Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Geometrija (I smer) deo 1: Vektori"

Transcript

1 Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013.

2 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet.

3 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB.

4 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor

5 Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo da su dve usmerene duži ekvivalentne, tj. predstavljaju isti vektor, ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Za svaku tačku A i vektor v postoji jedinstvena usmerena duž AB takva da je v = AB. Usmerenu duž AB je predstavnik vektora AB. kolinearni vektori, komplanarni vektori, nula vektor Sa V 2 označavamo skup svih vektora ravni, a sa V 3 skup svih vektora prostora. Ako nam nije važno da li radimo u ravni ili prostoru, skup vektora označavamo sa V.

6 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC.

7 Definicija (Sabiranje vektora) Neka je v = AB, u = BC. Zbir vektora v i u je vektor v + u := AC. Definicija (Množenje vektora skalarom (brojem)) Neka je α R broj i v V vektor. Proizvod α v broja i vektora je vektor u koji ima: (P) isti pravac kao vektor v ; (I) intenzitet u = α v ; (S) smer vektora u je isti kao smer vektora v ako α > 0, a suprotan ako α < 0.

8 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u.

9 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora.

10 Razlika dva vektora v u := v +( 1) u je zbir vektora v i vektora 1 u, suprotnog vektoru u. Ako su α 1,..., α n R brojevi, a v 1,..., v n vektori, tada se izraz α 1 v1 + + α n vn naziva linearna kombinacija vektora. Primer Vektori v = AB, u = CD su zadati svojim predstavnicima (na papiru). Odrediti predstavnika vektora v 2 u.

11 Skup V svih vektora (ravni ili prostora) je vektorski prostor u smislu Linearne algebre, tj. važi Teorema Ako su v, u, w V vektori, a α, β R realni brojevi tada važi: (S1) (S2) (S3) (S4) v +( u + w ) = ( v + u )+ w, (M1) α( v + u ) = α v +α u, v + 0 = v = 0 + v, (M2) α(β v ) = (αβ) v, v +( v ) = 0, (M3) (α + β) v = α v +β v, v + u = u + v ; (M4) 1 v = v.

12 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

13 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim.

14 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni.

15 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz relacije α 1 a1 + + α n an = 0 sledi α 1 = = α n = 0. U suprotnom, kada je bar jedan od brojeva α i različit od nule vektori se nazivaju linearno zavisnim. Primer Vektori odredjeni stranicama trougla su linearno zavisni. Teorema Nenula vektori a i b su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.

16 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna.

17 Teorema U vektorskom prostoru V 2 postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora su linearno zavisna. Teorema U vektorskom prostoru V 3 postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka četiri vektora su linearno zavisna. Primer Dat je paralelogram ABCD, a tačke P, Q, R, S su redom središta ivica AB, BC, CD, DA. a) Izraziti PQ +2 PS preko vektora AB i AD. b) Izraziti QS PR preko vektora AB i AD.

18 Koordinate vektora i tačaka

19 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora

20 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru.

21 Koordinate vektora i tačaka baza i dimenzija vektorskog prostora Neka je e = ( e 1, e 2 ) neka baza vektora ravni. Ako za neki vektor v važi v = v1 e1 +v 2 e2 tada kažemo da su (v 1, v 2 ) koordinate vektora v u bazi e i pišemo [ v ] e = (v 1, v 2 ). Slično je u prostoru. Primer Dat je paralelogram OABC. Tačke P i Q su središta ivica AB i BC, redom. Odrediti koordinate vektora PQ u bazi e = ( e 1, e 2 ), ako je e 1 = OA, e 2 = OC.

22 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper.

23 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. [M] Oe := [ OM] e.

24 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe.

25 Neka je e baza vektorskog prostora i O fiksirana tačka. Tada se Oe naziva koordinatni sistem ili reper. Definicija Koordinate tačke M reperu Oe definišemo kao koordinate vektora OM u bazi e, tj. Primer [M] Oe := [ OM] e. Neka je OABC paralelogram, i neka je e = ( OA, OB) baza. Odrediti koordinate temena paralelograma u reperu Oe. Koordinate vektora se dobijaju oduzimanjem koordinata tačaka: [ MN] e = [ MO + ON] e = [ ON] e [ OM] e = [N] Oe [M] Oe.

26 Skalarni proizvod

27 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u.

28 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup.

29 Skalarni proizvod Definicija Skalarni proizvod vektora je preslikavanje koje dvama vektorima dodeljuje broj v u := v u cos φ gde je φ [0, π) (neorjentisani) ugao izmedju vektora v i u. Znak skalarnog proizvoda nam govori da li je ugao medju vektorima oštar, prav ili tup. Pomoću skalarnog proizvoda vektora mogu se računati dužine i uglovi v = v v, cos ( v, u ) = v u v u.

30 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore.

31 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3.

32 Ortonormirana baza je ona baza čiji su svi vektori medjusobno ortogonalni i jedinični, tj. Dakle, baza e = ( e 1,..., e n ) ortonormirana ako važi e i e i = 1 za iste vektore i e i e j = 0 za različite vektore. Odatle sledi da je skalarni proizvod vektora v = v 1 e1 +v 2 e2 i u = u 1 e1 +u 2 e2 datih u ortonormiranoj bazi jednak v u = v1 u 1 + v 2 u 2. U prostoru važi slična formula v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3. Zadatak Dati su vektori v = ( 6 6, 2 2, 3 3 ) i u = ( 2 2, 6 6, 3 3 ) iz V3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: a) v ; b) ( v, u ).

33 Orjentacija u ravni i prostoru

34 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora.

35 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu.

36 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije.

37 Orjentacija u ravni i prostoru Orjentaciju uvodimo intuitivno. Šta je pozitivna, a šta negativna orjentacija je stvar dogovora. Trougao ABC u ravni je pozitivne orjentacije ako je smer obilaska njegovih temena suprotan smeru kretanja kazaljke na satu. Baza ravni ( OA, OB) je pozitivne orjentacije, ako je trougao OAB pozitivne orjentacije. Orjentacija baze prostora ( e 1, e 2, e 3 ) se odredjuje pravilom desne ruke.

38 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije.

39 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo.

40 Vektorski proizvod Definicija Vektorski proizvod je operacija koja dvama vektorima prostora v i u dodeljuje vektor v u kome su intenzitet, pravac i smer odredjeni sa: (I) v u = v u sin φ, gde je φ ugao izmedju v i u. (P) vektor v u je normalan na svaki od vektora v i u. (S) smer vektora v u je takav da je baza ( v, u, v u ) pozitivne orjentacije. Primetimo da je na osnovu (I) intenzitet vektorskog proizvoda jednak površini paralelograma razapetog vektorima koje množimo. Dakle, vektori v i u prostora su linearno nezavisni ako i samo ako je v u 0.

41 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan.

42 Teorema (osobine vektorskog proizvoda) Za vektore v, u, w prostora i brojeve α, β R važi: 1) v u = u v (antisimetričnost), 2) (α v +β u ) w= α( v w) + β( u w) (linearnost), Primetimo da vektorski proizvod nije komutativan, već antikomutativan. Vektorski proizvod nije ni asocijativan. To sledi iz formule za dvostruki vektorski proizvod: v (u w) = (v w)u (v u)w.

43

44 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0

45 Za ortonormiranu bazu e = ( e 1, e 2, e 3 ) pozitivne orjentacije važe sledeći proizvodi e 1 e2 e3 e 1 0 e3 e 2 e 2 e 3 0 e1 e 3 e2 e 1 0 Neka je v = v 1 e1 +v 2 e2 +v 3 e3, u = u 1 e1 +u 2 e2 +u 3 e3 v u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e 1 +(v 3 u 1 v 1 u 3 ) e 2 +(v 1 u 2 v 2 u 1 ) e 3 = e1 e 2 e3 = v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3

46 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo

47 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3.

48 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0.

49 Neka su A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) i C(c 1, c 2 ) tačke ravni. Ako stavimo da je treća koordinata tih tačaka jednaka 0, dobijamo AB AC= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e 3 =: D ABC e3. Lako se proverava da važi: Primer površina trougla ABC je P ABC = 1 2 D ABC. tačke A, B, C ravni su kolinearne ako i samo ako D ABC = 0. trougao ABC je pozitivne orjentacije ako D ABC > 0. Odrediti površinu trougla ABC, ako je A(1, 2), B(2, 3), C( 3, 4). Da li je trougao ABC pozitivne orjentacije?

50 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka.

51 Teorema Tačka M pripada trouglu ABC ako i samo ako su D ABM, D BCM i D CAM istog znaka. Primer Da li tačka M(2, 3) pripada trouglu ABC, ako je A(1, 7), B( 3, 3), C(3, 3)?

52 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w.

53 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w.

54 Mešoviti proizvod Definicija Mešoviti proizvod je operacija koja trima vekorima prostora dodeljuje broj [ v, u, w] := ( v u ) w. Teorema Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda [ v, u, w] jednaka je površina paralelepipeda odredjenog vektorima v, u, w. Tri vektora su linearno nezavisna (nekomplanarna) ako i samo ako im je mešoviti proizvod različit od nule.

55 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost).

56 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3.

57 Teorema (osobine mešovitog proizvoda) Za vektore v, u, w, t V 3 i α, β R važi: 1) [ v, u, w] = [ u, v, w], 2) [ v, u, w] = [ u, w, v ] = [ w, v, u ], 3) [α v +β u, w, t ] = α[ v, w, t ] + β[ u, w, t ] (linearnost). U ortonormiranoj bazi pozitivne orjentacije, mešoviti proizvod se računa pomoću determinante: [ v, u, w] v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3 w 1 w 2 w 3. Primer Odrediti zapreminu tetraedra ABCD ako je A(1, 2, 3), B(0, 1, 1), C( 1, 2, 3), D(1, 0, 0).

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OKRU@NO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 19.04.008 IV RAZRED 1. Tri prijateqa, Milo{, Uro{ i Jano{, poklonili su

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT 011. Edicija: Pomoæni ud benici Marjan

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011.

DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 2010/2011. Beograd, 2011. DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQENjA SREDNjOXKOLACA 010/011. Beograd, 011. Organizacioni odbor 53. Drжavnog takmiqenja iz matematike 1. Profesor dr Zoran Kadelburg, predsednik DMS. Marko Radovanovi,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT OASDSP : 7 FFT Dkompozicija DFT Brzi algoritmi a bazi radix- Brza Furijova trasofrmacija Tačost izračuavaja Komplksa FFT ovi Sad, Oktobar 5 straa OASDSP : 7 FFT Brza trasformacija : itrativa dkompozicija

Διαβάστε περισσότερα

Jul 2007 ZA KANALIZACIONE I DRENAŽNE SISTEME, ZA KOMUNALNU I INDUSTRIJSKU NAMENU. Inteligentna rešenja u niskogradnji

Jul 2007 ZA KANALIZACIONE I DRENAŽNE SISTEME, ZA KOMUNALNU I INDUSTRIJSKU NAMENU. Inteligentna rešenja u niskogradnji Jul 7 Sistem PVCU kanalizacije Proizvodni program ZA KANALIZACIONE I DRENAŽNE SISTEME, ZA KOMUNALNU I INDUSTRIJSKU NAMENU Inteligentna rešenja u niskogradnji Sistem PVCU kanalizacije Sadržaj Sadržaj PVC

Διαβάστε περισσότερα

Dve karakteristike čine relacioni model još uvek najpopularnijim i najšire primenjivanim:

Dve karakteristike čine relacioni model još uvek najpopularnijim i najšire primenjivanim: RELACIONI MODEL RELACIONI MODEL Dve karakteristike čine relacioni model još uvek najpopularnijim i najšire primenjivanim: Struktura modela je veoma jednostavna, prihvatljiva svakom korisniku, jer relaciona

Διαβάστε περισσότερα