The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions"

Transcript

1 Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi Purdue University

2 Theo p. 2/ Theodorus of ca B.C.

3 Theo p. 3/ spiral of Theodorus

4 Theo p. 3/ spiral of Theodorus numerical analysis k 3/2 + k /2

5 Theo p. 3/ spiral of Theodorus numerical analysis k 3/2 + k /2 =

6 Theo p. 3/ spiral of Theodorus numerical analysis k 3/2 + k /2 = special functions F (x) = e x2 x e t2 dt Dawson s integral

7 Theo p. 4/ discrete spiral of Theodorus (also known as Quadratwurzelschnecke ; Hlawka, 98) 2 T 5 T 4 T 3 T T T 2 T 8 T 7 T n 2 Tn

8 Theo p. 4/ discrete spiral of Theodorus (also known as Quadratwurzelschnecke ; Hlawka, 98) 2 T 5 T 4 T 3 T T T 2 T 8 T 7 T n 2 Tn parametric representation T (α) C, α

9 Theo p. 4/ discrete spiral of Theodorus (also known as Quadratwurzelschnecke ; Hlawka, 98) 2 T 5 T 4 T 3 T T T 2 T 8 T 7 T n 2 Tn parametric representation T (α) C, α defining properties T (n) = T n T n = n T n+ T n = n =,, 2,...

10 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral

11 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral solution (P.J. Davis, 993; inspired by Euler s work on the gamma function)

12 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral solution (P.J. Davis, 993; inspired by Euler s work on the gamma function) T (α) = + i/ k + i/ k + α, α (i = )

13 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral solution (P.J. Davis, 993; inspired by Euler s work on the gamma function) T (α) = + i/ k + i/ k + α, α (i = ) properties T (α) = α ( ) T (α + ) = + i α T (α)

14 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral solution (P.J. Davis, 993; inspired by Euler s work on the gamma function) T (α) = + i/ k + i/ k + α, α (i = ) properties T (α) = α ( ) T (α + ) = + i α T (α) heart of the spiral: T (α), α 2

15 Theo p. 5/ problem: Interpolate the discrete Theodorus spiral by a smooth (or even analytic) spiral solution (P.J. Davis, 993; inspired by Euler s work on the gamma function) T (α) = + i/ k + i/ k + α, α (i = ) properties T (α) = α ( ) T (α + ) = + i α T (α) heart of the spiral: T (α), α 2 (Gronau, 24) Davis s function is the unique solution of the above difference equation with T (α) and arg T (α) monotonically increasing, and T () =.

16 a little bit of number theory Theo p. 6/

17 Theo p. 6/ a little bit of number theory distribution of the angles ϕ n = T T T n+ = n sin k +, n =, 2, 3,...

18 Theo p. 6/ a little bit of number theory distribution of the angles ϕ n = T T T n+ = n sin k +, n =, 2, 3,... equidistribution (Hlawka, 979) The sequence {ϕ n } n= is equidistributed mod 2π

19 Theo p. 6/ a little bit of number theory distribution of the angles ϕ n = T T T n+ = n sin k +, n =, 2, 3,... equidistribution (Hlawka, 979) The sequence {ϕ n } n= is equidistributed mod 2π more generally ϕ n (α) = T (α)t T (α + n) = n sin k + α < α < 2, n =, 2, 3,...

20 Theo p. 6/ a little bit of number theory distribution of the angles ϕ n = T T T n+ = n sin k +, n =, 2, 3,... equidistribution (Hlawka, 979) The sequence {ϕ n } n= is equidistributed mod 2π more generally ϕ n (α) = T (α)t T (α + n) = n sin k + α < α < 2, n =, 2, 3,... The sequence {ϕ n (α)} n= is equidistributed mod 2π for any α with < α < 2 (Niederreiter, Feb. 3, 29)

21 Theo p. 7/ logarithmic derivative of T (α) T (α) T (α) = + i/ k + α + i/ k d dα ( + i/ ) k + i/ k + α

22 Theo p. 7/ logarithmic derivative of T (α) T (α) T (α) = + i/ k + α + i/ k d dα ( + i/ ) k + i/ k + α = ( + i/ k + α ) i 2 (k + α ) 3/2 ( + i/ k + α ) 2

23 Theo p. 7/ logarithmic derivative of T (α) T (α) T (α) = + i/ k + α + i/ k d dα ( + i/ ) k + i/ k + α = ( + i/ k + α ) i 2 (k + α ) 3/2 ( + i/ k + α ) 2 = i 2 (k + α )( k + α + i)

24 Theo p. 7/ logarithmic derivative of T (α) T (α) T (α) = + i/ k + α + i/ k d dα ( + i/ ) k + i/ k + α = ( + i/ k + α ) i 2 (k + α ) 3/2 ( + i/ k + α ) 2 = i 2 = i 2 (k + α )( k + α + i) k + α i (k + α )(k + α)

25 Theo p. 8/ logarithmic derivative of T (α) (cont ) = 2 (k + α )(k + α) + i 2 (k + α ) 3/2 + (k + α ) /2

26 Theo p. 8/ logarithmic derivative of T (α) (cont ) = 2 (k + α )(k + α) + i 2 = 2 (k + α ) 3/2 + (k + α ) /2 ( k + α ) + i k + α 2 U(α)

27 Theo p. 8/ logarithmic derivative of T (α) (cont ) = 2 (k + α )(k + α) + i 2 where = 2 (k + α ) 3/2 + (k + α ) /2 ( k + α ) + i k + α 2 U(α) = 2α + i 2 U(α) U(α) = (k + α ) 3/2 + (k + α ) /2

28 T (α) T (α) = 2α + i 2 U(α) Theo p. 9/

29 Theo p. 9/ integrate from to α> T (α) T (α) = 2α + i 2 U(α) ln T (α) = ln(α /2 ) + i 2 α U(α)dα

30 Theo p. 9/ integrate from to α> T (α) T (α) = 2α + i 2 U(α) ln T (α) = ln(α /2 ) + i 2 polar representation of T (α) T (α) = ( i α exp 2 α α U(α)dα ) U(α)dα, α >

31 Theo p. 9/ integrate from to α> T (α) T (α) = 2α + i 2 U(α) ln T (α) = ln(α /2 ) + i 2 polar representation of T (α) T (α) = ( i α exp 2 α α U(α)dα ) U(α)dα, α > since T () = + i U(), the slope of the tangent vector to the 2 2 spiral at α = is U() = (Theodorus constant) k 3/2 + k /2

32 Theo p. 9/ integrate from to α> T (α) T (α) = 2α + i 2 U(α) ln T (α) = ln(α /2 ) + i 2 polar representation of T (α) T (α) = ( i α exp 2 α α U(α)dα ) U(α)dα, α > since T () = + i U(), the slope of the tangent vector to the 2 2 spiral at α = is U() = (Theodorus constant) k 3/2 + k /2 numerical analysis and special functions: compute and identify U(α) = U(α)dα for < α < 2, (k+α ) 3/2 +(k+α ) /2 α

33 Theo p. / first digression summation by integration (G. & Milovanović, 985) s = a k, a k = (Lf)(k)

34 Theo p. / first digression summation by integration (G. & Milovanović, 985) s = a k, a k = (Lf)(k) s = (Lf)(k) = e kt f(t)dt

35 Theo p. / first digression summation by integration (G. & Milovanović, 985) s = a k, a k = (Lf)(k) = s = (Lf)(k) = ( ) e kt f(t)dt = e kt f(t)dt t e t f(t) t dt

36 Theo p. / first digression summation by integration (G. & Milovanović, 985) s = a k, a k = (Lf)(k) Thus = s = (Lf)(k) = ( ) e kt f(t)dt = a k = ε(t) = t e t f(t) t ε(t)dt, e kt f(t)dt t e t f(t) t f = L a Bose Einstein distribution dt

37 Theo p. / Theodorus: a k = k /2 = k 3/2 + k/2 k + convolution theorem for Laplace transform Lg Lh = Lg h, (g h)(t) = t g(τ)h(t τ)dτ

38 Theo p. / Theodorus: a k = k /2 = k 3/2 + k/2 k + convolution theorem for Laplace transform Lg Lh = Lg h, (g h)(t) = t g(τ)h(t τ)dτ application to a k k /2 = k + ( L t /2 π ) (k) = ( L e t) (k)

39 Theo p. / Theodorus: a k = k /2 = k 3/2 + k/2 k + convolution theorem for Laplace transform Lg Lh = Lg h, (g h)(t) = t g(τ)h(t τ)dτ application to a k k /2 = k + ( L t /2 π ) (k) = ( L e t) (k) a k = ( L t /2 π ) (k) (L e t ) (k) = t (L π ) τ /2 e (t τ) dτ (k)

40 Theo p. 2/ Theodorus (cont ) f(t) = π e t t = 2 π e t t τ /2 e τ dτ e x2 dx = 2 π F ( t)

41 Theo p. 2/ Theodorus (cont ) f(t) = π e t t = 2 π e t t τ /2 e τ dτ e x2 dx = 2 π F ( t) k 3/2 + k /2 = f(t) t ε(t)dt = 2 π F ( t) t w(t)dt

42 Theo p. 2/ Theodorus (cont ) f(t) = π e t t = 2 π e t t τ /2 e τ dτ e x2 dx = 2 π F ( t) k 3/2 + k /2 = f(t) t ε(t)dt = 2 π F ( t) t w(t)dt w(t) = t /2 ε(t) = t/2 e t

43 Theo p. 3/ second digression Gaussian quadrature n-point quadrature formula g(t)w(t)dt = n λ (n) k g(τ (n) k ), g P 2n

44 Theo p. 3/ second digression Gaussian quadrature n-point quadrature formula g(t)w(t)dt = n λ (n) k g(τ (n) k ), g P 2n orthogonal polynomials (π k, π l ) =, k l, where (u, v) = u(t)v(t)w(t)dt

45 Theo p. 3/ second digression Gaussian quadrature n-point quadrature formula g(t)w(t)dt = n λ (n) k g(τ (n) k ), g P 2n orthogonal polynomials (π k, π l ) =, k l, where (u, v) = three-term recurrence relation u(t)v(t)w(t)dt π k+ (t) = (t α k )π k (t) β k π k (t), k =,, 2,... π (t) =, π (t) = where α k = α k (w) R, β k = β k (w) >, β = w(t)dt

46 Theo p. 4/ Jacobi matrix J n (w) = α β β α β 2 β 2 α β n β n α n

47 Theo p. 4/ Jacobi matrix J n (w) = α β β α β 2 β 2 α β n β n α n Gaussian nodes and weights (Golub & Welsch, 969) τ (n) k = eigenvalues of J n, λ (n) k = β v 2 k, v k, = first component of (normalized) eigenvector v k

48 Theo p. 4/ Jacobi matrix J n (w) = α β β α β 2 β 2 α β n β n α n Gaussian nodes and weights (Golub & Welsch, 969) τ (n) k = eigenvalues of J n, λ (n) k = β v 2 k, v k, = first component of (normalized) eigenvector v k moments of w µ k = t k w(t)dt, k =,,..., 2n

49 Theo p. 4/ Jacobi matrix J n (w) = α β β α β 2 β 2 α β n β n α n Gaussian nodes and weights (Golub & Welsch, 969) τ (n) k = eigenvalues of J n, λ (n) k = β v 2 k, v k, = first component of (normalized) eigenvector v k moments of w µ k = Chebyshev algorithm t k w(t)dt, k =,,..., 2n {µ k } 2n k= {α k, β k } n k=

50 Theo p. 5/ numerical results for Gaussian quadrature (in 5D-arithmetic) µ k = t k w(t)dt = t k+/2 e t dt = Γ(k + 3/2)ζ(k + 3/2)

51 Theo p. 5/ numerical results for Gaussian quadrature (in 5D-arithmetic) µ k = t k w(t)dt = t k+/2 e t dt = Γ(k + 3/2)ζ(k + 3/2) k 3/2 + k = 2 [F ( t)/ t ] w(t) /2 π s n = 2 n ( ) λ (n) π k F τ (n) k / τ (n) k

52 Theo p. 5/ numerical results for Gaussian quadrature (in 5D-arithmetic) µ k = t k w(t)dt = t k+/2 e t dt = Γ(k + 3/2)ζ(k + 3/2) k 3/2 + k = 2 [F ( t)/ t ] w(t) /2 π s n = 2 n ( ) λ (n) π k F τ (n) k / τ (n) k n s n

53 Theo p. 6/ computation and identification of U(α) and α U(α)dα (k + α ) /2 (k + α ) + = t ) (L τ /2 e (t τ) dτ (k + α ) π

54 Theo p. 6/ computation and identification of U(α) and α U(α)dα (k + α ) /2 (k + α ) + = t ) (L τ /2 e (t τ) dτ (k + α ) π applying the shift property for Laplace transform yields (Lg) (s + b) = ( L e bt g(t) ) (s) (k + α ) /2 (k + α ) + = t L (e αt π ) τ /2 e τ dτ (k)

55 Theo p. 6/ computation and identification of U(α) and α U(α)dα (k + α ) /2 (k + α ) + = t ) (L τ /2 e (t τ) dτ (k + α ) π applying the shift property for Laplace transform yields hence (Lg) (s + b) = ( L e bt g(t) ) (s) (k + α ) /2 (k + α ) + = t L (e αt π f(t) = π e αt t ) τ /2 e τ dτ (k) τ /2 e τ dτ = 2 π e (α )t F ( t)

56 Theo p. 7/ U(α) = f(t) t ε(t)dt = 2 e (α )t F ( t) π t w(t)dt w(t) = t/2 e t, α < 2

57 Theo p. 7/ U(α) = f(t) t ε(t)dt = 2 e (α )t F ( t) π t w(t)dt w(t) = t/2 e t, α < 2 identification of U(α) as a Laplace transform U(α) = (Lu) (α ), u(t) = 2 π F ( t) t w(t)

58 Theo p. 7/ U(α) = f(t) t ε(t)dt = 2 e (α )t F ( t) π t w(t)dt w(t) = t/2 e t, α < 2 identification of U(α) as a Laplace transform U(α) = (Lu) (α ), u(t) = 2 π F ( t) t w(t) the integral of U(α) α U(α)dα = 2(α ) π e (α )t (α )t F ( t) t w(t)dt

59 Theo p. 8/ Epilogue summation theory can be generalized to series s + = k ν r(k), s = ( ) k k ν r(k), < ν < where r(k) is a rational function

60 Theo p. 8/ Epilogue summation theory can be generalized to series s + = k ν r(k), s = ( ) k k ν r(k), < ν < where r(k) is a rational function regularizing transformation (J. Waldvogel, in preparation) α = r 2, r R

61 Theo p. 8/ Epilogue summation theory can be generalized to series s + = k ν r(k), s = ( ) k k ν r(k), < ν < where r(k) is a rational function regularizing transformation (J. Waldvogel, in preparation) then T (α) = T (r 2 ) = α = r 2, + i + i/r k=2 r R + i/ k + i/ r 2 + k is analytic for r C \ [i, i ] [ i, i ]

62 Theo p. 8/ Epilogue summation theory can be generalized to series s + = k ν r(k), s = ( ) k k ν r(k), < ν < where r(k) is a rational function regularizing transformation (J. Waldvogel, in preparation) then T (α) = T (r 2 ) = α = r 2, + i + i/r k=2 r R + i/ k + i/ r 2 + k is analytic for r C \ [i, i ] [ i, i ] r > : spiral of Theodorus

63 Theo p. 8/ Epilogue summation theory can be generalized to series s + = k ν r(k), s = ( ) k k ν r(k), < ν < where r(k) is a rational function regularizing transformation (J. Waldvogel, in preparation) then T (α) = T (r 2 ) = α = r 2, + i + i/r k=2 r R + i/ k + i/ r 2 + k is analytic for r C \ [i, i ] [ i, i ] r > : spiral of Theodorus r < : analytic continuation of the spiral

64 Theo p. 9/ twin-spiral of Theodorus

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM English NUMERICAL MATHEMATICS Vol.14, No.2 Series A Journal of Chinese Universities May 2005 A STABILITY ANALYSIS OF THE (k) JACOBI MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM Hou Wenyuan ( ΛΠ) Jiang Erxiong( Ξ)

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

High order interpolation function for surface contact problem

High order interpolation function for surface contact problem 3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT -

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices

The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices Ilse Ipsen North Carolina State University ILAS p.1 Goal Complex tridiagonal matrix α 1 β 1. γ T = 1 α 2........ β n 1 γ n 1 α n Jordan decomposition T =

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Solution for take home exam: FYS3, Oct. 4, 3. Problem. Ĥ ɛ K K + ɛ K K + β K K + α K K For Ĥ Ĥ : ɛ ɛ, β α. The operator ˆT can be written

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e.

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e. Math 48 Homework Ewar Burkar Exercise. Prove the following Fourier Transforms where a > an c : a. f(x) f(ξ) b. f(x c) e πicξ f(ξ) c. eπixc f(x) f(ξ c). f(ax) f(ξ) a e. f (x) πiξ f(ξ) f. xf(x) f(ξ) πi ξ

Διαβάστε περισσότερα

Graded Refractive-Index

Graded Refractive-Index Graded Refractive-Index Common Devices Methodologies for Graded Refractive Index Methodologies: Ray Optics WKB Multilayer Modelling Solution requires: some knowledge of index profile n 2 x Ray Optics for

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών με Κατανεμημένη Μάζα και Ακαμψία Πτυχιακή Εργασία Φουκάκη Βαρβάρα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries

Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries 1 Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries Ulf Kähler Chemnitz University of Technology Workshop on Fast Boundary Element Methods in Industrial Applications

Διαβάστε περισσότερα

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Macromechanics of a Laminate Tetboo: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Figure 4.1 Fiber Direction θ z CHAPTER OJECTIVES Understand the code for laminate stacing sequence Develop relationships

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG Technical Information T-410A ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 410A Refrigerant (R-410A) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B Problem 3.6 Given B = ˆxz 3y) +ŷx 3z) ẑx+y), find a unit vector parallel to B at point P =,0, ). Solution: At P =,0, ), B = ˆx )+ŷ+3) ẑ) = ˆx+ŷ5 ẑ, ˆb = B B = ˆx+ŷ5 ẑ = ˆx+ŷ5 ẑ. +5+ 7 Problem 3.4 Convert

Διαβάστε περισσότερα

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) 1 1 Introduction (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y)

Διαβάστε περισσότερα

Coefficient Inequalities for a New Subclass of K-uniformly Convex Functions

Coefficient Inequalities for a New Subclass of K-uniformly Convex Functions International Journal of Computational Science and Mathematics. ISSN 0974-89 Volume, Number (00), pp. 67--75 International Research Publication House http://www.irphouse.com Coefficient Inequalities for

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

Physics 554: HW#1 Solutions

Physics 554: HW#1 Solutions Physics 554: HW#1 Solutions Katrin Schenk 7 Feb 2001 Problem 1.Properties of linearized Riemann tensor: Part a: We want to show that the expression for the linearized Riemann tensor, given by R αβγδ =

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

The Feynman-Vernon Influence Functional Approach in QED

The Feynman-Vernon Influence Functional Approach in QED The Feynman-Vernon Influence Functional Approach in QED Mark Shleenkov, Alexander Biryukov Samara State University General and Theoretical Physics Department The XXII International Workshop High Energy

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Περιγραφή της Κίνησης Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε πώς να προγραμματίσουμε απλές εξισώσεις τροχιάς ενός σωματιδίου και πώς να κάνουμε βασική ανάλυση των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Derivations of Useful Trigonometric Identities

Derivations of Useful Trigonometric Identities Derivations of Useful Trigonometric Identities Pythagorean Identity This is a basic and very useful relationship which comes directly from the definition of the trigonometric ratios of sine and cosine

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA

D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA GEORGIAN MATHEMATICAL JOURNAL: Vol. 3, No. 1, 1996, 11-26 PARTIAL AVERAGING FOR IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SUPREMUM D. BAINOV, YU. DOMSHLAK, AND S. MILUSHEVA Abstract. Partial averaging for

Διαβάστε περισσότερα

2.1

2.1 181 8588 2 21 1 e-mail: sekig@th.nao.ac.jp 1. G ab kt ab, (1) k 8pGc 4, G c 2. 1 2.1 308 2009 5 3 1 2) ( ab ) (g ab ) (K ab ) 1 2.2 3 1 (g ab, K ab ) 1 t a S n a a b a 2.3 a b i (t a ) 2 1 2.4 1 g ab ab

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier 2.2: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) 2.3: Ιδιότητες του

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

- 1+x 2 - x 3 + 7x4. 40 + 127x8. 12 - x5 4 + 31x6. 360 - x 7. - 1+x 2 - x 3 - -

- 1+x 2 - x 3 + 7x4. 40 + 127x8. 12 - x5 4 + 31x6. 360 - x 7. - 1+x 2 - x 3 - - a.bergara@ehu.es - 1 x 2 - - - - - - - Ο - 1x 2 - x 3 - - - - - - 1 x 2 - x 3 7 x4 12-1x 2 - x 3 7x4 12 - x5 4 31x6 360 - x 7 40 127x8 20160 - - - Ο clear; % Coefficients of the equation: a x'b x c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περισσότερα+για+τις+στροφές+

Περισσότερα+για+τις+στροφές+ ΤεχνολογικόEκπαιδευτικόΊδρυμαKρήτης Ρομποτική «Τοπικήπαραμετροποίησηπινάκωνστροφής,γωνίεςEuler, πίνακαςστροφήςγύρωαπόισοδύναμοάξονα» Δρ.ΦασουλάςΓιάννης 1 Περισσότεραγιατιςστροφές ΗστροφήενόςΣΣμπορείνααντιστοιχηθείσεένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: ΜIΧΑΗΛ ΖΑΓΟΡΙΑΝΑΚΟΣ ΑΜ: 38133 Επιβλέπων Καθηγητής Καθηγητής Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7 Analytic Trigonometry

Chapter 7 Analytic Trigonometry Chapter 7 Analytic Trigonometry Section 7.. Domain: { is any real number} ; Range: { y y }. { } or { }. [, ). True. ;. ; 7. sin y 8. 0 9. 0. False. The domain of. True. True.. y sin is. sin 0 We are finding

Διαβάστε περισσότερα

Orbital angular momentum and the spherical harmonics

Orbital angular momentum and the spherical harmonics Orbital angular momentum and the spherical harmonics March 8, 03 Orbital angular momentum We compare our result on representations of rotations with our previous experience of angular momentum, defined

Διαβάστε περισσότερα

Roman Witu la 1. Let ξ = exp(i2π/5). Then, the following formulas hold true [6]:

Roman Witu la 1. Let ξ = exp(i2π/5). Then, the following formulas hold true [6]: Novi Sad J. Math. Vol. 43 No. 1 013 9- δ-fibonacci NUMBERS PART II Roman Witu la 1 Abstract. This is a continuation of paper [6]. We study fundamental properties applications of the so called δ-fibonacci

Διαβάστε περισσότερα

The Normal and Lognormal Distributions

The Normal and Lognormal Distributions The Normal and Lognormal Distributions John Norstad j-norstad@northwestern.edu http://www.norstad.org February, 999 Updated: November 3, Abstract The basic properties of the normal and lognormal distributions,

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Aνάλυση Σήματος 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography

Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Nonlinear Fourier transform for the conductivity equation Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Kari Astala University of Helsinki CoE in Analysis and Dynamics Research What is the non linear

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Μετασχηματισμοί έντασης και χωρικό φιλτράρισμα Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής Νίκου Χριστόφορος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ

ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΘΔΜΑ: Μειέηε θαη θαηαζθεπή κεηαηξνπέα DC DC γηα ην εξγαζηήξην ειεθηξηθώλ κεραλώλ. ΠΟΤΓΑΣΔ :Βαιαβαλίδεο Υξήζηνο Δπζηαζίνπ Βαζίιεηνο ΔΠΙΒΛΔΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES CHAPTER 3 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES EXERCISE 364 Page 76. Determie the Fourier series for the fuctio defied by: f(x), x, x, x which is periodic outside of this rage of period.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Multistring Solutions of the Self-Graviting Massive W Boson

Multistring Solutions of the Self-Graviting Massive W Boson Multistring Solutions of the Self-Graviting Massive W Boson Dongho Chae Department of Mathematics Sungkyunkwan University Suwon 44-746, Korea e-mail: chae@skku.edu Abstract We consider a semilinear elliptic

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example: UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,

Διαβάστε περισσότερα

þÿ Á Ä Ãµ¹Â º±¹ ÃÇ ¹±»ÍÃ Â Ä þÿšåàá¹±º Í ( 1 9 4 8-1 9 6 0 ) : ¹

þÿ Á Ä Ãµ¹Â º±¹ ÃÇ ¹±»ÍÃ Â Ä þÿšåàá¹±º Í ( 1 9 4 8-1 9 6 0 ) : ¹ Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Health Sciences http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ Á Ä Ãµ¹Â º±¹ ÃÇ ¹±»ÍÃ Â Ä þÿšåàá¹±º Í ( 1 9 4 8-1 9 6 0 ) : ¹ þÿ ¹À»É¼±Ä¹º Â

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE By Tom Irvie Email: tomirvie@aol.com March 3, 999 Itroductio May processes have a ormal probability distributio. Broadbad radom vibratio is a example. The purpose

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και. Σεχνολογίασ Τπολογιςτών τησ Πολυτεχνικήσ χολήσ του. Πανεπιςτημίου Πατρών

ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και. Σεχνολογίασ Τπολογιςτών τησ Πολυτεχνικήσ χολήσ του. Πανεπιςτημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ: ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ του φοιτητή του Σμήματοσ Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation International Mathematical Forum, 5, 2010, no. 67, 3301-3307 A Note on Intuitionistic Fuzzy Equivalence Relation D. K. Basnet Dept. of Mathematics, Assam University Silchar-788011, Assam, India dkbasnet@rediffmail.com

Διαβάστε περισσότερα

University College Cork: MA2008 Complex Numbers and Functions Exercises Prove:

University College Cork: MA2008 Complex Numbers and Functions Exercises Prove: University College Cork: MA8 Complex Numbers and Functions 5 Exercises. Show that (a) i, i i, i, i 5 i,... i i, i, i i,.... Let + i and 5i. Find in Cartesian form: (a) ( + ) (c) (d) (e) Im + i 7 i ( i)

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Λήψη Α οφάσεων υ ό Αβεβαιότητα Decision Making under Uncertainty Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Εντο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼

þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼ Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Health Sciences http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ»±íº »¹ Áà  : É º±¹ Ä þÿ Á³ Ä Å : ¼¹± ºÁ¹Ä¹º ±À Ä ¼ þÿ Ä Æ Á Â, Á ÃÄ Â þÿ Á̳Á±¼¼±

Διαβάστε περισσότερα

Nonlinear Fourier transform and the Beltrami equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography

Nonlinear Fourier transform and the Beltrami equation. Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Nonlinear Fourier transform and the Beltrami equation Visibility and Invisibility in Impedance Tomography Kari Astala University of Helsinki Beltrami equation: z f(z) = µ(z) z f(z) non linear Fourier transform

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Εικόνας βάσει Υφής με χρήση Eye Tracker

Ανάκτηση Εικόνας βάσει Υφής με χρήση Eye Tracker Ειδική Ερευνητική Εργασία Ανάκτηση Εικόνας βάσει Υφής με χρήση Eye Tracker ΚΑΡΑΔΗΜΑΣ ΗΛΙΑΣ Α.Μ. 323 Επιβλέπων: Σ. Φωτόπουλος Καθηγητής, Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Ηλεκτρονική και Υπολογιστές», Τμήμα Φυσικής,

Διαβάστε περισσότερα

STAT200C: Hypothesis Testing

STAT200C: Hypothesis Testing STAT200C: Hypothesis Testing Zhaoxia Yu Spring 2017 Some Definitions A hypothesis is a statement about a population parameter. The two complementary hypotheses in a hypothesis testing are the null hypothesis

Διαβάστε περισσότερα