Σύγχρονα Θέματα ΔτΜ Γεωμετρία εαρ Μαριάννα Τζεκάκη

Transcript

1 Σύγχρονα Θέματα ΔτΜ Γεωμετρία εαρ Μαριάννα Τζεκάκη

2 Εννοιες χώρου Γεωμετρικές έννοιες Οι χωρικές και γεωμετρικές έννοιες θεωρούνται απλές, λόγω της εποπτικής τους προσέγγισής και της καθημερινής εμπειρίας. Ομως συνοδεύονται από παρανοήσεις ή έλλειψη κατανοήσεων σημαντικών τόσο για την ανάπτυξη πιο τυπικών γεωμετρικών εννοιών όσο για την αντιμετώπιση προβλημάτων της καθημερινής ζωής. Οι απλοϊκές και χωρίς εμβάθυνση προσεγγίσεις αντικαθίστανται με τρεις σημαντικούς συλλογισμούς (Clements & Sarama, 2000). 2

3 Εννοιες χώρου Γεωμετρικές έννοιες Στη θέση της Γεωμετρίας (που συχνά περιλαμβάνει και μετρήσεις), τα σύγχρονα προγράμματα σπουδών προτείνουν την ανάπτυξη: - του χωρικού συλλογισμού (spatial thinking) - του οπτικοποιημένου συλλογισμού (visual thinking) - του γεωμετρικού συλλογισμού (geometric thinking) 3

4 4 Ενα χωρικό πρόβλημα Η τομή ενός κύβου Στην ερώτηση «ποιες ευθείες του κύβου τέμνει η ΚΛ;» σε δευτεροετείς φοιτητές/τριες ελάχιστοι μπορούν να απαντήσουν ή δίνουν απαντήσεις δισδιάστατου τύπου, όπως την «ΕΖ ή την ΔΓ».

5 Χωρικός συλλογισμός Υποβαθμισμένη η ανάπτυξη χωρικών σε σχέση με άλλες έννοιες. Απλοική στην αρχική σχολική ηλικία και μεταγενέστερα εγκατάλειψη της προσέγγισης του χώρου. Ο χώρος περιορίζεται σε εμπειρική και κιναισθητική προσέγγιση που δεν επαρκεί για την ανάπτυξη χωρικού συλλογισμού, χωρικής σκέψης και ικανοτήτων χωρικής λειτουργίας. 5

6 Εννοιες χώρου Ο χώρος αποτελεί σημαντική πηγή ανάπτυξης εννοιών: πρώτη πηγή σημαντικών εννοιών με μεγάλη σημασία (τέχνη, επιστήμη, τεχνολογία). τη βάση ανάπτυξης μαθηματικού συλλογισμού (λύση προβλημάτων με σχέδια, διαγράμματα, δημιουργία μοντέλων, χωρική αντίληψη αριθμητικών εννοιών, κλπ.). στηρίζει την οπτικοποιημένη σκέψη (εικονοποίηση, οπτική αντίληψη και αναπαράσταση χωρικών ή γεωμετρικών και άλλων σχέσεων). 6 Usiskin (1997)

7 7 Εννοιες χώρου

8 Προσδιορισμός χώρου Ο χώρος δεν είναι ενιαίος και σε κάθε του διάσταση επιτρέπει διαφορετικές επεξεργασίες: Οι ίδιες έννοιες και σχέσεις αν παρατηρηθούν - στο μικρο- χώρο (από 0 ως 0.5 του μεγέθους του μαθητή) - στο μεσο- χώρο (0.5 ως 50 του μεγέθους του μαθητή) ή - στο μακρο- χώρο (πάνω από 50 φορές το μέγεθος του μαθητή). Επιτρέπουν διαφορετικούς χειρισμούς και αναπαρίστανται με διαφορετικούς τρόπους (Brousseau, 1997). 8

9 Χωρικές ικανότητες Σύνδεση ανάπτυξης της ικανότητας με τα φύλα (κορίτσια με υψηλές χωρικές ικανότητες είχαν υψηλές επιδόσεις στα μαθηματικά, Casey et als., 2001) Σύνδεση χωρικής ικανότητας με τη μεταγενέστερη μαθηματική ανάπτυξη (όσοι μειονεκτούν στα χωρικά έργα εμφανίζουν υστερήσεις στις μαθηματικές επιδόσεις στη συνέχεια, Levine et als, 1999) Σύνδεση της ελλιπούς εκπαίδευσης με τις δυσκολίες παιδιών και αργότερα ενηλίκων να αντιληφθούν χωρικές σχέσεις. 9

10 10 Χωρικός συλλογισμός Πρόγραμμα υψηλού επιπέδου - σύνδεσης αυθόρμητων νοημάτων με πιο συστηματικές χρήσεις της χωρικής πληροφορίας, - οικοδόμησης συστηματικών γνώσεων για τις χωρικές ιδιότητες και σχέσεις, - αντιστοίχιση χώρων διαφορετικών μεγεθών, - ανάπτυξη ικανοτήτων δημιουργίας και χρήσης χωρικών αναπαραστάσεων (όπως πχ. χαρτών), - ανάπτυξη ικανοτήτων νοερών χωρικών μετασχηματισμών, - κατανόηση των μαθηματικών ιδεών που υπάρχουν στο χωρικό και γεωμετρικό περιβάλλον.

11 Εννοιες χώρου Πολλοί όροι χωρική αίσθηση, χωρική νοημοσύνη, χωρική αναπαράσταση, χωρική οπτικοποίηση, επεξεργασία χωρικής πληροφορίας σχήματος, θέσης, διεύθυνσης, χωρικός συλλογισμός, χωρικές ικανότητες, κ.ά. Διαχωρισμός της χωρικής ως μιας ιδιαίτερης διάστασης της νοημοσύνης (Gardner, 2006). 11

12 12 Εννοιες χώρου Αποσαφηνίσεις εννοιών Ως χωρική διαχωρίζεται η νοημοσύνη με την οποία ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται το χώρο και τα αντικείμενα μέσα σε αυτό, τις ιδιότητες, τις σχέσεις και τους μετασχηματισμούς που τα χαρακτηρίζουν και οργανώνει νοερές αναπαραστάσεις ή ενέργειες για την καταγραφή ή επεξεργασία τους.

13 13 Εννοιες χώρου στόχοι (ΠΣ 2011) 1. Θέσεις διευθύνσεις και διαδρομές σε χάρτες - Αναγνώριση και δημιουργία χαρτών - Μελέτη του χώρου Διαστάσεις Διανύσματα 2. Δόμηση χώρου και συντεταγμένες - Επικαλύψεις του επιπέδου με διάφορα σχήματα και μελέτη σχέσεων. - Προσέγγιση των δισδιάστατων συντεταγμένων με τη χρήση συμβόλων. (μετασχηματισμοί, τρισδιάστατα αντικείμενα, στερεομετρία)

14 14 Εννοιες χώρου στόχοι (ΠΣ 2011)

15 15 Εννοιες χώρου στόχοι (ΠΣ 2011)

16 Ερευνητικά ευρήματα - χωρικές 16 Η έρευνα στις χωρικές ικανότητες ξεκινάει από τις μικρότερες ηλικίες και εμφανίζει τις ικανότητες αυτές ολοένα και πιο σημαντικές. Τις συνδέει με τη γεωμετρική σκέψη ιδιαίτερα τη δυναμική των σχημάτων και τους μετασχηματισμούς (Xistouri & Pitta- Pantazi, 2006; Kalogirou, Elia & Gagatsis, 2013). Υποστηρίζεται ότι ο χωρικός συλλογισμός είναι σημαντικός παράγοντας για την επιτυχία των μαθητών στην επίλυση προβλήματος (Sack, Vazquez & Moral,2010). Πρόσφατα οι χωρικές ικανότητες συνδέονται με το γεωμετρικό συλλογισμό και τα χαρισματικά παιδιά.

17 Ερευνητικά ευρήματα - διαστάσεις Ομοια έρευνες μελετούν την αντίληψη των διαστάσεων σε παιδιά που μπαίνουν στη δευτεροβάθμια παράλληλα μαζί με τους εκπαιδευτικούς τους. Τα αποτελέσματα δείχνουν αντιλήψεις που κινούνται από - η διάσταση ως δράση, ως κατάσταση, ως κάτι υλικό όπως η μέτρηση, ως την πιο αφηρημένη μορφή και την κατανόηση της ιεραρχία των διαστάσεων. (Panorkou and Pratt, 2009, 2011) 17

18 Ερευνητικά ευρήματα - χάρτες 18 Οι μαθητές όσο και οι εκπαιδευτικοί δημιουργούν «νοερούς χάρτες» με βάση την εμπειρία και ιδιοσυγκρασιακές προσεγγίσεις, με «εγωκεντρικά» και «αλλοκεντρικά» συστήματα αναφοράς (Newcombe & Huttenlocher, 2000). Η ανάπτυξη στην προσέγγιση των χαρτών συνδέεται με τη μνήμη, την οπτικοποίηση, την επιλογή των κατάλληλων χωρικών πληροφοριών όπως και την αντίληψη της οπτικής του άλλου. Αποτελέσματα δείχνουν δυσκολίες στην προσέγγιση χαρτών που σχετίζονται με ορολογία, τόπους στους χάρτες, αγνόηση σημαντικής πληροφορίας, κλπ. (Lowrie, Diezmann & Logan. 2011). Διαφορές εντοπίζονται ανάμεσα στα παιδιά μικρών και μεγάλων πόλεων (Lowrie et al., 2011).

19 Ερευνητικά ευρήματα - τεχνολογία Η χρήση των δυναμικών περιβαλλόντων σε 3Δ βελτιώνουν σημαντικά τη χωρική αντίληψη των μαθητών. Αρχικά οι μαθητές παραμένουν σε μια προσέγγιση 2Δ, αλλά βαθμιαία αντιλαμβάνονται τα 3Δ αντικείμενα και σχέσεις (Sac, Vazquez & Moral, 2010; Moustaki and Kynigos, 2011; Hegedus, 2013; Ferrara and Mammana, 2014) Γενικά τα χωρικά έργα που συνδυάζουν 2Δ και 3Δ σχήματα υποστηρίζονται από τα τεχνολογικά εργαλεία με έργα που ενισχύουν την χωρική ανάπτυξη και το χωρικό συλλογισμό των μαθητών. 19

20 Ερευνητικά ευρήματα - Δόμηση χώρου Η δόμηση του χώρου και η σταδιακά η προσέγγιση των αξόνων συντεταγμένων) δεν αποτελεί αυτονόητη διαδικασία. Οι μαθητές δεν αντιλαμβάνονται το χώρο ως «επίπεδο» αλλά περισσότερο διακρίνουν γραμμές ή κομμάτια που ενώνονται, ακόμα και μετά τα 10 τους χρόνια (Sarama & Clements, 2009). Χρειάζονται να ξεπεράσουν αυτές τις αντιλήψεις και να συνδυάσουν τις επικαλύψεις με σχήματα με τις οριζόντιες και κατακόρυφες γραμμές (Mulligan, & Mitchelmore, 2013). 20

21 II. Οπτικοποίηση- οπτικοποιημένος συλλογισμός Η Presmeg (2006) εξηγεί ότι «οι οπτικές εικόνες και οι διάφορες παραστάσεις αποτελούν σχηματικά οχήματα για την οπτικοποίηση στα μαθηματικά, στο βαθμό που παρουσιάζουν την χωρική δομή ενός μαθηματικού αντικειμένου» (σ. 22). Η οπτική πληροφορία που συλλέγεται από την επαφή με το χώρο και τα αντικείμενα μέσα σε αυτόν απεικονίζεται σε νοερές εικόνες, αρχικά απλές και στατικές και στη συνέχεια πιο σύνθετες και δυναμικές και για αυτό είναι τόσο κρίσιμες για τη μαθηματική ανάπτυξη. 21

22 II. Οπτικοποίηση- οπτικοποιημένος συλλογισμός Η οπτικοποιημένη σκέψη αφορά την παραγωγή και το χειρισμό εικονοποιημένων καταστάσεων, - είτε για την καταγραφή μιας πληροφορίας, - είτε για την αντιμετώπιση της κατάστασης, - είτε για την ολοκλήρωση μιας άλλης νοητικής επεξεργασίας (οπτικές γωνίες και νοερές εικόνες). 22

23 Οπτικοποίηση ή οπτικοποιημένος συλλογισμός Ο Kosslyn (1983) παρουσίασε 4 επεξεργασίες: - δημιουργία εικόνας - εξέταση εικόνας για πληροφορίες - διαχείριση εικόνας για άλλη νοητική δράση - μετασχηματισμός ή επεξεργασία μίας εικόνας 23

24 Οπτικοποίηση ή οπτικοποιημένος συλλογισμός Ο Gutierez (1996) συνοψίζει ότι ο όρος οπτικοποιημένη σκέψη (μια σκέψη δηλαδή μέσω οπτικών εικόνων), αφορά κατανόηση και δράση σε 2Δ και 3Δ αντικείμενα και ικανότητα: - να ερμηνεύουμε διαφορετικές παραστάσεις αντικειμένων ή καταστάσεων, - να τις αντιλαμβανόμαστε από διαφορετικές οπτικές γωνίες, - να δημιουργούμε νοερές εικόνες για αντικείμενα ή καταστάσεις που βρίσκονται έξω από το οπτικό τους πεδίο (mental images). 24

25 25 Οπτικοποίηση- στόχοι (ΠΣ 2011) 1. Αναγνώριση οπτικών γωνιών, δημιουργία οπτικοποιήσεων - Σε τρισδιάστατες κατασκευές, συνθέσεις και στερεά σχήματα από διαφορετικές οπτικές γωνίες 2. Δημιουργία οπτικοποιήσεων για τη διαχείριση σχημάτων - Κατασκευή τρισδιάστατων σχημάτων σε εικόνες, σχέδια ή ψηφιακό περιβάλλον. - Κατασκευή σχεδίων σε διάφορους καμβάδες, όμοια σε σχέδια ή σε ψηφιακό περιβάλλον.

26 Ερευνητικά ευρήματα - οπτικοποίηση 26 Περίπλοκη η μεταφορά εμπειρικής κατάστασης σε σχηματικά ή νοητικά πλαίσια. Δυσκολία αντίληψης και σύνθεσης των οπτικών γωνιών και των όψεων των αντικειμένων, που ακολουθούν το άτομο και στην ενήλικη ζωή του, χωρίς άσκηση και σχετικές εμπειρίες. Οι δυσκολίες προκύπτουν από έρευνες με περιστροφές αντικειμένων ή αντίληψη της παράστασης τρισδιάστατων αντικειμένων (Shepard, & Metzler, 1971). Ανάγκη προβληματισμού του εκπαιδευτικού για το τι βλέπει ο μαθητής στις αναπαραστάσεις καταστάσεων, πώς αντιλαμβάνεται και τι ερμηνεύει; (Hershcowits et als, 2006).

27 Ερευνητικά ευρήματα - οπτικοποίηση Παλαιότερες έρευνες κατηγοριοποίησαν τους χαρισματικούς μαθητές σε 3 κατηγορίες (Krutetskii, 1976): 1. Αναλυτικοί μαθητές, με ισχυρές γλωσσικο- λογικές ικανότητες, με λιγότερο ισχυρές οπτικές ικανότητες. 2. Γεωμετρικοί μαθητές με ισχυρές οπτικές ικανότητες, και λιγώτερο γλωσσικό- λογικές. 3. Αρμονικοί μαθητές με ισχυρές και τις δύο ομάδες ικανοτήτων. Η κατηγοριοποίηση αυτή αφορά και τους κανονικούς μαθητές. 27

28 Ερευνητικά ευρήματα - οπτικοποίηση Νεότερες έρευνες έδωσαν στοιχεία για το είδος των εικονοποιήσεων των μαθητών (Gray & Pitta, 1999). - Μαθητές με υψηλές επιδόσεις δημιουργούν εικόνες με σημαντική ποιότητα, εννοιολογικό και σχεσιακή περιεχόμενο. Συνδέουν διαφορετικές εμπειρίες και εντοπίζουν αφηρημένες ομοιότητες. - Μαθητές με χαμηλές επιδόσεις τείνουν να δημιουργούν εικόνες με επιφανειακά χαρατκτηριστικά. Η κατάλληλη διδασκαλία τους βοηθάει να αναπτύξουν πιο επεξεργασμένες εικόνες. 28

29 Νέα Ερευνητικά ευρήματα Νέα στοιχεία εμπλέκονται στη λογική της οπτικοποίησης - οπτική γνώση (visual cognition: νοητική διαδικασία αντίληψης, αναγνώρισης, μνήμης κλπ. οπτικής πληροφορίας) - σύνδεση της με άλλα στοιχεία (οπτική αντίληψη, απόδειξη) - οπτικά εμπόδια που απομακρύνει ακόμα και από τη θεωρητική γνώση (visual obstacles) - σχηματικό συλλογισμό (configural reasoning) - χρήση της τεχνολογίας - (ακόμα και) χρήση χειρονομιών 29 (Jones & Tzekaki, 2016)

30 30 Γεωμετρικές έννοιες Ως γεωμετρικός συλλογισμός θεωρείται η αναγνώριση, περιγραφή και ανάλυση σχημάτων και κατηγοριών σχημάτων, των ιδιοτήτων τους και των ιδιοτήτων των κατηγοριών των επιπέδων και στερεών, κατασκευή, ανάλυση και σύνθεση ή ανασύνθεση σε άλλα σχήματα, όπως και τους μετασχηματισμούς σχημάτων. Αν και μικρής συμμετοχής στα προγράμματα σπουδών, μεγάλης σημασία αντικείμενο, με πολλές διαστασεις και ανάγκη ανάπτυξης από τις μικρότερες ηλικίες. (27% στην Α Γυμνασίου, 15% στη Β και όμοια στη Γ Γυμνασίου)

31 31 Γεωμετρικές έννοιες Η Γεωμετρία - συνδέει τα Μαθηματικά και τις μαθηματικές διαδικασίες με τον πραγματικό κόσμο, - βοηθάει τη μελέτη τον οπτικών πληροφοριών, κανονικοτήτων και δομών - αναπαριστά φαινόμενα φυσικά και σχηματικά (πχ. γραφικές παραστάσεις, δίκτυα κλπ.) - δημιουργεί συνδέσεις και κοινές επεξεργασίες γιατί τα τα γεωμετρικά στοιχεία χρησιμοποιούνται από όλα αυτά τα πεδία.

32 Γεωμετρικές έννοιες Επιπλέον έννοιες και οι διαδικασίες της Γεωμετρίας στηρίζουν την προσέγγιση πολλών μαθηματικών εννοιών: - αξιοποιούνται στην επίλυση προβλήματος με την δημιουργία κατάλληλων διαγραμμάτων, - στηρίζουν τη δημιουργία νοερών εικόνων, συμβόλων - βοηθούν στη κατανόηση σχηματισμών για την απόδοση αριθμητικών σχέσεων, την γραμμή των αριθμών, γραφικές παραστάσεις ή άλλες μαθηματικές διαδικασίες που στηρίζονται σε δισδιάστατες ή τρισδιάστατες διατάξεις (πράξεις, υποδιαιρέσεις μονάδων, πίνακες, κ.ά). - Τέλος, η αντίληψη των 2Δ και 3Δ καταστάσεων, καλλιεργούν την οπτική ευλυγισία και τη χωρική μνήμη (Clements & Battista, 1992). 32

33 Εννοιες χώρου στόχοι (ΠΣ 2011) Η προσέγγιση των γεωμετρικών σχημάτων περιλαμβάνει του λάχιστον τέσσερις κατηγορίες δράσεων: I. αναγνώριση κατηγοριών σχημάτων, ιδιοτήτων και σχέσεων II. αναγνώριση των κατηγοριών των σχημάτων, των ιδιοτήτωνν και των σχέσεων III. κατασκευές- αναλύσεις/συνθέσεις σχημάτων IV. μετασχηματισμοί σχημάτων (μετατοπίσεις, στροφές, συμμετρίες και ομοιότητα) 33 Στις δράσεις αυτές εμπλέκονται διαδικασίες όπως ορισμοί, ανάλυση ιδιοτήτων (ως προτάσεις), εγκλειστικές σχέσεις κλπ προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης της αξιωματικής θεμελίωσης.

34 34 Γεωμετρία- στόχοι (ΠΣ 2011) Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης, καλείται να οδηγήσει στην θεωρητική Γεωμετρία. Το περιεχόμενο της Γεωμετρίας στο Δημοτικό αποτελεί αυτό που θα ονομάζουμε μη τυπική Γεωμετρία. Η μη τυπική Γεωμετρία του Γυμνασίου καλείται να οδηγήσει σε μια κατανόηση των γεωμετρικών σχημάτων με βάση τα στοιχεία τους, τις ιδιότητες και τις μεταξύ τους σχέσεις (αναλυτικο- συνθετική). Η πορεία που ακολουθείται διδακτικά είναι μια σύνδεση μεταξύ οπτικού, λεκτικού και αφηρημένου (Owens & Outhred, 2006, Duval, 1998).

35 35 Γεωμετρία- περιεχόμενο Οι γεωμετρικές είναι θεωρητικές έννοιες. Πχ. ένα τρίγωνο είναι το σχήμα που έχει ένα πραγματικό αντικείμενο, αλλά το ίδιο είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο που ορίζεται με βάση κάποιες ιδιότητες. Για τα θεωρητικά αυτά αντικείμενα χρησιμοποιούνται διάφορες μορφές παράστασης (σχέδια, σχήματα, λεκτική παρουσίαση, σύμβολα) που όλα αποδίδουν ένα ιδεατό αντικείμενο. Η χρήση και επεξεργασία των σχημάτων στη μη τυπική Γεωμετρία επιδιώκει να οδηγήσει βαθμιαία τους μαθητές από την άμεση εποπτεία και την ολιστική προσέγγιση, στην αναγνώριση ιδιοτήτων, σχέσεων ως βάση για συλλογισμούς και επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων (Mammana et al., 1998).

36 Γεωμετρία- σημασία Οι κατασκευές με τη χρήση μιας ποικιλίας μέσων όπως και ψηφιακών εργαλείων, ο σχεδιασμός, και οι χαράξεις των γεωμετρικών σχημάτων βοηθάνε σημαντικά τους μαθητές στον εντοπισμό στοιχείων (σημείων,τμημάτων κ.λπ.) σχέσεων και ιδιοτήτων και βοηθούν στην εισαγωγή στη θεωρητική Γεωμετρία στο Λύκειο. Αντίστοιχα, οι αναλύσεις και συνθέσεις σχημάτων σε άλλα σχήματα και η αξιοποίηση των μετασχηματισμών αναπτύσσουν ευελιξία στην προσέγγιση γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων. Τέλος δίνεται μια μια καλή ευκαιρία για την προσέγγιση του συλλογισμού και της συστηματικής τεκμηρίωσης και της (άτυπης αρχικά) απόδειξης όπως και τη χρήση κατάλληλης γλώσσας και όρων (ορισμοί, διατύπωση ιδιοτήτων, κλπ.) 36

37 Σχήματα - αναπαραστάσεις 37 Η Γεωμετρία περιλαμβάνει τρείς σημασιολόγικούς χώρους: το λεκτικό, το συμβολικό και τον σχηματικό. Τα γεωμετρικά αντικείμενα κυριαρχούνται από την σχηματική τους αναπαράσταση τους, που συχνά καθορίζουν τι «βλέπουν» οι μαθητές σε ένα σχήμα. Τα γεωμετρικά σχήματα είναι ταυτόχρονα έννοιες κα οπτικές αναπαρστάσεις. Κάποιες φορές παρουσιάζουν μια ειδική γεωμετρική κατάσταση, κάποιες άλλες ένα αντιπρόσωπο μιας κατάστασης ή ακόμα μια πιο γενικευμένη γεωμετρική ιδέα. Η ταυτόχρονη εμπλοκή των διαφορετικών σημασιολογικών χώρων δημιουργεί δυσκολίες στους μαθητές.

38 Σχήματα - αναπαραστάσεις Σύμφωνα με τον Duval (1999) υπάρχουν 4 διαφορετικοί τρόποι οργάνωσης και επεξεργασίας των γεωμετρικών σχημάτων: - οπτική σύλληψη (perceptual apprehension) - τμηματική σύλληψη (sequential apprehension) - λεκτική σύλληψη (discursive apprehension ) - operative apprehension (λειτουργική σύλληψη) Στοιχεία αυτών των τρόπων αντίληψης των σχημάτων αποδεικνύεται ότι συνδέονται με χωρικές ικανότητες. 38

39 Σχήματα - αναπαραστάσεις 39 Η λειτουργική αντίληψη αφορά τους τρόπους αλλαγής ενός σχήματος για τις ανάγκες της επεξεργασίας: μερεολογική (mereologic), οπτική (optic) και χωρική (place way). - η μερεολογική σχετίζεται με το χωρισμό σε μέρη και ανασχηματισμό (reconfiguration), - η οπτική είναι η μεγέθυνση ή σμίκρυνση ή στροφή, και - η χωρική αφορά την αλλαγή του σχήματος σε θέση ή προσανατολισμό. Ολες αυτές οι αλλαγές μπορούν να πραγματοποιηθούν νοερά ή πρακτικά, μέσα από διάφορες δράσεις. Η απόδειξη μιας πρότασης ή η λύση ενός γεωμετρικού προβλήματος μπορεί αν εμπλέκει μία ή περισσότερες τέτοιες αλλαγές.

40 Σχήματα - αναπαραστάσεις Ερευνες επιβεβαιώνουν ότι για τους μαθητές στην Α βάθμια εκπαίδευση το γεωμετρικό σχήμα είναι αντικείμενο μελέτης και επαλήθευσης, ενώ για τους μαθητές στην Β βάθμια, το σχήμα υποστηρίζει το συλλογισμό και τις «σχηματικές έννοιες» (figural concepts) Συχνά οι μαθητές παραμένουν να παρατηρούν το σχήμα παρά την εκφώνηση (πχ. ενός γεωμετρικού προβλήματος) γεγονός που αποτελεί ισχυρό εμπόδιο στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Σύμφωνα με του Vinner (ήδη από το 1991) και την Hershkowitz (1990) οι αρχικές αναπαραστάσεις δημιουργούν πρωτοτυπικά σχήματα που συχνά εμποδίζουν την ανάπτυξη της σχετικής έννοιας (συχνά το πρόβλημα είναι κοινό με τους δασκάλους) 40

41 41 Σχήματα - αναπαραστάσεις

42 Γεωμετρία- δράσεις 1. Διερευνούν τα γεωμετρικά σχήματα και διαμορφώνουν ορισμούς. 2. Αναγνωρίζουν σχέσεις μεταξύ των βασικών σχημάτων και τις εφαρμόζουν σε απλές καταστάσεις. 3. Χρησιμοποιούν κανόνα διαβήτη ή άλλα εργαλεία για να διατυπώσουν και να ελέγξουν εικασίες σχετικά με τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων (είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές, είδη τετραπλεύρων, γωνίες που σχηματίζονται από δύο παράλληλες και μία τέμνουσα). 4. Διερευνούν και αιτιολογούν τις ιδιότητες των σχημάτων με επαγωγικούς συλλογισμούς και (μη τυπικές) αποδείξεις (άθροισμα των γωνιών του τριγώνου,ιδιότητες των τετραπλεύρων, ταξινόμηση των τετραπλεύρων). 5. Εφαρμόζουν τις γνώσεις των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων στην επίλυση προβλημάτων. 6. Χρησιμοποιούν κατασκευαστικά εργακεία όπως και κανόνα με διαβήτη για να σχεδιάσουν γεωμετρικά σχήματα. Διαχωρίζουν την κατασκευή με βαθμολογημένα όργανα από τη γεωμετρική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. 7. Επιλύουν προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών. 42

43 43 Παράδειγμα

44 44 Παράδειγμα

45 45 Παράδειγμα

46 Ερευνητικά ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις 46 Η έρευνα στο χώρο αυτό στηρίχθηκε σημαντικά στο μοντέλο Van Hiele (1986), σύμφωνα με το οποίο η αντίληψη των γεωμετρικών αντικειμένων ακολουθεί πέντε διαφορετικά στάδια- επίπεδα που προσδιορίζονται με βάση τα χαρακτηριστικά της εσωτερικής οργάνωσης της Γεωμετρίας. Στο επίπεδο 1, τα παιδιά αναγνωρίζουν οπτικά τα σχήματα ως όλο χωρίς να αντιλαμβάνονται τα επιμέρους χαρακτηριστικά και ιδιότητες. Στο επίπεδο 2, η ολιστική αυτή αντίληψη συνοδεύεται από ανάλυση σε μέρη και αντίληψη των ιδιοτήτων του σχήματος, τις οποίες τα παιδιά αντιλαμβάνονται και είναι σε θέση να περιγράψουν.

47 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις 47 Η έρευνα στο χώρο αυτό στηρίχθηκε σημαντικά στο μοντέλο Van Hiele (1986), σύμφωνα με το οποίο η αντίληψη των γεωμετρικών αντικειμένων ακολουθεί πέντε διαφορετικά στάδια- επίπεδα που προσδιορίζονται με βάση τα χαρακτηριστικά της εσωτερικής οργάνωσης της Γεωμετρίας. Στο επίπεδο 1, τα παιδιά αναγνωρίζουν οπτικά τα σχήματα ως όλο χωρίς να αντιλαμβάνονται τα επιμέρους χαρακτηριστικά και ιδιότητες. Στο επίπεδο 2, η ολιστική αυτή αντίληψη συνοδεύεται από ανάλυση σε μέρη και αντίληψη των ιδιοτήτων του σχήματος, τις οποίες τα παιδιά αντιλαμβάνονται και είναι σε θέση να περιγράψουν.

48 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις Στο επίπεδο 3 οι μαθητές μπορούν να διατάξουν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητες και τις μεταξύ τους σχέσεις. Στο επίπεδο 4 είναι επιπλέον σε θέση να εξάγουν συμπεράσματα για ιδιότητες και σχέσεις με παραγωγικούς συλλογισμούς. Στο επίπεδο 5, είναι σε θέση να αντιληφθούν την αυστηρότητα της γεωμετρίας και να λειτουργήσουν μέσα σε στο αξιωματικό της σύστημα. Τα επίπεδα Van Hiele δεν συνδέονται με την ηλικία, αλλά με την ενασχόληση ή εμπειρία του ατόμου με τα γεωμετρικά αντικείμενα. Ενα άτομο μπορεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο για κάποια γεωμετρική έννοια ανεξάρτητα από τα χρόνια του. 48

49 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις Οι ερευνητές δοκίμασαν να διευρύνουν ενδιάμεσα στάδια εντάσσοντας και άλλες κατηγορίες, ή χώρισαν κατηγορίες σε μέρης ή εντόπισαν άλλους παραγοντες εντόπισαν που επηρεάζουν το στάδιο στο οποίο βρίσκεται η γεωμετρική σκέψη του μαθητή: χρήση, οικειότητα, τοποθέτησή σε οριζόντια ή πλάγια θέση, πολύ ιδιαίτερη μορφή (πολύ λεπτό ή πολύ πλατύ). Γενικά πραγματοποιήθηκαν πολλές διερευνήσεις ώστε να γίνει αντιληπτή η ποιότητα της σκέψης και οι δυσκολίες των μαθητών και μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων. 49

50 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις Αν και το μοντέλο Van Hiele αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο ανάλυσης μεταγενέστεροι ερευνητές αμφισβητούν τη «γραμμικότητά» του υποστηρίζοντας ότι υπάρχουν κι άλλα χαρακτηριστικά που επηρεάζουν την ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Ωστόσο το εργαλείο αυτό συνεχίζει να χρησιμοποιείται συστηματικά Το εργαλείο συμπληρώνεται με στοιχεία όπως οι «σχηματικές έννοιες» (figural concepts, Fischbein, 1993) και οι τρόποι αντίληψης των γεωμετρικών σχημάτων του Duval (1999). 50

51 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση σχημάτων ιδιότητες και σχέσεις 51 Τα αρχικά σχήματα που δημιουργούνται από την εμπειρία ονομάζονται «πρωτοτυπικά». Οι έννοιες των μαθητών είναι σχηματικές και επηρεάζονται από αυτές τις πρωτοτυπικές εικόνες (Yerushalmy & Chazan, 1990). Ακόμα κι αν μεταγενέστερα σχήματα έχουν αναπτυχθεί τα άτομα διατηρούν τις πρωτοτυπικές εικόνες τους. Οταν ρωτήθηκαν μαθητές να αναγνωρίσουν ιδιαίτερα τρίγωνα χρειάστηκε να στρίψουν την κόλα όταν το σχήμα σε ήταν σε μια κλασσική στερεοτυπική θέση (Levenson, et als, 2011). Ομοια σε αποδεικτικές εφαρμογές οι μαθητές παρουσιάζουν ατεκμηρίωτες θέσεις στηριγένοι πάνω στο σχήμα που τους δόθηκε (Dorva & Dreyfus, 2004).

52 Γεωμετρία- ευρήματα Ι. Αναγνώριση κατηγοριών και διάκριση σχημάτων 52 Για τους μεγαλύτερους μαθητές, νεώτερες έρευνες έδειξαν ότι χωρικές ικανότητες (οπτικοποίηση και νοερές στροφές) συνδέονται με τον τρόπο αντίληψης των γεωμετρικών σχημάτων. Μεγάλες δυσκολίες εμφανίζουν οι μαθητές στις σχέσεις των τετραπλεύρων (Guven & Okumus 2011; Okazaki & Fujita, 2007), για τις οποίες οι διδακτικές εφαρμογές και τα πρωτοτυπικά σχήματα εμποδίζουν την ανάπτυξη της εγκλειστικής ιδιότητας. Αντίστοιχα θέματα εμφανίζονται και στην κατανόηση των σχέσεων των τριγώνων (Serow, 2006). Αντίστοιχα αποτελέσματα συναντιώνται για την αναγνώριση, ταξινόμηση και σχεδιασμό 3Δ σχημάτων.

53 Γεωμετρία- ευρήματα ΙΙΙ. Κατασκευές σχημάτων/ανάλυση και σύνθεση Οι μαθητές δεν βλέπουν τα αντικείμενα ως γεωμετρικά. Αν και είναι σε θέση να ανακατασκευάσουν κάποιες ιδιότητες, οι ιδιότητες αυτές αποτελούν κιναισθητικές εικόνες (δηλαδή, εικόνες τις οποίες μπορούν να προσεγγίσουν στη δράση) και δεν αποδεικνύουν αναγνώριση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών. Τα στοιχεία αυτά προκύπτουν από έρευνες δείχνουν ότι αν και οι μαθητές κατασκευάζουν σχήματα χωρίς να επενδύουν στις συγκεκριμένες ιδιότητες (Lampen & Murray, 2001). Οι συνθέσεις και οι αναλύσεις σχημάτων αναδεικνύονται ιδιαίτερα σημαντικές στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης, καθώς αναδεικνύουν ιδιότητες, σχέσεις και ενισχύουν τους μετασχηματισμούς. 53

54 Γεωμετρία- ευρήματα ΙΙΙ. Κατασκευές σχημάτων/ανάλυση και σύνθεση 54 Το πλαίσιο μέσα στο οποίο πραγματοποιείται η σχεδίαση αυτή, με άμεση πρόσβαση στο φύλλο σχεδίασης, άμεση δράση στα όργανα και στα σχέδια θεωρούνται υπεύθυνο για ένα σύνολο αντιλήψεων των μαθητών αναφορικά με τα γεωμετρικά αντικείμενα και σχέσεις (Hershkowits, 1990, Boero, Carutti, 1994, Bartolini Bussi, 1996). Αντίθετα η γεωμετρική κατασκευή πραγματοποιείται στο γεωμετρικό χώρος (ομογενής και ισότροπος), περιορισμένα επιτρεπόμενα μέσα με ανάδειξη σχέσεων και αποτέλεσμα της κατασκευής που αναδεικνύει την ύπαρξη του γεωμετρικού σχήματος.

55 Γεωμετρία- ευρήματα ΙΙΙ. Κατασκευές σχημάτων/ανάλυση και σύνθεση Το πλαίσιο της απλής σχεδίασης δημιουργεί παρανοήσεις. Η άμεση σχεδίαση με το χάρακα: ανάλυση σε ευθύγραμμα τμήματα χωρίς αναγνώριση των σημείων. Η άμεση δράση πάνω στα όργανα: σχεδίαση με ψηλάφηση, χωρίς συνδέσεις και σχέσεις Το σχεδιαστικό αποτέλεσμα δεν απαιτεί συμβολισμό και ονομασία. Η όλη διαδικασία δεν αναδεικνύει τον έλεγχο του σχεδιαστικού αποτελέσματος στη βάση γεωμετρικών ιδιοτήτων ή σχέσεων. 55

56 Γεωμετρία- διδασκαλία Οι χαμηλές επιδόσεις στη Γεωμετρία συνδέονται με διδακτικές ελλείψεις. Εκτός από καλοσχεδιασμένα γεωμετρικά προβλήματα, η τεχνολογία εισάγει τους μαθητές σε πολλές διαστάσεις του γεωμετρικού συλλογισμού. Ενας σημαντικός αριθμός ερευνών μελετά τα αποτελέσματα χρήσης των dragging environments. Η λειτουργία αυτή δίνει διάφορες οπτικές στο γεωμετρικό σχήμα, δίνει δυναμική αναπαράσταση και υποστηρίζει τους μετασχηματισμούς (Xu & Tso, 2009; Jacinto and Carreira 2013; κλπ). 56

57 Γεωμετρία- διδασκαλία 57 Ερευνα σχετικά με τη διδασκαλία και εκμάθηση της γεωμετρικής τεκμηρίωσης της γενίκευσης και της απόδειξης συγκεντρώνει ένα ειδικό ερευνητικό ενδιαφέρον, με την υποστήριξη της τεχνολογίας και ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Οι μελέτες δοκιμάζουν να συνδέσουν με παράγοντες και γνώσεις ή με άλλες δυνατότητες (κοινωνικές κλπ). Ωστόσο, αυτά τα αποτελέσματα είναι μόνο μέρος ενός μεγάλου πεδίου έρευνας, καθώς ο γεωμετρικός συλλογισμός και η αποδεικτική διαδικασία αποτελούν από τα πιο σημαντικά συστατικά της μαθηματικής δραστηριότητας (Jones & Tzekaki, 2016).

58 Εννοιες χώρου και Γεωμετρία Συνοψίζοντας 58 Η παρουσίαση των όρων του χωρικού και γεωμετρικού συλλογισμού όπως και της οπτικοποιημένης σκέψης επιτρέπει να γίνει κατανοητή η συνθετότητα των καταστάσεων που αντιμετωπίζουν οι μαθητές προκειμένου να συστηματοποιήσουν τις αυθόρμητες χωρικές εμπειρίες και να αποκτήσουν αυτό που αποκαλείται χωρικό και γεωμετρικό απόθεμα. Η απλή λειτουργία και παρατήρηση τόσο του χώρου όσο και των γεωμετρικών μορφών δεν αρκούν για την ανάπτυξη αυτή. Πολύ περισσότερο όταν πρέπει να οδηγήσουν στην σύνδεση πρακτικών και θεωρητικών ζητήμάτων και την προσέγγιση της αξιωματικής θεμελίωσης.

59

60 Βασικές βιβλιογραφικές αναφορές Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. V. Mammana, V. (ed.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. An ICMI Study, pp Kluwer Academic Publishers. Clements, D., & Battista, M. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. In D. A. Grouws (ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, pp NCTM. Jones, K., & Tzekaki, M. (2016). Research on the Teaching and Learning of Geometry. In A. Gutierrez, P. Boero, G. Leder (eds.). 2 nd Handbook of Research on PME. Sense Publishers (υπό έκδοση). Hershkowitz, R., Pazysz, B., & van Dormolen, J. (1996). Space and Shape. In A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatric, & C. Laborde (eds.), International Handbook of Mathematics Education, (Vol. 1, pp ). Kluwer Academic Publishers. Levenson, E., Tirosh, D., & Tsamir, P. (2011). Preschool Geometry. Sense Publishers. Mammana, C. V. (ed.) (1998). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. An ICMI Study. Kluwer Academic Publishers. Owens, K., & Outhred, L. (2006).The complexity of Learning Geometry and Measurement. In A. Gutierrez, & P. Boero (eds.). Handbook of Research on PME. Past, Present and Future, pp Sense Publishers. Presmeg, N. (2006). Research on Visualization in Learning and Teaching Mathematics. In A. Gutierrez, & P. Boero (eds.). Handbook of Research on PME. Past, Present and Future, pp Sense Publishers. Sarama, J., & Clements, D. (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children, pp Springer. Interactive online manipulatives

61 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Brousseau, G. (1997). Theory of Didac7cal Situa7ons in Mathema7cs. Kluwer Academic Publishers. Bartolini Bussi, M. (1996). Mathemagcal Discussion and Perspecgve Drawing in Primary Schooll, Educa7onal Studies in Mathema7cs, 31 (1-2): 11-41, Boero, P., & Carug, R. (1994). Approaching ragonal geometry: from physical relagonships to condigonal statements. In J.P. daponte & J. F. Matos (eds.), Proceedings of PME 18, 2, pp Lisbon Casey, M. B., Nuzall, R. L., & Pezaris, E. (2001). Spagal- mechanical reasoning skills versus mathemagcs self- confidence as mediators of gender differences on mathemagcs subtests using cross- nagonal gender- based items. Journal for Research in Mathema7cs Educa7on, 32: Clements, D. H., & Sarama, J. (2000). The Earliest Geometry. Teaching Children Mathema7cs, 7 (2): Dvora, T., & Dreyfus, T. (2011). Unjusgfied assumpgons in geometry. Proceedings of PME 35, 2, Ferrara, F., & Mammana, M. F. (2014). Seeing in space is difficult: An approach to 3- D geometry through a DGE. Proceedings of PME 38 and PME- NA 36, 3, Fischbein, E. (1996). The Psychological Nature of Concepts. In H. Mansfield, Pateman, N.A. & Bednarz, N. (eds.), Mathema7cs for Tomorrow s Young Children, pp Kluwer Academic Publishers. Fisbein, E. (1993). The theory of Figural Concepts. Educa7onal Studies in Mathema7cs, 24(2): Guven, B., & Okumus, S. (2011). 8 th Grade Turkish students van Hiele levels and classificagon of quadrilaterals. Proceedings of PME 35, 2, Gagatsis, A. (2003). Young children s understanding of geometric shapes: The role of geometric models. European Early Childhood Educa7on Research Journal, 11: Gardner, H. (2006 ). Mul7ple Intelligences. New Horizon. Basic Books. Gray, E. M., & Piza, D. (1999). Images and their frames of reference: A perspecgve on cognigve development in elementary arithmegc. In O. Zaslavsky (ed.), Proceedings of PME 23, 3, Haifa, Isreal: Technion. Gugerez, A. (1996). Visualizagon in 3- Dimensional Geometry: In Search of a Framework. In L.Puig & A. Guigιrrez (eds.), Proceedings PME 20, 1, Valencia: University of Valencia, Spain. Hegedus, S. J. (2013). Invesggagng how young children make sense of mathemagcal objects in a mulgmodal environment: a phenomenological approach. Proceedings of PME 37, 3, Hershkowitz, R. (1990). Psychological aspects of learning geometry. In P. Nesher, & J. Kilpatrick (eds.), Mathema7cs and cogni7on, pp Cambridge University Press. Jacinto, H., & Carreira, S. (2013). Beyond- school mathemagcal problem solving: a case of students- with- media. Proceedings of PME 37, 3, Kalogirou, P., Elia, I., & Gagatsis, A. (2013). The relagonship between visualizagon, spagal rotagon, perceptual and operagve apprehension. Proceedings of PME 37, 3, Kosslyn, S. M. (1983). Ghosts in the mind s machine. New York: W. W. Norton. Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathema7cal abili7es in schoolchildren. University of Chicago Press. Lampen, E., & Murray, H. (2001). Children s intuigve knowledge of the shape and structure of three dimensional containers. In M. van der Heuvel- Panhuizen (ed.), Proceedings of PME 25, 3,

62 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Levine, S. C., Huzenlocher, J., Taylor, A., & Langrock, A. (1999). Early sex differences in spagal skill. Developmental Psychology, 35(4): Shepard, R. & Metzler. J. (1971). Mental rotagon of three dimensional objects. Science, 171: Lowrie, T., Diezmann, C., & Logan, T. (2011). Primary students performance on map tasks: The role of context. Proceedings of PME 35, 3, Moustaki, F., & Kynigos, C. (2011). Engineering students visualizagon and reasoning processes while interacgng with a 3- D digital environment. Proceedings of PME 35, 3, Mulligan, T. J., & Mitchelmore, C. M. (2013). Early Awareness of Mathemagcal Pazern and Structure. In English, L., & Mulligan, J. (eds). Reconceptualizing Early Mathema7cs Learning, pp Springer. Newcombe N., & Huzenlocher, J. (2000). Making Space. The Development of Spa7al Representa7on and Reasoning. MIT Press. Okazaki, M., & Fujita, T. (2007). Prototype phenomena and common cognigve paths in the understanding of the inclusion relagons between quadrilaterals in Japan and Scotland. Proceedings of PME 31, 4, Panorkou, N., & Praz, D. (2011). Using Google Sketchup to research children s experience of dimension. Proceedings of PME 35, 3, Piaget, J. (1973). La géométrie spontanée de l'enfant, Paris: PUF. Sack, J., Vazquez, I., & Moral, R. (2010). Elementary children s 3- D visualizagon development: represengng top- views. Proceedings of PME 34, 4, Serow, P. (2006). Triangle property relagonships. Proceedings of PME 30, 5, Silfverberg, H., & Matsuo, N. (2008). Comparing Japanese and Finnish 6th and 8th graders ways to apply and construct definigons. Proceedings of PME 32 and PME- NA 30, 4, Usiskin, Z. (1997).Applicagons in the Secondary School Mathemagcs Curriculum: A Generagon of Change. American Journal of Educa7on, Vol. 106, No. 1: Van Hiele, P. M. (1986). Structure and Insight: a theory of mathema7cs educa7on. Academic Press. Vinner. (1991). The role of definigon in the teaching and learning of mathemagcs. In D. Tall (ed.), Advanced Mathema7cal Thinking, pp Kluwer Academic Publishers. Xistouri, X., & Piza- Pantazi, D. (2006). Spagal rotagon and perspecgve taking abiliges in relagon to performance in reflecgve symmetry tasks. Proceedings of PME 30, 5, Xu, S- Y., & Tso, T- Y. (2009). The interacgon among dragging acgons, dynamic representagons and thought experiments in dynamic geometry environment. Proceedings of PME 33, 1, 491. Yerushalmy, M., & Chazan, D. (1990). Overcoming visual obstacles with the aid of the Supposer. Educa7onal Studies of Mathema7cs, 21, 3: