ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε, ως επί το πλείστον, με τη μελέτη πεδίων που τα μεγέθη τους δεν μεταβάλλονταν με τον χρόνο. Στο κεφάλαιο αυτό, θα επεκτείνουμε και θα γενικεύσουμε την προηγούμενη ανάλυση με τη μελέτη του χρονικά μεταβαλλόμενου πεδίου. Έχουμε ήδη δει, κατά την εξέταση του νόμου της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής του Faraday, ότι η μεταβολή ενός μαγνητικού πεδίου συνοδεύεται από την εμφάνιση ηλεκτρικού πεδίου. Θα δούμε, στη συνέχεια, ότι συμβαίνει και το αντίστροφο, ότι, δηλαδή και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο συνοδεύεται από την εμφάνιση μαγνητικού πεδίου. Γενικά, στο χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, έχουμε συνύπαρξη ηλεκτρικών και μαγνητικών μεγεθών. Η σύζευξη των δύο πεδίων και η αλληλεξάρτηση των μεγεθών τους περιγράφεται μέσω συγκεκριμένων μαθηματικών σχέσεων, που αναλύονται στη συνέχεια Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell Ρεύμα μετατόπισης Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο περιγράφεται πλήρως από τις τέσσερις διαφορικές εξισώσεις Maxwell H = J + D t (11.1) E = B t (11.2) B = 0 (11.3)

2 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ D = ρ (11.4) και τις σχετικές οριακές συνθήκες. Η πυκνότητα του ρεύματος J στην (11.1) περιλαμβάνει, εν γένει, την πυκνότητα J c = σe του ρεύματος αγωγιμότητας και την πυκνότητα J f = ρv του ρεύματος που οφείλεται σε κινούμενα με ταχύτητα v διανεμημένα χωρικά ηλεκτρικά φορτία πυκνότητας ρ. Το ρεύμα, όμως, J f, σε πολύ λίγες πρακτικές περιπτώσεις λαμβάνεται υπόψη (π.χ. ηλεκτρονικές λυχνίες, καθοδικοί σωλήνες κ.λ.π.). Έτσι, εκτός και αν διευκρινίζεται διαφορετικά, στην ανάλυση που ακολουθεί θεωρούμε ότι η πυκνότητα του ρεύματος J στις εξισώσεις Maxwell περιλαμβάνει μόνον το ρεύμα αγωγιμότητας. Στην περίπτωση, όμως, που υφίστανται και ρευματικές πηγές, στο δεύτερο μέλος της (11.1), πρέπει να προστεθεί και η πυκνότητά τους J s. Ο δεύτερος όρος J d = D/ t στο δεξιό μέλος της (11.1) έχει διαστάσεις πυκνότητας ρεύματος και ονομάζεται πυκνότητα ρεύματος μετατόπισης (displacement current density). Όπως βλέπουμε, το ρεύμα μετατόπισης εμφανίζεται σε κάθε διηλεκτρικό, ακόμα και στον κενό χώρο, στο οποίο υφίσταται κάποιο χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Είναι φανερό από την (11.1) ότι όχι μόνον το ρεύμα αγωγιμότητας J c, αλλά και το ρεύμα μετατόπισης J d συμμετέχει στη δημιουργία του μαγνητικού πεδίου. Η υπέρθεση των συνεισφορών των δύο ρευμάτων, παρά την τελείως διαφορετική προέλευσή τους, δημιουργεί το τελικό μαγνητικό πεδίο. Η (11.1) αποτελεί τη γενίκευση σε διαφορική διατύπωση του νόμου του Ampère, με την προσθήκη στο ρεύμα αγωγιμότητας J c και του ρεύματος μετατόπισης J d. Για τη μεγάλη σημασία του ρεύματος μετατόπισης αρκεί να αναφέρουμε ότι χωρίς αυτό δεν θα ήταν κατανοητή η διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Αξίζει, επίσης, να επισημανθεί ότι το ρεύμα μετατόπισης που προέκυψε από τις σχετικές θεωρητικές μελέτες του Maxwell δεν είχε προηγουμένως διαπιστωθεί πειραματικά. Η αιτία της αδυναμίας πειραματικής διαπίστωσής του θα πρέπει, μάλλον, να αναζητηθεί στο γεγονός ότι τα αποτελέσματα που οφείλονται σ αυτό γίνονται αισθητά μόνο στα ταχύτατα μεταβαλλόμενα πεδία (περιοχή ραδιοσυχνοτήτων και πάνω), ενώ κατά την εποχή του Maxwell οι τεχνικές παραγωγής υψίσυχνων ρευμάτων και πεδίων δεν ήταν ακόμη γνωστές. Ο Maxwell, με την εισαγωγή του ρεύματος μετατόπισης, απέδειξε θεωρητικά την ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, που η διάδοσή τους στον αέρα γίνεται με την ταχύτητα του φωτός, γεγονός που τον οδήγησε στην παραδοχή της ηλεκτρομαγνητικής φύσης του φωτός. Τα πιο πάνω θεωρητικά αποτελέσματα του Maxwell επαληθεύτηκαν, μερικά χρόνια αργότερα, από τον Hertz. Ως ένα απλό κυκλωματικό παράδειγμα με το οποίο μπορεί να διαπιστωθεί

3 11.1 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ 743 η παρουσία και να επαληθευθεί η τιμή του ρεύματος μετατόπισης, ας θεωρήσουμε τον επίπεδο πυκνωτή του Σχήματος 11.1 που, αφού φορτιστεί σε μια τάση V, εκφορτίζεται μέσω της αντίστασης R. I c S 1 S 2 E, D x R ΣXHMA 11.1: Ρεύμα μετατόπισης κατά την εκφόρτιση πυκνωτή. Η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του πυκνωτή, στον οποίο αγνοούμε τα φαινόμενα των άκρων, επειδή η τάση του V c (t) δίνεται, κατά τα γνωστά, από την V c (t) = V e t/rc, (11.5) είναι E(t) = V c(t) d x = V d e t/rc x, (11.6) όπου d είναι η απόσταση των πλακών του πυκνωτή και x το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στις πλάκες και φορά από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι, αν ϵ είναι η διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού του πυκνωτή, η διηλεκτρική μετατόπιση D στο εσωτερικό του δίνεται από την D(t) = ϵe(t) = ϵv d e t/rc x. (11.7) Ας θεωρήσουμε, τώρα, έναν τυχόντα κλειστό δρόμο c, έξω από τον πυκνωτή, που εμπλέκεται με το ρεύμα I του κυκλώματος, και δύο ανοικτές επιφάνειες S 1 και S 2 που περατούνται στην καμπύλη c. Το ρεύμα I διαπερνάει την επιφάνεια S 1, όχι, όμως, και την S 2 που παρεμβάλλεται μεταξύ των πλακών του πυκνωτή, έτσι ώστε η μια πλάκα να βρίσκεται προς την εσωτερική της όψη και η άλλη προς την εξωτερική. Από την εφαρμογή του νόμου του Ampère στην επιφάνεια S 1 έχουμε H dl = J ds = I(t), (11.8) S 1 c

4 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ όπου I είναι το ρεύμα του αγωγού, που η στιγμιαία του τιμή δίνεται από την I(t) = V c(t) R = V R e t/rc. (11.9) Αν κάναμε εφαρμογή του μη γενικευμένου νόμου του Ampère στην επιφάνεια S 2, επειδή αυτή δεν διαπερνιέται από κανένα ρεύμα αγωγιμότητας, θα καταλήγαμε στην H dl = J ds = 0, (11.10) S 2 c που θα οδηγούσε στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της έντασης H του μαγνητικού πεδίου κατά μήκος του κλειστού δρόμου ολοκλήρωσης c θα είχε μηδενική τιμή και όχι I(t), όπως προέκυψε από την (11.8). Η αντίφαση αυτή αίρεται αν θεωρήσουμε τον γενικευμένο νόμο του Ampère που περιλαμβάνει και τον όρο του ρεύματος μετατόπισης, οπότε αντί της (11.10) έχουμε την c H dl = J d ds = S 2 S 2 D t ds = I d, (11.11) όπου I d είναι το ολικό ρεύμα μετατόπισης μεταξύ των πλακών του πυκνωτή. Η πυκνότητα του ρεύματος μετατόπισης J d, από την (11.7), είναι J d = D t = ϵv RCd e t/rc x. (11.12) Η (11.12), αν η χωρητικότητα C αντικατασταθεί από την όπου S είναι η επιφάνεια των πλακών, γράφεται C = ϵs/d, (11.13) J d = D t = V SR e t/rc x. (11.14) Το συνολικό ρεύμα μετατόπισης I d, αφού αγνοούνται τα φαινόμενα των άκρων και το πεδίο στο μεταξύ των πλακών χώρο θεωρείται ομοιόμορφο, λόγω της (11.14), είναι I d = J d ds = J d ds = V S 2 S SR e t/rc ds = V S R e t/rc. (11.15) Από τις (11.9) και (11.15) έχουμε I d (t) = I(t), (11.16)

5 11.1 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ 745 δηλαδή το συνολικό ρεύμα μετατόπισης είναι ίσο με το ρεύμα αγωγιμότητας. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το συνολικό ρεύμα είναι σταθερό, ακολουθεί δε κλειστή διαδρομή. Η ολοκληρωτική μορφή του γενικευμένου νόμου του Ampère, που προκύπτει εύκολα από την ολοκλήρωση των δύο μελών της εξίσωσης Maxwell (11.1) σε μια ανοικτή επιφάνεια S είναι η c H dl = t S D ds + S J ds (11.17) όπου c είναι το περίγραμμα της S. Με ανάλογο τρόπο, από την εξίσωση Maxwell (11.2), προκύπτει η c E dl = t S B ds (11.18) που, ως γνωστόν, αποτελεί τη μαθηματική διατύπωση υπό ολοκληρωτική μορφή του νόμου της επαγωγής του Faraday. Τέλος, και από τις άλλες δύο εξισώσεις Maxwell, (11.3) και (11.4)), με ολοκλήρωση σε μια κλειστή επιφάνεια που περικλείει τον όγκο V και εφαρμογή του θεωρήματος του Gauss, προκύπτουν, αντίστοιχα, οι γνωστές ολοκληρωτικές εκφράσεις B ds = 0 (11.19) S S D ds = V ρdv (11.20) Αν και η ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell παρέχει τη δυνατότητα ευκολότερης κατανόησης και ερμηνείας διαφόρων φαινομένων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, εντούτοις, η επίλυση των πραγματικών προβλημάτων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, στα οποία ζητείται ο στιγμιαίος προσδιορισμός των μεγεθών του σε κάθε σημείο του χώρου, καθίσταται ευχερέστερη με τη χρησιμοποίηση των εξισώσεων Maxwell υπό διαφορική μορφή. Συνήθως, οι περιπτώσεις εφαρμογής των ολοκληρωτικών εκφράσεων περιορίζονται σε σχετικά απλά προβλήματα, που συχνά περιλαμβάνουν διατάξεις και συστήματα με χαρακτηριστικές γεωμετρικές συμμετρίες. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε, σχεδόν αποκλειστικά, τις εξισώσεις Maxwell με τη διαφορική τους μορφή.

6 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ 11.2 Οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική μορφή Όπως η επίλυση των κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος, έτσι και η επίλυση των προβλημάτων του ημιτονοειδώς χρονικά μεταβαλλόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, διευκολύνεται σημαντικά με την εισαγωγή και χρήση κατάλληλων μιγαδικών μεγεθών. Αν, λοιπόν, οι στιγμιαίες τιμές των τριών συνιστωσών E x, E y, E z της ηλεκτρικής πεδιακή έντασης E, σ ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, δίνονται από τις E x = E 0x cos(ωt + φ x ), (11.21) E y = E 0y cos(ωt + φ y ), (11.22) E z = E 0z cos(ωt + φ z ), (11.23) όπου τα πλάτη E 0x, E 0y, E 0z των E x, E y, E z, αντίστοιχα, είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων x, y, z σε κάθε σημείο και ϕ x, ϕ y και ϕ z είναι οι αντίστοιχες φασικές αποκλίσεις, οι (11.21), (11.22), (11.23) μπορούν να γραφούν και ως { } E x E 0x e j(ωt+φ x) {Ėx e jωt}, (11.24) { } E y E 0y e j(ωt+φ y) {Ėy e jωt}, (11.25) { } E z E 0z e j(ωt+φ z) {Ėz e jωt}, (11.26) όπου το σύμβολο Re αναφέρεται στο πραγματικό μέρος της μιγαδικής παράστασης που βρίσκεται μέσα στα άγκιστρα, και Ė x, Ėy, Ėz είναι οι μιγαδικές ποσότητες (phasors) Ė x = E 0x e jφ x, (11.27) Ė y = E 0y e jφ y, (11.28) Ė z = E 0z e jφ z, (11.29) που αναπαριστούν υπό μιγαδικό συμβολισμό τα αντίστοιχα μεγέθη E x, E y, E z. Τα μιγαδικά αυτά μεγέθη αναφέρονται, επίσης, και ως παραστατικοί μιγαδικοί ή φασιθέτες. Έτσι, η στιγμιαία τιμή της πεδιακής έντασης E μπορεί να γραφεί ως ) E = E xx + E y ŷ + E z ẑ {(Ėxx + Ėyŷ + Ėzẑ e jωt} (11.30) ή E {Ėe jωt } (11.31)

7 11.2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΕ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 747 όπου x, ŷ, ẑ είναι τα τρία μοναδιαία διανύσματα και Ė = Ėxx + Ėyŷ + Ėzẑ (11.32) ο μιγαδικός συμβολισμός του διανύσματος E. Ανάλογα, για την ημιτονοειδή μεταβολή της μαγνητικής πεδιακής έντασης H έχουμε Ḣ x = H 0x e jφ x, (11.33) Ḣ y = H 0y e jφ y, (11.34) Ḣ z = H 0z e jφ z, (11.35) H {Ḣe jωt } (11.36) Ḣ = Ḣxx + Ḣyŷ + Ḣzẑ (11.37) όπου οι νέες φασικές αποκλίσεις ϕ x, ϕ y, ϕ z δεν ταυτίζονται, κατ ανάγκη, με εκείνες της έντασης E. Παρόμοιες είναι και οι μιγαδικές εκφράσεις των άλλων μεγεθών του πεδίου. Συχνά, στα πεδία με ημιτονοειδή χρονική μεταβολή, χρησιμοποιείται και το συζυγές ενός μιγαδικού μεγέθους. Έτσι, αν E r και E i είναι, αντίστοιχα, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού διανύσματος Ė, ο συζυγής μιγαδικός E ορίζεται από την E = E r je i. (11.38) Με τη χρησιμοποίηση του συζυγούς μιγαδικό, η (11.31) μπορεί να γραφεί, επίσης, και με τη μορφή jωt E {Ėe } = 1 (Ėe jωt + Ee jωt). (11.39) 2 Η μιγαδική μορφή των εξισώσεων Maxwell προκύπτει από την αντικατάσταση των μεγεθών του πεδίου, μέσω των αντίστοιχων μιγαδικών εκφράσεων, στις (11.1), (11.2), (11.3) και (11.4). Με τις αντικαταστάσεις αυτές και αφού λάβουμε υπόψη τις σχέσεις jωt Re {Ġe } { jωt (Ġe )} { } e jωt Ġ, (11.40) ( Re {Ġe }) { jωt (Ġe )} { jωt t t jωġejωt}, (11.41)

8 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ jωt Re {Ġe } { jωt (Ġe )} { } e jωt Ġ, (11.42) όπου Ġ ο μιγαδικός συμβολισμός του τυχόντος διανυσματικού μεγέθους G του πεδίου, προκύπτουν οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική μορφή: Ḣ = J + jωḋ (11.43) Ė = jωḃ (11.44) Ḃ = 0 (11.45) Ḋ = ρ (11.46) Ο συμβολισμός ρ στην (11.46) αναφέρεται στο βαθμωτό μιγαδικό μέγεθος ρ = ρ 0 (x, y, z)e jϕρ, με το οποίο η στιγμιαία τιμή ρ(t) = ρ 0 cos(ωt + ϕ ρ ) της πυκνότητας των χωρικών ηλεκτρικών φορτίων συνδέεται με τη σχέση ρ(t) { ρe jωt }. Οι πιο πάνω εξισώσεις, αν λάβουμε υπόψη τις καταστατικές σχέσεις για ένα γραμμικό και ισότροπο μέσο: D = ϵe, B = µh και J = σe, μπορούν να γραφούν και με τη μορφή Ḣ = (σ + jωϵ)ė, (11.47) Ė = jωµḣ, (11.48) Ḣ = 0, (11.49) Ė = ρ ϵ. (11.50) Αν, τέλος, εισάγουμε τη μιγαδική διηλεκτρική σταθερά ϵ c που ορίζεται από τη σχέση ( ϵ c = ϵ j σ ), (11.51) ω η (11.47) μπορεί, επίσης, να γραφεί και ως Ḣ = jωϵcė. (11.52) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.1 Η στιγμιαία τιμή της συνιστώσας E x της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ενός πεδίου, που τα μεγέθη του μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με τον χρόνο (με γωνιακή συχνό-

9 11.2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΕ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 749 τητα ω), δίνεται από τη σχέση E x (t) = sin ωt cos ( ωt + π ) V/m. 4 (i) Με εισαγωγή του ενδεικνύμενου μιγαδικού συμβολισμού, να προσδιοριστούν οι σταθερές E 0x και φ x, ώστε η στιγμιαία τιμή της συνιστώσας E x να μπορεί να εκφραστεί και ως E x (t) = E 0x cos(ωt + φ x ). (ii) Προκειμένου να χρησιμοποιηθούν στρεφόμενα μιγαδικά διανύσματα, από τη δοθείσα έκφραση, προκύπτει διαδοχικά E x (t) = sin ωt + 3 ( 2 cos ωt + π ) 4 ( = cos ωt + π ) + 3 ( 2 cos ωt + π ) 2 4 {3 2 e jωt e jπ/4} { e jωt e jπ/2} + Re {( j e jπ/4) e jωt}. Η μιγαδική, συνεπώς, έκφραση της E x είναι η Ė x = j e jπ/4 = j + 3 ( ) j 2 = 3 + j4 = 5 e j tan 1 ( 4 3) = 5 e j53,13 o V/m. (iii) Από την (iii) έχουμε E x (t) {Ėx e jωt} {5e } j(ωt+53,13 ) = 5 cos(ωt + 53,13 ) V/m οπότε οι ζητούμενες σταθερές E 0x, φ x έχουν, αντίστοιχα, τις τιμές: E 0x = 5 V/m και φ x = 53,13 o. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.2 Σ ένα ελεύθερο πηγών (ρ = 0, J = 0) τμήμα του κενού χώρου, η στιγμιαία τιμή της μαγνητικής πεδιακής έντασης ενός πεδίου με ημιτονοειδή χρονική μεταβολή γωνιακής συχνότητας ω έχει, στην τυχούσα θέση (x, y, z) του χώρου, την έκφραση

10 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ H(x, y, z, t) = H 0 k p sin(px) sin(kz ωt)x + H 0 cos(px) cos(kz ωt)ẑ, (i) όπου H 0, k, p σταθερές, ενώ μεταξύ των k και p ισχύει η σχέση ω 2 µ 0 ϵ 0 = p 2 + k 2. (ii) Να βρεθεί η μιγαδική και η στιγμιαία έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E. Επειδή τα μεγέθη του πεδίου εμφανίζουν ημιτονοειδή χρονική μεταβολή, ενδείκνυται η χρησιμοποίηση μιγαδικών συμβολισμών. Από τη δοθείσα στιγμιαία έκφραση της μαγνητικής πεδιακής έντασης έχουμε διαδοχικά H(x, y, z, t) = H x (x, y, z, t) x + H z (x, y, z, t) ẑ k = H 0 p sin(px) sin(kz ωt) x + H 0 cos(px) cos(kz ωt) ẑ k = H 0 (ωt p sin(px) cos kz + π ) x + H 0 cos(px) cos(kz ωt) ẑ 2 { k H 0 p sin(px) ejωt e jkz e jπ/2x } + Re { H 0 cos(px) e jωt e jkz ẑ } { } k jh 0 p sin(px) ejωt e jkz x + Re { H 0 cos(px) e jkz e jωt ẑ } {[ ] } k jh 0 p sin(px) e jkz x + H 0 cos(px) e jkz ẑ e jωt. Συνεπώς, η μιγαδική έκφραση της μαγνητικής πεδιακής έντασης είναι Ḣ = jh 0 k p sin(px) e jkz x + H 0 cos(px) e jkz ẑ. (iii) Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τη μιγαδική έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης από την εξίσωση Maxwell (11.43) σε μιγαδική μορφή, η οποία, αν λάβουμε υπόψη ότι J = 0 και D = ϵ 0 E, γράφεται Ḣ = jωϵ0ė. (iv) Έτσι, μετά την αντικατάσταση της Ḣ από την (iii) στην (iv), προκύπτει Ė = j H = j [ ) ] 0 x + H 0 sin(px) (p + k2 e jkz ŷ + 0ẑ ωϵ 0 ωϵ 0 p = j H 0 sin(px) p2 + k 2 e jkz ŷ. ωϵ 0 p (v)

11 11.3 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ 751 Η (v), λόγω της (ii), γράφεται Ė = j H 0 sin(px) ω2 µ 0 ϵ 0 e jkz ŷ, ωϵ 0 p δηλαδή Ė = j H 0ωµ 0 p sin(px) e jkz ŷ. Από την (vi), υπολογίζεται εύκολα η στιγμιαία έκφραση jωt E(x, y, z, t) {Ėe } { j H 0ωµ 0 p { H0 ωµ 0 p = H 0ωµ 0 p } sin(px) e j(ωt kz π 2 )ŷ sin(px) cos ( ωt kz π ) ŷ 2 } sin(px) e jωt e jkz ŷ (vi) = H 0ωµ 0 p sin(px) sin(ωt kz) ŷ Η εξίσωση κύματος Η γενική μορφή της εξίσωσης κύματος Ας θεωρήσουμε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που εκτείνεται σ ένα ομογενές, γραμμικό, ισότροπο και ελεύθερο πηγών (J s = ρ = 0) μέσο. Οι εξισώσεις Maxwell (11.1), (11.2), (11.3) και (11.4) με εισαγωγή των καταστατικών σχέσεων D = ϵe, B = µh και J = σe γράφονται, αντίστοιχα, H = σe + ϵ E t, (11.53) E = µ H t, (11.54) H = 0, (11.55) E = 0. (11.56) Αν πάρουμε την περιστροφή στα δύο μέλη της (11.54), προκύπτει η E = µ H t (11.57) που, με τη βοήθεια της διανυσματικής ταυτότητας F = ( F ) 2 F (11.58)

12 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ και την εναλλαγή των τελεστών και / t στο δεύτερο μέλος της, γράφεται ( E) 2 E = µ ( H). (11.59) t Η (11.59), αν λάβουμε υπόψη τις (11.53) και (11.56) καταλήγει στην 2 E µϵ 2 E t 2 E µσ t = 0 (11.60) Κατά παρόμοιο τρόπο, αν ξεκινήσουμε από την περιστροφή στα δύο μέλη της (11.53), καταλήγουμε στην 2 H µϵ 2 H t 2 µσ H t = 0 (11.61) Οι (11.60) και (11.61) είναι οι γενικές διανυσματικές εξισώσεις κύματος (wave equation) για τα διανύσματα E και H, αντίστοιχα Η εξίσωση κύματος σ ένα μη αγώγιμο μέσο Όταν η διάδοση του κύματος γίνεται σ ένα μη αγώγιμο, δηλαδή σ ένα τέλειο διηλεκτρικό μέσο, από τις (11.60) και (11.61), για σ = 0, προκύπτουν οι αντίστοιχες ομογενείς εξισώσεις κύματος 2 E µϵ 2 E t 2 = 0 (11.62) που μπορούν, επίσης, να γραφούν και με τη μορφή 2 H µϵ 2 H t 2 = 0 (11.63) όπου το μέγεθος 2 E 1 2 E v 2 = 0, (11.64) t2 2 H 1 v 2 2 H t 2 = 0, (11.65) v = 1 µϵ (11.66)

13 11.3 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ 753 εκφράζει, όπως θα δούμε, στη συνέχεια, την ταχύτητα διάδοσης του κύματος σ ένα μη αγώγιμο μέσο με διηλεκτρική σταθερά ϵ και μαγνητική διαπερατότητα µ. Όταν η διάδοση γίνεται στο κενό η ταχύτητα v του κύματος είναι ίση προς την ταχύτητα c του φωτός c = 1 µ0 ϵ 0 = m/s (11.67) Αν E x, E y, E z είναι οι συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης σ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, από την διανυσματική κυματική εξίσωση (11.64) προκύπτουν οι τρεις βαθμωτές κυματικές εξισώσεις 2 E x 1 v 2 2 E x t 2 = 0, (11.68) 2 E y 1 v 2 2 E y t 2 = 0, (11.69) 2 E z 1 v 2 2 E z t 2 = 0. (11.70) Ανάλογες εξισώσεις προκύπτουν και για τις συνιστώσες H x, H y, H z της μαγνητικής πεδιακής έντασης H: 2 H x 1 v 2 2 H x t 2 = 0, (11.71) 2 H y 1 v 2 2 H y t 2 = 0, (11.72) 2 H z 1 v 2 2 H z t 2 = 0. (11.73) Όταν προσδιοριστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E, ο υπολογισμός της μαγνητικής πεδιακής έντασης H γίνεται ευκολότερα από την (11.54), παρά από την επίλυση των (11.71), (11.72), (11.73), αφού τα διανύσματα E και H δεν είναι τελείως ανεξάρτητα, αλλά αλληλοσυνδέονται μέσω των εξισώσεων Maxwell. Το αντίστροφο, φυσικά, συμβαίνει για τον υπολογισμό της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E όταν προηγουμένως έχει υπολογιστεί η μαγνητική πεδιακή ένταση H. Για συντομία, οι (11.68) έως (11.73) γράφονται με τη μορφή 2 ψ 1 2 ψ v 2 = 0, (11.74) t2 όπου η βαθμωτή συνάρτηση ψ(x, y, z, t) παριστάνει οποιαδήποτε συνιστώσα των E, H.

14 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 11.1: To ηλεκτρομαγνητικό φάσμα λ (m) f (Hz) Ζώνες συχνοτήτων Τυπικές εφαρμογές hf (ev) γ ακτινοβολία υπεριώδης ακτινοβολία x ακτινοβολία ορατή περιοχή οπτικού φάσματος υπέρυθρη ακτινοβολία χιλιοστομετρική περιοχή EHF ( GHz), (10 1 mm) Radar SHF (3 30 GHz), (10 1 cm) Radar, δορυφορικές επικοινωνίες UHF ( MHz), (1 0,1 m) Radar, TV, ραδιοναυσιπλοΐα, κινητή τηλεφωνία VHF TV, FM, έλεγχος εναέριας ( MHz), (10 1 m) κυκλοφορίας, κ.λ.π. HF (3 30 MHz), ( m) FAX, βραχέα ραδιοφωνικά κύματα MF ( KHz), (1 0,1 Km) ΑΜ ραδιοφωνία, ραδιοναυσιπλοΐα LF ( KHz), (10 1 Km) Ραδιοναυσιπλοΐα VLF (3 30 KHz), ( Km) Ραδιοναυσιπλοΐα, sonar ULF ( Hz), ( m) 10 6 SLF ( Hz), ( m) 10 7 ELF (3 30 Hz), ( m)

15 11.3 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ 755 Σύμβολο κατά ΙΕΕΕ ΠΙΝΑΚΑΣ 11.2: Ζώνες μικροκυματικών συχνοτήτων Ζώνη (GHz) Σύμβολο κατά ITU Ζώνη (GHz) Σύμβολο κατά ECM Ζώνη (GHz) L 1 2 L 1,215 1,400 C 0,5 1 S 2 4 S 2,30 2,50 2,70 3,70 D 1 2 C 4 8 C 5,250 5,925 E 2 3 X 8 12 X 8,50 10,68 F 3 4 K u K u 13,40 14,00 15,70 17,70 K K 24,05 24,25 24,65 24,75 G 4 6 H 6 8 K a K a 33,40 36,00 I 8 10 V V 59,00 64,00 J W W χιλιοστομετρική ζώνη χιλιοστομετρική ζώνη Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα 76,00 81,00 92,00 100,0 126,0 142,0 144,0 149,0 231,0 235,0 238,0 248,0 K L M χιλιοστομετρική ζώνη Όπως έχει ήδη αναφερθεί, οι εξισώσεις Maxwell ισχύουν ανεξάρτητα από την ταχύτητα της χρονικής μεταβολής των μεγεθών του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, δεν υφίσταται, δηλαδή κανένας περιορισμός στην τιμή της συχνότητας των διαδιδόμενων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Η ταχύτητα, όμως, διάδοσης των κυμάτων αυτών σε μέσα χωρίς απώλειες (π.χ. αέρας) είναι, όπως φαίνεται από την (11.66), ανεξάρτητη της συχνότητας. Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα το οποίο έχει, μέχρι σήμερα, διερευνηθεί και επαληθευθεί πειραματικά εκτείνεται από τις πολύ χαμηλές βιομηχανικές συχνότητες (της τάξης των 10 Hz), έως τις πολύ υψηλές συχνότητες των ακτίνων γ (της τάξης των Hz). Στον Πίνακα 11.1 σημειώνονται, σε λογαριθμική κλίμακα, οι διάφορες περιοχές του φάσματος και ορισμένες χαρακτηριστικές εφαρμογές τους. Η σημασία των κεφαλαίων E, S, U, V προ των συμβολισμών LF (low frequency) και HF (high frequency) είναι, αντίστοιχα, extremely, super, ultra, very. Η περιοχή των συχνοτήτων που εκτείνεται μεταξύ 1 GHz και του κατώτερου σημείου της ζώνης των υπέρυθρων ακτίνων (περιλαμβάνοντας, έτσι, τις ζώνες UHF, SHF, EHF, χιλιοστομετρική) χαρακτηρίζεται, συνήθως, ως μικρο-