3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ"

Χαρά Βενιζέλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Οι πρώτες συστηματικές μετρήσεις της επιδεκτικότητας σε μεγάλο αριθμό ουσιών και σε μεγάλη περιοή θερμοκρασιών έγιναν από τον Curie το 895. Τα αποτελέσματά του έδειξαν ότι η μαγνητική επιδεκτικότητα μάζας, m, είναι ανεξάρτητη από τη θερμοκρασία για τις διαμαγνητικές ουσίες, ενώ μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς τη θερμοκρασία για τις παραμαγνητικές: C m (.) Η σέση αυτή λέγεται νόμος του Curie και η σταθερά C, σταθερά του Curie ανά γραμμάριο. Αργότερα αποδείτηκε ότι ο νόμος Curie ήταν μια μερική περίπτωση ενός πιο γενικού νόμου, ο οποίος εκφράζεται από τη σέση C m (.) θ και ο οποίος ονομάστηκε νόμος των Curie Weiss. Η J στον τύπο αυτό είναι σταθερή, με διαστάσεις θερμοκρασίας, και ίση με μηδέν για όποιες ουσίες ακολουθούν τον νόμο Curie. Ο Langevin το 95 ανάπτυξε τη θεωρία του διαμαγνητισμού και του παραμαγνητισμού. Ο Langevin υπέθεσε ότι ένα παραμαγνητικό αέριο αποτελείται από άτομα ή μόρια που το καθένα τους έει την ίδια μαγνητική ροπή, μ. Η ροπή αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι οι ροπές spin και τροιάς ενός ατόμου ή μορίου δεν αλληλοεξουδετερώνονται πλήρως. Όταν στο υλικό δεν επιδρά εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, οι ατομικές αυτές ροπές έουν τυαίες διευθύνσεις, με αποτέλεσμα η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν. Το υλικό εμφανίζεται μη μαγνητισμένο. Όταν όμως επιδράσει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, οι ατομικές ροπές έουν την τάση να προσανατολίζονται παράλληλα προς αυτό. Αν φυσικά δεν υπήραν αντιτιθέμενες δυνάμεις, θα γινόταν πλήρης ο προσανατολισμός των ατομικών μαγνητικών ροπών και το δείγμα θα αποκτούσε πολύ μεγάλη συνισταμένη μαγνητική ροπή. Η θερμική κίνηση των ατόμων όμως τείνει να διατηρήσει τον τυαίο προσανατολισμό των ατομικών ροπών και δεν επιτρέπει τον πλήρη προσανατολισμό τους, με αποτέλεσμα τον μερικό προσανατολισμό τους και την εμφάνιση μικρής θετικής μαγνητικής επιδεκτικότητας. Η αύξηση της θερμοκρασίας προκαλεί αύξηση της θερμικής κίνησης, δηλαδή αύξηση της τυαίας κατανομής των ατομικών ροπών, και συνεπώς μείωση της επιδεκτικότητας. Στη συνέεια θα αναφέρουμε την ποσοτική ανάλυση του παραμαγνητισμού κι αυτό όι γιατί τα υλικά αυτά έουν ιδιαίτερη σημασία αλλά γιατί η θεωρία αυτή οδηγεί αβίαστα στη θεωρία του σιδηρομαγνητισμού, ο οποίος έει μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Ας θεωρήσουμε ένα μοναδιαίο όγκο παραμαγνητικού υλικού ο οποίος περιέει n άτομα. Οι μαγνητικές ροπές μ των ατόμων αυτών συμβολίζονται με διανύσματα, τα οποία υποθέτουμε ότι ολισθαίνουν κι έουν σαν αρή τους το κέντρο μιας νοητής σφαίρας με ακτίνα ίση με τη μονάδα. Θέλουμε να υπολογίσουμε τον αριθμό dn των ροπών των οποίων οι διευθύνσεις σηματίζουν γωνία με το εξωτερικό πεδίο H, της οποίας η τιμή είναι μεταξύ J και J+dJ. Στην περίπτωση που δεν υπάρει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, ο αριθμός των διανυσμάτων των μαγνητικών ροπών, που διέρονται από τη μονάδα εμβαδού της σφαίρας, θα είναι ο ίδιος σε κάθε σημείο της επιφάνειας, ο δε αριθμός dn θα είναι ανάλογος του εμβαδού da:

2 da π sinϑdϑ (.) Όταν όμως επιδράσει ένα εξωτερικό πεδίο, τα διανύσματα μ μετατοπίζονται όλα προς τη διεύθυνση του εξωτερικού αυτού πεδίου. Κάθε ατομική ροπή έει δυναμική ενέργεια που δίνεται από τη γνωστή σέση E μh cosϑ (.4) Σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας, στη θερμοκρασία, η πιθανότητα ένα άτομο να έει e ενέργεια Ε είναι ανάλογη προς τον συντελεστή, όπου k η σταθερά Boltzmann. Ο αριθμός των μαγνητικών ροπών επομένως, των οποίων η διεύθυνση είναι μεταξύ J και J+dJ θα είναι: E k dn KdAe E k πke μh cosθ k sinθdθ (.5) όπου Κ είναι σταθερά αναλογίας, που προσδιορίζεται από τη συνθήκη n dn n (.6) Αν για απλούστευση θέσουμε: μb a (.7) k η σέση (.6) γίνεται: π α cos ϑ πk e sin ϑ dϑ n (.8) Η συνολική μαγνητική ροπή κατά τη διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου την οποία αποκτά η μονάδα του όγκου, δηλαδή η μαγνήτιση Μ, βρίσκεται αν πολλαπλασιαστεί ο αριθμός των ατόμων dn επί τον συντελεστή μcosj και ολοκληρωθεί η παράσταση μεταξύ και n. n z μ cosϑdn (.9) Τελικά θα έουμε π α cosϑ e sinθ cosϑdθ π α cosϑ πkμ e sinθ cosϑdθ nμ π (.) α cosϑ e sinθdθ

3 Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος αυτού κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση: x cosj, dx - sinjdj, οπότε αx nμ e xdx nμ(cothα ) αx α e dx (.) Το γινόμενο ημ παριστάνει τη μέγιστη δυνατή μαγνήτιση του υλικού και αντιστοιεί στον τέλειο παραλληλισμό όλων των μαγνητικών ροπών προς τη διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου. Η κατάσταση αυτή αντιστοιεί φυσικά στην κατάσταση πλήρους κορεσμού. Αν θέσουμε λοιπόν ημ Μ η παραπάνω σέση (.) γράφεται: cothα L( α) (.) α Η συνάρτηση του δεξιού μέλους της (.) λέγεται συνάρτηση Langevin, L(a). Αν αναπτυθεί σε σειρά γράφεται: 5 α α α L ( α) +... (.) Στο επόμενο σήμα,., φαίνεται η καμπύλη που αντιστοιεί στη συνάρτηση Langevin. Η συνάρτηση για μεγάλα α τείνει προς τη μονάδα και για μικρά α έει κλίση /. Για πολύ μικρές τιμές του α, α.5, η συνάρτηση πρακτικά παριστάνει ευθεία. Σήμα.: Γραφική παράσταση της συνάρτησης Langevin

4 Η θεωρία Langevin καταλήγει στα ακόλουθα συμπεράσματα:. Κορεσμός του υλικού θα παρουσιάζεται για α μη/k αρκετά μεγάλα. Το συμπέρασμα αυτό είναι αρκετά λογικό, γιατί για μεγάλα Η, η μικρά, ή και για τα δύο μαζί, η εξωτερική επίδραση του πεδίου υπερνικά την αταξία που προκαλεί η θερμική κίνηση.. Για μικρή α, η μαγνήτιση είναι γραμμική συνάρτηση της Η, όπως και πειραματικά αποδεικνύεται. Από τη θεωρία Langevin μπορούμε να καταλήξουμε στο νόμο του Curie. Για μικρές τιμές του α, η συνάρτηση Langevin και η σέση (.) γίνεται L(α) α/ α nμα nμ H L( α ) (.4) k Άρα nμ V (CGS) H k μ nμ μ V (SI) B k V nμ ρ ρ ρh (CGS) ρk V μ nμ μ ρ ρ ρb (SI) ρk (.5) όπου ρ η πυκνότητα. Nρ Έουμε όμως n, όπου Ν ο αριθμός Avogadro (άτομα/mole), και Α το ατομικό βάρος. A συνεπώς η (.5) γίνεται N ρ μ C emu V, [ ](CGS), H A k cm Oe μ Nρ μ μ C V, B A k [αδιάστατο, SI] V N μ C emu ρ, [ ] (CGS), ρ A k gr Oe μ N C μ μ ρ ρb Ak m ρ [ Kgr ] (SI) (.6) 4

5 όπου C η σταθερά Curie ανά γραμμάριο, ίση με: Nμ C Ak (.7) Από τη σέση (.7) μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική μαγνητική ροπή μ ανά άτομο. ρ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το οξυγόνο είναι παραμαγνητικό, η δε μαγνητική του επιδεκτικότητα στους ο C είναι.8* 4 emu.6 * gr Oe 6 m. Αν Μ είναι το μοριακό βάρος του οξυγόνου, από τη Kgr σέση.6 (αντί του ατομικού βάρους θεωρούμε το μοριακό) λύνοντας ως προς μ, θα έουμε: μ 6 4 Ak ρ ()(gr / mole)(.8* erg / K)(9K)(.8* emu / gr / Oe).64* emu N 6.* μορια / mole ανά μόριο ή στο SI μ ανά μόριο. 6 Ak ρ ()(.Kgr / mole)(.8* J / K)(9K)(.6* m / Kgr).64* 7 Nμ (6.* μορια / mole)(4π * * m / A) και διαιρώντας με την μαγνητόνη Bohr, έουμε: J.64 * erg / Oe μ.85μ / μοριο B 9.7 * erg / Oe Σε θερμοκρασίες δωματίου, ακόμα και για ισυρά πεδία, ο παράλληλος προσανατολισμός των ροπών με την επίδραση του εξωτερικού πεδίου είναι πολύ μικρός εξαιτίας της θερμικής κίνησης. Στην περίπτωση του οξυγόνου υπάρουν Ν/ μόρια οξυγόνου ανά γραμμάριο, καθένα από τα οποία έει μαγνητική ροπή ίση με,64 x - emu. Αν υπήρε πλήρης προσανατολισμός, η ειδική μαγνήτιση του οξυγόνου θα ήταν, σ (6,x /) (,64x - ) 497 emu gr - (CGS), σ (6,x /.) (,64x - ) 497 Am /Kgr (SI), 5

6 Η μαγνήτιση όμως που αποκτά το οξυγόνο υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου Η Οe() είναι: 4 emu 5 emu σ (.8* )( Oe).8 (CGS) gr Oe gr 7 6 m 6 A* m A* m σ (.6* )( ) (.6* * )( ).8 (SI) Kgr 4π Kgr * Kgr που αποτελεί το % της τιμής κόρου. Στην ανάπτυξη της θεωρίας του διαμαγνητισμού δεν έγινε καμμία υπόθεση για το αν ο διαμαγνητισμός εμφανίζεται σε άτομα που έουν ή όι μαγνητική ροπή. Και πράγματι ο διαμαγνητισμός εμφανίζεται σε όλα τα άτομα. Πρέπει λοιπόν να αφαιρέσουμε τη διαμαγνητική συμβολή από τον τύπο του παραμαγνητισμού. Η διόρθωση αυτή είναι συνήθως μικρή (.5-6 emu gr - Oe - ) και μπορεί να παραλειφθεί σε σύγκριση με τον παραμαγνητικό όρο. Η θεωρία Langevin βασίζεται όμως στην υπόθεση ότι δεν υπάρει αλληλεπίδραση των ατόμων μεταξύ τους, και ότι αυτά επηρεάζονται μόνο από το εξωτερικό πεδίο και τη θερμική κίνηση. Παρ όλα αυτά πολλές παραμαγνητικές ουσίες δεν ακολουθούν τον νόμο αυτό, αλλά τον γενικότερο νόμο των Curie Weiss. C ρ ϑ (.8) Το 97 ο Weiss εξήγησε τη συμπεριφορά αυτή με την υπόθεση ότι οι ροπές των ατόμων αλληλεπιδρούν και υπόδειξε ότι η αλληλεπίδραση αυτή των στοιειωδών ροπών θα μπορούσε να εκφραστεί σαν συνάρτηση ενός εσωτερικού πεδίου που το ονόμασε «μοριακό πεδίο Η m». Το μοριακό αυτό πεδίο θεωρήθηκε ότι οφείλεται στη μαγνήτιση του περιβάλλοντος υλικού. Ο Weiss υπέθεσε ότι η ένταση του μοριακού πεδίου είναι ανάλογη προς τη μαγνήτιση: H m γ (.9) Ο συντελεστής γ ονομάζεται σταθερά του μοριακού πεδίου. Το συνολικό λοιπόν πεδίο που επιδρά στο υλικό είναι, κατά τον Weiss, H H + (.) t H m Σύμφωνα με τη θεωρία του Weiss ο νόμος Curie γράφεται: C ρ ρh ρ( H + (.) γ ) 6

7 Λύνοντας ως προς Μ προκύπτει ρch (.) ρcγ Άρα ρ ρh C C ρcγ ϑ (.) Η σταθερά JρCg λοιπόν αποτελεί μέτρο της ισύος της αλληλεπίδρασης, μια και είναι ανάλογη προς τη σταθερά του μοριακού πεδίου γ. Για υλικά που ακολουθούν τον νόμο Curie, Jg. Στο σήμα. εικονίζεται η μεταβολή της μαγνητικής επιδεκτικότητας ρ σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία για τα παρα και δια μαγνητικά υλικά. Σήμα.: Μεταβολή της μαγνητικής επιδεκτικότητας μάζας, σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία για παρα και διαμαγνητικά υλικά. Πολλές παραμαγνητικές ουσίες έουν πολύ μικρές θερμοκρασίες J, της τάξης των Κ. Θετική θερμοκρασία J, όπως φαίνεται στο σήμα., σημαίνει ότι το μοριακό πεδίο υποβοηθεί το εξωτερικό πεδίο, και τείνει να κάνει τις στοιειώδεις μαγνητικές ροπές παράλληλες προς το εξωτερικό πεδίο. 7

8 Σήμα.: Μεταβολή του αντιστρόφου της μαγνητικής επιδεκτικότητας σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία για διάφορες ουσίες. Αν η J είναι αρνητική σημαίνει ότι το μοριακό πεδίο αντιδρά στο εξωτερικό πεδίο και τείνει να μειώσει τη μαγνητική επιδεκτικότητα. Ας σημειωθεί ότι το μοριακό πεδίο δεν είναι ένα πραγματικό πεδίο, αλλά μια δύναμη μάλλον που τείνει να προσανατολίσει τις ατομικές ή μοριακές ροπές, η δε ισύς της δύναμης αυτής εξαρτάται από το ποσοστό ευθυγράμμισης που έει ήδη επιτευθεί, εφόσον το μοριακό πεδίο είναι ανάλογο προς τη μαγνήτιση. 8

Σχετικά έγγραφα

= η μαγνητική διαπερατότητα του κενού (=1 στο cgs)

= η μαγνητική διαπερατότητα του κενού (=1 στο cgs) Μαγνήτιση και μαγνητική επιδεκτικότητα Εάν μια ουσία τοποθετηθεί σε ένα μαγνητικό πεδίο εντάσεως Η η μαγνητική ροή μέσα στην ουσία δίδεται από τη σχέση: B = H + 4πM B = μαγνητική επαγωγή (magetic iductio