GEOMETRY SYMPOSIUM PROCEEDINGS - PANAGIOTIS STEFANIDIS PRESENTED WORK ATHENS 2012
|
|
|
- Μαθθαῖος Ιωαννίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 See discussions, stats, and author profiles for this publication at: GEOMETRY SYMPOSIUM PROCEEDINGS - PANAGIOTIS STEFANIDIS PRESENTED WORK ATHENS 2012 Dataset April 2013 READS 20 1 author: Panagiotis Stefanides University of London 513 PUBLICATIONS 2 CITATIONS SEE PROFILE Available from: Panagiotis Stefanides Retrieved on: 30 June 2016
2 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Περίληψη Το κύριο θέµα της εργασίας µου είναι η προτεινόµενη γεωµετρική ερµηνεία της µορφής του Πλατωνικού ορθογωνίου σκαληνού «καλλίστου τριγώνου», του Τιµαίου, όπου η φράση «...τριπλήν κατά δύναµιν...» αποδίδεται, εδώ, ως κύβος και όχι ως τριπλάσιο τετράγωνο [Σχ. 1, 6]. Η ιδιαιτερότητα του ορθογωνίου τριγώνου αυτού [και των παροµοίων του], είναι η γωνία κλίσης του [της υποτείνουσας µε την οριζόντια πλευρά], µοναδική στην οποία επιτυγχάνεται ο τετραγωνισµός της καθέτου [µεγαλύτερης], δια του γινοµένου της υποτείνουσας µε την οριζόντια [µικρότερη] πλευρά του [Σχ. 14] Η γωνία αυτή έχει εφαπτοµένη[κλίση] την τετραγωνική ρίζα του χρυσού λόγου. Η ιδιότητα αυτή το καθιστά τρίγωνο τετραγωνισµού, και περαιτέρω, ένα πρόσθετο βοήθηµα για τον ερευνητή, ιδιαίτερα, στην έρευνα των άλυτων κλασικών προβληµάτων [Σχ. 13, 19]. Kατά τον Πλάτωνα, µε το «κάλλιστο τρίγωνο» και το «ορθογώνιο ισοσκελές», κατασκευάσθηκε το σώµα του πυρός και τα σώµατα των άλλων στοιχείων [Σχ. 23]. Η δε µονάδα δοµής των γενοµένων σωµάτων, πρέπει να είναι σωµατική για να είναι ορατή και απτή «..Σωµατοειδές δέ δή καί ορατόν απτόν τε δεί το γενό- µενον...» [Σχ. 12]. Μέσω των αναλογιών, συνδέθηκαν τα στοιχεία πυρ και γη µε έναν «κάλλιστο, στερεοειδή, δεσµό» δια των στοιχείων αέρας και ύδωρ, και συνενωµένα µεταξύ των, όλα τα στοιχεία, αποτελούν µία αδιάλυτη µονάδα. Εδώ, ερµηνεύονται γεωµετρικά, κατά τον συγγραφέα, οι ανωτέρω έννοιες, µε την χρήση του «καλλίστου τριγώνου» και οµοίων του, µέσω των φιλοσοφικών εννοιών των τεσσάρων στοιχείων πυρ, αέρας, γη και ύδωρ, λαµβανοµένων αυτών ως ακµών των τριγωνικών αυτών επιφανειών 2. Τέλος, δίδονται σχέσεις και συµµετρίες του «καλλίστου τριγώνου», µε τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα [κατά τον Πλάτωνα όλα τα τρίγωνα προέρχονται από τα δύο προαναφερθέντα τρίγωνα 3 ] τετράγωνα, παραλληλόγραµµα, κύκλους, και µε τους λογάριθµους, όπου από τον συγγραφέα δίνεται η έννοια του λογάριθµου [Σχ. 4Α, 4Β],ως λόγος δύο αριθµών [γωνιών], µέσω του Σπειροειδούς Ορισµού του Λογάριθµου 4. Σηµειώνεται ότι το Τρίγωνο Kepler [του Magirus [7]] είναι ένα όµοιo αλλά όχι το ίδιο: org/wiki/kepler_triangle Λέξεις κλειδιά: Τίµαιος Πλάτωνος Κάλλιστο Τρίγωνο Ορθογώνιο Σκαληνό Τρίγωνο Ορθογώνιο Ισοσκελές Τρίγωνο Σωµατοειδές Κάλλιστος Σωµατοειδής εσµός Ίχνη Στοιχείων- Πυρ- Αήρ-Γή- Υδωρ Τριπλήν κατά ύναµιν Παναγιώτης Χ. Στεφανίδης ιπλ. Η/M University of London, ιπλ. M/H/Μ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Ερευνητής [τ.] ΕΑΒ, Chartered Engineer [UK] 667
3 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Εισαγωγή Η εργασία αυτή βασίστηκε, κυρίως, στους προσωπικούς µου στοχασµούς και ερωτηµατικά για την ύπαρξη του σύµπαντος και, βέβαια, εν σχέση µε τις βασικές σπουδές και έρευνές µου για αναζήτηση πρόσφορων µεθόδων ηπίων µορφών ενέργειας 1, πέραν της καθηµερινής επαγγελµατικής µου ενασχόλησης, δηλαδή αυτής του ιπλωµατούχου Μηχανολόγου και Ηλεκτρολόγου Μηχανικού συνεπικούρησε δε σε αυτό η αναζήτηση της Κλασικής Φιλοσοφίας. Με τη συχνή χρήση θεµάτων και προβληµάτων κίνησης, δυνάµεων, ενέργειας, ισχύος κλπ., παρετήρησα ότι υπάρχουν 7 βασικές σχέσεις, οι οποίες φαίνονται να προέρχονται η µία από την άλλη: L 1 /T 0, L 2 /T 0, L 3 /T 1, L 4 /T 1, L 4 /T 2, L 5 /T 2, L 5 /T 3 Αυτές οι σχέσεις είναι απαραίτητες στη δηµιουργία ενός έργου από τη σύλληψή του έως την υλοποίησή του. Αυτές δε είναι: η γραµµή, η επιφάνεια, ο όγκος ανά µονάδα χρόνου [L 3 /T 1 ] ή ροή µάζας για πυκνότητα µονάδα εµφαίνεται πιο φυσικό στη άνω σειρά [L/T] ), η ορµή, η δύναµη, το έργο και η ισχύς. Είναι κλάσµατα µε αριθµητικές δυνάµεις του χώρου [L] και παρανοµαστικές δυνάµεις του χρόνου [T]. Η γραµµή και η επιφάνεια είναι άχρονες και εγκεφαλικές έννοιες. Τα ανωτέρω ήσαν κίνητρο για την επαφή µου µε την ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ θεωρία και αργότερα µε τη µελέτη του ΤΙΜΑΙΟΥ του ΠΛΑΤΩΝΑ, ιδιαίτερα αυτής των Πλατωνικών Τριγώνων και δή του «ΚΑΛΛΙΣΤΟΥ». 1. Το Προτεινόµενο Κάλλιστο Τρίγωνο Τιµαίου Πλάτωνα [Σχ.1] «Πρώτον µεν δη πυρ και γη και ύδωρ και αήρ ότι σώµατά εστί... του σώµατος είδος παν και βάθος έχει... ανάγκη την επίπεδον περιειληφέναι φύσιν... η δε ορθή της επιπέδου βάσεως εκ τριγώνων συνέστηκε... τρίγωνα πάντα εκ δυοίν άρχεται τριγώνοιν, µίαν µεν ορθήν έχοντος εκατέρου γωνίαν,... τας δε οξείας. Τοιν δη δυοίν τριγώνοιν το µεν ισοσκελές µίαν είληχε φύσιν, το δε πρόµηκες απεράντους. Προαιρετέον ούν αύ των απείρων το ΚΑΛΛΙΣΤΟΝ...ΤΡΙΠΛΗΝ ΚΑΤΑ ΥΝΑMIN ΕΧΟΝ ΤΗΣ ΕΛΑΤΤΟΝΟΣ ΤΗΝ ΜΕΙΖΩ ΠΛΕΥΡΑΝ ΑΕΙ». 668
4 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία Στο χωρίο 53 του ΤΙΜΑΙΟΥ, Ο ΠΛΑΤΩΝ οµιλεί περί των τριγωνικών σχηµάτων των τεσσάρων στοιχειωδών σωµάτων των ειδών των και των συνδυασµών των. Aυτά τα σώµατα είναι η φωτιά, η γη, το νερό και ο αέρας. Είναι σώµατα και έχουν βάθος. Το βάθος αναγκαστικά περιέχει την επίπεδη επιφάνεια, η δε κάθετη επί αυτής της επιφάνειας είναι πλευρά τριγώνου, όλα δε τα τρίγωνα γεννώνται από δύο ειδών ορθογώνια τρίγωνα το ισοσκελές ορθογώνιο και το σκαληνό ορθογώνιο. Αυτή είναι η πιθανότητα της αρχής της δηµιουργίας της φωτιάς και των άλλων σωµάτων. Αυτά τα σώµατα είναι τέσσερα, είναι ανόµοια µεταξύ των αλλά δύνανται να δηµιουργούνται το ένα από το άλλο είδος και να διαλύονται το ένα στο άλλο είδος. Τυχόντες τούτου έχουµε την αλήθεια περί της δηµιουργίας της γης και της φωτιάς και των αναλόγων ενδιαµέσων αυτών. Ωραιότερα σώµατα από αυτά µε το δικό του γένος το κάθε ένα δε συµφωνού- µε µε άλλη άποψη ότι υπάρχουν. Από τα δύο είδη τριγώνων το µεν ισοσκελές ορθογώνιο έχει µόνο µία φύση (δηλαδή µία ορθή γωνία και δύο οξείες των 45 µοιρών), το δε σκαληνό έχει άπειρες (δηλαδή έχει µία ορθή γωνία και δύο οξείες διαφορετικών τιµών το εκάστοτε άθροισµα των οποίων είναι 90 µοίρες). Από αυτές τις άπειρες φύσεις ξεχωρίζουµε ένα τρίγωνο, το πιο ωραίο τρίγωνο το «ΚΑΛΛΙΣΤΟ». Από τα πολλά λοιπόν τρίγωνα δεχόµαστε ότι υπάρχει ένα το πιο ωραίο και αφήνουµε αυτά από τα οποία κατασκευάζεται το ισόπλευρο τρίγωνο (έξι τον αριθµό σκαληνά ορθογώνια τρίγωνα των 30 και 60 µοιρών). Ας διαλέξουµε λοιπόν δύο τρίγωνα τα οποία είναι η βάση κατασκευής, της φωτιάς και των άλλων σωµάτων: «Το µεν ισοσκελές, το δε τριπλήν κατά δύναµιν έχον της ελάττονος την µείζω πλευράν αεί». Το µεν ένα λοιπόν είναι το ορθογώνιο ισοσκελές, το άλλο είναι ορθογώνιο σκαληνό, η υποτείνουσα του οποίου έχει µήκος ίσο µε κυβική δύναµη της οριζόντιας µικρής κάθετης πλευράς, η δε κάθετη και µεγαλύτερη πλευρά είναι το τετράγωνο της µικρής κάθετης πλευράς [ερµηνεία Π. Στεφανίδη - Σχ. 1]. Η τιµή της µικρής πλευράς είναι ίση µε την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής, ο λόγος των πλευρών είναι ίσος πάλι µε την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής (γεωµετρική αναλογία) και η εφαπτοµένη της γωνίας µεταξύ της υποτείνουσας και της µικρής κάθετης οριζόντιας πλευράς είναι ίση µε την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής (Θ 51ο µοίρες). Η γωνία αυτή προσεγγίζει την πυραµιδική. Το γινόµενο της µικρής κάθετης πλευράς επί την υποτείνουσα είναι ίσο µε το τετράγωνο της µεγάλης κάθετης πλευράς του τριγώνου και ισχύει συγχρόνως το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Όλες οι τιµές των πλευρών του τριγώνου αυτού δίδονται µε ασύµµετρους αριθµούς (λύση εξίσωσης τετάρτου βαθµού). σχήµα 1 669
5 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Αναδιοργανώνοντας το τρίγωνο λαµβάνουµε ένα άλλο µε την ίδια γωνία κλίσης, το οποίο έχει την µεγάλη κάθετο ίση µε 4, την µικρή κάθετο ίση µε τέσσερα διηρηµένο µε την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής και την υποτείνουσα ίση µε 4 επί την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής. Το 4 δια τετραγωνικής ρίζας της χρυσής τοµής είναι ίσον µε Στις εστάλη από τον εισηγούµενο στο W.I.P.O. ένα κείµενο µιας σελίδας που περιείχε τα στοιχεία ενός τριγώνου µε κάθετη πλευρά 4 οριζόντια πλευρά : 1/ [ ] υποτείνουσα [ 4χ ], γωνία µεταξύ οριζόντιας µικρής πλευράς και υποτείνουσας ίση προς: Θ 51ο µε την ονοµασία το «Ειδικό Ορθογώνιο Τρίγωνο». Το «Ειδικό Ορθογώνιο Τρίγωνο» ήτο απόρροια της µελέτης του βιβλίου «ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΜΕΓΑΛΗΣ ΠΥΡΑΜΙ ΑΣ» του TOM VALENTINE, Εκδόσεις ΩΡΟΡΑ (1981), στο οποίο αναφέρεται ότι ο ΤΖΩΝ ΤΑΙΗΛΟΡ έφθασε στο συµπέρασµα ότι το εµβαδόν της κάθε πλάγιας πλευράς της ΜΕΓΑΛΗΣ ΠΥΡΑΜΙ ΑΣ είναι ίσο µε το τετράγωνο του ύψους της. Μετά από αυτή την εργασία του «Ειδικού Ορθογωνίου Τριγώνου» ερευνήθει το κείµενο του ΤΙΜΑΙΟΥ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ, και εµελετήθει, βασικά, το αρχαίο (πρωτότυπο) κείµενο στα πιο κρίσιµα σηµεία της γεωµετρίας. Στις ο εισηγούµενος απέστειλε πάλι στο W.I.P.O. (WORLD INTELLECTUAL PROPERTY ORGANIZATION) ένα κείµενο µε τίτλο: «PLATO S TIMEOS» - «THE MOST BEAUTIFUL TRIANGLE» Πρέπει να σηµειωθεί επίσης ότι ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ οµιλεί περί της κατασκευής του σώµατος της γης (κύβου) από το ισοσκελές τρίγωνο τα δε άλλα τρία σώµατα από το σκαληνό. Η µεν βάση του κύβου (Επιφάνειες επίπεδες) από (4) ισοσκελή ορθογώνια η δε βάση των άλλων σωµάτων από (6) σκαληνά του τύπου 60 και 30 µοιρών. Επίσης ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ οµιλεί και για µια ακόµη (πέµπτη) δοµή που εχρησιµοποίησε ο Θεός για τη Συµπαντική Σχεδίαση. Συµπεραίνεται εδώ ότι µέσω του «ΠΙΟ ΩΡΑΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ» γίνεται ο Συσχετισµός, δια των Γεωµετρικών Αναλογιών των Πλευρών του, των Τεσσάρων Στοιχείων (Πυρ, Αήρ, Γη και Ύδωρ), ήτοι Πύρ προς Αέρα είναι ίσο µε Αέρα προς Υδωρ είναι ίσο µε Ύδωρ προς Γη, είναι ίσο µε Τ όπου Τ είναι ίσο µε τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής. 5 1 ήτοι Τ («Ότι περ πύρ προς αέρα, τούτο αέρα προς ύδωρ, και ότι αήρ προς ύδωρ, ύδωρ προς γήν, ξυνέδησε...ουρανόν...» 32C). 670
6 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία 2. Αναφορές σε εργασίες σχετιζόµενες µε την Tέχνη και τη Γεωµετρία στην Ελλάδα Προτού προχωρήσω, περαιτέρω, στις έρευνές µου στο θέµα αυτό, θα αναφερθώ στις εργασίες των διαφόρων ερευνητών που σχετίζονται µε την Τέχνη στην Ελλάδα, τις προεκτάσεις της στην Ευρώπη και αλλού και συνδέονται µε την Γεωµετρία. Η εγκυκλοπαίδεια BRITANNICA (ΤΟΜΟΣ 10, ΕΚ ΟΣΗ 1972, ΣΕΛ. 829, GREEK ARCHITECTURE) αναφέρει ότι:... To the Greeks fell the role of inventing the grammar of conventional forms on which all subsequent European Architecture was based...). (... Έτυχε στους Έλληνες ο ρόλος να επινοήσουν τη γραµµατική των συµβατικών τύπων επάνω στους οποίους βασίστηκε όλη η Ευρωπαϊκή Αρχιτεκτονική...).... Greek was the patient genius with which they perfected every element, rarely deviating from the forward path to invent new forms or new solutions of old problems. This conservative adherence to older types has led to such masterpieces as the Parthenon and Erechtheum... (... Ελληνικό ήτο το δαιµόνιο της υποµονής µε το οποίο οι Έλληνες τελειοποίησαν κάθε στοιχείο, σπάνια αποκλίνοντες, από την πορεία τους προς τα εµπρός, για να ανακαλύψουν νέους τύπους ή νέες λύσεις του παλαιού προβλήµατος. Αυτή η συµβατική συνοχή στους παλαιότερους τύπους τους οδήγησε σε τέτοια αριστουργήµατα όπως τον Παρθενώνα και το Ερεχθείο...). Κατά το Θεοφάνη Μανιά [3], το ελληνικό κάλλος και το ελληνικό πνεύµα ευρίσκεται σε πολλά έργα της αρχαιότητας, τα οποία δεν αφάνισε ο χρόνος, ο θάνατος των ανθρώπων ή ο φανατισµός και η µανία των λαών. Πόλεις και ιερά ανεγείροντο µε προγραµµατισµό και επιστηµονικό υπολογισµό. Θρησκεία των αρχαίων ήτο η απόλυτη οµορφιά και οι Έλληνες επίστευαν ως θεό το απόλυτο αυτό κάλλος. Κάλλος αισθητικό, οπτικό εις τα σχήµατα και τα χρώµατα και ακουστικό µε την καλή µουσική και κάλλος ηθικό που εύρισκαν εις την Αρετή και κάλλος πνευµατικό που το εύρισκαν εις την καλή µάθηση και γνώση. Και όλα αυτά τα είδη της οµορφιάς τα κατακτούσε και τα έβλεπε ο άνθρωπος µέσω του έρωτα, διότι ο έρωτας απετέλει τη συνεκτική ουσία του αρµονικού σύµπαντος. Οι Αρχαίοι είχαν µελετήσει µε θρησκευτική ευλάβεια το θέµα. Είχαν παρατηρήσει ότι εις τη φύση υπήρχε και άλλη οµορφιά, πέρα από αυτήν τη φανερή αρµονία που σήµερα οι διακοσµητές, οι αρχιτέκτονες και γενικά οι ασχολού- µενοι µε την αισθητική και την τέχνη χρησιµοποιούν, η αφανής γεωµετρική αρµονία. Ο κύκλος, το τετράγωνο, το ισόπλευρο τρίγωνο, το κανονικό εξάγωνο, οι 671
7 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» πυραµίδες, ο κύβος κλπ. έχουν φανερή οµορφιά. Η φανερή αρµονία ήτο το είδος εκείνο της οµορφιάς, το οποίο αντιλαµβάνεται ο ανθρώπινος οφθαλµός και το ευρίσκει σε αυτά τα γεωµετρικά σχήµατα. Εις τα φύλλα των δένδρων, εις τα πέταλα των ανθέων, εις τους κορµούς και τα κλαδιά των φυτών, εις τα σώµατα των ζώων και προπάντων εις το σώµα του ανθρώπου, ανεκάλυψαν συµµετρίες και αναλογίες και άλλες µαθηµατικές σχέσεις που συνέθεταν µίαν αφανή αρµονία σχηµάτων και χρωµάτων, ανώτερη από τη φανερή αρµονία. Αυτή την αφανή αρµονία ευρίσκοµε σε όλες τις εκδηλώσεις του πολιτισµού των Ελλήνων. σχήµα 2: ΝΑΥΤΙΛΟΣ 672
8 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα 3: Γεωµετρικός Συσχετισµός του Καλλίστου Τριγώνου µε ένα κέλυφος Ναυτίλου (σχήµα 2), Σχεδιάζοντάς των Βάσει Υπολογισµών [κατά προσέγγιση] των ιαστάσεών του 673
9 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα 4α 674
10 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα 4β 675
11 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα 5: Γεωµετρικός Μέσος Ανάλογος (Τ) µε Κανόνα και ιαβήτη. Σχεδιασµός µε κανόνα και διαβήτη της γωνίας Θ [Τετραγωνικής Ρίζας της Χρυσής Τοµής], µέσω της γνωστής κατασκευής της γωνίας Φ [Χρυσής Τοµής]. Κατά τον Ευάγγελο Σταµάτη (Ελληνικά Μαθηµατικά ΑΡ. 4 Β έκδοση 1979) ο Θ. ΜΑΝΙΑΣ [ 3-4 ] ανακάλυψε ότι τα πανάρχαια ιερά της Αρχαίας Ελλάδας έχουν κτισθεί βάσει γεωµετρικών υπολογισµών και µετρήσεων. Εις τις αποστάσεις µεταξύ των ιερών αυτών ο κ. Θ. Μανιάς παρατηρεί εφαρµογή του κανόνα της χρυσής τοµής. Ο Ε. Σταµάτης επίσης αναφέρει ότι ο Γερµανός λόγιος Max Steck, Καθηγητής του Πολυτεχνείου του Μονάχου, σε άρθρο του που δηµοσίευσε εις το περιοδικό Έρευνα και Πρόοδος, υποστηρίζει ότι ο πολιτισµός της ύσης, οι καλές τέχνες και επιστήµες, προέρχονται από την επίδραση των ελληνικών µαθηµατικών. Οι πηγές που λαµβάνουµε γνώση περί των ελληνικών µαθηµατικών είναι οι αρχαιολογικές έρευνες και τα συγγράµµατα των αρχαίων συγγραφέων. Στα βιβλία του ο MATILA GHYKA [1-2], παρουσιάζει εκτενέστατα τις σχέσεις της χρυσής τοµής, σε συνδυασµό µε φωτογραφικό υλικό, µε θέµατα ζωγραφικής, γλυπτικής, αρχιτεκτονικής ανθρωπίνων σωµάτων και προσώπων, καθώς και σωµάτων ζώων και φυτών, σε συνδυασµό µε γεωµετρία και κελυφών µε λογαριθµικές σπείρες. Οµοίως ο ROBERT LAWLOR [5], επεξεργάζεται αυτά τα θέµατα, αλλά επιπρόσθετα αναφέρει ότι επιστεύετο ότι οι Αιγύπτιοι στην πυραµιδική κατασκευή εχρησιµοποίησαν τον λόγο 4/ φ ως λόγο περιφερείας κύκλου προς τη διάµετρόν του (δηλαδή ο λόγος τέσσερα, διαιρούµενο δια της τετραγωνικής ρίζας της χρυσής τοµής) διαφέρει από την τιµή που χρησιµοποιείται σήµερα στην επιστήµη, την τεχνολογία και τα µαθηµατικά κατά ένα χιλιοστό περίπου µόνο. Ο MAX TOTH αναφέρει αντίστοιχα αυτόν το λόγο ως χρήσιµο τύπο κατά προσέγγιση, καθώς επίσης αναφέρει ότι από τον Ηρόδοτο, οι µαθηµατικοί έχουν καταλήξει σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η µία πλευρά κάθετος είναι ίση µε τη µονάδα, η υποτείνουσα ίση µε φ και η άλλη κάθετος ίση µε φ. Στις εργασίες µου (1986) κατέληξα σε ένα ειδικό σκαληνό ορθογώνιο τρίγωνο [LMN] του οποίου η µία εκ των δύο οξειών γωνιών του έχει εφαπτοµένη την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής. 676
12 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία 3. Ο Πλάτων οµιλεί για το «Κάλλιστο» Ορθογώνιο Σκαληνό σχήµα 6 Ο Πλάτων στον Τίµαιο του οµιλεί για το «κάλλιστο» ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο. Όπως έχει αποδοθεί στις Ελληνικές, Αγγλικές, Γαλλικές και πιθανότατα και σε µεταφράσεις άλλες, αυτό το τρίγωνο, είναι το γνωστό ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο των 30 και 60 µοιρών. 677
13 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Με έξι δε τέτοια σκαληνά τρίγωνα [30-60 µοιρών], κατασκευάζεται το ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτό το ισόπλευρο τρίγωνο ευρίσκεται στις έδρες του εικοσαέδρου, οκταέδρου και τετραέδρου. Πράγµατι ο Πλάτων έχει αναλύσει αυτό το σκαληνό [30-60 µοιρών], ορθογώνιο τρίγωνο, εκτενέστατα, αλλά δεν οµιλεί µόνο για τα σκαληνά αυτά και το εξ αυτών συντιθέµενο ισόπλευρο τρίγωνο, ή επιφανειακά µόνο για τα στερεά του. Αναλυτικά, αλλά κάπως όχι τόσο αποκαλυπτικά οµιλεί δια το βάθος των στερεών του. Η καλύτερη µέθοδος δια να καταλάβουµε τις έννοιες του βάθους των στερεών, είναι να κάνουµε τοµές αυτών και να τις αναλύσουµε προσεκτικά. Προφανώς ο Πλάτων αντιλαµβάνεται ότι θα υπάρξει προβληµατισµός στην διερεύνηση των τριγώνων του, όσον αφορά το διαχωρισµό και προσδιορισµό αυτών και δια τούτο αναφέρει: «... Αν ούν τις έχη κάλλιον ειπείν εις την τούτων ξύστασιν, εκείνος ουκ εχθρός ών αλλά φίλος κρατεί...». 4. Τοµές και Σχέσεις Πολυέδρων σχήµα 7: Υ ΩΡ - ΤΟΜΗ ΕΙΚΟΣΑΕ ΡΟΥ [Π.Χ. ΣΤΕΦΑΝΙ Η] Από τις τοµές των πέντε πλατωνικών στερεών ενδιαφέρουσα είναι η τοµή του εικοσαέδρου - ύδωρ [Σχ. 7]. ια των τοµών των τεσσάρων στερεών ευρίσκουµε τους αµοιβαίους συσχετισµούς αυτών, δηλαδή του εικοσαέδρου [Σχ.7] µε τον κύβο µε το τετράεδρο και µε το οκτάεδρο [8]. Επί πλέον, εάν συνενώσουµε τις τοµές των τριών στερεών, εικοσαέ- 678
14 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία δρου[ Σχ. 7], οκταέδρου και τετραέδρου, αποµένει ένα κενό το οποίο είναι τριγωνικό[ Σχ. 9]. Στην τοµή, τέλος, του δωδεκαέδρου [Σχ. 8] ανευρίσκουµε ένα τρίγωνο, το οποίο πληροί το προαναφερθέν κενό. σχήµα 8 679
15 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Έτσι έχουµε και το συσχετισµό του δωδεκαέδρου µε τα άλλα τέσσερα πλατωνικά στερεά, το οποίο είχε θεωρηθεί ως το πέµπτο στερεό του Πλάτωνα, µε το όνοµα αιθήρ, από τους φιλοσόφους [Σχ.9]. σχήµα 9 680
16 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία 5. Συσχετισµός Πολυέδρων µε ένα Πρότυπο Μεγάλης Πυραµίδας Πέραν των χρυσών τοµών του [ΕΙΚΟΣΑΕ ΡΟΥ και Ω ΕΚΑΕ ΡΟΥ], ευρίσκοµε στο ΕΙΚΟΣΑΕ ΡΟ Παραλληλόγραµµα [Σχ.11] και τρίγωνα πλευρών αναλόγων αυτών ΠΡΟΤΥ- ΠΟΥ της Μεγάλης Πυραµίδας, τα οποία κατάλληλα συνενούµενα έχουν βάση τετράγωνο και αποτελούν όλα µαζί ένα Πρότυπο [Σχ. 10] Μεγάλης Πυραµίδα {µέσω της οποίας κατασκευάζουµε [Σχ. 11], το Εικοσάεδρο}, τα άλλα Βασικά Πολύεδρα και τις Γεωµετρικές Μορφές οι οποίες Σχετίζονται µε αυτά, και Λογαριθµικές Σπείρες [Σχ.23] σχήµα σχήµα 11: Κατασκευή πολυέδρων µέσω κατασκευής µεγάλης Πυραµίδος 681
17 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» 6. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ «ΣΩΜΑΤΟΕΙ ΟΥΣ» Από τη φράση του Πλάτωνα (χωρίο 54, Τιµαίου) «τριπλήν κατά δύναµιν έχον της ελάττονος την µείζω πλευράν αεί» στην οποία ο Πλάτων οµιλεί για το «κάλλιστο» ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο και από τα χωρία 31, 32 Τιµαίου, στα οποία οµιλεί για µία «κάλλιστη» αναλογία συνένωσης των τεσσάρων στερεών του, εις το να γίνουν «ΕΝΑ» [Σχ.6]. Τετράεδρο ονοµασθέν Σωµατοειδές, [Σχ. 12] δια αναλύσεως αυτών των αναλογιών δια τεσσάρων τριγωνικών επιφανειών συνενουµένων σε σύστηµα (3) ορθογωνίων αξόνων καταλήγουµε στο ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η εφαπτοµένη της µίας οξείας γωνίας είναι τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής, η υποτείνουσά του είναι η τρίτη δύναµη της µικρής καθέτου πλευράς και η µεγάλη κάθετος είναι ίση µε το τετράγωνο της µικρής[ Σχ. 12]. Η τιµή δε της µικρής καθέτου δια λύσεως της τετάρτου βαθµού εξισώσεως του τριγώνου, δια του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, ευρίσκεται [Σχ. 13] να είναι ίση µε την τετραγωνική ρίζα της χρυσής τοµής ( παρόµοιο, αλλά όχι ίδιο µε το τρίγωνο Kepler / Magirus [7]). σχήµα
18 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία 7. Συσχετισµός Καλλίστου Τριγώνου µε Κύκλους Τετράγωνα Παραλληλόγραµµα σχήµα
19 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» ιά τοποθετήσεως του τριγώνου µέσα σε ένα κύκλο έτσι ώστε η υποτείνουσά του να είναι χορδή τόξου του κύκλου, λαµβάνονται µαθηµατικοί συσχετισµοί και συµµετρίες. σχήµα 14: Συσχέτιση περιφέρειας κύκλου µε εµβαδόν τετραγώνου 684
20 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα 15: Θεωρητικός κύκλος Προϋπόθεση τετραγωνισµού 685
21 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα
22 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα 17 σχήµα
23 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα
24 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα 20A 689
25 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα 20B 690
26 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία σχήµα
27 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» σχήµα
28 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία Συµπεράσµατα Στην εργασία αυτή, έγινε προσπάθεια να καταδειχθεί ό,τι το τρίγωνο που αναφέρει ο Πλάτων ως «Κάλλιστο» είναι το προτεινόµενο στην εισήγηση αυτή, δηλαδή το αρµονικό µε πλευρές Τ^3, Τ^2 και Τ^1, και όχι αυτό των 30/60 µοιρών ορθογώνιο µε το οποίο κατασκευάζονται οι έδρες των 3 Πλατωνικών Στερεών [Τετράεδρο, Οκτάεδρο και Εικοσάεδρο], σε συµφωνία µε την πρόταση του Πλάτωνα ό,τι όλα τα τρίγωνα δηµιουργούνται από δύο τρίγωνα. Επίσης προτάθηκε ο τρόπος της σταδιακής µεθόδου κτισίµατος των 5 Στερεών από Ίχνη [υλικά] των 4 Στοιχείων, δια των συµµετριών [Σχ. 17, 18] και συσχετισµών των Γεωµετρικών Μορφών [Τεραγωνα[Σχ.20Α, Β και Σχ. 21,22], Κύκλους Σχ.15, 16], Τρίγωνα, Παραλληλόγραµµα] και Συσχετισµό Λογαρίθ- µων και Λογαριθµικών Σπειρών, από το Ορθογώνιο Ισόπλευρο και το Ορθογώνιο Σκαληνό,το Κάλλιστο[Σχ. 23]. σχήµα
29 Áεωµετρία ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΙ ΗΣ «Προτεινόµενη Γεωµετρία του Πλατωνικού Τιµαίου» Σηµειώσεις 1 (A) /2631-a-diferential-light-amplifier-applicable-to-a-solar-locator-and-tracker (B) 2 Root Geometries Structuring the Icosahedron, the other Basic Polyedra and the Geometric Forms related to them - By Panagiotis Stefanides: 3 All triangles derive their origin from two triangles [Pl.Ti. 53 D]. By Panagiotis Stefanides: 3 Logarithm Spiroid Definition By Panagiotis Stefanides: Αναφορές [1] Matila Ghyka (1977), The Geometry of Art and Life, Dover Publication, INC., New York [2] Matila Ghyka (1959), Le Nombre d or, Gallimard [3] Θεοφάνης Μανιάς (1987), Παρθενών, Πύρινος Κόσµος [4] Θεοφάνης Μανιάς (1981), Tα Άγνωστα Μεγαλουργήµατα των Αρχαίων Ελλήνων, Πύρινος Κόσµος [5] Robert Lawlor (1982), Sacred Geometry, THhames and Hudson [6] Τιµαίος Πλάτωνος - Π.Χ. Στεφανίδη, Το πιο ωραίο Τρίγωνο, Α Συνέδριο Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηµατικών, Μαθηµατική Εταιρεία Ίδρυµα Ερευνών 2-4 Μαρ [7] Roger Herz-Fischler (1987), Division in EXTREME and MEAN RATIO, Wilfrid Laurier University Press [8] Π.Χ. Στεφανίδη, Γεωµετρικές Έννοιες στον Πλάτωνα Σχέση τους µε την Τέχνη, Επιµελητήριο Εικαστικών Τεχνών Ελλάδος, ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, Νοµεβρίου [9] PAPER: Publication: «Golden Root Symmetries of Geometric Forms» The journal of the Symmetry: Culture and Science, Volume 1q7, Numbers 1-2, 2006, pp , Editor: Gyorgy Darvas, Conference :SYMMETRY FESTIVAL 2006, BUDAPEST HUNGARY. [10] Presentation, Symmetries of the Platonic Triangle, by Panagiotis Stefanides, The IET Today and Symmetries of the Platonic Triangle, Technical Chamber of Greece, 30 Oct
30 ΕΝΟΤΗΤΑ V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Áεωµετρία [11] «Golden Root Symmetries of Geometric Forms», Book Published by Eur Ing Panagiotis Chr. Stefanides BSc(Eng)Lon(Hons) CEng MIET MSc(Eng)Ath MTCG. [12] Copyright Panagiotis Stefanides 695
Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Αφιερωμένο στη συμπλήρωση 2200 χρόνων από το θάνατο του Αρχιμήδη)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡEΙΑ ΟΜΑΔΑ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΟΜΙΛΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ
ΔΗΜΟΣ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΤΕΧΝΗΣ 22-24 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 1991 Ξ Α Ν Θ Η
ΔΗΜΟΣ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΤΕΧΝΗΣ 22-24 Ξ Α Ν Θ Η ΕΙΣΗΓΗΣΗ: Π.Χ. ΣΤΕΦΑΝΙΔΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΗ
1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals
Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή
Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος
3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ
Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης
1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δρ Μιχάλης ΛΑΜΠΡΟΥ, Καθηγητής Μαθηματικών
ΗΤΙΚΕΣ ΠΟΕΙΞΕΙΣ ΤΡΙΩΝΩΝ ρ ιχάλης ΠΡΟΥ, Καθηγητής αθηματικών H επίκεντρη γωνία είναι το της περιφέρειας, άρα είναι ισοσκελές με είναι. ια τον ίδιο λόγο οι επίκεντρες γωνίες στα τόξα είναι από και λόγω συμμετρίας.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.
ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την
1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε
Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013
1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;
4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.
Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή
Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης
Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή
Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και
ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1 Οι δυνάμεις μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: Σε δυνάμεις επαφής, που ασκούνται μόνο ανάμεσα σε σώματα που βρίσκονται σε επαφή, και σε δυνάμεις
εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].
![εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].](/thumbs/26/7718841.jpg "εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].")
εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της
Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων
υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx
ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών
ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.
ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ
Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ 2016-2017 ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Εισαγωγή Τα Πλατωνικά στερεά Τα Πλατωνικά στερεά και τα στοιχεία της φύσης Η
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ
Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14
ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ
Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού.
Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού Η συνική ροπή αδράνειας ως άθροισμα επί μέρους ροπών αδράνειας Έστω το τυχαίο στερεό του σχήματος που αποτελείται από επιμέρους τμήματα Α,Β,Γ,Δ Η ροπή αδράνειας
2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός
Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών
Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή
Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη
ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας
( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.
ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί
βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)
ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του
Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί
Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ
Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο
Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα
Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»
ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό
Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ
Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω
Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
ΑΣΚΗΣΗ 3 η : H βαθµολογία των µαθητών σε ένα διαγώνισµα στα Μαθηµατικά φαίνεται στο παραπάνω ραβδόγραµµα.
6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΡ ΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΙΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:Β 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΕΜΠΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2010 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ (Να γράψετε το ένα από τα
Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.
Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)
σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο
Σταυρούλα Πατσιομίτου
Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;
1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.
επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων)
επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) Μαθηματικά αντικείμενα Έννοιες Ιδιότητες (θεωρήματα, πορίσματα) Σχέσεις Ενέργειες Διαδικασίες Αναπαραστάσεις