Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Geometrija (I smer) deo 1: Vektori"

Transcript

1 Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013.

2 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet.

3 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB.

4 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor

5 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor Sa V 2 označavamo skup svih vektora ravni, a sa V 3 skup svih vektora prostora. Ako nam nije važno da li radimo u ravni ili prostoru, skup vektora označavamo sa V.

6 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC.

7 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC. Definicija (Množenje vektora skalarom (brojem)) Neka je α R broj i v V vektor. Proizvod α v broja i vektora je vektor u koji ima: (P) isti pravac kao vektor v ; (I) intenzitet u = α v ; (S) smer vektora u je isti kao smer vektora v ako α > 0, a suprotan ako α < 0.

8 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u.

9 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora.

10 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora. Primer Vektori v = AB, u = CD su zadati svojim predstavnicima (na papiru). Odrediti predstavnika vektora v 2 u.

11 Skup V svih vektora (ravni ili prostora) je vektorski prostor u smislu Linearne algebre, tj. važi Teorema Ako su v, u, w V vektori, a α, β R realni brojevi tada važi: (S1) (S2) (S3) (S4) v +( u + w ) = ( v + u )+ w, (M1) α( v + u ) = α v +α u, v + 0 = v = 0 + v, (M2) α(β v ) = (αβ) v, v +( v ) = 0, (M3) (α + β) v = α v +β v, v + u = u + v ; (M4) 1 v = v.

12 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

13 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim.

14 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni.

15 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni. Teorema Nenula vektori a i b su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.

16 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna.

17 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna. Teorema U vektorskom prostoru V 3 postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka četiri vektora su linearno zavisna. Primer Dat je paralelogram ABCD, a tačke P, Q, R, S su redom središta ivica AB, BC, CD, DA. a) Izraziti PQ +2 PS preko vektora AB i AD. b) Izraziti QS PR preko vektora AB i AD.

18 Koordinate vektora i tačaka

19 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora

20 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru.

21 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru. Primer Dat je paralelogram OABC. Tačke P i Q su središta ivica AB i BC, redom. Odrediti koordinate vektora PQ u bazi e = ( e 1, e 2 ), ako je e 1 = OA, e 2 = OC.

22 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper.

23 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. [M] Oe := [ OM] e.

24 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe.

25 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe. Koordinate vektora se dobijaju oduzimanjem koordinata tačaka: [ MN] e = [ MO + ON] e = [ ON] e [ OM] e = [N] Oe [M] Oe.

26 Skalarni proizvod

27 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u.

28 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup.

29 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup. Pomoću skalarnog proizvoda vektora mogu se računati dužine i uglovi v = v v, cos ( v, u ) = v u v u.

30 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore.

31 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3.

32 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3. Zadatak Dati su vektori v = ( 6 6, 2 2, 3 3 ) i u = ( 2 2, 6 6, 3 3 ) iz V3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: a) v ; b) ( v, u ).

33 Orjentacija u ravni i prostoru

34 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora.

35 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.

36 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije.

37 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije. Orjentacija baze prostora ( e 1, e 2, e 3 ) se odredjuje pravilom desne ruke.

38 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije.

39 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo.

40 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo. Dakle, vektori v i u prostora su linearno nezavisni ako i samo ako je v u 0.

41 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan.

42 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan. To sledi iz formule za dvostruki vektorski proizvod: v (u w) = (v w)u (v u)w.

43

44 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0

45 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0 Neka je v = v 1 e1 +v 2 e2 +v 3 e3, u = u 1 e1 +u 2 e2 +u 3 e3 v u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e 1 +(v 3 u 1 v 1 u 3 ) e 2 +(v 1 u 2 v 2 u 1 ) e 3 = e1 e 2 e3 = v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3

46 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo

47 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3.

48 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0.

49 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: Primer površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0. Odrediti površinu trougla ABC, ako je A(1, 2), B(2, 3), C( 3, 4). Da li je trougao ABC pozitivne orjentacije?

50 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka.

51 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka. Primer Da li tačka M(2, 3) pripada trouglu ABC, ako je A(1, 7), B( 3, 3), C(3, 3)?

52 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w.

53 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w.

54 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w. Tri vektora su linearno nezavisna (nekomplanarna) ako i samo ako im je mešoviti proizvod različit od nule.

55 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost).

56 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3.

57 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3. Primer Odrediti zapreminu tetraedra ABCD ako je A(1, 2, 3), B(0, 1, 1), C( 1, 2, 3), D(1, 0, 0).

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva:

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE

VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE Ivanka Milošević Univerzitet u Beogradu 1997 Predgovor Kurs MATEMATIČKA FIZIKA I prvi put sam predavala 1995/1996 godine, pri čemu sam se velikom delu držla

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Ispit iz Matematike 2

Ispit iz Matematike 2 Ispit iz Matematike 2 I grupa 1. Dato je preslikavanje H: M 2x2 M 2x2, H A = 1 2 A + AT. Pokazati da je to preslikavanje linearni operator, nadi matricu, sopstvene vrednosti i sopstvene vektore tog operatora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra

Linearna algebra Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije Računarstvo i informatika Računarska grafika Geometrijske transformacije Prof. Dr Slobodanka Đorđević - Kajan Katedra za računarstvo Elektronski fakultet Niš 1 Ciljevi Upoznati osnovne 2D geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα