HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HY118- ιακριτά Μαθηµατικά"

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1

2 Μαθηµατική Επαγωγή 2

3 Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρήτεχνικήγια να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(0) k 0 (P(k) P(k+1)) n 0 P(n) (βάση της επαγωγής) (επαγωγικό βήµα) 3

4 Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρήτεχνικήγια να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(0) k 0 (P(k) P(k+1)) (επαγωγικό βήµα) n 0 P(n) Μοιάζει µε domino! (βάση της επαγωγής) 4

5 Το Domino Effect Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+1 Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! 1 0 5

6 Το Domino Effect Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+1 Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! 0 1 Αυτό ισχύει και για απείρως πολλά ντόµινο!

7 Θυµηθείτετην άµεση απόδειξη: Έχουµε υποθέσεις p, θέλουµε να αποδείξουµε το συµπέρασµα q. Βρες ένα s 1 τέτοιο ώστε p s 1 Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 1. Μετά, βρές s 2 τέτοιο ώστε s 1 s 2. Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 2.. και τελικά βρίσκουµε ένα s n τ.ω.: s n q. 7

8 Ορθότητα της επαγωγής Γιατί το n 0P(n)είναι ένα ορθό συµπέρασµα, εάν η βάση της επαγωγής και η επαγωγική υπόθεση ισχύουν; Θεωρείστε ένα k 0. Το επαγωγικό βήµα k 0 (P(k) P(k+1)) σηµαίνει ότι (P(0) P(1)) (P(1) P(2)) (P(k) P(k+1)) για κάθε k Η βάση της επαγωγήςµας λέει ότι P(0). Μία εφαρµογή του Modus Ponens (σε συνδυασµό µε το ότι (P(0) P(1))) µας δίνει ότι P(1); Άλλη µία µας δίνει ότι P(2), και ούτω καθεξής µέχρι την P(k) (χρησιµοποιώντας συνολικά k+1 βήµατα Modus Ponens)). Εποµένως, n 0P(n). 8

9 Οι επαγωγικές αποδείξεις έχουν µία συγκεκριµένη δοµή: Π.χ., αποδείξτε ότι n 0 P(n) Αν αποδείξουµετη βάση της επαγωγήςκαι το επαγωγικό βήµα, τότε από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής προκύπτει ότι n 0 P(n). Βάση της επαγωγής: Απόδειξη ότι P(0). Επαγωγικό βήµα: Απόδειξη ότι k P(k) P(k+1). Π.χ.,µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε άµεση απόδειξη, ως ακολούθως: Υποθέτουµε ότι για τυχαίο k, ισχύει ότι P(k). (επαγωγική υπόθεση = ΕΥ) Με βάση αυτή την υπόθεση, αποδεικνύουµε ότι P(k+1). 9

10 Γενίκευση της επαγωγής Ο κανόνας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αποδειχτεί ότι n c P(n)για µία σταθερά c, όπου πιθανά, c 0. Σε αυτή την περίπτωση, το βασικό βήµα είναι η απόδειξη της P(c) αντί της P(0), και το επαγωγικό βήµα συνίσταται στην απόδειξη του ότι k c (P(k) P(k+1)). 10

11 Ένα παράδειγµα επαγωγικής απόδειξης Αποδείξτε ότι n>0, n<2 n. Έστω P(n)=(n<2 n ) Βάση επαγωγής: P(1)=(1<2 1 )=(1<2)=Αληθές. Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε k>0, P(k) P(k+1). Υποθέτουµε ότι P(k),δηλαδή ότι, k<2 k και µε βάση αυτό θα αποδείξουµε ότι k+1 < 2 k+1. Από την επαγωγική υπόθεση έχουµε ότι k<2 k =>k+1 < 2 k +1 < 2 k + 2 k (επειδή 1<2 k, αφού k>0) = 2 k+1 Εποµένως k + 1 < 2 k+1, (δηλαδή, P(k+1)).ΟΕ Εποµένως, n>0, n<2 n 11

12 εύτερο παράδειγµα Αποδείξτε επαγωγικά ότιτο άθροισµατων πρώτων nπεριττών φυσικών είναι ίσο µε n 2. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n 1: (2i 1) = n i=

13 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό» 13

14 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό» 1 14

15 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

16 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

17 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

18 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

19 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

20 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό»

21 Γεωµετρική ερµηνεία «Για να φτιάξεις το επόµενο τετράγωνο, αρκεί να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό» =7 2 21

22 εύτερο παράδειγµα Αποδείξτε επαγωγικά ότιτο άθροισµατων πρώτων n περιττών φυσικών ακεραίων είναι ίσο µε n 2. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n 1: (2i 1) = n i= 1 P(n) Επαγωγική απόδειξη Βάση επαγωγής: Έστω n=1. Το ζητούµενο άθροισµα είναι ίσο µε 1, το οποίο ισούται µε

23 Συνέχεια... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k 1: P(k) P(k+1). Έστω k 1, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+1). k 2 = (2i 1) i= 1 k 2 k k i k + (2( + 1) 1) = (2 1) + (2( + 1) 1) i= 1 k+ 1 2 k k i = (2 1) i= 1 k+ 1 2 ( k+ 1) = (2i 1) k i= 1 23

24 Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k 1: P(k) P(k+1). Έστω k 1, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+1). k+ 1 k (2i 1) = (2i 1) + (2( k+ 1) 1) i= 1 i= 1 24

25 Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k 1: P(k) P(k+1). Έστω k 1, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+1). k+ 1 k (2i 1) = (2i 1) + (2( k+ 1) 1) i= 1 i= 1 Από την επαγωγική υπόθεση P(k) k 2k 1 2 = + + = ( k+ 1) 2 25

26 Τετράγωνα Έστω P(n) = Αν αφαιρέσεις ένα τετράγωνο από ένα πίνακατετραγώνων 2 n x 2 n, n>0, τότε µπορείς να καλύψεις τα υπόλοιπα τετράγωνα µε κοµµάτια σχήµατος L που έχουν τρία τετράγωνα το καθένα. 26

27 Τετράγωνα: βάση της επαγωγής Βάση της επαγωγής: n=1 Πίνακας 2x2. Αν αφαιρέσουµε 1 (µπλέ), τα υπόλοιπα 3 φτιάχνουν ένα σχήµα Lµε τρία τετράγωνα (κόκκινο). Εποµένως, η P(1) ισχύει. 27

28 Τετράγωνα: επαγωγικό βήµα Επαγωγική υπόθεση: αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνοαπό ένα πίνακα διαστάσεων 2 k x2 k, τα υπόλοιπα µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν ισχύει η επαγωγική υπόθεση, τότε, αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων 2 k+1 x2 k+1, τα υπόλοιπα τετράγωνά του µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. 28

29 Απόδειξη επαγωγικού βήµατος Επαγωγικό βήµα: (2 k+1 ) x (2 k+1 ) ισοδύναµο µε (2 k 2 1 ) x (2 k 2 1 ), δηλαδή 4x(2 k x2 k ). Αυτό είναι ένα τετράγωνο κατασκευασµένο από 4 τετράγωνα διαστάσεων (2 k x 2 k ). Από οποιοδήποτε από τα 4 τετράγωνα, αφαίρεσε ένα. Τότε αυτό, από την επαγωγική υπόθεση µπορεί να καλυφθεί από σχήµατα L τριών τετραγώνων. Τοποθέτησε ένα σχήµα L 3 τετραγώνων µε τρόπο τέτοιο ώστε καθένα από τα τρία τετράγωνά του να ανήκει σε ένα διαφορετικό από τα τρία εναποµείναντα τετράγωνα µεγέθους 2 k x 2 k Σε καθένα από τα 3 αυτά τετράγωνα θα λείπει ακριβώς ένα µικρό τετράγωνο, εποµένως, από την επαγωγική υπόθεση, καθένα από αυτά, θα µπορεί να καλυφθεί µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Εποµένως, από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής, η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό n. 29

30 Οπτικοποίηση 30

31 Γεωµετρικό παράδειγµα Ποιο είναι το µέγιστο πλήθοςσηµείων τοµής n διαφορετικών ευθειών στο επίπεδο; 31

32 Γεωµετρικό παράδειγµα f (1) = 0 32

33 Γεωµετρικό παράδειγµα f (2) = 1 33

34 Γεωµετρικό παράδειγµα f (3) = 3

35 Γεωµετρικό παράδειγµα f (4) = 6 35

36 Γεωµετρικό παράδειγµα f (5) = 10 36

37 Γεωµετρικό παράδειγµα Έχουµε: n = 1, 2, 3, 4, 5 f (n) = 0, 1, 3, 6, 10 Ερώτηση: Ποια είναι η σχέση που συνδέει αυτές τις τιµές; 37

38 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: f (n) = f (n-1) + n 1 Ερώτηση: Πως βρίσκουµε µία «κλειστή» σχέση; 38

39 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 39

40 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 40

41 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 41

42 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 42

43 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 43

44 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n 2 + n 1 44

45 Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n 2 + n 1 6. Για να φτάσουµε στο n = 1, ας θέσουµε i = n 1 7. f (n) = f (1) n-3 + n 2 + n 1= 0 Πόσο είναι αυτό; n 1 + i = 1 i 45

46 Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 46

47 Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 47

48 Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e n n n( n 1) 2x+ n= n x= x= 2 2

49 Επαγωγική απόδειξη Θεώρηµα: Το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n>0 ευθειών στο επίπεδο είναι n(n-1)/2. Βάση της επαγωγής: Για n = 1, υπάρχει µία µόνο ευθεία και εποµένως δεν υπάρχει κανένα σηµείο τοµής. Επίσης για n=1, n(n-1)/2 = 0. Εποµένως, η βάση της επαγωγής ισχύει. 49

50 Γεωµετρικό παράδειγµα Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν k ευθείες έχουν το πολύ k(k -1)/2 σηµεία τοµής, τότε οι k+1 ευθείες, έχουν το πολύ (k+1)k/2 σηµεία τοµής Παρατηρούµε ότι η πρόσθεση µίας ευθείας σε k ευθείες, δηµιουργεί το πολύ kνέα σηµεία τοµής. Εποµένως, για k +1 ευθείες έχουµε k(k-1)/2 + k = (k(k-1)+2k)/2 =(k 2 +k)/2 = k(k+1)/2. Αυτό αποδεικνύει το επαγωγικό βήµα, κι εποµένως ολοκληρώνει την απόδειξη. 50

51 Επαγωγή και αναδροµή Η επαγωγή είναι ένα φυσικό εργαλείο για την απόδειξη ιδιοτήτων αναδροµικά ορισµένων αντικειµένων. Για παράδειγµα, θεωρείστε την ακολουθία Fibonacci: {f n } = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, που ορίζεται ως f 0 = 0, f 1 = 1, και για n>1 f n = f n-1 +f n-2. Θεώρηµα: Για όλους τους φυσικούς n, 2 f 3n. 51

52 Επαγωγή και αναδροµή Απόδειξη. Βάση επαγωγής n = 0. f 3 0 = f 0 = 0 το οποίο διαιρείται ακριβώς µε το 2 b Επαγωγικό βήµα, n > 0: f 3n = f 3n-1 +f 3n-2 = (f 3n-2 +f 3n-3 )+f 3n-2 = 2f 3n-2 +f 3n-3 = 2f 3n-2 +f 3(n-1) Από την επαγωγική υπόθεση, 2 f 3(n-1) εποµένως 2 (2f 3n-2 +f 3(n-1) ) κι εποµένως 2 f 3n. 52

53 2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: P(c) k c: ( i c i k P(i)) P(k+1) n c: P(n) P αληθής για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις Η διαφορά µεταξύ της 2 ης και της 1 ης αρχής της επαγωγής είναι ότι το συµπέρασµα P(k+1) του επαγωγικού βήµατος βασίζεται στην ισχυρότερη υπόθεση ότι η P(i) είναι αληθής για κάθε αριθµό i k, και όχι µόνο ότι P(k). 53

54 Απόδειξη προτάσεων µε βάση τη 2 η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής Για να αποδείξουµε την πρόταση n c P(n) κάνουµε το παρακάτω: Αποδεικνύουµε την βάση της επαγωγής, P(c) Θεωρώντας ένα τυχαίο k 0, υποθέτουµε ότι αν i όπου c i k P(i) τότε P(k+1) Με βάση την 2 η αρχή της επαγωγής, αυτό αποδεικνύει ότι n c: P(n) 54

55 Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: είξτε ότι κάθεακέραιος n>1 µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο p 1 p 2 p s s το πλήθος, πρώτων αριθµών. Έστω P(n)= Ο nµπορεί να γραφεί σαν γινόµενο s το πλήθος, πρώτων αριθµών Βασικό βήµα: n=2, έστω s=1, p 1 =2. Επαγωγικό βήµα:έστω n 2. ΕΥ: υποθέτω i 2 i k: P(i). Πρέπει να αποδείξω ότι P(k+1). Για τον k+1 υπάρχουν 2 περιπτώσεις: O k+1 είναι πρώτος. Tότεέστω s=1, p 1 =k+1. O k+1 δεν είναι πρώτος. Tότευπάρχουν ακέραιοι aκαι b τέτοιοι ώστε k+1=ab, όπου 2 a k and 2 b k. Τότε (απόευ) a=p 1 p 2 p t και b=q 1 q 2 q u. Συνεπώς, k+1 = p 1 p 2 p t q 1 q 2 q u, γινόµενο από s=t+uπρώτους. 55

56 2 ο παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα:Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των12 ευρώµπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4και 5Ευρώ. P(n)= ταχ. τέλος n>=12ευρώ µπορεί να δηµ. µε γραµµατόσηµα των 4 και 5 ευρώ Βάση επαγωγής: 12=3γρ. x 4 Ευρ., 13=2γρ. x 4Ευρ. + 1γρ. x 5Ευρ., 14=1γρ. x 4Ευρ. + 2γρ. x 5Ευρ., 15=3γρ. x 5 Ευρ. εποµένως, i 12 i 15, P(i). 56

57 Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα:Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των12 ευρώµπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. Επαγωγικό βήµα:έστω k 15, Έστω ότι i 12 ι k P(i). Πρέπει να αποδείξουµε ότι P(k+1): Πράγµατι: Ξέρουµε ότι P(k 3), επειδή 12 k 3 k. Αλλά από την P(k 3)προκύπτει άµεσα η P(k+1): απλά προσθέστε ένα γραµµατόσηµο των 4ευρώ! 57

58 Βρέστε το σφάλµα!!! Θεώρηµα : Όλα τα σύνολα αλόγων είναι οµοιόµορφα, µε την έννοια ότι όλα τα στοιχεία τους έχουν το ίδιο χρώµα (!?!?) Μέθοδος: επαγωγή πάνω στον πληθικό αριθµό του συνόλου P(x):Όλα τα σύνολα µε πληθικό αριθµό xείναι οµοιόµορφα

59 Βρέστε το σφάλµα Απόδειξη : Βασικό βήµα: P(1) (Τετριµµένο) Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι k (P(k) P(k+1)) Θεωρείστε ένα σύνολο S= {α 1,α 2,,α k+1 } από k+1 άλογα. Χωρίστε το S στα υποσύνολά του A και Bκαθένα από τα οποία έχει kστοιχεία: A= {α 1,α 2, α k } B= {α 2,α 3,,α k+1 } Και το A είναι οµοιόµορφο και το B είναι οµοιόµορφο. Επιπλέον ισχύει A B, και εποµένως το σύνολο A B είναι οµοιόµορφο. ΟΕ (!?!?!?!?!?)

60 Βρέστε το σφάλµα Στην απόδειξη χρησιµοποιήσαµε το ότι A B, αλλά αυτό *δεν* ισχύει γενικά! (πχ. έστε τι συµβαίνει για Α = Β = 1...) το πρώτο «ντόµινο» αρνείται να πέσει

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική επαγωγή. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. 2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα:

Μαθηµατική επαγωγή. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. 2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 29/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 Σχέσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 Σχέσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/30/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 06/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2! HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/16/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

20 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ. Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού. Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα.

20 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ. Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού. Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα. 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ Μάιος 003 Χρόνος: 4 ½ Ώρες Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα. Πρόβληµα. Υπάρχει σύνολο Β µε στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα

1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα Υποθέσεις και Θεωρήµατα Στο Λύκειο αλλά πολλές ϕορές και στο Πανεπιστήµιο τα µαθηµατικά µας παρουσιάζονται σαν έτοιµο προΐόν. Βλέπουµε συνήθως τη µια πλευρά των πραγµάτων, τη ϕωτεινή πλευρά όπου ϐρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 01/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/3/2016

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διµελής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Την προηγούµενη φορά. Αντισυµµετρικότητα. 13 Σχέσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Την προηγούµενη φορά. Αντισυµµετρικότητα. 13 Σχέσεις HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/207 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/207

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Συναρτήσεις «επί» 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Συναρτήσεις «επί» 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 12/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/13/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα