ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

2 Άσκηση Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. (όπως στο σχολικό βιβλίο σελ.9) Έστω η εξίσωση α +β +γ= 0 με α, β, γ και α 0. Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: β + = α 4α,όπου = β 4αγ, η διακρίνουσα της εξίσωσης. Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: > 0. Τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις τις, β ± = 4 β αγ α. β = 0. Τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση: =. α < 0. Τότε επειδή ( ) ( ) i i = = =, η εξίσωση γράφεται α α α α β i β ± i + =, οπότε οι λύσεις της είναι: α α, = α, οι οποίες είναι δύο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

3 Άσκηση 3 α) Αν, μιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: + = +. β) Τι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ; α) Έστω =α+β i και =γ+δ i, με α, β, γ, δ. Τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = α+β i + γ+δ i = α+γ + β+δ i= α+γ β+δ i= ( α β i) + ( γ δ i) = +. β) Έστω M( x, y ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή: = OM = x + y 3

4 Άσκηση 4 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό =α+β i, με α, β ισχύουν: + = α = β i β) Τι παριστάνουν στο μιγαδικό επίπεδο οι εξισώσεις: i. 0 =ρ,,0 με ρ> 0. ii. =,,,. α) Έστω =α+βi, α, β τότε ισχύουν: + =α+β i+α β i= α και =α+βi α+β i= β i β) Η εξίσωση o μιγαδικό επίπεδο και ακτίνα ρ. =ρ παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα ( ) K του μιγαδικού 0 στο Η εξίσωση = παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών και στο μιγαδικό επίπεδο. 0 4

5 Άσκηση 5 Αν ν N και i η φανταστική μονάδα, να υπολογίσετε το i ν για τις διάφορες τιμές του ν. Έστω ν= 4 ρ+υ όπου ρ και υ το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4. Τότε επειδή υ= 0,,,3 έχουμε: i ν ( ) = = 4ρ 4 ρ i i ( ) 4ρ+ 4 ρ i i i i = = 4ρ+υ = i = 4ρ+ 4 ρ = = ( ) i i i ( ) 4ρ+ 3 4 ρ 3 3 i = i i = i = i 5

6 Άσκηση 6 α) Να φέρετε το πηλίκο α+βi γ+δi με α, β, γ, δ και γ+δi 0 στη μορφή κ+λ i με κ, λ. β) Με τι ισούται γεωμετρικά το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών,. α+βi α) Για να εκφράσουμε το πηλίκο στη μορφή κ+λ i πολλαπλασιάζουμε τους όρους του γ+δi κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: ( α+βi)( γ δi) ( )( ) α + βi αγ + βδ + βγ i αδi αγ + βδ βγ αδ = = = + i. γ+δi γ+δi γ δi γ +δ γ +δ γ +δ β) Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο. 6

7 Άσκηση 7 Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών τους ακτινών. Αν M( αβ, ) και M(, γδ ) είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών =α+β i και =γ+δ i = α γ + β δ i παριστάνεται με α γ β δ για το οποίο ισχύει ON = OM OM, άρα αποδείχτηκε. αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διαφορά ( ) ( ) το σημείο N (, ) 7

8 Άσκηση 8 Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτινών. Αν M( αβ, ) και M(, γδ ) είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών =α+β i και i =γ+δ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα + = ( α+γ ) + ( β+δ ) παριστάνεται με το σημείο N ( α+γ, β+δ ), για το οποίο ισχύει: i ON = OM + OM, άρα αποδείχτηκε. 8

9 Άσκηση 9 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: i. + 3i =. ii. + + i = i. i. Έστω M( x, y ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο και K (, 3) εικόνα του 3i. Τότε έχουμε: + 3i = ( 3i) = ( KM) =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M( x,y) των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το K (, 3) και ακτίνα ρ=. η ii. Έστω Λ η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο και A, B οι εικόνες των μιγαδικών i και i + + i = i i = + i Λ A = Λ B. + αντίστοιχα. Τότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(-,-) και Β(,). 9

10 ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί + 0i για τους οποίους ισχύει: 4 =. i. Να δείξετε ότι =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re() = Im() να υπολογίσετε τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς. iii. Για τους μιγαδικούς αριθμούς του παραπάνω ερωτήματος να αποδείξετε ότι I. i. Η δοσμένη σχέση μας δίνει: ( )( ) ( )( ) 4 = 4 4 = = = = 4 =. ii. Έστω =α+βi, α, β. Επειδή Re() = Im(), δηλαδή α=β και από το προηγούμενο ερώτημα έπεται ότι: = α +β = α +β = 4 α = 4 α=±. Άρα, = + i ή = i. iii. Έστω = + i τότε: ( ) i i i 4i I = + = + + =. Ομοίως και για την άλλη ρίζα: = i. 0

11 Άσκηση Για το μιγαδικό = x + yi με x, y να δείξετε ότι: i. Re() Re(). ii. Im() Im(). iii. Re() Im(). iv. Re() + Im(). i. Έχουμε: Re() Re() x x x + y, η πρώτη ανισότητα x x ισχύει, για κάθε x,από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών και η δεύτερη γίνεται: ( ) x x + y x x + y x x + y 0 y, η οποία ισχύει, για κάθε y, άρα ισχύει και η αρχική. ii. Έχουμε: Im() Im() y y x + y, η πρώτη ανισότητα y y ισχύει, για κάθε y, από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών και η δεύτερη ανισότητα γίνεται: ( ) y x + y y x + y y x + y 0 x, η οποία ισχύει, για κάθε x. iii. Έχουμε: Re() Im() x y x + y x + y x y 0 ( x y) 0, το οποίο ισχύει, για κάθε x, y, άρα αποδείχτηκε. iv. Έχουμε: Re() + Im() x + y x + y ( x + y) ( x ) + y ( ) x + x y + y x + y x y 0, το οποίο ισχύει, για κάθε x, y, άρα αποδείχτηκε.

12 Άσκηση 3 α) Να υπολογίσετε το γινόμενο: 3 64 P = i i i i. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 3 4 S= i i + i i + i ν, για τις διάφορες τιμές του ν N. α) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής ν προόδου, δηλαδή τον τύπο S ν = ( α +α ν), παίρνουμε: 64 ( ) P = i i i i = i = i = i = i = i = β) Εδώ έχουμε το άθροισμα των ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α = i και λόγο λ= i. Οπότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας ν λ γεωμετρικής προόδου, δηλαδή τον τύπο: S ν = α, παίρνουμε: λ ν ( ) ( ) 3 4 ν i S= i i + i i + i = i = i = i i ν i = 0, i ( i ) i = i = i = + i, i + i αν ν: άρτιος αν ν: περιττός

13 Άσκηση 4 7 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει: ( ) 3 i. Να δείξετε ότι: 0. ii. Να υπολογίσετε το. = 6 : 7 i. Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της σχέσης ( ) 3 ( ) ( ) = 6 με 3 και παίρνουμε: = 6 = 6 = 6 και επειδή Rέπεται ότι και 0. ii. Παίρνουμε τα μέτρα στην αρχική σχέση και έχουμε: ( ) ( ) = = = και επειδή =, έχουμε ισοδύναμα ( ) = 0 4 ( = 0 ή = 6) ( = 0 ή = ). 3

14 Άσκηση 5 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός, i. 3 α) Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού αριθμού : 5i w =, i. 3 i 3 β) Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του, στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο μοναδιαίος κύκλος, να βρείτε την καμπύλη στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού u = + 5i i. ( ) α) Χρησιμοποιώντας ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών, έχουμε: 5i i w = = = 3 i 3 i ( ) 5i i i = =. 3 i 3 i + 3 i β) Ισχύει = και u = ( + 5i) i u + i = ( + 5i) επομένως u + i = ( + 5i) = + 5 άρα u + i = 3 επομένως οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού u κινούνται σε κύκλο με κέντρο το σημείο K(0, ) και ακτίνα 3, δηλαδή στον κύκλο C : x + y + = 3 ( ) 4

15 Άσκηση 6 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: i. = i. ii. =. iii. Im ( ) = Re( ). iv. ( + ) = 4. Έστω = x + yi με x, y τότε: i. = i yi = i y = άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στην οριζόντια ευθεία y=. ii. = + = x = x = άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στην κατακόρυφη ευθεία x =. Im = Re y = x άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς iii. ( ) ( ) που οι εικόνες τους είναι πάνω στην πρώτη διχοτόμο των αξόνων. iv.( ) + = 4 4x = 4 x = x =± άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στις κατακόρυφες ευθείες x = και x =. 5

16 Άσκηση 7 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: i. + 3i <. ii. + + i i i. Έστω M( x, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο και K (, 3) εικόνα του 3i. Τότε έχουμε: + 3i < ( 3i) < ( KM) <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M( x,y) των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο το K (, 3) και ακτίνα ρ=, που έχει εξίσωση: ( x ) + ( y + 3) <, δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το K (, 3) ακτίνα ρ=. (Σχήμα ) η και ii. Έστω Λ η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο και A, B οι εικόνες των μιγαδικών i και + i αντίστοιχα. Τότε έχουμε: + + i i 6

17 ( i) ( + i) ( A) ( B) Λ Λ. Η τελευταία ανισότητα επαληθεύεται από τα σημεία του ημιεπιπέδου (,A), δηλαδή του ημιεπιπέδου που περιέχει το σημείο A και έχει ακμή τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος A B. Πράγματι (βλ. Σχήμα ) έστω ότι το σημείο Λ ανήκει στο ημιεπίπεδο (,A). Αν δεν ανήκει στην ευθεία και επίσης δεν ανήκει στην ημιευθεία ΜΑ, τότε από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΚΛ έχουμε ( Λ A) < ( Λ K) + ( KA) = ( Λ K) + ( KB) = ( Λ B). Αν Λ A = Λ B. Επίσης αν ανήκει στην ημιευθεία ΜΑ, το σημείο Λ ανήκει στην ευθεία τότε ( ) ( ) τότε πάλι προφανώς ( ΛA) ( Λ B. ) Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο με εξίσωση: 6x+ 4y

18 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση + +λ = 0 () με Έστω η εξίσωση ( ) * λ i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μιγαδικές ρίζες. ii. Αν, οι ρίζες της εξίσωσης () να υπολογίσετε τα + και. iii. Αν Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών και αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο και ( OMN) = 3, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε το λ και τις ρίζες και. i. Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα: ( ) = 4 4+λ = 4λ < 0άρα η εξίσωση () έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες. ii. Γνωρίζουμε ότι: β γ + = και =, α 0, άρα, α α + = και = +λ. iii. Οι ρίζες, της εξίσωσης είναι συζυγείς μιγαδικές, οπότε έστω = x+ yi και = x yi με x,y και y > 0. Τότε από το προηγούμενο ερώτημα θα ισχύει + = x = x = και = x + y = +λ + y = +λ y = λ. 8

19 Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ είναι: (MN) (OK) y OMN = = = y = 3, άρα λ = 3 λ=± 3 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ( ) = + 3i και = 3i. 9

20 Άσκηση i. Αν,μιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: + = + + Re( ). ii. Για τους μιγαδικούς αριθμούς,, να αποδείξετε τις ισοδυναμίες: + = + I OM ON, όπου OM και ON οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών και αντίστοιχα. iii. Να δειχθεί ότι για κάθε, ισχύει η ταυτότητα: ( ) + + = +. iv. Αν = 3, w = 5 και + w = 6 να υπολογίσετε το w,, w i. Εφαρμόζοντας ιδιότητες του μέτρου μιγαδικών αριθμών, έχουμε: ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = = = = + + Re( ). ii. Έστω + = +, τότε βάσει του πρώτου ερωτήματος έπεται ότι: Re( ) = 0 Re( ) = 0 I (). Αντίστροφα, για I και λόγω της ισοδυναμίας () και του (i) ερωτήματος θα έχουμε ότι: + = +. Για = x+ yi και = x + yi, με x,y,x,y, έχουμε: ( )( ) ( ) ( ) = x + y i x y i = x x + y y + y x x y i. () 0

21 Έστω x x y y 0 I, τότε από τη σχέση (), παίρνουμε: OM ON = x, y x, y = x x + y y = 0 + = (3) όμως ( ) ( ), άρα OM ON. Αντίστροφα, για OM ON συνεπάγεται ισχύει η σχέση (3) και λόγω της σχέσης (), έχουμε I. iii. Ισχύει: ( )( ) ( )( ) + + = = ( ) ( ) = ( ) +, άρα αποδείχτηκε. iv. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε: ( ) + w + w = + w, για κάθε, w και αντικαθιστώντας τις τιμές, από τα δεδομένα του ερωτήματος, παίρνουμε: ( ) 6 + w = w = 3 w = 3.

22 Άσκηση 3 Δίνεται η εξίσωση 4 4 0, (),, ηµθ + = θ. i. Να λύσετε την εξίσωση (). ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της (), στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω σε κύκλο. iii. Αν, οι ρίζες της (), να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. 4 ηµθ + 4 = 0 (), θ i. = 6 ηµ θ 6 = 6( ηµ θ ) = 6 συν θ οπότε 4 ηµθ ± 4i συνθ, = = ηµθ ± i συνθ = ηµθ ± i συνθ ii. Έστω x = ηµθ και y = ± συνθ, τότε: ( ) x + y = 4 ηµ θ + 4 συν θ = 4. Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. iii. Αν Μ και Λ οι εικόνες των ριζών, στο μιγαδικό επίπεδο, τότε επειδή αυτές είναι συζυγείς, τα σημεία Μ και Λ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx. Οπότε η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το είναι το (ΑΒ)=4, για θ= k π, k Z, (σχήμα ).

23 Άσκηση 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w για τους οποίους ισχύει: ( ) w = 4 και 6 w = 4. i. Να υπολογίσετε τα και w. ii. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς και w. iii. Να δείξετε ότι: 3 + w 5. Πότε ισχύουν οι ισότητες; i. Αν πάρουμε μέτρα και στις δυο σχέσεις έχουμε: ( ) ( ) = w4 w = 4 w = 4 (). 6 6 w4 w 4 = = (). Διαιρώντας τις σχέσεις ():(), *, w από δεδομένα, παίρνουμε: 4 = = και αντικαθιστώντας στην (): w = 4. ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w = 4 w = 4 w = 4 w = 4 w = 4, οπότε η σχέση 6 w = 4 γίνεται: ( ) w 4 w = = = = ( )( ) + = 0 =±, =± i. Αν = ± τότε w = 4, και αν = ± i, τότε : 6 iw= 4 w= 4. iii. ισχύει: = και w = 4, οπότε: w + w + w 3 + w 5. Η w = + w ισχύει όταν = και w = 4, ενώ η + w = + w ισχύει όταν = και w = 4. 3

24 Άσκηση 5 α) Για τον μιγαδικό αριθμό = x + yi, x, y να αποδείξετε τις ισοδυναμίες: = = I β) Αν, με = =ρρ>, 0 και ρ, να δείξετε ότι: + i. Ο μιγαδικός αριθμός w =. ρ + ii. Ο μιγαδικός αριθμός w = I. ρ + α) = x yi = x + yi yi = 0 y = 0. Ομοίως, = x yi = x yi x = 0 x = 0 I. β) = =ρ = =ρ = = ρ οπότε: ρ = και ρ =. i. Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (α) αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Είναι: w + + = = = ρ + ρ + ( ) ρ + ρ ρ + + = = = w. άρα αποδείχτηκε. ρ + ρ +ρ ρ ρ ρ + ( ) ii. Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (α) αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Είναι: 4

25 w = = = ρ + ρ + ( ) ρ ρ ρ = = = w. άρα αποδείχτηκε. ρ + ρ +ρ ρ ρ ρ + ( ) 5

26 Άσκηση 6 Για τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς, w, να λυθεί το σύστημα: + = 8 6 w = 6 0 w = w Έχουμε το σύστημα: 8 6 w = () 6 0 w = (), + w = (3) υψώνουμε την πρώτη στον κύβο: 4 8 w = (4) και διαιρούμε την () με την (4): w = = και αντικαθιστούμε στην (3), οπότε: w 4 w w w 0 w + = + + = ( ) w 0 w w i + = = =±. Αντικαθιστώντας στην (3) βρίσκουμε: = ± i. Έτσι οι λύσεις του συστήματος είναι: ( = i, w = i) ή ( = i, w = i) ή ( = i, w = i) ή ( i, w i) = =. 6

27 Άσκηση 7 i. Να λύσετε στο την εξίσωση: i = 0 ii. Αν, οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: =. 3 3 i. Έστω = x + yi, x, y, τότε η εξίσωση x y + xyi ix + y = 0 + = x( y ) = 0 x y y 0 i = 0 γίνεται: + = x = 0 x y y 0 + = ή y = x y y 0 3 x = ± y = άρα, 3 =± + i, (για x = 0 η εξίσωση y + y = 0 είναι αδύνατη). ii. και = + i 3 i 3 i i i = = = + i = + 3 i 3 i + i = i, επομένως: = 3 3 7

28 Άσκηση 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = 3ηµθ + 4i συνθ, θ. i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω σε μια έλλειψη. ii. Αν, δυο μιγαδικοί αριθμοί της παραπάνω μορφής, να δείξετε ότι 8. i. Έστω = x + yi με x, y, τότε x = ηµθ 3 x = 3ηµθ = 3ηµθ + 4iσυνθ y= 4συνθ y = συνθ 4 υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δυο σχέσεις και αθροίζουμε, οπότε λαμβάνουμε:, x y x y + = + = και η οποία παριστάνει έλλειψη με μήκος μεγάλου άξονα 8 και μήκος μικρού άξονα 6. ii.το παριστάνει την απόσταση των εικόνων των δυο μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο και επειδή οι τελευταίες είναι σημεία της προηγούμενης έλλειψης έπεται έχουν τη μεγαλύτερη απόσταση όταν είναι τα άκρα του μεγάλου άξονα, άρα η μέγιστη τιμή που λαμβάνει το είναι 8. 8

29 Άσκηση 9 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0, και w =. Να δείξετε ότι αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=, τότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w κινούνται σε ευθύγραμμο τμήμα. Για τον =α+ bi με α,b ισχύει: = α + b = α + b = 4 b = 4 α 0 απ όπου α α και ομοίως συνάγεται b. Επίσης ( α ) bi w = =α+ bi =α+ bi =α+ bi α+ bi = 0 + bi α+ bi α + b οπότε αν w = x + yi έπεται ότι x 0 = και y b [ 4, 4] =. Άρα η εικόνα του w κινείται πάνω στον άξονα των φανταστικών στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα A ( 0, 4) και B( 0, 4 ). 9

30 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με + i t = 5 + 3, t. i t Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Έστω = x + yi με x, y. Έχουμε: ( + i t) + i t x + yi = x + yi = i t + t t ti x + yi = t + t Άρα, t x 5 = 3 + t και y t = 3 t +. Υψώνουμε στο τετράγωνο και αθροίζουμε, οπότε: t + t + 4t x 5 + y = 3 = 3 ( ) 4 ( + t ) Άρα οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(5,0) και ακτίνα ρ=3. 30

31 Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = + i και = 3 + 4i i. Για τον μιγαδικό αριθμό = x + yi, x, y να αποδείξετε την ισοδυναμία: =. ii. iii. iv. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει:, όπου, με. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να βρείτε ποιος έχει το ελάχιστο μέτρο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό w = t + t όταν το t διατρέχει το. επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: ( ) i. = x yi = x + yi yi = 0 y = 0. ii. Έστω x yi, = + με x, y και ( ) ( ) x, y 3, 4, τότε: R = = + = + και αντικαθιστώντας τους μιγαδικούς παίρνουμε: y= x+. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( ) :y= x+, χωρίς το σημείο Κ(3,4). iii. Για να βρούμε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς έχει το ελάχιστο μέτρο, θα φέρουμε την κάθετη ευθεία από την αρχή των αξόνων στην ( ) : y = x +. Η ευθεία (ε) έχει λ =, άρα η κάθετη ευθεία ( ) συντελεστή διεύθυνσης η της (ε), θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση: y= x+ ( η ) :y= x. Λύνουμε το σύστημα: y= x και βρίσκουμε x = και y =, άρα ο μιγαδικός αριθμός με το μικρότερο μέτρο είναι ο = + i. 3

32 iv. Έστω w x yi = + με x, y, τότε + = ( + ) + ( ) ( + ) = ( ) + ( + ) x yi t i t 3 4i 3 t t 4 i, συνεπώς, x = 3 t, () και y = t + 4, () και απαλείφοντας το t μεταξύ των σχέσεων () και (), παίρνουμε: y= x+. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( ) :y= x+. 3

33 Άσκηση 3 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει: i. w. + w+ w = 0. Να δείξετε ότι: ii. iii. iv. 3 w =. 3ρ 3ρ+ 3ρ+ w w w =. 9 8 w w w =. v. ( + w) 5 = w w + 5w = vi. ( ) i. Προφανώς w, διότι για w = από τη σχέση + w+ w = 0 προκύπτει 3=0 άτοπο. ii.πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη σχέση με το ( w 0) οπότε έχουμε: ( )( ) 3 3 w w 0 w w w 0 w 0 w + + = + + = = =. 3 Β τρόπος: Λύνουμε την εξίσωση + w+ w = 0 w, = ± i, κατόπιν υψώνουμε στην 3η και βρίσκουμε το ζητούμενο ρ 3 ρ 3 ρ w w w 0 w w w w w = + + = ρ ρ+ ρ+ iii. ( ) ( ) ( ) + w+ w = 0 που ισχύει, άρα αποδείχτηκε. iv w + w + w = 0 w + w + = 0 w + w + = 0 w ( ) ( ) w + w + = 0 w w + w w + = 0 w + w + = 0, που ισχύει άρα αποδείχτηκε v. ( ) ( ) ( ) + w = w = w = w w = w. vi.( ) ( ) ( ) 4 3 w = 4096( w ) 8 = = = = 3 3w 5w 3 3w 3w w 3 w w w 33

34 Άσκηση 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w με = ( λ+ ) + ( 3λ+ ) i, λ και w 4 i =. i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. ii. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w. i. Στον μιγαδικό αριθμό = ( λ+ ) + ( 3λ+ ) i, λ, θέτουμε x = ( λ+ ) και y ( 3 ) = λ+ και απαλείφοντας το λ παίρνουμε y = 3x. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση y = 3x. ii. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το K ( 4, ) και ακτίνα ρ=. iii. Όπως φαίνεται στο Σχέδιο, η ελάχιστη απόσταση του κύκλου από τη ευθεία είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ. y = 3x 3x y = 0 οπότε: AK = = = 0 0 ( ) ( ) 3 + άρα ( AB) = 0, επομένως η ελάχιστη τιμή του w είναι 0. 34

35 Άσκηση 5 π π συν α συνα + + ηµ α = 0 () με α,. Έστω η εξίσωση ( ) i. Να λύσετε την εξίσωση (). Για ποια τιμή του α η () έχει πραγματικές ρίζες; ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της () κινούνται πάνω σε μια υπερβολή. π π iii. Να βρεθεί η τιμή του α, το ελάχιστο μέτρο. έτσι, ώστε να έχουμε τη λύση της εξίσωσης με i. Η διακρίνουσα της εξίσωσης ισούται: ( ) = 4συν α 4+ ηµ α συν α = 4 συν α ηµ α 0. Όταν α= 0 τότε = 0 και η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα συνα = = = =. συν α συνα συν0 π π Όταν α,0 0, τότε < 0 και η εξίσωση έχει δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες i = συνα ± συνα ηµα = ± i ηµα συν α συνα συνα., ii. Έστω ότι ηµα x = και y = ± και από τη γνωστή ταυτότητα συνα συνα έπεται φ α+ = συν α y + = x x y = με x > 0, αφού συνα > 0. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι ο ένας κλάδος μιας (ισοσκελούς) υπερβολής. 35

36 iii. Η λύση με το ελάχιστο μέτρο αντιστοιχεί στο σημείο της υπερβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, δηλαδή στην κορυφή Α(,0), το οποίο είναι η εικόνα της πραγματικής λύσης της εξίσωσης που βρήκαμε στο πρώτο ερώτημα, για α= 0. 36

37 Άσκηση 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, με 0. Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών + i, i και + 3 αντίστοιχα, τότε: i. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ii. Αν =,να βρείτε το εμβαδό του ΑΒΓ. i. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των + i, i και + 3 αντίστοιχα. Για να δείξουμε ότι σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, αρκεί να δείξουμε ότι AB = AΓ = BΓ. Όμως: ( ) ( ) ( ) ( AB) ( i ) ( i ) = + = i =. ( A ) ( i ) ( 3 ) Γ = + + = ( 3+ i ) = 3+ i = και ( B ) ( i ) ( 3 ) Γ = + = ( 3 i ) = 3 i =. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και οι πλευρές του έχουν μήκος. ii. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδό ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο α 3 E =, επομένως το παραπάνω ισόπλευρο τρίγωνο έχει εμβαδό 4 ( ) ( ) 3 ABΓ = = 4 3 τ.μ. 4 37

38 Άσκηση 7 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει: 4 Re 7Re. i. = ( ) 4 Im Im. ii. = ( ) Θέτουμε = x + yi με x, y και έχουμε: ( + ) x yi = x + yi = x + yi = x yi x + y ( + ) ( + ) x x y 4 y x y 4 + i x + y x + y με x + y 0. Οπότε: ( + ) 4 x x y 4 i. Re = 7Re( ) = 7x x = 0 ή x + y = άρα ο γεωμετρικός x + y τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο άξονας yy με εξαίρεση το σημείο O( 0,0 ) και ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ( + ) ρ=. 4 y x y 4 4 ii. Im = Im ( ) = y y = 0 ή x + y = άρα ο γεωμετρικός x + y 3 τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο άξονας xx με εξαίρεση το σημείο O( 0,0 ) και ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 3 ρ=. 3 38

39 Άσκηση 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w με + i = και w 4 3i =. i. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων των και w στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των και w. iii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. i. Ισχύει: + i = ( + i) = άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(-,) και ακτίνα C : x+ + y =. Επίσης, ρ =, δηλαδή ο ( ) ( ) w 4 3i = w ( 4 + 3i) =, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Λ(4,3) και ακτίνα C : x 4 + y 3 = ρ =, δηλαδή ο ( ) ( ) ii. Στο σχήμα φαίνονται οι δυο γεωμετρικοί τόποι. Από την ευκλείδεια γεωμετρία γνωρίζουμε ότι για τον κύκλο με κέντρο Κ η ελάχιστη απόσταση των σημείων του από την αρχή των αξόνων είναι το OB = d O, K ρ και η μέγιστη το ( ) ( ) ( OA) d ( O, K) = +ρ. Όμως ( ) ( ) d(o, K) = OK = + = οπότε ( OB) = και ( OA) = +. Επομένως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του είναι και + αντίστοιχα. 39

40 Για τον κύκλο με κέντρο Λ έχουμε d(o, Λ ) = (O Λ ) = = 5, οπότε η ελάχιστη απόσταση των σημείων του από την αρχή των αξόνων είναι το ( OΓ ) = d ( O, Λ) ρ = 5 = 4 και η μέγιστη το ( O ) = d ( O, Λ ) +ρ = 5 + = 6. Επομένως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του w είναι 4 και 6 αντίστοιχα. iii. KΛ = = 9 και ρ +ρ = + = 3, οπότε ( KΛ ) >ρ +ρ, άρα ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου. Σ αυτήν την περίπτωση γνωρίζουμε από την ευκλείδεια γεωμετρία ότι η ελάχιστη απόσταση των σημείων των δυο κύκλων είναι το τμήμα (NE) και η μέγιστη το τμήμα (MZ). Ισχύει ( ) ( ) ( ) Άρα ( NE) = ( KΛ) ρ ρ = 9 3 και ( NE) = ( KΛ ) +ρ +ρ = 9 + 3, οι οποίες τιμές αντιστοιχούν στην ελάχιστη και στη μέγιστη τιμή του w. 40

41 Άσκηση 9 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των που επαληθεύουν την: Im() = + i. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των, w που επαληθεύουν τις: = i και w = w 4i βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του w. α) Έστω = x + yi με x, y. Τότε: ( ) Im() i y x yi i y x y = + = + + = + + ( ) ( ) ( ) y = x + y+ y y+ = x + y+ x = 4y, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον yy, παράμετρο p=, Εστία το E ( 0, ) και διευθετούσα την ευθεία y=. β) Έστω = x + yi με x, y. Τότε: = i x + yi = x + yi i ( x ) y x ( y ) + = + x + = 4y + 4 x + 4y 3 = 0, A άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ = =. B Ομοίως έστω w =α+ bi, με α,b, τότε: w = w 4i α+ bi = α+ bi 4i ( ) b α ( b 4) α + = + 4α+ 4 = 8b + 6 α+ b 3 = 0. Άρα συντεταγμένες του w επαληθεύουν την εξίσωση x + y 3 = 0, επομένως και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή λ =λ οι δυο ευθείες είναι παράλληλες. 4

42 Η ελάχιστη τιμή του w είναι η απόσταση των παραλλήλων. Θεωρούμε ένα σημείο της μιας ευθείας π.χ. το A ( 3, 0) που ανήκει στην x + y 3 = 0και από τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία βρίσκουμε την απόσταση του Α από την ευθεία x + 4y 3 = 0, που είναι ( 3) d = = = ( ) Άρα η ελάχιστη τιμή του w είναι

43 Άσκηση 0 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: 4 3i = 3 (). α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων τους είναι κύκλος που εφάπτεται στον άξονα xx. β) Αν μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την (), τότε να δείξετε ότι: ( ) ( ) + 3i i = 36 () και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση () γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ( 8 + 3i), όπου μιγαδικός που ικανοποιεί την (). α) Έχουμε: 4 3i = 3 ( 4 + 3i) = 3, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος, με κέντρο το σημείο K ( 4,3 ) και ακτίνα 3. Επειδή η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τον άξονα xx είναι 3, δηλαδή ισούται με την ακτίνα του κύκλου, έπεται ότι ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα των πραγματικών αριθμών. β) Έστω =α+ bi, με,b ( ) ( ) ( ) ( ) α. Τότε ( ) ( ) α + b 3i + α 7+ b 3i = 36 ( ) ( ) ( ) ( ) α + b 3 + α 7 + b 3 = 3 6 ( ) 6 50 b 3 36 α α α α+ + = ( ) ( ) + 3i i = 36 8α+ + 5 b 3 = α 8 8α b 3 = 9+ 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 8α+ + 6 b 3 = 9 α 4 + b 3 = i = 3, το οποίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση. Γεωμετρική ερμηνεία: Έστω τα σημεία A (, 3) και B( 7,3 ). Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι μηδέν έχουμε ότι η ΑΒ είναι παράλληλη του άξονα xx. Θεωρούμε τον κύκλο με διάμετρο την ΑΒ και κέντρο το σημείο Κ(4,3). Λόγω του (Β) ερωτήματος αν M η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, το ( + 3i) παριστάνει την απόσταση ( MA ) και το 7 3i MB οπότε ( + ) την απόσταση ( ) 43

44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 3i i = 36 MA + MB = AB το οποίο ισχύει αφού είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΑΒ. γ) Αν Λ (8,3) η εικόνα του μιγαδικού 8 + 3i, η οποία βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α και Β, τότε από την ευκλείδεια γεωμετρία (βλέπε Σχήμα ) γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη τιμή του ( 8 + 3i) είναι το μήκος του ΛΒ που είναι και η μέγιστη τιμή το μήκος του ΛΑ που είναι 7, δηλαδή ( Λ B) = ( 8 + 3i) min = και ( ) ( ) max Λ A = 8 + 3i = 7 44

45 Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i. Re(w) = α β 3 και Im(w) =α β. =α+β i, α, β R και w = + i 3. Να δείξετε ότι: ii. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y = x +, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. iii. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y= x+, τότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w κινούνται πάνω στην ευθεία y= x 6. i. w = + i 3 w = ( α β i) + i( α+βi) 3= ( α β 3) + ( α β) i Re(w) = α β 3 και Im(w) =α β. 5 ii.η εικόνα του w κινείται πάνω στην ευθεία y = x +, άρα α β= 4α β 6+ α= 3 5 επομένως ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του είναι η κατακόρυφη ευθεία x =. 3 iii. Έστω και β παίρνουμε: γ= Re(w) και δ= Im(), τότε έχουμε: α= β= γ δ+ 6 3 γ δ+ 3 3 άρα η εικόνα του w κινείται πάνω στην ευθεία y= x 6. γ = α β 3, οπότε λύνοντας ως προς α δ=α β και αντικαθιστώντας στην y= x+ βρίσκουμε: δ = γ 6 45

46 Άσκηση α) i. Να δείξετε την ταυτότητα: w w ( )( w ) + + =. ii. Αν < και w > να δείξετε ότι: + w < + w. β) Αν, w να δείξετε ότι: i. w + w + w. w + w w. ii. ( ) α) i. w w ( w)( w) ( w)( w) + + = = ( )( ) ( )( ) + w + w + w + w = + w w = ( )( w ) άρα αποδείχτηκε. ii. αν < και w > τότε ( )( ) w < 0 + w + w < 0 + w < + w. β) i. w + w + w + w w w w 0 ( w)( w) 0 ( )( ) w w 0 w 0 το οποίο ισχύει, άρα αποδείχτηκε. ii. Ισχύει + w = + w + w + w w w w w w + w w + = + οπότε η ανισότητα γίνεται: ( ) 46

47 ( ) + w w w + w + w + w + w η τελευταία ισχύει από τη γνωστή τριγωνική ανισότητα, άρα ισχύει και η ισοδύναμη της αρχική. Ημερομηνία τροποποίησης: //0 47

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα 1. Δίνεται ο κύκλος + y ρ, όπου ρ>0. Από το σημείο A( - ρ,0) του C C :x = φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα BM = AB. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται πάνω σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα