ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ Φαξ: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή, 1 Μαΐου 201 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΡΟΣ Α : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. 1. Δίνεται κύλινδρος με ακτίνα βάσης 5 cm. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι τριπλάσιο της ακτίνας της βάσης του, να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου. Ακτίνα: R = 5cm Ύψος: υ = R = 15cm Όγκος: V = πr 2 υ = π cm = 75π cm. 2. Δίνεται η λέξη «A N A K Α Μ Ψ Η». Να βρείτε: α) το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. β) πόσοι από αναγραμματισμούς αυτούς έχουν όλα τα σύμφωνα τους συνεχόμενα. α) Α Ν Α Κ Α Μ Ψ Η Τα γράμματα της λέξης είναι: Α, Α, Α, Η, Ν, Κ, Μ, Ψ Άρα το πλήθος των αναγραμματισμών είναι Μ ε 8 = 8! = 4020 = 6720! 6 β) Θεωρούμε τα 4 σύμφωνα Ν, Κ, Μ, Ψ ως ένα «γράμμα», οπότε έχουμε 5 «γράμματα», από τα οποία τα είναι ίδια (Α, Α, Α). 1

2 Το πλήθος των αναγραμματισμών των 5 «γραμμάτων» είναι Μ 5 ε = 5!! = 20. Επίσης, το πλήθος των αναγραμματισμών των 4 συμφώνων είναι Μ 4 = 4! = 24. Σύμφωνα με την Βασική Αρχή της Απαρίθμησης, το πλήθος των των αναγραμματισμών με όλα τα σύμφωνά τους συνεχόμενα είναι = Ορθό πρίσμα έχει ύψος 6 cm και βάση τετράγωνο πλευράς 5 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσματος. Πρώτος τρόπος Ακμή βάσης: α = 5 cm Ύψος πρίσματος: υ = 6 cm Περίμετρος βάσης: Π β = 4α = 20 cm Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: Ε π = Π β υ = 20 6 cm 2 = 120 cm 2 Εμβαδόν βάσης: Ε β = α 2 = 25 cm 2 Εμβαδόν ολικής επιφάνειας: Ε ολ. = Ε π + 2Ε β = 170 cm 2. Δεύτερος τρόπος Το ορθό πρίσμα του προβλήματος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις α = 5 cm, β = 5 cm, γ = 6 cm. Άρα το εμβαδόν ολικής επιφάνειας είναι Ε ολ. = 2(αβ + βγ + γα) = 2( ) cm 2 = 170 cm Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων παρουσιάζονται τα επιστημονικά πεδία σπουδών και το πλήθος των μαθητών που επέλεξαν το κάθε επιστημονικό πεδίο, σαν πρώτη επιλογή τους, τη σχολική χρονιά , ενός τμήματος της Γ Λυκείου. α) Να υπολογίσετε το σύνολο των μαθητών του τμήματος. β) Να βρείτε το ποσοστό % των μαθητών που επέλεξαν το πεδίο σπουδών Δ. α) Το σύνολο των μαθητών του τμήματος είναι: = 24 β) Το ποσοστό των μαθητών που επέλεξαν το πεδίο Δ είναι 6 24 = 6 % = 25 % 24 2

3 5. Έμπορος αγόρασε εμπορεύματα αξίας με έκπτωση 0% πάνω στην αξία των εμπορευμάτων. α) Να βρείτε πόσα ευρώ κόστισαν τα εμπορεύματα. β) (Πώλησε) τα εμπορεύματα με κέρδος 20% πάνω στο κόστος αγοράς των εμπορευμάτων. Να βρείτε πόσα ευρώ κέρδισε. Πρώτος τρόπος α) Αξία Έκπτωση Κόστος x = 70 x = ευρώ x β) Κόστος Κέρδος y Δεύτερος τρόπος α) Κόστος: β) Κέρδος: = ευρώ = ευρώ. = 20 y = ευρώ y 6. Ο μέσος όρος της ηλικίας 10 παιδιών και 8 γονιών είναι 25 χρόνια. Αν ο μέσος όρος της ηλικίας των 8 γονιών είναι 40 χρόνια, να βρείτε: α) το μέσο όρο που έχουν οι ηλικίες των 10 παιδιών σήμερα, και β) το μέσο όρο που θα έχουν οι ηλικίες των γονιών μετά από 5 χρόνια. α) Πλήθος Μέση ηλικία Μαθητές 10 x Μ Γονείς 8 x Γ = 40 Σύνολο 18 x = 25 Ισχύει, 10 x Μ + 8 x Γ = 18 x 10 x Μ = x Μ = 1 χρόνια β) Μετά από 5 χρόνια ο νέος μέσος όρος των ηλικιών των 8 γονιών θα είναι x Γ = x Γ + 5 = = 45 χρόνια.

4 7. Ένα κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο για δύο χρόνια ως εξής: τα του κεφαλαίου προς 5% και το 7 υπόλοιπο μέρος του κεφαλαίου προς 4%. Να βρείτε το κεφάλαιο αν ο συνολικός τόκος που θα αποδώσει σε δυο χρόνια είναι 620. Αρχικό Κεφάλαιο : Κ Κεφάλαιο Κ 1 = 7 Κ, αντίστοιχος τόκος σε 2 χρόνια προς 5%: Τ 1 = Κ 1 E 1 X Κεφάλαιο Κ 2 = 4 7 Κ, αντίστοιχος τόκος σε 2 χρόνια προς 4%: Τ 2 = Κ 2 E 2 X Συνολικός τόκος: Τ 1 + Τ 2 = 620 0K + 2K 62K = 620 = 620 Κ = 7000 ευρώ Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(A) = 2 5, P(B ) = 2, Ρ(Α Β) = Να βρείτε τις πιθανότητες P(B), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Ω). Ρ(Β) = 1 Ρ(Β ) = 1 2 = 1 = 0K 700 = 2K 700 Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) 2 15 = 2 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = 4 15 Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = = 7 15 Ρ(Ω) = Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι Ε ολ. = 84 cm 2 και το παράπλευρο ύψος της είναι ίσο με τα 5 της ακμής της βάσης της. 6 α) Να αποδείξετε ότι το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας είναι α = 12 cm. β) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. Πλευρά βάσης: α Παράπλευρο ύψος: h = 5 6 a Ύψος πυραμίδας: υ α) Ε ολ. = Ε π + Ε β 84 = 1 2 Π βh + α 2 84 = 1 2 4a 5 6 a + a2 8 a2 = 84 a 2 = 144 a = 12 cm. β) h = 5 a = 5 12 cm = 10 cm 6 6 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ είναι ΛΜ = α, ΚΛ = υ και ΚΜ = h. 2 Δ A Κ Λ Γ Μ Β 4

5 Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα: Ο όγκος της πυραμίδας είναι h 2 = ( a 2 ) 2 + υ 2 = 6 + υ 2 υ 2 = 64 υ = 8 cm V = E β υ = = 84 cm 10. Σε ένα δοχείο Δ 1 υπάρχουν 6 κόκκινες και 2 πράσινες μπάλες. Σε ένα άλλο δοχείο Δ 2 υπάρχουν 6 κόκκινες και μερικές άσπρες μπάλες. α) Επιλέγω μια μπάλα από το δοχείο Δ 1. Να βρείτε τη πιθανότητα του ενδεχομένου Π: «η μπάλα είναι πράσινη». β) Αν η πιθανότητα να επιλέξω μια άσπρη μπάλα από το δοχείο Δ 2 είναι διπλάσια της πιθανότητας να επιλέξω μια πράσινη μπάλα από το δοχείο Δ 1, να βρείτε πόσες είναι οι άσπρες μπάλες του δοχείου Δ 2. α) Για το πρώτο δοχείο Δ 1 : Ρ(Π) = 2 = β) Για το δεύτερο δοχείο Δ 2 : Θεωρούμε το ενδεχόμενο Α: «Επιλογή άσπρης μπάλας από το Δ 2». Αν οι άσπρες μπάλες στο δοχείο Δ 2 είναι x, τότε Ρ(Α) = 2Ρ(Π) x x + 6 = 1 2x = x + 6 x = 6 2 ΜΕΡΟΣ Β Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β'. 1. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των ορθογραφικών λαθών που έκαναν οι μαθητές ενός Λυκείου σε μια έκθεση ιδεών. Αριθμός λαθών (Χ i ) Αριθμός (μαθητών) (f i ) Να βρείτε: α) την επικρατούσα τιμή (Χ ε ) β) την διάμεσο της κατανομής (Χ δ ) γ) τη μέση τιμή (Χ ) και δ) την τυπική απόκλιση (σ) των λαθών. 5

6 α) Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα: Χ ε = 2 β) Τα επόμενα ερωτήματα θα απαντηθούν με τη βοήθεια του ακόλουθου πίνακα X i f i Σ f i X i X i X (X i X ) 2 f i (X i X ) Σf i = 90 Σf i X i = 270 Σf i (X i X ) 2 = 282 Αφού έχουμε ν = 90 παρατηρήσεις, τότε η διάμεσος της κατανομής είναι ο μέσος όρων των παρατηρήσεων που βρίσκονται στη ν 2 = 45η και στη ν = 46η θέση. Από τον πίνακα βλέπουμε ότι η 45 η κι η 46 η παρατήρηση είναι ίσες με, άρα η διάμεσος είναι Χ δ = + =. 2 γ) Η μέση τιμή είναι X = f ix i = 270 = f i 90 δ) Η τυπική απόκλιση είναι σ = f i (X i X ) 2 f i = = 1,77 2. Μια εταιρεία κάλεσε σε συνέντευξη 8 άνδρες και 10 γυναίκες για την πλήρωση έξι κενών θέσεων εργασίας. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η πλήρωση των θέσεων, αν: α) δεν υπάρχει κανένας περιορισμός. β) θα προσληφθούν άνδρες και γυναίκες. γ) θα προσληφθούν τουλάχιστον 4 άνδρες. δ) θα προσληφθούν άτομα του ιδίου φύλου. α) Δεν υπάρχει περιορισμός, άρα πρέπει να επιλέξουμε 6 άτομα από τα 18 άτομα που έχει η εταιρία στη διάθεση της. Υπάρχουν ( 18 6 ) = 18! = διαφορετικοί τρόποι να γίνει η πλήρωση θέσεων 6! 12! β) Πρώτα θα επιλέξουμε τους άνδρες από τους 8. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 8 ) = 56 διαφορετικούς τρόπους Έπειτα θα επιλέξουμε τις γυναίκες από τις 10. Αυτό μπορεί να γίνει με ( 10 ) = 120 διαφορετικούς τρόπους Με τη βοήθεια της Βασικής Αρχής της Απαρίθμησης, οι θέσεις εργασίας μπορούν να πληρωθούν με = 6720 διαφορετικούς τρόπους. 6

7 γ) Έχουμε τρεις περιπτώσεις: 4 άνδρες και 2 γυναίκες 5 άνδρες και 1 γυναίκα 6 άνδρες ( 8 4 ) (10 2 ) = = 150 (8 5 ) (10 1 ) = = 560 (8 6 ) = 28 Επομένως η πρόσληψη τουλάχιστον 4 ανδρών γίνεται με = 78 διαφορετικούς τρόπους. δ) Σ αυτή την περίπτωση, έχουμε δύο περιπτώσεις: Μόνο με άνδρες Μόνο με γυναίκες ( 8 ) = 28 ( ) = 210 Επομένως η πρόσληψη ατόμων του ιδίου φύλου γίνεται με = 28 διαφορετικούς τρόπους.. Ένα αυτοκίνητο αναχώρησε από την πόλη Α στις 6 το πρωί και κινείται προς την πόλη Β με σταθερή ταχύτητα 80km/h. Διέτρεξε τα 5 της απόστασης μεταξύ των δυο πόλεων σε 10 ώρες. Στην συνέχεια 8 αύξησε την ταχύτητα του κατά 50% της αρχικής του ταχύτητας και κινήθηκε με αυτή την ταχύτητα μέχρι το τέλος της διαδρομής. Να βρείτε τι ώρα έφτασε στην πόλη Β. Τις πρώτες 10 ώρες το αυτοκίνητο διάνυσε s 1 = v 1 t 1 = = 800 km Αυτή η απόσταση είναι τα 5 της συνολικής απόστασης s των δύο πόλεων. Επομένως η απόσταση των δύο 8 πόλεων είναι s 1 = 5 8 s 800 = s s = s = 1280 km 8 5 Η απόσταση που απομένει είναι s 2 = s s 1 = 1280 km 800 km = 480 km Για να βρούμε το χρόνο που χρειάζεται μέχρι να φτάσει στον προορισμό του, χρησιμοποιούμε τον τύπο s 2 = v 2 t = 120 t 2 t 2 = 4 h Άρα συνολικά θα χρειαστεί 14 h για να φτάσει στην πόλη Β. Αφού ξεκίνησε στις 6:00 το πρωί, σημαίνει ότι θα φτάσει στην πόλη Β στις 8:00 το βράδυ. 4. Τέσσερις τουρίστες φτάνουν σε μια πόλη που διαθέτει 5 ξενοδοχεία. Αν ο κάθε τουρίστας θα επιλέξει τυχαία το ξενοδοχείο στο οποίο θα διαμείνει, να βρείτε: α) με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό. β) την πιθανότητα όλοι οι τουρίστες να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο. γ) την πιθανότητα οι τουρίστες να μείνουν σε διαφορετικά ξενοδοχεία. 7

8 α) Πρώτος τρόπος Οι τουρίστες μπορούν να επιλέξουν ένα από τα 5 ξενοδοχεία που έχουν στη διάθεση τους χωρίς κανένα περιορισμό. Αυτό μπορεί να γίνει με δ 4 5 = 5 4 = 625 τρόπους. Δεύτερος τρόπος Μπορεί να γίνει επίσης με τη Βασική Αρχή της Απαρίθμησης, με τον εξής τρόπο: Φάσεις Τ1 Τ2 Τ Τ4 Τρόποι Επομένως μπορεί να γίνει με = 625 τρόπους. β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο: Α: οι τουρίστες να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο. Έχουμε Ν(Α) = 5, αφού έχουμε να επιλέξουμε ουσιαστικά ένα από τα 5 ξενοδοχεία και Ν(Ω) = 625, από το προηγούμενο ερώτημα. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι γ) Θεωρούμε το ενδεχόμενο: Πρώτος τρόπος P(A) = N(A) N(Ω) = = Β: οι τουρίστες να μείνουν σε διαφορετικά ξενοδοχεία Η επιλογή των διαφορετικών ξενοδοχείων γίνεται με Διατάξεις, αφού είναι σημαντική και η σειρά επιλογής τους. Επομένως έχουμε Ν(Β) = Δ 5 4 = 5! = 5! = 120. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι (5 4)! 1! Δεύτερος τρόπος P(Β) = N(Β) N(Ω) = = Η επιλογή των διαφορετικών ξενοδοχείων μπορεί να γίνει και με τη Βασική Αρχή της Απαρίθμησης. Φάσεις Τ1 Τ2 Τ Τ4 Τρόποι Άρα έχουμε Ν(Β) = = 120. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(Β) = N(Β) N(Ω) = =

9 5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα ανοικτό δοχείο μεταφοράς γάλακτος που αποτελείται από δυο κυλινδρικά τμήματα και ένα κόλουρο κώνο. Το ύψος του δοχείου είναι 54 cm και οι διάμετροι των βάσεων του κόλουρου κώνου είναι 0 cm και 24 cm. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν μήκη 9 cm και 41 cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της ολικής εξωτερικής επιφάνειας και β) τον όγκο του δοχείου. Ακτίνες βάσεων κόλουρου κώνου: R = 15 cm, ρ = 12 cm Ύψος κόλουρου κώνου: υ = 54 cm 41 cm 9 cm = 4 cm Η γενέτειρα του κόλουρου κώνου υπολογίζεται με το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ΒΓ) 2 = (ΕΓ) 2 + (ΒΕ) 2 λ 2 = (R ρ) 2 + υ 2 = (15 12) = = = 25 λ = 5 cm. Ορίζουμε: υ 1 = ΓΔ = 41 cm και υ 2 = ΑΒ = 9 cm. α) Το εμβαδόν ολικής εξωτερικής επιφάνειας του δοχείου είναι Ε ολ = Ε κυκλου + Ε κ.κυλ1 + Ε κ.κολ.κώνου + Ε κ.κυλ2 Α Ε Β Γ Δ = πr 2 + 2πRυ 1 + π(r + ρ)λ + 2πρυ 2 = π π π ( ) 5 + 2π 12 9 = 225π + 120π + 15π + 216π = 1806π cm 2 β) Ο όγκος του στερεού είναι V = V κυλ1 + V κολ.κώνου + V κυλ2 = πr 2 υ 1 + πυ (R2 + Rρ + ρ 2 ) + πρ 2 υ 2 = π π 4 ( ) + π = 9225π + 72π π = 1125π cm 9