Analitička geometrija
|
|
- Κύρα Βαρνακιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i b je a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3. Vektori a i b su ortogonalni ako je a b = 0. Vektorski proizvod vektora a i b, u oznaci a b, je vektor a b = a 1 a a 3 b 1 b b 3. Vektorski proizvod dva vektora je nula vektor ako i samo ako su vektori kolinearni. Intenzitet vektorskog proizvoda a b jednak je površini paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b. Mešoviti proizvod vektora a, b i c, u oznaci [a, b, c], je a 1 a a 3 [a, b, c] = b 1 b b 3 c 1 c c 3. Mešoviti proizvod tri vektora je nula ako i samo ako su vektori komplanarni. Mešoviti proizvod tri vektora po apsolutnoj vrednosti jednak je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad ovim vektorima. Neka je n = (A, B, C) vektor normale ravni α, a M(x 1, y 1, z 1 ) jedna tačka u ravni. Skalarni oblik jednačine ravni je α : A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. Ako su M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M (x, y, z ) i M 3 (x 3, y 3, z 3 ) tri nekolinearne tačke, jednačina ravni koju one odred uju je x x 1 y y 1 z z 1 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0.
2 Neka je p = (l, m, n) vektor pravca prave p, a M(x 1, y 1, z 1 ) jedna tačka na pravoj. Simetrični oblik jednačine prave je p : x x 1 l a parametarske jednačine prave p su = y y 1 m = z z 1 n, x = x 1 + tl, y = y 1 + tm, z = z 1 + tn. Ako su M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i M (x, y, z ) dve date tačke, jednačina prave koju one odred uju je x x 1 = y y 1 = z z 1. x x 1 y y 1 z z 1 Zadaci 1. Dati su vektori a = (1, 1, 1), b = (, 1, ) i c = (1, 1, ). a) Razložiti vektor c po vektorima a, b i a b. b) Odrediti ugao koji vektor c gradi sa ravni koju odred uju vektori a i b. Rešenje: a) Odredićemo vektorski proizvod vektora a i b: a b = = i 1 1 j k = i + k = (1, 0, 1). Da bismo razložili vektor c po vektorima a, b i a b, treba da odredimo koeficijente α, β i γ u jednakosti αa + βb + γ(a b) = c, tj. Sada je α(1, 1, 1) + β(, 1, ) + γ(1, 0, 1) = (1, 1, ). (α β + γ, α β, α + β + γ) = (1, 1, ),
3 3 odakle dobijamo sistem linearnih jednačina α β + γ = 1, α β = 1, α + β + γ =. Rešavanjem sistema dobijamo α = 3/, β = 1/, γ = 3/, pa je c = 3 a 1 b + 3 (a b). b) Vektor normale ravni koju odred uju vektori a i b je n = a b = (1, 0, 1). Označimo sa φ ugao izmed u vektora n i c. Tada je cos φ = n c 3 n c =, odakle je φ = π/6. Kako je traženi ugao komplementan uglu φ, to je on jednak π/3.. Dati su vektori a = (1, 1, 1), b = (0,, 0), p = αa + 5b i q = 3a b. Odrediti vrednost parametra α R tako da su vektori p i q : a) ortogonalni; b) paralelni. Rešenje: a) Uslov ortogonalnosti izražava se preko skalarnog proizvoda p q p q = 0. (0.1) Koristeći osobine skalarnog proizvoda, gornja jednakost postaje p q = 0 (αa + 5b) (3a b) = 0 Zamenom vrednosti skalarnih proizvoda 3αa a + (15 α)a b 5b b = 0. a a = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 3, a b = b a = (1, 1, 1) (0,, 0) =, b b = (0,, 0) (0,, 0) = 4,
4 4 uslov ortogonalnosti (0.1) svodi se na jednačinu što daje α = 10/7. 9α + (15 α) 0 = α = 0 b) Paralelnost vektora je kolinearnost vektora, tj. uslov paralelnosti vektora p i q izražava se sa p q p = λq, za neko λ R. (0.) Prelaskom na izraze za p i q po vektorima a i b, uslov paralelnosti (0.) postaje αa + 5b = λ(3a b) (α, 10 + α, α) = (3λ, λ, 3λ). Izjednačavanjem odgovarajućih koordinata ured enih trojki dolazimo do sistema jednačina { α = 3λ, čije je rešenje λ = 5, α = α = λ, 3. Odrediti mešoviti proizvod vektora a = (1, 0, ), b = (0,, 1), c = (1,, 3). Rešenje: [ a, b, c ] = a (b c) = = Dati su vektori a = (1,, 3), b = (,, 1) i c = ( 1,, 1). Izračunati površinu paralelograma nad vektorima a i b i zapreminu paralelopipeda odred enog vektorima a, b i c. Rešenje: Površina paralelograma: Zapremina paralelopipeda: s obzirom da je P a,b = a b = ( 4, 5, ) = 3 5.
5 5 onda je [a, b, c] = = 4, V a,b,c = [a, b, c] = Data je tačka M = (5, 1, ). Neka su M 1, M i M 3 projekcije tačke M na koordinatne ravni. Odrediti površinu trougla M 1 M M 3. Rešenje: Neka je M 1 projekcija tačke M na koordinatnu ravan xoy, M na xoz i M 3 na yoz. Njihove koordinate tada glase M 1 = (5, 1, 0), M = (5, 0, ), M 3 = (0, 1, ). Kako je gde su P M1 M M 3 = P ( M 1 M, M 1 M 3 ) = 1 M 1 M M 1 M 3, M 1 M = M M 1 = (5, 0, ) (5, 1, 0) = (0, 1, ), M 1 M 3 = M 3 M 1 = (0, 1, ) (5, 1, 0) = ( 5, 0, ) i M 1 M M 1 M 3 = = i 10j + 5k = (, 10, 5), M 1 M M 1 M 3 = = 19, onda je tražena površina P M1 M M 3 = 1 19.
6 6 6. Date su prave p 1 i p jednačinama p 1 : { x y z + 8 = 0, 5x + y + z + 10 = 0 i p : { x + y + z = 0, x + y 3z + 9 = 0. Ako je M tačka njihovog preseka i M 1, M i M 3 njene projekcije na koordinatne ose, odrediti zapreminu tretraedra OM 1 M M 3 i površinu trougla M 1 M M 3. Rešenje: Kako tačka M pripada svakoj od date četiri ravni, to njene koordinate zadovoljavaju sve četiri linearne jednačine. Rešavanjem sistema linearnih jednačina dobijamo M( 3, 3, ). Projekcije tačke M na x osu, y osu i z osu su redom M 1 ( 3, 0, 0), M (0, 3, 0), M 3 (0, 0, ). Zapremina dobijenog tetraedra se jednostavno računa Kako je to je V = = 3. M 1 M = (3, 3, 0), M 1 M M 1 M 3 = odakle dobijamo traženu površinu P = 1 (6, 6, 9) = 1 M 1 M 3 = (3, 0, ), = (6, 6, 9), = Odrediti tačku B simetričnu tački A (0,-4,-7) u odnosu na pravu (p) : { x + 3y z + 1 = 0, x y + z 3 = 0. Rešenje: I način: Označimo (β) : x + 3y z + 1 = 0 i (γ) : x y + z 3 = 0 ravni čijim presekom je definisana prava p. Neka su odgovarajući vektori normala ovih ravni označeni redom sa n β = (1, 3, ) i n γ = (, 1, 1). Kako je B tačka simetrična tački A u odnosu na pravu p, to je duž AB normalna na pravu p i prava p polovi duž AB. Označimo sa M = p AB sredinu duži AB.
7 Postavimo ravan α kroz tačku A ortogonalno na pravu p. To znači da je vektor normale n α ravni α proizvoljan vektor koji je kolinearan sa vektorom pravca prave p, dakle ortogonalan na vektore n β i n γ. Tako možemo uzeti n α = n β n γ = = i 5j 7k = (1, 5, 7). Ravan α sa vektorom normale n α = (1, 5, 7) i jednom tačkom A = (0, 4, 7) zadata je jednačinom (α) : x 5(y + 4) 7(z + 7) = 0 x 5y 7z 69 = 0. Tačka M biće prodor prave p kroz ravan α, tj. rešenje sistema jednačina { x =, x + 3y z + 1 = 0, y = 5, x y + z 3 = 0, x 5y 7z 69 = 0 z = 6, pa je M = (, 5, 6). Koordinate tačke B nalazimo iz uslova AB = AM, tj. B = M A = (, 5, 6) (0, 4, 7) = (4, 6, 5). II način: Neka je M p ponovo sredina duži AB. Da bismo opisali koordinate tačke M neophodno je opisati koordinate tačaka prave p. Za to nam je potrebna jednačina prave u simetričnom obliku. { x + 3y z + 1 = 0, (p) : x y + z 3 = 0 (p) : x 1 = y 5 5 = z 8 7. Podaci o pravoj p iz simetričnog oblika jednačine su: koordinate (0,5,8) jedne tačke sa prave, vektor pravca p = (1, 5, 7) prave p. Dakle, x = y 5 5, x = z 8 7 M = (0, 5, 8) + t(1, 5, 7) = (t, 5 5t, 8 7t), za neko t R. 7
8 8 Vrednost t dobijamo iz uslova ortogonalnosti AM p, odnosno AM p = 0, AM = (t, 5 5t, 8 7t) (0, 4, 7) = (t, 9 5t, 15 7t) (t, 9 5t, 15 7t) (1, 5, 7) = 0 t 5(9 5t) 7(15 7t) = 0 t = M = (, 5, 6). Pa je ponovo B = M A = (4, 6, 5). x 1 8. Data je tačka A(1, 1, ), prava p : = y 1 = z 3 i ravan α : x + y + 1 3z = 11. Odrediti tačke B i C koje su simetrične tački A u odnosu na pravu p i ravan α redom. Rešenje: Prvo ćemo odrediti koordinate tačke B. Postavićemo ravan π koja sadrži tačku A i normalna je na pravu p. Jednačina ravni π je tj. (x 1) 1(y 1) + 1(z + ) = 0, π : x y + z + 1 = 0. Sada ćemo odrediti tačku prodora prave p kroz ravan π. Kako su parametarske jednačine prave p x = t + 1, y = t, z = t + 3, to zamenom u jednačini ravni π dobijamo (t + 1) + t + t = 0, odakle je t = 1, pa je presečna tačka S( 1, 1, ). Dalje, neka je B(x, y, z). Kako je tačka S sredina duži AB, to važi x + 1 = 1, y + 1 = 1, z =, odakle je x = 3, y = 1, z = 6. Dakle, tražena tačka je B( 3, 1, 6). Postavićemo pravu s koja sadrži tačku A i normalna je na ravan α. Njena jednačina je x 1 s : 1 Ako parametarske jednačine prave s = y 1 = z + 3.
9 9 x = t + 1, y = t + 1, z = 3t, zamenimo u jednačini ravni α dobijamo t = 1, pa je presečna tačka M(, 3, 1). Neka je C(x, y, z). Kako je tačka M sredina duži AC, to je x + 1 =, y + 1 = 3, z = 1, pa je x = 3, y = 5, z = 4. Dakle, tražena tačka je C(3, 5, 4). 9. Date su prave p : { x y = 9, x y z = 4 i q : x 1 = y + 3 m = z 4. Odrediti vrednost parametra m R tako da je prava q: a) paralelna pravoj p; b) normalna na pravu p. Rešenje: Vektor pravca prave p je p = 1 0 = (1,, 1) a) Iz uslova kolinearnosti vektora pravaca pravih p i q imamo odakle je α =, pa je m = 4. (, m, ) = α(1,, 1) = (α, α, α), b) Iz uslova normalnosti vektora pravaca pravih p i q je (, m, ) (1,, 1) = 0, odakle je m = 4, pa je m =. Ostaje da proverimo da li se prave p i q seku. Neka je tačka A(9/, 0, 1/) proizvoljna tačka sa prave p, a B(1, 3, 4) tačka sa prave q. Tada je AB = ( 7/, 3, 7/), pa je = 0.
10 Date su ravan (α) : x + y + z = 7 i prave { x + 3y + z + 15 = 0, (q) : i (r) : x + y z + 3 = 0, x + 3 = y 1 = z 3. Odrediti jednačinu prave p koja je paralelna pravoj q i sadrži zajedničku tačku prave r i ravni α. Rešenje: Odredimo najpre presečnu tačku R prave r i ravni α. Ona je jedinstveno rešenje sistema Eliminacijom nepoznatih dobijamo x + y + z = 7, x + 3 = y 1 = z 3, tj. x + y + z = 7, x = 3y y = z 3, R = (7, 3, 3). Iz uslova paralelnosti pravih p i q odred ujemo vektor pravca p tražene prave p. p je kolinearan sa vektorm pravca prave q, te je i p ortogonalan na vektore normala ravni u čijem preseku se nalazi prava q. Označimo vektore normala tih ravni sa n α = (1, 3, 1), n β = (1, 1, 1). Za vektor pravca p onda možemo uzeti bilo koji vektor kolinearan vektorskom proizvodu n α n β : n α n β = = 4i + j k = ( 4,, ). Za vektor pravca p možemo uzeti p = (, 1, 1) = 1 ( 4,, ). Jednačina tražene prave p kroz tačku R = (7, 3, 3) i vektorom pravca (, 1, 1) je tada (p) : x 7 = y 3 1 = z
11 x 11.Data je tačka M( 1,, 1), prava p : 1 = y 1 = z + 1 i ravan α : x+y z = 3. 1 Odrediti tačke P i Q koje su ortogonalne projekcije tačke M na pravu p i ravan α redom, a zatim izračunati površinu trougla MP Q. Rešenje: Postavićemo ravan β koja sadrži tačku M i normalna je na pravu p. Dakle, β : x + y + z = 0. Parametarske jednačine prave p su x = t, y = t, z = t 1, pa zamenom u jednačini ravni β dobijamo t = 1, te je P (1, 1, 0). Postavićemo pravu q koja sadrži tačku M i normalna je na ravan α. Dakle, tj. q : x = y = z 1 1, q : x = t 1, y = t +, z = t + 1. Zamenom ovih izraza u jednačini ravni α dobijamo t = 5/6, pa je tražena tačka Q( 11/6, 1/3, 11/6). Dalje je pa je MP = (, 1, 1), MP MQ = = 3 6 odakle dobijamo traženu površinu P = 1 ( 5, 5 6, 5 6 ( MQ = 5 6, 5 3, 5 ), 6 ( 5 ), 5 6, 5, 6 ) = x 1. Data je tačka A(1, 1, 1) i prava p : 1 = y 0 = z. Odrediti tačku B simetričnu 1 tački A u odnosu na pravu p. Na pravoj p odrediti tačku C tako da trougao ABC bude jednakostraničan.
12 1 Rešenje: Postavićemo ravan α koja sadrži tačku A i normalna je na pravu p. Dakle, α : x z = 0. Parametarske jednačine prave p su x = t, y = 0, z = t, pa zamenom u jednačini ravni α dobijamo t = 0, te je P (0, 0, 0). Neka je B(x, y, z). Kako je tačka P sredina duži AB, to važi x + 1 = 0, y + 1 = 0, z + 1 = 0, odakle je x = 1, y = 1, z = 1. Dakle, tražena tačka je B( 1, 1, 1). Koordinate tačke C(t, 0, t) ćemo naći iz uslova Odavde sledi d(a, B) = d(a, C) = d(b, C). 3 = (t 1) ( t 1) = (t + 1) ( t + 1), pa je t +3 = 1, odnosno t = 3/ ili t = 3/. Dakle, imamo dve mogućnosti za tačku C: ( ) ) C 1, 0,, C (, 0,. 13. Na pravoj (p) : { 3x + y 6 = 0, x + z = 0, odrediti tačku C jednako udaljenu od tačaka A( 1, 3, 1) i B = (3, 1, 1). Rešenje: I način: Za opis tačaka prave p pogodna je jednačina prave u simetričnom obliku. { 3x + y 6 = 0, x = y 6 (p) : x + z = 0, 3, x = z x 1 = y 3 3/ = z 1 1/. 1 Iz simetričnog oblika jednačine prave p saznajemo vektor pravca (1,-3/,-1/) i jednu tačku (0,3,1) sa prave. To znači da su sve tačke prave p oblika
13 P = (0, 3, 1) + t(1, 3/, 1/) = (t, 3 3t/, 1 t/), t R. (0.3) Tako i tražena tačka C p ima koordinate oblika za neku konkretnu vrednost t R. C = (t, 3 3t/, 1 t/) = ( t, 6 3t CA== OA OC = A C =( 1, 3, 1) ( t, 6 3t = ( t 1, 3t 6, t ), CB== OB OC = B C =(3, 1, 1) ( t, 6 3t = ( 3 t, 3t, t )., t, t ) ), t ) Koordinate tačke C slede iz uslova jednake udaljenosti C od tačaka A i B : CA = CB CA = CB (t + 1) + (6 3t/) + (t/) = (t 3) + ( 3t/) + (t/). Sred ivanjem poslednjeg izraza prethodnu jednačinu svodimo na 4t = 4. Tražena tačka C dobija se iz (0.3) za vrednost parametra t = 6 i glasi C = (6, 6, ). II način: Sve tačke X = (x, y, z) jednako udaljene od tačaka A i B leže u ravni α koja je normalna na duž AB i polovi je (simetralna ravan duži AB). Jednačinu simetralne ravni α možemo dobiti iz uslova jednake udaljenosti tačke X od tačaka A i B : α : AX = BX (1 + x) + (3 + y) + (1 z) = (3 x) + (1 y) + (1 z) x + y = 0. Tražena tačka C biće prodor prave p kroz ravan α, tj. koordinate tačke C biće rešenja sistema jednačina 3x + y 6 = 0, y = x, x + z = 0, 3x x 6 = 0, x + y = 0. z = x. 13
14 14 Tako ponovo dolazimo do rezultata C = (6, 6, ). 14. Naći tačku M u ravni α : x + y + 3z + 4 = 0 koja je najbliža koordinatnom početku O(0, 0, 0), a zatim odrediti rastojanje izmed u tačaka O i M. Rešenje: Tačka M je ortogonalna projekcija tačke O na ravan α. Jednačina prave p koja je normalna na ravan α i sadrži koordinatni početak je p : Parametarske jednačine prave p su x 1 = y = z 3. x = t, y = t, z = 3t. Kada ove izraze zamenimo u jednačini ravni α dobijamo 14t + 4 = 0, odakle je t = /7. Dakle, tražena tačka je M( /7, 4/7, 6/7). Konačno je 4 d(o, M) = = Date su prave p : x 1 = y 1 = z i q : { x + 3y = 4, x + 3y + 3z =. a) Dokazati da se prave p i q seku i odrediti zajedničku tačku. b) Odrediti jednačinu ravni odred enu pravama p i q. Rešenje: Vektor pravca prave q je q = = (9, 3, 3). 3 3 Ako u jednačinama ravni u čijem se preseku nalazi prava q stavimo y = 0, dobijamo x = 4, z =. Dakle, jedna tačka na pravoj q je (4, 0, ), pa je simetrični oblik prave
15 x 4 q : = y 9 3 = z + 3. a) Neka je A(0,, 1) proizvoljna tačka sa prave p, a B(4, 0, ) neka tačka sa prave q. Onda je AB = (4,, 1). Kako je = 0, sledi da se date prave seku. Odredimo presečnu tačku P. Parametarske jednačine prave p su x = t, y = t +, z = 1, a prave q x = 9s + 4, y = 3s, z = 3s. Za zajedničku tačku je s = 1/3, pa je P (1, 1, 1). b) Budući da se prave p i q seku, to one odred uju ravan α. Vektor normale ove ravni je n = = (3, 3, 6) Jednačina ravni α je tj. 3x + 3(y ) + 6(z + 1) = 0, α : x + y + z = Odrediti tačke na pravoj p : { x y + z =, x z = 0, koje su na rastojanju od koordinatnog početka. Rešenje: Parametarske jednačine prave p su x = t, y = 3t, z = t. Sada je t + (3t ) + 4t =, odakle je t 1 = 0, t = 6/7. Tražene tačke su A 1 (0,, 0) i A (6/7, 4/7, 1/7).
16 Date su prave p : { x + 3y + z + 6 = 0, y + z + 3 = 0 i q : x 1 = y + 3 = z 1 3. Odrediti jednačinu ravni α koja sadrži pravu p i paralelna je sa q i jednačinu ravni β koja sadrži pravu p i normalna je na ravan α. Rešenje: Vektor pravca prave p je p = = (, 1, 1), a prave q je q = (1,, 3). Vektor normale ravni α je n α = 1 1 = ( 5, 5, 5), 1 3 jedna tačka sa prave p, a time i ravni α, je P ( 3, 0, 3), pa je jednačina ravni α : x + y z = 0. Vektor normale ravni β je n β = p n α = 1 1 = (0, 3, 3), pa je jednačina ravni β : y + z + 3 = Date su ravni (α) : 4x y + 3z 1 = 0 i (β) : x 5y z = 0. Odrediti jednačinu ravni γ koja sadrži koordinatni početak i presek ravni α i β.
17 17 Rešenje: Odredimo najpre presek ravni α i β, tj. rešenje sistema { 4x y + 3z = 1, x 5y z = Presek ravni α i β predstavlja prava { 19y + 7z = 7, 7x 16y = 7 y = 7 7z 19 y = 7x 7 16 = z /7, = x 1 16/7. a : x 1 16/7 = y 1 = z /7 x 1 = y 16 7 = z , sa komponentama: jedna tačka sa prave je A = (1, 0, 1), vektor pravca prave je a = (16, 7, 19). Koordinatni početak O = (0, 0, 0) i tačaka A pripadaju ravni γ. Za treću tačku ravni γ možemo uzeti joňeku tačku prave a, npr. B = A + a = (17, 7, 0). Jednačina tražene ravni γ je tada [ OX, OA, OB ] = 0, gde je X = (x, y, z), ili u skalarnom obliku x y z = (γ) : 7x + 3y + 7z = Date su prave p 1 : x 4 = y 1 = z 3 i p : { x y z = 5, 3y + z = 0. Odrediti površinu trougla koji obrazuju delovi pravih p 1 i p i x ose, kao i jednačinu ravni kojoj pripada taj trougao. Rešenje: Tačka preseka prave p 1 i x ose je P 1 (, 0, 0), a tačka preseka prave p i x ose je P (5, 0, 0). Tačka preseka pravih p 1 i p je P 3 (6, 1, 3). Kako je P 1 P = (3, 0, 0), P 1 P 3 = (4, 1, 3),
18 18 to je Površina trougla P 1 P P 3 je n = P 1 P P 1 P 3 = a jednačina ravni koja sadrži trougao je = (0, 9, 3) P = 1 (0, 9, 3) = 3 10, 3y + z = Naću ugao izmed u ravni koja sadrži tačke M 1 (0, 0, 0), M (,, 0), M 3 (,, ) i Oxy ravni. Rešenje: Kako je M 1 M = (,, 0), M 1 M 3 = (,, ), to je vektor normale ravni α koja sadrži date tačke jednak n = 0 = ( 4, 4, 8). Jednačina ravni je α : x + y z = 0. Neka je φ traženi ugao. Ugao φ jednak je uglu izmed u vektora normala ravni α i Oxy ravni. Kako je vektor normale Oxy ravni k = (0, 0, 1), to je cos φ = n k n k = 8 = 96 3, pa je φ = arccos /3. 1. Data je tačka A(1,, 3). Ako su A 1, A i A 3 projekcije tačke A na koordinatne ravni Oxy, Oxz i Oyz redom, odrediti jednačinu ravni odred ene tačkama A 1, A i A 3 i rastojanje tačke A od te ravni.
19 19 Rešenje: Odredimo najpre ravan α odred enu projekcijama A 1, A i A 3 : A 1 = (1,, 0), A = (1, 0, 3), A 3 = (0,, 3); X = (x, y, z), [ (α) : A 1 X, A 1 A, ] A 1 A 3 = 0 x 1 y z = 0 6(x 1) + 3(y ) + z = 0. Rastojanje tačke A od ravni α iznosi d(a, α) = 6(1 1) + 3( ) + (3 0) = Odrediti jednačinu ravni α koja na koordinatnim osama odseca segmente, 1 i 3. U ravni α odrediti tačku A koja je najbliža tački A( 1, 7, 1) kao i rastojanje izmed u tačaka A i A. Rešenje: Ravan α koja na koordinatnim osama odseca segmente, 1 i 3 ima jednačinu (segmentni oblik jednačine ravni) (α) : x + y 1 + z = 1. (0.4) 3 Najbliža tačka A u ravni α nalazi se u preseku ravni α i normale p postavljene na ravan α iz tačke A. Odredimo najpre normalu p. Njen vektor pravca je kolinearan sa vektorom normale n α = ( 1, 1, 1 3 ) ravni α, i p sadrži tačku A( 1, 7, 1). Tada je simetrični oblik jednačine prave p (p) : x + 1 1/ = y 7 = z /3. (0.5) Koordinate tačke A dobijamo rešavanjem sistema jednačina odred enog sa (0.4) i (0.5) A : x + y 1 + z 3 = 1, x + 1 1/ = y 7 = z /3, x = 6 49, y = 11 49, z =
20 0 Rastojanje izmed u tačaka A i A je d(a, A ) = A A = (111/49, /49, 74/49) = 37/7. 3. Data je ravan α : x + y 3z = 14. a) Odrediti tačku O simetričnu tački O(0, 0, 0) u odnosu na ravan α. b) Odrediti jednačinu prave p simetrične x osi u odnosu na ravan α. Rešenje: a) Jednačina prave koja je normalna na ravan α i sadrži tačku O glasi a u parametarskom obliku q : x = y 1 = z 3, x = t, y = t, z = 3t, pa zamenom u jednačini ravni α dobijamo t = 1. Dakle, presečna tačka ravni α i prave q je P (, 1, 3). Neka je O (x, y, z). Kako je tačka P sredina duži OO, to je 0 + x =, 0 + y = 1, 0 + z = 3, odakle je O (4,, 6). b) Jednačina x ose je a u parametarskom obliku x 1 = y 0 = z 0, x = t, y = 0, z = 0. Tačka preseka x ose i ravni α je A(7, 0, 0), a to je ujedno i jedna tačka na pravoj p. Da bismo odredili pravu p, neophodna nam je još jedna tačka sa prave p. Kako tačka O pripada x osi, to će tačka O pripadati pravoj p. Dakle, prava p je odred ena tačkama A i O i njena jednačina je p : x 7 3 = y = z 6.
21 1 4. Date su prave p 1 : { x y z 7 = 0, 3x 4y 11 = 0 i p : { x + y z 1 = 0, x + y + 1 = 0. Dokazati da se prave p 1 i p seku i odrediti jednačinu ravni koja ih sadrži. Rešenje: Vektor pravca prave p 1 je p 1 = (4, 3, 1), a prave p je p = (1, 1, 1). Neka je P 1 (0, 11/4, 17/4) proizvoljna tačka sa prave p 1, a P (0, 1, 3) neka tačka sa prave p. Prave p 1 i p se seku ako i samo ako je mešoviti proizvod vektora p 1, p i P 1 P jednak nuli. Kako je P 1 P = (0, 7/4, 5/4), to je [p 1, p, P 1 P ] = = 0, te se prave seku i odred uju ravan α. Vektor normale ove ravni je n = = (, 5, 7), pa je jednačina ravni (x 0) + 5(y + 1) 7(z + 3) = 0, 5 4 tj. α : x + 5y 7z 16 = Odrediti jednačinu ravni α koja sadrži presek ravni x + y + 3z 4 = 0 i 3x + z 5 = 0 i na pozitivnom delu koordinatne ose Oy odseca odsečak jednak 1/. Rešenje: Tražena ravan α odseca na pozitivnom delu y ose odsečak dužine 1/. To znači da tačka A = (0, 1/, 0) pripada ravni α. Uvedimo oznake ravni (β) : x + y + 3z 4 = 0, (γ) : 3x + z 5 = 0, i neka je p presečna prava ovih ravni. Jednačina prave p u simetričnom obliku tada glasi:
22 { x + y + 3z 4 = 0, x = y + 11/, (p) : 4 3x + z 5 = 0, x = z 5 3, x (p) : 1 = y + 11/ = z (0.6) Iz (0.6) čitamo: jednu tačku P = (0, 11/, 5) sa prave p, vektor pravca p = (1, 4, 3) prave p, sve tačke prave p imaju koordinate oblika P + λp = (0, 11/, 5) + λ(1, 4, 3). Prava p pripada ravni α, pa i tačka sa prave p Q = (0, 11/, 5) + (1, 4, 3) = (1, 3/, ) pripada toj ravni. S obzirom da A p, tri nekolinearne tačke A, P i Q u potpunosti odred uju ravan α. Jednačinu tražene ravni tada dobijamo iz uslova [ ] (α) : AX, AP, AQ = 0 za X = (x, y, z), gde su AX = X A = (x, y, z) (0, 1/, 0) = (x, y 1/, z), AP = P A = (0, 11/, 5) (0, 1/, 0) = (0, 6, 5), AQ = Q A = (1, 3/, ) (0, 1/, 0) = (1,, ). U skalarnom obliku jednačina ravni glasi (α) : x y 1/ z = 0 (α) : x + 5y + 6z 5/ = 0.
Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMatematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραRAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα7.5. KOORDINATNI SISTEMI
- 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραdr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.
dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi i Mebijusove transformacije
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Kompleksni brojevi i Mebijusove transformacije Master rad Student: Marina Durica, 1043/016 Mentor: prof dr. Miodrag Mateljević Beograd, 017. Sadržaj Uvod 1 Kompleksni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραSistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMatematički fakultet
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet MASTER RAD Tema: Doprinos nestandardnih zadataka iz trigonometrije poboljšanju nastave matematike Profesor: dr Zoran Petrović Student: Marijana Nikolić Beograd
Διαβάστε περισσότερα