Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων

Transcript

1 ιακριτά Μαθηματικά Ι Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ιμελείς Σχέσεις 2 Καρτεσιανό Γινόμενο Μεταξύ Συνόλων Ορισμός: Το καρτεσιανό γινόμενο δυο διαφόρων του κενού συνόλων Α και Β είναι το σύνολο το οποίο αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a A και b B. ΑxΒ = { (a, b): a A, b B} Καρτεσιανό Γινόμενο Μεταξύ Συνόλων Εάν Α = {a, b, c} και Β = {1, 2}, τότε το καρτεσιανό γινόμενο των A, B είναι ΑxΒ ={(a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2),(c, 1), (c, 2)} Γενίκευση: ιμελής Σχέση R Ορισμός: Μια (διμελής) σχέση R από το σύνολο S στο σύνολο Τ είναι ένα υποσύνολο του SxT. Όταν R SxT και (s, t) R, τότε λέμε ότι το στοιχείο s σχετίζεται με το στοιχείο t και συμβολίζουμε srt. Στην περίπτωση όπου S = T, οπότε R S 2, λέμε ότι έχουμε μια σχέση στο σύνολο S. Πίνακας Σχέσης R Ορισμός: Εάν R είναι μία σχέση ανάμεσα σε δύο σύνολα, τότε ορίζουμε τον πίνακα της σχέσης ως τον ακόλουθο πίνακα με στοιχεία r ij, όπου: r ij = 1 αν (s i, t j ) R 0 αλλιώς 5 6 1

2 Πίνακας Σχέσης R Εάν S={s 1,s 2,s,s } και Τ ={t 1,t 2,t,t,t 5 }, έστω ότι ορίζουμε τη σχέση: R = {(s 1, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s, t 1 ), (s,t ), (s,t 5 )} SxT Πίνακας Σχέσης R (παράδειγμα εναλλακτικός συμβολισμός) Εάν S={s 1,s 2,s,s } και Τ ={t 1,t 2,t,t,t 5 }, έστω ότι ορίζουμε τη σχέση: R = {(s 1, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s, t 1 ), (s,t ), (s,t 5 )} SxT Τότε ο πίνακας της σχέσης R θα είναι: Τότε ο πίνακας της σχέσης R θα είναι: 7 8 Σχέση R (παραδείγματα) H σχέση < στο σύνολο των ακεραίων ορίζεται ως εξής: Λέμε ότι ο ακέραιος n είναι μικρότερος από τον ακέραιο m εάν η διαφορά τους m n είναι φυσικός αριθμός. n < m m n N Η σχέση < είναι υποσύνολο του Z 2 και περιέχει ως στοιχεία κάποια διατεταγμένα ζεύγη της μορφής: (2, 5), (, 5), (-, 7), αλλά δεν περιέχει τα: (5,1), (8, 6), (, ), κτλ. εύτερος συμβολισμός: Σχέση R (παραδείγματα - συνέχεια) H σχέση ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. ={(n, m): m, n Z, m n N {0} } Z 2 ιαπιστώνεται εύκολα ότι η σχέση έχει τις εξής ιδιότητες: n n ανακλαστική ιδιότητα n m, m n n=m αντισυμμετρική ιδιότητα n m, m p n p <={(n, m): m, n Z, m n N } Z 2 μεταβατική ιδιότητα 9 10 Ανακλαστική & Μη-ανακλαστική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται ανακλαστική, αν x S, (x, x) R ή ισοδύναμα, αν ισχύει xrx. Η σχέση ονομάζεται μη-ανακλαστική, εάν x S, (x, x) R. Σημείωση: Μια σχέση που δεν ικανοποιεί την ανακλαστική ιδιότητα, δεν είναι απαραίτητα μη-ανακλαστική. 11 Ανακλαστική & Μη-ανακλαστική Ιδιότητα Έστω το σύνολο S={a,b,c}καιοισχέσεις R 1,R 2 και R που ορίζονται σε αυτό (S 2 ): R 1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}, R 2 = {(a, a), (b, c), (c, c)}, R = {(a, b), (b, c), (c, a)} Να βρεθεί ποιες σχέσεις είναι ανακλαστικές και ποιες είναι μη-ανακλαστικές. 12 2

3 Συμμετρική & Αντισυμμετρική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται συμμετρική, αν η παρουσία του (x, y) στο R συνεπάγεται και την παρουσία του (y, x) στο R, x, y S, ή ισοδύναμα, εάν ισχύει: (x, y) R (y, x) R ή xry yrx ΗσχέσηR ονομάζεται αντισυμμετρική, αν η ταυτόχρονη παρουσία των (x, y) και (y, x) στο R συνεπάγεται την ισότητα των x και y, x,y S, ήισοδύναμα, αν ισχύει: (x, y) R και (y, x) R x = y xry και yrx x = y ή 1 Συμμετρική & Αντισυμμετρική Ιδιότητα Έστω το σύνολο S={a,b,c}καιοισχέσεις R,R 5,R 6 και R 7 που ορίζονται σε αυτό: R = {(a, a), (b, c), (c, b)}, R 5 = {(b, a), (a, c), (c, b)} R 6 = {(a, a), (c, c)}, R 7 = {(a, b), (a, c), (c, a)} Να βρεθεί ποιες σχέσεις είναι συμμετρικές και ποιες είναι αντισυμμετρικές. 1 Μεταβατική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται μεταβατική, αν η ταυτόχρονη παρουσία των (x, y) και (y, z) στο R συνεπάγεται την παρουσία του (x, z) στο R, x,y,z S, ήισοδύναμα, αν ισχύει: (x, y) R και (y, z) R (x, z) R ή xry και yrz xrz Μεταβατική Ιδιότητα Έστω η σχέση R 8 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c)} που ορίζεται επί του συνόλου S={a,b,c}. Να εξεταστεί αν η σχέση είναι μεταβατική. Να σχεδιαστεί ο πίνακας της σχέσης R Σχέση R και Πίνακας Σχέσης R (ασκήσεις) 1. Έστω το σύνολο S = {s 1, s 2, s, s } και η σχέση R που ορίζεται από τον παρακάτω πίνακα: Σχέση R και Πίνακας Σχέσης R (ασκήσεις - συνέχεια) 2. Έστω το σύνολο S={s 1,s 2,s } και η σχέση R που ορίζεται από τον παρακάτω πίνακα: Μελετώντας τον πίνακα, να βρεθεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιεί ησχέσηr. 17 Μελετώντας τον πίνακα, να βρεθεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιεί ησχέσηr. 18

4 Σχέσεις (ασκήσεις) 1. Έστω οι παρακάτω πέντε σχέσεις στο σύνολο S = {1, 2,, }: a. R 1 = {(1,1), (1,2), (2,), (1,), (,)} b. R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (,), (,)} c. R = {(1,), (2,1)} d. R = SxS (η γενικήσχέση) Να προσδιοριστεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιούν οι σχέσεις R 1, R 2, R και R. 19 Σχέσεις (ασκήσεις - συνέχεια) 2. Έστω οι παρακάτω σχέσεις: a. Ησχέση (μικρότερο ή ίσο) επί του συνόλου Z των ακεραίων b.η σχέση (καθετότητα) επί του συνόλου L των ευθειών του επιπέδου c. Ησχέση (παραλληλία) επί του συνόλου L των ευθειών του επιπέδου. d.η σχέση/(διαιρετότητα) επί του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών (στη σχέση αυτή είναι x/y εάν υπάρχει z: x/y=z, με x, y, z N). Να προσδιοριστεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιούν οι σχέσεις αυτές. 20 Κατευθυνόμενα Γραφήματα * Έστω το σύνολο S={1,2,,}και η σχέση R = {(1,2), (2,2), (2,), (,2), (,), (,1), (,)} S Κατευθυνόμενα Γραφήματα Έστω το σύνολο S={1,2,,}και η σχέση R = {(1,1), (2,2), (2,), (,2), (,2), (,)} Να σχεδιαστεί ο πίνακας και το κατευθυνόμενο γράφημα της σχέσης R. Να εξεταστεί αν η σχέση R είναι ανακλαστική, μη-ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Κατευθυνόμενο Γράφημα της σχέσης R Σχέσεις Ισοδυναμίας Ορισμός: Έστω R μια σχέση στο μη κενό σύνολο S. Η σχέση R ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας επί του S αν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Ακριβολογώντας, η σχέση R ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας επί του S αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: Σχέσεις Ισοδυναμίας (παραδείγματα) 1. Έστω η παρακάτω σχέση επί του συνόλου S = {1, 2, }: R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (,)} Να εξεταστεί εάν η σχέση R είναι σχέση ισοδυναμίας επί του S. a S, ara (ανακλαστική) Εάν arb τότε bra (συμμετρική) Εάν arb και brc τότε arc (μεταβατική) 2 2

5 ιακριτά Μαθηματικά Ι ιμελείς Σχέσεις - Πέρας Παρουσίασης - Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 5