Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,"

Transcript

1 Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής. Δεν είναι απλά μια προσαρμογή του επί δέκα συναπτά έτη δοκιμασμένου και απόλυτα επιτυχημένου βιβλίου μας, που αποτέλεσε για χιλιάδες μαθητές το βοήθημα της επιτυχίας τους, αλλά πρόκειται για ένα νέο βιβλίο, αισθητικά αναβαθμισμένο, ριζικά αναδομημένο, συμπληρωμένο και εμπλουτισμένο με τις γνώσεις και τις απαιτήσεις του σήμερα. Κάθε ενότητα περιέχει: Τη βασική θεωρία, με σχόλια, παρατηρήσεις και τις απαραίτητες μεθοδεύσεις. Λυμένες ασκήσεις που επιλέχθηκαν προσεκτικά, ώστε μέσα από τη μελέτη τους ο μαθητής να κατακτήσει όλες τις έννοιες και τις τεχνικές που αφορούν τη συγκεκριμένη παράγραφο. Προτεινόμενες ομάδες ασκήσεων με σκοπό την εξάσκηση και την εμβάθυνση στα αντίστοιχα θεωρήματα και τις εφαρμογές τους. Ερωτήσεις κατανόησης για τον έλεγχο της θεωρίας και τον εντοπισμό των πιο λεπτών σημείων της. Θέματα προετοιμασίας, δηλαδή ασκήσεις με συνδυασμό ερωτημάτων, στο πνεύμα των Πανελληνίων Εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να εξοικειώνεται από νωρίς με τη μορφή και το επίπεδο δυσκολίας της τελικής εξέτασης. Απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκήσεις, ώστε ο μαθητής να ελέγχει τα αποτελέσματά του και η μελέτη να γίνεται ευχάριστη και αποτελεσματική. Οι δύο τελευταίες ενότητες είναι αφιερωμένες στη γενική επανάληψη. Περιέχουν διεξοδικά τη θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων, τους ορισμούς συγκεντρωτικά αλλά και όλα τα θεωρήματα στα οποία μπορεί να ζητηθεί η απόδειξη. Δίνονται επίσης τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων των προηγούμενων ετών σύμφωνα με τη νέα ύλη. Οι επαναληπτικές ενότητες ολοκληρώνονται με τη συστηματοποίηση των ασκήσεων μέσω γενικών μεθοδεύσεων. Για την τελική εξάσκηση στο τελευταίο στάδιο της προετοιμασίας δίνονται πάνω από 50 γενικά θέματα. Θέλουμε να πιστεύουμε ότι το βιβλίο αυτό, βάσει της δομής και του περιεχομένου του, καθώς και της διδακτικής εμπειρίας των συγγραφέων του, καθίσταται χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των αναγνωστών του και θα οδηγήσει τους υποψηφίους στην επίτευξη των στόχων τους. Ευχαριστούμε από τη θέση αυτή τις συναδέλφους Φωτεινή Καλδή και Αντιγόνη Λυκοτραφίτη για τις παρατηρήσεις τους, καθώς και τον Δημήτρη Τσάκο για την επιμέλεια του βιβλίου. Οι συγγραφείς

2

3 Περιεχόμενα. Μονοτονία συνάρτησης.... Το θεώρημα Fermat, Τοπικά ακρότατα συνάρτησης Προβλήματα ακροτάτων Κυρτότητα, Σημεία καμπής Ασύμπτωτες Κανόνες de L' Hospital Μελέτη συνάρτησης...00 ο κριτήριο αξιολόγησης...3 ο κριτήριο αξιολόγησης...4 η επανάληψη Αρχική συνάρτηση Ορισμένο ολοκλήρωμα Θεμελιώδες θεώρημα, Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση, Ειδικές αντικαταστάσεις Εμβαδόν επιπέδου χωρίου Ειδικά θέματα στο ολοκλήρωμα...36 η επανάληψη η συστηματική επανάληψη...39 Θεωρία - Βασικές ασκήσεις...39 Η θεωρία συγκεντρωτικά...45 Θέματα Πανελλαδικών η συστηματική επανάληψη...49 Η μεθόδευση των θεμάτων...49 Γενικά θέματα επανάληψης...44 Συμπληρωματικές ασκήσεις και θέματα Υποδείξεις - Απαντήσεις...479

4

5 Μονοτονία συνάρτησης Βασική θεωρία και ασκήσεις. Εύρεση της μονοτονίας συνάρτησης Α. ΘΕΩΡΙΑ Έστω f: Δ $ R μια συνεχής συνάρτηση, όπου Δ διάστημα. α) Να διατυπώσετε το θεώρημα το οποίο συνδέει την παράγωγο της f και τη μονοτονία της. Απάντηση Η μονοτονία της f στο Δ και η παράγωγός της συνδέονται με το εξής θεώρημα: Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Χρήσιμες επισημάνσεις i) Στα άκρα του Δ δεν μας ενδιαφέρει ούτε το πρόσημο της f ούτε καν η ύπαρξή της. Το μόνο απαραίτητο είναι η συνέχεια της f στα άκρα του Δ, εφόσον φυσικά κάποιο από αυτά είναι κλειστό. ii) Αν f () $ 0 (ή f () # 0) στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι αύξουσα (ή φθίνουσα αντίστοιχα) στο Δ. iii) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα Δ, τότε f () $ 0 (ή f () # 0 αντίστοιχα) στο εσωτερικό του Δ, αρκεί βέβαια η f να παραγωγίζεται στο εσωτερικό του Δ. iv) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και η f μηδενίζεται σε πεπερασμένο πλήθος σημείων του Δ χωρίς όμως η f να αλλάζει πρόσημο, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

6 v) Υπενθυμίζουμε ότι: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f είναι " - ". Το αντίστροφο δεν ισχύει. Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση f () 0 έχει το πολύ μία ρίζα. Αν η f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα Δ, Δ με το ίδιο είδος μονοτονίας, δεν είναι υποχρεωτικό να είναι γνησίως μονότονη και στο Δ,Δ. β) Τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της f, αν f () > 0 (ή αν f () < 0) για κάθε!α Δ,Δ, όπου Δ και Δ είναι διαστήματα του πεδίου ορισμού της f; Απάντηση Αν αντί για διάστημα Δ έχουμε το σύνολο Α Δ,Δ, στο οποίο η f είναι συνεχής και η f έχει το ίδιο πρόσημο στα εσωτερικά των Δ και Δ, τότε δεν προκύπτει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Α, αλλά ότι είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα Δ και Δ και φυσικά με το ίδιο είδος μονοτονίας. Για τον λόγο αυτό στον πίνακα μονοτονίας της f βάζουμε: τις τιμές όπου η f δεν ορίζεται (υποχρεωτικά), τις ρίζες της f, αν υπάρχουν, τα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της f. Β. ΜΕΘΟΔΟΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f, ακολουθούμε τα εξής βήματα: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού D f και εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής. Βρίσκουμε την f και τις ρίζες της f, αν υπάρχουν, λύνοντας την εξίσωση: f () 0 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f, στον οποίο βάζουμε τα άκρα των διαστημάτων του D f και τις ρίζες της f (), αν υπάρχουν. Σε καθένα από τα διαστήματα που δημιουργούνται, βρίσκουμε για την f το πρόσημό της. (Αν υπάρχουν και σημεία ασυνέχειας, πρέπει να μπουν και αυτά.) Σε κάθε διάστημα Δ που η f είναι συνεχής και στο εσωτερικό του η f είναι θετική (ή αρνητική), η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα). Τονίζουμε ότι τα διαστήματα μονοτονίας της f στα σημεία που είναι ρίζες της f είναι κλειστά. Το πρόσημο της f βρίσκεται είτε με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής (αν η f είναι συνεχής) είτε λύνοντας (αν είναι δυνατόν) τις ανισώσεις f () > 0 ή f () < 0. Η μέθοδος εύρεσης του προσήμου της f πρέπει να αναφέρεται, διότι στις εξετάσεις συχνά βαθμολογείται. μονοτονια συναρτησης

7 . Δίνονται οι συναρτήσεις: f () και g() α) Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι f και f. β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g. Λύση α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της D f R με f () Είναι: f () 0, ,, ( -3 ή ) Από τον πίνακα προσήμου της f προκύπτει ότι η f είναι: γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-3, -3] και [, +3), γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-3, ]. Είναι επίσης: f () -6-6 και f () 0, - Από τον πίνακα προσήμου της f προκύπτει ότι η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-3, -], γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-, +3). β) Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D g R - {} και είναι συνεχής σε αυτό. Είναι: ( )( ) ( ) g () ,! ( - ) ( - ) g () 0, ,, ( - ή 4) Από τον πίνακα προσήμου της g προκύπτει ότι η g είναι: γνησίως αύξουσα στα (-3, -] και [4, +3), γνησίως φθίνουσα στα [-, ) και (, 4]. Σχόλιο Η εύρεση του προσήμου της f βρίσκεται είτε λύνοντας τις ανισώσεις f () > 0, f () < 0 είτε με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής σε κάθε διάστημα (τη μέθοδο αυτή συνιστούμε και εμείς) είτε με τη μέθοδο του τριωνύμου κ.λπ. Προτείνουμε στους μαθητές να αναγράφουν στο γραπτό τους τον τρόπο εύρεσης του προσήμου της f, διότι κατά τη διόρθωση αυτό βαθμολογείται θετικά. Χωρίς αιτιολόγηση, ορισμένοι συνάδελφοι θεωρούν το γραπτό ελλιπές και αφαιρούν μονάδες. 3

8 . Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: α) f () ( + + )e - β) f() (ln - ) - 8(ln - ) Λύση α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f R, στο οποίο είναι προφανώς συνεχής και παραγωγίσιμη, με: f () (( + + )e - ) ( + )e - - ( + + )e - e - ( ) e - ( - ) Βρίσκουμε στη συνέχεια τις ρίζες της f, λύνοντας την εξίσωση f () 0: f () 0, ( - )e - 0, - 0, ( ή -) Βρίσκουμε το πρόσημο της f. Επειδή f (-) < 0, f (0) > 0 και f () > 0, η f είναι αρνητική στα (-3, -), (, +3) και θετική στο διάστημα (-, ). Άλλωστε είναι φανερό ότι το πρόσημο της f είναι ίδιο με το πρόσημο του -, αφού e - > 0, δηλαδή αρνητικό έξω από το διάστημα των ριζών και - και θετικό εντός αυτών. Το πρόσημο της f φαίνεται στον διπλανό πίνακα, απʼ όπου προκύπτει ότι η f είναι: Γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-3, -] και [, +3). Γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-, ]. β) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D f (0, +3). Είναι: f' () ( ln ) 8( ln ) $ $ ln ln 4( - )ln, > 0 Επομένως: f () 0, ( ή ) Η f είναι συνεχής, f (3) > 0, οπότε f () > 0 στο (, +3), f'b 3 l < 0, οπότε f () < 0 στο (, ) και f' b 0 l, οπότε f () > 0 στο (0, ). Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε το πρόσημο της f, που φαίνεται και στον σχετικό πίνακα. Το πρόσημο της f βρίσκεται και με βοηθητικό πίνακα, βρίσκοντας χωριστά το πρόσημο των -, ln και τελικά το πρόσημο του γινομένου: 4( - )ln 4 μονοτονια συναρτησης

9 Από τον πίνακα προσήμου της f προκύπτει ότι η f είναι: γνησίως αύξουσα στα (0, ] και [, +3), γνησίως φθίνουσα στο [, ].. Μονοτονία και τοπικά ακρότατα ΜΕΘΟΔΟΣ Αν βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας μιας συνεχούς συνάρτησης f: Α $ R, μπορούμε συγχρόνως να βρούμε και τα τοπικά της ακρότατα. Η δυνατότητα αυτή πηγάζει από την παρακάτω παρατήρηση: Έστω συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο (α, β) και 0! (α, β). Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, 0 ] και γνησίως φθίνουσα στο [ 0, β), τότε το f ( 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f και μάλιστα ολικό μέγιστο της f στο (α, β) (σχ. α). Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, 0 ] και γνησίως αύξουσα στο [ 0, β), τότε το f ( 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f και μάλιστα ολικό ελάχιστο της f στο (α, β) (σχ. β). Τονίζουμε ότι τα α, β μπορεί να είναι ίσα με -3 ή +3, όπως επίσης ότι ένα τουλάχιστον από τα άκρα α, β μπορεί να είναι και κλειστό. Θυμίζουμε επίσης ότι αν η f είναι γνησίως μονότονη στα (α, 0 ], [ 0, β) και έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στα διαστήματα αυτά, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε ολόκληρο το (α, β). Και εδώ τα α, β μπορεί να είναι κλειστά άκρα, +3 ή -3. Ειδικότερα ισχύει η εξής πρόταση: Αν η f είναι συνεχής στο 0! (α, β) και η f δεν αλλάζει πρόσημο στα (α, 0 ), ( 0, β), δηλαδή η f διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του 0, τότε το f ( 0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη σε ολόκληρο το (α, β) (σχ. γ και σχ. δ). Με τα τοπικά όμως ακρότατα θα ασχοληθούμε πιο συστηματικά και στην επόμενη ενότητα. 5

10 Είναι: g () f () - f (α) και g () (f () - f (α)) f () < 0 Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή ισχύει g (α) 0, η g είναι θετική στο (-3, α) και αρνητική στο (α, +3). Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο (-3, α] και γνησίως φθίνουσα στο [α, +3). Επειδή g(α) 0, θα είναι: g() # g(α) 0 για κάθε! R, οπότε g() # 0, f () # f (α)( - α) + f (α) και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Σχόλιο Αξίζει να σημειώσουμε ότι το θέμα αντιμετωπίζεται και με το θεώρημα μέσης τιμής, αφού για κάθε! α υπάρχει ξ μεταξύ των και α τέτοιο, ώστε: f () - f (α) f (ξ)( - α) Η ζητούμενη ανισότητα είναι έτσι ισοδύναμη με την ανισότητα: (f (ξ) - f (α))( - α) # 0 η οποία ισχύει, διότι οι παράγοντες f (ξ) - f (α) και - α είναι ετερόσημοι, μια και η f είναι γνησίως φθίνουσα. Για α (και μόνο) η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα. Ασκήσεις που ξεχωρίζουν.3 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R $ R για την οποία ισχύει: f () > 3 για κάθε! R και f (0) 0 α) Να αποδειχθεί ότι: limf() +3 και limf() -3 " + 3 "-3 β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f. Λύση Πρόκειται για χαρακτηριστικό θέμα, διότι δείχνει έναν τρόπο αξιοποίησης μιας ανισοτικής σχέσης που περιέχει παράγωγο. Τονίζουμε ότι οι ανισοτικές σχέσεις ούτε παραγωγίζονται ούτε αντιπαραγωγίζονται (ολοκληρώνονται). α) Επειδή 3 ( 3 ), προκύπτει ότι: f () > 3, f () > ( 3 ), f () - ( 3 ) > 0, (f () - 3 ) > 0 () 4 μονοτονια συναρτησης

11 Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f () - 3. Λόγω της σχέσης () είναι g () > 0, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Με > 0 παίρνουμε: g() > g(0), f () - 3 > 0, f () > 3 > 0 Άρα 0 3 και επειδή lim 0 f () 3, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι: " + 3 lim 0 f () " + 3 Επειδή f () > 0, η τελευταία σχέση δίνει: lim + 3, lim f () + 3 " + 3 " + 3 a f () k Με < 0 παίρνουμε: g() < g(0), f () < 3 < 0 Άρα 0 3 και επειδή lim 0 f () 3, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι: "-3 lim 0 f () "-3 Επειδή f () < 0, η τελευταία σχέση δίνει: lim - 3, lim f () -3 " -3 " -3 a k f () β) Η f είναι συνεχής στο R, ως παραγωγίσιμη, και ισχύει limf() +3, limf() -3. " + 3 "-3 Επομένως η f έχει σύνολο τιμών το R. γ) Είναι f () > 3 $ 0, δηλαδή f () > 0 για κάθε! R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή f (0) 0, η εξίσωση f () 0 έχει μοναδική ρίζα τη 0. Αφού γνωρίζουμε τη μονοτονία και τη ρίζα της f () 0, βρίσκουμε το πρόσημό της ως εξής: Για < 0 είναι f () < f (0), f () < 0. Για > 0 είναι f () > f (0), f () > 0. Επομένως η f είναι αρνητική στο διάστημα (-3, 0) και θετική στο διάστημα (0, +3)..4 Να αποδειχθεί ότι: α) + + # b l για κάθε > 0 β) e # ( + ) + για κάθε > - 43

12 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 0] και γνησίως φθίνουσα στο [0, +3). Επομένως: < 0, f () < f (0), f () < 0 $ 0, f () # f (0), f () # 0 Άρα f () # 0 για κάθε > -, σχέση που αποδεικνύει τη ζητούμενη ανισότητα. Σχόλιο Με την ίδια ακριβώς πορεία λύνουμε και τις εξισώσεις: + + b l και e ( + ) + οι οποίες έχουν, όπως δείχνουν οι προηγούμενοι πίνακες, μοναδική λύση τη και τη 0 αντίστοιχα. Θεωρητικές ασκήσεις.5 Δίνεται η συνάρτηση f () α, α! R. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (-), καθώς και τα όρια: A lim f() και B lim f() "-3 " + 3 γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f () 0 για τις διάφορες τιμές του α. Λύση α) Η f έχει πεδίο ορισμού το Α R. Είναι: f () ( α) ( + ) f () 0, 6( + ) 0, ( 0 ή -) Το πρόσημο της f () προκύπτει κατά τα γνωστά, οπότε η μονοτονία της f φαίνεται στον διπλανό πίνακα. Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-3, -], [0, +3) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-, 0]. β) Είναι f (0) -α και f (-) - α. Ακόμη: 3 A limf() lim ( ) -3 " -3 " -3 45

13 Προτεινόμενες ασκήσεις. Εύρεση μονοτονίας.30 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() β) f() γ) f() ln + δ) f() e ε) f() e στ) f() Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f στις παρακάτω περιπτώσεις: α) f() - β) f() - + γ) f() δ) f() Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() β) f() γ) f() ln - + δ) f() e -.33 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [-, 7] με παράγωγο της οποίας η γραφική παράσταση C f' φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f..34 Δίνεται η συνάρτηση: f () α) Να βρείτε την f και την f. β) Να λύσετε την εξίσωση f () 0. γ) Να βρείτε το πρόσημο της f. δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία..35 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() β) f ().36 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() β) g() + γ) h() δ) φ() Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() ln + β) g() ln γ) h() + ln Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις επόμενες συναρτήσεις: α) f() (ln - )( - ) - ( - ) + 5 β) f() e - e( + ) Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. 56 μονοτονια συναρτησης

14 γ) f() ( + ) - e Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να αποδείξετε ότι f' ( ) ( + ) γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f..40 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις που ακολουθούν: - + 4, α) f ( ) * , an # an > , β) f ( ) * , an $ an <.4 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: , α) f ( ) * , ( ) e, β) g ( ) * , an an an an $ # 0 0. Εύρεση μονοτονίας με βοηθητική.4 Δίνονται οι συναρτήσεις: f () - - ln και g() ln - α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να αποδείξετε ότι < + ln για κάθε > 0. γ) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία..43 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() e β) g() ln Δίνονται οι συναρτήσεις: f () ln + - και g() ln - α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να αποδείξετε ότι $ ln + για κάθε > 0. γ) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία..45 Δίνονται οι συναρτήσεις: f () ημ - συν και g() με! (0, π). hm α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα [0, π]. β) Να αποδείξετε ότι: f () > 0 για κάθε! (0, π) γ) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, π)..46 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e -. α) Να βρείτε το πρόσημο της: g() e - e +,! R β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία..47 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln -, > 0 α) Να βρείτε την παράγωγο της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία..48 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln -. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία..49 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() β) g() ln( + ) e -.50 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: α) f() ln - β) f() ln ln

15 β) αν η f είναι γνησίως φθίνουσα ή φθίνουσα, τότε: f () # 0 για κάθε!δ.4 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r$r για την οποία ισχύουν: f () > - και e f ( ) + + f( ) για κάθε! R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. β) Να βρείτε τον τύπο της f..5 Δίνεται η συνάρτηση: 3hm f ( ) - + syn α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Αν > 0, να αποδείξετε ότι: ( + συν) > 3ημ δ) Να βρείτε τα όρια: A lim f( ) και B lim f( ) " + 3 "-3.6 Αν > 0 και α >, να λύσετε την εξίσωση a + a..7 Δίνεται η συνάρτηση: f () β 3 + β 4, β! R α) Να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι f () $ 0 για κάθε! R. β) Να αποδείξετε ότι: 3α 4 + 4α 3 βγ + β 4 γ 4 $ 0 για κάθε α, β, γ! R. Η κατανόηση της θεωρίας.8 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; β) Πώς λέγεται μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; γ) Ποιες προϋποθέσεις εξασφαλίζουν ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και ποιες ότι είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ;.9 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Αν μια συνάρτηση f είναι σε ένα Δ και σε κάθε σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. β) Αν μια συνάρτηση f είναι σε ένα Δ και σε κάθε σημείο του Δ, τότε η f είναι φθίνουσα σε όλο το Δ..30 Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή ως λανθασμένες (Λ): α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α και ισχύει f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Α, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Α. β) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε f () < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. γ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση f () 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ. δ) Αν f () > 0 σε κάθε σημείο ενός διαστήματος Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και f () $ 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο Δ. στ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (α, β), τότε το σύνολο τιμών της f στο Δ είναι: f( D) alim f( ), lim f( ) k " b - " a + 65

16 ζ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ (α, β) και f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε: f( D) alim f( ), lim f( ) k " a + " b - η) Αν f () < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ολόκληρο το Δ. θ) Αν η f είναι συνεχής στο Α (α, β), (γ, δ) και f () > 0 για κάθε! Α, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. ι) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και "-" στο Δ. ια) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. (Θέμα εξετάσεων).3 Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Εξετάσεις 0) Θέματα για τις εξετάσεις Τα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοιμασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος. Θ. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln, > 0 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να αποδείξετε ότι e π > π e. γ) Να αποδείξετε ότι e $ e για κάθε > 0. δ) Να αποδείξετε ότι: α α + > (α + ) α για κάθε α $ e Θ. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) e f ( ) - + α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και την παράγωγο της f. β) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης: g() e - ( - )e -,! R γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. δ) Να βρείτε το όριο A lim f( ). "- 3 Θ.3 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln - + α) Να βρείτε την παράγωγο της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να αποδείξετε ότι: ln - $ για κάθε > 0 δ) Να λύσετε την εξίσωση f () 0. Θ.4 Έστω f: R $ R παραγωγίσιμη συνάρτηση με f (0) 3 και: f ( ) f' ( ) για κάθε! R f ( )- α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g() f () - είναι θετική στο R. β) Να αποδείξετε ότι f ( ) γ) Να βρείτε το όριο A lim f( ). "- 3 δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Θ.5 Η συνάρτηση f: (0, +3) $ R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση: f (f ()) + f () 0 για κάθε > 0 66 μονοτονια συναρτησης

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 9 Ιουνίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

γ λυκειου κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο2 διαφορικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ

γ λυκειου κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο 2 κεφαλαιο2 διαφορικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ γ λυκειου ` κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο κεφαλαιο διαφορικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 7 ... η εννοια της συναρτησης... παραγωγισιμες συναρτησεις - παραγωγος συναρτηση...

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x).

f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x). 8 6 () A. f (, f f() ( f() (,, f( ) f. A. f, g 4 A. 4 A4., f:[, G f, f(t)dt G(. f,g f() g(), lim f() lim g(). f, f() (, (. f -,, y, y f(). f [, f [ M m. f(),. B. f f f. 6 B. f, f 9 B. f. 7 B4.,, f. e,.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε

lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α (Μονάδες7)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Του Δημητρίου Α. Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Στο κείμενο που ακολουθεί διατυπώνουμε μια σειρά προτάσεων, καθεμιά από τις ο- ποίες, αφού

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και 13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα