«Αριθμητική με το Νου και Αριθμητικοί Υπολογισμοί με Προσέγγιση»

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα μεταπτυχιακής εργασίας : «Αριθμητική με το Νου και Αριθμητικοί Υπολογισμοί με Προσέγγιση» Στρικούδη Μαίρη Α.Μ. 76 Επιβλέπων Καθηγητής: Αθανάσιος Χαλάτσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΣ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ...σελ. 3 1.Εισαγωγή...σελ Μεθοδολογία...σελ Αριθμητική με το Νου (Mental Arithmetic)...σελ Αριθμητικοί Υπολογισμοί με Προσέγγιση (Computational Estimation)...σελ Χρήση υπολογιστή τσέπης...σελ Σχέδια διδασκαλίας...σελ Επίλογος...σελ. 31 Β. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ...σελ Εισαγωγή...σελ Πρώτη διδασκαλία...σελ Δεύτερη διδασκαλία...σελ Τρίτη διδασκαλία...σελ Τέταρτη διδασκαλία...σελ Πέμπτη διδασκαλία...σελ Τελική αξιολόγηση...σελ Ανάλυση αποτελεσμάτων...σελ Συμπεράσματα...σελ. 68 Γ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...σελ. 69 2

3 Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 3

4 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εξοικείωση των μαθητών με τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις είναι μια από τις στοιχειώδεις προϋποθέσεις για την παραπέρα μαθηματική τους εκπαίδευση. Επιπλέον, η ικανότητα να κατανοεί κανείς αριθμητικά δεδομένα και να εκτελεί αριθμητικούς υπολογισμούς είναι ένα απαραίτητο εφόδιο για την καθημερινή ζωή. Συνεπώς, η διδασκαλία της Αριθμητικής στο σχολείο έχει δύο βασικούς στόχους: πρώτον, να προετοιμάζει με τον καλύτερο τρόπο τους μαθητές για την υπόλοιπη μαθηματική μόρφωσή τους και δεύτερον, να είναι προσανατολισμένη στις πρακτικές ανάγκες της καθημερινής ζωής. Για να επιτευχθούν αυτοί οι στόχοι, το ελληνικό αναλυτικό πρόγραμμα για την πρωτοβάθμια εκπαίδευση αφιερώνει στην Αριθμητική 4 ώρες την εβδομάδα σε κάθε τάξη του δημοτικού σχολείου, καθιστώντας την το πιο βασικό μάθημα μετά τη διδασκαλία της ελληνικής γλώσσας. Επιμέρους στόχοι της διδασκαλίας της Αριθμητικής είναι να εξασφαλίσει τις μαθηματικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη μελέτη σε βάθος των ίδιων των Μαθηματικών αλλά και για την κατανόηση των άλλων επιστημών. Επιπλέον, να καλλιεργήσει τις ικανότητες που είναι χρήσιμες για την ερμηνεία και αξιολόγηση των πληροφοριών που μεταδίδονται με μαθηματικό τρόπο από πολιτειακούς και κοινωνικούς φορείς και από τα ΜΜΕ. Επίσης, να εξασφαλίσει τις μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες που είναι απαραίτητες για να αντιμετωπιστούν ανάγκες της καθημερινής ζωής. Τέλος, η μαθηματική εκπαίδευση στοχεύει στο να καλλιεργήσει την ικανότητα εφαρμογής μαθηματικών γνώσεων, δεξιοτήτων και διαδικασιών σε μη μαθηματικά συμφραζόμενα, έτσι ώστε να μπορούν να τεθούν ή να επιλυθούν προβλήματα, να ε- ντοπιστούν ελλείψεις ή πλεονασμοί δεδομένων, να αξιολογηθούν και να επιβεβαιωθούν ή να απορριφθούν υποθέσεις. Το ζητούμενο, λοιπόν, είναι η επιλογή και εφαρμογή του κατάλληλου διδακτικού περιεχομένου για το μάθημα της Αριθμητικής, έτσι ώστε η διδασκαλία να ανταποκρίνεται στους παραπάνω στόχους. Ταυτόχρονα, τίθεται το ερώτημα κατά πόσον η πρωτοβάθμια μαθηματική εκπαίδευση σήμερα παρέχει τις κατάλληλες γνώσεις και προετοιμάζει σωστά το μαθητή για την περαιτέρω μαθηματική του εκπαίδευση και κατά πόσον ανταποκρίνεται στις σύγχρονες απαιτήσεις. Όμως, πριν εξετάσουμε την αποτελεσματικότητα του μέχρι πολύ πρόσφατα επιλεγόμενου περιεχομένου διδασκαλίας στην Αριθμητική, αξίζει να αναφερθούμε στην έννοια του αριθμητικού υπολογισμού και στο πώς αυτός πραγματοποιείται. Ως προς τον τρόπο εκτέλεσης του ο αριθμητικός λογισμός διακρίνεται: στο γραπτό αριθμητικό λογισμό ή αλλιώς με χαρτί και μολύβι, στον προφορικό αριθμητικό λογισμό ή αλλιώς στην αριθμητική με το νου στον ηλεκτρονικό αριθμητικό λογισμό ή αλλιώς εκείνον που εκτελείται με ηλεκτρονικά μέσα (υπολογιστής τσέπης ή ταμιακή μηχανή). 4

5 Εκτός από τον τρόπο εκτέλεσης του, ο αριθμητικός λογισμός διακρίνεται ως προς το εξαγόμενο αποτέλεσμα: στον ακριβή στον προσεγγιστικό λογισμό (Αριθμητικές Εκτιμήσεις). Το δημοτικό σχολείο προωθούσε έως πολύ πρόσφατα σχεδόν αποκλειστικά τον πρώτο τρόπο εκτέλεσης του αριθμητικού λογισμού, δηλαδή το γραπτό υπολογισμό (με χαρτί και μολύβι). Τα κύρια αντικείμενα διδασκαλίας ήταν η προπαίδεια και οι αλγόριθμοι. Οι μαθητές διδάσκονταν και εξασκούνταν στο να κάνουν οποιαδήποτε αριθμητική πράξη γραπτά. Για να κάνουν σωστά την πράξη με χαρτί και μολύβι, το μόνο που χρειάζονταν ήταν να κατανοήσουν και να εφαρμόσουν με επιτυχία τον α- ντίστοιχο αλγόριθμο. Αλγόριθμος ονομάζεται κάθε αυστηρή αλληλουχία από οδηγίες, οι οποίες ανάγουν τις πράξεις μεταξύ δύο οποιωνδήποτε φυσικών αριθμών σε πράξεις μεταξύ μονοψήφιων φυσικών αριθμών. Κατά την εφαρμογή, επομένως, των αλγορίθμων δουλεύουμε με τα ψηφία των αριθμών. Οπωσδήποτε η εφεύρεση των αλγόριθμων και η διδασκαλία τους στα σχολεία προσέφερε πολλά στη βελτίωση της μαθηματικής παιδείας, καθώς όλοι οι άνθρωποι τελειώνοντας τη βασική εκπαίδευση του δημοτικού μπορούσαν πλέον να εκτελούν αριθμητικές πράξεις με άνεση και δεν ήταν προνόμιο μόνο λίγων «εκλεκτών», όπως παλιότερα. Ωστόσο, μακροχρόνιες έρευνες της μαθηματικής εκπαίδευσης έχουν αναδείξει ορισμένα σημαντικά μειονεκτήματα της παραδοσιακής διδασκαλίας αλγορίθμων για τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις. Κατ αρχάς, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, κατά την εκτέλεση των αλγορίθμων οι μαθητές δουλεύουν στο επίπεδο των ψηφίων. Κατά συνέπεια δε βλέπουν τους αριθμούς ως ολότητες και δεν μπορούν να καταλάβουν το μέγεθος που οι αριθμοί αυτοί εκφράζουν. Είναι συνηθισμένο φαινόμενο εξάλλου να μην μπορούν οι μαθητές να αντιληφθούν ότι το εξαγόμενο που βρήκαν απέχει πολύ από τα μεγέθη που παρίσταναν οι αρχικοί αριθμοί που τους δόθηκαν. Δεν υπάρχει, επομένως, ουσιαστική και σε βάθος κατανόηση της όλης διαδικασίας, παρά μόνο ξερή αποστήθιση των κανόνων και μηχανική εκτέλεση του αλγόριθμου. Επιπλέον, με το γραπτό αριθμητικό λογισμό η διαδικασία που ακολουθούμε είναι προκαθορισμένη και ίδια για όλους. Δεν υπάρχει χώρος για πολλές και διαφορετικές πορείες που να αναδεικνύουν την προσωπική σκέψη και τους προβληματισμούς του καθενός. Η εκτέλεση του αλγόριθμου δεν προβληματίζει ούτε αφήνει περιθώρια για αποφάσεις. Ένα από τα ζητούμενα της μαθηματικής εκπαίδευσης, όμως, είναι η καλλιέργεια κριτικού πνεύματος και η κριτική αντιμετώπιση ποσοτικών δεδομένων και σχέσεων σε καθημερινά ζητούμενα. Για να επιτευχθούν αυτές δεν αρκεί η στείρα απομνημόνευση των αλγορίθμων αλλά είναι αναγκαία η εξοικείωση των μαθητών με την έννοια της αριθμητικής εκτίμησης, όπως και η εξάσκηση τους στο να χειρίζονται νοερά απλές αριθμητικές σχέσεις. 5

6 Συνεπώς, η Αριθμητική του σχολείου για να ανταποκρίνεται στις ανάγκες της σύγχρονης πραγματικότητας και της καθημερινής ζωής, πρέπει να συμπεριλαμβάνει την Αριθμητική με το Νου και τις Αριθμητικές Εκτιμήσεις, καθώς και τη χρήση υπολογιστή τσέπης. Τα ηλεκτρονικά μέσα υπήρξαν απαγορευμένα από το σχολείο, ωστόσο στις μέρες μας έχουν ενσωματωθεί σε κάποιο βαθμό στο πρόγραμμα διδασκαλίας της Αριθμητικής. Άλλωστε, η σύγχρονη πραγματικότητα επιβάλλει τη χρήση υπολογιστών τσέπης και ηλεκτρονικών υπολογιστών σε περιστάσεις που απαιτείται ένα ακριβές αποτέλεσμα. Συνεπώς, τίθεται υπό αμφισβήτηση η λειτουργικότητα της διδασκαλίας με χαρτί και μολύβι των αλγόριθμων για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, όταν οι σύγχρονες ανάγκες επιβάλλουν τη χρήση ηλεκτρονικών μέσων για τον υπολογισμό τέτοιων πράξεων.( Levin, 1981) Ωστόσο, η διδασκαλία των μαθηματικών με χαρτί και μολύβι αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο κάθε εκπαιδευτικού συστήματος, παρόλο που στην καθημερινή ζωή σπάνια χρησιμοποιούμε χαρτί και μολύβι σε αριθμητικούς υπολογισμούς. Όμως, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι, ακόμη κι όταν χρησιμοποιούμε ηλεκτρονικά μέσα, η κατανόηση και ο ανεξάρτητος από τα μέσα νοερός χειρισμός των αριθμών είναι απαραίτητος, για να ελέγχει κανείς το αποτέλεσμα που του δίνει ο ηλεκτρονικός υπολογιστής και να το επαληθεύει ως προς την ορθότητα του. ( Levin, 1981) Κι ενώ λοιπόν, τα ηλεκτρονικά μέσα έχουν κυριεύσει τη ζωή μας και εκτελούν αριθμητικούς λογισμούς με ταχύτητα, το ζητούμενο είναι και πάλι να έχουμε την ικανότητα να αντιμετωπίζουμε με κριτικό πνεύμα την πλημμυρίδα των ποσοτικών σχέσεων που μας κατακλύζουν καθημερινά. Συνεπώς, σκοπός της διδασκαλίας της Αριθμητικής πρέπει να είναι η εξοικείωση των μαθητών με τη σημασία των αριθμών, με τα μεγέθη που αυτοί εκφράζουν, ώστε να μπορούν να ελέγχουν το αποτέλεσμα που τους δίνουν τα ηλεκτρονικά μέσα και να αντιλαμβάνονται τι αυτό σημαίνει. Η ικανότητα κριτικής προσέγγισης των αριθμών συνδέεται, όπως προαναφέρθηκε, με την εξοικείωση των μαθητών με την έννοια της εκτίμησης και τη δυνατότητα τους να χειρίζονται νοερά απλές αριθμητικές σχέσεις. Προκειμένου, λοιπόν, η αριθμητική εκπαίδευση να είναι προσανατολισμένη στις α- νάγκες της καθημερινής ζωής, το πρόγραμμα διδασκαλίας των Μαθηματικών θα πρέπει να περιλαμβάνει ως αντικείμενο διδασκαλίας την Αριθμητική με το Νου, τις Α- ριθμητικές Εκτιμήσεις και τη χρήση υπολογιστή τσέπης. Κάτι τέτοιο συνάδει και με το στόχο της Αριθμητικής να προετοιμάζει καλύτερα την υπόλοιπη μαθηματική μόρφωση των μαθητών. Η Αριθμητική είναι Μαθηματικά, τα πρώτα Μαθηματικά που διδάσκονται οι μαθητές. Δεν είναι μια τεχνική προετοιμασία, για να μάθουμε Μαθηματικά. Επομένως, για να είναι η διδασκαλία της Αριθμητικής μια σωστή αρχή της μαθηματικής εκπαίδευσης, θα πρέπει οπωσδήποτε να περιλαμβάνει τις υπόλοιπες μορφές αριθμητικού λογισμού, επειδή: 6

7 στην Αριθμητική με το Νου οι διαδικασίες υπολογισμού είναι αυτοσχέδιες και ποικίλλουν ανάλογα με την πράξη και το είδος των αριθμών. Με αυτό τον τρόπο ο μαθητής ασκείται στη μεθοδική σκέψη, την ανάλυση, τη σύνθεση, την κριτική σκέψη και τη δημιουργική φαντασία, που αποτελούν σημαντικά θεμέλια για τη μαθηματική του παιδεία στην Αριθμητική με το Νου βρισκόμαστε μπροστά σε ένα πρόβλημα, αφού δεν έχουμε έτοιμη μια συγκεκριμένη διαδικασία που οδηγεί στο εξαγόμενο, όπως στο γραπτό αλγόριθμο. Άρα, η όλη πορεία ως το αποτέλεσμα περιέχει τα βασικά χαρακτηριστικά του προβληματισμού, της επινόησης και της απόφασης οι υπολογισμοί με το νου έχουν ολιστικό χαρακτήρα. Χειριζόμαστε τους αριθμούς ως ολότητες, ενώ στους αλγόριθμους ασχολούμαστε με τα ψηφία των αριθμών. Ο χειρισμός αυτός προσφέρει καλύτερη κατανόηση των μεγεθών που οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν, πράγμα που απουσιάζει από τις αλγοριθμικές διαδικασίες. Συμπερασματικά καταλήγουμε ότι η Αριθμητική με το Νου και οι Αριθμητικές Εκτιμήσεις, δηλαδή ο μη αλγοριθμικός λογισμός, είναι ως νοητικές λειτουργίες ανώτερες από την αλγοριθμική ρουτίνα και θα πρέπει να περιλαμβάνονται οπωσδήποτε στο περιεχόμενο διδασκαλίας της Αριθμητικής στο δημοτικό σχολείο. Αξίζει σε αυτό το σημείο να τονιστεί πως φέτος, για πρώτη χρονιά, οι συγγραφείς των καινούριων διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών έχουν προβεί σε ορισμένες επιλογές που αφορούν σε συγκεκριμένους άξονες γνωστικού περιεχομένου (Αριθμοί, Πράξεις και Πρόβλημα), οι οποίες διαφέρουν σε σχέση με παλαιότερες προσεγγίσεις, σε μια προσπάθεια εκσυγχρονισμού των σχολικών βιβλίων, ώστε να είναι σύμφωνα με τις παιδαγωγικές κατευθύνσεις που έχουν προκύψει από την έρευνα σε διάφορα πεδία, όπως η Ψυχολογία, η Διδακτική και η Παιδαγωγική. Σε αυτό το πλαίσιο εκσυγχρονισμού, τα προγράμματα σπουδών που διέπουν το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα (ΔΕΕΠΣ και ΑΠΣ) περιέχουν πλέον σαφείς κατευθύνσεις για τη διδακτική αξιοποίηση των νοερών υπολογισμών και των αριθμητικών εκτιμήσεων. Ενδεικτικά δύο από τους στόχους που τίθενται στα αναλυτικά προγράμματα της τυπικής εκπαίδευσης στη χώρα μας είναι: Η ανάπτυξη ικανότητας για μετρήσεις, νοερούς υπολογισμούς και εκτιμήσεις Η ανάδειξη της πρακτικής χρήσης των Μαθηματικών στην καθημερινή ζωή Επειδή η Αριθμητική με το Νου και οι Αριθμητικές Εκτιμήσεις είναι έννοιες που γίνονται κτήμα του μαθητή σταδιακά και όσο περισσότερο ασκείται σε αυτές, έχουν ενταχθεί όχι μόνο στα βιβλία των μεγάλων τάξεων, αλλά ήδη στο βιβλίο των Μαθηματικών της Α Δημοτικού και έχει δοθεί ιδιαίτερη έμφαση σε αυτές. Μελετώντας το βιβλίο Μαθηματικών του μαθητή της Α Δημοτικού, αλλά και το τετράδιο εργασιών, παρατηρούμε ότι προτείνονται νοεροί υπολογισμοί και εκτιμήσεις σε κάθε ευκαιρία. Η ικανότητα των μαθητών να υπολογίζουν νοερά ανάγεται σε στόχο που επιτυγχάνε- 7

8 ται σταδιακά με τη μετάβαση από τις διαδικασίες υπολογισμού με αντικείμενα προς πιο αφηρημένες διαδικασίες που εκτελούνται νοερά. Πιο συγκεκριμένα στα βιβλία των Μαθηματικών της Δ Δημοτικού, όπου έλαβε χώρα και η παρούσα έρευνα, όσον αφορά στη διαχείριση αριθμών, υποστηρίζονται συστηματικά οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις αποτελεσμάτων των τεσσάρων πράξεων. Οι συγγραφείς θεωρούν πως πέρα από την πρακτική χρησιμότητά τους σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής, οι νοεροί υπολογισμοί δίνουν στα παιδιά τη δυνατότητα να κατανοήσουν καλύτερα τους αριθμούς και κάποιες ιδιότητές τους, ενώ η εκτίμηση μπορεί να λειτουργήσει και ως πρόβλεψη, και συνακόλουθα ως έλεγχος, των αποτελεσμάτων των πράξεων. Επιπλέον, στα προβλήματα που συναντούν τα παιδιά στα νέα βιβλία καλούνται να χρησιμοποιούν πάντα την εκτίμηση, πριν επιλύσουν το πρόβλημα, για να προβλέψουν τα αποτελέσματα. Τέλος, αρκετά συχνά, ιδίως σε προβλήματα με μεγάλους αριθμούς, τα παιδιά καλούνται να ελέγξουν την εκτίμησή τους με χρήση υπολογιστή τσέπης, ο οποίος παύει πια να θεωρείται ως κάτι το «απαγορευμένο» στο σχολείο, που ευνοεί τη «νωθρότητα της σκέψης» και αντιμετωπίζεται ως εργαλείο που προωθεί τον έλεγχο υποθέσεων και εκτιμήσεων και βοηθά στην όλη διαδικασία κατάκτησης της γνώσης. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο προφορικός αριθμητικός λογισμός (Αριθμητική με το Νου), ο ηλεκτρονικός και ο προσεγγιστικός (Αριθμητικές Εκτιμήσεις) αρχίζουν επιτέλους να βρίσκουν τη θέση τους στα ελληνικά αναλυτικά προγράμματα και στα σχολικά διδακτικά εγχειρίδια για τα Μαθηματικά, έπειτα από αρκετά χρόνια καθυστέρησης σε σύγκριση με αντίστοιχα ευρωπαικά και αμερικάνικα αναλυτικά προγράματα και σχολικά βιβλία Μαθηματικών. Ωστόσο, για την επιτυχία αυτής της καινοτόμας για τα ελληνικά δεδομένα διδακτικής παρέμβασης είναι απαραίτητη, πέρα από τη συγκατάλεξή της στα σχολικά εγχειρίδια, η υποστήριξή της από τους/τις διδάσκοντες/ουσες της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ο ρόλος του δασκάλου στην εφαρμογή των νέων διδακτικών προτάσεων για την ενσωμάτωση της Αριθμητικής με το Νου, των Αριθμητικών Εκτιμήσεων και του υπολογιστή τσέπης στην όλη εκπαιδευτική διαδικασία της διδακτικής των Μαθηματικών είναι τεράστιος. Οι ίδιοι οι δάσκαλοι, γαλουχημένοι από όλα τα χρόνια της διδακτικής τους εμπειρίας στο σχολείο αλλά και στο Πανεπιστήμιο με την πεποίθηση ότι τα Μαθηματικά είναι αποκλειστικά συνδεδεμένα με τη χρήση γραπτού αριθμητικού λογισμού και με ακριβή εξαγόμενα, είναι πιθανό να αμφισβητήσουν ή έστω να υποτιμήσουν τη σπουδαιότητα των Αριθμητικών Εκτιμήσεων και της Αριθμητικής με το Νου στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Επειδή δεν είναι εξοικειωμένοι με τις παραπάνω έννοιες, ίσως αδυνατούν να συλλάβουν το μεγάλο ρόλο που αυτές παίζουν στη βαθύτερη κατανόηση της έννοιας των αριθμών και στην ανάπτυξη του κριτικού πνεύματος των μαθητών. Ενός κριτικού πνεύματος απαραίτητου για την εφαρμογή των μαθηματικών γνώσεων, δεξιοτήτων και διαδικασιών τόσο σε μαθηματικά όσο και σε μη μαθηματικά συμφραζόμενα. 8

9 Πέρα από την αλλαγή, επομένως, των πεποιθήσεών τους για τα Μαθηματικά οι δάσκαλοι θα πρέπει επιπλέον να ασκηθούν και οι ίδιοι στην Αριθμητική με το Νου και στις Αριθμητικές Εκτιμήσεις, να εξοικειωθούν με στρατηγικές διαφορετικές από τους γνωστούς αλγόριθμους των τεσσάρων πράξεων, για να κατανοήσουν και αυτοί σε βάθος τις καινούριες έννοιες και να μπορέσουν να βοηθήσουν τους μαθητές/τριές τους να τις κατακτήσουν και αυτοί/ές με τη σειρά τους. Σκοπός, λοιπόν, της παρούσας εργασίας είναι να εξετάσει αυτές τις μορφές αριθμητικού λογισμού (Αριθμητική με το Νου, Αριθμητικές Εκτιμήσεις και χρήση υπολογιστή τσέπης), ώστε να αναδείξει τη συμβολή τους στην καλλιέργεια της κριτικής σκέψης των μαθητών και στην κατανόηση της σημασίας των αριθμών. 2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για την εκπόνηση της παρούσας εργασίας είναι ένας συνδυασμός θεωρίας και έρευνας. Το πρώτο μέρος της εργασίας είναι θεωρητικό και η συγγραφέας επιχειρεί κριτική αντιμετώπιση και συνδυασμό των στοιχείων της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Αξίζει να αναφέρουμε εδώ ότι η ελληνική βιβλιογραφία πάνω στο ζήτημα χωλαίνει και για αυτόν το λόγο στηριχτήκαμε περισσότερο σε αγγλόφωνα άρθρα και σε πηγές από το διαδίκτυο. Το δεύτερο μέρος της εργασίας στηρίζεται σε μια ποιοτική έρευνα που έλαβε χώρα σε μια σχολική τάξη 17 μαθητών. Το δείγμα αποτελεί το τμήμα στο οποίο η γράφουσα διδάσκει. Η έρευνα αποτελεί στην ουσία εφαρμογή της θεωρίας στην πράξη και ποιοτική ανάλυση των δεδομένων. Φυσικά, κατανοούμε πως ο αριθμός του δείγματος είναι μικρός και δεν αφήνει περιθώρια για γενικεύσεις και εξαγωγή βέβαιων συμπερασμάτων. Ωστόσο, υπήρξαν αντικειμενικές δυσκολίες που δεν επέτρεψαν την επέκταση της έρευνας και σε άλλα τμήματα του σχολείου. Τη σχολική χρονιά κατά την οποία εκπονείται η εργασία, λόγω εκτεταμένης χρονικά απεργίας των διδασκόντων στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, χάθηκαν πολλές ώρες διδασκαλίας και συνεπώς ήταν δύσκολο να καταφέρουν και άλλοι συνάδελφοι να συμμετάσχουν στην έρευνα αυτή. Ωστόσο, οι παρατηρήσεις έστω και στο μικρό αυτό δείγμα μαθητών παρουσιάζουν ενδιαφέρον και είναι αξιοσημείωτες (Ary et al., 1990). 9

10 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ ΝΟΥ (MENTAL ARITHMETIC) Αριθμητική με το Νου είναι η διαδικασία που μας δίνει τη λύση σε αριθμητικούς υπολογισμούς χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων (χαρτί και μολύβι, ηλεκτρονικά μέσα) (Sowder, 1988:182). Η αριθμητική με το νου ενισχύει στη σκέψη των μαθητών τη σημασία και τη λειτουργία των αριθμών και προωθεί την κριτική και ευέλικτη σκέψη και τη δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων. Η αριθμητική με το νου εφαρμόζεται σε απλές αριθμητικές πράξεις. Σε καμία περίπτωση δε θα εκτελούσαμε με το νου τον πολλαπλασιασμό 897x78, όπως επίσης ποτέ δε θα χρησιμοποιούσαμε χαρτί και μολύβι για να βρούμε το γινόμενο 16x500 ή τη διαφορά Όπως κανένας δε θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι έχει στοιχειώδη μαθηματική παιδεία αν δεν αντιλαμβάνεται ότι 18 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ αντιστοιχούν σε 9 χαρτονομίσματα των 10 ευρώ. Κάποιοι υπολογισμοί λοιπόν εκτελούνται ευκολότερα με το νου και μάλιστα γίνονται μια ευχάριστη διαδικασία, εφόσον κανείς εξασκηθεί σε αυτούς. Στην αριθμητική με το νου, οι διαδικασίες είναι αυτοσχέδιες και ποικίλουν ανάλογα με την πράξη, το είδος των αριθμών και άλλους παράγοντες. Στα παρακάτω παραδείγματα, καθεμία από τις διαφορές υπολογίζεται νοερά με διαφορετικό τρόπο: Α: [63-41] => 63-41=20+2= Β:[63-46] => 63-46= Γ:[63-49] => 63-49=1+13= Όπως προκύπτει, λοιπόν, από τα παραπάνω παραδείγματα, η αριθμητική με το νου αποτελεί μια διαδικασία προβληματισμού, επινόησης και αυτοσχεδιασμού. Αντίθετα, στον γραπτό αριθμητικό υπολογισμό η πορεία που θα ακολουθήσουμε για να καταλήξουμε στη λύση ενός προβλήματος είναι προκαθορισμένη και πάντα η ίδια. Επιπρόσθετα, στην αριθμητική με το νου χειριζόμαστε τους αριθμούς ως ολότητες και όχι ως ψηφία, όπως στους αλγόριθμους. Συνεπώς, κατανοούμε τα μεγέθη που εκφράζουν οι αριθμοί, την αξία και τη σημασία των αριθμών (Χαλάτσης, 1998). Η σύγχρονη βιβλιογραφία και έρευνα σε διεθνές επίπεδο υποστηρίζει πως είναι σημαντικό να συμπεριλάβουμε την Αριθμητική με το Νου στα αναλυτικά προγράμματα διδασκαλίας. Ωστόσο, στην πράξη η Αριθμητική με το Νου δεν αποτελεί συστηματικό αντικείμενο διδασκαλίας, παρόλο που βοηθά τους μαθητές να κατανοούν 10

11 τη σημασία των αριθμών, να καταλαβαίνουν πώς λειτουργούν οι αριθμοί και να κερδίσουν εμπειρία στο πώς να χειρίζονται τα νούμερα (Heirdsfield, 2000). Εκτός από την παραπάνω σημασία της Αριθμητικής με το Νου, ως προς την κατανόηση των μεγεθών που εκφράζουν οι αριθμοί, υπάρχουν και πρακτικοί λόγοι που καθιστούν την αριθμητική με το νου ένα απαραίτητο αντικείμενο διδασκαλίας. Πρώτα απ όλα, έχοντας αναπτύξει τη δυνατότητα να υπολογίζει νοερά, ο χρήστης υπολογιστή τσέπης ή άλλων ηλεκτρονικών μέσων μπορεί να ελέγξει την ορθότητα του αποτελέσματος σε απλές πράξεις. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η έρευνα έχει αποδείξει πως η πλειοψηφία των καθημερινών υπολογισμών γίνεται με το νου και όχι με τη χρήση εξωτερικών μέσων. Άλλωστε, «τα εργαλεία υπολογισμού δεν είναι πάντοτε διαθέσιμα, ενώ όλοι κουβαλάμε το μυαλό μας πάντα μαζί μας» (Hope, 1986). Παρόλο που η σημασία της Αριθμητικής με το Νου κρίνεται γενικά αναμφισβήτητη, μέχρι πολύ πρόσφατα δε δινόταν στο ελληνικό αναλυτικό πρόγραμμα διδασκαλίας και στα αντίστοιχα βιβλία Μαθηματικών η πρέπουσα βαρύτητα σε αυτήν και, κατά συνέπεια, οι μαθητές δεν ήταν ούτε είναι εξοικειωμένοι με τέτοιες μεθόδους. Αυτό, όμως, σημαίνει ότι οι μαθητές στερούνταν ουσιαστικής μαθηματικής παιδείας. Σε μια έρευνα του Hope (1986), τα αποτελέσματα έδειξαν πως πολλοί μαθητές δεν αναγνώριζαν το 8x99 ως ή το 50x64 ως ½ του 6.400, ενώ αντιθέτως χρειάζονταν χαρτί και μολύβι, για να υπολογίσουν τις παραπάνω πράξεις. Στην ίδια έρευνα, μια μαθήτρια γνώριζε ότι 4x25=100, αλλά δεν μπορούσε να χρησιμοποιήσει αυτήν την πληροφορία για να υπολογίσει το γινόμενο 8x25. Για να βρει το αποτέλεσμα βασίστηκε σε τεχνική με χαρτί και μολύβι κατά κάποιον τρόπο, αφού έγραψε την πράξη στον αέρα με το δάχτυλό της. Η Αριθμητική με το Νου, λοιπόν, είναι ένας από τους καλύτερους τρόπους για να βοηθήσουμε τους μαθητές να απαλλαγούν από τεχνικές οι οποίες μαθαίνονται με τη μέθοδο της αποστήθισης. Η Αριθμητική με το Νου παροτρύνει τους μαθητές να ανακαλύπτουν μεθόδους υπολογισμού και έτσι να κατανοούν βαθύτερα το σύστημα α- ρίθμησης (Hope, 1986). Ωστόσο, από τη στιγμή που η Αριθμητική με το Νου γίνεται αντικείμενο διδασκαλίας, είμαστε υποχρεωμένοι να διδάξουμε κάποιες στρατηγικές μεθόδους, χωρίς βέβαια να επιμείνουμε στην αυστηρή επιλογή μιας συγκεκριμένης τεχνικής, και φυσικά αφήνοντας το μαθητή να επιλέξει ποια τεχνική θα χρησιμοποιήσει προκειμένου να βρει τη λύση του εκάστοτε προβλήματος. Εξάλλου, η έρευνα (Cathcart et al., 2000) υποδεικνύει πως οι μαθητές αναπτύσσουν ευκολότερα δεξιότητες Αριθμητικής με το Νου, όταν διδάσκονται συγκεκριμένες τεχνικές, παρά όταν υιοθετούν αυτοσχέδιες στρατηγικές. Ας δούμε, λοιπόν, τις στρατηγικές που προτείνουν ορισμένοι ερευνητές για τη διδασκαλία της Αριθμητικής με το Νου. Όσον αφορά τον αλγόριθμο της πρόσθεσης ο Cathcart και οι συνεργάτες του (2000) προτείνουν τις παρακάτω στρατηγικές: 11

12 Ίσες προσθέσεις. Αυτή η μέθοδος είναι η ίδια με τον αλγόριθμο για την πρόσθεση. Για παράδειγμα αν πρέπει να βρούμε το άθροισμα , αν αφαιρέσουμε 6 από το 725 και το προσθέσουμε στο 294, τότε η πράξη γίνεται = Ομοίως για την πράξη της αφαίρεσης , πρέπει να προσθέσουμε 6 και στα 2 μέρη, οπότε έχουμε =431. Συμβατοί αριθμοί. Αναζητάμε αριθμούς που προστίθενται ή αφαιρούνται πιο εύκολα. Για παράδειγμα, για να βρούμε το αποτέλεσμα , προσθέτουμε πρώτα το 24 με το 11=35 και 16+19=35, οπότε το πρόβλημα γίνεται =35. Υποκαθιστώντας. Παραδείγματος χάρη για την πράξη υποκαθιστούμε το 47 σε μια έκφρασή του έτσι ώστε να είναι πιο εύκολο να βρούμε συμβατούς α- ριθμούς. Στην πράξη: 97+48=97+(3+45)= =145. Επίσης: =134 (34+22)= =78. Ενίοτε η Αριθμητική με το Νου περιλαμβάνει πολλαπλασιασμό. Παρακάτω λοιπόν θα δούμε μερικές στρατηγικές, για να διδάξουμε πολλαπλασιασμό με το Νου (Hazekamp, 1986): Ειδικά παράγωγα. Χρησιμοποιούμε παράγωγα αριθμών ώστε να προκύπτουν δυνάμεις ή πολλαπλάσια του 10, για παράδειγμα 15x20=300 και 1/3x30=10. Διάσπαση αριθμών κατά μέρη. Πολλαπλασιάζουμε χωρίζοντας τους αριθμούς κατά μέρη. Παράδειγμα: 5x38= (5x30)+(5x8)=150+40=190. Προσέγγιση συμψηφισμού. Πολλαπλασιάζουμε το παράγωγο με έναν συντελεστή και μετά διαιρούμε με τον ίδιο συντελεστή. Παράδειγμα: 25x64 (πολλαπλασιάζουμε 25x4=100), μετά σκεφτόμαστε ότι 100x64=6.400 και έπειτα διαιρούμε το γινόμενο με 4 και η απάντηση είναι Ο Dr. Dawn Parker προτείνει τις παρακάτω μεθόδους - στρατηγικές για την Α- ριθμητική με Νου γενικά: Χωρίζοντας την πράξη κατά μέρη. Για παράδειγμα η πράξη μπορεί να γίνει αφαιρώντας πρώτα 30 από το 57, δηλαδή 57-30=27 και έπειτα αφαιρώντας από το 27 το 8 που μας απομένει. Ένα ακόμη παράδειγμα για τον πολλαπλασιασμό: 42x12=(42x10)+(42x2) Κάνοντας το πρόβλημα πιο εύκολο. Για παράδειγμα: 72-47=(72+3)-(47+3). 12

13 Βγάζοντας τα μηδενικά: Για παράδειγμα μετατρέπουμε την πρόσθεση σε 62+4 και έπειτα προσθέτουμε 3 μηδενικά στο αποτέλεσμα. Η βιβλιογραφία και έρευνα που υποστηρίζει την εισαγωγή της Αριθμητικής με το Νου στα σύγχρονα προγράμματα διδασκαλίας προτείνει άλλη μια μέθοδο διδασκαλίας που ονομάζεται Vedic. Η μέθοδος Vedic είναι ένας αρχαίος τρόπος για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, που επινοήθηκε στην Ινδία. Η μέθοδος Vedic θεωρείται πως έρχεται σε αρμονία με τον τρόπο που λειτουργεί το μυαλό. Η πρώτη εφαρμογή της μεθόδου αφορά τον αλγόριθμο της αφαίρεσης και πιο ειδικά υποδεικνύει έναν τρόπο, για να αφαιρούμε αριθμούς από το 1, 10, 100, 1000 κτλ. Η μέθοδος Vedic, λοιπόν, λέει ότι αφαιρούμε «όλα από το 9 και το τελευταίο από το 10», το οποίο μεταφράζεται ως «πήγαινε κάθε αριθμό προς τα πάνω μέχρι το 9 και τον τελευταίο μέχρι το 10». Ας το δούμε όμως καλύτερα μέσα από ένα παράδειγμα: =655 δηλαδή : το 3 μέχρι το 9 θέλει 6 το 4 μέχρι το 9 θέλει 5 και το 5 μέχρι το 10 θέλει 5 Η δεύτερη εφαρμογή της μεθόδου αφορά τον πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών. Η μέθοδος Vedic λοιπόν λέει «κάθετα και σταυρωτά». Για παράδειγμα: 32x21: 32 x 21 μας κάνει 672. Η πρώτη στήλη μας δίνει 3x2=6 Πολλαπλασιάζουμε σταυρωτά στη συνέχεια 3x1+2x2=7 Η δεύτερη στήλη μας δίνει 2x1=2 Η μέθοδος αυτή είναι πολύπλοκη και προϋποθέτει ότι οι μαθητές πρέπει να συγκρατούν αριθμούς στο μυαλό τους, γι αυτό ενδείκνυται για προχωρημένες τάξεις μόνο ( Αξίζει στο σημείο αυτό να αναφερθούμε στη γνώμη του Braams, ο οποίος προτείνει πως πρέπει να είμαστε προσεκτικοί, όταν μιλάμε για τυποποιημένες στρατηγικές για τη διδασκαλία της Αριθμητικής με το Νου. Υπάρχουν φυσικά τυποποιημένοι αλγόριθμοι για τη διδασκαλία με χαρτί και μολύβι, αλλά η αριθμητική με το νου ενδείκνυται και για μη τυποποιημένες μεθόδους. Ο νοερός υπολογισμός, λοιπόν, επιτρέπει τον αυτοσχεδιασμό και την ποικιλία μεθόδων που χρησιμοποιούνται για να φτάσουμε στο αποτέλεσμα, ανάλογα με την πράξη, το είδος των αριθμών και άλλους παράγο- 13

14 ντες, όπως για παράδειγμα η ηλικία των μαθητών ή το επίπεδο της τάξης. Έτσι, η διδασκαλία των Μαθηματικών πρέπει να περιλαμβάνει και αριθμητική με χαρτί και μολύβι και αριθμητική με το νου (Braams, 2001). Καταλήγοντας, λοιπόν, θα λέγαμε ότι η εισαγωγή της Αριθμητικής με το Νου στο αναλυτικό πρόγραμμα διδασκαλίας έχει ως στόχο να καλλιεργήσει στους μαθητές την ικανότητα αυτοσχεδιασμού, την κριτική σκέψη και τον χειρισμό των αριθμών ως ο- λότητες και όχι ως ψηφία. Αυτή ίσως είναι και η βασική υπεροχή της Αριθμητικής με το Νου, ότι, δηλαδή, η όλη πορεία παρέχει τα βασικά χαρακτηριστικά του προβληματισμού, της επινόησης, της απόφασης. Αντίθετα, στον γραπτό αριθμητικό λογισμό όλα είναι προκαθορισμένα. Για την ίδια πράξη όλοι θα ακολουθήσουμε την ίδια α- κριβώς πορεία. Η εκτέλεση του αλγόριθμου δεν προβληματίζει ούτε αφήνει περιθώρια για αποφάσεις. Συμπερασματικά, ένα σύγχρονο πρόγραμμα διδασκαλίας, που ως στόχο έχει την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης, πρέπει να περιλαμβάνει αντικείμενα διδασκαλίας, όπως η Αριθμητική με το Νου. Αυτό που έχει, όμως, σημασία να τονίσουμε είναι πως παρότι προτείναμε κάποιες στρατηγικές, ο εκπαιδευτικός πρέπει να αφήνει τον μαθητή ελεύθερο να διαλέξει ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσει και να δέχεται και τον αυτοσχεδιασμό του μαθητή, όταν αυτός κάνει έναν νοερό υπολογισμό. Καταλήγοντας, αξίζει να αναφερθεί πως έρευνες πάνω στο συγκεκριμένο θέμα έχουν αποδείξει ότι πολλοί μαθητές, οι οποίοι δεν είναι καλοί στη γραπτή εκτέλεση πράξεων, σημειώνουν σημαντική επιτυχία στους υπολογισμούς με το νου. Αυτή η ε- πιτυχία έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της αυτοπεποίθησης τους και πολλές φορές την αλλαγή της προϋπάρχουσας αρνητικής τους στάσης απέναντι στο μάθημα της α- ριθμητικής. 14

15 4.ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (COMPUTATIONAL ESTIMATION) Σύμφωνα με τον Dowker (1992), Αριθμητική Εκτίμηση σημαίνει την λογική προσεγγιστική λύση σε έναν αριθμητικό υπολογισμό, χωρίς να υπολογίζουμε το πραγματικό αποτέλεσμα ή να έχουμε κάνει προηγουμένως τον ακριβή υπολογισμό. Πρόκειται, δηλαδή, για εκείνους τους αριθμητικούς υπολογισμούς, οι οποίοι δεν καταλήγουν στο ακριβές εξαγόμενο, αλλά σε μια ικανοποιητική προσέγγιση του. Βέβαια, μια προσέγγιση κρίνεται ικανοποιητική ανάλογα με το είδος της πράξης και τη φύση του προβλήματος. Παραδείγματα αριθμητικών εκτιμήσεων συναντάμε σε πολλούς τομείς της καθημερινής ζωής. Πολύ συχνά στις καθημερινές μας ασχολίες, όταν έχουμε να κάνουμε με αριθμούς, είναι αδύνατο ή μη ρεαλιστικό ή μη χρήσιμο να δώσουμε μια ακριβή απάντηση. Αντιθέτως, προτιμούμε να χρησιμοποιούμε προσεγγιστικές τιμές. Έτσι, η Αριθμητική Εκτίμηση είναι μία έννοια που εφαρμόζεται στην πράξη καθημερινά από όλους μας. Είναι αξιοσημείωτο ότι πάνω από το 80% των εφαρμογών των Μαθηματικών στις περιστάσεις της καθημερινής ζωής περιέχουν την έννοια της Αριθμητικής Εκτίμησης (Reys and Reys, 1983). Ας δούμε, λοιπόν, τα βασικά χαρακτηριστικά της Αριθμητικής Εκτίμησης. Πρώτον, ο υπολογισμός γίνεται με το νου, χωρίς τη χρήση χαρτιού και μολυβιού. Δεύτερον, η απάντηση δίνεται γρήγορα κάνοντας μια στιγμιαία - άμεση κρίση. Τέλος, η α- ριθμητική εκτίμηση μας δίνει ένα προσεγγιστικό αποτέλεσμα το οποίο ωστόσο είναι ικανοποιητικό όσον αφορά την περίσταση που το χρησιμοποιούμε. Η Αριθμητική Ε- κτίμηση λοιπόν γίνεται με το νου, γρήγορα και «στο περίπου» (Reys & Reys, 1983). Ο κατά προσέγγιση υπολογισμός είναι ένα σημαντικό συστατικό του γνωστικού αντικειμένου των Μαθηματικών, καθώς μας παρέχει στοιχεία για το πώς οι άνθρωποι κατανοούν τις έννοιες, τις σχέσεις και τις στρατηγικές της Αριθμητικής. Επίσης μας πληροφορεί για το βαθμό γνωστικής ανάπτυξης των μαθητών στον τομέα των Μαθηματικών (Lemaire et al, 2000). Όπως στην Αριθμητική με το Νου, έτσι κι εδώ, οι μέθοδοι και οι στρατηγικές είναι αυτοσχέδιες. Βέβαια, είναι δυνατό ένα σημαντικό πλήθος από τις μεθόδους αυτές να ταξινομηθούν και να διδαχθούν στους μαθητές. Η έρευνα έχει επιβεβαιώσει πως οι μαθητές μπορούν να αναπτύξουν και να μάθουν τεχνικές υπολογισμού κατά προσέγγιση, αλλά μόνο αν τους δώσουμε την ευκαιρία να το κάνουν. Πρέπει λοιπόν να εξασκούνται σε τέτοιου είδους τεχνικές (Reys & Reys, 1983). Ωστόσο, έχει καλλιεργηθεί στο πνεύμα των μαθητών ότι τα Μαθηματικά σημαίνουν ακρίβεια. Συνεπώς, το προσεγγιστικό αποτέλεσμα είναι μια μέθοδος με την ο- ποία οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι. Έτσι κρίνεται πρωταρχικά απαραίτητο να εδραιωθεί η νομιμότητα και η αξία της Αριθμητικής κατ Εκτίμηση και η ανοχή στο μαθηματικό σφάλμα. Αρκεί ίσως να αναφερθεί ότι δύο μεγάλοι κλάδοι της Αριθμητι- 15

16 κής, η Στατιστική και η Αριθμητική Ανάλυση ασχολούνται με την ιδέα της προσέγγισης (Χαλάτσης, 1998). Επιπλέον, η εξοικείωση των μαθητών με την αριθμητική προσέγγιση κρίνεται α- ναγκαία, αν αναλογιστούμε το εύρος της χρησιμότητας της στην καθημερινή ζωή. Ας παρατηρήσουμε, λοιπόν, σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε προσεγγιστικές τιμές και ποια η σημασία των Αριθμητικών Εκτιμήσεων. Ο Usiskin (1986) τονίζει τη σημασία του αριθμητικού υπολογισμού κατά προσέγγιση στους παρακάτω τομείς: Πρώτα απ όλα χρησιμοποιούμε εκτιμήσεις για την αντιμετώπιση εμποδίων προβλημάτων. Για παράδειγμα, μόνο εκτιμήσεις μπορούν να γίνουν για τον υπολογισμό της ηλικίας του αρχαιότερου γνωστού σκελετού δεινόσαυρου, καθώς δε μπορούμε να γνωρίζουμε την ακριβή ηλικία. Έτσι, οι κατά προσέγγιση τιμές έχουν εφαρμογή στον τομέα της Επιστήμης. Επίσης, συχνά έχουμε να αντιμετωπίσουμε ερωτήματα του τύπου: πόσες τάξεις θα χρειαστούμε για 110 μαθητές, αν το ανώτερο δυναμικό κάθε τάξης είναι 25 μαθητές; Η απάντηση είναι 5, καθώς δεν μπορούμε να έχουμε 4,4 αίθουσες. Η εκτίμηση λοιπόν σε αυτήν την περίπτωση αποτελεί αντιμετώπιση προβλημάτων που επιφέρει ο ακριβής υπολογισμός. Τέλος, ο πληθυσμός μια χώρας πάντα δίνεται κατά προσέγγιση καθώς δεν είναι δυνατό να υπολογίζεται καθημερινά ο ακριβής αριθμός του πληθυσμού (Usiskin 1986). Επιπρόσθετα, ο κατά προσέγγιση υπολογισμός αυξάνει τη σαφήνεια σε ορισμένες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, προκειμένου να μετρήσουμε την νοημοσύνη κάποιου υπάρχει μια κλίμακα με βαθμούς που στηρίζεται σε μέσους όρους. Πολλές φορές ο ακριβής μέσος όρος στρογγυλοποιείται για να γίνεται το αποτέλεσμα πιο κατανοητό (Usiskin 1986). Επιπλέον, ο υπολογισμός κατά προσέγγιση συχνά είναι πιο εύχρηστος.για παράδειγμα, κατά τη μετατροπή από ευρώ σε δραχμές συχνά υπολογίζουμε την αντιστοιχία του ευρώ ως 340 δραχμές. Τέλος, οι προσεγγιστικές τιμές συχνά εξασφαλίζουν συνοχή -ακρίβεια. Για παράδειγμα, ο ορισμός της τιμής του π ως 3,14 επιτρέπει στους μαθητές μια τάξης να πετύχουν την ίδια λύση παρά να δοθούν διαφορετικές απαντήσεις του τύπου 9π ή 28,26 ή 28, (Usiskin 1986). Αφού, λοιπόν αναλύσαμε τη σημασία των Αριθμητικών Εκτιμήσεων, και είδαμε τη χρήση τους σε περιστάσεις της καθημερινότητας, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως, παρόλο που η διδασκαλία των Μαθηματικών στηρίζεται στην εκμάθηση των αλγόριθμων και σε πράξεις που γίνονται με χαρτί και μολύβι, συχνά κάνουμε, και μάλιστα αυθόρμητα, προσεγγιστικούς υπολογισμούς, ενώ σπάνια καταφεύγουμε στη χρήση εξωτερικών μέσων και στους πίνακες, για να λύσουμε απλές καθημερινές πράξεις ( Levin, 1981). Όσον αφορά λοιπόν τις τεχνικές για Αριθμητικές Εκτιμήσεις, η έρευνα υποδεικνύει πως ποικίλλουν ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος (Lemaire et al,2000). 16

17 Σύμφωνα με έρευνες πάνω στο θέμα (Dowker, 1992, Reys, 1986) υποδεικνύουμε τις παρακάτω τεχνικές για κατ εκτίμηση υπολογισμούς: Πρόσθεση των πρώτων (από αριστερά) ψηφίων (front - end strategy). Για παράδειγμα αν έχουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς 4,5+6,7+3,2+7,8+9,2 για να καταλήξουμε σε ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε χαρτί και μολύβι, προσθέτουμε =29. Αυτοί είναι οι πιο σημαντικοί αριθμοί. Στη συνέχεια σκεφτόμαστε ότι 0,5 και 0,7 μας κάνει περίπου 1 και 0,2+0,8 άλλο 1, όποτε το τελικό κατά προσέγγιση αποτέλεσμα είναι 31+. Ομαδοποίηση (clustering strategy). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να προσθέσουμε τους αριθμούς Όλοι οι αριθμοί είναι γύρω στο Εφόσον λοιπόν έχουμε 5 αριθμούς γύρω στο πολλαπλασιάζουμε 5x και έχουμε το κατά προσέγγιση γινόμενο Τεχνική στρογγυλοποίησης (rounding) για τον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα, το γινόμενο 36x70 μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση ως 40x70= Τεχνική «συμβατών» - βολικών αριθμών. Με βάση αυτή τη στρατηγική επιλέγουμε αριθμούς που δίνουν έναν εύκολο υπολογισμό και ταυτόχρονα ένα αποτέλεσμα που δεν απέχει πολύ από το ακριβές. Παραδείγματος χάριν, για την πρόσθεση υπολογίζουμε κατά ζεύγη, 27+81= περίπου 100 και 65+38=περίπου 100 και 49+56= περίπου 100. Προσθέτοντας λοιπόν αυτά τα συμβατά ζεύγη αριθμών το άθροισμα υπολογίζεται κατά προσέγγιση ότι θα πρέπει να είναι Πρόσθεση κλασμάτων. Ο μαθητής απλοποιεί τα κλάσματα ως 0, 0,5 και 1. Π.χ. το άθροισμα 12/13+1/17+7/15 θα είναι περίπου 1,5 εφόσον το 12/13=σχεδόν 1, το 1/17 είναι σχεδόν 0 και το 7/15=περίπου ½. Χρησιμοποιώντας κλάσματα. Επαναπροσδιορίζουμε το πρόβλημα 66/0,86 ως 66/(6/7)=66x(7/6)=77. Χρησιμοποιώντας γνωστούς ή πιο «βολικούς» αριθμούς. Υπολογίζουμε πολύ πιο εύκολα κατά προσέγγιση τη διαίρεση 9531/32 αν διαιρέσουμε 9600/32=300. Στρογγυλοποιώντας δύο αριθμούς (rounding two numbers). Για παράδειγμα, για να βρούμε το γινόμενο 145x37, στρογγυλοποιούμε και τους δύο αριθμούς σε πολλαπλάσια του 10. Π.χ. 145x37=150x40= Στρογγυλοποιώντας τον έναν από τους δύο αριθμούς (rounding one number). Για παράδειγμα, υπολογίζουμε κατά προσέγγιση το γινόμενο 76x89 ως 76x90= Απλοποίηση (factorization). Εκτιμούμε τη διαίρεση 9.208/32 απλοποιώντας την, διαιρώντας και τα δύο μέρη με το 2 : 4.604/16=2.302/8=1.151/4=576/2=

18 Προχωρώντας αλγοριθμικά (proceeding algorithmically). Για παράδειγμα, κάνουμε τον υπολογισμό 12,6x11,4 υπολογίζοντας πρώτα 12x11=132 κι έπειτα 0,4x12=4,8 και 0,6x11=6,6, άρα 143,4. Ανάλυση ενός αριθμού σε δύο (distributivity). Για τη λύση του προβλήματος 76x89 απλοποιούμε το 89=περίπου 90= Άρα υπολογίζουμε ως (76x100) (76x10)= =περίπου Για να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές τις παραπάνω στρατηγικές, πρέπει πρώτα να τις διδαχθούν, καθώς η έρευνα έχει αποδείξει ότι οι μαθητές δεν αναπτύσσουν τέτοιου είδους στρατηγικές από μόνοι τους. Επίσης, πρέπει ο μαθητής να εξοικειωθεί με την έννοια της προσέγγισης, ώστε να μη βρίσκει πρώτα το ακριβές αποτέλεσμα και μετά να κάνει την εκτίμηση (Reys R., 1986). Επιπλέον η έρευνα έχει αποδείξει πως οι μαθητές που είναι καλοί στο να κάνουν Αριθμητικές Εκτιμήσεις είναι καλοί γενικά στα Μαθηματικά, γιατί οι μαθητές αυτοί έχουν κατανοήσει βαθύτερα την σημασία των αριθμών (Coburn and Shulte, 1986). Προκειμένου να εξοικειωθούν οι μαθητές με την έννοια της εκτίμησης, ο υπολογισμός κατά προσέγγιση πρέπει να ενταχθεί στο πρόγραμμα διδασκαλίας. Οι διδάσκοντες μπορούν να εισαγάγουν την έννοια της προσέγγισης μέσα από παραδείγματα και μάλιστα δίνοντας έμφαση σε περιστάσεις της καθημερινής ζωής στις οποίες χρησιμοποιείται κατ εκτίμηση υπολογισμός. Οι δάσκαλοι από την πλευρά τους δεν πρέπει να απαιτούν ακρίβεια και πρέπει να αποδέχονται ότι υπάρχουν περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις. Επίσης πρέπει να χρησιμοποιούν την γλώσσα των Αριθμητικών Εκτιμήσεων (για παράδειγμα φράσεις όπως: περίπου, γύρω στο, λίγο, λιγότερο, περισσότερο κτλ.) (Trafton, 1986). Ο υπολογισμός κατά προσέγγιση απαιτεί ευλυγισία σκέψης από την πλευρά του μαθητή. Γι αυτό οι δάσκαλοι, προκειμένου να αυξήσουν την ευλυγισία σκέψης του μαθητή πρέπει να τον αφήνουν να επιλέξει ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσει. Ο δάσκαλός πρέπει επίσης να παρουσιάζει παραδείγματα δείχνοντας διαφορετικές μεθόδους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Τέλος, φυσικά για να αναπτύξουν οι μαθητές την ικανότητα να κάνουν εκτιμήσεις πρέπει να εξασκηθούν σε τέτοιου είδους προβλήματα (Trafton, 1986). Συμπερασματικά, η αξία των Αριθμητικών Εκτιμήσεων έγκειται στο γεγονός ότι τέτοιου είδους δεξιότητες προσφέρουν ευελιξία στο πνεύμα και βαθύτερη κατανόηση της έννοιας των αριθμών. Μαθαίνοντας να κάνουν Αριθμητικές Εκτιμήσεις, οι μαθητές προσκομίζουν γνώση που θα τους χρησιμεύσει σε πολλές εκφάνσεις της ζωής. Άλλωστε όλο και περισσότερο στις μέρες μας καλούμαστε να έχουμε αριθμητικές γνώσεις και μαθηματική σκέψη προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε μηχανήματα τεχνολογίας. Έτσι, η Αριθμητική εφαρμόζεται και σε άλλους τομείς της ζωής, πέρα από το μάθημα των Μαθηματικών στο σχολείο. Τόσο η αριθμητική με προσέγγιση, όσο και η αριθμητική με το νου αποτελούν μορφές μη αλγοριθμικού λογισμού. Κάνοντας 18

19 μια τελική αξιολόγηση θα λέγαμε πως οι δύο αυτές νοητικές λειτουργίες είναι ανώτερες από την αλγοριθμική ρουτίνα. 5. ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΤΣΕΠΗΣ Ένα ακόμη θέμα που θα μας απασχολήσει στην παρούσα εργασία είναι η χρήση υπολογιστή τσέπης. Αφού αναλύσαμε τη σημασία της Αριθμητικής με το Νου και των Αριθμητικών Υπολογισμών με Προσέγγιση, πρέπει να αναφέρουμε πως μια αναθεώρηση του αναλυτικού προγράμματος διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι απαραίτητο να περιλαμβάνει, εκτός από την εισαγωγή των παραπάνω εννοιών, την ενδεχόμενη χρήση υπολογιστή τσέπης στην τάξη, κι όχι μόνο την καθιερωμένη χρήση χαρτιού και μολυβιού, ως εξωτερικά μέσα. Άλλωστε, αν αναλογιστούμε την ευρεία χρήση των τεχνολογικών επιτευγμάτων στις μέρες μας, η χρήση υπολογιστή τσέπης, που αποτελεί ένα από τα πιο απλά τεχνικά μέσα, φαντάζει ως αναγκαιότητα για τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας της αριθμητικής, παρόλο που η χρήση του στα σχολεία είναι ακόμη περιορισμένη και σε μερικές περιπτώσεις μέχρι και απαγορευμένη. Ο υπολογιστής τσέπης αποτελεί το θρίαμβο του αλγόριθμου. Αλγόριθμος είναι μία ακολουθία αυστηρών οδηγιών, που, όταν τις ακολουθήσει κανείς πιστά, επιτυγχάνει με ασφάλεια το αποτέλεσμα για το οποίο επινοήθηκε αυτός ο αλγόριθμος. Η ουσία είναι να επιτύχεις το επιθυμητό αποτέλεσμα. Επομένως, αν ένας άλλος αλγόριθμος σε οδηγήσει στο ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με λιγότερο κόπο, τότε φυσικά εγκαταλείπεις τον πρώτο και ακολουθείς τον δεύτερο. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον γνωστό αλγόριθμο για την πρόσθεση, τοποθετούμε τους αριθμούς που θέλουμε να προσθέσουμε έτσι ώστε οι μονάδες να είναι κάτω από τις μονάδες, οι δεκάδες κάτω από τις δεκάδες κ.ο.κ, και στη συνέχεια ακολουθούμε μια σειρά οδηγιών, ώσπου να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα. Με τη χρήση υπολογιστή ουσιαστικά χρησιμοποιούμε έναν ακόμη απλούστερο αλγόριθμο από πριν. Πληκτρολογούμε τους αριθμούς και τα σύμβολα των πράξεων κατά σειρά και μας δίνεται στην οθόνη το ζητούμενο άθροισμα. Συνεπώς, η χρήση υπολογιστή δεν είναι παρά μια απλούστευση ενός αλγόριθμου, που εξαφανίζει όλα τα δύσκολα βήματα που συναντούμε στους υπολογισμούς με χαρτί και μολύβι. Παρόλα αυτά, υπάρχουν ακόμη αντιδράσεις για τη χρήση του υπολογιστή τσέπης στην τάξη. Γιατί όμως δεν υπάρχουν οι ίδιες αντιδράσεις για τη χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή ή για το Internet; Η απάντηση έγκειται στην πεποίθηση πως η ικανότητα υπολογισμού αποτελεί ένα από τα χαρακτηριστικά του μορφωμένου ατόμου. Έτσι, αν οι μαθητές χρησιμοποιούν κομπιουτεράκι, δε θα μάθουν ποτέ να υπολογίζουν και άρα δε θα είναι μορφωμένα άτομα (CMSE, 2001). Ο παραπάνω συλλογισμός θα φαινόταν αστείος στους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους, καθώς γι αυτούς το χαρακτηριστικό του μορφωμένου ανθρώπου ήταν η ικανότητα κάποιου να εξηγεί κάτι, δηλαδή να το δικαιολογεί με ορθά επιχειρήματα. Αντίθετα, η έμφαση στην ικανότητα υπολογισμού δόθηκε χάρη στην ανάπτυξη του εμπο- 19

20 ρίου. Η ιδέα, λοιπόν, πως ένας μορφωμένος άνθρωπος είναι αυτός που μπορεί να κάνει αριθμητικές πράξεις έχει τις ρίζες της στον Μεσαίωνα, όταν οι Ευρωπαίοι έμαθαν από τους Άραβες μαθηματικούς το δεκαδικό σύστημα, που διδάσκουμε μέχρι σήμερα. Έτσι, υιοθετήθηκε το συγκεκριμένο αριθμητικό σύστημα και ενσωματώθηκε στη διδασκαλία της αριθμητικής (CMSE, 2001). Τι σημαίνει όμως στις μέρες μας το να έχει κάποιος αριθμητική παιδεία; Ποιες ι- κανότητες σε σχέση με τις αριθμητικές πράξεις έχει ένα τέτοιο άτομο; Πρώτα απ όλα, γνωρίζει και μπορεί να κάνει βασικές αριθμητικές πράξεις. Για παράδειγμα, ένα άτομο που έχει αριθμητική παιδεία μπορεί να κάνει τον πολλαπλασιασμό 6x9=54. Επίσης, η παροχή μαθηματικής εκπαίδευσης συνεπάγεται την ικανότητα του ατόμου να κάνει νοερούς υπολογισμούς, να σκέφτεται με αριθμούς, να μπορεί να τους συγκρίνει και να τους συνδυάζει. Επίσης, μια ακόμη ικανότητα που καλλιεργείται από τη διδασκαλία της αριθμητικής είναι το να μπορεί το άτομο να επιλύει προβλήματα (CMSE, 2001). Ωστόσο, όπως προκύπτει από την έρευνα οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με το να κάνουν υπολογισμούς με το νου κι αυτό γιατί η διδασκαλία των αλγόριθμων αναπαράγει μη σκεπτικούς μαθητές, οι οποίοι δεν κατανοούν τη σημασία των αριθμών ως ολότητες και τους αναγνωρίζουν μόνο ως ψηφία. Αν, λοιπόν, χρησιμοποιούσαμε υπολογιστές τσέπης στην τάξη θα βελτιωνόταν η διδασκαλία της αριθμητικής ή όχι; Στο παραπάνω ερώτημα δε θα μπορούσαμε να δώσουμε μια μονολεκτική απάντηση, καθώς η αποτελεσματικότητα της χρήσης υπολογιστή τσέπης έγκειται στον τρόπο με τον οποίο θα χρησιμοποιηθεί. Αν χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης στη θέση της διδασκαλίας των βασικών εννοιών της Αριθμητικής και των αλγόριθμων, οι μαθητές θα έχουν λιγότερες ικανότητες στο να κάνουν αριθμητικούς υπολογισμούς. Επίσης, αν η διδασκαλία της Αριθμητικής δεν στοχεύει στην όξυνση του πνεύματος και στην δημιουργία εύστροφων μαθητών, οι μαθητές αυτές θα είναι και κακοί χρήστες των ηλεκτρονικών μέσων. Γιατί, για να χρησιμοποιήσει ένας μαθητής υπολογιστή τσέπης πρέπει να ξέρει, να παρακολουθεί και να ελέγχει την πράξη και το αποτέλεσμα που ο υπολογιστής θα δώσει, γεγονός που επιτυγχάνεται με την ικανότητα του μαθητή να κάνει νοερούς υ- πολογισμούς. Έτσι, τονίζεται για άλλη μια φορά η σημασία της Αριθμητικής με το Νου (CMSE, 2001). Άρα, δε θα πρέπει να επικρίνεται η χρήση υπολογιστή τσέπης, αλλά η διδασκαλία να επικεντρώνεται στην καλλιέργεια κριτικού πνεύματος, ώστε να μπορεί ο μαθητής να ελέγχει και να κατανοεί το αποτέλεσμα που του δίνει το ηλεκτρονικό μέσο. Άλλωστε, μια λάθος πληκτρολόγηση μπορεί να οδηγήσει σε λάθος αποτέλεσμα, και τότε χρειάζεται ο ανθρώπινος νους για να αντιληφθεί και να διορθώσει το λάθος. Όταν αναφερόμαστε, λοιπόν, στην χρήση υπολογιστή τσέπης κατά τη διδασκαλία της αριθμητικής, δεν εννοούμε πως πρέπει οι μηχανές να αντικαταστήσουν τη σκέψη των μαθητών. Φυσικά και οι αλγόριθμοι κρίνονται πάντα απαραίτητοι και πρέπει να 20

21 αποτελούν αντικείμενο διδασκαλίας. Αυτό που έχει όμως εξίσου σημασία είναι το να δώσουμε στους μαθητές εργαλεία και να τους διδάξουμε πώς να τα χρησιμοποιούν, καθώς η εξοικείωση τους με τα ηλεκτρονικά μέσα κρίνεται επίσης απαραίτητη στη σύγχρονη τεχνολογικά αναπτυγμένη κοινωνία. Η αξία των Μαθηματικών έγκειται στην εννοιολογική τους διάσταση. Συνεπώς, η χρήση μηχανών για εκτέλεση αλγορίθμων και μάλιστα, όταν αυτές εξασφαλίζουν ταχύτητα, δεν πρέπει να επικρίνεται, ούτε να θεωρείται ότι μειώνει την οξύνοια του πνεύματος των μαθητών. Είναι εύλογο για πρακτικούς λόγους να καταφεύγουμε στη χρήση υπολογιστών για την εκτέλεση αλγορίθμων. Επιπρόσθετα, η χρήση των υπολογιστών τσέπης στο σχολείο θα άφηνε ίσως περισσότερο χρόνο για πιο ευχάριστες και γόνιμες πνευματικές ασχολίες. 21

22 6. ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Ο σχεδιασμός κάθε διδασκαλίας πρέπει να γίνεται με βάση τεκμηριωμένους και σαφώς διατυπωμένους στόχους μάθησης. Κατ επέκταση, τα περιεχόμενα της μάθησης πρέπει, σε αντιστοιχία με τους στόχους, να ανταποκρίνονται στις σημερινές ανάγκες και τα ενδιαφέροντα του μαθητή. Πρέπει ακόμη να βρίσκονται σε συσχέτιση με τις μεταβολές της εποχής. Κατά τη σύνταξη των Αναλυτικών Προγραμμάτων αξιοποιούνται όλες οι σχετικές επιστημονικές γνώσεις που υπάρχουν, δηλαδή η ειδική ε- πιστήμη για κάθε μάθημα, η Ψυχολογία, η Κοινωνιολογία, η Γενική Παιδαγωγική και η έρευνα πάνω στον τομέα των αναλυτικών προγραμμάτων. Συνεπώς, η σύνταξη των αναλυτικών προγραμμάτων για το μέλλον δεν μπορεί να γίνεται μόνο από λίγους αρμόδιους, αλλά πρέπει να εκπονούνται μετά από υπεύθυνο διάλογο ανάμεσα σε όλους τους ενδιαφερόμενους (Χατζηγεωργίου, 1998). Στη συνέχεια, λοιπόν, της παρούσας εργασίας θα εκπονήσουμε πέντε σχέδια διδασκαλίας για τη διδακτική των Αριθμητικών Εκτιμήσεων, που θα περιέχουν και στοιχεία Αριθμητικής με το Νου. Τα σχέδια αυτά θα βασιστούν στις γενικές αρχές της σύγχρονης διδακτικής. Γενικός σκοπός της διδασκαλίας θα είναι η εισαγωγή των εννοιών της Αριθμητικής Εκτίμησης και η εξοικείωση των μαθητών με το παραπάνω αντικείμενο διδασκαλίας. Τα εποπτικά μέσα που θα χρησιμοποιηθούν είναι ο πίνακας κιμωλίας και ο προβολέας διαφανειών. Αξίζει να αναφέρουμε εδώ ότι ο πίνακας δεν είναι καθόλου απαρχαιωμένο μέσο, αντίθετα έχει αποδειχθεί πως είναι προτιμότερος από την επίδοση φωτοαντιγράφων. Η χρήση πίνακα απαιτεί μεν περισσότερο χρόνο, αλλά αυτός ακριβώς ο παράγοντας κάνει τη γνώση διαρκέστερη. Τα εποπτικά μέσα, λοιπόν, συμβάλλουν στο να συμμετέχουν οι αισθήσεις ενεργά στη μάθηση. Η πορεία - τρόπος διδασκαλίας που θα ακολουθήσουμε θα είναι ένας συνδυασμός δασκαλοκεντρικής (μετωπικής) και μαθητοκεντρικής διδασκαλίας. Έτσι, οι μορφές διδασκαλίας που θα χρησιμοποιηθούν θα είναι η αφήγηση, για τα στοιχεία θεωρίας με τα οποία οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι, και ο διάλογος με τη μορφή ερωταποκρίσεων στη συνέχεια, προκειμένου να ενισχύσουμε τη συμμετοχή των μαθητών, να λύσουμε τυχόν απορίες και να ελέγξουμε το βαθμό κατανόησης από την πλευρά των μαθητών. Η μέθοδος διδασκαλίας που θα ακολουθήσουμε θα είναι η επαγωγική (από το ειδικό στο γενικό), δηλαδή μέσα από τα παραδείγματα και τα γεγονότα θα καταλήξουμε στις αρχές που τα διέπουν. Τέλος, ο έλεγχος της επίτευξης στόχων θα γίνει τόσο προφορικά με διατύπωση ερωτήσεων στην τάξη όσο και γραπτά, προκειμένου να βγάλουμε τα τελικά μας συμπεράσματα για το βαθμό επιτυχίας της διδασκαλίας μας (Κουτσός, 2000). Γενικός στόχος των παρακάτω σχεδίων διδασκαλίας είναι η εισαγωγή και κατανόηση της έννοιας της Αριθμητικής Εκτίμησης. Σκοπός είναι να καταλάβουν οι μαθητές τι σημαίνει Αριθμητική Εκτίμηση και ποια η σημασία της και να κάνουν Αριθ- 22

23 μητικές Εκτιμήσεις με το νου και όχι χρησιμοποιώντας εξωτερικά μέσα (χαρτί και μολύβι ή υπολογιστή τσέπης). Για να επιτευχθεί ο παραπάνω στόχος, πρέπει ο δάσκαλος να ξεκαθαρίσει ότι δεν μας ενδιαφέρει η ακριβής τιμή και ότι θα δείξει ανοχή στο μαθηματικό λάθος, έτσι ώστε οι μαθητές να εκφραστούν ελεύθερα. Και τα πέντε σχέδια, λοιπόν, προϋποθέτουν την προηγούμενη επαφή των μαθητών με τους παραπάνω όρους. Γι αυτό ο εκπαιδευτικός, προτού προχωρήσει στις ε- πιμέρους στρατηγικές, πρέπει να εκπονήσει ένα εισαγωγικό μάθημα, στο οποίο θα διδάξει τις βασικές έννοιες (Αριθμητική με το Νου και Αριθμητικές Εκτιμήσεις). Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να αφιερώσει μία ή περισσότερες διδακτικές ώρες, κατά τις οποίες θα διδάξει το θεωρητικό μέρος με τον τρόπο της αφήγησης, αλλά χωρίς να α- ποκλείει τη συμμετοχή μαθητών, ενθαρρύνοντας τους να πουν τη γνώμη τους και να ζητήσουν διασάφηση και επίλυση των αποριών που θα προκύψουν. 23

24 Σχέδιο 1ο Αντικείμενο διδασκαλίας: πρόσθεση από τα αριστερά Στόχοι μάθησης: να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν το άθροισμα δύο ή περισσοτέρων αριθμών με το νου, σύντομα και κατά προσέγγιση, εφαρμόζοντας την στρατηγική της πρόσθεσης από αριστερά. Τρόπος πορεία διδασκαλίας: μετωπική και μαθητοκεντρική συμμετοχή των μαθητών Μορφές διδασκαλίας: αφήγηση, ερωτήσεις Εποπτικά μέσα: προβολέας διαφανειών / πίνακας κιμωλίας Έλεγχος επιτυχίας στόχων: προφορικά και γραπτά Αφού θα έχει ήδη ολοκληρωθεί η διδασκαλία των βασικών εννοιών (τι είναι Α- ριθμητική με το Νου και τι σημαίνουν οι Αριθμητικές Εκτιμήσεις), η οποία θα γίνει με τη μορφή αφήγησης από το δάσκαλο, θα διδαχθεί η εφαρμογή του κατά προσέγγιση υπολογισμού στην πράξη της πρόσθεσης. Καλό είναι τα θρανία να διαταχθούν σε σχήμα Π για να εξασφαλιστεί η οπτική επαφή όλων των μαθητών. Αρχικά ο διδάσκων εξηγεί στους μαθητές τη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσουν στην πρόσθεση από αριστερά. Διδάσκονται λοιπόν οι μαθητές τα βασικά βήματα: βρίσκουμε τα σημαντικά (από αριστερά) ψηφία των αριθμών και τα προσθέτουμε αντικαθιστούμε τα ασήμαντα ψηφία που βρίσκονται πίσω από τα σημαντικά με μηδενικά και προχωρούμε σε μια πρώτη εκτίμηση του αποτελέσματος ακολουθεί μια δεύτερη ρύθμιση προσθέτοντας αυτή τη φορά τα δεύτερα από αριστερά ψηφία και αντικαθιστώντας πάλι τα υπόλοιπα με μηδενικά. Τέλος, κάνουμε μια τελική εκτίμηση προσθέτοντας τα δύο παραπάνω αθροίσματα. Προχωράμε σε παραδείγματα για κατανόηση τα οποία γράφουμε στον πίνακα, για να κατανοήσουν οι μαθητές τα βήματα που ακολουθούμε μέσα από την εφαρμογή τους στην πράξη. 1ο παράδειγμα: = =10.000=πρώτη εκτίμηση ρύθμιση: =1.300 τελικό αποτέλεσμα κατά προσέγγιση: