Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Transcript

1 Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, της συνάρτησης d = συνθ ημ 4. Να υπολογίσετε το όριο lim e 1 5. Να υπολογίσετε το όριο lim ln( 1 ) 6. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης y = Να βρείτε το σημείο καμπής της συνάρτησης y = Να βρείτε που τέμνει τους άξονες η καμπύλη y Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης y 4 1. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y = 4 +5 στο σημείο με = 1 1. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδό του ορθογωνίου με περίμετρο μ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( e ) d 1 d 14. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ημ d 16. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e d 17. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 6 συνd π 18. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη y=ln του άξονα των και την ευθεία = e 19. Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη y = ln τον άξονα των και την ευθεία = e κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται.. Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη y = ln και τις ευθείες =1, και y=1 κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται. 1. Δίνεται η λέξη ΝΙΚΗ. Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν;. Δίνεται η λέξη ΟΜΟΝΟΙΑ. Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν;. Δίνονται οι αριθμοί 1,,, 4, 5, 6 και 7. Πόσοι τριψήφιοι σχηματίζονται χωρίς επανάληψη ψηφίων; 4. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορώ να επιλέξω τέσσερα διαφορετικά γράμματα από τη λέξη ΟΛΥΜΠΙΑ αν το Α είναι πάντα στη τετράδα; 5. Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: Ρ(Α)= 5 8, Ρ(Α Β)= 1 6 και Ρ(Α/Β)=. Να βρείτε τις Ρ(Β), Ρ(ΑUΒ) και Ρ(Β/Α). 6. Δίνονται οι αριθμοί 1,,, 4, 5, 6 και 7. Σχηματίζουμε όλους τους τριψήφιους (χωρίς επανάληψη) και παίρνουμε ένα. Ποια η πιθανότητα να είναι άρτιος;

2 7. Σε ένα κιβώτιο υπάρχουν 6 πράσινες και 4 άσπρες μπάλες. Παίρνουμε. α) Ποια η πιθανότητα να είναι και οι δύο άσπρες, β) η μια άσπρη και η δεύτερη πράσινη; 8. Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα τότε και τα Α, Β ανεξάρτητα. 9. Να βρείτε το γ.τ. που γράφει το σημείο Μ(+ημθ, +4συνθ). Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου + y 4 + y + 1 = 1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(5, ) και εφάπτεται της ευθείας y = Η ευθεία y = λ είναι εφαπτομένη του κύκλου + y 6 6y +17 =. Να βρείτε το λ.. Δίνεται κύκλος με εξίσωση + y 4 + 6y 1 =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του (5, 1). 4. Αν Α( 1, y 1 ) και Β(, y ) να δείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ έχει εξίσωση : ( 1 ) ( ) + (y y 1 ) (y y ) = 5. Δίνεται η παραβολή y = 4α να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Ρ(αt, αt) 6. Δίνεται η παραβολή y = 4 και τα σημεία της Α( t, t 1 1) και Β( t, t ). Αν ΑΒ εστιακή χορδή να δειχθεί ότι t 1 t Αν ΑΒ εστιακή χορδή παραβολής να βρείτε το γ.τ. του μέσου Μ της ΑΒ. y 8. Δίνεται η έλλειψη 1. Να βρείτε τις συντεταγμένες των εστιών, την 5 16 εκκεντρότητα, τις εξισώσεις των διευθετουσών και τη θέση του σημείου (5, ) ως προς την έλλειψη. y 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης 1 στο σημείο α β Ρ(ασυνθ, βημθ) 4. Δίνεται η υπερβολή y = c. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της c καμπύλης στο σημείο Τ ct, t, είναι + t y ct = 41. Δίνεται η υπερβολή y = c. Η εφαπτομένη στο σημείο Ρ( c cρ, τέμνει τους ρ άξονες και y στα Α και Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) το Ρ είναι το μέσο του ΑΒ και β) το Εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα Α Δίνονται οι πίνακες A 1 4 1, 1 1 B 4 και Γ. Να βρείτε τον πίνακα Δ που ορίζεται από τη σχέση Δ (Α Β Γ) Αν Α 4 1 να δείξετε ότι (Α+Ι) = Δίνονται οι πίνακες Α 1 και 9 8 Β. Να βρείτε τον πίνακα Χ ώστε 1 11 να ισχύει Α Χ = Β 46. Αν Α και Β αντιστρέψιμοι πίνακες νν τότε ο πίνακας ΑΒ είναι αντιστρέψιμος και ισχύει (ΑΒ) 1 = Β 1 Α 1

3 47. Το σημείο Α(, 1) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f() = +α+β. Να βρείτε τις τιμές των α, β. 48. Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R και για την οποία ισχύει f () f() e,. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (9) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f() = e. α) Να βρείτε το τοπικό ακρότατο της και να το χαρακτηρίσετε. β) Να δείξετε ότι e >,.(9) Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ορισμένης στο. Αν η γραφική παράσταση της α 5 f(), α, β έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = 1 και κατακόρυφη β ασύμπτωτη την =, να υπολογίσετε τις τιμές των α και β. (11) Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β +γ + δ, και α. Αν η f έχει τοπικά ακρότατα για = 1 και για =, 1 < να δείξετε ότι η συνάρτηση f 1 έχει σημείο καμπής για. (11) 5. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α) y, β) y και γ) y = ( 1) e 1 5. Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση y, και το σημείο Α(1, ). α) Να εκφράσετε συναρτήσει του την απόσταση του σημείου Α από το τυχόν σημείο (, y) της καμπύλης. β) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης που απέχει ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α και να βρείτε την ελάχιστη αυτή απόσταση. (6) 54. Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή περίμετρο c (c >), να βρείτε τις γωνίες εκείνου του ορθογωνίου τριγώνου του οποίου το μήκος της υποτείνουσας είναι ελάχιστο. (8) 55. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ln( ) d, u, 56. (11)Δίνεται η συνάρτηση f(),. Έστω Α το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και τις εξισώσεις =1 και =e. Να βρείτε την ευθεία =λ η οποία χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισεμβαδικά χωρία. 57. Δίνεται συνάρτηση f : (, ) με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία 1 ισχύουν f () =, f()=1 και f ()d f ()d.. α) Να δείξετε ότι f()=4. β) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u=f(), όπου f η πιο πάνω συνάρτηση, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f () d f () 5f() Δίνεται συνάρτηση f() ln 1, (, ). α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το όριο 1 lim f(). β) Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση e για κάθε >. γ)να β χ β α αποδείξετε ότι e d e e με α β α 59. (9) Δίδεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α, β] και για την οποία ισχύει η σχέση f(α+β ) = f(),. α) Χρησιμοποιώντας το

4 β α β β μετασχηματισμό, =α+β u να δείξετε ότι f()d f()d α β) Με τη α βοήθεια της πιο πάνω σχέσης ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 6. 1 Δίνεται η συνάρτηση f() ( ) e π συν d t β) Να υπολογίσετε το όριο: f() t e dt α) Να δείξετε ότι lim f() 61. Δίνεται η παραβολή ψ = κχ, κ>, και σημείο Ρ(,ψ ) της παραβολής στο πρώτο τεταρτημόριο. Από το Ρ φέρνουμε τις κάθετες προς τους άξονες των χ και ψ και σχηματίζεται ορθογώνιο. Το ορθογώνιο χωρίζεται από την παραβολή σε δύο χωρία τα οποία περιστρέφονται πλήρως γύρω από τον άξονα των ψ. Να δείξετε ότι ο λόγος των όγκων των δυο στερεών που σχηματίζονται είναι 4:1. α f() 6. Δίνονται τα ολοκληρώματα : Α d = και Β = f() f(α ) α f(α ) d α) Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό: u = α να f() f(α ) δείξετε ότι Α=Β. β) Να υπολογίσετε το Α. γ) Με τη βοήθεια των πιο πάνω, να 1 e e υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Γ= d e e e Δίνεται η συνάρτηση f(),. α) Να αποδείξετε ότι η e συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και ότι στρέφει τα κοίλα της προς τα πάνω, στο πεδίο ορισμού της. β) Να δείξετε ότι για κάθε α, β με α β, ισχύει η 1 α (α β ) σχέση e γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 β f()d Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Πόσοι από αυτούς αρχίζουν Ε και τελειώνουν με Ε; 65. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1,,, 4, 5, 6, αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί μία τριμελής επιτροπή από μία ομάδα 7 ατόμων Σε μια διεθνή σύσκεψη συμμετέχουν Έλληνες, 4 Γάλλοι και 5 Γερμανοί. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν σε ευθεία γραμμή έτσι ώστε όλα τα μέλη της ίδιας εθνικότητας να κάθονται σε συνεχόμενες θέσεις Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α) = 1 και Ρ(Β) =, να υπολογίσετε τις πιθανότητες (α) Ρ(Α Β) (β) 4 Ρ(ΑUΒ) (γ) Ρ(Β/Α ) 69. Δίνεται η λέξη ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ α) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. β) Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Κ: ο αναγραμματισμός μα αρχίζει με Α και να τελειώνει σε Α. Λ: Ο αναγραμματισμός έχει σύμφωνα σε συνεχόμενες θέσεις. Μ: Ο αναγραμματισμός δεν έχει δύο Α συνεχόμενα 7. 8 (α) Να δώσετε τον ορισμό ώστε δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, να είναι ανεξάρτητα. (β) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα, να αποδείξετε ότι και τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα

5 71. 1 Έστω Ω = {α, β, γ, δ} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Κ = {α, β, γ} και Λ = { β, γ, δ}. Συμβολίζουνε Ε 1 = {α}, Ε = {β}, Ε = {γ} και Ε 4 = {δ}. Αν είναι Ρ(Ε )= Ρ(Ε ), Ρ(Κ)= 1 και Ρ(Λ)= 4 5, να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Ε 1 ), Ρ(Ε ) και Ρ(Ε 4 ) 7. 7 Αν Α και Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου και Ρ(Α)= 1 5, Ρ(Α Β)= 1 να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑUΒ) και Ρ(Α Β) Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και λευκές μπάλες. Παίρνω τυχαία μια μπάλα από το δοχείο. Αν η μπάλα είναι μαύρη την επανατοποθετώ στο δοχείο και επίσης τοποθετώ ακόμα λευκές μπάλες στο δοχείο. Στη συνέχεια παίρνω μια δεύτερη μπάλα από το δοχείο. α) Να βρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα που πήρα να είναι λευκή. β) Αν η δεύτερη μπάλα που πήρα είναι λευκή, πια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα που πήρα να είναι μαύρη; γ) Αν την δεύτερη φορά, αντί να πάρω μια μπάλα παίρνω τυχαία δύο μπάλες ταυτόχρονα, ποια η πιθανότητα οι μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα; 74. (1) Να βρείτε τη θέση των δύο κύκλων: (Κ): χ + ψ = 4 και (Λ): χ + ψ 6χ 8ψ + 16 = 75. (11) Δίνεται ο κύκλος : χ + ψ 6χ +8ψ + 9 = α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του κύκλου. β) Να γράψετε τις παραμετρικές εξισώσεις για τον πιο πάνω κύκλο. 76. Δίνεται ο κύκλος χ + ψ =9 και σημείο του Α(χ 1, ψ 1 ). α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α είναι χ 1 χ+ψ 1 ψ=9. β) Έστω ότι Β(χ, ψ ) είναι ένα άλλο σημείο του κύκλου. Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα Α και Β τέμνονται στο σημείο Μ(χ, ψ ), να δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι: χ χ+ψ ψ=9. γ) Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου Μ αν η χορδή ΑΒ περνά από το σημείο Δ(1, ) 77. (1) Δίνονται οι κύκλοι: (Κ): χ +ψ =4 και (Λ): χ + ψ 8χ 4ψ + 1 =. Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των σημείων Σ(χ, ψ) του επιπέδου, των οποίων η δύναμη τους ως προς τον κύκλο (Λ) είναι διπλάσια από τη δύναμή τους ως προς τον κύκλο (κ). 78. Δίνεται η παραβολή y = 4 με εστία Ε και τυχαίο σημείο της Α(t, t), t, Φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΕ στο σημείο Ε, η οποία τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β. (α) Να δείξετε ότι η ΒΑ είναι εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α. (β) Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ του ορθογωνίου ΑΕΒΓ, καθώς το Α κινείται πάνω στη παραβολή. (1) 79. Δίνεται η παραβολή y = κ, κ>, και σημείο Ρ(,y ) της παραβολής στο πρώτο τεταρτημόριο. Από το Ρ φέρνουμε τις κάθετες προς τους άξονες των και y και σχηματίζεται ορθογώνιο. Το ορθογώνιο χωρίζεται από την παραβολή σε δύο χωρία τα οποία περιστρέφονται πλήρως γύρω από τον άξονα των y. Να δείξετε ότι ο λόγος των δύο στερεών που σχηματίζονται είναι 4:1. (1) 8. Δίνεται η παραβολή y = 4. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της παραβολής στο σημείο της Α(1, ) β) Το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή. (9) y 81. (1) Δίνεται η έλλειψη 1, α>β και σημείο Ρ(ασυνθ, βημθ) πάνω σε αυτή. (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της έλλειψης στο σημείο Ρ είναι αημθ βyσυνθ = (α β ) ημθσυνθ. (β) Αν η κάθετη της έλλειψης στο σημείο Ρ τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β, να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΡΒ καθώς το Ρ κινείται πάνω στην έλλειψη.

6 y 8. (11) (α) Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης. (β) Δίνεται η έλλειψη και οι εστίες Ε και Ε. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της έλλειψης ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΤΔΕ, αν η ΤΔ είναι εστιακή χορδή που περνά από την Ε. y 8. (1) Δίνονται η έλλειψη 1 και Α τυχαίο σημείο της. Από την αρχή Ο των αξόνων φέρνουμε ημιευθεία (ε) παράλληλη προς την εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο Α, η οποία τέμνει την έλλειψη στο σημείο Β. (α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ της χορδής ΑΒ και να τον χαρακτηρίσετε. (β) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ είναι σταθερό, καθώς το σημείο Α κινείται πάνω στην έλλειψη 84. (1) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή y=. Να βρείτε τις τιμές του β έτσι ώστε η ευθεία y=+β να εφάπτεται της υπερβολής. 85. (11) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή y=1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που άγεται από το σημείο Β(4, ). Η εφαπτομένη (ε) τέμνει τον θετικό ημιάξονα των ψ στο σημείο Γ. Από τυχαίο σημείο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ φέρουμε τις κάθετες στου άξονες των συντεταγμένων και σχηματίζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΟΗΜΔ, όπου Ο η αρχή των αξόνων και ΟΗ, ΟΔ βρίσκονται πάνω στους άξονες. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να είναι μέγιστο. 86. (1) Δίνεται η υπερβολή y= και το σημείο της Α(1, ). (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της υπερβολής στο σημείο Α είναι η y+=. (β) Η κάθετη της υπερβολής στο σημείο Α τέμνει ξανά την υπερβολή στο σημείο Β. Να βρείτε της εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ ) Δίνονται οι πίνακες A 1 και B 1. Να βρείτε 4 τους πίνακες (α) Γ Α Β και (β) Δ Γ (9) Δίνονται οι πίνακες Α 5 1 και Β. Να υπολογίσετε 4 τους πίνακες: (α) Α+Β (β) Α Β (1) Δίνονται οι πίνακες Α 4 και B 4. Να δείξετε ότι 5 1 A A B 1 9. (11) Δίνεται ο πίνακας Α 1 (α) Να δείξετε ότι ο αντίστροφος πίνακας του Α είναι : Α 1 (β) Να βρείτε τον πίνακα B A A 1