Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο Λύκειο, με στόχο να κατανοηθούν από τους μαθητές έννοιες κλειδιά, όπως η συνεπαγωγή και η ισοδυναμία που βρίσκονται στον πυρήνα της αποδεικτικής διαδικασίας στα Μαθηματικά. Στις δεκαετίες του 1970 και 1980 τα σχολικά βιβλία περιείχαν ένα εισαγωγικό κεφάλαιο για τις λογικές πράξεις, τους πίνακες αλήθειας και τους ποσοδείκτες, στοιχεία τα οποία καταργήθηκαν με το νέο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου που κυκλοφόρησε το 1990 (και διατηρείται μέχρι σήμερα), μέσα στο γενικότερο κλίμα αποκαθήλωσης των λεγόμενων Νέων Μαθηματικών. Η ολοένα και διευρυνόμενη όμως αδυναμία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις βασικές αρχές της αποδεικτικής διαδικασίας (αδυναμία που εκδηλώνεται με τον πιο οδυνηρό για τους μαθητές τρόπο στις Πανελλαδικές Εξετάσεις) οδήγησε σε μια απόπειρα μερικής επαναφοράς. Στην αναθεωρημένη έκδοση της Άλγεβρας Α Λυκείου οι συγγραφείς έχουν συμπεριλάβει ένα εισαγωγικό κεφάλαιο στο οποίο γίνεται μια νέα απόπειρα να παρουσιαστούν στους μαθητές οι βασικές έννοιες της μαθηματικής λογικής. Έχω τη γνώμη ότι το διδακτικό πρόβλημα της μαθηματικής λογικής και της απόδειξης γενικά, δεν βρίσκεται στην ύπαρξη ή έλλειψη σχετικών παραγράφων στα σχολικά βιβλία, αλλά στην απουσία διδακτικών προτάσεων που λαμβάνουν υπόψη την πραγματική φύση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές. Στην εισήγησή μου θα παρουσιάσω μερικές τέτοιες προτάσεις οι οποίες στηρίζονται στη μελέτη ερευνών της Διδακτικής των Μαθηματικών που έχουν εξετάσει λεπτομερώς ορισμένα σημεία αιχμής στην κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας. Πρέπει βέβαια να τονιστεί ότι όσα ακολουθούν δεν αποτελούν έτοιμες διδακτικές προτάσεις συνταγές για χρήση σε οποιαδήποτε σχολική τάξη (δεν υπάρχουν τέτοιες συνταγές!), αλλά ανήκουν σ εκείνο το ευρύτερο πλαίσιο γνώσεων, υλικού και ιδεών

2 2 που πρέπει να διαθέτει κάθε εκπαιδευτικός, ώστε να αποφασίσει για το είδος της διδακτικής παρέμβασης που είναι κατάλληλο σε κάθε περίπτωση. Οι δυσκολίες των μαθητών με την έννοια της απόδειξης: Διάγνωση, έκταση και αιτίες του προβλήματος. Έχουν γίνει πολλές έρευνες διεθνώς για τα προβλήματα διδασκαλίας και μάθησης που συνδέονται με την έννοια της απόδειξης, στις οποίες εξετάστηκαν με κατάλληλες γραπτές δοκιμασίες και συνεντεύξεις οι γνώσεις μαθητών Γυμνασίου και Λυκείου αλλά και φοιτητών. Τα προβλήματα μάθησης που καταγράφηκαν και φαίνεται ότι είναι πολύ διαδεδομένα, μπορούν να συνοψιστούν στα εξής σημεία: Αδυναμία διατύπωσης αποδεικτικού λόγου Σύγχυση μεταξύ υποθέσεων και συμπεράσματος μιας υποθετικής πρότασης: Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι η αντίστροφη πρόταση ενός θεωρήματος είναι πάντοτε αληθής (συγχέουν αναγκαία με ικανή συνθήκη). Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι το συμπέρασμα ενός θεωρήματος είναι αληθές μόνο όταν είναι αληθής η υπόθεση του. Αδυναμία διάκρισης μεταξύ συνεπαγωγής και ισοδυναμίας. Υπάρχουν πολλές αιτίες για τα προβλήματα αυτά, που συνδέονται τόσο με ζητήματα γνωστικής ανάπτυξης όσο και με τον τρόπο διδασκαλίας. Μερικές από τις αιτίες, που ανήκουν κυρίως στη δεύτερη κατηγορία, είναι οι εξής: Η έμφαση της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην ποσότητα της ύλης εις βάρος της ποιότητας. Η αναντιστοιχία της ποσότητας ύλης με το διαθέσιμο διδακτικό χρόνο. Η έμφαση στην εξάσκηση των μαθητών να εφαρμόζουν διαδικασίες και όχι στην εμβάθυνση κατανόηση των εννοιών. Η υποβάθμιση της διδασκαλίας της θεωρίας. Η έλλειψη κατάλληλων διδακτικών προτάσεων για εισαγωγή στην αποδεικτική διαδικασία. Στις έρευνες τέλος θίγεται η γενική υποβάθμιση της διδασκαλίας της απόδειξης που παρατηρείται διεθνώς και προβάλλονται ισχυρά επιχειρήματα για την κεντρική θέση που πρέπει να κατέχει η έννοια της απόδειξης στους σκοπούς και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Τέτοια επιχειρήματα είναι μεταξύ άλλων τα εξής: Η απόδειξη αποτελεί το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της μαθηματικής δραστηριότητας.

3 3 Η μαθηματική απόδειξη λειτουργεί ως πρότυπο σκέψης στην σύγχρονη εποχή, όπου συχνά προκύπτει η ανάγκη εξαγωγής λογικών συμπερασμάτων και διατύπωσης προβλέψεων με βάση ορισμένες εύλογες ή πιθανές παραδοχές. Η χρήση των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία των Μαθηματικών δίνει μεγάλη έμφαση στις διαδικασίες πειραματικής επαλήθευσης εικασιών, με αποτέλεσμα να υποβαθμίζεται επικίνδυνα ο ρόλος της απόδειξης. Τα προηγούμενα φέρνουν στην επιφάνεια ορισμένα ερωτήματα σχετικά με τη μέθοδο και τους στόχους της διδασκαλίας: Αρκεί η ένταξη των ορισμών και των συμβόλων των λογικών πράξεων στο σχολικό βιβλίο και η επίλυση ασκήσεων του τύπου Σωστό Λάθος για να αντιμετωπιστούν προβλήματα όπως η σύγχυση ανάμεσα σε συνεπαγωγή και ισοδυναμία; Η παράθεση μεγάλου αριθμού αποδείξεων στον πίνακα από τον διδάσκοντα και η απομνημόνευση αποδείξεων από τον μαθητή μπορούν να εγγυηθούν αποτελεσματική μάθηση της αποδεικτικής διαδικασίας, τέτοια που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε νέες και σχετικά άγνωστες καταστάσεις; Μήπως πρέπει αντικείμενο της διδασκαλίας να είναι η επιλογή ορισμένων χαρακτηριστικών αποδείξεων και η σε βάθος ανάλυσή τους, κυρίως στη μορφή δραστηριοτήτων, έτσι ώστε να γίνονται φανερά τα σημεία στα οποία συναντούν δυσκολίες οι μαθητές;

4 4 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Διδασκαλία της Λογικής στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την εισαγωγή στις βασικές έννοιες της λογικής. Η δραστηριότητα που ακολουθεί έχει στόχο να εισάγει τους μαθητές διαδοχικά στις έννοιες της διάζευξης, της σύζευξης και της συνεπαγωγής μέσω ενός απλού αριθμητικού προβλήματος. Οι ερωτήσεις κλιμακώνονται ως προς τη δυσκολία, έτσι ώστε να εμπλακούν στην επίλυση του προβλήματος όσο το δυνατόν περισσότεροι μαθητές. Επισημαίνουμε ότι κεντρικός στόχος της δραστηριότητας είναι η έννοια της συνεπαγωγής με την ορθή μαθηματική της σημασία, η οποία γίνεται φανερή στον αντίστοιχο πίνακα αλήθειας. Δραστηριότητα 1.1 Να βρείτε όλους τους αριθμούς ν του συνόλου Α = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} που επαληθεύουν κάθε μια από τις ιδιότητες: α) Ο ν είναι άρτιος β) Ο ν είναι πρώτος γ) Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος (διάζευξη) δ) Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος (σύζευξη) ε) Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος (συνεπαγωγή) Οι απαντήσεις στα ερωτήματα της δραστηριότητας: Ερώτηση (α): Ο ν είναι άρτιος Λ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Ερώτηση (β): Ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19} Ερώτηση (γ): Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20} Ερώτηση (δ): Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {2, 4, 6, 10, 12, 16, 18} Ερώτηση (ε): Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19}

5 5 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά αντί της προηγούμενης ή να δοθεί στους μαθητές ως άσκηση. Δραστηριότητα 1.2 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς ν που επαληθεύουν τις ιδιότητες: α) ν 10 και ν 20 (σύζευξη) Λ = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} β) Αν ν 10, τότε ν 20 (συνεπαγωγή) Λ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} Υποθετική πρόταση και συνεπαγωγή. Βασικό γνώρισμα μιας υποθετικής πρότασης είναι ότι από την αλήθεια της υπόθεσης συνεπάγεται η αλήθεια του συμπεράσματος. Η λογική συνεπαγωγή, η οποία γενικεύει την έννοια της υποθετικής πρότασης στη μορφή μιας σχέσης (πράξης) στο σύνολο των λογικών προτάσεων, οφείλει να διατηρήσει αυτό το γνώρισμα και ταυτόχρονα να διαφοροποιηθεί από τις υπόλοιπες λογικές πράξεις (όπως η σύζευξη και η ισοδυναμία). Έτσι λοιπόν, η μόνη περίπτωση που μια συνεπαγωγή θεωρείται ψευδής είναι να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα. Με το αυτό το κριτήριο, το σύνολο αλήθειας ενός προτασιακού τύπου συνεπαγωγής συμπεριλαμβάνει και τα εκείνα στοιχεία του συνόλου αναφοράς που δεν έχουν αιτιώδη σχέση υπόθεσης συμπεράσματος (περιπτώσεις (ε) και (β) αντίστοιχα στις δραστηριότητες 1.1 και 1.2). Διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης. Στις τέσσερις δραστηριότητες που ακολουθούν ο στόχος είναι να κατανοηθούν οι διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης και συγκεκριμένα η σημασία των προτάσεων που παράγονται από μια συνεπαγωγή με αντιστροφή ή άρνηση της υπόθεσης και του συμπεράσματος. Το ζητούμενο από τους μαθητές σε κάθε δραστηριότητα είναι αν εξετάσουν την αλήθεια των αντίστοιχων προτάσεων. Δραστηριότητα 1.3 Ένα παράδειγμα από την καθημερινή εμπειρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν βρέχει, τότε υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε βρέχει. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν δεν βρέχει, τότε δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε δεν βρέχει.

6 6 Δραστηριότητα 1.4 Ένα παράδειγμα από τη Γεωμετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος. Δραστηριότητα 1.5 Ένα παράδειγμα από την Άλγεβρα Αρχική συνεπαγωγή: α = β α 2 = β 2 Αντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 = β 2 α = β Αντίθετη συνεπαγωγή: α β α 2 β 2 Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 β 2 α β Δραστηριότητα 1.6 Ένα παράδειγμα από την Τριγωνομετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ 0. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ > 0. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ > 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίστροφη και αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή. Η διατύπωση της αντίστροφης συνεπαγωγής ενός θεωρήματος δεν είναι πάντοτε φανερή ή εύκολη. Για να εκτιμηθεί η δυσκολία αυτού του εγχειρήματος, ας επιχειρήσει ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης να διατυπώσει, υπό μορφήν άσκησης, την αντίστροφη συνεπαγωγή του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ή του θεωρήματος Lagrange της Θεωρίας Ομάδων.

7 7 Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται εύκολα κατανοητό ότι μια συνεπαγωγή και η αντιθετοαντίστροφή της είναι πάντοτε ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί στην έννοια της λογικής ισοδυναμίας δύο προτάσεων (μια πρόταση και η αντιθετοαντίστροφή της επιβεβαιώνουν την ύπαρξη τέτοιων προτάσεων). Φυσικά πρέπει να γίνει άμεσα κατανοητό ότι δύο ισοδύναμες προτάσεις δεν είναι αναγκαστικά δύο αντιθετοαντίστροφες συνεπαγωγές. Η δραστηριότητα που ακολουθεί (δεν απαιτεί τίποτε περισσότερο από τον ορισμό της ανισότητας) έχει στόχο να αναδείξει το χαρακτηριστικό γνώρισμα δύο ισοδύναμων προτάσεων, δηλαδή ότι είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς, ακόμη και όταν δεν είναι άμεσα φανερό ποιο από τα δύο ισχύει. Δραστηριότητα 1.7 Να αποδειχθεί ότι οι δύο επόμενες ανισότητες είναι λογικά ισοδύναμες προτάσεις: p: > q: < Παρουσιάζει βέβαια ξεχωριστό ενδιαφέρον να διαπιστώσουν οι μαθητές αν τελικά αυτές οι ισοδύναμες προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς. Αυτό αποτελεί μια πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση που μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους.

8 8 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Διδασκαλία της Απόδειξης στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την κατανόηση της έννοιας απόδειξη. Ο στόχος μας σ αυτήν την ενότητα είναι να δείξουμε ότι, αντί για την μονότονη παράθεση των αποδείξεων των διαφόρων προτάσεων του σχολικού βιβλίου στον πίνακα (ιδιαίτερα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία), είναι προτιμότερο να επιλεγούν ορισμένες βασικές προτάσεις και να αποδειχθούν με πολύ αναλυτικό τρόπο στην τάξη. Με τον τρόπο αυτό η απόδειξή δεν λειτουργεί μόνο ως μέσο πειθούς για την αλήθεια αυτών των προτάσεων (για την οποία βεβαίως οι μαθητές δεν έχουν την παραμικρή αμφιβολία!), αλλά κυρίως ως φορέας γνώσης πάνω στα ζητήματα που σχετίζονται με την αποδεικτική διαδικασία (π.χ. έλεγχος των υποθέσεων, κεντρική ιδέα της απόδειξης, τέχνασμα στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη κ.α.) Μια διαφορετική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που γνωρίζουν οι μαθητές από το Γυμνάσιο. Οι μαθητές έχουν συναντήσει την απόδειξη της πρότασης για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στο βιβλίο Μαθηματικών της Α Γυμνασίου (Μέρος Β, 3 ο Κεφάλαιο, Τρίγωνα-Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια, σ.222) και έχουν χρησιμοποιήσει επανειλημμένα αυτό το αποτέλεσμα στις επόμενες τάξεις. Στην Α Λυκείου, κατά τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ο διδάσκων πρέπει να καταβάλει μεγάλη προσπάθεια για να πείσει τους μαθητές ότι απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν αυτή τη γνώση μέχρι το 4 ο Κεφάλαιο (Παράλληλες Ευθείες, σ.83), όπου θα αποδείξουν εκ νέου αυτό που ήδη γνωρίζουν πολύ καλά και μάλιστα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που αποδείχτηκε στην Α Γυμνασίου! Είναι προφανές ότι αυτή η απαγόρευση όχι μόνο δεν προσφέρει τίποτε στις γνώσεις των μαθητών, αλλά ίσως να καλλιεργεί σε πολλούς εξ αυτών αρνητικές στάσεις για τα Μαθηματικά. Θεωρώ ότι είναι διδακτικά πολύ πιο αποτελεσματικό να αξιοποιηθεί αυτό το θεώρημα (καθώς και άλλα που είναι γνωστά από το Γυμνάσιο) ώστε να γίνει μια εμβάθυνση σε βασικά ζητήματα της αποδεικτικής διαδικασίας, όπως είναι π.χ. ο έλεγχος των υποθέσεων. Στις δύο δραστηριότητες που ακολουθούν, οι μαθητές μελετούν μια νέα απόδειξη του θεωρήματος καθώς και την απόδειξη που ήδη γνωρίζουν με στόχο να εντοπίσουν τη βασική υπόθεση στην οποία στηρίζεται κάθε μία.

9 9 Δραστηριότητα 2.1 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ A 1 2 Έστω x το άθροισμα των γωνιών και ΑΔ τυχαίο τμήμα. Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι: Α 1 + Β + Δ 1 = x Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι: Α 2 + Γ + Δ 2 = x B 1 Δ 2 Γ Με πρόσθεση κατά μέλη: Α 1 + Β + Δ 1 + Α 2 + Γ + Δ 2 = 2x A + B + Γ + Δ 1 + Δ 2 = 2x x ο = 2x x = 180ο Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Δραστηριότητα 2.2 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Φέρουμε από το Α την ευθεία ε παράλληλη 1 A 2 ε προς την ΒΓ. Είναι Α 1 = Β και Α 2 = Γ ως εντός εναλλάξ. Άρα έχουμε Α + Β + Γ = Α + Α 1 + Α 2 = 180 ο B Γ Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Η διάκριση των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Σε πολλούς μαθητές εμφανίζεται συχνά μια σύγχυση ανάμεσα στις έννοιες της απόδειξης και της διερεύνησης. Αυτή η σύγχυση δεν είναι ίσως άσχετη με το γεγονός ότι η εισαγωγή των παραμετρικών εξισώσεων και της διερεύνησης στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου γίνεται στο πλαίσιο ενός σχολίου, χωρίς κανένα πρόβλημα

10 10 που καθιστά φανερή τη σημασία αυτών των εννοιών και δίνει κίνητρα στους μαθητές. Το σχετικό απόσπασμα του σχολικού βιβλίου είναι το εξής (σ.56): Όπως βλέπουμε, η διερεύνηση (μια διαδικασία που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στην Α Λυκείου) εισάγεται με τελείως θεωρητικό τρόπο και αμέσως μετά εκτοξεύεται κατά των μαθητών μια παραμετρική εξίσωση. Στις επόμενες δύο δραστηριότητες η έννοια της διερεύνησης εισάγεται μέσω ενός προβλήματος. Δραστηριότητα 2.3 Επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου; Αν ονομάσουμε x το ζητούμενο, οι μαθητές δεν θα δυσκολευτούν να καταλήξουν στην επόμενη εξίσωση και λύση: 52 + x = 2.(27 + x) x = = 2 Προκαλούμε στην τάξη μια συζήτηση για την ερμηνεία της αρνητικής λύσης (κάτι που οι μαθητές γνωρίζουν ήδη από το Γυμνάσιο), αλλά και τη δυνατότητα να γίνει μια επαναδιατύπωση του προβλήματος με τρόπο που καθιστά περιττή τη χρήση των αρνητικών αριθμών: Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Πριν πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν διπλάσια από την ηλικία του γιου; 52 x = 2.(27 x) x = = 2

11 11 Δραστηριότητα 2.4 Γενίκευση και Διερεύνηση Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. Πότε η ηλικία του πατέρα γίνεται διπλάσια από την ηλικία του γιου; α + x = 2.(β + x) x = α 2β Η σημασία των περιορισμών και της διερεύνησης: 1. Οι αριθμοί α, β πρέπει να είναι θετικοί. 2. Να μην υπερβαίνουν κάποιο φυσιολογικό όριο ηλικιών. 3. Να είναι α > β. 4. Οι περιπτώσεις α 2β < 0, α 2β = 0, α 2β > 0 προσδιορίζουν αν το ζητούμενο έχει συμβεί στο παρελθόν, συμβαίνει στο παρόν ή θα συμβεί στο μέλλον. Αμέσως μετά τις δύο προηγούμενες δραστηριότητες, η επόμενη χρησιμοποιεί το ίδιο ακριβώς πρόβλημα με μια διατύπωση που δείχνει τη στενή σχέση αλλά και τη διαφορετικότητα των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Δραστηριότητα 2.5 Γενίκευση και Απόδειξη Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. α) Να βρείτε σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου. β) Να αποδείξετε ότι αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν η σημερινή ηλικία του πατέρα είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της ηλικίας του γιου. Μια πολυδιάστατη διδακτική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που οι μαθητές συναντούν πρώτη φορά στο Λύκειο. Στις επόμενες δραστηριότητες θα χρησιμοποιήσουμε μια απόδειξη που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στο Λύκειο και θα την αξιοποιήσουμε όχι ως μέσο πειθούς των μαθητών για την προφανέστατη αλήθεια της αντίστοιχης πρότασης, αλλά ως φορέα γνώσης σχετικά με όψεις της αποδεικτικής διαδικασίας που σπανίως γίνονται αντικείμενο συζήτησης στη σχολική τάξη. Πρόκειται για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας, την οποία οι επίσημες οδηγίες αφαιρούν (κάκιστα κατά τη γνώμη μου) από τη διδακτέα ύλη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α Λυκείου.

12 12 Η πρώτη δραστηριότητα αποτελείται από ένα πρόβλημα και έχει στόχο να αναδείξει, με όσο το δυνατό πιο απροσδόκητο τρόπο, τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας. Δραστηριότητα 2.6 Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Π 5km Σ 2km Α Π 3km Α 2km Σ Σ 5km 2km Α Π? Στη διαχείριση αυτής της δραστηριότητας χρειάζεται διδακτική δεξιοτεχνία, ώστε να αξιοποιηθεί η τάση πολλών μαθητών να θεωρούν μόνο τη γραμμική διάταξη των τριών σημείων, γεγονός που θα κάνει φανερή τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας για την εκτίμηση της ζητούμενης απόστασης στη γενική περίπτωση. Η δεύτερη δραστηριότητα αυτής της ενότητας εισάγει στην τάξη έναν προβληματισμό για την σκοπιμότητα απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας. Ο στόχος είναι να προκληθεί μια συζήτηση η οποία, με την κατάλληλη καθοδήγηση, μπορεί να οδηγήσει σε ένα κατάλογο λόγων που εξηγούν με πειστικό τρόπο γιατί πρέπει να αποδείξουμε μια τόσο προφανή σχέση όσο η τριγωνική ανισότητα. 1 1 Όπως έχει δείξει η διδασκαλία αυτής της δραστηριότητας, η συζήτηση στην τάξη μπορεί να ενισχυθεί σε μεγάλο βαθμό και να αποκτήσει πολύ ενδιαφέρουσες προεκτάσεις αν γίνουν μερικές ιστορικές αναφορές για τις αντιδράσεις που προκάλεσε στους αρχαίους φιλοσόφους η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Βλ. σχετικά στο βιβλίο μας Γλώσσα, Ιστορία και

13 13 Δραστηριότητα 2.7 Η τριγωνική ανισότητα Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία Α Β Γ Αμφισβητεί κανείς ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ; Χρειάζεται απόδειξη; Γιατί πρέπει να αποδείξουμε την τριγωνική ανισότητα; Η μέθοδος ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας συνίσταται στην παραδοχή ορισμένων βασικών αναπόδεικτων αρχών (αξιώματα) και την παραγωγή όλων των συνεπειών τους με τους κανόνες της λογικής (διαφορά των Μαθηματικών από τις Φυσικές επιστήμες). Η τριγωνική ανισότητα είναι διαισθητικά ( φυσικά ) προφανής, αλλά στα Μαθηματικά μας ενδιαφέρει ο τρόπος παραγωγής της από τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Η τριγωνική ανισότητα είναι σημαντική γιατί εκφράζει μια θεμελιώδη ιδιότητα του χώρου αλλά και γιατί αποτελεί το κριτήριο κατασκευής ενός τριγώνου με πλευρές 3 δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα. Η τρίτη δραστηριότητα αυτής της ενότητας ασχολείται με μια λεπτομερή ανάλυση της απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας που περιέχεται στο σχολικό βιβλίο (είναι η ίδια ακριβώς που έδωσε ο Ευκλείδης στα Στοιχεία πριν από 2300 χρόνια). Η ανάλυση μπορεί να γίνει από το διδάσκοντα με τη μέθοδο των ερωτήσεων απαντήσεων ή να ανατεθεί σε μια ομάδα μαθητών που θα συνεργαστούν και θα την παρουσιάσουν στην τάξη. Ο στόχος είναι να προβληθούν και να διευκρινιστούν ορισμένα βασικά στοιχεία Ευκλείδεια Γεωμετρία: Μια δοκιμή διαθεματικής προσέγγισης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας, Θεσσαλονίκη 2006.

14 14 της απόδειξης, όπως η κεντρική ιδέα στην οποία στηρίζεται και το τέχνασμα που συνδέει τα δεδομένα με τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Δραστηριότητα 2.8 Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Απόδειξη: Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε είναι ΒΔ = ΑΔ + ΑΒ = ΑΓ + ΑΒ. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ΒΓ < ΒΔ. Γνωρίζουμε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές. Δημιουργούμε το τρίγωνο ΒΔΓ φέροντας το τμήμα ΔΓ. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές και άρα γωναγδ = γωναδγ. Επειδή γωναγδ < γωνβγδ, θα είναι και γωναδγ < γωνβγδ. Άρα στο τρίγωνο ΔΒΓ, επειδή γωνβδγ < γωνβγδ, θα είναι και ΒΓ < ΒΔ. Ζητούμενο: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ < ΑΓ + ΑΒ Δ Α Β Γ Επεξηγηματικά σχόλια Η κεντρική ιδέα της απόδειξης: Η σύγκριση πλευρών ανάγεται στη σύγκριση αντίστοιχων απέναντι γωνιών σύμφωνα με σχετική πρόταση που έχει ήδη αποδειχθεί. Το τέχνασμα της απόδειξης: Προεκτείνεται μια πλευρά ώστε να δημιουργηθεί ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το άθροισμα των δύο πλευρών του τριγώνου. Το τμήμα αυτό γίνεται πλευρά ενός νέου τριγώνου.

15 15 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να τεθεί αρχικά ως πρόκληση για την αναζήτηση μιας διαφορετικής απόδειξης, που δεν θα χρησιμοποιεί την προέκταση της πλευράς του τριγώνου. Όπως το έθεταν οι αρχαίοι φιλόσοφοι, κατηγορώντας τον Ευκλείδη: Όχι μόνο αποδεικνύεις με τόσο πολύπλοκο τρόπο μια τελείως προφανή ιδιότητα του τριγώνου, αλλά επιπλέον πηγαίνεις και έξω από αυτό για να το πετύχεις! H απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας που ακολουθεί, επινοήθηκε από τους μαθητές του Ευκλείδη ως απάντηση στους επικριτές του δασκάλου τους. Δραστηριότητα 2.9 Ένα διαφορετικό τέχνασμα για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Αρκεί να δείξουμε ότι η πλευρά ΒΓ χωρίζεται σε δύο τμήματα που είναι μικρότερα από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Τότε είναι: Α γωναδβ > γωνδαγ = γωνδαβ και από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ΒΔ < ΑΒ (1) Ομοίως: γωναδγ > γωνδαβ = γωνδαγ και από το τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Β Δ Γ ΔΓ < ΑΓ (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ Θα κλείσω την παρουσίαση με μια δραστηριότητα που αναφέρεται σε απόδειξη αλγεβρικής πρότασης. Οι τύποι του Vieta και ο τρόπος κατασκευής μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού με δεδομένες ρίζες, αποδεικνύονται στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια διατύπωση των αντίστοιχων προτάσεων και των υποθέσεων στις οποίες στηρίζονται οι αποδείξεις. Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα ζητηθεί αρχικά από τους μαθητές να μελετήσουν τον τρόπο παρουσίασης που υιοθετείται στο σχολικό βιβλίο και στην συνέχεια να απαντήσουν στα ερωτήματα που ακολουθούν:

16 16 Δραστηριότητα 2.10 Εξίσωση 2ου βαθμού και τύποι του Vieta στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου (σ.66) Ερώτημα: Ποιες είναι οι υποθέσεις και ποια τα συμπεράσματα στις προηγούμενες αποδείξεις; Ερώτημα: Ποια είναι η διατύπωση των προτάσεων που αποδεικνύονται Η δυνατότητα των μαθητών της Α Λυκείου (και όχι μόνο) να απαντήσουν σε ερωτήματα αυτού του είδους αποτελεί ένα σημαντικό δείκτη για τη διδασκαλία που προηγήθηκε σχετικά με την έννοια της απόδειξης, αλλά και για το σχεδιασμό των μελλοντικών διδακτικών παρεμβάσεων. Με ή χωρίς τη συμβολή των μαθητών, η λογική ανάλυση των αποδείξεων του σχολικού βιβλίου για το άθροισμα και γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2ου βαθμού θα μας οδηγήσει στη διατύπωση του επόμενου θεωρήματος και πορίσματος.

17 17 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α, β, γ, x 1, x 2 R με α 0 και β 2 > 4αγ, τότε οι σχέσεις x 1 + x 2 = β και x 1 x 2 = γ α α αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε οι αριθμοί x 1, x 2 να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0. ΠΟΡΙΣΜΑ Οι αριθμοί x 1, x 2 με x 1 + x 2 = S και x 1 x 2 = P είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 Sx + P = 0. (οι αποδείξεις αφήνονται ως άσκηση στον αναγνώστη) Επίμετρο Οι δραστηριότητες για τη διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης που παρουσιάστηκαν σ αυτήν την εισήγηση μπορεί να φαίνονται ξένες προς το πνεύμα και το γράμμα του σχολικού βιβλίου ή τις καθιερωμένες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Βρίσκονται όμως σε απόλυτη συμφωνία με όσα αναφέρονται στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα Μαθηματικών του Λυκείου (Φ.Ε.Κ.1342/τα.Β / ). Στην εισαγωγή αυτού του αναλυτικού προγράμματος αναφέρονται μεταξύ άλλων και τα εξής: Το Πρόγραμμα Σπουδών του Λυκείου αποτελεί συνέχεια αυτών του Γυμνασίου Πιο συγκεκριμένα, στο Λύκειο οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών θα πρέπει να εμπεδωθούν, να αναπτυχθούν και να επεκταθούν σε πιο θεωρητικό επίπεδο. Επιπλέον στο σχεδιασμό του Π.Σ. έχουν ληφθεί υπόψη η σύνδεση των μαθηματικών γνώσεων με τον πραγματικό κόσμο, η παρουσία των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία, καθώς και η ενεργητική συμμετοχή των μαθητών κατά τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών εννοιών. Το Π.Σ. του Λυκείου συγκροτήθηκε με βάση τις ίδιες αρχές που ισχύουν για το Π.Σ. του Γυμνασίου. Πιο συγκεκριμένα: Ι. Η διδασκαλία των Μαθηματικών οργανώνεται στη βάση της αρμονικής συνύπαρξης ενός σχεδιασμού κατάλληλων και πλούσιων δραστηριοτήτων και ενός προγραμματισμού μιας επιθυμητής τελικής συμπεριφοράς. Με τον τρόπο αυτό το Π.Σ. συντίθεται από τρεις στήλες. Στην πρώτη στήλη αναγράφονται τα περιεχόμενα, δηλαδή οι μαθηματικές ενότητες που έχουν επιλεγεί για κάθε τάξη του Λυκείου. Στη δεύτερη στήλη αναγράφονται οι επιθυμητοί στόχοι, ενώ στην τρίτη δίνονται οδηγίες και αναφέρονται ενδεικτικά παραδείγματα προβλημάτων και δραστηριοτήτων, μέσω των οποίων οι στόχοι αυτοί θα υλοποιηθούν. ΙΙ. Το Π.Σ. του Λυκείου περιέχει τις μαθηματικές ενότητες που διεθνώς θεωρούνται κατάλληλες για τις αντίστοιχες ηλικίες των μαθητών, με τη διδασκαλία των οποίων οι μαθητές θα αναπτύξουν τέτοιες δεξιότητες, ώστε να μπορούν:.

18 18 ΙΙΙ. Οι προηγούμενες δεξιότητες, μπορούν να υλοποιηθούν με κατάλληλες δραστηριότητες. Προκειμένου να επιλεγεί η κατάλληλη δραστηριότητα, επισημαίνεται ότι: 1. Μια δραστηριότητα πρέπει: Να είναι κατανοητή από όλους τους μαθητές ώστε να μη δημιουργεί παρανοήσεις. Να αφήνει περιθώρια για έρευνα και αυτενέργεια. Να ενθαρρύνει τη συνεργατικότητα και την ομαδική εργασία, προτρέποντας τους μαθητές και τις ομάδες σε νοητικό ανταγωνισμό. Να επιτρέπει προσέγγιση σε μία ή σε περισσότερες από μία λύσεις. 2. Το πρόβλημα από το οποίο προκύπτει η δραστηριότητα πρέπει να είναι πλούσιο σε εμπλεκόμενες έννοιες, να είναι αρκετά σημαντικό αλλά όχι δύσκολο, ώστε να μπορέσει ο μαθητής να το λύσει. 3. Η επίλυση του προβλήματος πρέπει να μπορεί να γίνει (όπου είναι δυνατόν) σε διάφορα αναπαραστασιακά συστήματα, π.χ. σε αριθμητικό-αλγεβρικό, σε γραφικό, σε γεωμετρικό κτλ., μεταξύ των οποίων ο μαθητής θα μπορέσει να κάνει τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις και μεταφράσεις των εννοιών. ΙV. Η θέση της μαθηματικής απόδειξης στο Π.Σ. του Λυκείου αποτέλεσε αντικείμενο ιδιαίτερης προσοχής. Από τη μια μεριά, μέσω των δραστηριοτήτων, οι μαθητές προσεγγίζουν διαισθητικά μια έννοια, αναπτύσσουν εικασίες και τέλος κατανοούν την αναγκαιότητα της απόδειξης. Από την άλλη, ιδιαίτερα στη Δευτέρα και Τρίτη Λυκείου και στις αντίστοιχες θετικές και τεχνολογικές κατευθύνσεις, η μαθηματική απόδειξη έχει μια πιο τυπική μορφή, διατυπωμένη με όρους και συμβολισμούς που πλησιάζουν τις απαιτήσεις οι οποίες έχουν καθιερωθεί από την μαθηματική κοινότητα. Στο ίδιο μήκος κύματος με τα παραδείγματα που χρησιμοποίησα σ αυτή την εργασία είναι δυνατό να δημιουργηθούν δραστηριότητες που καλύπτουν τη διδακτέα ύλη και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών σε ολόκληρο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. 2 2 Ένα παράδειγμα που αφορά τη διδασκαλία της Ανάλυσης στην Γ Λυκείου υπάρχει στο βιβλίο μου Μαθηματικά & Εξετάσεις. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 2009 (κεφάλαιο IV).

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2015-2016 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου»

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Χαιρετισμός Σχολικής Συμβούλου Μαθηματικών» Αγαπητοί συνάδελφοι,

Θέμα: «Χαιρετισμός Σχολικής Συμβούλου Μαθηματικών» Αγαπητοί συνάδελφοι, Πολύγυρος, 11/05/2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ Ταχ. Διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες διδασκαλίας των μαθημάτων Α και Β τάξεων Ημερησίου ΓΕΛ και Α, Β και Γ τάξεων Εσπερινού ΓΕΛ

ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες διδασκαλίας των μαθημάτων Α και Β τάξεων Ημερησίου ΓΕΛ και Α, Β και Γ τάξεων Εσπερινού ΓΕΛ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: Αθήνα, 01-10-2013 Αρ. Πρωτ. 139606/Γ2 Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων

Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: Αθήνα, 01-10-2013 Αρ. Πρωτ. 139606/Γ2 Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ----- Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου 2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Διαδικασία η γνώση ως ανάπτυξη υψηλών νοητικών λειτουργιών (

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα