Δασική Δειγματοληψία

Transcript

1 Δασική Δειγματοληψία Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων 5 ο εξάμηνο ΚΙΤΙΚΙΔΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ

2 Εισαγωγή Δειγματοληψία Επιλογή ενός μέρους από ένα σύνολο υλικών που να αντιπροσωπεύει την ολότητα Πράξη ή διαδικασία της επιλογής ενός συνόλου από έναν πληθυσμό για ελέγχους, αναλύσεις, ομαδοποιήσεις κτλ. Ένταση δειγματοληψίας I 00 όπου: N μέγεθος δείγματος Ν μέγεθος πληθυσμού. f Για δάση I 00 όπου: F f έκταση δείγματος F έκταση δάσους. Μονάδες δειγματοληψίας Μη επικαλυπτόμενες συλλογές στοιχείων (μελών) από τον πληθυσμό Κλάσμα του πληθυσμού που δε μπορεί να διαιρεθεί άλλο (ορισμός πιο κοντινός στη δασολογία). Πλαίσιο δειγματοληψίας Κατάλογος όλων ανεξαρτήτως των δειγματοληπτικών μονάδων του πληθυσμού. Είδη δειγματοληπτικών μονάδων. Άνθρωπος. Ομάδα ατόμων 3. Φυτό ή δέντρο 4. Επιφάνεια σταθερού μεγέθους 5. Επιφάνεια με μορφή λωρίδας 6. Επιφάνεια μεταβλητού μεγέθους (επιφάνεια Bitterlich) 7. Σύνθετη επιφάνεια (αποτελείται από μονάδες διαφορετικού μεγέθους ή και είδους που λέγονται δορυφόροι ή ομάδες). Πλεονεκτήματα των δειγματοληπτικών μεθόδων Μικρότερο κόστος (σε σχέση με την απογραφή) Μεγαλύτερη ταχύτητα Μεγαλύτερη έκταση εφαρμογής

3 Μεγαλύτερη ακρίβεια Μειονέκτημα: δεν έχουμε πραγματική τιμή των παραμέτρων όπως στην καθολική απογραφή, αλλά εκτίμηση αυτών. Δειγματοληπτικές μέθοδοι πιθανοτήτων Οι δειγματοληψίες όπου κάθε δυνατό δείγμα μιας ορισμένης διαδικασίας μεγέθους έχει γνωστή, όχι κατ ανάγκη ίση, πιθανότητα να επιλεγεί από τον πληθυσμό, μεγέθους Ν. Είναι οι εξής:. Απλή τυχαία δειγματοληψία. Στρωματωμένη δειγματοληψία 3. Συστηματική δειγματοληψία 4. Δειγματοληψία άνισων πιθανοτήτων 5. Πολυσταδιακή δειγματοληψία 6. Πολυφασική δειγματοληψία 7. Δειγματοληψία σε διαδοχικές περιπτώσεις Απλή τυχαία δειγματοληψία Είναι η μέθοδος κατά την οποία, από πληθυσμό μεγέθους Ν παίρνουμε δείγμα μεγέθους (<Ν), έτσι ώστε κάθε δυνατό δείγμα να έχει την ίδια, όχι απλώς γνωστή, πιθανότητα να επιλεγεί. Το δείγμα που έχει επιλεχτεί με αυτή τη μέθοδο λέγεται απλό τυχαίο δείγμα. Απλή τυχαία δειγματοληψία χωρίς επανάθεση Οι μονάδες του δείγματος επιλέγονται όλες μαζί από τον πληθυσμό ή, όταν επιλέγονται μια μια, κάθε φορά που ένα μέλος του πληθυσμού μπαίνει στο δείγμα, το μέλος αυτό δεν επανατοποθετείται στον πληθυσμό (έτσι δε μπορεί να μπει στο δείγμα παραπάνω από μια φορά). Δυνατά διαφορετικά δείγματα από πληθυσμό Ν συνδυασμοί των Ν πραγμάτων N N! ανά!( N )! Απλή τυχαία δειγματοληψία με επανάθεση Tο δείγμα των μονάδων επιλέγεται μονάδα μονάδα. Έτσι, όλα τα μέλη έχουν την ίδια πιθανότητα να μπουν στο δείγμα σε καθεμιά από τις επιλογές (ένα ή

4 περισσότερα μέλη του πληθυσμού μπορούν να μπουν ή περισσότερες φορές στο δείγμα). Δυνατά διαφορετικά δείγματα από πληθυσμό Ν Ν. Εκτίμηση παραμέτρων Σε κάθε μέθοδο δειγματοληψίας υπολογίζουμε διάφορους εκτιμητές ˆ θ των άγνωστων παραμέτρων θ (αριθμητικός μέσος, διακύμανση, τυπική απόκλιση κτλ) του πληθυσμού. Ένας εκτιμητής λέγεται αμερόληπτος όταν ο αριθμητικός μέσος του (προσδοκώμενη τιμή ή μαθηματική ελπίδα) είναι ίσος με την τιμή του εκτιμητή για τον πληθυσμό. Εκτίμηση του αριθμητικού μέσου όρου ˆ μ i i Εκτίμηση της συνολικής τιμής ˆ N T N i i Εκτίμηση της διακύμανσης του αριθμητικού μέσου όρου όπου: ( i ) i (είναι η διακύμανση του δείγματος) N N (-f) διόρθωση πεπερασμένου πληθυσμού (- f) Όταν στην απλή τυχαία δειγματοληψία χωρίς επανάθεση το δειγματοληπτικό κλάσμα N <5-0% ή όταν έχουμε απλή τυχαία δειγματοληψία με επανάθεση είναι (-f). Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου Εκτίμηση της διακύμανσης της συνολικής τιμής N Tˆ Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος της συνολικής τιμής Tˆ Tˆ 3

5 Παράδειγμα υπολογισμού της μεροληψίας διάφορων εκτιμητών Έστω πως έχουμε έναν πληθυσμό με τιμές Χ i 0, 0, 0,3 0,4 και 0,5. Ο αριθμητικός μέσος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι αμερόληπτοι εκτιμητές των παραμέτρων του πληθυσμού; Α/Α δείγματος Μονάδες δείγματος Τιμές μονάδων Αριθμητικός Διακύμανση μέσος i i i i i ( i ) η και η 0, 0, 0,50 0,005 0,07 η και 3η 0, 0,3 0,00 0,00 0,4 3 η και 4η 0, 0,4 0,50 0,045 0, 4 η και 5η 0, 0,5 0,300 0,080 0,83 5 η και 3η 0, 0,3 0,50 0,005 0,07 6 η και 4η 0, 0,4 0,300 0,00 0,4 7 η και 5η 0, 0,5 0,350 0,045 0, 8 3η και 4η 0,3 0,4 0,350 0,005 0,07 9 3η και 5η 0,3 0,5 0,400 0,00 0,4 0 4η και 5η 0,4 0,5 0,450 0,005 0,07 Αριθμητικός μέσος 0,300 0,05 0,4 Τυπική απόκλιση διακύμανσης Αριθμητικός μέσος του πληθυσμού μ 5 5 i 5 Διακύμανση του πληθυσμού σ ( i μ ) 5 i i 0,300 (αμερόληπτος εκτιμητής) 0,05 (αμερόληπτος εκτιμητής) Τυπική απόκλιση του πληθυσμού σ σ 0,58 (μεροληπτικός εκτιμητής) Διαστήματα εμπιστοσύνης Εδώ για την εκτίμηση της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται ένα κλειστό διάστημα τιμών από Κ (κατώτερο όριο) ως Α (ανώτερο όριο) δηλ. [Κ-Α], το οποίο λέγεται διάστημα εμπιστοσύνης. Ρ(Κ θ Α)-α όπου (-α) είναι η πιθανότητα το [Κ-Α] να περιέχει την πραγματική τιμή θ του πληθυσμού. Το α λέγεται επίπεδο σημαντικότητας και είναι η πιθανότητα το [Κ-Α] να μην περιέχει την πραγματική τιμή θ του πληθυσμού. Το (-α) είναι μέτρο αξιοπιστίας της εκτίμησης και λέγεται επίπεδο εμπιστοσύνης ή στατιστική ασφάλεια. 4

6 Το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης, δηλ. η διαφορά (Α-Κ) είναι μέτρο ακρίβειας της εκτίμησης (μικρό εύρος σημαίνει μεγάλη ακρίβεια). Τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης βρίσκονται από τους τύπους K ˆ θ Ξ ˆ θ Α θˆ +Ξ θˆ όπου Ξ είναι η τιμή μιας θεωρητικής κατανομής και ˆ θ το τυπικό σφάλμα του ˆ θ. Κάθε ˆ θ έχει το δικό του τύπο για τον υπολογισμό του ˆ θ. Αν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό (<30) τότε Ξ είναι η τιμή της t (Studet) κατανομής, για βαθμούς ελευθερίας (-) και πιθανότητα (-α). Αν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (>30) τότε Ξ είναι η τιμή της Ζ κατανομής (τυπική κανονική) για πιθανότητα α. Παράδειγμα υπολογισμού διαστήματος εμπιστοσύνης για τον αριθμητικό μέσο. Οι διάμετροι δείγματος 8 δέντρων είναι 0, 5, 3, 45, 43, 8, και 30 cm. Να κατασκευαστεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την αριθμητική μέση διάμετρο του πληθυσμού μ. Λύση Το δείγμα έχει μέγεθος <30, οπότε η κατανομή δειγματοληψίας της μεταβλητής «διάμετρος» ακολουθεί την t (Studet) κατανομή, με (-)7 βαθμούς ελευθερίας και έχουμε: ˆ t(, a) ˆ μ ˆ (, a) μ μ μ μ + t ˆ ˆμ ( )/8 8 cm Για 7 βαθμούς ελευθερίας και πιθανότητα (-0,95) 0,05 είναι t,365. ˆ μ 5

7 8 i i 7 ( μ ) ( ) ( ) ˆ ,857 30,857 Άρα ˆ μ 4, Άρα 8-,365. 4,0444 μ 8+,365. 4,0444 δηλαδή 8,435 μ 37,565 cm. Εκτίμηση μεγέθους δείγματος με δεδομένη ακρίβεια και ελάχιστο κόστος t tcv e d (απλή τυχαία δειγματοληψία με επανάθεση) Nt Nt cv Ne + t Nd + t cv όπου: t e (απλή τυχαία δειγματοληψία χωρίς επανάθεση) η τιμή της t (Studet) κατανομής με πιθανότητα (-α) και (-) βαθμούς ελευθερίας εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού από τα δεδομένα του δείγματος η μέγιστη παραδεκτή διαφορά μεταξύ δειγματικού και άγνωστου μέσου του πληθυσμού σε απόλυτη τιμή (ακρίβεια εκτίμησης ή επιθυμητό σφάλμα) cv εκτίμηση του συντελεστή κύμανσης του πληθυσμού από τα δεδομένα του δείγματος 00 e d ό,τι και το e αλλά εκφρασμένο ως ποσοστό % του μέσου όρου 00 Για να υπολογίσουμε τα t, και cv χρειαζόμαστε το μέγεθος του δείγματος (αδιέξοδο), οπότε χρησιμοποιούμε: Παλιότερα δεδομένα για τον υποψήφιο πληθυσμό Παρόμοιους πληθυσμούς με γνωστά τα απαραίτητα στοιχεία Προδειγματοληψία ή δειγματοληψία οδηγού. 6

8 Παράδειγμα εύρεσης μεγέθους δείγματος με προδειγματοληψία Έστω πως έχουμε ένα δάσος και πήραμε προδείγμα μεγέθους 0 με διαμέτρους 3 7, ,5 0 7,5,5, ,5 3, ,5 5,5 cm. Ποιο πρέπει να είναι το μέγεθος του τελικού δείγματος, για να έχουμε ακρίβεια στην εκτίμηση της διαμέτρου d 0%; (πιθανότητα α 5%). tcv d Η τιμή του t για πιθανότητα α0,05 και (0-)9 βαθμούς ελευθερίας είναι,093. Συντελεστής κύμανσης δείγματος cv 00 i ( i ) 0. 0 Με αντικατάσταση βρίσκουμε 57. με 0 i και 0 i Εκτίμηση μεγέθους δείγματος με δεδομένο κόστος C C0 CC 0 +C C όπου: C σταθερό κόστος για να πάρουμε το δείγμα C 0 γενικά έξοδα C συνολικό κόστος λήψης πληροφοριών μιας μονάδας του δείγματος Στρωματωμένη τυχαία δειγματοληψία Είναι μέθοδος κατά την οποία χωρίζουμε τον πληθυσμό Ν σε L στρώματα. Κάθε στρώμα αποτελείται από παρόμοιες μονάδες, όσον αφορά στο χαρακτηριστικό που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Το στρωματωμένο τυχαίο δείγμα αποτελείται από τα απλά τυχαία δείγματα k (k,,, L) που επιλέγονται από τα στρώματα ( από κάθε στρώμα). Δηλαδή k. Η επιλογή ενός στρωματωμένου τυχαίου δείγματος πρέπει να γίνεται έτσι ώστε τα απλά τυχαία δείγματα να είναι ανεξάρτητα, δηλαδή οι παρατηρήσεις ενός στρώματος να μην εξαρτώνται από τις παρατηρήσεις των άλλων στρωμάτων. 7

9 Το καλύτερο κριτήριο για το σχηματισμό των στρωμάτων, όταν ο μόνος λόγος της στρωμάτωσης είναι να πάρουμε εκτιμήσεις με τη μικρότερη διακύμανση, είναι η κατανομή των συχνοτήτων της μεταβλητής που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Προσεγγιστική μέθοδος: παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα των συχνοτήτων και στη συνέχεια σχηματίζουμε την αθροιστική συχνότητα της τετραγωνικής ρίζας των συχνοτήτων. Το σύνολο των τετραγωνικών ριζών διαιρείται με τον επιθυμητό αριθμό στρωμάτων. Τα όρια των στρωμάτων θα πρέπει να είναι όσο το δυνατό πλησιέστερα σε ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας αυτής, από μέχρι τον αριθμό των στρωμάτων μείον. Παράδειγμα σχηματισμού στρωμάτων με την προσεγγιστική μέθοδο Έστω πως έχουμε την παρακάτω κατανομή συχνοτήτων των όγκων των δέντρων ενός δάσους. Να κατασκευαστούν 4 στρώματα. Όγκος (m 3 /ha) Συχνότητα [0,50) 50 [50,00) 35 [00,50) 68 [50,00) 0 [00,50) 86 [50,300] 90 Φτιάχνουμε τον εξής πίνακα: Συχνότητα Τετραγωνική ρίζα Αθροιστική τετραγωνική ρίζα 50 7,07 7,07 35,69 8,690 68,96 3,65 0 4,77 45, ,9 6, ,784 76,55 Σύνολο 76,55 Είναι 76,55/4 9,3 Τα όρια των 4 στρωμάτων θα πρέπει να είναι όσο το δυνατό πιο κοντά στις τιμές 9,3 (٠9,3)38,6 (3٠9,3)57,393 και (4٠9,3)76,55 της τελευταίας στήλης, δηλαδή 8

10 Αθροιστική τετραγωνική ρίζα 7,07 ο στρώμα [0,00) 8,690 3,65 ο στρώμα [00,00) 45,89 6,740 3 ο στρώμα [00,50) 76,55 4 ο στρώμα [50,300] Αν ο πληθυσμός που μελετάμε είναι δάσος, τα στρώματα μπορούν να γίνουν παίρνοντας υπόψη την τοπογραφική διαμόρφωση, τους δασικούς τύπους, την πυκνότητα των συστάδων, το ξυλαπόθεμα ή την ποιότητα τόπου. Οι εκτιμήσεις μπορούν να γίνουν είτε για κάθε στρώμα χωριστά (βλέπε απλή τυχαία δειγματοληψία) είτε για όλον τον πληθυσμό ως σύνολο. Παρακάτω αναφερόμαστε σε εκτιμήσεις ολόκληρου του πληθυσμού. Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση του αριθμητικού μέσου όρου ˆ μ N+ N +... N + L L L N N k N Εκτίμηση της συνολικής τιμής Tˆ N N L Εκτίμηση της διακύμανσης του αριθμητικού μέσου όρου k L k ( N + N NL ) N L k fk N N k k όπου f k δειγματοληπτικό κλάσμα δειγματοληψία). k N k k k k k ( ) (ισχύει ό,τι και στην απλή τυχαία Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου Εκτίμηση της διακύμανσης της συνολικής τιμής N Tˆ Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος της συνολικής τιμής Tˆ Tˆ Διανομή του μεγέθους δείγματος στα στρώματα. Ίσα δείγματα σε κάθε στρώμα. Αναλογική διανομή (ανάλογα με το μέγεθος του κάθε στρώματος) 9

11 3. Άριστη διανομή: το συνολικό δείγμα κατανέμεται στα στρώματα έτσι ώστε να έχει την ελάχιστη διακύμανση. Το κόστος λήψης δειγματοληπτικών μονάδων μπορεί να είναι το ίδιο σε όλα τα στρώματα (άριστη διανομή με ίσο κόστος) ή άνισο στα διάφορα στρώματα (άριστη διανομή με άνισο κόστος). Η στρωμάτωση είναι επιτυχής, όταν η διακύμανση μεταξύ των στρωμάτων είναι πολύ μεγάλη (πχ >80% της συνολικής διακύμανσης) ή όταν η διακύμανση μέσα στα στρώματα είναι πολύ μικρή (πχ <0%). Συστηματική δειγματοληψία N Επιλέγουμε τυχαία μια μονάδα α k ( k με Ν το μέγεθος του πληθυσμού και το μέγεθος του δείγματος). Οι υπόλοιπες μονάδες του συστηματικού δείγματος θα είναι α α + k, α 3 α +k κτλ μέχρι να σχηματίσουμε το συστηματικό δείγμα μεγέθους. Κύριο χαρακτηριστικό της συστηματικής δειγματοληψίας είναι ότι κατανέμει ομοιόμορφα το δείγμα μέσα στον πληθυσμό. Παρατήρηση: Αν το k δεν είναι ακέραιος αριθμός, στρογγυλεύεται προς τα κάτω. Παράδειγμα σχηματισμού συστηματικού δείγματος σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό Από έναν πληθυσμό Ν65 να παρθεί συστηματικό δείγμα μεγέθους 7. Είναι N 65 k 9 7 Έστω πως η πρώτη μονάδα που επιλέχτηκε τυχαία από τους αριθμούς που είναι 9 είναι το 3. Το συστηματικό δείγμα αποτελείται από τους αριθμούς 3,,, 30, 39, 48 και 57. Η επιλογή του συστηματικού δείγματος μπορεί να γίνει, εκτός από τον ορισμό, και με τους εξής τρόπους: Μέθοδος από το κέντρο του πληθυσμού Αν Ν μονός (περιττός) αριθμός επιλέγουμε την πρώτη μονάδα του δείγματος k + k k + α. Αν Ν ζυγός (άρτιος) αριθμός επιλέγουμε α ή α. Οι υπόλοιπες μονάδες του συστηματικού δείγματος θα είναι α α + k, α 3 α +k, 0

12 α 4 α +3k, α 5 α +4k κτλ μέχρι να σχηματίσουμε το συστηματικό δείγμα μεγέθους. Παρατήρηση: Αν το k δεν είναι ακέραιος αριθμός, στρογγυλεύεται προς τα κάτω. Παράδειγμα σχηματισμού συστηματικού δείγματος από το κέντρο του πληθυσμού Από έναν πληθυσμό Ν65 να παρθεί συστηματικό δείγμα μεγέθους 7. Είναι N k 9. Το 65 είναι μονός αριθμός, άρα επιλέγω α 5. 7 Το συστηματικό δείγμα αποτελείται από τους αριθμούς 5, 4, 3, 3, 4, 50 και 59. Μέθοδος Sampford Επιλέγουμε τυχαία μια μονάδα α Ν και οι υπόλοιπες μονάδες του συστηματικού δείγματος θα είναι α α + k, α 3 α -k, α 4 α +k, α 5 α -k κτλ μέχρι να σχηματίσουμε το συστηματικό δείγμα μεγέθους. Παρατήρηση: Αν το k δεν είναι ακέραιος αριθμός, στρογγυλεύεται προς τα κάτω. Παράδειγμα σχηματισμού συστηματικού δείγματος με τη μέθοδο Sampford Από έναν πληθυσμό Ν65 να παρθεί συστηματικό δείγμα μεγέθους 7. Είναι N 65 k 9 7 Έστω πως η πρώτη μονάδα που επιλέχτηκε τυχαία από τους αριθμούς που είναι 65 είναι το 0. Το συστηματικό δείγμα αποτελείται από τους αριθμούς 0, (0+9)9, (0-9), (0+ 9)8, (0-9)-8 απορρίπτεται, (0+3*9)37, (0-3*9)-7 απορρίπτεται, (0+4*9)46, (0-4*9)-6 απορρίπτεται, (0+5*9)55. Τελικό δείγμα: 0, 9,, 8, 37, 46, 55. Μέθοδος Lahiri Cochra Επιλέγουμε τυχαία μια μονάδα α Ν και οι υπόλοιπες μονάδες του συστηματικού δείγματος θα είναι α α + k, α 3 α +k κτλ μέχρι να σχηματίσουμε το συστηματικό δείγμα μεγέθους. Αν συμβεί α i >Ν, τότε διορθώνουμε α α i -Ν, οπότε α i+ α +k κ.ο.κ. Παρατήρηση: Αν το k δεν είναι ακέραιος αριθμός, στρογγυλεύεται κανονικά, δηλαδή προς τον πλησιέστερο ακέραιο. Παράδειγμα σχηματισμού συστηματικού δείγματος με τη μέθοδο Lahiri Cochra Από έναν πληθυσμό Ν65 να παρθεί συστηματικό δείγμα μεγέθους 7. Είναι N 65 k 9 7 i i

13 Έστω πως η πρώτη μονάδα που επιλέχτηκε τυχαία από τους αριθμούς που είναι 65 είναι το 3. Το συστηματικό δείγμα αποτελείται από τους αριθμούς 3, (3+9)40, (3+*9)49, (3+3*9)58, (3+4*9)67>65 άρα (67-65), (+9), (+*9)0. Τελικό δείγμα: 3, 40, 49, 58,,, 0. Σχέση διακυμάνσεων των παραμέτρων και διάταξης των μελών του πληθυσμού Αν η μεταβλητή (ή οι μεταβλητές) του πληθυσμού είναι τυχαία (τυχαίες), τότε οι διακυμάνσεις των παραμέτρων στην απλή τυχαία δειγματοληψία είναι ίσες με τις αντίστοιχες στη συστηματική δειγματοληψία. Αν η μεταβλητή ές του πληθυσμού δεν είναι τυχαία ες, δηλαδή η διάταξη των μελών του πληθυσμού ως προς τη μεταβλητή / τις μεταβλητές εμφανίζει τάση (γραμμική, περιοδική), τότε οι διακυμάνσεις των παραμέτρων στην απλή τυχαία δειγματοληψία είναι μικρότερες ή μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες στη συστηματική δειγματοληψία. Όμως, ακόμα και όταν υπάρχει τάση, μπορούμε να πάρουμε αμερόληπτες εκτιμήσεις των διακυμάνσεων των παραμέτρων (δηλαδή όπως στην απλή τυχαία δειγματοληψία), αν πάρουμε περισσότερα από ένα συστηματικά δείγματα. Δειγματοληψία άνισων (ή μεταβλητών) πιθανοτήτων Είναι μέθοδος κατά την οποία τα μεγαλύτερα μέλη του πληθυσμού έχουν μεγαλύτερες πιθανότητες επιλογής απ ό,τι τα μικρότερα (σε αντίθεση με την απλή τυχαία, τη στρωματωμένη και τη συστηματική δειγματοληψία). Κατηγορίες της δειγματοληψίας άνισων πιθανοτήτων:. Δειγματοληψία καταλόγου με άνισες πιθανότητες. Δειγματοληψία με πιθανότητα ανάλογη προς την πρόβλεψη (Probability Proportioal to Predictio, PPP ή 3P) 3. Δειγματοληψία με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθος (Probability Proportioal to Size, PPS).

14 Δειγματοληψία καταλόγου με άνισες πιθανότητες Εδώ κάνουμε δειγματοληψία με επανάθεση γιατί, παρόλο που μπορεί να πάρουμε την ίδια μονάδα ή περισσότερες φορές μέσα στο δείγμα, η πιθανότητα αυτή είναι μικρή αν ο πληθυσμός είναι μεγάλος ή το ποσοστό δειγματοληψίας μικρό (η δειγματοληψία μπορεί να γίνει και χωρίς επανάθεση, όμως τότε οι τύποι στην εκτίμηση παραμέτρων γίνονται πιο περίπλοκοι). Χρειαζόμαστε κατάλογο όλων των μελών του πληθυσμού και μια, έστω χοντρική, εκτίμηση του μεγέθους της μεταβλητής που μας ενδιαφέρει για κάθε μέλος του πληθυσμού, πριν τη δειγματοληψία. Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση του αριθμητικού μέσου όρου Yi ˆ μ R Ri, όπου Y i η ακριβής (πραγματική) τιμή της i i i μεταβλητής της μονάδας i και i η αρχική τιμή που εκτιμήθηκε για τη μονάδα i. Εκτίμηση της συνολικής τιμής T ˆ T R Εκτίμηση της διακύμανσης του αριθμητικού μέσου όρου ( R) R ( i ) ( ) R R R i ( ) Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου R R Εκτίμηση της διακύμανσης της συνολικής τιμής ( R) ˆ TS T T R ( i ) ( ) R R T R i ( ) Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος της συνολικής τιμής Tˆ Tˆ 3

15 Παράδειγμα δειγματοληψίας καταλόγου με άνισες πιθανότητες Έστω πως ένας πληθυσμός 0 δέντρων έχει τους εξής όγκους: Δέντρο Όγκος (m 3 ) 0,5 0,7 3 0, 4,7 5,9 6,6 7 0, 8 6,6 9,5 0,6 Να παρθεί δείγμα 3 με δειγματοληψία καταλόγου με άνισες πιθανότητες. Σχηματίζω τον εξής πίνακα: Δέντρο Εκτιμηθείς όγκος (m 3 ) Αθροιστικός όγκος (m 3 ) Αριθμοί που αντιστοιχούν σε κάθε δέντρο 0,5 0,5 ως και 5 0,7, 6 ως και 3 0,,3 3 4,7 3 4 ως και 30 5,9 4,9 3 ως και 49 6,6 6,5 50 ως και , 6, ,6 3, 67 ως και 3 9,5 4,7 33 ως και 47 0,6 6,3 48 ως και 63 Έστω πως επιλέχτηκαν τυχαία οι αριθμοί 5, 9 και 36. Οι αριθμοί αυτοί αντιστοιχούν στα δέντρα, 4 και 5, τα οποία μπαίνουν στο δείγμα. Για την εκτίμηση παραμέτρων, πρέπει να μετρηθούν οι ακριβείς (πραγματικοί) όγκοι τους. Δειγματοληψία με πιθανότητα ανάλογη προς την πρόβλεψη (Probability Proportioal to Predictio, PPP ή 3P) Εδώ δε χρειάζεται κατάλογος των μελών του πληθυσμού πριν τη δειγματοληψία, αλλά ο κατάλογος δημιουργείται καθώς η δειγματοληψία προχωρεί. Ο δειγματολήπτης πρέπει να επισκεφτεί ένα ένα κάθε μέλος του πληθυσμού κατά την εκτέλεση της δειγματοληψίας. 4

16 Χρειάζεται μια εκτίμηση της συνολικής τιμής του πληθυσμού ˆ και μια εκτίμηση της τιμής του πιο μεγάλου μέλους του πληθυσμού K. Από ειδικό πίνακα τυχαίων αριθμών για δειγματοληψία 3Ρ παίρνουμε τυχαίους αριθμούς από μέχρι και ˆ KZ ( το μέγεθος του δείγματος). Τυχαίοι αριθμοί >Κ απορρίπτονται. Καλό θα είναι οι τυχαίοι αριθμοί να είναι περισσότεροι από το μέγεθος του δείγματος. Στο ύπαιθρο, γίνεται εκτίμηση της τιμής για το πρώτο μέλος του πληθυσμού και σύγκριση της τιμής με τον πρώτο τυχαίο αριθμό. Αν Αν Αν K, τυχαίος αριθμός >Κ ή > το μέλος δε μπαίνει στο δείγμα. K, τυχαίος αριθμός το μέλος μπαίνει στο δείγμα. > K το μέλος δε μπαίνει στο δείγμα, αλλά μετριέται η τιμή του με ακρίβεια (μεμονωμένο μέλος με εκτιμηθείσα τιμή ΧΜ). Η ίδια διαδικασία ακολουθείται για το δεύτερο μέλος του πληθυσμού με εκτιμηθείσα τιμή Χ, Χ 3, Τα μεμονωμένα μέλη έχουν εκτιμηθείσα τιμή ΧΜ, ΧΜ, Τέλος, μετριούνται οι ακριβείς (πραγματικές) τιμές των μελών που μπήκαν στο δείγμα Y i, καθώς και των μεμονωμένων YΜ i. 3) Υπολογισμός αποτελεσμάτων (Εκτίμηση παραμέτρων) Εκτίμηση του αριθμητικού μέσου όρου Yi ˆ μ R Ri, όπου Y i η ακριβής (πραγματική) τιμή της i i i μεταβλητής της μονάδας i και i η αρχική τιμή που εκτιμήθηκε για τη μονάδα i, (για τις μονάδες που μπήκαν στο δείγμα, όχι τις μεμονωμένες). Εκτίμηση της συνολικής τιμής T ˆ T R+ YM ( T M ). Εκτίμηση της διακύμανσης του αριθμητικού μέσου όρου ( R) R ( i ) ( ) R R R i ( ) Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου R R Εκτίμηση της διακύμανσης της συνολικής τιμής ( R) ˆ TS T T R ( i ) ( ) R R T R i ( ) 5

17 Εκτίμηση του τυπικού σφάλματος της συνολικής τιμής Tˆ Tˆ Παράδειγμα δειγματοληψίας 3Ρ Έστω πως έχουμε έναν πληθυσμό 0 δέντρων. Να παρθεί δείγμα 3 με δειγματοληψία 3Ρ, με μεταβλητή τον όγκο. Πηγαίνουμε στον πληθυσμό και κάνουμε μια οπτική εκτίμηση του συνολικού όγκου ˆ και του όγκου του μεγαλύτερου δέντρου Κ. Έστω πως ˆ 0 και Κ5. Από ειδικό πίνακα τυχαίων αριθμών για δειγματοληψία 3Ρ παίρνουμε τυχαίους αριθμούς από ˆ 0 μέχρι και KZ 6. Έστω πως οι τυχαίοι αριθμοί είναι, 4, 5, 3 (αντιπροσωπεύουν όγκους 0, 0,4 0,5 και 0, m 3 αντίστοιχα). Το όγκος του ου δέντρου εκτιμήθηκε Χ 0,5m 3. Είναι 0,5<5 και 0,<0,5 άρα το δέντρο μπαίνει στο δείγμα. Το όγκος του ου δέντρου εκτιμήθηκε Χ 0,7m 3. Είναι 0,7<5 και 0,4<0,7 άρα το δέντρο μπαίνει στο δείγμα. Το όγκος του 3 ου δέντρου εκτιμήθηκε Χ 0,m 3. Είναι 0,<5 και 0,5>0, άρα το δέντρο δε μπαίνει στο δείγμα. Το όγκος του 4 ου δέντρου εκτιμήθηκε Χ,7m 3. Είναι,7<5 και 0,<,7 άρα το δέντρο μπαίνει στο δείγμα. Δειγματοληψία με πιθανότητα ανάλογη προς το μέγεθος (Probability Proportioal to Size, PPS) Μέθοδος Δειγματοληπτική επιφάνεια Όργανα Όργανα που Κατά σημεία (μέγεθος δείγματος αριθμός Κυκλική επιφάνεια προβάλλουν μια σταθερή οριζόντια γωνία φ πάνω στη στηθιαία διάμετρο του σημείων στάσης) δέντρου (απλά Οριζόντια γωνιόμετρα, δειγματοληψία Κατά γραμμές σφηνοειδή πρίσματα, (μέγεθος δείγματος αριθμός γραμμών) Ορθογώνιο όργανα με αυτόματη διόρθωση για κλίση εδάφους όπως το ρελασκόπιο Bitterlich). 6

18 Κατά σημεία (μέγεθος δείγματος αριθμός σημείων στάσης) Κυκλική επιφάνεια Όργανα που προβάλλουν μια σταθερή κατακόρυφη γωνία θ πάνω στο ύψος του δέντρου Κατακόρυφη δειγματοληψία Κατά γραμμές (μέγεθος (γωνιόμετρα Hirata, κλισίμετρα, υψόμετρα, ρελασκόπιο Bitterlich δείγματος αριθμός γραμμών) Ορθογώνιο με διαφορετικές κλίμακες από την οριζόντια δειγματοληψία). Παρατήρηση: το μέγεθος του δείγματος υπολογίζεται σύμφωνα με τους τύπους που έχουν προαναφερθεί, ενώ η κατανομή των σημείων στάσης γίνεται με απλή τυχαία, στρωματωμένη τυχαία ή συστηματική δειγματοληψία. Οριζόντια δειγματοληψία κατά σημεία Εδώ η πιθανότητα να μπει στο δείγμα ένα δέντρο είναι ανάλογη προς τη στηθιαία κυκλική του επιφάνεια. Από το σημείο στάσης ο παρατηρητής σκοπεύει όλα τα δέντρα του πληθυσμού στο στηθιαίο ύψος, κάνοντας περιστροφή 360 γύρω από το σημείο στάσης. Στο δείγμα μπαίνουν τα δέντρα που εμφανίζουν γωνία>γωνία προβολής φ. Αν η γωνία προβολής είναι ίση με φ, τότε το δέντρο θεωρείται οριακό και, είτε μετριέται ως μισό, είτε μετριέται ως ολόκληρο και το επόμενο οριακό δε μετριέται κ.ό.κ. Εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha στο σημείο στάσης F, όπου i y g F συντελεστής κυκλικής επιφάνειας (συντελεστής του οργάνου) y τιμή της μεταβλητής στο i-οστό δέντρο του σημείου στάσης g στηθιαία κυκλική επιφάνεια του i-οστού δέντρου του σημείου στάσης αριθμός δέντρων στη -οστή στάση. Εκτίμηση του συνολικού όγκου στη στάση v gi ( fh) ( ), όπου (fh) υψομορφάριθμος του Vˆ F F F fh g g i i i i-οστού δέντρου στη στάση. 7

19 Εκτίμηση της συνολικής κυκλικής επιφάνειας στη στάση G ˆ F. Εκτίμηση του αριθμού κορμών/ha στη στάση Nˆ F. g i Εκτίμηση του αθροίσματος διαμέτρων/ha στη στάση ˆ d 4 D F F π d π 4 i i δέντρου στη στάση., όπου d i στηθιαία διάμετρος του i-οστού d Εκτίμηση του αθροίσματος υψομορφαρίθμων στη στάση ( fh) FH. Για να βρω την εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha σε ολόκληρο F i g τον πληθυσμό, διαιρώ την τιμή με τον αριθμό των σημείων στάσης, δηλαδή. Οριζόντια δειγματοληψία κατά γραμμές Εδώ η πιθανότητα να μπει στο δείγμα ένα δέντρο είναι ανάλογη προς τη στηθιαία του διάμετρο. Ο παρατηρητής βαδίζει πάνω στις γραμμές μήκους L (το L είναι σταθερό μέγεθος που παίρνει διάφορες τιμές) και σκοπεύει όλα τα δέντρα του πληθυσμού στο στηθιαίο ύψος, κάθετα προς τη δειγματοληπτική γραμμή, είτε προς τη μια πλευρά της γραμμής είτε και προς τις δυο. Στο δείγμα μπαίνουν τα δέντρα που εμφανίζουν γωνία>γωνία προβολής φ. Αν η γωνία προβολής είναι ίση με φ, τότε το δέντρο θεωρείται οριακό και, είτε μετριέται ως μισό, είτε μετριέται ως ολόκληρο και το επόμενο οριακό δε μετριέται κ.ό.κ. Εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha στο σημείο στάσης f, όπου i y d f συντελεστής διαμέτρου (συντελεστής του οργάνου). Είναι f 500 F. y τιμή της μεταβλητής στο i-οστό δέντρο της γραμμής d στηθιαία διάμετρος του i-οστού δέντρου της γραμμής 8

20 αριθμός δέντρων στη -οστή γραμμή. Εκτίμηση της συνολικής στηθιαίας διαμέτρου στη στάση D ˆ f. Για να βρω την εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha σε ολόκληρο τον πληθυσμό, διαιρώ την τιμή με τον αριθμό των γραμμών, δηλαδή. Κατακόρυφη δειγματοληψία κατά σημεία Εδώ η πιθανότητα να μπει στο δείγμα ένα δέντρο είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του ύψους του. Από το σημείο στάσης ο παρατηρητής σκοπεύει όλα τα δέντρα του πληθυσμού στη βάση και στην κορυφή, κάνοντας περιστροφή 360 γύρω από το σημείο στάσης. Στο δείγμα μπαίνουν τα δέντρα που εμφανίζουν ύψος H>συντελεστή τετραγωνικού ύψους (ύψους Hirata) Ζ. Αν ΗΖ, τότε το δέντρο θεωρείται οριακό και, είτε μετριέται ως μισό, είτε μετριέται ως ολόκληρο και το επόμενο οριακό δε μετριέται κ.ό.κ. Εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha στο σημείο στάσης y Z, όπου h i Ζ συντελεστής τετραγωνικού ύψους (συντελεστής του οργάνου) Είναι Z εφ θ όπου θκατακόρυφη γωνία. π y τιμή της μεταβλητής στο i-οστό δέντρο του σημείου στάσης h τετράγωνο του ύψους του i-οστού δέντρου του σημείου στάσης αριθμός δέντρων στη -οστή στάση. Εκτίμηση του αθροίσματος των τετραγώνων των υψών στη στάση h ˆ Z. Για να βρω την εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha σε ολόκληρο τον πληθυσμό, διαιρώ την τιμή με τον αριθμό των σημείων στάσης, δηλαδή. 9

21 Εκτίμηση του μέσου τετραγωνικού ύψους της συστάδας (μέσου ύψους Hirata) h H 00 εφθ, όπου μέγεθος δείγματος, Nπ το άθροισμα του αριθμού των δέντρων σε κάθε σημείο στάσης και Nο αριθμός των κορμών/ha. Κατακόρυφη δειγματοληψία κατά γραμμές Εδώ η πιθανότητα να μπει στο δείγμα ένα δέντρο είναι ανάλογη προς το ύψος του. Ο παρατηρητής βαδίζει πάνω στις γραμμές μήκους L (το L είναι σταθερό μέγεθος που παίρνει διάφορες τιμές) και σκοπεύει όλα τα δέντρα του πληθυσμού στο στηθιαίο ύψος, κάθετα προς τη δειγματοληπτική γραμμή, είτε προς τη μια πλευρά της γραμμής είτε και προς τις δυο. Στο δείγμα μπαίνουν τα δέντρα που εμφανίζουν ύψος H>συντελεστή ύψους z. Αν η Αν Ηz,, τότε το δέντρο θεωρείται οριακό και, είτε μετριέται ως μισό, είτε μετριέται ως ολόκληρο και το επόμενο οριακό δε μετριέται κ.ό.κ. Εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha στο σημείο στάσης z, όπου i y h z συντελεστής ύψους (συντελεστής του οργάνου). Είναι z 50εφθ,5 π Z. y τιμή της μεταβλητής στο i-οστό δέντρο της γραμμής h ύψος του i-οστού δέντρου της γραμμής αριθμός δέντρων στη -οστή γραμμή. Εκτίμηση του συνολικού ύψους στη στάση h ˆ z. Για να βρω την εκτίμηση της συνολικής τιμής μιας μεταβλητής Υ / ha σε ολόκληρο τον πληθυσμό, διαιρώ την τιμή με τον αριθμό των γραμμών, δηλαδή. 0