ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφείο 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλέφωνο: , Φαξ: ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία: Δευτέρα, 10/06/2019 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ A : Αποτελείται από 10 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Δίνονται τα πιο κάτω διαγράμματα διασποράς, και. Να ταξινομήσετε τα διαγράμματα με βάση τη γραμμική συσχέτιση από την πιο ισχυρή στην πιο ασθενή. Είναι:,, 2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, ώστε να ισχύει: Έχουμε: Έτσι:, Από την 2, έχουμε ότι 5 και ακολούθως από την 1, έχουμε ότι 8. 1

2 Εναλλακτικά, αφού ισχύει ότι, τότε, για κάθε, έχουμε ότι: 8 8, 5. Δίνονται τα ψηφία,,,,,. Να βρείτε το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία χωρίς επανάληψη ψηφίου. Το πλήθος των πιο πάνω τετραψήφιων είναι: Επομένως, από την Πολλαπλασιαστική Αρχή της Απαρίθμησης, έχουμε αριθμούς. 4. Δίνονται οι μεταβλητές,. Με βάση τις ετήσιες μετρήσεις έντεκα χρόνων υπολογίστηκαν οι τυπικές τους αποκλίσεις 6,, 18,27, οι μέσοι όροι 4, 22,5 και το άθροισμα των γινομένων τους 1444,24. (α) Να υπολογίσετε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών και. (β) Να χαρακτηρίσετε το είδος της συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών. (α) Είναι: 1444, ,5 0, , 18,27 (β) Έχουμε ισχυρή αρνητική γραμμική συσχέτιση. 5. Δίνεται η συνάρτηση :, με 4,. (α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. (β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της παρουσιάζει σημεία καμπής. Είναι: 0 0 ή ή 4 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για τη. 2

3 (α) Η συνάρτηση είναι: Κοίλη στα διαστήματα, 0 και, Κυρτή στο διάστημα 0,. (β) Η γραφική παράσταση της παρουσιάζει σημεία καμπής για 0 και. 6. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης με πεδίο ορισμού,. Τα σημεία,, έχουν τετμημένες,, αντίστοιχα και 0. (α) Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης. (β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. (γ) Να βρείτε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης στο διάστημα,. (α) Στο η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το και στο παρουσιάζει τοπικό και ολικό μέγιστο το. (β) Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. (γ) Στο διάστημα, η παράγωγος της είναι αρνητική. 7. Ένα μικρό καταφύγιο φιλοξενεί οκτώ 8 αρσενικούς και έξι 6 θηλυκούς σκύλους. Μια μέρα φτάνει στο καταφύγιο μια φιλόζωη οικογένεια, η οποία θέλει να υιοθετήσει τέσσερις 4 σκύλους. (α) Να βρείτε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή των σκύλων που θα υιοθετήσει η οικογένεια, χωρίς κανένα περιορισμό ως προς το φύλο. (β) Αν η οικογένεια επιλέξει τους τέσσερις 4 σκύλους στην τύχη, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των πιο κάτω ενδεχομένων: i. : «Να επιλέξει ακριβώς έναν αρσενικό σκύλο», ii. : «Να επιλέξει το πολύ ένα θηλυκό σκύλο».

4 (α) Το πλήθος των διαφορετικών επιλογών τεσσάρων σκύλων από 14 σκύλους (8 αρσενικοί και 6 (β) θηλυκοί) είναι ίσο με: ! ! 4! i. Αν είναι το σύνολο των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει η επιλογή των σκύλων, τότε από το (α) έχουμε ότι Για το ενδεχόμενο : «Να επιλέξει ακριβώς έναν αρσενικό σκύλο», έχουμε: Επομένως η αντίστοιχη πιθανότητα είναι ίση με: ii Για το ενδεχόμενο : «Να επιλέξει το πολύ ένα θηλυκό σκύλο» έχουμε: Στο πλαίσιο της ανοικοδόμησης του καθεδρικού ναού της Παναγίας των Παρισίων μετά την καταστροφική πυρκαγιά, πρόκειται να κατασκευαστεί καμπαναριό με όγκο 792 m, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το καμπαναριό θα αποτελείται από ημισφαίριο και κύλινδρο ίσης ακτίνας. Αν το ύψος του κυλίνδρου θα είναι τριπλάσιο από την ακτίνα του, να υπολογίσετε το ύψος του καμπαναριού. Ο συνολικός όγκος του συγκεκριμένου κτιρίου θα είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων ενός κυλίνδρου με ακτίνα και ύψος και ενός ημισφαιρίου με ακτίνα. Έτσι, έχουμε: 792 ί ί m Επομένως, το ύψος του κυλίνδρου είναι 618 m και το ύψος του καμπαναριού είναι m. 4

5 9. Η Αυγή κάθε βράδυ, είτε παρακολουθεί τηλεόραση είτε διαβάζει. Η πιθανότητα να παρακολουθεί τηλεόραση είναι. Όταν παρακολουθεί τηλεόραση, η πιθανότητα να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα είναι, ενώ όταν διαβάζει, η πιθανότητα να αποκοιμηθεί είναι. (α) Να βρείτε την πιθανότητα κάποιο βράδυ η Αυγή να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα. (β) Δεδομένου ότι κάποιο βράδυ η Αυγή αποκοιμήθηκε στην πολυθρόνα, να βρείτε την πιθανότητα να παρακολουθούσε τηλεόραση. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: : «Η Αυγή παρακολουθεί τηλεόραση» : «Η Αυγή διαβάζει» : «Η Αυγή αποκοιμάται στην πολυθρόνα» (α) Έχουμε: (β) Έχουμε: Η ποσότητα ενός φαρμάκου (σε mg), στον οργανισμό του ανθρώπου, δίνεται από τη συνάρτηση, όπου είναι ο χρόνος μετά τη λήψη ενός φαρμάκου (σε ώρες). Δίνεται ότι 126,0. Μια ώρα μετά τη λήψη του φαρμάκου υπάρχουν 9 mg φαρμάκου στον οργανισμό του ανθρώπου. (α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο 12, 0. (β) Να βρείτε: i. σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου η ii. μέγιστη δόση του φαρμάκου, τη μέγιστη δόση του φαρμάκου (σε mg), που υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου, iii. σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του, το φάρμακο αυτό ΔΕΝ θα υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου. (α) Αφού 126,0 και 1 9, έχουμε:

6 Επιπλέον, 1 9. Άρα: Επομένως: 12, 0 (β) i. Για να βρούμε τον χρόνο που χρειάζεται ο οργανισμός, ώστε να έχει τη μέγιστη ποσότητα της δόσης του φαρμάκου, λύουμε την εξίσωση 0. Έχουμε: Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την. H παρουσιάζει στη θέση 2 ολικό μέγιστο, το 2. Δηλαδή, μετά από 2 ώρες, ο οργανισμός θα έχει τη μέγιστη ποσότητα της δόσης του φαρμάκου. ii. H μέγιστη ποσότητα της δόσης του φαρμάκου στον οργανισμό είναι ίση με: mg iii. Για τον χρόνο που χρειάζεται ο οργανισμός, ώστε να μην έχει καθόλου φάρμακο λύουμε την εξίσωση 0. Έχουμε: ή 4 Επομένως, ο οργανισμός δεν θα έχει καθόλου δόση φαρμάκου 4 ώρες μετά τη χορήγησή του. Παρατήρηση Η συνάρτηση ορίζεται μόνο στο διάστημα 0, 4, αφού οι τιμές της πρέπει να μην είναι αρνητικές. 6

7 ΜΕΡΟΣ B : Αποτελείται από 5 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο, με γωνίες 90, 45. Με κέντρο το και ακτίνα cm, γράφουμε τόξο μέσα στο. Το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία, έτσι ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο, με 4 cm και μέσο της. Το σκιασμένο χωρίο στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία. Να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν της επιφάνειας και (β) τον όγκο του στερεού που παράγεται. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται το στερεό που θα δημιουργηθεί από την περιστροφή. Αρχικά, έχουμε ότι το ύψος του ορθογώνιου τραπεζίου που φέρουμε από το στη ισούται με cm (το ονομάζουμε ). Αφού 45, τότε 45 και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με cm. Τώρα, αφού το είναι τετράγωνο, τότε cm. Επομένως, αφού και το είναι το μέσο της, τότε συμπεραίνουμε ότι το σημείο ταυτίζεται με το σημείο. Έτσι, cm και 6 cm. 7

8 Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο έχουμε: 18 2 cm Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο έχουμε: cm (α) Για το εμβαδόν της επιφάνειας του παραγόμενου στερεού, έχουμε: ά ί cm ή ό ώ cm ί 6 27 cm ή ώ 5 15 cm Άρα, από τις 1, 2,, 4, η γίνεται: ά cm (β) Για τον όγκο του στερεού που δημιουργείται: ύ ώ ό ώ ί ώ 4 12 cm ό ώ cm 5 6 ί 2 Άρα, από τις 5, 6, 7, η γίνεται: ύ cm 2 18 cm 7 2. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 6 1,,,. (α) Να βρείτε τις τιμές των,, ώστε η να έχει στη θέση 2 σημείο καμπής και στη θέση 1 τοπικό ακρότατο. (β) Αν 6 και 54, να βρείτε τη διάμεσο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των παρατηρήσεων,, 2,1, 125. (α) Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, με: Για να έχει η στη θέση 2 σημείο καμπής, πρέπει 2 0. Άρα: Για να έχει η στη θέση 1 τοπικό ακρότατο, πρέπει 1 0. Άρα:

9 Τέλος, για 6 και 54, έχουμε, για κάθε, ότι και Είναι: ή Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για τη. H παρουσιάζει στη θέση 1 τοπικό ακρότατο. Επίσης: 6 72 Είναι: Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για τη. H γραφική παράσταση της έχει στη θέση 2 σημείο καμπής. Συνεπώς, οι ζητούμενες τιμές των, είναι 6 και 54. (β) Έχουμε ότι και Οι πέντε παρατηρήσεις είναι: , 54, 1, 25, 125 Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά: Η διάμεσος είναι η η παρατήρηση: 1, 25, 6, 54,

10 Το είναι η διάμεσος των πρώτων δύο στη σειρά παρατηρήσεων: Το είναι η διάμεσος των τελευταίων δύο στη σειρά παρατηρήσεων: Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος είναι: ,5 89, ,5. Δίνεται η λέξη ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ. (α) i. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. ii. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης, που έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. (β) Αν πάρουμε στην τύχη έναν από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: i. : «Ο αναγραμματισμός να έχει τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις» ii. : «Ο αναγραμματισμός να μην έχει τα Α σε συνεχόμενες θέσεις». (α) i. ii. (β) i. Το πλήθος όλων των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης είναι ίσο με: 9! !! Τα φωνήεντα της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ είναι ΙΑΑΙΑ. Το πλήθος των αναγραμματισμών των φωνηέντων είναι: 5!! 2! 10 Αν θεωρήσουμε τα φωνήεντα ως ένα γράμμα, τότε έχουμε 5 γράμματα (4 σύμφωνα και 1 τα φωνήεντα) όλα διαφορετικά μεταξύ τους. Από την Πολλαπλασιαστική Αρχή της Απαρίθμησης, το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ, που έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις, είναι: 5! 5! ! 2! Αν είναι το σύνολο όλων των αναγραμματισμών της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ, τότε από το (α) έχουμε ότι: 0240 και 1200 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

11 ii. Έχουμε ότι: : «Ο αναγραμματισμός έχει τα Α σε συνεχόμενες θέσεις» Τα Α θεωρούνται ως ένα γράμμα. Άρα: 7! 2! Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: (α) Δίνεται η συνάρτηση :, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο 1, 0. Αν 41,, να δείξετε ότι η δίνεται από τον τύπο: 2, (β) Αφού βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, τα σημεία καμπής της, τη συμπεριφορά της στα άκρα του πεδίου ορισμού της, να κάνετε τη γραφική της παράσταση. (α) Έχουμε: 41 2 Για τον υπολογισμό της σταθεράς, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνθήκη 1 0. Είναι: Έτσι, καταλήγουμε στο ότι: (β) Πεδίο Ορισμού: 2, Σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων: Αν 0, τότε 0. Αν 0, τότε: ή 1 Επομένως, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες των συντεταγμένων είναι τα 0, 0 και 1, 0. Μονοτονία Ακρότατα: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με: 41 11

12 Έχουμε: ή 1 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την. Η είναι: Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,, 1,. Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,1. Η έχει τοπικό μέγιστο το και τοπικό ελάχιστο το 1 0. Κυρτότητα Σημεία Καμπής: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με: Έχουμε: 64 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την. 0 2 Η είναι: Κοίλη στο διάστημα, Κυρτή στο διάστημα, Η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής, το,. Συμπεριφορά της στα άκρα του πεδίου ορισμού της: lim lim 2 lim lim lim 2 lim 12

13 Γραφική παράσταση της : 5. Δίνεται ένα χαρτόνι σχήματος ορθογωνίου διαστάσεων 80 dm 50 dm. Πρόκειται να κατασκευαστεί με αυτό ένα κλειστό κουτί, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους dm με βάσεις τα ορθογώνια και, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σκιασμένα μέρη του σχήματος θα αφαιρεθούν. (Οι διπλώσεις θα γίνουν κατά μήκος των τμημάτων,,, και.) (α) Να δείξετε ότι ο όγκος του κουτιού ως συνάρτηση του δίνεται από τον τύπο dm (β) Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του κουτιού, ώστε ο όγκος του να είναι μέγιστος. (α) Οι διαστάσεις του κουτιού είναι: 50 2, ,, 0 25 O όγκος του κουτιού είναι: Άρα, ο όγκος του κουτιού, ως συνάρτηση του, δίνεται από τον τύπο: dm,

14 (β) Ο όγκος, ως συνάρτηση του, είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα 0, 25, ως πολυωνυμική συνάρτηση. Παραγωγίζοντας, παίρνουμε ότι , 0, 25 Έχουμε: Είναι: Επομένως:, , 10 Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την. Από τον πιο πάνω πίνακα, συμπεραίνουμε ότι για 10 ο όγκος του κουτιού μεγιστοποιείται. Οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε ο όγκος να είναι μέγιστος είναι: Πλάτος dm Μήκος dm Ύψος 10 dm 14