RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

Transcript

1 RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B, C) M( x, y, z) M ( x, y, z ) O uv uuuuuv u Neka su i vektoi položaja tačaka M i M. Odavde je: MM = a kako je vekto nabc (,, ) nomalan na avan π, to njihov skalani poizvod moa biti jednak. u n ( ) = Ovo je jednačina avni π u vektoskom obliku. uuuuuv u A kako je MM = = ( x x, y y, z z) i n= ( A, B, C) dobijamo : u n ( ) = ( A, B, C) ( x x, y y, z z ) = Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) = A ovo je jednačina avni u skalanom obliku.( odnosno koz jednu datu tačku)

2 Pime. Napisati jednačinu avni koja sadži tačku M(2,,3) i nomalna je na vekto n = (,,2) : Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) = ( x 2) ( y ) + 2( z 3) = x 2 y+ + 2z 6= x y+ 2z 7= Odavde dobijamo i opštu jednačinu avni : Ax + By + Cz + D = A + B + C >, gde je Ako su nam date ti tačke M( x, y, z), M2( x2, y2, z2), M3( x3, y3, z 3), onda jednačinu avni tažimo: n M3( x3, y3, z3) π M( x, y, z) u u 3 u 2 M2( x2, y2, z2) O u u u ( ) [( ) ( )] = 2 3 u vektoskom obliku i x x y y z z x x y y z z = x x y y z z u skalanom obliku. 2

3 Pime 2. Date su tačke A(-,2,-), B(,-4,3) i C(,-,-2). Napisati jednačinu avni koju one odedjuju. x x y y z z x+ y 2 z+ x+ y 2 z+ x x y y z z = = 6 4 = x x y y z z Razvijamo je po pvoj vsti... ( x+ )(6 + 2) ( y 2)( 8) + ( z+ )( 3+ 2) = 8( x+ ) + 9( y 2) + 9( z+ ) = 8x y 8+ 9z + 9= 8x+ 9y+ 9z+ 9 =.../:9 2x + y + z + = U situacijama kad tebamo nactati avan, najbolje je koistiti segmentni oblik: z x y z + + = a b c C(,, c) B(, b,) y x Aa (,,) Naavno, a,b i c su odsečci na x, y i z osi. Pime 3. Ravan 2x+3y +6z - 2 = pebaciti u segmentni oblik i skiciati je. : 3

4 2x + 3y+ 6z 2 = Kako na desnoj stani moa biti, adimo sledeće: 2x+ 3y+ 6z = 2.../ :2 2x 3y 6z + + = x y z + + = z C(,,2) B(, 4,) y A(6,,) x Pime 4. a) Odediti jednačinu avni koja sadži koodinatni početak b) Odediti jednačinu avni koja je paalelna sa Oz osom c) Odediti jednačinu avni koja je paalelna sa Oxy avni a) Kako koodinatni početak sadži tačku O(,,), njene koodinate možemo zameniti u opštu jednačinu avni: Ax+By+Cz+D= A + B + C + D= D= Dakle, tažena jednačina te avni je Ax+By+Cz = b) Ako je avan paalelna sa Oz osom, onda je u vektou nomalnosti te avni n= ( A, B, C) je n= ( A, B,) pa je avan Ax+By+D= siguno C=, to jest, on c) Ako je avan paalelna sa Oxy avni onda je A= i B=, pa je avan Ax+By+Cz+D= Cz+D= Cz = - D D z = Naavno, avan z = je ustvai baš Oxy avan. C 4

5 Rastojanje tačke M ( x, y, z ) od avni Ax+By+Cz+d = se ačuna po fomuli: d = Ax + By + Cz + D A + B + C Naavno, apsolutna vednost nam obezbedjuje da to astojanje ne bude negativno. Pime 5. Odediti astojanje tačke A(,-,3) od avni 2x-3y+2z 4 = d = Ax + By + Cz + D A + B + C d = 2 3( ) ( 3) d = d = = = = = Kakav može biti uzajamni položaj dve avni? Posmatajmo dve avni Ax + By + Cz + D = i Ax 2 + B2y+ C2z+ D2 = uv uuv Naavno, njihovi vektoi nomalnosti su n( A, B, C) i n2( A2, B2, C2). i) Ravni su paalelne samo ako su njihovi vektoi nomalnosti kolineani.(često se u zadacima uzima da one imaju isti vekto onda) n 2 α 2 n α u uu Uslov paalelnosti bi bio n n2 = ili n u = λ n uu 2 (kolineani, lineano zavisni) ili A B C = = A B C 5

6 ii) Ako avni nisu paalelne, onda se one seku pod nekim uglom. α 2 ϕ n 2 α ϕ n Ugao izmedju dveju avni je ugao izmedju njihovih nomalnih vektoa. Koisteći skalani poizvod ( pogledaj taj fajl), ugao odedjujemo po fomuli: u uu n n2 AA 2 + BB 2 + CC 2 cosϕ = u uu = n n A + B + C A + B + C 2 Specijalni slučaj je kada se avni seku pod pavim uglom: α 2 n 2 n α u uu Onda važi da je n n2 = 6

7 Pime 6. Odediti jednačinu avni koja polazi koz tačke A(2,3,) i B(-,2,-2) i nomalna je na avan α : 2x-3y+z-5= Najpe da postavimo zadatak. β nβ A nα B Označimo taženu avan sa β. uuu Tačke A i B pipadaju toj avni i fomiaju vekto AB = ( 2,2 3, 2 ) = ( 3,, 3) uuu uu Ovaj vekto AB je nomalan na vekto nomalnosti nβ avni β. A kako u zadatku kaže da su ove dve avni uu uu nomalne, onda je i n β nomalno na nα. Dakle: uu uuu uu uu n AB i n n, a ovo nam govoi ( pogledaj fajl vektoi u β β α uu postou) da taženi vekto n β možemo naći pomoću vektoskog poizvoda! uu uu uuu n = n AB β n β α i j k uu = 2 3 = i (9 + ) j ( 6 + 3) + k ( 2 9) = i+ 3 j k = (,3, ) 3 3 Dalje koistimo jednačinu avni koz jednu tačku ( sve jedno je dal ćemo uzeti tačku A ili tačku B) Uzmimo ecimo tačku A(2,3,) Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) = ( x 2) + 3( y 3) ( z ) = x 2 + 3y 9 z+ = x+ 3y z 8 = I dobili smo taženu avan. 7

8 Skup svih avni koje sadže datu pavu p je pamen avni. Jednačina pamena je data peko dve pave koje pipadaju pamenu i paameta: Ax+ By+ Cz+ D + λ( Ax+ B y+ C z+ D ) = 2 Pime 7. U pamenu avni odedjenom avnima 3x+y+z-5= i x-y-z+2= naći avan koja je nomalna na pvu od datih avni. Ofomimo najpe pamen : 3x+ y+ z 5 + λ( x y z+ 2) = Sedimo ovo da nadjemo vekto nomalnosti tog pamena...( sve uz x, pa uz y, pa uz z...) 3x+ y+ z 5+ λx λy λz+ λ2= (3 + λ) x+ ( λ) y+ ( λ) z+ 2λ 5 = uuu Odavde je npr = (3 + λ, λ, λ) uu Za pvu avan 3x+ y+ z 5 = vekto nomalnosti je ni = (3,,) uu uuu Iskoistimo uslov nomalnosti: n n = (3,,) (3 + λ, λ, λ) = 3(3 + λ) + ( λ) + ( λ) = 9+ 3λ+ λ+ λ = λ = Vatimo se sada u pamen i zamenimo dobijenu vednost: 3x+ y+ z 5 + λ( x y z+ 2) = 3x+ y+ z 5 ( x y z+ 2) = 3x+ y+ z 5 x+ y+ z 22 = 8x+ 2y+ 2z 27 = je ešenje! I PR 8

9 9