Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων"

Όσιρις Αναγνωστάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Γενικότητες Εισαγωγή Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της επίλυσης Γραμμικές εξισώσεις Πρώτος τρόπος: Με αλλαγή συντεταγμένων Δεύτερος τρόπος: Με χαρακτηριστικές Μη γραμμικές εξισώσεις Προέλευση των ΜΔΕ: Νόμοι διατήρησης Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα Υπολογισμός του χρόνου θραύσης Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή Περιβάλλουσα Αιχμή Ασθενείς λύσεις Συνθήκες Rankine Hugoniot Ασθενής λύση Συνθήκη Rankine Hugoniot Ασκήσεις Η κυματική εξίσωση Ταξινόμηση ΜΔΕ δεύτερης τάξης Χαρακτηριστικές κατευθύνσεις και χαρακτηριστικές καμπύλες Ασκήσεις xi

2 xii Περιεχόμενα 2.2 Η εξίσωση της μεταφοράς Η ομογενής εξίσωση Η μη ομογενής εξίσωση Ασκήσεις Η κυματική εξίσωση στην πραγματική ευθεία Το πρόβλημα αρχικών τιμών Εξάρτηση και επιρροή Μέθοδος της ενέργειας Ανάκλαση κυμάτων Το πρόβλημα σε ένα πεπερασμένο διάστημα Η μη ομογενής κυματική εξίσωση Η μη ομογενής κυματική εξίσωση στην ημιευθεία Η μη ομογενής κυματική εξίσωση σε ένα φραγμένο διάστημα Ασκήσεις Σειρές Fourier Βασική θεωρία Χώροι εσωτερικού γινομένου Σειρές του Fourier Σύγκλιση Η κλειστότητα του Τριγωνομετρικού Συστήματος Τυχούσα περίοδος Ασκήσεις Συνοριακές συνθήκες Dirichlet Η εξίσωση της διάχυσης θερμότητας Η κυματική εξίσωση Συνοριακές συνθήκες Neumann Μη ομογενείς εξισώσεις Εφαρμογές σειρών Fourier εκτός ΜΔΕ Μιγαδική μορφή σειρών Fourier Ολοκλήρωση σειρών Fourier Η Ισοπεριμετρική Ανισότητα Μιγαδική Ανάλυση Εργοδική Θεωρία Ασκήσεις

3 Περιεχόμενα xiii 4 H εξίσωση της διάχυσης θερμότητας σε μη φραγμένα χωρία Περιοδικές συνοριακές συνθήκες Μετασχηματισμός Fourier Η εκθετική μορφή του μετασχηματισμού Fourier Η λύση της εξίσωσης της θερμότητας στην πραγματική ευθεία Αυστηρή επαλήθευση της αναπαράστασης Η περίπτωση της ημιευθείας Η μη ομογενής εξίσωση της θερμότητας Ασκήσεις Η αρχή του μεγίστου H εξίσωση του Laplace Ασκήσεις H εξίσωση της διάχυσης θερμότητας H περίπτωση ενός φραγμένου διαστήματος H περίπτωση της πραγματικής ευθείας Ασκήσεις H εξίσωση του Laplace Το πρόβλημα συνοριακών τιμών σε ένα ορθογώνιο Ο τύπος του Poisson Συσχέτιση με τη Μιγαδική Ανάλυση Ο τύπος του Poisson, η ιδιότητα της μέσης τιμής και σύμμορφες απεικονίσεις Αρμονικότητα και αναλυτικότητα συναρτήσεων Ασκήσεις Ταυτότητες του Green Συνάρτηση Green Εφαρμογές Οι ταυτότητες του Green Εφαρμογές των ταυτοτήτων του Green Τύπος του Poisson Ασκήσεις Βιβλιογραφία 399 Λεξικό Βασικών Όρων 403 Ευρετήριο Όρων 411

4 xiv Περιεχόμενα Ευρετήριο Ονομάτων 417

5 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών, με δεδομένες τις τιμές της u στο : Γραφική παράσταση της z = u(x; y) = x 2 + y 2 και καμπυλών στάθμης της Αριστερά: Οικογένεια χαρακτηριστικών γραμμών της εξίσωσης (1.17), με συνεχή γραμμή, και καθέτων προς τις χαρακτηριστικές, με διακεκομμένη γραμμή. Δεξιά: Προβολή του (x; y) σε ευθεία κάθετη στις χαρακτηριστικές Περιστροφή του συστήματος των αξόνων κατά γωνία # = /4 κατά τη θετική φορά Τροχιά ενός σημείου Στιγμιότυπα της λύσης u του (1.27) στις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1; αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα. Το κύμα ταξιδεύει προς τα δεξιά με ταχύτητα c: Γραφική παράσταση της λύσης u του ΠΑΤ (1.27) Τροχιά ενός σημείου Η χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο είναι σπείρα που πλησιάζει το ; τον εσωτερικό κύκλο, χωρίς να τον φτάνει ποτέ Ρευστό σε κυλινδρικό, λεπτό σωλήνα Οι ακραίες χαρακτηριστικές γραμμές x(t; 0) = 2t και x(t; 1) = t + 1; με συνεχή γραμμή, και ενδιάμεσες χαρακτηριστικές γραμμές για x 0 2 (0; 1); με διακεκομμένη γραμμή Στιγμιότυπα της λύσης u(; t) του προβλήματος (1.77), για t = 0; επάνω αριστερά, t 2 (0; 1); επάνω δεξιά, και t = 1; κάτω Τρεις χαρακτηριστικές γραμμές για το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.82) xv

6 xvi Κατάλογος Σχημάτων 1.14 Η περιβάλλουσα για το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.84) στην περίπτωση της αρχικής τιμής (1.93) Χαρακτηριστικές και αιχμή Ο φορέας ; με γκρι, μιας συνάρτησης δοκιμής Συμπαγής φορέας ; με γκρι, στο σύνολο R (0; 1): Οι u Α και u Δ αποτελούν κλασικές λύσεις της (1.116) αριστερά και δεξιά της ημιευθείας ασυνέχειας, αντίστοιχα Η ημιευθεία ασυνέχειας και η γενικευμένη λύση του προβλήματος (1.120) Στιγμιότυπο της λύσης u(; t); για t > 1: Οι u Α και u Δ αποτελούν κλασικές λύσεις της (1.116) αριστερά και δεξιά της καμπύλης ασυνέχειας, αντίστοιχα Καμπύλες στάθμης της λύσης u; που δίνεται στην (1.138), αριστερά, και στιγμιότυπά της, δεξιά. Τα βέλη δείχνουν τη φορά κίνησης της λύσης με την πάροδο του χρόνου Η ημιευθεία ασυνέχειας της λύσης u; που δίνεται στην (1.141), αριστερά, και στιγμιότυπά της, δεξιά. Τα βέλη δείχνουν τη φορά κίνησης της λύσης με την πάροδο του χρόνου Σχηματική επεξήγηση της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών της Άσκησης Η περιβάλλουσα στην Άσκηση Σχηματική επεξήγηση των απεινονίνεων της Άσκησης Περιστροφή του συστήματος των αξόνων κατά γωνία # Οι χαρακτηριστικές γραμμές της (2.10) έχουν εξισώσεις x ct = σταθερά, και είναι παράλληλες προς την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο (c; 1) Οικογένεια χαρακτηριστικών γραμμών της εξίσωσης μεταφοράς Οδεύον κύμα που ταξιδεύει προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα c; χωρίς να αλλάζει το σχήμα του Σχηματική επεξήγηση της (2.16): Θεωρούμε τη χαρακτηριστική γραμμή της ομογενούς εξίσωσης που διέρχεται από το σημείο (y; s): Η λύση της μη ομογενούς εξίσωσης (2.14) είναι το άθροισμα της (προκαθορισμένης) τιμής της u στο σημείο τομής της χαρακτηριστικής με τον άξονα των x και του ολοκληρώματος του μη ομογενούς όρου στο ευθύγραμμο τμήμα της χαρακτηριστικής μεταξύ των σημείων (y cs; 0) και (y; s)118

7 Κατάλογος Σχημάτων xvii 2.6 Οικογένειες χαρακτηριστικών γραμμών για την κυματική εξίσωση Οδεύον κύμα που ταξιδεύει προς τα δεξιά με ταχύτητα c Ιδιομορφίες στα αρχικά δεδομένα του προβλήματος (2.29) στα σημεία x? και y? διαδίδονται κατά μήκος των τεσσάρων χαρακτηριστικών της κυματικής εξίσωσης που διέρχονται από αυτά Περιοχή εξάρτησης του σημείου (x? ; t? ) Πεδίο επιρροής του σημείου (x 0 ; 0) Στην περίπτωση που = 0 και ο φορέας της ' περιέχεται στο διάστημα [a; b]; η λύση u του προβλήματος (2.29) μηδενίζεται έξω από τη γκρι περιοχή του σχήματος. Η περιοχή αυτή παράγεται από τις χαρακτηριστικές ημιευθείες της εξίσωσης που ξεκινούν από ένα σημείο (x; 0); καθώς το x διατρέχει όλο το διάστημα [a; b]: Κατά συνέπεια, ένας παρατηρητής που βρίσκεται στη θέση x αντιλαμβάνεται το κύμα για εκείνο το χρονικό διάστημα που αποτελείται από τα t για τα οποία τα σημεία ( x; t) ανήκουν στη γκρι περιοχή Στη γενική περίπτωση που 0 και οι φορείς των ' και περιέχονται στο διάστημα [a; b]; η λύση u του προβλήματος (2.29) μηδενίζεται έξω από τη γκρι περιοχή του σχήματος. Η περιοχή αυτή παράγεται από το σύνολο των σημείων που περικλείονται από τις χαρακτηριστικές ημιευθείες της εξίσωσης που ξεκινούν από ένα σημείο (x; 0); καθώς το x διατρέχει όλο το διάστημα [a; b]: Κατά συνέπεια, ένας παρατηρητής που βρίσκεται στη θέση x αντιλαμβάνεται το κύμα για άπειρο χρονικό διάστημα ( t; 1); όπου t ο μικρότερος αριθμός για τον οποίο το σημείο ( x; t) βρίσκεται στο σύνορο της γκρι περιοχής του σχήματος Χαρακτηριστικό τρίγωνο του σημείου (x? ; t? ) Στα χωρία x ct και x < ct; αντίστοιχα, η λύση του προβλήματος (2.46) δίνεται από τις (2.48α) και (2.48β), αντίστοιχα Περιοχή εξάρτησης για το πρόβλημα (2.46) Ανάκλαση κυμάτων σχηματική εξήγηση του τύπου (2.54) Στα τρίγωνα και τους ρόμβους του σχήματος, που σχηματίζονται από το σύνορο και τις χαρακτηριστικές γραμμές, διαφορετικοί τύποι μας δίνουν τη λύση του προβλήματος (2.49).. 147

8 xviii Κατάλογος Σχημάτων 2.18 Χαρακτηριστικό τρίγωνο του σημείου (x; t) Ο μετασχηματισμός (2.66) Χαρακτηριστικό τρίγωνο του σημείου (x? ; t? ) Χαρακτηριστικό τρίγωνο του σημείου (x? ; t? ) Σχηματική εξήγηση της τριγωνικής ανισότητας: Το μήκος kx+ yk της μιας πλευράς είναι το πολύ όσο και το άθροισμα kxk+ kyk των μηκών των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου (3.5) H) y είναι βέλτιστη προσέγγιση y είναι βέλτιστη προσέγγιση H) (3.5) Η συνάρτηση f (x) = x και τα μερικά αθροίσματα Fourier S 6 = S 6 f και S 9 ; αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, x 2 [ ; ] Η συνάρτηση f (x) = jxj και τα μερικά αθροίσματα Fourier S 3 = S 3 f και S 5 ; αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, x 2 [ ; ] Η συνάρτηση f (x) = sgn(x) και τα μερικά αθροίσματα Fourier S 7 = S 7 f και S 13 ; αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, x 2 [ ; ] Η συνάρτηση f (x) = j sin xj και τα μερικά αθροίσματα Fourier S 2 = S 2 f και S 4 ; αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, x 2 [ ; ] Οι συναρτήσεις f και f M Τροποποίηση της κλιμακωτής συνάρτησης f M σε συνεχή συνάρτηση g Σχηματική επεξήγηση για τον τύπο του Green Προσέγγιση της κλιμακωτής συνάρτησης f M από κάτω με συνεχή συνάρτηση h Σχηματική επεξήγηση του τύπου του μιγαδικού υπολοίπου Στιγμιότυπα της συνάρτησης ; βλ. την (4.54), στις χρονικές στιγμές t τέτοιες ώστε p 2kt = 0:5; 0:3; 0:2; αντίστοιχα. Καθώς φθίνει το t οι τιμές της συνάρτησης στο σημείο x = 0 αυξάνουν Στιγμιότυπα της συνάρτησης u θ ; βλ. την (4.76), για m = 1:5; 2; 3; αριστερά, στο μέσον και δεξιά, αντίστοιχα Γραφική παράσταση της σχέσης διασποράς = k 4 + k Το πρόβλημα για την εξίσωση του Poisson με συνοριακές συνθήκες Dirichlet

9 Κατάλογος Σχημάτων xix 5.2 Λύσεις της εξίσωσης της θερμότητας λαμβάνουν το μέγιστό τους στο ορθογώνιο [0; `][0; T ] και στο παραβολικό σύνορο, δηλαδή σε κάποια από τις τρεις πλευρές του που σχεδιάστηκαν με συνεχή γραμμή Παράσταση συνθηκών Dirichlet για την εξίσωση του Laplace σε ένα ορθογώνιο, βλ. το πρόβλημα (6.1) Το πρόβλημα για την εξίσωση του Poisson στον δίσκο με συνοριακές συνθήκες Dirichlet Το πρόβλημα για την εξίσωση του Poisson με συνοριακές συνθήκες Dirichlet Μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο xy (επίπεδο z), αριστερά, και στο επίπεδο w; δεξιά Κυκλικός τομέας 45 ı ; αριστερά, και κατακόρυφη λωρίδα, δεξιά393

Σχετικά έγγραφα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς