ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ. Η λύση της µονοδιάστατης εξίσωσης κύµατος Ιδιαίτερο θεωρητικό αλλά πρακτικό ενδιαφέρον εµφανίζει η περίπτωση ενός ο- µοιόµορφου επίπεδου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος που διαδίδεται σ ένα απέραντο, οµογενές, ισότροπο, µη αγώγιµο ελεύθερο πηγών µέσο ( σ =, ρ = ). Ας θεωρήσουµε, αρχικά, ότι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση έχει τη διεύθυνση του άξονα ( = = ) ότι είναι ανεξάρτητη των µεταβλητών, ( = (, t)). Στην περίπτωση αυτή, από την εξίσωση (.47) προκύπτει η µονοδιάστατη εξίσωση κύµατος = υ t Η (.) έχει, ως γνωστόν, γενική λύση της µορφής (.) όπου + + (,) t = ( υt) + ( + υt), (.) + είναι τυχούσες αυθαίρετες συναρτήσεις των ολικών µεταβλητών υt + υt, αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις + διαδίδονται µε ταχύτητα υ κατά τις διευθύνσεις περίπτωση από την εξίσωση (.) του Mawell έχουµε αντιπροσωπεύουν δύο κύµατα που, αντίστοιχα. Στην εξεταζόµενη 575

2 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ H H H ( ) µ = = + + t t t, ή H H H µ = + + t t t (.3) Όπως φαίνεται από την (.3), οι συνιστώσες H H πρέπει να είναι χρονικά αµετάβλητες, λόγω του µηδενισµού των µερικών χρονικών παραγώγων H / t H / t. Οι σταθερές τιµές των συνιστωσών αυτών πρέπει, προφανώς, να είναι µηδενικές, οπότε µένει µόνο η συνιστώσα t. H που ικανοποιεί την H = µ (.4) t Από την (.4) φαίνεται ότι η H είναι συνάρτηση µόνο των µεταβλητών Εντελώς, ανάλογα, από την εξίσωση (.) του Mawell (αφού σ = ), προκύπτει η H = ε t Συνδυάζοντας τις (.4) (.5) απαλείφοντας την (όπως άλλωστε περιµέναµε) στη µονοδιάστατη εξίσωση κύµατος (.5), εύκολα καταλήγουµε H H = µε t Αν για την (.6) αναζητηθούν λύσεις της µορφής (.6) + H (,) t = H ( υt) + H ( + υt), (.7) τότε από τις (.), (.4), (.5) (.7) προκύπτουν οι σχέσεις = µ H (.8) ε + + µ = H (.9) ε Γενικά, αν σε ένα οµοιόµορφο επίπεδο κύµα, είναι οι συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης, H, H οι συνιστώσες της µαγνητικής πεδιακής έντασης H, εύκολα, αποδεικνύεται ότι µεταξύ των συνιστωσών αυτών ισχύουν οι σχέσεις 576

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ = ηh, (.) + + = ηh, (.) + + = ηh, (.) = ηh, (.3) όπου µ η =, (.4) ε είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου που για το κενό έχει τιµή η µ = π 377 Ω (.5) ε. Ηµιτονοειδής χρονική µεταβολή Στην περίπτωση της ηµιτονοειδούς χρονικής µεταβολής, οι εξισώσεις Mawell (.), (.), (.3) (.4) σ ένα οµογενές µέσο χωρίς πηγές, γράφονται, αντίστοιχα H = ( σ + jωε), (.6) =jωµ H, (.7) = (.8) H = (.9) Επίσης, οι γενικές εξισώσεις κύµατος (.39) (.4) παίρνουν, αντίστοιχα, τη µορφή (σχέση (.4)) = γ (.) H = γ H, (.) όπου = ( + ) (.) γ jωµ σ jωε 577

4 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ Η µιγαδική σταθερά διάδοσης γ, γράφεται ως γ = a + jβ, (.3) όπου οι σταθερές a β, λόγω της (.) δίνονται από τις µε σ a = ω + ωε (.4) µε σ β = ω + + ωε (.5) Οι σταθερές a β ονοµάζονται, αντίστοιχα, σταθερά (ή συντελεστής) απόσβεσης φασική σταθερά διάδοσης του κύµατος. Αν, τώρα, θεωρήσουµε ένα επίπεδο οµοιόµορφο κύµα που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση ( = H = ), σε ένα γραµµικό, οµογενές, ισότροπο χωρίς απώλειες ( σ = ) µέσο, τότε γ = jβ = jω µε οι εξισώσεις (.) (.) έχουν λύσεις της µορφής = e + e, (.6) + jβ jβ = e + e, (.7) + jβ jβ H = H e + H e, (.8) + jβ jβ H = H e + H e (.9) + jβ jβ Από τις σχέσεις αυτές τις εξισώσεις (.6) (.), προκύπτουν πάλι οι σχέσεις = ηh, (.3) + + = ηh, (.3) + + = ηh, (.3) = ηh (.33) 578

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ t=t t=t P P P 3 3 π λ = β Σχήµα - Αν για λόγους απλότητας θεωρήσουµε ότι = (διάδοση κατά τα θετικά ) j ότι + = e ϕ τότε, η στιγµιαία τιµή (,) t, σύµφωνα µε τη (.6) δίνεται από την + jβ jωt { } ( ω β ϕ) (,) t = Re e e = cos t + (.34) Αν, επιπλέον, θεωρήσουµε ότι η διεύθυνση του άξονα συµπίπτει µε τη διεύθυνση του διανύσµατος ( = ), η στιγµιαία τιµή της έντασης του µαγνητικού πεδίου για την οποία, προφανώς, ισχύει η H = H = H = δίνεται από τη σχέση H(,) t = H cos( ωt β + ϕ) = cos( ωt β + ϕ) (.35) η Στο σχήµα - φαίνεται η µεταβολή της, συναρτήσει της απόστασης, για δύο χρονικές στιγµές t t. Για δύο διαδοχικά σηµεία P P στα οποία η ένταση έχει τις χρονικές στιγµές t t, αντίστοιχα, την ίδια τιµή, µε βάση την (.35) ισχύει η cos( ωt β + ϕ) = cos( ωt β + ϕ) (.36) 579

6 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ ή ωt β ωt β = (.37) Εύκολα, συνεπώς, συµπεραίνεται ότι τα οµοφασικά σηµεία ικανοποιούν τη σχέση ωt β = ϕ, (.38) όπου ϕ σταθερά. Η ταχύτητα v p µε την οποία οδεύει ένα σηµείο σταθερής φάσης (φασική ταχύτητα του κύµατος) µπορεί να προκύψει από την παραγώγιση της (.38) είναι d v = ω p dt = β (.39) Το µήκος κύµατος λ, αναφέρεται σε διαδοχικά σηµεία i i + στα οποία η ένταση έχει την ίδια τιµή σε κάθε χρονική στιγµή (σηµεία P, P 3 στο σχήµα -) η τιµή του προκύπτει από τη σχέση ( t ) ( t ) ω β + ϕ ω β + ϕ = π, i i+ ή π i = + i β, δηλαδή, π λ = (.4) β Από τις σχέσεις (.39) (.4) προκύπτουν, επίσης, οι βασικές σχέσεις π λ = v p (.4) ω vp = λf (.4).3 Επίπεδο κύµα σε µέσο µε απώλειες (σ ) Όταν ένα επίπεδο κύµα διαδίδεται σ ένα µέσο µε απώλειες ( σ ), τότε, οι λύσεις των εξισώσεων κύµατος (.) (.), είναι της µορφής + γ γ = e + e, (.43) 58

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ + γ γ = +, (.44) e e + γ γ = +, (.45) H H e H e + γ γ = +, (.46) H H e H e όπου η σταθερά διάδοσης γ δίνεται από την (.). Από τις εκφράσεις αυτές τις εξισώσεις (.6) (.7) προκύπτουν πάλι οι σχέσεις = ηh, (.47) + + = ηh, (.48) = ηh, (.49) + + = ηh, (.5) όπου η = jωµ σ + jωε (.5) είναι η µιγαδική χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου. Ας θεωρήσουµε, τώρα, ένα κύµα που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του θετικού η- µιάξονα στο οποίο οι διευθύνσεις των διανυσµάτων H είναι κατά τους άξονες, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, αν λάβουµε υπόψη τις (.3), (.4), (.5) ισχύουν οι = e = e e (.5) + ( a + j β ) a j( φβ ) ( a j ) a j( ) H + + β φθβ = He = e e, (.53) η όπου j σ µ / ε tan jθ ωε η = η e = e, ( < θ < π/4), (.54) σ 4 + ωε 58

8 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ ή, για τις στιγµιαίες τιµές, a (,) t = e cos( ωt β+ ϕ) (.55) a H(,) t = e cos( ωt β+ ϕ θ) (.56) η Από τις (.55) (.56) παρατηρούµε ότι τα µέτρα των H παρουσιάζουν απόσβεση κατά τον εκθετικό παράγοντα a e, όταν το κύµα διαδίδεται κατά τα +. Επίσης, από τη σχέση (.4) συµπεραίνουµε ότι υπάρχει πάντα απόσβεση, εκτός αν έ- χουµε σ = (περίπτωση τέλειου διηλεκτρικού ή κενού). Τέλος, παρατηρούµε ότι η φάση θ µεταξύ των H µηδενίζεται µόνο αν σ =. Η ταχύτητα v p το µήκος κύµατος λ σύµφωνα µε τις (.5), (.39) (.4), δίνονται από τις v p ω = = β µε σ + + ωε (.57) π π λ = = β µε σ ω + + ωε (.58) Στη συνέχεια µπορούµε να διακρίνουµε τις εξής δύο ειδικότερες περιπτώσεις. α) Περίπτωση τέλειου διηλεκτρικού Στην περίπτωση αυτή έχουµε σ ωε, (.59) οπότε, από τις (.4), (.5), (.5), (.57) (.58), προκύπτουν οι σχέσεις σ µ a, (.6) ε β ω µε, (.6) 58

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ v p η = µ, ε (.6) ω = µε β (.63) π π λ = = = (.64) ω µε f µε β Στην περίπτωση του κενού ( σ = ) εύκολα, επαληθεύονται οι σχέσεις του υποκεφαλαίου.. β) Περίπτωση τέλειου αγωγού Όταν ισχύει η σ ωε, (.65) έχουµε την περίπτωση καλού αγωγού. Όπως, ήδη, έχουµε διερευνήσει, στην περίπτωση µεταλλικών αγωγών, η (.65) ισχύει ακόµη για πολύ υψηλές συχνότητες (περίπου 6 f < H). Λόγω της (.65), από τις (.4), (.5), (.5), (.57) (.58), προκύπτουν οι προσεγγιστικές εκφράσεις ωµσ a β, (.66) η jµω µω e π σ σ = = j /4, (.67) v p ω ω = = = ωδ (.68) β µσ π π λ β ωµσ = πδ (.69) όπου 583

10 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ δ = a = ωµσ, (.7) είναι το βάθος διείσδυσης (ή επιδερµικό βάθος), δηλαδή η απόσταση, κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, µέσα στον αγωγό στην οποία το πλάτος του αποσβεννύµενου κύµατος είναι ίσο µε το /e της αρχικής του τιµής. Τέλος, από την (.67) προκύπτει ότι τα διανύσµατα H στους καλούς αγωγούς έχουν διαφορά φάσης ίση προς Πόλωση του επίπεδου κύµατος Ας θεωρήσουµε, τώρα, ότι σ ένα µέσο χωρίς απώλειες, διαδίδεται ένα οµοιόµορφο επίπεδο κύµα που τα µεγέθη του µεταβάλλονται ηµιτονοειδώς µε το χρόνο. Επειδή, όπως ήδη είπαµε, οι συνιστώσες του διανύσµατος H µπορούν να προκύψουν από τις συνιστώσες του διανύσµατος ( H κάθετα διανύσµατα), στην ανάλυση που ακολουθεί περιοριζόµαστε στην περιγραφή της στιγµιαίας κατάστασης µόνο του διανύσµατος. Αν, λοιπόν, είναι οι συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ενός επίπεδου κύµατος που οδεύει κατά τα χουµε +, σύµφωνα µε τις (.6), (.7) (.34) έ- = e + e (.7) + jβ + jβ ( ω β ϕ ) ( ω β ϕ ) (,) t = cos t + + cos t +, (.7) j j όπου + = e ϕ, + = e ϕ ϕ, ϕ οι αντίστοιχες φασικές αποκλίσεις. Λόγω της ως προς ηµιτονοειδούς µεταβολής των πεδιακών µεγεθών η περιγραφή του γίνεται στη θέση =. Αν η αρχή των χρόνων επιλεγεί έτσι, ώστε ϕ =, ϕ = ϕ από την (.7) προκύπτει () t = cosωt + cos( ωt + ϕ) (.73) Η καµπύλη που διαγράφει στο επίπεδο O, συναρτήσει του χρόνου t, το πέρας του διανύσµατος () t (σχήµα -) χαρακτηρίζει την αντίστοιχη κατάσταση πόλωσης. 584

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Οι στιγµιαίες τιµές των συνιστωσών από την (.73), δίνονται από τις του διανύσµατος, όπως φαίνεται () t = cosωt (.74) () t = cos( ωt + ϕ) (.75) Ανάλογα µε την ενδεχόµενη σχέση µεταξύ των πλατών, την τιµή της φασικής απόκλισης ϕ, µπορούµε να διακρίνουµε τις εξής ειδικές περιπτώσεις πολωµένου κύµατος: α) Γραµµικά πολωµένο κύµα ( ϕ =, ϕ = ± π) Όταν ϕ =, από τις (.74) (.75) προκύπτει tan () t θ = const () t = =, (.76) δηλαδή έχουµε γραµµικά πολωµένο κύµα, αφού το διάνυσµα µεταβάλλεται πάνω σε µια ευθεία που σχηµατίζει σταθερή γωνία µε τον άξονα. Όπως είναι προφανές, γραµµικά πολωµένο κύµα έχουµε όταν ϕ =± π. β) Κυκλικά πολωµένο κύµα ( ϕ =± π/, = ) Στην περίπτωση όπου = = ϕ =± π/, έχουµε () t = cosωt, (.77) ( ) sin t = ωt, (.78) () t tan θ = = tan ωt (.79) () t θ() t = ωt, (.8) δηλαδή πρόκειται για κυκλικά πολωµένο κύµα. Το διάνυσµα που έχει σταθερό µέτρο = =, περιστρέφεται µε κυκλική συχνότητα ω κατά τη θετική (ανθωρολογιακή) φορά περιστροφής, όταν ϕ = π/ ή κατά την αρνητική (ωρολογιακή) φορά περιστροφής αν ϕ = π/. 585

12 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ γ) Ελλειπτικά πολωµένο κύµα ( ) Στην περίπτωση όπου, από τις (.74) (.75), προκύπτει, εύκολα, η εξίσωση της έλλειψης πόλωσης (σχήµα -) ενώ η γωνία θ () t δίνεται από την cosϕ + = sin ϕ, (.8) () t = cos( ωt + ϕ) () t θ() t = () t cosωt Έλλειψη πόλωσης Σχήµα - cos( ωt + ϕ) tan θ = (.8) cos ωt Αν, επιπλέον, ισχύει η ϕ =± π/, τότε οι (.8) (.8) καταλήγουν στις + = (.83) tan θ( t) = tan ωt (.84) 586

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ηλαδή, οι κύριοι άξονες της έλλειψης συµπίπτουν µε τους άξονες, η γωνιακή όµως ταχύτητα διαγραφής της έλλειψης (για ) δεν είναι πια σταθερή..5 Ταχύτητα οµάδας Όπως θα δούµε σε επόµενα κεφάλαια η έννοια της ταχύτητας αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιµη κατά τη µελέτη της διάδοσης ενός σήµατος σ ένα µέσο µε διασπορά στο οποίο η σχέση ω = ω( β) δεν είναι γραµµική. Η ταχύτητα οµάδας υ g δίνεται από τη σχέση υ g dω = dβ β = β, (.85) όπου β = β( ω) αντιστοιχίζεται στην έννοια της ταχύτητας διάδοσης της συνολικής πληροφορίας. Είναι φανερό ότι, σ ένα µέσο χωρίς διασπορά η ταχύτητα οµάδας υ g είναι ίση µε τη φασική ταχύτητα. 587

14 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ.6 Παραδείγµατα. Επίπεδο ηλεκτροµαγνητικό κύµα συχνότητας f = MH πλάτους 3 = V/m διαδίδεται στον ελεύθερο χώρο κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα. Ζητούνται: α) Να προσδιοριστεί το µήκος κύµατος λ η φασική σταθερά β. β) Να υπολογιστούν οι µέσες πυκνότητες w m w e της ενέργειας του µαγνητικού του ηλεκτρικού πεδίου, αντίστοιχα. γ) Να βρεθεί το πραγµατικό διάνυσµα Ponting. α) Αφού η µετάδοση γίνεται στον ελεύθερο χώρο ( µ = µ, ε = ε ), η φασική σταθερά β δίνεται από την β = ω µ ε = π f µ ε =,93rad/m. () Το µήκος κύµατος λ, σύµφωνα µε τη (.4) είναι π c λ = 3, β = f µ ε = f = m, () όπου c µ ε 8 = = 3 m/s (3) είναι η ταχύτητα του φωτός στον αέρα. β) Αν η στιγµιαία τιµή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου έχει την έκφραση t () = cos( ωt+ ϕ), (4) τότε, η στιγµιαία τιµή we() t της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση we() t = ε () t (5) Από τις (4) (5), αν T = / f = π/ ω είναι η περίοδος του κύµατος, υπολογίζεται η µέση χρονική τιµή w e της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου 588

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ t+ T t+ T t+ T we = we() tdt= ε () tdt= cos( t ) dt T ε ω β + ϕ t T t T t (6) ε t T = [ + cos ( ωt β + ϕ)] dt = ε =, Jm 4T t 4 Ας σηµειωθεί ότι η (6) θα µπορούσε, επίσης, να προκύψει κατευθείαν από τη σχέση we = εrms, (7) όπου rms = (8) είναι η ενδεικνύµενη (ενεργός) τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης. Με ακριβώς ανάλογους συλλογισµούς υπολογίζεται ότι η µέση χρονική τιµή w m της πυκνότητας ενέργειας του µαγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση όπου wm = H t dt = H t + dt = H T T 4 Η (9), επειδή, λόγω των (.68) (.7), έχουµε t+ T t+ T µ () µ cos( ω ϕ ) µ t t (9) η µ = η H, () είναι η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού, γράφεται = π 377 Ω () ε ε wm = µ = ε = w =, Jm -3 () e µ Από τις (6) () παρατηρούµε ότι, σ ένα χώρο χωρίς απώλειες η µέση τιµή της πυκνότητας της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίση µε τη µέση τιµή πυκνότητας της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου. γ) Αν w e w m της () t = cos( ωt β + ϕ) (3) H() t = H cos( ωt β + ϕ) = cos( ωt β + ϕ), (4) η 589

16 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ είναι οι εκφράσεις των στιγµιαίων τιµών των εντάσεων του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα, το πραγµατικό διάνυσµα Ponting, σύµφωνα µε τη (.83), είναι ή P = H = +, η cos ( ωt β ϕ) P = ( + cos( ωt β + ϕ) ) (5) η Από τη (5) παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή P ma του διανύσµατος Ponting είναι ενώ η µέση χρονική τιµή του P ma = =, 65 nw/m, (6) η P Pma = = =, 35 nw/m (7) η Στα ίδια αποτελέσµατα µπορούµε να καταλήξουµε µε τη βοήθεια του µιγαδικού διανύσµατος Ponting ( S c = H ), (8) όπου H είναι τα αντίστοιχα µιγαδικά διανύσµατα H ο συζυγής µιγάδας του H. Πράγµατι, από τη (.87) τη (8) έχουµε j t P = Re( H ) + Re( H e ω ), (9) ή, λόγω των (), (3) (4), ( ) Re e j t P = + ( ) η ( ω β + ϕ) η = + + η δηλαδή, καταλήγουµε πάλι στη (5). ( cos( ωt β ϕ) ) () 59

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να υπολογιστούν οι προσεγγιστικές τιµές της σταθεράς απόσβεσης α, της φασικής σταθεράς β, της φασικής ταχύτητας υ p του µήκους κύµατος λ, για συχνότητα 8 f = H, σ ένα µέσο µε µαγνητική διαπερατότητα µ = µ στις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: α) Ειδική αγωγιµότητα β) Ειδική αγωγιµότητα 5 σ = S/m σχετική διηλεκτρική σταθερά ε = σ = S/m σχετική διηλεκτρική σταθερά r, 6 r ε = α) Στην περίπτωση αυτή ισχύει η 5 σ 8 9 = = >> ωε π (/36 π) έχουµε δηλαδή διάδοση σε καλό αγωγό. 4 3,4, () Οι εκφράσεις (.4) (.5) της σταθεράς απόσβεσης α της φασικής σταθεράς β, καταλήγουν στις εκφράσεις της σχέσης (.66) από την οποία προκύπτει µε σ ωµσ 3 α = ω 6,83 + = ωε Np/m, () µε σ ωµσ β = ω α 6, = ωε 3 rad/m (3) Από τις σχέσεις (.68), (.69) την (3) υπολογίζεται η φασική ταχύτητα το µήκος κύµατος λ υ p υ p ω πf ω β β µσ 5 = = = = m/s, (4) β) Στη δεύτερη περίπτωση ισχύει η λ π π β ωµσ 3 = = = m (5) σ = = 8 9 ωε π (/36 π),6 6, 48, (6) 59

18 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ έχουµε δηλαδή διάδοση κύµατος σε καλό διηλεκτρικό. Από τις (.4), (.5), (.6), (.6), (.63) (.64) υπολογίζεται η σταθερά απόσβεσης α, η φασική σταθερά β, η φασική ταχύτητα υ p το µήκος κύµατος λ µε σ σ µ α = ω,67 + = ωε ε 8 Np/m, (7) µε σ β = ω ω µε 3, = ωε rad/m, (8) υ ω πf β β µε 8 p = = = =, 86 m/s, (9) π π λ = = = =, 86 m () β ω µε f µε.3 Να αποδειχτεί ότι η γενική µορφή του επίπεδου κύµατος ψ = ψe γ ανάγει τις εξισώσεις του πεδίου σ ένα µέσο χωρίς φορτία, στις γn = jωb, γn H = J + j ωd, γn B =, γn D =, Να επαληθευτεί, επίσης, η ισχύς της σχέσης n n nr, γ = ω µε+ jωµσ Θεωρούµε ότι τα στρεφόµενα µιγαδικά διανύσµατα H της ηλεκτρικής µαγνητικής πεδιακής έντασης έχουν, αντίστοιχα, τις εκφράσεις e γ nr = () e γ nr H = H, () όπου, H διανύσµατα, εν γένει µιγαδικά, ανεξάρτητα όµως των συντεταγµένων. Οι στιγµιαίες, συνεπώς, εκφράσεις των διανυσµάτων H, είναι 59

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ j t { e + ω γ nr } = Re (3) j t { e + ω γ nr } H = Re H (4) Αν πάρουµε τη στροφή στα δύο µέλη της () λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (.86), έχουµε = ( e ) = e + e ( ) (5) γ nr γ nr γ nr Η (5), επειδή ισχύουν οι =, (6) (διάνυσµα ανεξάρτητο των συντεταγµένων,, ) γράφεται ως e γnr = γn e (7) γnr ή, λόγω της (), = ( γne ) = γn ( e ) (8) γnr γnr = γn (9) Αν, τώρα, πάρουµε την απόκλιση στα δύο µέλη της () λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (.84), έχουµε = ( e ) = e + e () γράφεται Η (), λόγω της (7) της γ nr γ nr γ nr =, () ή γ e γ nr n, = = γn () Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, από την () προκύπτουν οι αντίστοιχες προς τις (9) () σχέσεις H = γn H (3) 593

20 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ H = γn H (4) Από τις (9), (), (3), (4) τις εξισώσεις Mawell προκύπτουν οι ζητούµενες σχέσεις. Πράγµατι: α) Από τη δεύτερη εξίσωση (.3) του Mawell σε µιγαδική µορφή την (9), έχουµε =jωb (5) γn = jωb (6) β) Από την πρώτη εξίσωση (.3) του Mawell H = J + jωd (7) την (3), έχουµε γ) Από την τρίτη εξίσωση (.3) του Mawell γn H = J + jωd (8) την (4), που γράφεται, επίσης, ως B = (9) B = µ H = µ H = γ n µ H = γn B, () έχουµε Mawell γn B = () δ) Τέλος, σ ένα µέσο χωρίς φορτία ( ρ = ), από την τέταρτη εξίσωση (.33) του την (), που γράφεται, επίσης, ως D = () D = ε = γn ε = γn D, (3) έχουµε γn D = (4) Για την απόδειξη της τελευταίας σχέσης της εκφώνησης, αν πολλαπλασιάσουµε εξωτερικά µε το διάνυσµα n τα δύο µέλη της (6), έχουµε n ( γn ) = n ( jωb ), (5) 594

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή γn ( n ) = jωn B = jωµ n H, (6) ή, λόγω της (8), jωµ γn ( n ) = ( J + jωd ) γ (7) Το πρώτο µέλος της (7), αν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα A ( B C) = ( A C) B( A B) C, (8) γράφεται γn ( n ) = γn( n ) γ ( n n), (9) ή, επειδή το εσωτερικό γινόµενο ( n ) είναι ίσο µε µηδέν αφού τα διανύσµατα n είναι κάθετα (επίπεδο κύµα), γn ( n ) =γ ( n n) (3) Με εξίσωση των δεξιών µελών, των (7), (3) αφού λάβουµε υπόψη τις καταστατικές σχέσεις J = σ D = ε, προκύπτει η jωµ γn ( n) = ( σ + jωε ) γ, (3) ή, µε απλοποίηση ως προς, η που είναι η ζητούµενη σχέση. n n, (3) γ ( ) = ω µε+ jωµσ 595

22 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ.4 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση ενός ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, που εκτείνεται στον ελεύθερο κενό χώρο, δίνεται από τη σχέση = cos ωt sin k cos k ( ) ( ) ( ) όπου k + k = ω µ ε, το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα. Ζητείται: α) Να αποδειχθεί ότι το πεδίο αυτό µπορεί να προκύψει από την υπέρθεση τεσσάρων επίπεδων κυµάτων. β) Να βρεθεί η έκφραση της στιγµιαίας µιγαδικής τιµής της µαγνητικής πεδιακής έντασης H στην τυχούσα θέση (,, ). ίνεται ότι η στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης H τη χρονική στιγµή t = είναι µηδενική. α) Από την έκφραση της στιγµιαίας τιµής της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης προκύπτει η έκφραση της αντίστοιχης µιγαδικής τιµής: ή Η (), µε βοήθεια των σχέσεων j t { ( k ) cos( ke ) ω } = Re sin, () = sin cos () j t ( k ) ( ke ) ω γράφεται ja ja ja ja e e e + e sina = cosa =, (3) j jk jk jk jk e e e + e = j, jk ( + k ) jk ( k ) jk ( k ) jk ( + k ) ή = j5 e + e e e (4) Από την (4) διαπιστώνουµε, εύκολα, ότι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση µπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των τεσσάρων επίπεδων κυµάτων που διαδίδονται παράλληλα προς τα διανύσµατα ± k ± k 596

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ jk ( + k π ) jk ( k π ) = 5 e, = 5 e, jk ( k π ) jk ( + k π ) 3 = 5 e, 4 = 5 e, (5) Οι αντίστοιχες στιγµιαίες τιµές των ηλεκτρικών πεδιακών εντάσεων των τεσσάρων επιµέρους κυµάτων δίνονται από τις: { jωt e } 5 sin( ωt k k) { jωt e } 5 sin( ωt k k) j t { ω e } 5 sin( ωt k k) j t { ω e } 5 sin( ωt k k) = Re = + + = Re = + 3 = Re 3 = + 4 = Re 4 = (6) Με βάση τις σχέσεις αυτές, η δοθείσα έκφραση της στιγµιαίας τιµής γράφεται µε τη µορφή (, t) = 5 sin( ωt + k + k ) + sin( ωt + k k ) r ( ωt k k) sin( ωt k k) sin + (7) Σηµείωση: Στην (7), µπορούµε, επίσης, να καταλήξουµε µε τη βοήθεια της τριγωνοµετρικής σχέσης: sin( α+ β) + sin( α β) = sin αcos β. Πράγµατι, µε βάση τη σχέση αυτή, η δοθείσα στην εκφώνηση στιγµιαία τιµή της έντασης γράφεται διαδοχικά (, t) = cos( ωt) sin( k ) cos( k ) r που ταυτίζεται µε την (7). ( ωt) ( k k) ( k k) ( ) ω ( ) ( ωt k k) sin( ωt k k) ( ωt k k ) sin( ωt k k ) = cos sin + + sin = sin k k cos t sin k k cos ωt + +, = 5sin sin + β) Για την απάντηση στο ο ερώτηµα της άσκησης, από την η εξίσωση (.) του Mawell, την καταστατική εξίσωση B = µ H, επειδή =, έχουµε B H = =, t t µ ή 597

24 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ H = +, (8) t µ µ δηλαδή H t k = = µ µ ( k) ( k) ( ωt) sin sin cos, (9) H k = = t µ µ ( k) ( k) ( ωt) cos cos cos () Από τις (9) () µε ολοκλήρωση, αφού οι σταθερές ολοκλήρωσης ληφθούν ίσες µε µηδέν επειδή για t =, H () = H () =, προκύπτει η ζητούµενη στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης H ( r, t) = k sin( k) sin( k) sin ωt + k cos( k) cos( k) sin ωt ωµ () j t Η αντίστοιχη µιγαδική τιµή, επειδή H = Re{ He ω }, δίνεται, από την j H = k sin( k) sin( k) + k cos( k) cos( k) ωµ () Είναι προφανές ότι στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε συντοµότερα µε άµεση αντικατάσταση της µιγαδικής ηλεκτρικής πεδιακής έντασης από την () στην εξίσωση του Mawell, υπό µιγαδική µορφή, =jωµ H, από την οποία προκύπτει η ή j j H = = ωµ ωµ, j H = k sin( k) sin( k) + k cos( k) cos( k) ωµ, δηλαδή, προκύπτει πάλι η (). 598

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5 Επίπεδο κύµα συχνότητας f 8 = (3/ π) H, διαδίδεται στον άπειρο κενό χώρο, παράλληλα προς την κατεύθυνση του διανύσµατος a = , όπου,, είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τις τρεις θετικές διευθύνσεις,, ενός ορθογωνίου καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων O. Οι µιγαδικές εκφράσεις των εντάσεων του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου, στην αρχή των αξόνων, είναι οι ακόλουθες j 4 = ( λ + 4 ) e π V/m j = + 3 η ( λ λ ) e π H A/m όπου η είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του κενού λ, λ, λ 3 προσδιοριστέες σταθερές. Ζητούνται: α) Οι µιγαδικές εκφράσεις των εντάσεων H στο τυχόν σηµείο P(,, ) του χώρου. β) Η πραγµατική τιµή (στιγµιαία τιµή) των εντάσεων H στο τυχόν σηµείο του χώρου. γ) Η µέση χρονική τιµή της ηλεκτροµαγνητικής ισχύος που διέρχεται από την επιφάνεια ενός τετραγώνου πλευράς µήκους l = 4 m που ορίζεται από τις ακόλουθες συντεταγµένες των τεσσάρων κορυφών του: (,,3), (,-,3), (-,,3) (-,-,3). Από τα δεδοµένα της εκφώνησης είναι προφανές ότι έχουµε περίπτωση διάδοσης επίπεδου κύµατος κατά την τυχούσα διεύθυνση n, όπου n είναι µοναδιαίο διάνυσµα παράλληλο οµόρροπο προς το a δηλαδή n Αν = + + a a = = = a + a + a a ( ) n = ( ) () 4 r, είναι το διάνυσµα θέσης του τυχόντος σηµείου P(,, ), οι µιγαδικές εκφράσεις των εντάσεων H έχουν τη µορφή () j e β n = r, 599

26 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ όπου η φασική σταθερά β δίνεται από την H H (3) j e β n = r Άρα β = ω µ ε = πf = π = rad/m (4) c π j j( ) = e n = e + + r (5) 3 3 j j( ) = e n = e + + r H H H (6) Όµως τα διανύσµατα H που είναι κάθετα µεταξύ τους, καθώς επίσης στο n, συνδέονται µε τη σχέση H = n (7) η Με αντικατάσταση των H, από την εκφώνηση του n από την () προκύπτει, διαδοχικά ή λ λ ( 4 ) η + = + + η λ +, ή δηλαδή λ + λ 3 = λ 3 + λ 4 4, λ = λ, λ 3 = 3, λ = 6, (8) 3 4 λ = 6, 3 λ =, 3 3 λ = (9) Συνεπώς, οι εκφράσεις των, H της εκφώνησης µετά την αντικατάσταση των τι- µών λ, λ, λ 3 από την (9) γράφονται j 4 = ( ) e π V/m () j 4 H = 3 e π η A/m () 6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από τις (5) (6), λόγω των () () έχουµε τις ακόλουθες µιγαδικές εκφράσεις των H 3 j 3 ( + + 4) = ( ) e π, () j( + + π 4) H = 3 e η (3) όπου η µ = πω (4) ε β) Οι ζητούµενες στιγµιαίες τιµές προκύπτουν από τις ( r, t) = Re{ () r e jωt } H ( r, t ) = Re{ H () r e jωt }, (5) που, λόγω των () (3), δίνουν 3 3 π ( r, t) = ( ) cos ωt + 4 (6) H ( π, t) = 3 cos ωt η + 4 (7) γ) Η µέση χρονική τιµή της πυκνότητας της ακτινοβολούµενης ισχύος δίνεται από το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Ponting ή δηλαδή, * { c } Re { } P = Re S = H, (8) P = ( 6 + 4) 3 η P = ( ) W/m (9) η Το ίδιο αποτέλεσµα, φυσικά, προκύπτει από τη γνωστή σχέση ( 6) P = n = η η

28 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ Τελικά, η ζητούµενη ισχύς W είναι 4 4 η W = P ds= P dd = n = + + = = η η η ή W ( ) δηλαδή W =, 8 W ().6 Κατά τη διάδοση ενός επίπεδου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε µια θαλάσσια περιοχή µεγάλου βάθους µε διεύθυνση διάδοσης κάθετη προς την ελεύθερη επίπεδη επιφάνεια της θάλασσας, παρατηρείται εξασθένιση των µεγεθών του πεδίου λόγω της αγωγιµότητας του θαλασσινού νερού. Λόγω του πολύ µεγάλου βάθους αγνοούνται οι τυχόν ανακλάσεις από τον πυθµένα της θάλασσας. Αν s είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (µέγιστη στιγµιαία τιµή) στην κάτω όψη της ελεύθερης επιφάνειας f = 5 kh είναι η συχνότητα του διαδιδόµενου κύµατος, ζητούνται: α) Να βρεθεί το βάθος h στο οποίο τα πεδιακά µεγέθη H υφίστανται απόσβεση ίση προς το 9% της τιµής τους στην επιφάνεια. β) Να βρεθεί η µέση χρονική τιµή της επιφανειακής πυκνότητας ισχύος, ως ποσοστό της πυκνότητας ισχύος ακριβώς κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια, που διαδίδεται στο πιο πάνω βάθος h. γ) Αφού βρεθεί η έκφραση της πυκνότητας απωλειών Joule σ ένα βάθος από την επιφάνεια της θάλασσας, να βρεθούν στη συνέχεια οι συνολικές απώλειες Joule σ έναν κύλινδρο µε άξονα παράλληλο προς τη διεύθυνση διάδοσης, που η πάνω του βάση, µοναδιαίου εµβαδού, βρίσκεται στην επιφάνεια της θάλασσας που έχει ύψος h. Να γίνει επαλήθευση του αποτελέσµατος µε εφαρµογή του θεωρήµατος Ponting. ίνεται ότι η µαγνητική διαπερατότητα του θαλασσινού νερού είναι µ = µ, ενώ η ειδική αγωγιµότητα σ η σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r = 8 ε είναι, αντίστοιχα, σ = 5 S/m r 6

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ h H P Σχήµα -3 Αν θεωρήσουµε ότι η επιφάνεια της θάλασσας συµπίπτει µε το επίπεδο O ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων (σχήµα -3), του οποίου οι άξονες έχουν τις διευθύνσεις των πεδιακών εντάσεων H, αντίστοιχα, ενώ ο, κάθετος προς την ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας, άξονας διευθύνεται προς το βυθό, τότε, οι εκφράσεις των δύο εντάσεων, λόγω της αγωγιµότητας του θαλασσινού νερού, είναι της µορφής α jβ = e s e () όπου α jβ = He s e () H είναι η σταθερά απόσβεσης, είναι η φασική σταθερά διάδοσης, / µε σ α = ω,7 + = ωε Nπ/m (3) / µε σ β = ω + + α =,7 ωε rad/s (4) H s είναι η µέγιστη στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης, που λόγω των (.53) (.54), σχετίζεται µε την s µέσω της σχέσης s s j Hs e θ = = (5) η η 63

30 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ α) Το ζητούµενο βάθος h στο οποίο παρατηρείται απόσβεση 9% προκύπτει, λόγω της () (ή της ()), από την ή e αh s = s, δηλαδή h e α =, (6) ln h = = 3, 78 m (7) α β) Η µέση χρονική τιµή της πυκνότητας ακτινοβολίας υπολογίζεται από το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού διανύσµατος Ponting ή * j α β s α jβ jθ P = Re{ Sc} = Re{ H} = Re ( se e ) e e e, η Συνεπώς, για = = h, έχουµε P = e α s cos θ (8) η P θ η = cos (9) = s P e α θ η = h s cos () = h Από τις (9) (), αν λάβουµε υπόψη την (6) συµπεραίνουµε ότι P P = h = αh = e = = () αh ( e ) ή γ) Η πυκνότητα των απωλειών Joule, σ ένα βάθος, υπολογίζεται από τη σχέση pj = ( J ) = ( J J) = σ ( ), () σ 64

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ σ α jβ α jβ σ α pj = ( e s e e s e ) = se W/m 3 (3) Οι απώλειες, συνεπώς, Joule στον όγκο ψους h είναι ή V k του κυλίνδρου µοναδιαίας βάσης ύ- σ h α WJ = pj dv = pj ddd = s e d Vk Vk, σ h WJ = s ( e α ) (4) 4α Η (4), µπορεί να επαληθευθεί µε τη βοήθεια του θεωρήµατος Ponting. Προκειµένου, λοιπόν, να αποδείξουµε ότι P d S = WJ (5) Sk όπου S k η επιφάνεια του κυλίνδρου, η πυκνότητα P, που δίνεται από την (8), µπορεί να γραφεί µε τη µορφή όπου s e α P = Re, (6) η jθ jωµ jωµ jωµ η = η e = = = σ + jωε γ α+ jβ (7) είναι η µιγαδική χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου, σταθερά διάδοσης. Από τη (7) έχουµε α+ jβ = = ( β jα), η jωµ ωµ ή γ = α+ jβ η β Re = η ωµ Αντικατάσταση της (8) στην (6) δίνει (8) β e α ωµ P s = (9) 65

32 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ Λόγω της (9), επειδή η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου δεν συµβάλλει στο επιφανειακό ολοκλήρωµα της (5), αυτό γράφεται βs h P d S= P P = ( e α = = h ) Sk ωµ () Από τις (.) (.3), όµως, έχουµε ή ή δηλαδή γ = jωµ ( σ + jωε) = ( α + jβ) = α β + jαβ, ω µε+ jωµσ = α β + jαβ, αβ = ωµσ, β σ = () µω 4α Αντικατάσταση της () στην (), ξαναδίνει την (4), επαληθεύοντας, έτσι, την ισχύ του θεωρήµατος Ponting..7 ύο επίπεδα µονοχρωµατικά γραµµικά πολωµένα κύµατα της ίδιας συχνότητας διαδίδονται κατά µήκος του άξονα. Το πρώτο κύµα είναι πολωµένο κατά τον άξονα έχει πλάτος a, ενώ το δεύτερο είναι πολωµένο κατά τον άξονα έχει πλάτος b. Η φασική γωνία του δεύτερου κύµατος προπορεύεται ως προς το πρώτο κατά ϕ. Να προσδιοριστεί το είδος της πόλωσης του συνιστάµενου κύµατος. Ειδικότερα, για την περίπτωση όπου a = b να καθοριστεί το είδος της πόλωσης η φορά περιστροφής του συνιστάµενου κύµατος για ϕ =, ϕ = π, ϕ = π/ ϕ = π/. Ας θεωρήσουµε, στη θέση =, τα δύο κύµατα = acos ωt () 66

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ = bcos( ωt + ϕ) θ = acos ωt Σχήµα -4 = bcos( ωt + ϕ), () πολωµένα κατά τους άξονες, αντίστοιχα. -4) Το συνιστάµενο κύµα που προκύπτει από την υπέρθεση των (σχήµα = + = +, (3) όπου () t = acosωt (4) () t = bcos( ωt + ϕ) (5) είναι ελλειπτικά πολωµένο. Η εξίσωση της έλλειψης πόλωσης, σύµφωνα µε την (.8) είναι η cosϕ a ab b + = sin ϕ, (6) ενώ η γωνία θ () t του συνισταµένου κύµατος µε τον άξονα κατά την τυχούσα χρονική στιγµή t δίνεται, σύµφωνα µε την (.8) από την bcos( ωt + ϕ) tan θ =. (7) acos ωt Όταν a = b, οι (3), (6) (7) γράφονται, αντίστοιχα = acos ωt + acos( ωt + ϕ), (8) 67

34 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ cosϕ+ = a sin ϕ (9) cos( ωt + ϕ) tan θ = () cos ωt Από τις (8), (9), () συµπεραίνουµε τα εξής για τις διάφορες ειδικές τιµές της φασικής γωνίας ϕ α) Αν ϕ =, = acos ωt + acos ωt, () = = acos ωt, () tan θ = (ή π θ = ), (3) 4 δηλαδή, έχουµε ένα γραµµικά πολωµένο κύµα. Το επίπεδο πόλωσης περιλαµβάνει τον ά- ξονα τη διχοτόµο της γωνίας των αξόνων στο πρώτο ( τρίτο) τεταρτη- µόριο. β) Αν ϕ = π, = acos ωt acos ωt, (4) = = acos ωt, (5) tan θ = (ή π θ = ), (6) 4 δηλαδή, έχουµε πάλι ένα γραµµικά πολωµένο κύµα. Το επίπεδο πόλωσης περιλαµβάνει τον άξονα τη διχοτόµο της γωνίας των αξόνων στο δεύτερο ( τέταρτο) τεταρτηµόριο. γ) Αν ϕ = π/, = acos ωt asin ωt, (7) = acos ωt, (8) = asin ωt, (9) tan θ = tan ωt (ή θ = ωt ), () δηλαδή, έχουµε ένα κυκλικά πολωµένο κύµα. Το συνιστάµενο διάνυσµα έχει σταθερό µέτρο a περιστρέφεται κατά την αρνητική φορά (ωρολογιακή) περιστροφής. 68

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ δ) Αν ϕ = π/, = acos ωt + asin ωt, () = acos ωt, () = asin ωt, (3) tan θ = tan ωt (ή θ = ωt ), (4) δηλαδή, έχουµε πάλι ένα κυκλικά πολωµένο κύµα. Στην περίπτωση αυτή, το συνιστά- µενο διάνυσµα που έχει σταθερό µέτρο a, περιστρέφεται κατά τη θετική (ανθωρολογιακή) φορά περιστροφής..8 ίνεται το ελλειπτικά πολωµένο επίπεδο κύµα (,) t = cos( ωt β) + cos( ωt β+ ϕ), που διαδίδεται κατά τα θετικά (όπου,,ϕ είναι σταθερές, β η φασική σταθερά ω η σταθερή κυκλική συχνότητα). Αν θ () t είναι η γωνία µεταξύ του διανύσµατος του θετικού ηµιάξονα, να δειχτεί ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του διανύσµατος είναι θ() [ ( d/ dt) ] ω sinϕ = = dt cos ( ωt β) + cos ( ωt β + ϕ) d t Αν είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος (σχήµα -5) κατά τους άξονες, αντίστοιχα, η γωνία θ () t δίνεται, προφανώς, από τη σχέση θ () t = arctan, () όπου = cos( ωt β) () cos( ) = ωt β + ϕ (3) 69

36 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ θ() t Σχήµα -5 Παραγώγιση ως προς t της () δίνει d d d () dθ t dt = dt dt = dt + + (4) Η (4), επειδή ισχύουν οι = =, =, =, συνεπώς, η d d d d d = ( + ) + = dt dt dt dt dt (5) γράφεται d d d dθ() t dt dt dt = = dt + (6) Με αντικατάσταση των εκφράσεων των συνιστωσών στην (4) προκύπτει από τις () (3), 6

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ dθ() t ω cos( ωt β)sin( ωt β + ϕ) = dt cos ( ωt β) + cos ( ωt β + ϕ) ω sin( ωt β)cos( ωt β + ϕ) + cos ( ωt β) + cos ( ωt β + ϕ) Η (7), αν λάβουµε υπόψη την τριγωνοµετρική ταυτότητα (7) sin( α β) = sin αcos β sin βcos α, (8) γράφεται ή dθ() t ω sin [( ωt β + ϕ) ( ωt β) ] = dt cos ( ωt β) cos ( ωt β ϕ) + +, (9) dθ() t ω sinϕ = dt cos ( ωt β) + cos ( ωt β + ϕ) () Με εξίσωση των δεξιών µελών των (6) () αποδεικνύεται η ζητούµενη σχέση dθ() t [ ( d/ dt) ] ω sinϕ = = () dt cos ( ωt β) + cos ( ωt β + ϕ) Από την () παρατηρούµε, εύκολα, ότι αν < ϕ < π, η φορά περιστροφής του διανύσµατος είναι η ωρολογιακή. Αντίθετα, για π < ϕ < το διάνυσµα περιστρέφεται κατά την ανθωρολογιακή φορά. Επίσης, από την () µπορούµε να ακόµα να συµπεράνουµε ότι το διάνυσµα σαρώνει ίσα εµβαδά σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Πράγµατι, επειδή το στοιχειώδες εµβαδόν ds που σαρώνει το διάνυσµα από τη χρονική στιγµή t µέχρι τη χρονική στιγµή t + dt, είναι ds = dθ() t, () η ταχύτητα σάρωσης, δηλαδή το ανά µονάδα χρόνου σαρωνόµενο εµβαδόν, είναι ds dθ = = ω sinϕ, (3) dt dt που έχει σταθερή τιµή ανεξάρτητη του χρόνου t. 6

38 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ.9 Να διερευνηθούν δυνατές καταστάσεις πόλωσης των µιγαδικών διανυσµατικών συναρτήσεων G, G που εξαρτώνται µόνον από τις χωρικές συντεταγµένες,,, ώστε η σχέση G G = (χωρική ορθογωνικότητα στο πεδίο της συχνότητας) να συνεπάγεται τη jωt jωt σχέση Re{ G e } Re{ G e } = (χωρική ορθογωνικότητα στο χώρο στο πεδίο του χρόνου), αντίστροφα. Τα διανύσµατα G G, στο πεδίο της συχνότητας, έχουν εκφράσεις της µορφής G, () jϕ jϕ jϕ = G e + G e + G e G, () jϕ jϕ jϕ = Ge + Ge + Ge όπου,, είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τους άξονες,, αντίστοιχα, G, G, G, G, G, G, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, πραγµατικά βαθµωτά µεγέθη, που, δυνατόν, να εξαρτώνται από τις συντεταγµένες,,. Το εσωτερικό γινόµενο των G, G, είναι, συνεπώς, G (3) j( ϕ ) ( ) ϕ j ϕ + ϕ j( ϕ ϕ) G = G Ge + + G Ge + G Ge + Για να έχουµε χωρική ορθογωνικότητα στο πεδίο της συχνότητας, πρέπει τόσο το πραγµατικό όσο το φανταστικό µέρος στο δεξιό µέλος της (3) να είναι ίσα µε µηδέν, πρέπει δηλαδή να ισχύουν οι G G cos( ϕ + ϕ ) + G G cos( ϕ + ϕ ) + G G cos( ϕ + ϕ ) =, (4) G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) = (5) Για να έχουµε χωρική ορθογωνικότητα στο πεδίο του χρόνου, πρέπει να ισχύει η ή, λόγω των () (), η jωt jωt { Ge } { Ge } Re Re =, (6) G G cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ ) + G G cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ ) + G G cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ ) = (7) Αµέσως παρατηρούµε ότι, αν ισχύουν οι ϕ = ϕ = ϕ (8) 6

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ϕ = ϕ = ϕ, (9) δηλαδή, αν τα G, G είναι γραµµικά πολωµένα, οι εξισώσεις (4), (5) (7) καταλήγουν στην ίδια συνθήκη G G + G G + G G = () Ώστε, λοιπόν, στην περίπτωση όπου τα G, G είναι γραµµικά πολωµένα ( ϕ ϕ ϕ = = ϕ = ϕ = ϕ ), η χωρική ορθογωνικότητα στο πεδίο της συχνότητας, συνεπάγεται τη χωρική ορθογωνικότητα στο πεδίο του χρόνου αντίστροφα. Η πιο πάνω περίπτωση δεν είναι η µοναδική. Για να διερευνήσουµε άλλες δυνατές περιπτώσεις, µετασχηµατίζουµε τις εκφράσεις στο πεδίο του χρόνου, µε τη βοήθεια των απλών τριγωνοµετρικών σχέσεων cos αcos β = [cos( α+ β) + cos( α β)], () Έτσι, έχουµε cos( α+ β) = cos αcos β sin αsin β () cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ) = [cos( ωt + ϕ + ϕ) + cos( ϕ ϕ)] = [cos ωt cos( ϕ + ϕ ) sin ωt sin( ϕ + ϕ ) + cos( ϕ ϕ )] Αντίστοιχες προς την (3) σχέσεις προκύπτουν για τους όρους: cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ) cos( ωt + ϕ )cos( ωt + ϕ). Με βάση τις εκφράσεις αυτές, η (6) (ή η (7)), µε απλή αναδιάταξη των όρων, γράφεται Re jωt jωt { G e } Re{ G e } cos ωt{ G G cos( ϕ ϕ ) G G cos( ϕ ϕ ) G G cos( ϕ ϕ ) } = sin ωt G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) + { G G cos( ϕ ϕ) + G G cos( ϕ ϕ) + G G cos( ϕ ϕ ) } { } Η (4) ισχύει για κάθε χρονική στιγµή εάν, µόνον εάν, κάθε µια από τις παραστάσεις που βρίσκονται στις αγκύλες είναι ίση µε µηδέν. Εάν, δηλαδή, ισχύουν οι (3) (4) 63

40 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ G G cos( ϕ + ϕ ) + G G cos( ϕ + ϕ ) + G G cos( ϕ + ϕ ) =, (5) G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) + G G sin( ϕ + ϕ ) =, (6) G G cos( ϕ ϕ ) + G G cos( ϕ ϕ ) + G G cos( ϕ ϕ ) = (7) Επειδή οι (5) (6) συµπίπτουν µε τις (4) (5), αντίστοιχα, συµπεραίνουµε ότι αν ισχύουν οι (5) (6) εκτός από την ορθογωνικότητα στο πεδίο του χρόνου θα έχουµε ορθογωνικότητα στο πεδίο της συχνότητας. Μένει, λοιπόν, να καθορίσουµε τις συνθήκες υπό τις οποίες ισχύει η (7). Προς το σκοπό αυτό, παρατηρούµε ότι αν ένα από τα δύο διανύσµατα είναι γραµµικά πολωµένο, η αντίστοιχη φασική συνάρτηση µπορεί να τεθεί ίση µε µηδέν καθιστώντας έτσι την πρώτη την τρίτη παρένθεση ακριβώς ίδιες. Π. χ. αν το G είναι γραµµικά πολωµένο, µπορούµε να θέσουµε οπότε οι (5) (7) καταλήγουν στην ϕ = ϕ = ϕ =, (8) G G cosϕ + G G cosϕ + G G cosϕ =. (9) Βλέπουµε λοιπόν ότι: Αν ένα µόνο διάνυσµα είναι γραµµικά πολωµένο, η ορθογωνικότητα στο πεδίο συχνοτήτων ( G G = ) συνεπάγεται την ορθογωνικότητα στο πεδίο του χρόνου jωt jωt ( Re{ G e } Re{ G e } = ) αντίστροφα. Τέλος, µπορούµε ακόµη να παρατηρήσου- µε, ότι στις περιπτώσεις όπου ισχύουν οι n + ϕ ϕ = π, () n + ϕ ϕ = π, () n + ϕ ϕ = π, () όπου n, n, n ακέραιοι, η (7) ικανοποιείται αυτόµατα, οπότε η G G =, συνεπάγεται την Re{ G e } Re{ G e } = jωt jωt αντίστροφα. 64

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οµοιόµορφο επίπεδο κύµα συχνότητας f = GH διαδίδεται κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα σ ένα µέσο άπειρης έκτασης διηλεκτρικής σταθεράς ε = 6ε, µαγνητικής διαπερατότητας µ = µ ειδικής αγωγιµότητας 6 σ = S/m. Το κύµα είναι κυκλικά πολωµένο µε αρνητική (ωρολογιακή) φορά περιστροφής για t =, = η ηλεκτρική πεδιακή ένταση είναι προς τη θετική διεύθυνση του ηµιάξονα έχει µέτρο V/m. Ζητούνται: α) Να γραφεί η γενική έκφραση της µιγαδικής παράστασης της στιγµιαίας τιµής της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης. β) Να υπολογιστεί η φασική σταθερά διάδοσης β, η σταθερά απόσβεσης α, το βάθος διείσδυσης δ η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση η. Επίσης, να υπολογιστεί το µήκος κύµατος λ η φασική ταχύτητα υ p, τόσο για διάδοση στο εν λόγω αγώγιµο µέσο, όσο για διάδοση σ ένα διηλεκτρικό µέσο µε την ίδια διηλεκτρική σταθερά ( ε = 6ε ) µαγνητική διαπερατότητα ( µ = µ ) αλλά µηδενική αγωγιµότητα ( σ = ). γ) Να βρεθούν οι µέσες απώλειες ισχύος, η µέση πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου, η µέση πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου, να γίνει ισολογισµός σ έναν κύλινδρο µε άξονα µοναδιαίου µήκους παράλληλο προς τον άξονα µε βάση µοναδιαίου εµβαδού. α) Επειδή το κυκλικά πολωµένο κύµα ( = =, ϕ = π/) διαδίδεται σε µέσο µε απώλειες ( γ = α+ jβ) κατά τη διεύθυνση του θετικού ηµιάξονα, η στιγµιαία έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης δίνεται από την α α (, t) = e cos( ωt β + ϕ) + e cos ( ωt β + ϕ + π/) () ίνεται, όµως, ότι για t =, =, Έχουµε, συνεπώς, (, ) =, () cosϕ + cos ( ϕ+ π/) =, ή cos ( ϕ± π/) = cosϕ = 65

42 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ δηλαδή ϕ =, = V/m (3) Λόγω των () (3), οι ζητούµενες στιγµιαίες µιγαδικές εκφράσεις της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης δίνονται, αντίστοιχα, από τις α α ( t, ) = e cos( ωt β) + e cos ( ωt β+ π/), (4) (5) π π j j β γ γ () α jβ = e + e e = e e + e β) Από την τιµή της παράστασης 6 σ = = ωε π 8, 854 6, 63, (6) παρατηρούµε ότι το µέσο διάδοσης µπορεί να χαρακτηρισθεί ως τέλειος αγωγός, οπότε ε- φαρµόζονται οι σχετικοί τύποι: µσω 4π π α β π = = = m =,987 m -, (7) δ α 6 = = 5, 33 m, (8) π π ωµ ωµ ωµ j j 4 4 η = j = ( + j) = e =,987( + j) =, 8e Ω, (9) σ σ σ υ π λ = = 3,6 µm () β ω β 5 π = = 3,6 m/s () σχέσεις Στην περίπτωση διηλεκτρικού µέσου χωρίς απώλειες ( σ = ) ισχύουν, προφανώς, οι υ d c µε ε µ ε ε 7 = = = = = 7, 5 m/s () r r c 4 υd λ d = = 7, 5 mm (3) f γ) Η µαγνητική πεδιακή ένταση H, λόγω της (.9) της (5), δίνεται από την 66

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή, επειδή / γ, B γ ( e γ H = = = + je ), (4) µ jωµ jωµ γ H = ( ) = ( ) (5) jωµ η Οι µέσες απώλειες ισχύος µπορούν να υπολογισθούν από το µιγαδικό διάνυσµα Ponting το οποίο, λόγω των (5) (5) δίνεται από την ή δηλαδή * c ( ) ( ) S = H = + + η, ( ) ( α α e e ) S = c η + = η +, e η j π α 4 Sc = e (6) Από το πραγµατικό φανταστικό µέρος της (6), έχουµε, αντίστοιχα Re { c } e α P = S = η (7) Im { c } e α Q = S = η (8) Επίσης, οι µέσες πυκνότητες w e w m των ενεργειών του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα, είναι * ( ) ( ) we e α α = ε = ε + = εe (9) 4 4 * ( H H) + α µ α wm = µ = µ e = e () 4 4 η η Η µέση πυκνότητα των απωλειών Joule είναι ( ) * * wj = J= σ = σe α () 67

44 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ Ο ενεργειακός ισολογισµός στον όγκο του κυλίνδρου γίνεται µε βάση τη µιγαδική διατύπωση του θεωρήµατος Ponting ή ( µ ) * jω c d = dv + S S dv S J V H H, () V P ds j Q ds wj dv j ( wm we ) dv (3) = + ω V V S = l = Σχήµα.6 Αν θεωρήσουµε ότι οι κατά τα συντεταγµένες των σηµείων των δύο βάσεων του κυλίνδρου (σχήµα -6) είναι, αντίστοιχα, = + l, τότε, από τις εκφράσεις των ολοκληρωµάτων α α α αl e dv = S e d = e { e } (4) V S α α α α e ds= e ds S( ) e ds S( ) α α α αl = S( e e ) = Se ( e ) (5) 68

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου S είναι το εµβαδό των βάσεων του κυλίνδρου l το ύψος του, τις (7), (8), (), έχουµε α S α αl P ds= e d = e ( e ) S η S (6) S η α S α αl Q ds= e d = e ( e ) S η S (7) S η σ α S α α αl wj dv = σ e dv = e ( e ) (8) V V Η (8), επειδή, λόγω των (7) (9), ισχύει η σ σ σ = = =, α µσω µω η γράφεται S α αl wj dv = e ( e ) (9) V η Η ισότητα των δεξιών µελών των εξισώσεων (6) (9) επαληθεύει τον ενεργειακό ισολογισµό των πραγµατικών µερών, δηλαδή ότι S { } (3) P ds= S ds = w dv Re c j S V Παρόµοια, από τις εκφράσεις των ολοκληρωµάτων (4), (5) τις (9), () έχουµε µ µ S η V 4 η α α α αl wm dv = e d = e ( e ) (3) V ε V 4α S α α αl we dv = ε e d = e ( e ) (3) V Για τον έλεγχο του ενεργειακού ισολογισµού στο φανταστικό σκέλος, από τις (3) (3) έχουµε ( ) α ( αl ω µ ω wm we dv Se e ) ε = V α η (33) Η εντός των αγκυλών παράσταση στο δεξιό µέλος της (33), αν λάβουµε υπόψη τις (9), (6) (7), γράφεται 69

46 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ ω µ ω µ ω σ ωε σ ε ε ε ωµ α = = η α σ α ω = α ωε ωε σ σ σ = = = αωε α µσω µω η σ Αντικατάσταση της (34) στην (33) δίνει (34) S α αl ω ( wm we ) dv = e ( e ) (35) V η Η ισότητα των δεξιών µελών των (7) (35) επαληθεύει τον ζητούµενο ισολογισµό { c } ω ( m e ) Q ds= Im d = w w dv S S S S V (36). Ο κυµατικός αριθµός k ενός µέσου χωρίς απώλειες (που ταυτίζεται ως γνωστόν για σ =, µε τη φασική σταθερά β ), δίνεται, συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω, από τη σχέση 7 3 k ω ω = () για την περιοχή συχνοτήτων: f f f, όπου f = MH f = GH. Να υπολογιστεί η φασική ταχύτητα υ p η ταχύτητα οµάδας υ g για f = ( f + f)/. Η φασική ταχύτητα υ p, σύµφωνα µε τη σχέση (.39), είναι, λόγω της (), υ p ω ω = = = β ω ω π f () ή, για τη θεωρούµενη περιοχή συχνοτήτων υ p 7 /( πf ) (3) Η ταχύτητα οµάδας υ g, όπως φαίνεται από τη σχέση (.85), δίνεται, λόγω της (), από τη σχέση υ g dω = = dk dk d k= k, (4) ( / ω) ή 6

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ υ g = = d 7 3 ( ω ω) ω dω 7 3 Η (5), για τη θεωρούµενη περιοχή συχνοτήτων καταλήγει στην (5) 7 υ = g 7 3 4π f (6) 4πf Από τις (3) (6), υπολογίζονται οι ζητούµενες τιµές της φασικής ταχύτητας υ p της ταχύτητας οµάδας υ g, για f = ( f + f)/ = 55ΜΗ 8 υ p =, 89 m/s, (7) 8 υ g =,447 m/s (8) 6

48 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ.7 Ασκήσεις / Ένα επίπεδο κύµα συχνότητας f =, 45 GH, διαδίδεται σ ένα µέσο διηλεκτρικής σταθεράς ε = 4ε, ειδικής αγωγιµότητας σ =, S/m µαγνητικής διαπερατότητας µ = µ. Αν η ηλεκτρική πεδιακή ένταση του διαδιδόµενου κύµατος είναι = e γ V/m, ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η σταθερά απόσβεσης α, η φασική σταθερά β η σταθερά διάδοσης γ του κύ- µατος. (β) Η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου η. / Επίπεδο οµοιόµορφο ηλεκτροµαγνητικό κύµα συχνότητας f = KH οδεύει προς τον πυθµένα, κάθετα προς την επιφάνεια της θάλασσας, κατά τη διεύθυνση του θετικού η- µιάξονα. Το πλάτος της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στην επιφάνεια είναι = V/m. Αν η σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r, η σχετική µαγνητική διαπερατότητα µ r η ειδική αγωγιµότητα σ του νερού της θάλασσας είναι, αντίστοιχα, ε r = 8, µ r =, σ = 4 S/m, ζητούνται: (α) Να υπολογισθεί η σταθερά απόσβεσης a, η φασική σταθερά διάδοσης β, η χαρακτηριστική αντίσταση η, το µήκος κύµατος λ, το βάθος διείσδυσης δ η φασική ταχύτητα υ p (β) Να βρεθεί η έκφραση της µιγαδικής παράστασης της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης του µιγαδικού διανύσµατος Ponting S c (γ) Να βρεθούν οι απώλειες Joule η µέση αποθηκευµένη ενέργεια του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου σ έναν κύλινδρο µε άξονα παράλληλο προς τον άξονα, που η µια του βάση (ακτίνας,5 m) βρίσκεται στην επιφάνεια η άλλη σε βάθος m. Ποια είναι η ελάττωση (σε db) της επιφανειακής πυκνότητας της πραγµατικής ισχύος για το παραπάνω βάθος; 6

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ /3 Σ έναν άπειρο χώρο µε σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r = 4 αγωγιµότητα σ = 5 S/m διαδίδεται το επίπεδο κύµα Ζητούνται: ( t, ) = ( 9,6 6 ) cos( π 9 t β+ π/) V/m (α) Η µαγνητική διαπερατότητα του µέσου µ, η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση η, η σταθερά απόσβεσης α, η φασική σταθερά διάδοσης β, το βάθος διείσδυσης δ. (β) Η διεύθυνση διάδοσης, η πόλωση του κύµατος το διάνυσµα της µαγνητικής πεδιακής έντασης H. (γ) Το µιγαδικό διάνυσµα Ponting S c η µέση χρονική τιµή του πραγµατικού διανύσµατος Ponting P. (δ) Οι µέσες χρονικές πυκνότητες w e w m του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. (ε) Οι πυκνότητες των ρευµάτων αγωγιµότητας J c µετατόπισης J d ο λόγος των µέτρων τους. /4 Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε ηµιτονοειδή χρονική µεταβολή που διαδίδεται στον ελεύθερο πηγών κενό χώρο, έχει την έκφραση = 5 (4 + 3 ) e j V/m 3 (6 8 ) Ζητούνται: (α) Η γωνία που σχηµατίζει η κατεύθυνση διάδοσης µε τον θετικό ηµιάξονα (β) Οι τρεις φασικές σταθερές ββ,, β του κύµατος κατά µήκος: της πλάγιας διεύθυνσης διάδοσης, του άξονα του άξονα, αντίστοιχα. Ποιά είναι η συχνότητα f, του κύµατος; (γ) Τα τρία µήκη κύµατος λλ,, λ κατά µήκος των τριών προηγούµενων διευθύνσεων. (δ) Οι τρεις φασικές ταχύτητες υ, υ, υ που αντιστοιχούν στις πιο πάνω διευθύνσεις. p p p Να συγκρίνετε τις τιµές αυτές µε την ταχύτητα του φωτός στο κενό να σχολιάσετε τα σχετικά αποτελέσµατα. 63

50 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ e e e (ε) Οι τρεις ενεργειακές ταχύτητες υ, υ, υ του κύµατος ως προς τις ίδιες πάλι διευθύνσεις. Να ξανασχολιάσετε τις τιµές που προκύπτουν από τη σύγκριση των τιµών αυτών µε την ταχύτητα του φωτός, να εξηγήσετε τη φυσική σηµασία τους. (στ) Η έκφραση της µαγνητικής πεδιακής έντασης H. /5 Ένα ελλειπτικά πολωµένο κύµα διαδίδεται σ ένα µέσο µε µηδενική αγωγιµότητα ( σ = ), σχετική µαγνητική διαπερατότητα µ = σχετική διηλεκτρική σταθερά ε = 5. Οι συνιστώσες H, H του µαγνητικού πεδίου H έχουν πλάτη H = 3 A/m r 4 H = A/m, αντίστοιχα. Αν η συχνότητα του κύµατος είναι f = MH, ζητούνται: (α) Να προσδιοριστεί το µήκος κύµατος λ, η φασική σταθερά β η φασική ταχύτητα διάδοσης υ p του κύµατος. (β) Να υπολογιστεί η µέση τιµή της ακτινοβολούµενης ισχύος από µια επιφάνεια εµβαδού A =, 5 m, τοποθετηµένης κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. r /6 (α) Να αποδειχτεί ότι κάθε γραµµικά πολωµένο κύµα µπορεί να αναλυθεί σε δύο κυκλικά πολωµένα κύµατα µε αντίθετη φορά περιστροφής ίδια γωνιακή ταχύτητα. (β) Επίσης, να αποδειχτεί ότι κατά τη διάδοση ενός επίπεδου κύµατος σ ένα µέσο χωρίς απώλειες ισχύει η σχέση ε = µ H όπου H είναι οι εντάσεις του ηλεκτρικού µαγνητικού πεδίου αντίστοιχα. /7 Το µιγαδικό διάνυσµα της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ενός επίπεδου κύµατος δίνεται από την = 3e + 4e e V/m, jβ jβ jπ/4 όπου β σταθερά. Ζητούνται: (α) Να γραφούν οι παραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης πόλωσης. 64

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Να σχεδιαστεί η έλλειψη πόλωσης, καθώς επίσης, η διεύθυνση το µέγεθος του διανύσµατος για αρκετές χρονικές τιµές στη θέση =. (γ) Να επαναληφθεί το ερώτηµα (β) για αρκετές τιµές του σε µια ορισµένη χρονική στιγµή, έστω t =. /8 ύο επίπεδα κύµατα διαδίδονται κάθετα προς κάποιο επίπεδο έχουν συνιστώσες jωt jωt = 5cosωt, = 3sinωt το ένα = Re[3e + 4 e ], jωt jωt = Im[3e + 4 e ] το άλλο. Για το συνιστάµενο κύµα ζητούνται: (α) Να δειχτεί ότι είναι ελλειπτικά πολωµένο. (β) Να βρεθεί ο λόγος των αξόνων της έλλειψης πόλωσης. (γ) Ποια είναι η γωνία ανάµεσα στο µεγάλο άξονα της έλλειψης τον άξονα ; (δ) Το διάνυσµα της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στρέφεται ωρολογιακά ή ανθωρολογιακά; (ε) Να βρεθεί η τιµή της µέσης ισχύος που διαδίδεται από µια επιφάνεια 5 m που είναι τοποθετηµένη κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. /9 Η στιγµιαία τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ενός επίπεδου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, δίνεται από την: όπου θ = ω ( µε t). Ζητείται: = cos θ + sin θ, (α) Να καθοριστεί το διάνυσµα H της µαγνητικής πεδιακής έντασης. (β) Η φασική σταθερά β. (γ) Η διεύθυνση το µέτρο της διαδιδόµενης ισχύος ανά µονάδα επιφανείας. (δ) Το είδος της πόλωσης. (ε) Η φορά περιστροφής των διανυσµάτων H σ ένα εγκάρσιο επίπεδο. 65

52 ΕΠΙΠΕ Ο ΚΥΜΑ / Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση ενός επίπεδου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος δίνεται από τη σχέση = cos θ + sin θ Αν ϕ () t είναι η γωνία µεταξύ του διανύσµατος του θετικού ηµιάξονα κατά την τυχούσα χρονική στιγµή t, να δειχτεί ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ϕ του διανύσµατος, δίνεται από τη σχέση dθ dϕ ϕ = = dt dt + 3sin θ / Η φασική σταθερά β ενός µέσου δίνεται, συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω, από τη σχέση 8 β ω ω =, στην περιοχή συχνοτήτων από 5 ΜH έως GH. Να βρεθούν οι τιµές της φασικής ταχύτητας υ p της ταχύτητας οµάδας υ g για 8 f = H 9 f = H. 66