ΛΤΕΙ ΣΩΝ ΑΚΗΕΩΝ ΜΕ ΣΟΝ ΟΡΙΜΟ ΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ

Transcript

1 ΛΤΕΙ ΣΩΝ ΑΚΗΕΩΝ ΣΟ ΚΕΥΑΛΑΙΟ ΣΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΑΚΗΗ 1 Αφού η ςυνάρτηςη είναι παραγωγίςιμη ςτο 0 1 θα ιςύει Επομένωσ ƒ ƒ(1) ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ(1) xf x f(1) f x ƒ 1 + ƒ 1 f(1) ƒ ƒ 1 + ƒ 1 ( 1) 1 x 1 1 x 1 1 x 1 ƒ ƒ 1 ( + 1) + ƒ 1 1 ( + 1) ( + 1) ƒ ƒ ƒ 1 ( + 1) + ƒ 1 ΑΚΗΗ f f(0) Αφού η f είναι παραγωγίςιμη ςτο 0 0 με f τότε f() Αν ςτη δοθείςα θέςω όπου το 0 τότε έω ƒ 0 +1 g 0 ƒ g 0 1 g 0 1 Αν >0 τότε έω από τη δοθείςα f(x) + 1 g(x) f(x) + x + 1 ƒ g 1 ƒ + ƒ() g 1 ƒ() + Αλλα ƒ() g 1 ƒ() + 1

2 ƒ() 0 + ƒ και 0 + ƒ() + ƒ g 1 g 1 η από δεξιά παράγωγοσ δηλ 010 και 010 που αποδεικνύεται παρόμοια αν <0. g ΑΚΗΗ g g(α) α α ƒ(α) α ƒ(α) ( α) ƒ(α) ƒ(α) α α + α α + α α ƒ(α) ( α) ƒ(α) και ƒ(α) Για να υπάρει το όριο του α α α α g g(α) α θα πρέπει ƒ α ƒ α ƒ α 0 Αν ƒ α 0 τότε η από αριςτερά και οι από δεξιά παράγωγοσ είναι μηδέν άρα υπάρει ΑΚΗΗ 4 g g(0) 0 ƒ ημ ƒ 0 ημ0 ƒ ημ g g(0) 0 + ƒ 0 ημ ƒ(0) g g(0) και 0 ƒ 0 ημ ƒ(0) και αφού το g 0 υπάρει θα πρέπει ƒ 0 - ƒ 0 ƒ 0 0 f(0)0 Αντίςτροφα αν ƒ 0 0 τότε από τα προηγούμενα ΑΚΗΗ 5 g g(0) g g(0) g g(0) 0 f x ςυν π x Επειδή ƒ 0 ƒ 0 0 τότε ƒ ƒ() 0 0 0

3 g g π f x ςυν x 0 διότι 0 f x ςυν π x ƒ 0 κριτήριο παρεμβολήσ g x ημ g x ημ 0 g + ημ 0 g + ημ g x 0 g ημ 1 + ημ ΑΚΗΗ 6 ƒ ƒ(ρ) ρ Ρ Q x Ρ ρ Q ρ x ρ Ρ Q x ρ αν ρ ρίζα του Q Αφού το ρ είναι ρίζα του Q τότε θα γράφεται Q -ρ π και το ρ δεν είναι ρίζα του π αφού είναι ρίζα του Q βαθμού πολλαπλότητασ ένα τότε και ƒ ƒ(ρ) Ρ ρ π Ρ ρ π ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ Ρ π Ρ ρ π ρ ρ + ƒ ƒ ρ ρ ρ Ρ ρ π ρ ρ Ρ ρ π ρ ρ ρ Ρ π Ρ ρ π ρ Για να είναι παραγωγίςιμη θα πρέπει ƒ ƒ ρ ρ + ρ ƒ ƒ ρ ρ ρ Ρ ρ π ρ Ρ ρ π ρ Ρ ρ π ρ 0 Ρ ρ 0 διότι π(ρ) 0 ρ είναι ρίζα του Ρ. ΑΚΗΗ 7 Αν > α έω από τη δοθείσα f(x) + x ƒ(α) g(x) + α g(α) f(x)+x ƒ α - α g(x) g α ƒ ƒ α α + α + α α g x g α α ƒ ƒ(α) + + α g x g α α α α + ƒ ƒ(α) g x g α + + α α α + α Παρομοίωσ αν <α ƒ α + α g (α)

4 ƒ α + α g (α) ΑΚΗΗ 8 0 [ƒ x + g x + ημ ()] 0 0 [ƒ x + g x + ημ ()] 0 και 0 ƒ () ƒ x + g x + ημ () και από κριτήριο παρεμβολήσ έω ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 Παρόμοια g 0 Επίςησ έουμε 0 ƒ 0 + g 0 0 ƒ 0 + g 0 0 ƒ 0 g 0 0 Από τη δοθείςα έουμε 0 ƒ() + g() + ημ 1 0 ƒ() + g() 1 ημ ƒ() + g() ƒ() 0 και κατα τα γνωςτά g() 0 Επειδή ƒ ƒ(0) 0 ƒ() έω ƒ 0 0 Παρόμοια g 0 0 ΑΚΗΗ 9 Αφού ƒ(0) 0 θέτοντασ ςτην δοθείςα α β 0 έω ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 1 ƒ ƒ ƒ(0) ƒ Για τυαίο 0 ϵr έω ƒ ƒ( 0 ) ƒ 0 + h ƒ( 0 ) ƒ 0 ƒ h ƒ 0 ημ 0 ημh x 0 0 h 0 h h 0 h ΑΚΗΗ 10 ƒ h 1 ημh ƒ( 0 ) ημ h 0 h 0 h 0 h ƒ 0 1 ημ 0 ƒ 0 ημ 0 ƒ ( 0 ) ƒ ƒ ημ 4

5 για αβ1 έω ƒ(1)+ƒ(1) ƒ 1 ƒ(1)0 Κάνω τον μεταςηματιςμό Αφού ƒ (1) 0 1 ƒ ƒ(1) 1 ƒ h τότε h α και του α το h 1 και έω α ƒ ƒ(α) ƒ h α ƒ(α) h ƒ α + αƒ h ƒ(α) ƒ α h 1 α α h 1 h α α α α(h 1) α α(h 1) + ƒ h h 1 ƒ(α) α ƒ α ƒ(α) α ΑΚΗΗ 11 Σο ƒ 0 0 ƒ ƒ(0) ƒ ƒ(0) ημ ημ ημ 0 0 ƒ 0 - ΑΚΗΗ 1 Παρομοίωσ όταν 0 + είναι ςυνεήσ ςτο 0 ημ ημ 0 0 ημ ημ 0 0 f 0 ƒ ƒ(0) 0 0 Παρομοίωσ όταν 0 + θα έω ημ ημ ( ) 0 0 ημ 0 1 ƒ ƒ(0) δεν είναι παραγωγίςιμη ςτο Ο ημ ημ ημ 1 ΑΚΗΗ 1 τη δοθείςα θέτω α και έω g α ƒ α g α ƒ α g(α) g x g α f x g α g x g α + α και αν > α έω 5

6 g x g α α f x f α α g x g α α + α Αλλά αφού η g είναι παραγωγίςιμη ςτο α τότε και g x g α α + α g (α) α + g x g α α + α α + g x g α α + α + α g (α) Παρόμοια αν <α άρα ƒ α g α ΑΚΗΗ 14 g 0 0 ƒ g g(0) g g και 0 ƒ() 0 0 ƒ 0 διότι ƒ ƒ ƒ και 0 και ƒ και 0 0 ΑΚΗΗ 15 f x f( 0 ) α f x f( 0) α f x f( 0) 5 0 α 5 0 α f x f( 0) α 0 Αλλά α α και f x f( 0 ) ΑΚΗΗ 16 Η ςυνάρτηςη γράφεται ƒ α, 0 ( ) α, < 0 Αν α>1 και ƒ ƒ ƒ ƒ 0 0 α α 1 0 ( ) α 0 0 ( )α 1 0 6

7 ƒ 0 0 Αν 0<α 1 τότε 1 0 +α α ΑΚΗΗ 17 Αφού οι ςυναρτήςεισ ƒ,g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο 0 θα είναι και ςυνεείσ 0 +g 0 g f x + f x 4 f x f 0 + f 0 4 f 0 1 f 0 + f 0 0 ƒ 0 1 και g 0 f Αφού η g είναι παραγωγίςιμη ςτο 0 πρέπει g g(0) g g(0) f x + f x 4 f x ƒ 1 ƒ + 4ƒ + 4 ƒ 1 (ƒ + 1) 0 ΑΚΗΗ 18 9ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 0 και επομένωσ g 0 ƒ 0 0 Αφού Α είναι το ςημείο όπου η γραφική παράςταςη τησ g τέμνει τον θα πρέπει: g α β 0 f α f α 0 f α 0 g α α g g α α f f f α f α α α f f α α α f α f f α α 1 f α f α 1 f α 1 διότι Αφού f α 0 η f α α f f α α f α α και α 1 f 1 f α αφού η ςυνάρτηςη f είναι ςυνεήσ ςτο 0 α Η γωνία ω που ςηματίζει η εφαπτομένη ςτη γραφική παράςταςη τησ g ςτο Α έει 7

8 εφωg α 1 και επιμένωσ ω45 μοίρεσ 8