ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012"

Transcript

1 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R ορίζουµε µια σχέση R R R ως εξής : x R y x y Q Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R, και να περιγράψετε το σύνολο πηλίκο R/R. Λύση. Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κτλ. Για κάθε x, y, z R έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Q έπεται ότι x x. Συµµετρική ιδιότητα δηλαδή x y = y x : Αν x y τότε x y Q = y x Q = y x Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z, έχουµε x y Q = x z Q = x z y z Q Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R. Εστω x R. Τότε η κλάση ισοδυναµίας [x] του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] = { y R x y } = { y R x y Q } = { y R x y = r Q } = { x r R r Q } = { x + r R r Q } := x + Q και άρα το σύνολο πηλίκο του R ως προς την R είναι R/R = { [x] R x R } = { x + Q x R }

2 2 Ασκηση 2. Στο σύνολο των ϱητών αριθµών Q ορίζουµε µια σχέση R Q Q ως εξής : x R y x y Z Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q, και υπάρχει µια 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1) Λύση. Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κτλ. Για κάθε x, y, z Q έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Z έπεται ότι x x. Συµµετρική ιδιότητα x y = y x : Αν x y τότε x y Z = y x Z = y x Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z έχουµε x y Z = x z Z = x z y z Z Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q. Εστω x Q. Τότε η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] = { y Q x y } = { y Q x y Z } = { y Q x y = m Z } = { x m Q m Z } = { x + m Q m Z } := x + Z και άρα το σύνολο πηλίκο του Q ως προς την R είναι Q/R = { [x] R x Q } = { x + Z x Q } Για να περιγράψουµε αναλυτικότερα το σύνολο-πηλίκο Q/R, σταθεροποιούµε έναν ϱητό αριθµό x = p q, όπου µπορούµε να υποθέσουµε ότι q > 0. Από την Ευκλείδια διαίρεση έπεται ότι υπάρχουν α, β Z έτσι ώστε p = α q + β µε 0 β < q. Εποµένως ϑα έχουµε 0 β q < 1, και τότε Εποµένως x = p q = a q + β q = a + β q = x β q = a Z = x R [x] = [ β q ], όπου β Q [0, 1) q Η παραπάνω ανάλυση µας επιτρέπει να ορίσουµε µια αντιστοιχία β q f : Q/R Q [0, 1), [ p q ] f([p q ]) = β q όπου p = α q + β και 0 β q < 1. Θα δείξουµε ότι η f είναι µια καλά ορισµένη απεικόνιση :

3 3 Καλά ορισµένη: Εστω [x], [y] Q/R, όπου x = p p q και y = q, και έστω ότι [x] = [y], δήλαδή [ p q ] = [ p q ]. Επειδή όπως παραπάνω µπορούµε να γράψουµε [ p q ] = [β ] και [p q q ] = [β q ] όπου p = α q + β, 0 β < q και p = α q + β, 0 β < q, έπεται ότι [ β q ] = [β q ] = β q β q = k Z = β q = β q + k = 0 β q + k < 1 Οµως αφού k Z από την τελευταία ανισότητα έπεται ότι k = 0 και άρα β q = β q = f([ p q ]) = f([p ]) = f([x]) = f([y]) q Εποµένως η f είναι µια καλά ορισµένη απεικόνιση. Θα δείξουµε ότι η f είναι 1-1 και επί. Ενα προς ένα : Εστω f([ p p q ]) = f([ q ]) όπου p q = α + β q έχουµε : Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. p q p q = α α Z = [ p q ] = [p q ] p και q = α + β q. Τότε β q = β q και άρα Επί : Για κάθε ϱητό p q Q [0, 1) έχουµε ότι f([ p q ]) = p q και άρα η f είναι επί. Αρα δείξαµε ότι υπάρχει µια καλά ορισµένη 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1). Ασκηση 3. Θεωρούµε το υποσύνολο S = { z C z = 1 } του συνόλου C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Στο C ορίζουµε µια σχέση R ως εξής : z R w zw 1 S 1. Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C, και ακολούθως να περιγραφεί το σύνολοπηλίκο C /R. 2. Είναι το υποσύνολο S κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C ; 3. Είναι η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R; Λύση. Παρατηρούµε ότι : z R w zw 1 S zw 1 = 1 z w 1 = 1 z w 1 = 1 z = w. 1. Εστω y, z, w C. Εχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Αφού το µέτρο yy 1 = 1, δηλαδή yy 1 S, έπεται ότι y y. Συµµετρική ιδιότητα : Αν y z τότε ϑα έχουµε : yz 1 S = (yz 1 ) 1 S = zy 1 S = z y

4 4 Μεταβατική ιδιότητα : Εστω y z και z w. Τότε έχουµε yz 1 S = yz 1 zw 1 = yz 1 zw 1 = 1 = yz 1 zw 1 = 1 zw 1 S = yw 1 = 1 = yw 1 S = y w Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C. Εστω z C. Τότε το σύνολο πηλίκο του C ως προς την R είναι C /R = { [z] R z C } όπου η κλάση ισοδυναµίας του z ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [z] = { w C z w } = { w C zw 1 S } = { w C zw 1 = 1 } = { w C 1 z w = 1} = { w C z = w } ηλαδή γεωµετρικά, η κλάση του z είναι ο κύκλος µε κέντρο το µηδέν στο µιγαδικό επίπεδο και ακτίνα το µέτρο του z. Αρα το σύνολο-πηλίκο C /R µπορεί να περιγραφεί γεωµετρικά ως το σύνολο όλων αυτών των οµόκεντρων κύκλών όπου κάθε ϕορά η ακτίνα του κύκλου ϑα είναι όσο και το µέτρο του αντίστοιχου µιγαδικού αριθµού. 2. Το υποσύνολο S είναι κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C αφού αν z, w S τότε zw = z w = 1, δηλαδή zw S. 3. Για να είναι η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R ϑα πρέπει για κάθε x, y, z, w C να ισχύει x R z και y R w = x y R z w Εύκολα δείχνουµε ότι αν xz 1 = 1 και yw 1 = 1 τότε το µέτρο xy(zw) 1 = 1 και άρα η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C είναι συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R. Ασκηση 4. Να εξεταστεί, ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα τού καρτεσιανού γινοµένου Z Z ορίζουν µια σχέση ισοδυναµίας φ επί του συνόλου των ακεραίων αριθµών Z και για κάθε φ να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καθώς και η προκύπτουσα διαµέριση του συνόλου Z: (1) g 1 = {(z, z) z Z}, (2) g 2 = {(z, z + 1) z Z}, (3) g 3 = {(z + 1, z) z Z}, (4) g 4 = g 1 g 2, (5) g 5 = g 1 g 2 g 3 (6) g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, (7) g 7 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}, (8) g 8 = g 1 g 7, (9) g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)}, (10) g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)}. Λύση. (1) Το σύνολο g 1 = {(z, z) z Z} είναι σχέση ισοδυναµίας. Για κάθε z Z οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [z] = {z} και άρα Z = z Z [z].

5 5 (2) Το σύνολο g 2 = {(z, z + 1) z Z} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας αφού για κάθε z Z το (z, z) / g 2. (3) Οµοια µε το σύνολο g 2 έχουµε ότι το σύνολο g 3 = {(z + 1, z) z Z} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (4) Το σύνολο g 4 = g 1 g 2 δεν είναι σχέση ισοδυναµίας δίοτι για παράδειγµα το στοιχείο (0, 1) g 4 ενώ το (1, 0) / g 4 και άρα δεν ισχύει η συµµετρική ιδιότητα. (5) Το σύνολο g 5 = g 1 g 2 g 3 είναι σχέση ισοδυναµίας επί του Z. (6) Το στοιχείο (1, 2) g 6 αλλά το (2, 1) / g 6 και άρα το σύνολο g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (7) Για παράδειγµα τα στοιχεία (1, 2), (2, 1) g 7 αλλά το (1, 1) / g 7 και άρα το σύνολο g 7 δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (8) Το σύνολο g 8 = g 1 g 7 είναι σχέση ισοδυναµίας και οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [1] = [2] = [3] = {1, 2, 3} και τα µονοσύνολα [z] = {z} για κάθε z Z\{1, 2, 3}. (9) Το σύνολο g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)} είναι σχέση ισοδυναµίας και οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [1] = [2] = [3] = {1, 2, 3}, [7] = [8] = {7, 8} και τα µονοσύνολα [z] = {z} για κάθε z Z\{1, 2, 3, 7, 8}. (10) Το σύνολο g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας δίοτι τα στοιχεία (4, 3), (3, 1) g 10 αλλά (4, 1) / g 10. Ασκηση 5. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και {R i } i I µια οικογένεια σχέσεων ισοδυναµίας επί του X. Λύση. 1. Να δείξετε ότι η τοµή R = i I R i είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. 2. Να εξετάσετε αν η ένωση R = i I R i είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X. 1. Εστω x X. Τότε το (x, x) R i, i I, και άρα (x, x) i I R i. Συνεπώς η σχέση R είναι ανακλαστική. Εστω (x, y) i I R i. Τότε έχουµε (x, y) R i, i I = (y, x) R i, i I = (y, x) i I R i και άρα η R είναι συµµετρική. Εστω (x, y) i I R i και (y, z) i I R i. Τότε για κάθε i I έχουµε (x, y) R i = (x, z) R i, i I = (x, z) R i (y, z) R i i I δηλαδή η R είναι µεταβατική. Εποµένως η τοµή R = i I R i είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. 2. Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι γενικά η ένωση R = i I R i δεν είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X. Αντιπαράδειγµα : Εστω X = {1, 2, 3} και ϑεωρούµε τα παρακάτω υποσύνολα του καρτεσιανού γινοµένου X X : R 1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1) } και R 2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2) } Τότε R = R 1 R2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) } Παρατηρούµε ότι τα (1, 2), (2, 3) R αλλά το (1, 3) / R και άρα η R δεν είναι σχέση ισοδυνα- µίας αφού δεν ισχύει η µεταβατική ιδιότητα. ιαπιστώστε όµως ότι στο παράδειγµα αυτό η R είναι ανακλαστική και συµµετρική. Γενικά εύκολα ϐλέπουµε ότι η ένωση σχέσεων ισοδυναµίας επί ενός µη-κενού συνόλου ικανοποιεί την ανακλαστική και συµµετρική ιδιότητα, αλλά όπως είδαµε στο παραπάνω αντιπαράδειγµα, δεν ικανοποιεί γενικά την µεταβατική ιδιότητα.

6 6 Ασκηση 6. Θεωρούµε το σύνολο X = { 1, 2, 3, 4}. Λύση. 1. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 3) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 2. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 3), (4, 1) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 1. Η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R ϑα πρέπει να περιέχει και τα Ϲεύγη (1, 3), (1, 4), (3, 2), (1, 2). Αρα ϑα πρέπει να περιέχει και τα ακόλουθα : (2, 1) R R = (2, 2) R (1, 2) R R (4, 2) R R (2, 4) R R (3, 1) R R (1, 4) R R = (4, 4) R = (3, 4) R = (4, 3) R Εποµένως η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R ϑα πρέπει να περιέχει όλα τα διατεταγµένα Ϲεύγη στοιχείων του X. Αρα R = X X 2. Οµοια όπως παραπάνω ϐρίσκουµε ότι η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R είναι R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3), (3, 2), (1, 4), (4, 1) } Ασκηση 7. Να περιγραφούν όλες οι πιθανές σχέσεις ισοδυναµίας επί ενός συνόλου X µε 1, 2, 3, και 4 στοιχεία. Λύση. Υπενθυµιζουµε ότι υπάρχει µια 1-1 και επί αντιστοιχία µεταξύ των σχέσεων ισοδυναµίας R επί ενός συνόλου X και των διαµερίσεων επί του X: R X X R = X/R = { [x] R X x X } = { A i X i I } R = {(x, y) X X i I : x, y I } Θα χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω αντιστοιχία για να περιγράψουµε τις Ϲητούµενες σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X = {a}. Τότε X X = {(a, a)} και άρα έχουµε µόνο µια σχέση ισοδυναµίας την R = X X. Εστω X = {a, b}. Τότε X X = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. Για να ϐρούµε όλες τις σχέσεις ισοδυναµίας του X αρκεί να ϐρούµε όλες τις διαµερίσεις του. Στη περίπτωση αυτή έχουµε τη διαµέριση 1 = {a, b} = X και άρα την σχέση ισοδυναµίας R 1 = X X, και τη διαµέριση 2 = {{a}, {b}} όπου η σχέση ισοδυναµίας είναι R 2 = {(a, a), (b, b)}.

7 7 Εστω X = {a, b, c}. Τότε οι διαµερίσεις του συνόλου X και οι αντίστοιχες σχέσεις ισοδυναµίας είναι 1 = { a, b, c } = X X R 1 = X X 2 = { {a, b}, {c} } R 2 = { (a, b), (b, a), (a, a), (b, b), (c, c) } 3 = { {a, c}, {b} } R 3 = { (a, c), (c, a), (a, a), (c, c), (b, b) } 4 = { {b, c}, {a} } R 4 = { (b, c), (c, b), (b, b), (c, c), (a, a) } 5 = { {a}, {b}, {c} } R 5 = { (a, a), (b, b), (c, c) } Εστω X = {a, b, c, d}. Τότε οι διαµερίσεις του συνόλου X είναι οι ακόλουθες : 1 = { a, b, c, d } = X X 2 = { {a, b, c}, d } 3 = { {b, c, d}, {a} } 4 = { {a, c, d}, {b} } 5 = { {a, b, d}, {c} } 6 = { {a, b}, {c, d} } 7 = { {a, c}, {b, d} } 8 = { {a, d}, {b, c} } 9 = { {a, b}, {c}, {d} } 10 = { {a, c}, {b}, {d} } 11 = { {a, d}, {b}, {c} } 12 = { {b, c}, {a}, {d} } 13 = { {b, d}, {a}, {c} } 14 = { {c, d}, {a}, {b} } 15 = { {a}, {b}, {c}, {d} } Εποµένως προκύπτουν 15 σχέσεις ισοδυναµίας R i, 1 i 15, επί του συνόλου X, η περιγραφή των οποίων αφήνεται ως άσκηση. Ασκηση Στο σύνολο N N, όπου N = { 0, 1, 2, 3, }, ορίζουµε την ακόλουθη σχέση R: (a, b), (c, d) N N : (a, b) R (c, d) a + d = b + c είξτε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N N και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (N N)/R. 2. Στο σύνολο Z Z ορίζουµε την ακόλουθη σχέση S: (x, y), (a, b) Z Z : (x, y) S (a, b) xb = ya είξτε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z Z και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (Z Z )/S. Λύση. 1. Για κάθε (a, b), (c, d), (e, f) N N έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Επειδή a + b = b + a έπεται ότι (a, b) (a, b). Συµµετρική ιδιότητα : Αν (a, b) (c, d) τότε a + d = b + c = c + b = d + a = (c, d) (a, b) Μεταβατική ιδιότητα : Αν (a, b) (c, d) και (c, d) (e, f) τότε έχουµε a + d = b + c c + f = d + e = a + d + f = b + c + f = b + d + e = a + d + f = b + d + e = (a, b) (e, f) Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N N.

8 8 Εστω (a, b) N N. ακόλουθο σύνολο : Τότε η κλάση ισοδυναµίας του (a, b) ως προς τη σχέση R είναι το [(a, b)] = { (c, d) N N (a, b) (c, d) } = { (c, d) N N a + d = b + c } = { (c, d) N N a b = c d } Για να περιγράψουµε το σύνολο πηλίκο του N N ως προς την R ορίζουµε τη παρακάτω αντιστοιχία : f : (N N)/R Z, [(a, b)] R f([(a, b)] R ) = a b και ϑα δείξουµε ότι η f είναι µια καλά ορισµένη, ένα προς ένα και επί απεικόνιση. Καλά ορισµένη: Εστω [(a, b)] = [(c, d)]. Τότε (a, b) R (c, d) = a + d = b + c = a b = c d = f([(a, b)]) = f([(c, d)]) και άρα η f είναι καλά ορισµένη. Ενα προς ένα : Εστω f([(a, b)]) = f([(c, d)]). Τότε a b = c d = a + d = b + c = (a, b) (c, d) = [(a, b)] = [(c, d)] Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. Επί : Εστω k Z. Αν k 0 τότε f([(k, 0)]) = k 0 = k ενώ αν k < 0 τότε f([(0, k)]) = 0 ( k) = k. Αρα η f είναι επί. Εποµένως το σύνολο πηλίκο (N N)/R είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών. 2. Για κάθε (x, y), (a, b), (c, d) Z Z έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Επειδή x y = y x έπεται ότι (x, y) (x, y). Συµµετρική ιδιότητα : Αν (x, y) (a, b) τότε x b = y a = a y = b x = (a, b) (x, y) Μεταβατική ιδιότητα : Εστω (x, y) (a, b) και (a, b) (c, d). Τότε έχουµε x b = y a = x b d = y a d = y b c = (x d) b = (y c) b a d = b c = x d = y c διότι b 0 = (x, y) (c, d) Αρα η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z Z. Για να περιγράψουµε το σύνολο πηλίκο του Z Z ως προς την S ορίζουµε τη παρακάτω αντιστοιχία : f : Z Z /S Q, [(x, y)] S f([(x, y)] S ) = x y και ϑα δείξουµε ότι είναι µια καλά ορισµένη, ένα προς ένα και επί απεικόνιση.

9 9 Καλά ορισµένη: Εστω [(x, y)] = [(a, b)]. Τότε (x, y) S (a, b) = x b = y a = x y = a b = f([(x, y)]) = f([(a, b)]) και άρα η f είναι καλά ορισµένη. Ενα προς ένα : Εστω f([(x, y)]) = f([(a, b)]). Τότε x y = a = x b = a y = (x, y) (a, b) = [(x, y)] = [(a, b)] b Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. Επί : Εστω p q Q. Αρα p, q Z µε q 0 και τότε f([(p, q)]) = p q. Αρα η f είναι επί. Εποµένως το σύνολο πηλίκο Z Z /S είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο των ϱητών αριθµών Q. Παρατήρηση. Η παραπάνω Ασκηση κατασκευάζει : (1) το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών από το σύνολο N των ϕυσικών αριθµών ως σύνολο-πηλίκο µιας κατάλληλης σχέσης ισοδυναµίας R επί του N N. (2) το σύνολο Q των ϱητών αριθµών από το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών ως σύνολο-πηλίκο µιας κατάλληλης σχέσης ισοδυναµίας S επί του Z Z. Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι σχέσεις ισοδυναµίας R και S είναι συµβιβαστές µε τις πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού στο N και στο Z. Ασκηση 9. Εξετάστε στις παρακάτω περιπτώσεις αν η διµελής πράξη επί του συνόλου G είναι προσεταιριστική, µεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, και αν κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. (1) G = Z και a b = ab. (2) G = Z και a b = a b. (3) G = R + και a b = ab. (4) G = Q και a b = ab. (5) G = R και a b = ab. (6) G = Z + και a b = 2 ab. (7) G = Z + και a b = a b. (8) G = C και a b = a + b. Λύση. (1) Ο πολλαπλασιασµός µεταξύ ακεραίων αριθµών είναι προσεταιριστικός. Το στοιχείο e = 1 είναι το ουδέτερο της πράξης αφού 1 x = x 1 = x, x Z. Οµως για κάθε x Z δεν υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιαµό που να ανήκει στο Z. Για παράδειγµα το 6 Z και από την εξίσωση 6 x = 1 έπεται ότι x = 1 6 και 1 6 / Z. (2) Για κάθε a, b, c Z έχουµε (a b) c = (a b) c = a b c και a (b c) = a (b c) = a b + c Συνεπώς η πράξη a b = a b δεν είναι προσεταιριστική. Εστω x G έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a G. Τότε από τη σχέση a x = a έχουµε ότι x = 0 ενώ από τη σχέση x a = a έπεται ότι x = 2a. Αρα ϑα έπρεπε το a = 0, που είναι άτοπο. Συνεπώς στο σύνολο G = Z η πράξη a b = a b δεν είναι προφανώς µεταθετική, δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και άρα ούτε αντίστροφο.

10 10 (3) Η προσεταιριστική και µεταθετική ιδιότητα προφανώς ισχύουν, το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = 1 R +, και για κάθε a R + το αντίστροφο στοιχείο είναι το a = 1 a R+. (4) Η προσεταιριστική και η µεταθετική ιδιότητα ισχύουν, το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = 1, αλλά αν κ λ Q τότε το αντίστροφο στοιχείο a = λ κ µπορεί να µην ορίζεται γιατί το κ µπορεί να είναι ίσο µε µηδέν. Αντίθετα όµως στο σύνολο Q κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο µε το πολλαπλασιαµό. (5) Πολύ εύκολα διαπιστώνουµε ότι το σύνολο G = R µε πράξη τον πολλαπλασιασµό a b = ab ικανοποίει τις Ϲητούµενες ιδιότητες. (6) Η πράξη είναι µεταθετική δίοτι a b = 2 ab = 2 ba = b a αλλά δεν είναι προσεταιριστική. Εστω x Z + έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a Z +. Τότε 2 ax = a και άρα 2 ax = a = (e ln 2 ) ax = a = e ax ln 2 = a = ax ln 2 = ln a = x = ln a a ln 2 Αντίστροφα έχουµε a ln a a ln 2 = 2a ln a a ln 2 = (e ln 2 ln a a ) a ln 2 ln a a ln 2. Εποµένως το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = a a = ln a a ln 2 υπολογίζουµε το αντίστροφο στοιχείο a του a. (7) Για κάθε a, b, c Z + έχουµε ότι και (a b) c = a b c = (a b ) c = a bc a (b c) = a b c = a bc = e ln a = a Τέλος για κάθε a Z+ από τη σχέση Οµως υπάρχουν b, c Z + έτσι ώστε bc b c και άρα η πράξη δεν είναι προσεταιριστική. Επίσης η πράξη δεν είναι ούτε µεταθετική. Εστω x Z + έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a Z +. Τότε από τη σχέση a x = a έχουµε ότι a x = a και άρα x = 1, ενώ από τη σχέση x a = a έπεται ότι x a = a. Αρα για x = 1 έχουµε a = 1, που είναι άτοπο. Συνεπώς στο σύνολο G = Z + µε πράξη a b = a b δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και άρα ούτε αντίστροφο. (8) Η προσεταιριστική και µεταθετική ιδιότητα ισχύουν. Επίσης υπάρχει µιγαδικός αριθµός e = 0 + 0i = 0 C έτσι ώστε a e = a + 0 = a = 0 + a = e a για κάθε a C και άρα το e = 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο. Τέλος, για κάθε a = m + ni C υπάρχει ο µιγαδικός αριθµός a = a = m ni C έτσι ώστε a + ( a) = 0 και άρα κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. Ασκηση 10. Εστω G = R \ { 1} (δηλαδή G είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών εκτός από το 1), και ορίζουµε x, y G : x y = x + y + xy Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι µια πράξη επί του G. Να εξετασθεί αν η πράξη είναι προσεταιριστική ή µεταθετική. Να εξετασθεί αν υπάρχει στοιχείο e G έτσι ώστε : x e = x = e x, x G. Αν ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει, είναι µοναδικό ; Σ αυτή την περίπτωση να εξετασθεί αν για κάθε x G, υπάρχει y G έτσι ώστε : x y = e = y x. Τέλος να εξετασθεί αν η εξίσωση : έχει (µοναδική) λύση στο σύνολο G. a x = b Λύση. Εστω x, y G. Θα δείξουµε πρώτα ότι το x y G, δηλαδή ότι η είναι διµελής πράξη. Αν λοιπόν x y / G τότε x + y + xy = 1 = x (1 + y) + y + 1 = 0 = (x + 1) (y + 1) = 0 = x + 1 = 0 ή y + 1 = 0 και άρα x = 1 ή y = 1. Σε κάθε περίπτωση όµως έχουµε άτοπο διότι x, y G, δηλαδή x 1 και y 1. Εποµένως δείξαµε ότι η απεικόνιση ορίζει µια (διµελή) πράξη : G G G επί του G. Εστω x, y, z G. Εχουµε :

11 11 Η πράξη είναι προσεταιριστική: x (y z) = x (y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz = (x + y + xy) z = (x y) z Η πράξη είναι µεταθετική: x y = x + y + xy = y + x + yx = y x Αρα η πράξη είναι προσεταιριστική και µεταθετική. Ουδέτερο στοιχείο : Εστω στοιχείο e G έτσι ώστε x e = x = e x, x G. Τότε e (1 + x) = 0 x + e + ex = x = e + ex = 0 = = e = x 0 Το στοιχείο e = 0 G και x 0 = x x = x. Συνεπώς το e = 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Αντίστροφο στοιχείο : Εστω x G και υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα y G έτσι ώστε x y = 0. Τότε Τότε έχουµε : x x + y + x y = 0 = y (1 + x) = x = y = x 1 + x = x + x 1 + x + x ( x) 1 + x = x + x2 x x x x 1 + x G = 0 = x 1 + x x Εποµένως για κάθε x G, υπάρχει y = x 1+x G έτσι ώστε : x y = 0 = y x, δηλαδή : x = Η Εξίσωση a x = b: Για κάθε a, b G έχουµε : Αρα η εξίσωση a x = b έχει µοναδική λύση την x 1 + x a x = b = a + x + ax = b = x + ax = b a = x (1 + a) = b a = x = b a 1 + a G x = b a 1 + a

12 12 Ασκηση 11. Εστω ότι K συµβολίζει ένα από τα ακόλουθα σώµατα Q, R, C, και έστω M m n (K) το σύνολο των m n πινάκων µε στοιχεία από το K. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A, B M m n (K) καλούνται ισοδύναµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας P και αντιστρέψιµος m m πίνακας Q έτσι ώστε : Q 1 A P = B είξτε ότι ορίζοντας : A B ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον B αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M m n (K). Είναι η πρόσθεση, και ο πολλαπλασιασµός πινάκων (όταν m = n), συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων ; Λύση. Εστω A, B M m n (K). Εχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή A A : Θεωρούµε τους πίνακες I m = M m m (K) και I n = M n n (K) Τότε Im 1 A I n = I m A I n = A και άρα A A, δηλαδή ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον εαυτό του. Συµµετρική ιδιότητα δηλαδή A B B A : Επειδή A B υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P M n n (K) και Q M m m (K) έτσι ώστε Q 1 A P = B = Q B P 1 = A = (Q 1 ) 1 B P 1 = A = B A Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή A B και B C A C : Επειδή A B και B C, υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P 1, P 2 M n n (K) και Q 1, Q 2 M m m (K) έτσι ώστε Q 1 1 A P 1 = B Q 1 2 B P 2 = C Αρα η σχέση = Q 1 2 Q 1 1 A P 1 P 2 = C = (Q 1 Q 2 ) 1 A (P 1 P 2 ) = C είναι σχέση ισοδυναµίας στο M m n (K). Από την Γραµµική Αλγεβρα, γνωρίζουµε ότι : A B r(a) = r(b) = A C όπου r(a) είναι η ϐαθµίδα του πίνακα A. Θεωρούµε τους πίνακες : A = = B, Γ = και = Τότε A B και Γ διότι r(a) = r(b) = 1 και r(γ) = r( ) = 1. Οµως r(aγ) = 0 1 = r(b ) αφού A Γ = και B = Συνεπώς AΓ B και άρα ο πολλαπλασιασµός πινάκων (όταν m = n) δεν είναι συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων.

13 Θεωρούµε τους πίνακες A, Γ και όπως παραπάνω. Τότε A A και Γ αλλά r(a + Γ) = 1 2 = r(a + ), αφού A + Γ = και A + = Εποµένως A + Γ A + και άρα η πρόσθεση πινάκων (όταν m = n) δεν είναι συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων. 13

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές οµές Ι. Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

Αλγεβρικές οµές Ι. Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Αλγεβρικές οµές Ι Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης 2 Περιεχόµενα 1 Οµάδες 5 1.1 Μια σύντοµη ιστορική αναδροµή στο «Λογισµό της συµµετρίας» 5 1.2 ιµελείς Πράξεις.........................

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Σηµειώσεις. Γεώργιος Ραχώνης Αναπληρωτής καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Σηµειώσεις. Γεώργιος Ραχώνης Αναπληρωτής καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Σηµειώσεις Γεώργιος Ραχώνης Αναπληρωτής καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών, Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2014 2 Copyright c Γεώργιος Ραχώνης, 2014. All rights re reserved. Περιεχόµενα 1 Προκαταρκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα