Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο Λύκειο, με στόχο να κατανοηθούν από τους μαθητές έννοιες κλειδιά, όπως η συνεπαγωγή και η ισοδυναμία που βρίσκονται στον πυρήνα της αποδεικτικής διαδικασίας στα Μαθηματικά. Στις δεκαετίες του 1970 και 1980 τα σχολικά βιβλία περιείχαν ένα εισαγωγικό κεφάλαιο για τις λογικές πράξεις, τους πίνακες αλήθειας και τους ποσοδείκτες, στοιχεία τα οποία καταργήθηκαν με το νέο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου που κυκλοφόρησε το 1990 (και διατηρείται μέχρι σήμερα), μέσα στο γενικότερο κλίμα αποκαθήλωσης των λεγόμενων Νέων Μαθηματικών. Η ολοένα και διευρυνόμενη όμως αδυναμία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις βασικές αρχές της αποδεικτικής διαδικασίας (αδυναμία που εκδηλώνεται με τον πιο οδυνηρό για τους μαθητές τρόπο στις Πανελλαδικές Εξετάσεις) οδήγησε σε μια απόπειρα μερικής επαναφοράς. Στην αναθεωρημένη έκδοση της Άλγεβρας Α Λυκείου οι συγγραφείς έχουν συμπεριλάβει ένα εισαγωγικό κεφάλαιο στο οποίο γίνεται μια νέα απόπειρα να παρουσιαστούν στους μαθητές οι βασικές έννοιες της μαθηματικής λογικής. Έχω τη γνώμη ότι το διδακτικό πρόβλημα της μαθηματικής λογικής και της απόδειξης γενικά, δεν βρίσκεται στην ύπαρξη ή έλλειψη σχετικών παραγράφων στα σχολικά βιβλία, αλλά στην απουσία διδακτικών προτάσεων που λαμβάνουν υπόψη την πραγματική φύση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές. Στην εισήγησή μου θα παρουσιάσω μερικές τέτοιες προτάσεις οι οποίες στηρίζονται στη μελέτη ερευνών της Διδακτικής των Μαθηματικών που έχουν εξετάσει λεπτομερώς ορισμένα σημεία αιχμής στην κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας. Πρέπει βέβαια να τονιστεί ότι όσα ακολουθούν δεν αποτελούν έτοιμες διδακτικές προτάσεις συνταγές για χρήση σε οποιαδήποτε σχολική τάξη (δεν υπάρχουν τέτοιες συνταγές!), αλλά ανήκουν σ εκείνο το ευρύτερο πλαίσιο γνώσεων, υλικού και ιδεών

2 2 που πρέπει να διαθέτει κάθε εκπαιδευτικός, ώστε να αποφασίσει για το είδος της διδακτικής παρέμβασης που είναι κατάλληλο σε κάθε περίπτωση. Οι δυσκολίες των μαθητών με την έννοια της απόδειξης: Διάγνωση, έκταση και αιτίες του προβλήματος. Έχουν γίνει πολλές έρευνες διεθνώς για τα προβλήματα διδασκαλίας και μάθησης που συνδέονται με την έννοια της απόδειξης, στις οποίες εξετάστηκαν με κατάλληλες γραπτές δοκιμασίες και συνεντεύξεις οι γνώσεις μαθητών Γυμνασίου και Λυκείου αλλά και φοιτητών. Τα προβλήματα μάθησης που καταγράφηκαν και φαίνεται ότι είναι πολύ διαδεδομένα, μπορούν να συνοψιστούν στα εξής σημεία: Αδυναμία διατύπωσης αποδεικτικού λόγου Σύγχυση μεταξύ υποθέσεων και συμπεράσματος μιας υποθετικής πρότασης: Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι η αντίστροφη πρόταση ενός θεωρήματος είναι πάντοτε αληθής (συγχέουν αναγκαία με ικανή συνθήκη). Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι το συμπέρασμα ενός θεωρήματος είναι αληθές μόνο όταν είναι αληθής η υπόθεση του. Αδυναμία διάκρισης μεταξύ συνεπαγωγής και ισοδυναμίας. Υπάρχουν πολλές αιτίες για τα προβλήματα αυτά, που συνδέονται τόσο με ζητήματα γνωστικής ανάπτυξης όσο και με τον τρόπο διδασκαλίας. Μερικές από τις αιτίες, που ανήκουν κυρίως στη δεύτερη κατηγορία, είναι οι εξής: Η έμφαση της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην ποσότητα της ύλης εις βάρος της ποιότητας. Η αναντιστοιχία της ποσότητας ύλης με το διαθέσιμο διδακτικό χρόνο. Η έμφαση στην εξάσκηση των μαθητών να εφαρμόζουν διαδικασίες και όχι στην εμβάθυνση κατανόηση των εννοιών. Η υποβάθμιση της διδασκαλίας της θεωρίας. Η έλλειψη κατάλληλων διδακτικών προτάσεων για εισαγωγή στην αποδεικτική διαδικασία. Στις έρευνες τέλος θίγεται η γενική υποβάθμιση της διδασκαλίας της απόδειξης που παρατηρείται διεθνώς και προβάλλονται ισχυρά επιχειρήματα για την κεντρική θέση που πρέπει να κατέχει η έννοια της απόδειξης στους σκοπούς και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Τέτοια επιχειρήματα είναι μεταξύ άλλων τα εξής: Η απόδειξη αποτελεί το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της μαθηματικής δραστηριότητας.

3 3 Η μαθηματική απόδειξη λειτουργεί ως πρότυπο σκέψης στην σύγχρονη εποχή, όπου συχνά προκύπτει η ανάγκη εξαγωγής λογικών συμπερασμάτων και διατύπωσης προβλέψεων με βάση ορισμένες εύλογες ή πιθανές παραδοχές. Η χρήση των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία των Μαθηματικών δίνει μεγάλη έμφαση στις διαδικασίες πειραματικής επαλήθευσης εικασιών, με αποτέλεσμα να υποβαθμίζεται επικίνδυνα ο ρόλος της απόδειξης. Τα προηγούμενα φέρνουν στην επιφάνεια ορισμένα ερωτήματα σχετικά με τη μέθοδο και τους στόχους της διδασκαλίας: Αρκεί η ένταξη των ορισμών και των συμβόλων των λογικών πράξεων στο σχολικό βιβλίο και η επίλυση ασκήσεων του τύπου Σωστό Λάθος για να αντιμετωπιστούν προβλήματα όπως η σύγχυση ανάμεσα σε συνεπαγωγή και ισοδυναμία; Η παράθεση μεγάλου αριθμού αποδείξεων στον πίνακα από τον διδάσκοντα και η απομνημόνευση αποδείξεων από τον μαθητή μπορούν να εγγυηθούν αποτελεσματική μάθηση της αποδεικτικής διαδικασίας, τέτοια που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε νέες και σχετικά άγνωστες καταστάσεις; Μήπως πρέπει αντικείμενο της διδασκαλίας να είναι η επιλογή ορισμένων χαρακτηριστικών αποδείξεων και η σε βάθος ανάλυσή τους, κυρίως στη μορφή δραστηριοτήτων, έτσι ώστε να γίνονται φανερά τα σημεία στα οποία συναντούν δυσκολίες οι μαθητές;

4 4 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Διδασκαλία της Λογικής στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την εισαγωγή στις βασικές έννοιες της λογικής. Η δραστηριότητα που ακολουθεί έχει στόχο να εισάγει τους μαθητές διαδοχικά στις έννοιες της διάζευξης, της σύζευξης και της συνεπαγωγής μέσω ενός απλού αριθμητικού προβλήματος. Οι ερωτήσεις κλιμακώνονται ως προς τη δυσκολία, έτσι ώστε να εμπλακούν στην επίλυση του προβλήματος όσο το δυνατόν περισσότεροι μαθητές. Επισημαίνουμε ότι κεντρικός στόχος της δραστηριότητας είναι η έννοια της συνεπαγωγής με την ορθή μαθηματική της σημασία, η οποία γίνεται φανερή στον αντίστοιχο πίνακα αλήθειας. Δραστηριότητα 1.1 Να βρείτε όλους τους αριθμούς ν του συνόλου Α = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} που επαληθεύουν κάθε μια από τις ιδιότητες: α) Ο ν είναι άρτιος β) Ο ν είναι πρώτος γ) Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος (διάζευξη) δ) Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος (σύζευξη) ε) Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος (συνεπαγωγή) Οι απαντήσεις στα ερωτήματα της δραστηριότητας: Ερώτηση (α): Ο ν είναι άρτιος Λ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Ερώτηση (β): Ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19} Ερώτηση (γ): Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20} Ερώτηση (δ): Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {2, 4, 6, 10, 12, 16, 18} Ερώτηση (ε): Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19}

5 5 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά αντί της προηγούμενης ή να δοθεί στους μαθητές ως άσκηση. Δραστηριότητα 1.2 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς ν που επαληθεύουν τις ιδιότητες: α) ν 10 και ν 20 (σύζευξη) Λ = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} β) Αν ν 10, τότε ν 20 (συνεπαγωγή) Λ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} Υποθετική πρόταση και συνεπαγωγή. Βασικό γνώρισμα μιας υποθετικής πρότασης είναι ότι από την αλήθεια της υπόθεσης συνεπάγεται η αλήθεια του συμπεράσματος. Η λογική συνεπαγωγή, η οποία γενικεύει την έννοια της υποθετικής πρότασης στη μορφή μιας σχέσης (πράξης) στο σύνολο των λογικών προτάσεων, οφείλει να διατηρήσει αυτό το γνώρισμα και ταυτόχρονα να διαφοροποιηθεί από τις υπόλοιπες λογικές πράξεις (όπως η σύζευξη και η ισοδυναμία). Έτσι λοιπόν, η μόνη περίπτωση που μια συνεπαγωγή θεωρείται ψευδής είναι να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα. Με το αυτό το κριτήριο, το σύνολο αλήθειας ενός προτασιακού τύπου συνεπαγωγής συμπεριλαμβάνει και τα εκείνα στοιχεία του συνόλου αναφοράς που δεν έχουν αιτιώδη σχέση υπόθεσης συμπεράσματος (περιπτώσεις (ε) και (β) αντίστοιχα στις δραστηριότητες 1.1 και 1.2). Διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης. Στις τέσσερις δραστηριότητες που ακολουθούν ο στόχος είναι να κατανοηθούν οι διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης και συγκεκριμένα η σημασία των προτάσεων που παράγονται από μια συνεπαγωγή με αντιστροφή ή άρνηση της υπόθεσης και του συμπεράσματος. Το ζητούμενο από τους μαθητές σε κάθε δραστηριότητα είναι αν εξετάσουν την αλήθεια των αντίστοιχων προτάσεων. Δραστηριότητα 1.3 Ένα παράδειγμα από την καθημερινή εμπειρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν βρέχει, τότε υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε βρέχει. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν δεν βρέχει, τότε δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε δεν βρέχει.

6 6 Δραστηριότητα 1.4 Ένα παράδειγμα από τη Γεωμετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος. Δραστηριότητα 1.5 Ένα παράδειγμα από την Άλγεβρα Αρχική συνεπαγωγή: α = β α 2 = β 2 Αντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 = β 2 α = β Αντίθετη συνεπαγωγή: α β α 2 β 2 Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 β 2 α β Δραστηριότητα 1.6 Ένα παράδειγμα από την Τριγωνομετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ 0. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ > 0. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ > 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίστροφη και αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή. Η διατύπωση της αντίστροφης συνεπαγωγής ενός θεωρήματος δεν είναι πάντοτε φανερή ή εύκολη. Για να εκτιμηθεί η δυσκολία αυτού του εγχειρήματος, ας επιχειρήσει ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης να διατυπώσει, υπό μορφήν άσκησης, την αντίστροφη συνεπαγωγή του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ή του θεωρήματος Lagrange της Θεωρίας Ομάδων.

7 7 Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται εύκολα κατανοητό ότι μια συνεπαγωγή και η αντιθετοαντίστροφή της είναι πάντοτε ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί στην έννοια της λογικής ισοδυναμίας δύο προτάσεων (μια πρόταση και η αντιθετοαντίστροφή της επιβεβαιώνουν την ύπαρξη τέτοιων προτάσεων). Φυσικά πρέπει να γίνει άμεσα κατανοητό ότι δύο ισοδύναμες προτάσεις δεν είναι αναγκαστικά δύο αντιθετοαντίστροφες συνεπαγωγές. Η δραστηριότητα που ακολουθεί (δεν απαιτεί τίποτε περισσότερο από τον ορισμό της ανισότητας) έχει στόχο να αναδείξει το χαρακτηριστικό γνώρισμα δύο ισοδύναμων προτάσεων, δηλαδή ότι είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς, ακόμη και όταν δεν είναι άμεσα φανερό ποιο από τα δύο ισχύει. Δραστηριότητα 1.7 Να αποδειχθεί ότι οι δύο επόμενες ανισότητες είναι λογικά ισοδύναμες προτάσεις: p: > q: < Παρουσιάζει βέβαια ξεχωριστό ενδιαφέρον να διαπιστώσουν οι μαθητές αν τελικά αυτές οι ισοδύναμες προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς. Αυτό αποτελεί μια πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση που μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους.

8 8 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Διδασκαλία της Απόδειξης στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την κατανόηση της έννοιας απόδειξη. Ο στόχος μας σ αυτήν την ενότητα είναι να δείξουμε ότι, αντί για την μονότονη παράθεση των αποδείξεων των διαφόρων προτάσεων του σχολικού βιβλίου στον πίνακα (ιδιαίτερα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία), είναι προτιμότερο να επιλεγούν ορισμένες βασικές προτάσεις και να αποδειχθούν με πολύ αναλυτικό τρόπο στην τάξη. Με τον τρόπο αυτό η απόδειξή δεν λειτουργεί μόνο ως μέσο πειθούς για την αλήθεια αυτών των προτάσεων (για την οποία βεβαίως οι μαθητές δεν έχουν την παραμικρή αμφιβολία!), αλλά κυρίως ως φορέας γνώσης πάνω στα ζητήματα που σχετίζονται με την αποδεικτική διαδικασία (π.χ. έλεγχος των υποθέσεων, κεντρική ιδέα της απόδειξης, τέχνασμα στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη κ.α.) Μια διαφορετική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που γνωρίζουν οι μαθητές από το Γυμνάσιο. Οι μαθητές έχουν συναντήσει την απόδειξη της πρότασης για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στο βιβλίο Μαθηματικών της Α Γυμνασίου (Μέρος Β, 3 ο Κεφάλαιο, Τρίγωνα-Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια, σ.222) και έχουν χρησιμοποιήσει επανειλημμένα αυτό το αποτέλεσμα στις επόμενες τάξεις. Στην Α Λυκείου, κατά τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ο διδάσκων πρέπει να καταβάλει μεγάλη προσπάθεια για να πείσει τους μαθητές ότι απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν αυτή τη γνώση μέχρι το 4 ο Κεφάλαιο (Παράλληλες Ευθείες, σ.83), όπου θα αποδείξουν εκ νέου αυτό που ήδη γνωρίζουν πολύ καλά και μάλιστα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που αποδείχτηκε στην Α Γυμνασίου! Είναι προφανές ότι αυτή η απαγόρευση όχι μόνο δεν προσφέρει τίποτε στις γνώσεις των μαθητών, αλλά ίσως να καλλιεργεί σε πολλούς εξ αυτών αρνητικές στάσεις για τα Μαθηματικά. Θεωρώ ότι είναι διδακτικά πολύ πιο αποτελεσματικό να αξιοποιηθεί αυτό το θεώρημα (καθώς και άλλα που είναι γνωστά από το Γυμνάσιο) ώστε να γίνει μια εμβάθυνση σε βασικά ζητήματα της αποδεικτικής διαδικασίας, όπως είναι π.χ. ο έλεγχος των υποθέσεων. Στις δύο δραστηριότητες που ακολουθούν, οι μαθητές μελετούν μια νέα απόδειξη του θεωρήματος καθώς και την απόδειξη που ήδη γνωρίζουν με στόχο να εντοπίσουν τη βασική υπόθεση στην οποία στηρίζεται κάθε μία.

9 9 Δραστηριότητα 2.1 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ A 1 2 Έστω x το άθροισμα των γωνιών και ΑΔ τυχαίο τμήμα. Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι: Α 1 + Β + Δ 1 = x Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι: Α 2 + Γ + Δ 2 = x B 1 Δ 2 Γ Με πρόσθεση κατά μέλη: Α 1 + Β + Δ 1 + Α 2 + Γ + Δ 2 = 2x A + B + Γ + Δ 1 + Δ 2 = 2x x ο = 2x x = 180ο Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Δραστηριότητα 2.2 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Φέρουμε από το Α την ευθεία ε παράλληλη 1 A 2 ε προς την ΒΓ. Είναι Α 1 = Β και Α 2 = Γ ως εντός εναλλάξ. Άρα έχουμε Α + Β + Γ = Α + Α 1 + Α 2 = 180 ο B Γ Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Η διάκριση των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Σε πολλούς μαθητές εμφανίζεται συχνά μια σύγχυση ανάμεσα στις έννοιες της απόδειξης και της διερεύνησης. Αυτή η σύγχυση δεν είναι ίσως άσχετη με το γεγονός ότι η εισαγωγή των παραμετρικών εξισώσεων και της διερεύνησης στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου γίνεται στο πλαίσιο ενός σχολίου, χωρίς κανένα πρόβλημα

10 10 που καθιστά φανερή τη σημασία αυτών των εννοιών και δίνει κίνητρα στους μαθητές. Το σχετικό απόσπασμα του σχολικού βιβλίου είναι το εξής (σ.56): Όπως βλέπουμε, η διερεύνηση (μια διαδικασία που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στην Α Λυκείου) εισάγεται με τελείως θεωρητικό τρόπο και αμέσως μετά εκτοξεύεται κατά των μαθητών μια παραμετρική εξίσωση. Στις επόμενες δύο δραστηριότητες η έννοια της διερεύνησης εισάγεται μέσω ενός προβλήματος. Δραστηριότητα 2.3 Επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου; Αν ονομάσουμε x το ζητούμενο, οι μαθητές δεν θα δυσκολευτούν να καταλήξουν στην επόμενη εξίσωση και λύση: 52 + x = 2.(27 + x) x = = 2 Προκαλούμε στην τάξη μια συζήτηση για την ερμηνεία της αρνητικής λύσης (κάτι που οι μαθητές γνωρίζουν ήδη από το Γυμνάσιο), αλλά και τη δυνατότητα να γίνει μια επαναδιατύπωση του προβλήματος με τρόπο που καθιστά περιττή τη χρήση των αρνητικών αριθμών: Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Πριν πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν διπλάσια από την ηλικία του γιου; 52 x = 2.(27 x) x = = 2

11 11 Δραστηριότητα 2.4 Γενίκευση και Διερεύνηση Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. Πότε η ηλικία του πατέρα γίνεται διπλάσια από την ηλικία του γιου; α + x = 2.(β + x) x = α 2β Η σημασία των περιορισμών και της διερεύνησης: 1. Οι αριθμοί α, β πρέπει να είναι θετικοί. 2. Να μην υπερβαίνουν κάποιο φυσιολογικό όριο ηλικιών. 3. Να είναι α > β. 4. Οι περιπτώσεις α 2β < 0, α 2β = 0, α 2β > 0 προσδιορίζουν αν το ζητούμενο έχει συμβεί στο παρελθόν, συμβαίνει στο παρόν ή θα συμβεί στο μέλλον. Αμέσως μετά τις δύο προηγούμενες δραστηριότητες, η επόμενη χρησιμοποιεί το ίδιο ακριβώς πρόβλημα με μια διατύπωση που δείχνει τη στενή σχέση αλλά και τη διαφορετικότητα των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Δραστηριότητα 2.5 Γενίκευση και Απόδειξη Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. α) Να βρείτε σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου. β) Να αποδείξετε ότι αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν η σημερινή ηλικία του πατέρα είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της ηλικίας του γιου. Μια πολυδιάστατη διδακτική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που οι μαθητές συναντούν πρώτη φορά στο Λύκειο. Στις επόμενες δραστηριότητες θα χρησιμοποιήσουμε μια απόδειξη που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στο Λύκειο και θα την αξιοποιήσουμε όχι ως μέσο πειθούς των μαθητών για την προφανέστατη αλήθεια της αντίστοιχης πρότασης, αλλά ως φορέα γνώσης σχετικά με όψεις της αποδεικτικής διαδικασίας που σπανίως γίνονται αντικείμενο συζήτησης στη σχολική τάξη. Πρόκειται για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας, την οποία οι επίσημες οδηγίες αφαιρούν (κάκιστα κατά τη γνώμη μου) από τη διδακτέα ύλη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α Λυκείου.

12 12 Η πρώτη δραστηριότητα αποτελείται από ένα πρόβλημα και έχει στόχο να αναδείξει, με όσο το δυνατό πιο απροσδόκητο τρόπο, τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας. Δραστηριότητα 2.6 Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Π 5km Σ 2km Α Π 3km Α 2km Σ Σ 5km 2km Α Π? Στη διαχείριση αυτής της δραστηριότητας χρειάζεται διδακτική δεξιοτεχνία, ώστε να αξιοποιηθεί η τάση πολλών μαθητών να θεωρούν μόνο τη γραμμική διάταξη των τριών σημείων, γεγονός που θα κάνει φανερή τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας για την εκτίμηση της ζητούμενης απόστασης στη γενική περίπτωση. Η δεύτερη δραστηριότητα αυτής της ενότητας εισάγει στην τάξη έναν προβληματισμό για την σκοπιμότητα απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας. Ο στόχος είναι να προκληθεί μια συζήτηση η οποία, με την κατάλληλη καθοδήγηση, μπορεί να οδηγήσει σε ένα κατάλογο λόγων που εξηγούν με πειστικό τρόπο γιατί πρέπει να αποδείξουμε μια τόσο προφανή σχέση όσο η τριγωνική ανισότητα. 1 1 Όπως έχει δείξει η διδασκαλία αυτής της δραστηριότητας, η συζήτηση στην τάξη μπορεί να ενισχυθεί σε μεγάλο βαθμό και να αποκτήσει πολύ ενδιαφέρουσες προεκτάσεις αν γίνουν μερικές ιστορικές αναφορές για τις αντιδράσεις που προκάλεσε στους αρχαίους φιλοσόφους η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Βλ. σχετικά στο βιβλίο μας Γλώσσα, Ιστορία και

13 13 Δραστηριότητα 2.7 Η τριγωνική ανισότητα Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία Α Β Γ Αμφισβητεί κανείς ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ; Χρειάζεται απόδειξη; Γιατί πρέπει να αποδείξουμε την τριγωνική ανισότητα; Η μέθοδος ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας συνίσταται στην παραδοχή ορισμένων βασικών αναπόδεικτων αρχών (αξιώματα) και την παραγωγή όλων των συνεπειών τους με τους κανόνες της λογικής (διαφορά των Μαθηματικών από τις Φυσικές επιστήμες). Η τριγωνική ανισότητα είναι διαισθητικά ( φυσικά ) προφανής, αλλά στα Μαθηματικά μας ενδιαφέρει ο τρόπος παραγωγής της από τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Η τριγωνική ανισότητα είναι σημαντική γιατί εκφράζει μια θεμελιώδη ιδιότητα του χώρου αλλά και γιατί αποτελεί το κριτήριο κατασκευής ενός τριγώνου με πλευρές 3 δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα. Η τρίτη δραστηριότητα αυτής της ενότητας ασχολείται με μια λεπτομερή ανάλυση της απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας που περιέχεται στο σχολικό βιβλίο (είναι η ίδια ακριβώς που έδωσε ο Ευκλείδης στα Στοιχεία πριν από 2300 χρόνια). Η ανάλυση μπορεί να γίνει από το διδάσκοντα με τη μέθοδο των ερωτήσεων απαντήσεων ή να ανατεθεί σε μια ομάδα μαθητών που θα συνεργαστούν και θα την παρουσιάσουν στην τάξη. Ο στόχος είναι να προβληθούν και να διευκρινιστούν ορισμένα βασικά στοιχεία Ευκλείδεια Γεωμετρία: Μια δοκιμή διαθεματικής προσέγγισης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας, Θεσσαλονίκη 2006.

14 14 της απόδειξης, όπως η κεντρική ιδέα στην οποία στηρίζεται και το τέχνασμα που συνδέει τα δεδομένα με τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Δραστηριότητα 2.8 Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Απόδειξη: Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε είναι ΒΔ = ΑΔ + ΑΒ = ΑΓ + ΑΒ. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ΒΓ < ΒΔ. Γνωρίζουμε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές. Δημιουργούμε το τρίγωνο ΒΔΓ φέροντας το τμήμα ΔΓ. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές και άρα γωναγδ = γωναδγ. Επειδή γωναγδ < γωνβγδ, θα είναι και γωναδγ < γωνβγδ. Άρα στο τρίγωνο ΔΒΓ, επειδή γωνβδγ < γωνβγδ, θα είναι και ΒΓ < ΒΔ. Ζητούμενο: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ < ΑΓ + ΑΒ Δ Α Β Γ Επεξηγηματικά σχόλια Η κεντρική ιδέα της απόδειξης: Η σύγκριση πλευρών ανάγεται στη σύγκριση αντίστοιχων απέναντι γωνιών σύμφωνα με σχετική πρόταση που έχει ήδη αποδειχθεί. Το τέχνασμα της απόδειξης: Προεκτείνεται μια πλευρά ώστε να δημιουργηθεί ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το άθροισμα των δύο πλευρών του τριγώνου. Το τμήμα αυτό γίνεται πλευρά ενός νέου τριγώνου.

15 15 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να τεθεί αρχικά ως πρόκληση για την αναζήτηση μιας διαφορετικής απόδειξης, που δεν θα χρησιμοποιεί την προέκταση της πλευράς του τριγώνου. Όπως το έθεταν οι αρχαίοι φιλόσοφοι, κατηγορώντας τον Ευκλείδη: Όχι μόνο αποδεικνύεις με τόσο πολύπλοκο τρόπο μια τελείως προφανή ιδιότητα του τριγώνου, αλλά επιπλέον πηγαίνεις και έξω από αυτό για να το πετύχεις! H απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας που ακολουθεί, επινοήθηκε από τους μαθητές του Ευκλείδη ως απάντηση στους επικριτές του δασκάλου τους. Δραστηριότητα 2.9 Ένα διαφορετικό τέχνασμα για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Αρκεί να δείξουμε ότι η πλευρά ΒΓ χωρίζεται σε δύο τμήματα που είναι μικρότερα από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Τότε είναι: Α γωναδβ > γωνδαγ = γωνδαβ και από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ΒΔ < ΑΒ (1) Ομοίως: γωναδγ > γωνδαβ = γωνδαγ και από το τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Β Δ Γ ΔΓ < ΑΓ (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ Θα κλείσω την παρουσίαση με μια δραστηριότητα που αναφέρεται σε απόδειξη αλγεβρικής πρότασης. Οι τύποι του Vieta και ο τρόπος κατασκευής μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού με δεδομένες ρίζες, αποδεικνύονται στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια διατύπωση των αντίστοιχων προτάσεων και των υποθέσεων στις οποίες στηρίζονται οι αποδείξεις. Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα ζητηθεί αρχικά από τους μαθητές να μελετήσουν τον τρόπο παρουσίασης που υιοθετείται στο σχολικό βιβλίο και στην συνέχεια να απαντήσουν στα ερωτήματα που ακολουθούν:

16 16 Δραστηριότητα 2.10 Εξίσωση 2ου βαθμού και τύποι του Vieta στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου (σ.66) Ερώτημα: Ποιες είναι οι υποθέσεις και ποια τα συμπεράσματα στις προηγούμενες αποδείξεις; Ερώτημα: Ποια είναι η διατύπωση των προτάσεων που αποδεικνύονται Η δυνατότητα των μαθητών της Α Λυκείου (και όχι μόνο) να απαντήσουν σε ερωτήματα αυτού του είδους αποτελεί ένα σημαντικό δείκτη για τη διδασκαλία που προηγήθηκε σχετικά με την έννοια της απόδειξης, αλλά και για το σχεδιασμό των μελλοντικών διδακτικών παρεμβάσεων. Με ή χωρίς τη συμβολή των μαθητών, η λογική ανάλυση των αποδείξεων του σχολικού βιβλίου για το άθροισμα και γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2ου βαθμού θα μας οδηγήσει στη διατύπωση του επόμενου θεωρήματος και πορίσματος.

17 17 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α, β, γ, x 1, x 2 R με α 0 και β 2 > 4αγ, τότε οι σχέσεις x 1 + x 2 = β και x 1 x 2 = γ α α αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε οι αριθμοί x 1, x 2 να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0. ΠΟΡΙΣΜΑ Οι αριθμοί x 1, x 2 με x 1 + x 2 = S και x 1 x 2 = P είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 Sx + P = 0. (οι αποδείξεις αφήνονται ως άσκηση στον αναγνώστη) Επίμετρο Οι δραστηριότητες για τη διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης που παρουσιάστηκαν σ αυτήν την εισήγηση μπορεί να φαίνονται ξένες προς το πνεύμα και το γράμμα του σχολικού βιβλίου ή τις καθιερωμένες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Βρίσκονται όμως σε απόλυτη συμφωνία με όσα αναφέρονται στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα Μαθηματικών του Λυκείου (Φ.Ε.Κ.1342/τα.Β / ). Στην εισαγωγή αυτού του αναλυτικού προγράμματος αναφέρονται μεταξύ άλλων και τα εξής: Το Πρόγραμμα Σπουδών του Λυκείου αποτελεί συνέχεια αυτών του Γυμνασίου Πιο συγκεκριμένα, στο Λύκειο οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών θα πρέπει να εμπεδωθούν, να αναπτυχθούν και να επεκταθούν σε πιο θεωρητικό επίπεδο. Επιπλέον στο σχεδιασμό του Π.Σ. έχουν ληφθεί υπόψη η σύνδεση των μαθηματικών γνώσεων με τον πραγματικό κόσμο, η παρουσία των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία, καθώς και η ενεργητική συμμετοχή των μαθητών κατά τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών εννοιών. Το Π.Σ. του Λυκείου συγκροτήθηκε με βάση τις ίδιες αρχές που ισχύουν για το Π.Σ. του Γυμνασίου. Πιο συγκεκριμένα: Ι. Η διδασκαλία των Μαθηματικών οργανώνεται στη βάση της αρμονικής συνύπαρξης ενός σχεδιασμού κατάλληλων και πλούσιων δραστηριοτήτων και ενός προγραμματισμού μιας επιθυμητής τελικής συμπεριφοράς. Με τον τρόπο αυτό το Π.Σ. συντίθεται από τρεις στήλες. Στην πρώτη στήλη αναγράφονται τα περιεχόμενα, δηλαδή οι μαθηματικές ενότητες που έχουν επιλεγεί για κάθε τάξη του Λυκείου. Στη δεύτερη στήλη αναγράφονται οι επιθυμητοί στόχοι, ενώ στην τρίτη δίνονται οδηγίες και αναφέρονται ενδεικτικά παραδείγματα προβλημάτων και δραστηριοτήτων, μέσω των οποίων οι στόχοι αυτοί θα υλοποιηθούν. ΙΙ. Το Π.Σ. του Λυκείου περιέχει τις μαθηματικές ενότητες που διεθνώς θεωρούνται κατάλληλες για τις αντίστοιχες ηλικίες των μαθητών, με τη διδασκαλία των οποίων οι μαθητές θα αναπτύξουν τέτοιες δεξιότητες, ώστε να μπορούν:.

18 18 ΙΙΙ. Οι προηγούμενες δεξιότητες, μπορούν να υλοποιηθούν με κατάλληλες δραστηριότητες. Προκειμένου να επιλεγεί η κατάλληλη δραστηριότητα, επισημαίνεται ότι: 1. Μια δραστηριότητα πρέπει: Να είναι κατανοητή από όλους τους μαθητές ώστε να μη δημιουργεί παρανοήσεις. Να αφήνει περιθώρια για έρευνα και αυτενέργεια. Να ενθαρρύνει τη συνεργατικότητα και την ομαδική εργασία, προτρέποντας τους μαθητές και τις ομάδες σε νοητικό ανταγωνισμό. Να επιτρέπει προσέγγιση σε μία ή σε περισσότερες από μία λύσεις. 2. Το πρόβλημα από το οποίο προκύπτει η δραστηριότητα πρέπει να είναι πλούσιο σε εμπλεκόμενες έννοιες, να είναι αρκετά σημαντικό αλλά όχι δύσκολο, ώστε να μπορέσει ο μαθητής να το λύσει. 3. Η επίλυση του προβλήματος πρέπει να μπορεί να γίνει (όπου είναι δυνατόν) σε διάφορα αναπαραστασιακά συστήματα, π.χ. σε αριθμητικό-αλγεβρικό, σε γραφικό, σε γεωμετρικό κτλ., μεταξύ των οποίων ο μαθητής θα μπορέσει να κάνει τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις και μεταφράσεις των εννοιών. ΙV. Η θέση της μαθηματικής απόδειξης στο Π.Σ. του Λυκείου αποτέλεσε αντικείμενο ιδιαίτερης προσοχής. Από τη μια μεριά, μέσω των δραστηριοτήτων, οι μαθητές προσεγγίζουν διαισθητικά μια έννοια, αναπτύσσουν εικασίες και τέλος κατανοούν την αναγκαιότητα της απόδειξης. Από την άλλη, ιδιαίτερα στη Δευτέρα και Τρίτη Λυκείου και στις αντίστοιχες θετικές και τεχνολογικές κατευθύνσεις, η μαθηματική απόδειξη έχει μια πιο τυπική μορφή, διατυπωμένη με όρους και συμβολισμούς που πλησιάζουν τις απαιτήσεις οι οποίες έχουν καθιερωθεί από την μαθηματική κοινότητα. Στο ίδιο μήκος κύματος με τα παραδείγματα που χρησιμοποίησα σ αυτή την εργασία είναι δυνατό να δημιουργηθούν δραστηριότητες που καλύπτουν τη διδακτέα ύλη και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών σε ολόκληρο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. 2 2 Ένα παράδειγμα που αφορά τη διδασκαλία της Ανάλυσης στην Γ Λυκείου υπάρχει στο βιβλίο μου Μαθηματικά & Εξετάσεις. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 2009 (κεφάλαιο IV).

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΓΕΝΙΚΑ Βασικός στόχος είναι η ανατροφοδότηση της εκπαιδευτικής διαδικασίας και ο εντοπισμός των μαθησιακών ελλείψεων με σκοπό τη βελτίωση της παρεχόμενης σχολικής εκπαίδευσης. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μυκηναϊκός Πολιτισμός ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΛΛΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΜΑ: «Η καθημερινή ζωή στον Μυκηναϊκό Κόσμο» Οι μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες

Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες Λουμπαρδιά Αγγελική 1, Ναστάκου Μαρία 2 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών, 2 o Γενικό Λύκειο Τρίπολης loumpardia@sch.gr 2 Διευθύντρια, ΙΕΚ Σπάρτης marynasta@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ Φύση και Μαθηματικά Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο ΓΕΛ Ξάνθης 2011 2012 Επιβλέποντες καθηγητές Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Φύση και Μαθηματικά 2 Τι είναι η χρυσή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr . ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο οδηγός αυτός απευθύνεται στους εκπαιδευτικούς

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΚΕΕΠΕ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ.2.Α ΤΟΜΕΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» Δημητρίου Γ. Κούρτη ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΙΛΟΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα