. Άρα θα πρέπει να υπολογίσουµε την πιθανότητα αυτού του σφάλµατος. Σχολιασµός Η πιθανότητα να µην απορρίψω την αρχική υπόθεση όταν µ=25 ισούται µε 0,2676, το οποίο σηµαίνει ότι όταν η ταχύτητα του αέρα είναι 25 µίλια, υπάρχει πιθανότητα (26,76%) να µην απορρίψω την αρχική, ενώ θα έπρεπε. Πως µειώνω το συγκεκριµένο πρόβληµα? Αύξηση του δείγµατος, Τιµόθεος Αγγελίδης 13

14 Υπολογισµός P-value Τιµόθεος Αγγελίδης 14

15 Τιµόθεος Αγγελίδης 15

16 Τιµόθεος Αγγελίδης 16

17 Τιµόθεος Αγγελίδης 17

18 Τιµόθεος Αγγελίδης 18

19 Τιµόθεος Αγγελίδης 19

20 Τιµόθεος Αγγελίδης 20

21 Τιµόθεος Αγγελίδης 21

22 Τιµόθεος Αγγελίδης 22

23 2. Έλεγχοι υποθέσεων για την αναλογία, υποθέτοντας «µεγάλο» δείγµα Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα ανεξάρτητων Bernoulli δοκιµών και θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα έλεγχο υπόθεσης για την στον πληθυσµό. Υποθέτουµε ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο και ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις: όπου είναι η αναλογία στο δείγµα. Η εκτιµήτρια της πιθανότητας της διωνυµικής κατανοµής είναι η αναλογία των επιτυχιών που παρατηρούµε στις ανεξάρτητες διαδοχικές δοκιµές, δηλαδή. Η εκτιµήτρια είναι τυχαία µεταβλητή. Η µέση τιµή και η µεταβλητότητα της είναι αντίστοιχα. ιενεργείται µία έρευνα για να διαπιστωθεί αν η αναλογία του εκλογικού σώµατος πιστεύει ότι θα αυξηθεί ο πληθωρισµός. Παραδοσιακά η αναλογία υποτίθεται ότι ισούται µε 1/3. Γίνεται µια έρευνα σε 100 άτοµα και βρίσκεται ότι 25 από αυτούς πιστεύουν ότι α αυξηθεί. Α) Να διατυπωθούν οι υποθέσεις και να ελεγχθεί η αρχική µε α =5% Β)Υπολογίστε το p-value Τιµόθεος Αγγελίδης 23

24 Γ)Να υπολογισθεί η δύναµη του ελέγχου για p=0.2 Λύση Το δείγµα είναι «µεγάλο» γιατί Το τυπικό σφάλµα ισούται µε άρα εν απορρίπτω την αρχική, αφού η κριτική τιµή ισούται µε Ζα/2=1.96 Β)P=P(Z<1.77 ή Z>1.77) = 2P(Z>1.77)= Άρα µπορούµε να απορρίψουµε την Ηο σε επίπεδο σηµαντικότητας 7.7% ή µεγαλύτερο Γ)Ο κανόνας αποφάσεως για απόρριψη της Ηο είναι: ή Από τις ανισότητες αυτές προκύπτει ότι η περιοχή απορρίψεως πάνω στην κατανοµή δειγµατοληψίας της στατιστικής ορίζεται ως εξής: Απορρίψτε την Ηο αν ή. Η πιθανότητα σφάλµατος τύπου ΙΙ για την p=0.2 είναι Επειδή όµως σε αυτή την πιθανότητα υποθέτουµε ότι p=0.2 και όχι p=1/3 για να υπολογίσουµε κατά τα γνωστά πρέπει να υπολογίσουµε το τυπικό σφάλµα της αναλογίας στο δείγµα. Εποµένως. Άρα Τιµόθεος Αγγελίδης 24

25 3. Έλεγχος υποθέσεων για τη διαφορά δύο µέσων Έστω ότι έχουµε δύο τυχαίες µεταβλητές, και, και θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά των µέσων του,. Στη διάθεσή µας, έχουµε ένα δείγµα από κάθε πληθυσµό µεγέθους και, αντίστοιχα. Το πρώτο πράγµα που µας ενδιαφέρει να διαπιστώσουµε εδώ είναι αν δείγµατα είναι εξαρτηµένα ή ανεξάρτητα. 3.1 Εξαρτηµένα δείγµατα Η εκτίµηση της διαφοράς µεταξύ δύο διαδοχικών τιµών των ίδιων παρατηρήσεων είναι µια συνηθισµένη ανάλυση στις επιχειρηµατικές δραστηριότητες. Για παράδειγµα, διαφορές στις καταµετρήσεις των απογραφών, µέτρηση ικανοποίησης ενός καταναλωτή πριν και µετά την εφαρµογή νέου τρόπου εξυπηρέτησης, µέτρηση έντασης γνώµης πριν και µετά την εκστρατεία ενηµέρωσης κλπ. Έτσι το δείγµα αποτελείται από 2 οµάδες παρατηρήσεων. Την πρώτη πριν από την εφαρµογή και τη δεύτερη µετά την εφαρµογή της µεθόδου. Στην περίπτωση που τα δύο δείγµατα έχουν το ίδιο µέγεθος και είναι εξαρτηµένα µεταξύ τους, προχωρούµε στην κατασκευή µιας νέας µεταβλητής Τιµόθεος Αγγελίδης 25

26 και στην συνέχεια υπολογίζουµε το διάστηµα εµπιστοσύνης µε βάση την προηγούµενη ανάλυση. Η στατιστική συνάρτηση ελέγχου: ακολουθεί είτε την κανονική κατανοµή είτε την t ανάλογα µε το µέγεθος του δείγµατος και αν γνωρίζουµε το διακύµανση του πληθυσµού Τιµόθεος Αγγελίδης 26

27 Τιµόθεος Αγγελίδης 27

28 Ανεξάρτητα δείγµατα Ας υποθέσουµε τώρα ότι τα δύο δείγµατά µας µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα. Στην περίπτωση αυτή, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουµε ότι. Θα διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: 1. και τα δύο δείγµατα είναι µικρά 2. και τα δύο δείγµατα είναι µεγάλα Μικρά δείγµατα Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να υποθέσουµε ότι και οι δύο πληθυσµοί είναι κανονικοί. Θα διακρίνουµε 2 υποπεριπτώσεις: 1. Οι διακυµάνσεις των πληθυσµών 2. Οι διακυµάνσεις είναι άγνωστες Οι διακυµάνσεις θεωρούνται γνωστές Έστω και δύο τυχαία δείγµατα µεγέθους αντίστοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυσµούς και. Έστω ότι είναι γνωστά µεγέθη. Ενδιαφερόµαστε να κατασκευάσουµε ένα διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά. Όπως είναι γνωστό, µια σηµειακή εκτιµήτρια για τη διαφορά είναι το, όπου και είναι οι δειγµατικοί µέσοι των δειγµάτων. εδοµένου ότι: Η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι: Οι διακυµάνσεις θεωρούνται άγνωστες, αλλά ίσες Τιµόθεος Αγγελίδης 28

29 ουλεύουµε όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, αλλά µόνο χρησιµοποιούµε την t κατανοµή και την από κοινού διακύµανση Τιµόθεος Αγγελίδης 29

30 Από δύο κανονικούς πληθυσµούς πήραµε δυο δείγµατα Α και Β, τα οποία µας έδωσαν τις παρακάτω τιµές: X i : 0,114 0,127 0,143 0,132 Υ i : 0,131 0,107 0,104 0,111 0,108 0, Αν υποθέσουµε ότι σ 1 = σ 2 να ελεγχθεί η υπόθεση, δηλαδή και τα δυο δείγµατα προέρχονται από δύο πληθυσµούς µε τον ίδιο µέσο ως προς την εναλλακτική υπόθεση µ. 1 µ 2 Λύση X = 0,129 Y = 0,1118 n1 = 4 n2 = 6 2 ( ) 2 X i X S1 = = 0, n1 1 2 ( ) 2 Yi Y S2 = = 0, n ( n1 1) S1 + ( n2 1) S2 S = = 0, n1 + n2 2 0,129 0,1118 t = = 2, , Τιµόθεος Αγγελίδης 30

31 Οι βαθµοί ελευθερίας είναι ν=n 1 +n 2-2=8, από τους πίνακες t 8,5% = 2, 306. Επειδή 2,24<2,306 δεν απορρίπτουµε την Η ο σε επίπεδο 5% Μεγάλα δείγµατα Όταν τα δείγµατα είναι µεγάλα, δεν είναι απαραίτητο οι κατανοµές των δύο πληθυσµών να είναι κανονικές. Με βάση το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα, θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τη κατανοµή. Έλεγχοι υποθέσεων για αναλογίες Τιµόθεος Αγγελίδης 31

32 Παραδείγµατα Τιµόθεος Αγγελίδης 32

33 4. Έλεγχοι υποθέσεων για τη διακύµανση ενός κανονικού πληθυσµού. Ο έλεγχος υποθέσεων για τη διακύµανση ενός πληθυσµού δεν έχει τη γενική µορφή που έχουµε ήδη περιγράψει. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι ότι ο πληθυσµός κατανέµεται κανονικά για να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα:, όπου είναι η µεταβλητότητα του δείγµατος. Η κατανοµή είναι ασυµµετρική και γι αυτό λέµε ότι, για παράδειγµα, τα 95% όρια εµπιστοσύνης καθορίζεται από δύο τιµές και, όπως φαίνεται από το επόµενο γράφηµα. Οι τιµές και Τιµόθεος Αγγελίδης 33

34 εξαρτώνται από τους βαθµούς ελευθερίας από τους οποίους εξαρτάται οπωσδήποτε και η µορφή της κατανοµής. Χαρακτηριστικά της κατανοµής Η χ2 µεταβλητή δεν µπορεί να λάβει αρνητικές τιµές, εποµένως το κάτω όριο της είναι το µηδέν. Η χ2 µεταβλητή είναι δεξιά ασύµµετρη. Η χ2 µεταβλητή προσεγγίζει την κανονική όταν αυξάνονται οι βαθµοί ελευθερίας. Για τον έλεγχο υποθέσεων χρησιµοποιούµε τη στατιστική ελέγχου: Τιµόθεος Αγγελίδης 34

35 Από έναν κανονικό πληθυσµό πήραµε ένα δείγµα µε τιµές 30, 40, 28, 54. Ζητείται να ελεγχθεί η υπόθεση: Η 0 : σ 2 =30 Η 1 : σ 2 >30 σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. Λύση 2 X ) ( n 1) S 3(141,3) Στατιστικό στοιχείο: = = 14, 13 όπου 2 i S = = 141, 3 2 σ 30 0 n Κριτική τιµή: οι βαθµοί ελευθερίας είναι ν=n-1=4-1=3, α=5%, οπότε = χ 7, 81 Επειδή 14,13>7,81 απορρίπτεται η Η ο. ( X 2 χ ν, α 3,5% = Σε µία µεγάλη πόλη η µηνιαία δαπάνη για κρέας µίας τετραµελούς οικογένειας κατανέµεται κανονικά µε διακύµανση σ 2 Σε επίπεδο σηµαντικότητας α =5% να ελέγξετε την υπόθεση Ηο: =20 έναντι της εναλλακτικής αν σε ένα δείγµα 15 οικογενειών η διακύµανση είναι. Επίσης να υπολογίσετε τη δύναµη του ελέγχου για σ 2 =10 Λύση Υπολογίζουµε την τιµή της στατιστικής ελέγχου Η τιµή αυτή βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης, αφού, ενώ Υπολογισµός της δύναµης του ελέγχου για σ 2 =10 Επειδή,, η δύναµη ισούται µε Τιµόθεος Αγγελίδης 35

36 Η δύναµη αυτή είναι πολύ µικρή, αφού στα 2/3 των περιπτώσεων δεν θα απορρίπταµε την αρχική υπόθεση ότι σ 2 =20, ενώ στην πραγµατικότητα η τιµή της θα ήταν : σ 2 =10 Τιµόθεος Αγγελίδης 36

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

ιαστήµατα Εµπιστοσύνης ιαστήµατα Εµπιστοσύνης Ορισµοί: ιάστηµα Εµπιστοσύνης (Cofidece Iterval): Είναι ένα διάστηµα που βασίζεται σε παρατηρήσεις ενός δείγµατος και είναι καθορισµένο µε τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει µια συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Α σ1 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Ζήτηµα 1 ο (3 µονάδες) Εξετάσεις Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Στατιστική Θεσσαλονίκη: 03/03/2012 Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Η Υπόθεση είναι μία πεποίθηση σχετικά με μία παράμετρο Παράμετρος μπορεί να είναι ο μέσος ενός πληθυσμού, ένα ποσοστό, ένας συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η µέθοδος αυτή µας βοηθά να διαπιστώσουµεεάνταδεδοµένα του δείγµατος υποστηρίζουν την υπόθεση ότι η παράµετρος του πληθυσµού έχει µια συγκεκριµένη

Η µέθοδος αυτή µας βοηθά να διαπιστώσουµεεάνταδεδοµένα του δείγµατος υποστηρίζουν την υπόθεση ότι η παράµετρος του πληθυσµού έχει µια συγκεκριµένη Έλεγχος Υποθέσεων: Είναι µια µέθοδος της Στατιστικής Συµπερασµατολογίας (tatitical iferece) που µας βοηθά να βγάλουµε συµπεράσµατα σε σχέση µετηντιµή µιας παραµέτρου του πληθυσµού, συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών

Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Στατιστική Λυµένες Ασκήσεις, Πολιτικοί Μηχανικοί Ιανουάριος 6 Λυµένες Ασκήσεις στο Μάθηµα Στατιστικής στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μέρος Α Θεωρία Πιθανοτήτων Άσκηση [Θέµα στις εξετάσεις Φεβρουαρίου ]

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ - ΠΡΟΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II. Μία περίληψη του εξαµηνιαίου µαθήµατος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II - ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ - ΠΡΟΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II. Μία περίληψη του εξαµηνιαίου µαθήµατος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II - ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ - ΠΡΟΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II Μία περίληψη του εξαµηνιαίου µαθήµατος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II - ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Γιώργος Ηλιόπουλος (Αλλά όλοι τα ίδια ϑα σας έλεγαν) Η Στατιστική χρησιµοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληπτικές κατανομές

Δειγματοληπτικές κατανομές Δειγματοληπτικές κατανομές Κατανομές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο υποθέσεων στα δείγματα Κανονική κατανομή (z-κατανομή) t-κατανομή Χ κατανομή F-κατανομή Ζητάμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα