ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ A : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 10, Στρόβολος 00, Λευκωσία Τηλ Φαξ: cms@cms.org.cy, ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή, 6/05/017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Το πιο κάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζει πόσα δέντρα κάθε είδους υπάρχουν σε ένα αγρόκτημα της επαρχίας Πάφου. Να βρείτε: ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΕΣ ΕΛΙΕΣ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΕΣ ΜΗΛΙΕΣ ΛΕΜΟΝΙΕΣ ΔΕΝΤΡΑ (α) Πόσες μανταρινιές υπάρχουν στο αγρόκτημα. (β) Πόσα είναι όλα τα δέντρα στο αγρόκτημα. (α) 0 μανταρινιές (β) = 60 δέντρα. Αυτοκίνητο αξίας 9500 πωλήθηκε με έκπτωση 15% πάνω στην αξία του. Να υπολογίσετε την τιμή πώλησης του αυτοκινήτου. Υπολογίζουμε το 85% των 9500 και παίρνουμε: =

2 . Ορθό πρίσμα έχει βάση ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 5 cm. Αν το ύψος του πρίσματος είναι 8 cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος. Ονομάζουμε a την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου, υ το ύψος του πρίσματος, Π β την περίμετρο της βάσης του πρίσματος και Ε π το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του. Έχουμε: Ε π = Π β υ = a υ = 5 8 = 10 cm 4. (α) Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης; (β) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτό ζάρι μία φορά. Να βρείτε: i. Το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος τύχης. ii. Την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «το ζάρι φέρει άρτια ένδειξη» (α) Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης λέγεται το σύνολο, που έχει στοιχεία όλα τα δυνατά αποτελέσματά του. (Μαθηματικά Κοινού Κορμού Γ Ενιαίου Λυκείου, σελίδα 70) (β) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι μία φορά. Επομένως: i. Ω = {1,,, 4, 5, 6} ii. Α = {, 4, 6} Επομένως, Ν(Α) =, Ν(Ω) = 6 και P(A) = N(A) N(Ω) = 6 = Ο όμιλος φωτογραφίας ενός σχολείου αποτελείται από 10 μαθήτριες και 8 μαθητές. Πρόκειται να επιλεγεί μία ομάδα πέντε ατόμων από τα μέλη του ομίλου, για να πραγματοποιηθεί μια φωτογράφηση. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η ομάδα: (α) Αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός. (β) Αν θα αποτελείται από τρεις μαθήτριες και δύο μαθητές. (α) Ομάδες των 5 ατόμων από ένα σύνολο 18 ατόμων χωρίς κανένα περιορισμό: (β) Ομάδες με μαθήτριες και μαθητές: ( 18 5 ) = 8568 ( 10 ) (8 ) = 10 8 = 60

3 6. Μια άδεια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μήκος 1 m και πλάτος 5 m. Για να γεμίσει πλήρως η πισίνα με νερό αδειάζουμε σε αυτή 15 ντεπόζιτα γεμάτα νερό, που έχουν σχήμα κύβου ακμής m. Να υπολογίσετε το βάθος της πισίνας. Ο όγκος της πισίνας είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των 15 ντεπόζιτων νερού, που έχουν σχήμα κύβου ακμής a = m. Έχουμε: V ντεπόζιτου = a = = 8 m και V πισίνας = 15 8 = 10 m Αν Ε β είναι το εμβαδόν βάσης της πισίνας και υ είναι το βάθος της, τότε: V πισίνας = Ε β υ 10 = 1 5 υ 60υ = 10 υ = m 7. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδό βάσης 4 cm και παράπλευρο ύψος 15 cm. Να υπολογίσετε: (α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. (β) Τον όγκο της πυραμίδας. (α) Έχουμε: E β = a a = 4 a = 4 = 18 cm Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και παίρνουμε: h = υ + ( a ) 15 = υ + 9 Επομένως: υ = 5 81 = 144 υ = 144 = 1 cm E ολ = Ε β + Ε π = Ε β + Π β h (β) Για τον όγκο της πυραμίδας έχουμε: V = E β υ = 4 + = = 864 cm = 4 1 = 196 cm 8. Η μέση τιμή των μισθών των υπαλλήλων μιας εταιρείας ήταν 100. Στην εταιρεία προσλαμβάνεται ένας νέος υπάλληλος με μισθό Η νέα μέση τιμή των μισθών των υπαλλήλων της εταιρείας είναι τώρα Να βρείτε πόσοι είναι οι υπάλληλοι της εταιρείας μετά την πρόσληψη του νέου υπαλλήλου.

4 Έστω ν το αρχικό πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. Η μέση τιμή (x ) ν των μισθών τους είναι 100. Επομένως: x ν = 100 x 1 + x + + x ν = 100ν (1) Η μέση τιμή (x ) ν+1 των μισθών τους μετά την πρόσληψη του νέου υπαλλήλου είναι Επομένως: Από (1) και () παίρνουμε: x ν+1 = 1180 x 1 + x + + x ν = 1180(ν + 1) () 100ν = 1180(ν + 1) ν = 80 ν = 4 Επομένως, οι υπάλληλοι της εταιρείας, μετά την πρόσληψη του νέου υπαλλήλου, είναι Μία εταιρεία θα κατασκευάσει με λαμαρίνα ένα σιλό για αποθήκευση σιτηρών όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για την κατασκευή θα χρησιμοποιηθούν ένας κώνος και ένας κύλινδρος με ανοικτές και ίσες βάσεις. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι ίσο με 60π m και η γενέτειρα του είναι ίση με 10 m. Το ύψος του κυλίνδρου είναι ίσο με 5 m. Να υπολογίσετε: (α) Τον όγκο του σιλό. (β) Πόσα λίτρα μπογιάς θα χρειαστούμε για να βάψουμε την εξωτερική επιφάνεια της κατασκευής, αν με κάθε λίτρο μπογιάς μπορούμε να βάψουμε 9,4 m (Δίνεται π =,14). (Το πάχος της λαμαρίνας θεωρείται αμελητέο) (α) Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι ίσο με 60π m. Επομένως: E κ.κων. = πrλ 60π = πr10 R = 6 m Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και παίρνουμε: λ = υ 1 + R 10 = υ υ 1 = = 64 Ο όγκος του σιλό είναι: υ 1 = 64 = 8 m V = V κυλ. + V κων. = πr υ + πr υ 1 = π6 5 + π6 8 = 180π + 96π = 76π m (β) Η εξωτερική επιφάνεια του σιλό αποτελείται από την κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου και την κυρτή επιφάνεια του κώνου. Επομένως: E ολ = 60π + π 6 5 = 60π + 60π + 10,14 = 76,8 m Τελικά, θα χρειαστούμε 76,8/9,4 = 40 λίτρα μπογιάς. 4

5 10. Δύο πόλεις Α και Β συνδέονται με ένα δρόμο μήκους 405 km. Από την πόλη Α ξεκίνησε ένα φορτηγό με προορισμό την πόλη Β. Την ίδια στιγμή από την πόλη Β ξεκίνησε ένα λεωφορείο με προορισμό την πόλη Α, με ταχύτητα 15 km/h μεγαλύτερη της ταχύτητας του φορτηγού. Οι ταχύτητες των δύο οχημάτων είναι σταθερές. Να βρείτε την ταχύτητα του φορτηγού, αν τα δύο οχήματα συναντήθηκαν μετά από ώρες. Ονομάζουμε v A, v B την ταχύτητα του φορτηγού και του λεωφορείου, αντίστοιχα, και S A, S B την απόσταση που καλύπτει το φορτηγό και το λεωφορείο, αντίστοιχα, μέχρι το σημείο συνάντησης των δύο οχημάτων. Ο χρόνος κίνησης t A, t B του φορτηγού και του λεωφορείου, αντίστοιχα, είναι ο ίδιος και ίσος με h. Επιπλέον, ισχύει ότι v B = (v A + 15) km/h. Έχουμε: S A + S B = 405 v A t A + v B t B = 405 v A + (v A + 15) = 405 6v A = 60 v A = 60 km/h ΜΕΡΟΣ B : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τον ημερήσιο αριθμό των ασθενών που επισκέφθηκαν το Κέντρο Υγείας ενός χωριού της Κύπρου, κατά τον Απρίλιο του 017. Αριθμός ασθενών (x i ) Αριθμός ημερών (f i ) Να βρείτε: (α) Την επικρατούσα τιμή (x ε ) των παρατηρήσεων. (β) Τη διάμεσο τιμή (x δ ) των παρατηρήσεων. (γ) Τη μέση τιμή (x ) των παρατηρήσεων. (δ) Την τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων. (α) Η επικρατούσα τιμή (x ε ) των παρατηρήσεων είναι 9. (β) Ο συνολικός αριθμός των ημερών είναι Σf i = 0, που είναι άρτιος. Άρα, στην (αύξουσα ή φθίνουσα) διάταξη των παρατηρήσεων υπάρχουν δυο μεσαίες, που είναι οι 15 η και 16 η. Επομένως, η διάμεσος τιμή (x δ ) των παρατηρήσεων είναι x δ = x 15+x 16 (γ) H μέση τιμή (x ) των παρατηρήσεων είναι: x = = 10 0 = 7+7 = 7. = 7 ασθενείς ανά ημέρα

6 (δ) Κατασκευάζουμε το πιο κάτω πίνακα συχνοτήτων: (x i ) (f i ) (x i x ) f i (x i x ) 4 5 (4 7) = (5 7) = (6 7) = (7 7) = (8 7) = (9 7) = 4 6 Σf i = 0 Επομένως, η τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων είναι: Σf i (x i x ) = 98 σ = Σf i(x i x ) Σf i = ,8074. Δίνεται η λέξη ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ. (α) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. (β) Παίρνουμε τυχαία ένα από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: «Ο αναγραμματισμός αρχίζει με Ρ και τελειώνει σε Γ» Β: «Ο αναγραμματισμός έχει όλα τα φωνήεντα μαζί» Γ: «Ο αναγραμματισμός αρχίζει με φωνήεν» (α) Tο πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ είναι: M 9 ε = 9!!! = 040 (β) Παίρνουμε στην τύχη έναν από τους 040 αναγραμματισμούς της πιο πάνω λέξης. Επομένως, ο πληθικός αριθμός Ν(Ω) του δειγματικού χώρου του πειράματος αυτού είναι: Έχουμε: N(Ω) = ( 040 ) = N(A) = M ε 7 = 7!!! = 40, P(A) = 1 7 N(B) = M ε 6 M ε 4 = 6!! 4!! = 1440, P(B) = 1 1 N(Γ) = M ε 8 + M ε 8 = 8! + 8! = = 1440, P(Γ) = 4!!!! 9 Αρχή με Ι Αρχή με Α 6

7 . (α) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών τετραψήφιων αριθμών που μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0, 4, 7 και 8, αν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου. (β) Πόσοι από τους πιο πάνω αριθμούς: i. Αρχίζουν και τελειώνουν με το ψηφίο 7. ii. Είναι άρτιοι. iii. Έχουν το γινόμενο των ψηφίων τους ίσο με 0. (α) Τετραψήφιοι αριθμοί (επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου): Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες (Όχι το 0) Έχουμε = 19 διαφορετικούς τετραψήφιους αριθμούς. (β) Έχουμε: i. Τετραψήφιοι αριθμοί (επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου) με αρχή και τέλος το ψηφίο 7: Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Έχουμε = 16 διαφορετικούς τετραψήφιους αριθμούς. ii. iii. Άρτιοι τετραψήφιοι αριθμοί (επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου): Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες (Όχι το 0) 4 4 (0, 4 ή 8) Έχουμε 4 4 = 144 διαφορετικούς άρτιους τετραψήφιους αριθμούς. Τετραψήφιοι αριθμοί (επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου) με γινόμενο των ψηφίων τους ίσο με 0: Κάθε τετραψήφιος με γινόμενο ψηφίων ίσο με 0 πρέπει να περιέχει τουλάχιστον ένα ψηφίο (εκτός από το ψηφίο των χιλιάδων) το οποίο να είναι το 0. Επομένως, θα βρούμε το πλήθος των αριθμών που δεν έχουν κανένα ψηφίο 0 και θα αφαιρέσουμε από το συνολικό πλήθος. Έχουμε 19 = = 111 αριθμούς. 7

8 4. Κάποιος κληρονόμησε και επένδυσε αυτά τα χρήματα ως εξής: i. Τόκισε με απλό τόκο τα των χρημάτων προς 1,75% για 5 χρόνια. 5 ii. Με τα των υπολοίπων χρημάτων αγόρασε ένα σκάφος. 10 iii. Με τα χρήματα που του έμειναν αγόρασε ένα διαμέρισμα. Στα 5 χρόνια απέσυρε τα χρήματα που κατάθεσε στην τράπεζα μαζί με τους τόκους τους και πώλησε το σκάφος προς 9000 και το διαμέρισμα με κέρδος 15%. Να υπολογίσετε: (α) Το συνολικό ποσόν που είσπραξε από τις τρεις επενδύσεις. (β) Το συνολικό ποσοστό (%) κέρδους από τις τρεις επενδύσεις. (α) Ο επενδυτής τόκισε στην τράπεζα: = Ο τόκος που εισέπραξε σε πέντε χρόνια θα είναι: Τ = ΚΕΧ ,75 5 = = = 8750 Σε πέντε χρόνια που απέσυρε το κεφάλαιο μαζί με τους τόκους του, εισέπραξε: = (1) Μετά την κατάθεση των χρημάτων στην τράπεζα του έμειναν = Η αγορά του σκάφους του στοίχισε: = Η αγορά του διαμερίσματος του στοίχισε = Με την πώληση του διαμερίσματος με κέρδος 15% σε πέντε χρόνια εισέπραξε = () 100 Από τις (1) και () (προσθέτοντας) και τα χρήματα που εισέπραξε από την πώληση του σκάφους, το συνολικό ποσόν που εισέπραξε ο επενδυτής από τις τρεις επενδύσεις του είναι: = (β) Tο συνολικό κέρδος και από τις τρεις επενδύσεις είναι = Το συνολικό ποσοστό του κέρδους και από τις τρεις επενδύσεις είναι: % = 7,4%

9 5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται πολύγωνο ΑΒΓΔΕ. Το ΑΒΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο με ΒΓ = ΑΕ = 5 cm και ΑΒ = 4 cm. Το ΓΔΕ είναι ορθογώνιο τρίγωνο (Ε = 90 ) με ΓΕ = 1 cm και ΔΕ = 5 cm. Το σκιασμένο πολύγωνο ΑΒΓΔΕ περιστρέφεται ολόκληρη στροφή γύρω από τον άξονα xy, που είναι παράλληλος προς την ΔΕ. Να υπολογίσετε: (α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παραγόμενου στερεού. (β) Τον όγκο του παραγόμενου στερεού. Έστω Ζ το σημείο τομής της ευθείας ΑΒ με τον άξονα xy και Η το ίχνος της κάθετης από το σημείο Δ πάνω στον άξονα xy. Επειδή το ΑΒΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο, παίρνουμε: ΓΕ ΑΒ ΒΖ = = 1 4 = 4 cm Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΒΖΓ, έχουμε: ΓΖ = ΒΓ ΒΖ = 5 4 = 9 ΓΖ = cm Επίσης, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΔ, έχουμε: ΓΔ = ΓΕ + ΕΔ = = 169 ΓΔ = 1cm. Επομένως, έχουμε: (α) Για το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παραγόμενου στερεού, έχουμε: Ε ολικής επιφάνειας = Ε ΑΒ + Ε ΑΕ + Ε ΕΔ + Ε ΓΔ + Ε ΓΒ (Α) Ε ΑΒ = Ε κυκλικού δακτ. = π(αζ ΒΖ ) = π(8 4 ) = 48π cm (1) 9

10 Ε ΑΕ = Ε κυρτής επ.κόλ.κώνου = π(αζ + ΓΕ) ΑΕ = π(8 + 1) 5 = 100π cm () Ε ΕΔ = Ε κυρτής επ.κυλίνδρου = π(γε)(γη) = π 1 5 = 10π cm () Ε ΓΔ = Ε κυρτής επ.κώνου(γδ) = π(γε)(γδ) = π1 1 = 156π cm (4) Ε ΓΒ = Ε κυρτής επ.κώνου(βγ)= = π(βζ)(βγ) = π4 5 = 0π cm (5) Άρα, η (Α) γίνεται: Ε ολικής επιφάνειας = 48π + 100π + 10π + 156π + 0π = 444π cm (β) Για τον όγκο του στερεού που δημιουργείται: V παραγόμενου στερεού = V κυλίνδρου V κώνου(γδ) + V κόλουρου κώνου V κώνου(βγ) (Β) V κυλίνδρου = π(γε) (ΓΗ) = π1 5 = 70π cm (6) V κώνου(γδ) = π(δη) (ΓΗ) = π1 5 = 40π cm (7) V κόλουρου κώνου = π(γζ) [(ΑΖ) + (ΑΖ)(ΓΕ) + (ΓΕ) ] = π( ) = 04π cm (8) V κώνου(βγ) = π(βζ) (ΓΖ) = π4 = 16π cm (9) Άρα, η (Β) γίνεται: V παραγόμενου στερεού = 70π 40π + 04π 16π = 768π cm 10