Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad"

Transcript

1 Γνωστικές αλληλεπιδράσεις στις κατασκευές μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας geometer s sketchpad Σ.Πατσιομίτου Εκπ/κός Δ/θμιας Εκπ/σης, Med Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Υπ. Διδάκτωρ Παν. Ιωαννίνων Περίληψη Η δυσκολία που παρουσιάζεται στη διδασκαλία και μάθηση της γεωμετρίας οφείλεται στην αυστηρή λογική, ιεραρχία και τον παραγωγικό συλλογισμό που απαιτείται στην δομή ανάπτυξης του περιεχομένου. Στο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer s Sketchpad οι κατασκευές μπορούν να βοηθήσουν τον μαθητή να συνδέσει λογικά τις ενέργειες του με την μαθηματική έννοια, δηλαδή να σκεφτεί με βάση τη λογική για τα αντικείμενα που πρέπει να επιλέξει στο λογισμικό, έτσι ώστε να μην αποτελέσουν ένα ακόμα γνωστικό εμπόδιο για την εκμάθηση των μαθηματικών εννοιών. Λέξεις κλειδιά: λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας, σχήμα, σχέδιο 1.Εισαγωγή Τα γεωμετρικά σχήματα που κατασκευάζουμε σε οποιοδήποτε μέσο, είναι προϊόντα των νοητικών εικόνων, που υπάγονται σε νοητικούς μετασχηματισμούς, χρησιμεύοντας ως μέσα για να μεταφέρουν τις έννοιες που αποδίδονται σε αυτά από το άτομο (Peirce, 1906). Η κατασκευή του γεωμετρικού σχήματος από την πλευρά του μαθητή, είναι μια διαδικασία αποτύπωσης στο χαρτί που μπορεί να προέρχεται είτε επειδή θέλει να μετατρέψει τις πληροφορίες του προβλήματος σε κατασκευή ή γιατί σκέφτεται κάτι και το απεικονίζει όπως το σκέφτεται ή ακόμα το αντιγράφει από ένα βιβλίο γεωμετρίας. Δηλαδή πρόκειται για μια μετατροπή πληροφοριών λεκτικών ή νοητικών ή ακόμα και οπτικών. Σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω διαδικασίες παίζει σημαντικό ρόλο ο τρόπος επεξεργασίας των πληροφοριών και ο τρόπος μετασχηματισμού των πληροφοριών αυτών ώστε να προκύψει το γεωμετρικό σχήμα. Για παράδειγμα έστω ότι ο μαθητής αντιγράφει το σχήμα ενός βιβλίου. Παρατηρούμε το σχήμα που κατασκεύασε αφού ολοκληρώσει την κατασκευή του. Εξετάζουμε αν οι γραμμές που έχει σχεδιάσει είναι κατασκευασμένες με τον ίδιο τρόπο που είναι κατασκευασμένες στο βιβλίο. Όσο πιο πολύ ταυτίζονται οι δυο εικόνες, τόσο περισσότερο έχει λάβει υπόψη του, τους κανόνες που είναι αναγκαίοι για να έχει η κατασκευή του κάποιο γεωμετρικό νόημα και τόσο περισσότερο έχει χρησιμοποιήσει τις γεωμετρικές του γνώσεις δηλαδή γνώση των ορισμών και θεωρημάτων προκειμένου να το κατασκευάσει. Αυτό σημαίνει ότι η προσοχή του προκειμένου να κάνει την κατασκευή, έχει στραφεί σε κάποια στοιχεία και ιδιότητες του σχήματος. Στη περίπτωση που οι εικόνες μοιάζουν αλλά δεν ταυτίζονται, έχει απλώς αντιληφθεί συνολικά το σχήμα και μετέφερε τις πληροφορίες που πήρε από την εικόνα του βιβλίου, χωρίς να λάβει υπόψη τους κανόνες. Που διαφέρει η πρώτη περίπτωση από την δεύτερη; Στην πρώτη περίπτωση έχει τον έλεγχο της κατασκευής του, έχει ακολουθήσει συνειδητά βήματα, έχει εστιάσει την προσοχή του σε συγκεκριμένα στοιχεία του σχήματος. Στην δεύτερη περίπτωση δεν έχει κάνει συνειδητά βήματα και δεν έχει διαχωρίσει εκείνα τα στοιχεία του σχήματος που είναι αναγκαία για την ορθότητα της κατασκευής. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση έχει κάνει ένα γεωμετρικό σχήμα, ενώ στην δεύτερη περίπτωση ένα γεωμετρικό σχέδιο. Στην πρώτη περίπτωση το σχήμα του είναι το αιτούμενο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση μοιάζει με αυτό. Στην πρώτη περίπτωση --δηλαδή του γεωμετρικού σχήματος-- δεν αποδίδει απλώς την γενική μορφή του σχήματος αλλά διατηρεί πιστά τις σχέσεις ανάμεσα στα στοιχεία που αναπαριστάνει, δηλαδή για παράδειγμα βλέπει που οι γραμμές είναι παράλληλες που είναι κάθετες, αν ακόμα κάποια στοιχεία όπως πλευρές ή γωνίες της κατασκευής μας είναι ίσες. Στόχος της εργασίας είναι να παρουσιάσει πως οι κατασκευές στο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer s Sketchpad (Jackiw, 1991) μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να συνδέσουν λογικά τις ενέργειες τους με την επιλογή των καταλλήλων εντολών του λογισμικού, παράγοντας κατ αυτό τον τρόπο ένα σχήμα. Στην επόμενη παράγραφο θα εξετάσουμε τις έννοιες του σχήματος και του σχεδίου όπως αναφέρονται στη διεθνή βιβλιογραφία και στη συνέχεια πως οι μαθητές που εμπλέκονται στην κατασκευή ενός σχήματος στο λογισμικό αποκτούν την ικανότητα να κάνουν μια λογική σύνδεση μεταξύ της ενέργειας στο λογισμικό και της γεωμετρίας θεωρίας που περιλαμβάνει αυτή η κατασκευή

2 2. Τι είναι γεωμετρικό σχήμα και τι γεωμετρικό σχέδιο ; Η διαφορά μεταξύ του σχήματος-σχεδίου διατυπώθηκε από τον Parzysz (1988). Για τον Parzysz, ένα σχέδιο είναι η αναπαράσταση ενός γεωμετρικού αντικειμένου ενώ το σχήμα είναι η έννοια που καθορίζει αυτό το θεωρητικό αντικείμενο. Με το υλικό αντικείμενο «σχέδιο» και το θεωρητικό αντικείμενο «σχήμα», η γεωμετρία μας παρέχει δύο συμπληρωματικές έννοιες, τις οποίες μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Για παράδειγμα, η αιτιολόγηση ότι δυο τρίγωνα είναι ίσα, αφ ενός αναφέρεται στα αφηρημένα νοητικά αντικείμενα όπως είναι οι έννοιες της γωνίας, πλευράς, τρίγωνου, αλλά και στις σχηματικές πληροφορίες ή τις σχηματικά αντιπροσωπευόμενες διαδικασίες, που προέρχονται από τις οπτικές εικόνες που μπορεί να προέλθουν από την τοποθέτηση /επίθεση των δύο γωνιών και των πλευρών που οριοθετούν τη γωνία. Επομένως αφού ενδιαφερόμαστε για την ανάπτυξη του γεωμετρικού συλλογισμού--αιτιολόγησης θα πρέπει να ασχοληθούμε με την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο πτυχών των σχηματικών και εννοιολογικών (Mariotti, 1992, 1996). Η Mariotti ισχυρίζεται ότι «Ένα γεωμετρικό σχήμα --όπως χρησιμοποιείται στο γεωμετρικό συλλογισμό-- δεν είναι ούτε καθαρή εικόνα, ούτε καθαρή έννοια. Σε γενικές γραμμές, τα γεωμετρικά αντικείμενα - και αυτό ισχύει όσον αφορά τα μαθηματικά γενικά - μπορούν να θεωρηθούν ως νοητικές οντότητες και μπορούν να αντιμετωπιστούν σε καθαρά νοητικό επίπεδο. Μέσα σε ένα σύστημα αυτού του τύπου, το θεώρημα επικυρώνει την ακρίβεια της κατασκευής: η σχέση μεταξύ των στοιχείων του σχεδίου που παράγονται από την κατασκευή στηρίζονται θεωρητικά σχετικά με το γεωμετρικό σχήμα (figure) που αντιπροσωπεύεται από το σχέδιο (drawing). Η Laborde (1993) καθιστά σαφή τη διάκριση μεταξύ σχεδίου-σχήματος δηλώνοντας ότι: «το σχέδιο αναφέρεται στην υλική οντότητα ενώ το σχήμα αναφέρεται στο θεωρητικό αντικείμενο». Αυτός ο προσδιορισμός είναι κοντά στην σχηματική έννοια (figural concept) όπως διατυπώνεται από τον Fishbein (1993) σύμφωνα με τον οποίο «Μια γεωμετρική έννοια περιλαμβάνει δύο πραγματικά συνδεδεμένες συνιστώσες ως δύο πλευρές ενός νομίσματος, την σχηματική (figural) και την εννοιολογική (conceptual)». Ο Fischbein αναφέρει ότι «το γεωμετρικό σχήμα είναι η ιδέα που αντιστοιχεί στο σχέδιο, η αφηρημένη, ιδεατή οντότητα που καθορίζεται επακριβώς από τον ορισμό». Είναι προφανές ότι αυτό που μας ενδιαφέρει και σίγουρα επιδιώκουμε είναι οι μαθητές μας να κατασκευάζουν ένα γεωμετρικό σχήμα και όχι ένα γεωμετρικό σχέδιο. Και ακόμα περισσότερο να έχουν την δυνατότητα να αιτιολογήσουν την κατασκευή μας με λεκτικές διατυπώσεις που συνδέουν τις πληροφορίες μεταξύ τους, με καταλλήλους ορισμούς ή θεωρήματα. Για παράδειγμα αν θέλουν να κατασκευάσουν ένα παραλληλόγραμμο τότε θα πρέπει να λάβουν υπόψη τον ορισμό του παραλληλογράμμου και να σχεδιάσουν τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, αλλά και να έχουν την δυνατότητα να εξηγήσουν γιατί στο σχήμα έχουν κάνει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Να συνδέσουν δηλαδή με τον τρόπο αυτό σημαντικές γνωστικές διαδικασίες με στόχο οι ενέργειες τους στα μαθηματικά αντικείμενα που αναπαριστάνουν -- ευθείες, κύκλους, τρίγωνα κ.ο.κ--, να σχετίζονται με την απόδοση της νοητικής εικόνας που έχουν σχηματίσει για τα γεωμετρικά αντικείμενα που βλέπουν και την επεξήγηση τους. Να συνδέσουν δηλαδή λειτουργίες οπτικοποίησης (Visualization), κατασκευής (Construction) και αιτιολόγησης (Reasoning) (Duval, 1998; Κολέζα, 2000) λειτουργίες που παρά το γεγονός ότι είναι ανεξάρτητες, συνδέονται στενά μεταξύ τους με αποτέλεσμα να έχουμε ή όχι επαρκείς γνώσεις στη Γεωμετρία. Σχήμα 1: Γνωστικές αλληλεπιδράσεις που εμπλέκονται σε μια γεωμετρική δραστηριότητα (Duval, 1998, p.38; Κολέζα, 2000, σ.258) Τα προβλήματα κατασκευής γεωμετρικών σχημάτων, αποτελούν τον πυρήνα των δραστηριοτήτων που προτείνονται στους μαθητές. Παρά τον προφανή πρακτικό στόχο, δηλ. το σχήμα που πρέπει να πραγματοποιηθεί σε ένα στατικό μέσο χαρτί ή πίνακα, οι γεωμετρικές κατασκευές έχουν έναν θεωρητικό στόχο. Ο κύριος στόχος είναι η ανάπτυξη της έννοιας «της κατασκευής» ως θεωρητικής διαδικασίας που μπορεί να επικυρωθεί από θεωρήματα. Ο στόχος των κατασκευαστικών διαδικασιών διαρθρώνεται δηλαδή ως εξής: α) να παρέχουν οι μαθητές την περιγραφή της διαδικασίας που χρησιμοποιείται για να λάβουν το ζητούμενο σχήμα β) να παρέχουν μια αιτιολόγηση της ορθότητας αυτής της διαδικασίας

3 3. Κατασκευαστικές οδηγίες και γεωμετρικές κατασκευές Στα σχολικά εγχειρίδια αναφέρονται οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή οι κατασκευαστικές οδηγίες. Οι κατασκευαστικές οδηγίες είναι ένα σύνολο πληροφοριών που περιέχουν τις ιδιότητες του σχήματος ταυτόχρονα με την κατασκευή του σχήματος. Ένα σύνολο οδηγιών θεωρείται πλήρες όταν συνδέει λεκτική περιγραφή με εικονική περιγραφή. Για παράδειγμα η κατασκευή της διαμέσου ή της καθέτου ευθείας από σημείο ή και σε σημείο ευθείας στο σχολικό εγχειρίδιο, είναι μια περιγραφική μέθοδος που συνοδεύεται από εικόνες προκειμένου να επιτευχθεί η διαδικασία από τον μαθητή. Στην περίπτωση του σχολικού εγχειριδίου ή των στατικών μέσων γενικότερα, επεξηγείται με ποιον τρόπο πρέπει να χρησιμοποιηθούν ο διαβήτης ή ο γνώμονας προκειμένου να υπάρχει ένα παράδειγμα το οποίο έχουμε την δυνατότητα να ακολουθήσουμε και να κατασκευάσουμε με επιτυχία το σχήμα. Οι κατασκευές που προτείνονται στα εγχειρίδια έχουν θεωρητική βάση δηλαδή κάθε βήμα συνδέεται με κάποιον ορισμό ή θεώρημα. Η κατασκευή της διαμέσου για παράδειγμα στηρίζεται στον ορισμό, η κατασκευή του ισοπλεύρου τριγώνου στηρίζεται στην 1η Πρόταση των Στοιχείων του Ευκλείδη. Συνήθως υπάρχουν περισσότεροι του ενός τρόποι να κατασκευάσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα. Σκεφτείτε για παράδειγμα πως μπορούμε να κατασκευάσουμε την διχοτόμο μιας γωνίας. Υπάρχουν δυο τρόποι τουλάχιστον: α) με ένα μοιρογνωμόνιο, που στηρίζεται στην γνώση του ορισμού, καθότι πρέπει να μετρήσουμε την γωνία και στην συνέχεια να κατασκευάσουμε την διχοτόμο με το μοιρογνωμόνιο, β) να χρησιμοποιήσουμε μόνο χάρακα και διαβήτη χωρίς να μετρήσουμε την γωνία, που στηρίζεται στη γνώση του ορισμού και σχετικού θεωρήματος. Οι μέθοδοι αυτοί απαιτούν μια εκμάθηση της «συνταγής» (ή του συνόλου οδηγιών διαφορετικά), δηλαδή της κατασκευαστικής διαδικασίας, προκειμένου να κατασκευάζουμε μια διχοτόμο με σωστό τρόπο. Η εκμάθηση της χρήσης των εργαλείων επομένως είναι αναγκαία, αλλά εξίσου αναγκαίο είναι να γνωρίζουμε και κάποιες κατασκευαστικές διαδικασίες που πρέπει να ακολουθούνται. Και βέβαια αυτό δεν έχει σχέση με έναν αλγόριθμο που μαθαίνουμε προκειμένου να κάνουμε κάποιες πράξεις στην άλγεβρα π.χ πως εφαρμόζουμε την ταυτότητα (α+β) 2 σε μια σύνθετη αλγεβρική παράσταση, δεν παύει όμως να είναι μια συμπεριφοριστική διαδικασία. Και στη γεωμετρία οι κατασκευές κάθε άλλο παρά «συνταγές» ή «σύνολο οδηγιών» είναι, αφού για να αποκτήσει νόημα η διαδικασία είναι αναγκαίο ο μαθητής να συνδέει κάθε κατασκευαστικό βήμα με κάποιον ορισμό ή με σχετικό θεώρημα, κάθε βήμα δηλαδή να έχει θεωρητική επεξήγηση. Είναι φυσικό να αναρωτηθούμε πόσο πιο δύσκολη μπορεί αυτή η διαδικασία να γίνει με το λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer s Sketchpad (Jackiw, 1991), αφού πρέπει να μάθουμε και την χρήση των εργαλείων του λογισμικού. Παρά το γεγονός ότι είναι αναγκαία η εκμάθηση του εργαλείου, τα πράγματα αντί να δυσκολέψουν, γίνονται απλούστερα, αφού οι αφηρημένες έννοιες γίνονται όλο και περισσότερο συγκεκριμένες. Το λογισμικό διαθέτει κάποια εργαλεία τα οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ακόμα και αν δεν είμαστε έμπειροι χρήστες. Για να κάνουμε τις κατασκευές στο λογισμικό είναι αναγκαίο επομένως να γνωρίζουμε πως λειτουργούν τα εργαλεία της εργαλειοθήκης και τι δυνατότητες έχει κάθε εντολή. Οι γνώσεις μας στην γεωμετρία θα μας βοηθήσουν να κάνουμε τις κατασκευές με διαφορετικούς τρόπους, δηλαδή πως θα ενεργήσουμε προκειμένου να κάνουμε ένα γεωμετρικό σχήμα, που πληροί κάποιες ιδιότητες, αλλά και η θεωρητική επεξήγηση ταυτόχρονα με την κατασκευαστική διαδικασία. Το αιτούμενο επομένως είναι να μην επαναλαμβάνονται μηχανικά οι κινήσεις, αλλά να συνδέεται η διαδικασία με την θεωρητική δομή του συνόλου των σχέσεων που συνοδεύουν την κατασκευαστική διαδικασία. Δηλαδή όταν κάνουμε μια κατασκευή να φέρουμε κατά νου την μαθηματική έννοια έτσι ώστε να κάνουμε μια λογική σύνδεση μεταξύ της ενέργειας στο λογισμικό και της θεωρίας που περιλαμβάνει αυτή η κατασκευή. Έτσι θα σκεφτούμε με βάση τη λογική για τα αντικείμενα που πρέπει να επιλέξουμε στο λογισμικό. 4. Λογικό μαθηματικές συνδέσεις και λειτουργία του λογισμικού Όπως αναφέραμε κάθε μας ενέργεια στο λογισμικό είναι αναγκαίο να συνοδεύεται από λογική αν δεν θέλουμε να παράγουμε απλώς όμορφα καλοσχεδιασμένα σχέδια, δηλαδή με άλλα λόγια να οδηγούμαστε σε εξήγηση των ενεργειών μας. Το λογισμικό μπορεί να μας βοηθήσει να κάνουμε αυτές τις συνδέσεις. Θα προσπαθήσουμε να επεξηγήσουμε τι εννοούμε με αυτό στην συνέχεια δίνοντας κάποια παραδείγματα. Επιλεγουμε ένα σημείο που κατασκευάσαμε (αυτό σημαίνει ότι κάνουμε ένα αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω στο σημείο) και το μενού Κατασκευή. Πόσες εντολές είναι φωτισμένες στο μενού Κατασκευή; Καμιά. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με ένα σημείο μόνο κάποια κατασκευή. Σύμφωνα με τα Στοιχεία του Ευκλείδη «Σηµεῖόν ἐστιν, οὗ µέρος οὐθέν» δηλαδή σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέρος δηλαδή διάσταση. (α [1]. Βιβλίον Ι, Στοιχεία Ευκλείδη). Το λογισμικό Geometer s Sketchpad έλαβε υπόψη του τόσο στον ορισμό του σημείου όσο και στους ορισμούς των άλλων γεωμετρικών αντικειμένων (π.χ κύκλος) που περιέχονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη -131-

4 αλλά και τους Όρους, τα Αιτήματα και τις Προτάσεις της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό θα το διαπιστώνουμε όλο και περισσότερο όσο προχωρούμε στις κατασκευές. Κατασκευάζουμε ακόμα ένα σημείο και επιλέγουμε και τα δυο σημεία. Σχήμα 2: Κατασκευή δυο σημείων στην οθόνη και εμφάνιση του Μενού Κατασκευή Όπως παρατηρούμε είναι οι εντολές Τμήματος, Ημιευθείας, Ευθείας και Κύκλου από το κέντρο + σημείο. Δηλαδή με τα δυο σημεία μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ευθεία, μια ημιευθεία, ένα ευθύγραμμο τμήμα και έναν κύκλο που θα έχει το πρώτο σημείο ως κέντρο και το δεύτερο σημείο ως πέρας της ακτίνας. Πράγματι όπως γνωρίζουμε από την Ευκλείδεια γεωμετρία δυο σημεία ορίζουν μια ευθεία, δυο σημεία ορίζουν και μια ημιευθεία κ.ο.κ Μπορούμε να επιλέξουμε μια-μια τις εντολές και να δούμε πως λειτουργούν. Κατασκευάζουμε και ένα τρίτο σημείο και επιλέγουμε και τα τρία σημεία. Πόσες εντολές είναι τώρα φωτισμένες στο μενού Κατασκευή; Όπως παρατηρούμε είναι οι εντολές τμημάτων, ημιευθειών, ευθειών, διχοτόμου γωνίας, κ.ο.κ. Δοκιμάζουμε για παράδειγμα με επιλεγμένα τα σημεία να επιλέξουμε και την εντολή τμημάτων. Τι παρατηρούμε; Κατασκευάζονται τρεις ευθείες που διέρχονται από τα σημεία που έχουμε κατασκευάσει στη οθόνη(σχήμα 3, αριστερά). Οδηγούμαστε στη σκέψη ότι το λογισμικό πιθανότατα ανά δυο σημεία να ορίζει μια ευθεία. Αυτή είναι μια εικασία που μπορεί να επιβεβαιωθεί με κάποιες δοκιμές ακόμα ή να απορριφθεί. Αν κατασκευάσουμε 4 σημεία πόσες ευθείες ορίζονται; Παρατηρούμε ότι ορίζονται 4 ευθείες, συνδέοντας ανά δυο τα σημεία με την σειρά κατασκευής τους. Το ίδιο συμβαίνει και όταν έχουμε 5 σημεία ή 10 σημεία στην οθόνη. Επομένως οδηγούμαστε να διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα που προέρχεται από δοκιμές, διερεύνηση και επαγωγική σκέψη: το λογισμικό δεν ορίζει το πλήθος των ευθειών που μπορούν να σχηματιστούν μεταξύ των σημείων, αλλά κατασκευάζει τις ευθείες συνδέοντας ανά δυο τα σημεία με την σειρά κατασκευής τους. Αυτές οι πρώτες ενέργειες μας στο λογισμικό και οι αρχικές σκέψεις, μας οδηγούν σε άλλες: Είναι οι ενέργειες με χρήση άλλης εντολής με παρόμοια λογική; Για παράδειγμα η εντολή της ημιευθείας χρησιμοποιεί άλλη λογική; Δοκιμάζουμε να κατασκευάσουμε 5 σημεία και επιλέγουμε από το μενού Κατασκευή >> Ημιευθειών (σχήμα 3, δεξιά). Τι παρατηρούμε; Το λογισμικό χρησιμοποιεί την ίδια λογική και για την κατασκευή των ημιευθείων. Κάθε ημιευθεία έχει αρχή ένα σημείο κατασκευής και εκτείνεται προς το μέρος που είναι το επόμενο σημείο κατασκευής. Κατασκευάζουμε τώρα ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο πάνω από το ευθύγραμμο τμήμα. Επιλέγουμε το τμήμα και το σημείο (ώστε να είναι και τα δυο φωτισμένα με ένα ροζ χρώμα) και επιλέγουμε το μενού Κατασκευή. Ποιες εντολές είναι τώρα φωτισμένες; Σχήμα 3: Κατασκευή των ευθειών ή ημιευθειών που συνδέουν σημεία στην οθόνη Όπως παρατηρούμε η εντολή κατασκευής παράλληλης ευθείας, κάθετης ευθείας και κύκλου από κέντρο + ακτίνα. Δοκιμάζουμε μια μια τις εντολές και παρατηρούμε πως λειτουργούν. Αρχίζουμε με την εντολή Παράλληλης ευθείας. Τι παρατηρούμε; Το λογισμικό κατασκευάζει μια ευθεία παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο (σχήμα 4). Στο σημείο αυτό μπορούμε να ρωτήσουμε στους μαθητές: Μπορούμε να κατασκευάσουμε και μια δεύτερη παράλληλη από το σημείο αυτό προς την ευθεία; Τέμνονται οι παράλληλες ευθείες μεταξύ τους; -132-

5 Σχήμα 4. Κατασκευή παράλληλης ευθείας προς ευθεία από σημείο εκτός αυτής Που στηρίζεται η κατασκευή των παραλλήλων ευθειών στο λογισμικό; Στον όρο 23 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδη και το περίφημο 5ο Αίτημα, γνωστό με την διατύπωση «Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται προς αυτή μόνο μια παράλληλη». Επιλέγουμε στην συνέχεια το μενού Επεξεργασία και την εντολή Αναίρεση κατασκευής παράλληλης ευθείας. Θα δούμε ότι επανέρχεται στο σχήμα στην αρχική του μορφή, δηλαδή είναι μόνο επιλεγμένα τo σημείo και το ευθύγραμμο τμήμα. Δοκιμάζουμε τώρα (με επιλεγμένα τo σημείο και το ευθύγραμμο τμήμα) την εντολή κύκλου από κέντρο + ακτίνα. Τι παρατηρούμε; Το λογισμικό κατασκευάζει ένα κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα της οποίας το μήκος είναι άγνωστο. Επομένως τι σχέση έχει η λειτουργία της εντολής αυτής με το επιλεγμένο ευθύγραμμο τμήμα στην οθόνη; Επιλέγουμε το Εργαλείο σχεδίασης ευθυγράμμων αντικειμένων και κατασκευάζουμε μια ακτίνα του κύκλου. Δηλαδή, επιλέγουμε το κέντρο του κύκλου και σχηματίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα με άκρο το κέντρο του κύκλου και δεύτερο άκρο αυθαίρετο σημείο πάνω στον κύκλο. Οι μετρήσεις των τμημάτων μπορούν να οδηγήσουν τον μαθητή να παρατηρήσει, να εικάσει και στη συνέχεια να συμπεράνει ότι το λογισμικό για να κατασκευάσει τον κύκλο χρησιμοποίησε ως κέντρο το σημείο Α και ως ακτίνα το επιλεγμένο ευθύγραμμο τμήμα. Μπορούμε όμως να κατασκευάσουμε έναν κύκλο χρησιμοποιώντας ένα οποιοδήποτε σημείο πάνω στην οθόνη και για κάθε ευθύγραμμο τμήμα; Η λειτουργία του συρσίματος (dragging) μας οδηγεί να συμπεράνουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που θα χρησιμοποιήσουμε μπορεί να είναι ένα τμήμα οποιοδήποτε, ακόμα και η πλευρά ενός τριγώνου για παράδειγμα. Μας οδηγεί δηλαδή να γενικεύσουμε και να συνδέσουμε την κατασκευή του κύκλου με τον ορισμό του κύκλου αλλά και να επεκτείνουμε τον τρόπο κατασκευής κύκλων σε σχέση με τα στατικά μέσα. 5. Συζήτηση Η δυσκολία που παρουσιάζεται στη διδασκαλία και μάθηση της γεωμετρίας οφείλεται στην αυστηρή λογική, ιεραρχία και τον παραγωγικό συλλογισμό που απαιτείται στην δομή ανάπτυξης του περιεχομένου, στην έννοια της απόδειξης που συνδέεται με την λογική εφαρμογή όλων των αυστηρά θεμελιωμένων αξιωμάτων, θεωρημάτων, πορισμάτων και προτάσεων. Ακόμα ότι μέσω των γεωμετρικών εννοιών μπορούμε να αναπαραστήσουμε φυσικά αντικείμενα αντιπροσωπεύοντας έτσι όλη την κλάση των αντικειμένων ή με τεχνητούς τρόπους (για παράδειγμα σχέδιο) ιδεατά αντικείμενα. Όταν κατασκευάζουν οι μαθητές ένα σχήμα στο τετράδιο τους δεν αναφέρονται σε κάτι αφηρημένο αλλά σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο των αισθήσεων τους. Αντιμετωπίζουν έτσι μια τεράστια δυσκολία να διεισδύσουν σε έννοιες που σχετίζονται με μια άπειρη κλάση ιδεατών αντικειμένων, αφού αναφερόμενοι σε ένα γεωμετρικό σχήμα στην ουσία αναφερόμαστε στην άπειρη κλάση και όχι στο συγκεκριμένο αντικείμενο. Επομένως τα διαγράμματα της στατικής γεωμετρίας δημιουργούν πρόβλημα διότι και φυσική υπόσταση έχουν και συγκεκριμένα είναι. Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια τη δυσκολία σύνδεσης του γεωμετρικού προβλήματος με το κατάλληλο γεωμετρικό σχήμα που είναι βασικό στοιχείο της επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος. Άλλες δυσκολίες που παρουσιάζονται κατά την κατασκευή του ίδιου του σχήματος οφείλονται στη μη κατανόηση του σωστού τρόπου χρήσης των εργαλείων (αναφερόμενοι στην Ευκλείδεια στατική γεωμετρία τότε τα βασικά εργαλεία κατασκευής είναι ο κανόνας και ο διαβήτης) ή άλλων γνωστικών εμποδίων που προκύπτουν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας. Η δυσκολία αυτή ξεπερνιέται σε ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας όπου ο μαθητής με το σύρσιμο του αντικειμένου από τις κορυφές, με τη χρήση της animation εντολής και των υπολοίπων αλληλεπιδραστικών -133-

6 τεχνικών αντιλαμβάνεται ότι το αντικείμενο που κατασκεύασε στην οθόνη αντιπροσωπεύει μια άπειρη κλάση. Ένα άλλο σημαντικό πρόβλημα είναι η έλλειψη συγχρονισμού της διδασκαλίας με την νοητική ανάπτυξη του μαθητή. Τα γεωμετρικά αντικείμενα, η αιτιολόγηση και η χρησιμοποιούμενη γλώσσα είναι διαφορετικά τόσο ανάμεσα στον μαθητή και τον δάσκαλο όσο και ανάμεσα στους μαθητές της ίδιας τάξης. Υπάρχει μια απόκλιση επομένως μεταξύ των αναμενόμενων αποδόσεων στη γεωμετρία και του επιπέδου της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών. Οι αναφερόμενες δυσκολίες και η παρουσίαση της λειτουργίας των εργαλείων του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας μας οδηγούν να αναρωτηθούμε σχετικά: Ποια γεωμετρικά εργαλεία επομένως μπορούν να οδηγήσουν τον μαθητή να λάβει υπόψη του τις θεωρητικές παραμέτρους της κατασκευής, προκειμένου το σχήμα του να μην ικανοποιεί μόνο τους οπτικούς περιορισμούς αλλά να είναι και συνεπές με τις ιδιότητες που το καθορίζουν και ταυτόχρονα να είναι συνεπές με το συνολικό γεωμετρικό πλαίσιο; Η απάντηση είναι: λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας. Μέσω του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας έχουμε την δυνατότητα να μοντελοποιήσουμε προβλήματα και να συνδέσουμε προβλήματα του πραγματικού κόσμου με τα μαθηματικά. Έτσι μας δίνεται η δυνατότητα να συνδέσουμε την άτυπη με την τυπική γνώση, να κατανοήσουμε και να μεταδώσουμε αυτή την γνώση και κατανόηση. Συγκεκριμένα, αν οι μαθητές πρέπει να μάθουν πώς οι άνθρωποι ανακαλύπτουν γεγονότα και μεθόδους, πρέπει να θεωρήσουν τα μαθηματικά ως ένα ζωντανό αντικείμενο, και όχι ως οριστικοποιημένο και αμετάβλητο προϊόν. Τα συστήματα δυναμικής γεωμετρίας αν και δεν είναι «γλωσσικά», βοηθούν την κατασκευή, το παιχνίδι, τη δόμηση συλλογισμών και την περιγραφή μαθηματικών αντικειμένων που προκύπτουν μέσα από µία ακολουθία βημάτων. Ακόμα μειώνουν αισθητά την προσπάθεια που χρειάζεται η εκμάθηση μια δεξιότητας και δεν αποτελούν δικαιολογία για περικοπή της ύλης. Είναι όμως αναγκαία η εξοικείωση με τα εργαλεία αυτά ώστε να βοηθήσουν τους μαθητές να σχηματίσουν μαθηματικές ιδέες και να μην αποτελέσουν ένα επιπλέον γνωστικό εμπόδιο ή όπως αναφέρει ο Goldenberg (1999) «ακόμα κι αν η τεχνολογία είναι προσεκτικά επιλεγμένη ώστε να υποστηρίξει τους στόχους μιας σειράς μαθημάτων, δεν μπορεί έτσι απλά να «προσγειωθεί» σε µία δομή που έχει σχεδιαστεί χωρίς πρόβλεψη για τη χρήση της. Η διδακτική, η ύλη και η τεχνολογία πρέπει να έχουν νόημα μαζί, ως σύνθεση». Βιβλιογραφία Duval, R. (1998) Geometry from a Cognitive Point of View, In C. Mammana & V. Villani(eds), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century: an ICMI study, Dordrecht: Kluwer. Fischbein E. (1993), The theory of figural concepts, in Ed. Stud. in Math. Vol. 24, n. 2, pp Goldenberg, P. (1999), Principles, Art, and Craft in Curriculum Design: The Case of Connected Geometry, International Journal of Computers for Mathematical Learning 4: Kluwer Jackiw, N. (1991). The Geometer's Sketchpad [Computer program]. Berkeley, CA: Key Curriculum Press Laborde, C. (1993). The computer as part of the learning environment: the case of geometry,keithel, C. & Ruthven, K., Learning from computers: mathematics education and technology, NATO ASI Series, Springer Verlag, Mariotti M.A. (1992), Geometrical reasoning as a dialectic between the figural and the conceptual aspect, in Topologie structurale / Structural topology, n. 18. Mariotti M.A. (1996) Interaction between images and concepts in geometrical reasoning, Doctoral thesis, Università di Tel Aviv, Pre-Print Dipartimento di Matematica di PIsa, n Parzysz, B. (1988). Knowing versus seeing: problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studiesin Mathematics, 19(1), Peirce, C. S. (1906). Prolegomena to an apology of pragmaticism. In J.Hoopes (Ed.), Peirce on signs: Writings on semiotics by Charles Sanders Peirce (pp ). Chapel Hill: The University of North Carolina Press Κολέζα, E.(2000): Γνωσιολογική και Διδακτική Προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηματικών Εννοιών. Leader books -134-

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, σχήµα, σχέδιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, σχήµα, σχέδιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 Γνωστικό -θεωρητικές συνδέσεις και λειτουργία του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad. Σταυρούλα Πατσιοµίτου Καθ. Β/θµιας Εκπ/σης, Med ιδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηµατικών Παν/µιου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ (2007 2013) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Πρακτική Άσκηση Εκπαιδευομένων στα Πανεπιστημιακά Κέντρα Επιμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LOGO ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Τοποθέτησε μια χελώνα στην επιφάνεια εργασίας. 2. Με ποια εντολή γράφει η χελώνα μας;.. 3. Γράψε την εντολή για να πάει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ)

Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Η διδασκαλία του Θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου με τη βοήθεια του συνδυασμού της θεωρίας van Hiele και της Γνωστικής Μαθητείας στα πλαίσια των ΤΠΕ Εμμανουήλ Νικολουδάκης Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών

Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Σ.Πατσιομίτου Εκπ/κός Δ/θμιας Εκπ/σης, Med Διδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Υπ. Διδάκτωρ Παν.

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέσα χορδών. Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Μέσα χορδών. Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή»

«Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» Ψηφιακό σχολείο: Το γνωστικό πεδίο των Μαθηματικών «Ψηφιακά δομήματα στα μαθηματικά ως εργαλεία μάθησης για το δάσκαλο και το μαθητή» ΕΛΕΝΗ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ Πληροφορικός ΠΕ19 (1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου Κανέλλα Κούτση ΚΣΕ 7ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση Μαθηµατική Μοντελοποίηση Μοντελοποίηση Απαιτητική οικονοµία και αγορά εργασίας Σύνθετες και περίπλοκες προβληµατικές καταστάσεις Μαθηµατικές και τεχνολογικές δεξιότητες Επίλυση σύνθετων προβληµάτων Μαθηµατικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις.

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4 ο ΓΕΛ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αθήνα 2017 ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΛΛΑΖΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού

Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού Μαρία Κορδάκη Σχολική σύμβουλος Μαθηματικών Επ. καθ. (ΠΔ 407/80) Τμήμα Μηχ/κών Ηλ/κών Υπολογιστών και Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα. Σ.Πατσιομίτου 1

Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα. Σ.Πατσιομίτου 1 1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα Σ.Πατσιομίτου 1 Το Πυθαγόρειο θεώρημα που περιέχεται στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια

Διαβάστε περισσότερα

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια Κάθε οµάδα παρουσιάζει στην τάξη: (1) Τις logo διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασε τα κανονικά πολύγωνα. (2) Τις διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασαν τα κανονικά πολύγωνα γύρω από µια περιοχή. (3) Τα τεχνουργήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής Διδακτική της Πληροφορικής ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ανδρέας Σ. Ανδρέου (Αναπλ. Καθηγητής ΤΕΠΑΚ - Συντονιστής) Μάριος Μιλτιάδου, Μιχάλης Τορτούρης (ΕΜΕ Πληροφορικής) Νίκος Ζάγκουλος, Σωκράτης Μυλωνάς (Σύμβουλοι Πληροφορικής)

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Ειρήνη Περυσινάκη peririni@hotmail.com Δρ. Πανεπιστημίου UCL Επιμορφώτρια Β Επιπέδου Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική διερεύνηση γεωμετρικών τόπων: Η περίπτωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. Περίληψη

Δυναμική διερεύνηση γεωμετρικών τόπων: Η περίπτωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος. Περίληψη 726/1474 Δυναμική διερεύνηση γεωμετρικών τόπων: Η περίπτωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Γεώργιος Κωστόπουλος Μαθηματικός Β θμιας Εκπαίδευσης kostg@sch.gr Κων/να Δρακοπούλου Μαθηματικός mkdrakopoulou@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης 4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Κέντρο και άξονας αυτών των μεθόδων διδασκαλίας είναι ο δάσκαλος. Αυτός είναι η αυθεντία μέσα στην τάξη που καθοδηγεί και προσφέρει. Γι αυτό οι μέθοδοι αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Τι είναι η Δυναμική Γεωμετρία Το βασικό της χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης (έννοιες, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις) οργάνωση περιεχομένου μαθηματικών, εννοιολογικές αντιλήψεις στα μαθηματικά και στους μαθητές Μαρία Καλδρυμίδου θέματα οργάνωση περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 5: Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Η θεωρία των van Hiele. Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σεπτέμβριος 2013 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης: Σύνδεσμος Επιθεωρητής: Eνδοτμηματική Επιτροπή Μαθηματικών: Σύμβουλοι Μαθηματικών:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα