ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4."

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας και σκιαγραφίας. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Για να βρούμε το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, κατασκευάζουμε τόξα κύκλων με κέντρο το σημείο Α και με κέντρο το σημείο Β και ακτίνες μήκους ΑΒ (σχ. 1). Από την τομή των δύο τόξων περνά ευθεία, η οποία έχει την ιδιότητα να διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να είναι κάθετη προς το ΑΒ. σχ ιχοτόμος γωνίας Για να κατασκευάσουμε τη διχοτόμο μιας γωνίας Α, φέρνουμε τόξο κύκλου με κέντρο Α και τυχαία ακτίνα R1. Το τόξο τέμνει τους φορείς της γωνίας Α στα σημεία Κ1 και Κ2 (σχ. 2). Από τα σημεία Κ1 και Κ2 κατασκευάζουμε τόξα κύκλων με την ίδια ακτίνα R2. Η τομή των δύο τόξων δημιουργεί το σημείο. Η ημιευθεία Α διχοτομεί τη γωνία Α. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή σχ. 2 Κατασκευάζουμε ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Με τη μέθοδο προσδιορισμού διχοτόμου, όπως περιγράψαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, κατασκευάζουμε τις διχοτόμους δ1, δ2, δ3 και δ4 των τεσσάρων γωνιών που σχηματίστηκαν. Τα σημεία Ε και Ζ είναι οι τομές των διχοτόμων ανά δύο και ορίζουν τη διχοτόμο ΕΖ της γωνίας των α και β (σχ. 3). 4. Μεταφορά γωνίας Για να δημιουργήσουμε γωνία Α ίση με μία γνωστή γωνία Α, αρκεί να γνωρίζουμε τη θέση του ενός φορέα της και ένα σημείο στο φορέα, που θα σχ

2 ορίσουμε σαν κορυφή της γωνίας Α. Γράφουμε τόξο κύκλου με κέντρο το σημείο Α και τυχαία ακτίνα R1. Το τόξο τέμνει τους φορείς της γωνίας Α στα σημεία Κ1 και Κ2 (σχ. 4). Με την ίδια ακτίνα R1 γράφουμε τόξο κύκλου με κέντρο το σημείο Α. Το τόξο αυτό τέμνει τον ένα φορέα της γωνίας Α στο σημείο Κ 1. Με κέντρο το σημείο Κ 1 και ακτίνα R2 = Κ1Κ2 γράφουμε τόξο κύκλου. Τα δύο τόξα R1 και R2 τέμνονται στο σημείο Κ 2. Η ημιευθεία Α Κ 2, μαζί με την ημιευθεία Α Κ 1 ορίζουν γωνία Α = Α. 5. Εφαπτόμενες κύκλου σχ. 4 Για να κατασκευάσουμε τις εφαπτόμενες σ ένα κύκλο (Ο,r) από ένα σημείο Α, που βρίσκεται έξω από την περιφέρειά του, αρχικά γράφουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ (σχ. 5) και βρίσκουμε (με κατασκευή μεσοκαθέτου) το μέσο του Μ. Με κέντρο το σημείο Μ και ακτίνα ΜΟ γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει τον αρχικό κύκλο (Ο,r) στα σημεία Κ1 και Κ2. Οι ημιευθείες ΑΚ1 και ΑΚ2 είναι οι εφαπτόμενες από το σημείο Α στον κύκλο (Ο,r). 6. Κύκλος διερχόμενος από 3 σημεία σχ. 5 Από τρία σημεία Α, Β, Γ διέρχεται ένας και μόνο ένας κύκλος. Για να προσδιορίσουμε το κέντρο του, φέρνουμε τις μεσοκαθέτους των τριών ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ (αρκούν οι δύο από τις τρεις) (σχ. 6). Στην τομή των μεσοκαθέτων βρίσκεται το κέντρο Ο του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ΟΑ (ή ΟΒ ή ΟΓ). 7. ιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη Ο χωρισμός ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη είναι μια εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή του Μιλήσιου. Στο σχήμα 7 παρουσιάζεται ο τρόπος που χωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε 7 ίσα μέρη: από το σημείο Α γράφουμε μια τυχαία ημιευθεία Αε. Ξεκινώντας από το σημείο Α ορίζουμε πάνω στην ημιευθεία 7 ίσα και τυχαίου μήκους τμήματα. Ενώνουμε το τελευταίο σημείο της ημιευθείας Αε με το σημείο Β. Από καθένα από τα υπόλοιπα σημεία της ημιευθείας Αε γράφουμε ευθείες παράλληλες προς την πρώτη. Στο σχήμα 8 σχ

3 σχ. 7 σχ. 8 παρουσιάζεται η ίδια κατασκευή, με τη διαφορά ότι τα τμήματα που χωρίζουμε στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ δεν είναι ίσα, αλλά ανάλογα με αναλογία γνωστή και ίση με 1:2:3. 8. ιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (χρυσή τομή) Για να χωρίσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο, γράφουμε έστω από το Α (σχ. 9) ημιευθεία κάθετη στο ΑΒ και ορίζουμε σημείο Κ ίσο με το μισό του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Γράφουμε το τμήμα ΚΒ. Με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ΚΑ γράφουμε τόξο κύκλου, το οποίο τέμνει την ΚΒ στο σημείο Ν. Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα ΒΝ γράφουμε τόξο κύκλου, που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Φ. Ο λόγος των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων ΒΦ/ΑΦ είναι ίσος με φ = 1,618, όπως και ο λόγος ΑΒ/ΦΒ. σχ Κανονικό πεντάγωνο Λαμβάνοντας σαν βάση το ΑΒ, με κέντρα τα Α και Β αντίστοιχα σχεδιάζουμε δύο τόξα που τέμνονται στο σημείο 1 (σχ. 10). Από το σημείο 1 φέρνουμε την μεσοκάθετο στο ΑΒ και ορίζουμε το σημείο 2. Από το σημείο Β φέρνουμε παράλληλη στην 12, η οποία τέμνει το τόξο του κύκλου (Β,ΒΑ) στο σημείο 3. Με κέντρο το 2 και με ακτίνα 23 σχεδιάζουμε τόξο κύκλου που τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο σημείο 4. Με κέντρα τα Α και Β και με ακτίνα Α4 σχεδιάζονται τόξα που ορίζουν τα σημεία Γ, και Ε. Τα σημεία αυτά μαζί με τα Α και Β αποτελούν τις κορυφές του πενταγώνου. σχ

4 10. Κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο σχ. 11 Αν ΟΚ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του πενταγώνου, χωρίζουμε την ΟΚ σε μέσο και άκρο λόγο και ορίζουμε το σημείο Μ (σχ. 11). Στην προέκταση της ΟΚ πέρνουμε τμήμα ΟΛ = ΚΜ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ είναι επίσης χωρισμένο σε μέσο και άκρο λόγο στο σημείο Ο. Φέρνουμε την κάθετη στην ΟΚ διάμετρο του κύκλου και ορίζουμε το σημείο Α. Με κέντρο Α και ακτίνα ΑΛ χαράσσουμε τόξο κύκλου, που τέμνει την αρχική περιφέρεια στα σημεία Β και Ε, που είναι σημεία του περιγεγραμμένου πενταγώνου. Μεταφέρουμε το μήκος της χορδής ΑΒ και ορίζουμε τα σημεία Γ και. 11. Κανονικό εξάγωνο Με κέντρα τα Α και Β και με ακτίνα ΑΒ ορίζουμε το σημείο Ο (σχ. 12). Με κέντρο το Ο σχεδιάζεται κύκλος με ακτίνα ΑΒ, που τέμνει τα τόξα από τα κέντρα Α και Β στα σημεία Γ και Ζ, που είναι δύο κορυφές του εξαγώνου. Με κέντρα τα Γ και Ζ και με ακτίνα πάντα ΑΒ σχεδιάζονται δύο νέα τόξα, που τέμνουν το ημικύκλιο στα και Ε που αποτελούν δύο νέες κορυφές του ζητούμενου σχήματος. Ενώνοντας τα Α, Β, Γ,, Ε και Ζ κατασκευάζεται το κανονικό εξάγωνο πλευράς ΑΒ. σχ Κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Σχεδιάζεται η κάθετος προς τη διάμετρο του κύκλου στο κέντρο Ο (σχ. 13). Η τομή της μεσοκαθέτου με την περιφέρεια του κύκλου ορίζει τα σημεία Α και και είναι και οι πρώτες κορυφές του εξαγώνου. Με κέντρα τα Α και και ακτίνα ΑΟ σχεδιάζονται δύο τόξα που τέμνουν την περιφέρεια στα Β, Γ, Ε και Ζ, σημεία που μαζί με τα Α και ορίζουν τις έξι κορυφές του εξαγώνου. 13. Κανονικό επτάγωνο Επεκτείνεται η ΑΒ και ορίζεται το σημείο 1 έτσι ώστε Α1=ΑΒ (σχ. 14). Με κέντρο το Β και ακτίνα Β1 σχεδιάζεται τόξο που τέμνει την κάθετη από το Α σχ

5 σχ. 14 στο σημείο 2. Στη συνέχεια σχεδιάζεται η διχοτόμος της 1Β2 που τέμνει την κάθετη από το Α στο σημείο 3 και την Β2 στο σημείο 4. Με κέντρα τα Α και Β σχεδιάζονται κύκλοι ακτίνας Β4 που τέμνονται στο σημείο Ο, το οποίο είναι το κέντρο κύκλου επί του οποίου μεταφέροντας την ΒΟ ορίζονται οι επτά κορυφές του ζητούμενου επταγώνου. σχ Κανονικό επτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Κατασκευάζουμε την κάθετη στη διάμετρο του κύκλου που τέμνει την περιφέρεια στο σημείο 1 (σχ. 15). Με κέντρο το 1 και ακτίνα R σχεδιάζουμε τόξο, που τέμνει την περιφέρεια του κύκλου στα σημεία 3 και 4. Η χορδή αυτού του τόξου ισούται με το διπλάσιο της πλευράς του ζητούμενου επταγώνου. Μεταφέροντας με το διαβήτη το ήμισυ της χορδής (ξεκινώντας από το Ε) σχεδιάζουμε το ζητούμενο επτάγωνο. 15. Κανονικό οκτάγωνο Επί της πλευράς ΑΒ ορίζεται ο άξονας η τομή του οποίου με την ΑΒ είναι το σημείο 1 (σχ. 16). Με κέντρο το 1 και με ακτίνα την Α1 σχεδιάζουμε ημικύκλιο που τέμνει τον άξονα στο σημείο 2. Με κέντρο το 2 και με ακτίνα 2 Α σχεδιάζουμε τόξο που τέμνει τον άξονα στο σημείο 3. Με κέντρο το 3 και ακτίνα 3 Α σχεδιάζουμε νέο κύκλο που περιγράφει το οκτάγωνο πλευράς ΑΒ. Στη περιφέρεια αυτή μεταφέρουμε την πλευρά ΑΒ και ορίζουμε τα σημεία Γ,, Ε, Ζ, Η, και Θ που αποτελούν τις κορυφές του ζητούμενου οκταγώνου. σχ

6 16. Κανονικό οκτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Κατασκευάζουμε την κάθετη στη διάμετρο ΓΗ του κύκλου, που τέμνει την περιφέρεια στα σημεία Α και Ε, που μαζί με τα προηγούμενα αποτελούν τις τέσσερις κορυφές του οκταγώνου (σχ. 17). Σχεδιάζουμε τις διχοτόμους των γωνιών, που ορίζονται από το κέντρο του κύκλου και τις κορυφές Α,Γ,Ε,Η. Οι τομές των διχοτόμων με την περιφέρεια ορίζουν τις υπόλοιπες κορυφές του ζητούμενου οκταγώνου. σχ Κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Για να εγγράψουμε κανονικό δεκάγωνο σε κύκλο (Ο,r), φέρνουμε δύο κάθετες μεταξύ τους διαμέτρους ΑΒ και Γ (σχ. 18). Βρίσκουμε το μέσο Μ μιας απ όλες τις ακτίνες, έστω της ΟΑ και δημιουργούμε το τρίγωνο ΟΜΓ. Με κέντρο Μ και ακτίνα ΜΟ χαράσσουμε τόξο κύκλου, που τέμνει την υποτείνουσα του τριγώνου στο σημείο Κ. Το διάστημα ΓΚ είναι ίσο με την πλευρά του δεκαγώνου. Με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΚ χαράσσουμε τόξο κύκλου, που τέμνει τον αρχικό κύκλο (Ο,r) στα σημεία Ε και Ζ. Μεταφέρουμε το μήκος της χορδής ΓΕ στην περιφέρεια του κύκλου. 18. Πεπλατυσμένο πολυκεντρικό τόξο σχ. 18 Σχεδιάζουμε τόξο κύκλου με κέντρο και ακτίνα Α (σχ. 19), μέχρι να τμήσει την προέκταση του βέλους Γ (σημείο 5). Με κέντρο το Γ σχεδιάζουμε περιφέρεια με ακτίνα Γ5. Ενώνουμε τα σημεία Α και Β με το Γ και ορίζουμε τα σημεία 1 και 2. Σχεδιάζουμε τις μεσοκαθέτους των Α1 και Β2. Η τομή των μεσοκαθέτων με τη χορδή ΑΒ, δίνει τα σημεία 3 και 4 και με την προέκταση του βέλους Γ, το σημείο 6. Ορίζονται τα κέντρα των τόξων των κύκλων με ακτίνες 6Γ, 3Α και 4Β που συνθέτουν το ζητούμενο τόξο. 19. Ασύμμετρο τόξο δεδομένων των σημείων γένεσής του Ενώνουμε τα σημεία γένεσης του τόξου Α και Β σχ

7 (σχ. 20), που προφανώς βρίσκονται σε διαφορετικό ύψος και προσδιορίζουμε το μέσο τους (σημείο 1). Από το σημείο αυτό φέρνουμε την κατακόρυφη και στη συνέχεια σχεδιάζουμε κύκλο ακτίνας 1Α, που τέμνει την κατακόρυφο στο σημείο 2. Από το σημείο 2 σχεδιάζουμε την κάθετη στην ΑΒ (ευθεία 23) που τέμνει τις οριζόντιες από τα Α και Β στα σημεία 3 και 4. Τα σημεία αυτά αποτελούν τα κέντρα χάραξης των ζητουμένων τόξων. 20. Γεωμετρική κατασκευή έλλειψης Η κατασκευή της καμπύλης της έλλειψης απαιτεί να γνωρίζουμε τον μεγάλο της άξονα ΑΒ και τον μικρό της άξονα Γ. Οι άξονες ΑΒ και Γ αλληλοδιχοτομούνται κάθετα στο κέντρο Ο της έλλειψης. Με κέντρο το σημείο Ο γράφουμε δύο κύκλους, τον ένα με διάμετρο ίση με τον μικρό άξονα και τον δεύτερο με διάμετρο ίση με τον μεγάλο άξονα της έλλειψης (σχ. 21). Από το σημείο Ο γράφουμε τυχαία ακτίνα προς τον μεγάλο κύκλο. Από το σημείο που η ακτίνα τέμνει τον μεγάλο κύκλο γράφουμε ημιευθεία παράλληλη προς τον μικρό άξονα και από το σημείο που η ακτίνα τέμνει τον μικρό κύκλο, γράφουμε ημιευθεία παράλληλη προς τον μεγάλο άξονα. Το σημείο τομής Ε των ημιευθειών αυτών είναι σημείο της καμπύλης της έλλειψης. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω εργασία, μπορούμε να βρούμε περισσότερα σημεία της καμπύλης και να κατασκευάσουμε την έλλειψη ενώνοντάς τα. σχ. 20 σχ Εφαπτομένη έλλειψης από σημείο του μεγάλου άξονά της Για την κατασκευή αυτή χρειάζεται να κατασκευάσουμε τον κύκλο που έχει κέντρο το κέντρο της έλλειψης και διάμετρο ίση με τον μεγάλο άξονά της (σχ. 22). Από το σημείο Κ του μεγάλου άξονα της έλλειψης, το οποίο βρίσκεται έξω από την περιφέρειά της, κατασκευάζουμε την εφαπτομένη στον κύκλο (Ο,ΟΑ) και ορίζουμε το σημείο επαφής Ρ. Από το σημείο Ρ γράφουμε ημιευθεία παράλληλη προς τον μικρό άξονα της έλλειψης. Το σημείο Ρ που προκύπτει από την τομή της ημιευθείας αυτής με την καμπύλη της έλλειψης, σχ

8 είναι το σημείο επαφής της έλλειψης και της εφαπτομένης της από το σημείο Κ. 22. Εφαπτόμενη έλλειψης από τυχαίο σημείο εκτός της περιφέρειάς της σχ. 23 Κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει κέντρο το κέντρο της έλλειψης και διάμετρο ίση με τον μεγάλο άξονά της, γράφουμε την ευθεία Κ και την προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την προέκταση του μεγάλου άξονα της έλλειψης, στο σημείο Π (σχ. 23). Γράφουμε την ευθεία Π και την προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την ευθεία που περνά από το Κ και είναι παράλληλη στον μικρό άξονα της έλλειψης, στο σημείο Κ. Από το σημείο Κ κατασκευάζουμε την εφαπτομένη του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ, που ονομάζεται ομόλογος κύκλος της έλλειψης. Ορίζουμε το σημείο επαφής Ρ και γράφουμε από το Ρ ευθεία επίσης παράλληλη στον μικρό άξονα της έλλειψης. Το σημείο Ρ είναι η τομή της ευθείας με την καμπύλη της έλλειψης και είναι το ζητούμενο σημείο επαφής της έλλειψης και της εφαπτομένης της από το σημείο Κ. 23. Εφαπτομένη έλλειψης μέσω της ευθείας Pascal σχ. 24 Από το σημείο Κ φέρνουμε τρεις τυχαίες ευθείες, οι οποίες τέμνουν την έλλειψη σε 6 σημεία (σχ. 24). Φέρνουμε τις διαγωνίους των πρώτων με τα δεύτερα διαδοχικά σημεία. Οι τομές των διαγωνίων ορίζουν μια ευθεία, την ευθεία Pascal, η οποία τέμνει την έλλειψη στα σημεία Α και Β. Από τα σημεία Α και Β διέρχονται οι εφαπτόμενες της έλλειψης από το σημείο Κ. 24. Εφαπτομένη έλλειψης παράλληλη σε γνωστή διεύθυνση Γνωρίζουμε τη διεύθυνση δ των εφαπτομένων της έλλειψης και ζητούμε τα σημεία επαφής. Φέρνουμε τυχαίες ευθείες παράλληλες προς τη διεύθυνση δ (σχ. 25), ώστε να τέμνουν την έλλειψη σε 6 σημεία και κατασκευάζουμε την ευθεία Pascal, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Τα σημεία Α και Β είναι τα ζητούμενα σημεία. σχ

9 25. Συζυγείς διάμετροι έλλειψης Η έλλειψη και ο κύκλος παρουσιάζουν αλληλοσυσχετισμό των ιδιοτήτων τους, που ονομάζεται ομολογία. Στην περίπτωση του κύκλου και της έλλειψης η αντιστοιχία των ιδιοτήτων είναι αμφιμονοσύμαντη. Ένα παράδειγμα αυτού του συσχετισμού φαίνεται στο σχήμα 26: το ζευγάρι των κάθετων διαμέτρων Κ Λ και Μ Ν του ομόλογου κύκλου της έλλειψης δημιουργεί το ζευγάρι των διαμέτρων ΚΛ και ΜΝ της έλλειψης, που ονομάζονται συζυγείς διάμετροι. Η εφαπτομένη ε του ομόλογου κύκλου στο σημείο Λ είναι παράλληλη με τη διάμετρο Μ Ν, η οποία είναι κάθετη στην Κ Λ. Όμοια, η εφαπτομένη ε της έλλειψης στο σημείο Λ είναι παράλληλη με την διάμετρο ΜΝ της έλλειψης, η οποία είναι συζυγής της ΚΛ. σχ. 26 Ειδική περίπτωση συζυγών διαμέτρων μιας έλλειψης είναι το ζευγάρι του μεγάλου και μικρού άξονά της, οι οποίες είναι οι μόνες κάθετες μεταξύ τους συζυγείς διάμετροι. 26. Κατασκευή Rytz Η γεωμετρική αυτή κατασκευή μάς δίνει τη δυνατότητα να βρούμε και να κατασκευάσουμε τον μεγάλο και μικρό άξονα μιας έλλειψης, όταν γνωρίζουμε μόνο ένα ζεύγος συζυγών διαμέτρων της. Τα ευθύγραμμα τμήματα Γ και ΕΖ του σχήματος 27 γνωρίζουμε ότι είναι συζυγείς διάμετροι μιας έλλειψης και αλληλοδιχοτομούνται στο σημείο Ο, το οποίο είναι το κέντρο της ζητούμενης έλλειψης. Από το κέντρο Ο γράφουμε ευθεία κάθετη προς μία από τις δύο συζυγείς, έστω τη Γ και ορίζουμε πάνω της τμήμα ΟΗ = ΟΓ (σχ. 27). Γράφουμε την ευθεία ΕΗ και κατασκευάζουμε το μέσο της Μ (σχ. 28). Με κέντρο Μ και ακτίνα ΜΟ γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει την ΕΗ στα σημεία Α και Β. Οι ευθείες ΟΑ και ΟΒ είναι ο μεγάλος και μικρός ημιάξονας της έλλειψης. Ο μεγάλος άξονας βρίσκεται μέσα στην οξεία γωνία των συζυγών Γ και ΕΖ και ο μικρός άξονας βρίσκεται μέσα στην αμβλεία γωνία των Γ και ΕΖ. Το μέγεθος του μικρού ημιάξονα της έλλειψης (μη/α) είναι ίσο με το τμήμα ΗΒ και το μέγεθος του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης (Μη/α) είναι ίσο με το τμήμα ΗΑ. Μεταφέροντας τα μεγέθη αυτά στις ευθείες ΟΒ και ΟΑ αντίστοιχα, σχ. 27 σχ. 28 σχ

10 κατασκευάζουμε το μεγάλο και μικρό άξονα της έλλειψης και επομένως και την ίδια την καμπύλη της (σχ. 29). 27. Σπείρα μέσω ημικυκλίων σχ. 30 Επί ευθυγράμμου τμήματος ορίζουμε σημείο 1 (σχ. 30). Με κέντρο το 1 και ακτίνα 1Α σχεδιάζεται το πρώτο ημικύκλιο και ορίζεται το σημείο Β. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ σχεδιάζεται το δεύτερο ημικύκλιο που ορίζει το σημείο Γ. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία σχεδιάζουμε τα υπόλοιπα ημικύκλια που ορίζουν τη σπείρα. 28. Σπείρα με τέσσερα κέντρα και σταθερό βήμα σχ. 31 Αρχικά σχεδιάζουμε τετράγωνο 1234, του οποίου η περίμετρος είναι ίση με το βήμα της σπείρας (σχ. 31). Προεκτείνουμε τις πλευρές του τετραγώνου προς τη κατεύθυνση που θέλουμε να αναπτυχθεί η σπείρα (έστω δεξιόστροφα). Με κέντρο το 1 και με ακτίνα 14 σχεδιάζουμε τόξο μέχρι να τμήσει την προέκταση της πλευράς 12 και ορίζουμε το σημείο Α. Με κέντρο το 2 και ακτίνα 2Α σχεδιάζουμε τόξο μέχρι να τμήσει την προέκταση της πλευράς 32 και ορίζουμε το σημείο Β. Με κέντρο το 3 και ακτίνα 3Β σχεδιάζουμε τόξο μέχρι να τμήσει την προέκταση της πλευράς 43 και ορίζουμε το σημείο Γ. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε μέχρι να ορίσουμε και τα υπόλοιπα τεταρτοκύκλια της σπείρας. 29. Σπείρα του Αρχιμήδη Χωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε 8 ίσα μέρη (σχ. 32). Με κέντρο έστω το σημείο Α, μεταφέρουμε κυκλικά τα σημεία 1, 2, 3 κλπ διαδοχικά σε ακτίνες, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 45 Ο (όγδοα πλήρους γωνίας κύκλου). 30. ιακοσμητική σπείρα του ιωνικού κιονόκρανου Το κέντρο της ιωνικής σπείρας (οφθαλμός) είχε συγκεκριμένες αναλογίες με το υπόλοιπο τμήμα του κιονόκρανου και της κολώνας όπως π.χ. σε σχ

11 ορισμένες περιπτώσεις, η ακτίνα του ισούται με το 1/18 του εμβάτη (μέτρου) της κολώνας. Η χάραξή τους διαφέρει από μνημείο σε μνημείο χωρίς να έχει οριστικοποιηθεί η μέθοδος. Μια μορφή έλικας «ιδεατού» κιονοκράνου μπορεί να χαραχθεί με τμήματα κύκλου που γράφονται με δώδεκα κέντρα στις γωνίες τριών ομολόγων τετραγώνων με την μια πλευρά στην κάθετο διάμετρο του οφθαλμού (που γράφεται πρώτος), εκ των οποίων το μεγαλύτερο έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του οφθαλμού της σπείρας και έχουν κέντρο ομολογίας το κέντρο του οφθαλμού (σχ. 33,34). Η μέθοδος αυτή είχε προταθεί αρχικά από τον Βιτρούβιο (βιβλίο ΙΙΙ, κεφ. 2), όχι όμως με απόλυτη ακρίβεια, με αποτέλεσμα το λατινικό κείμενο να προσφέρεται για διαφορετικές ερμηνείες. Πολλοί άλλοι τρόποι χάραξης της σπείρας είναι γνωστοί, σύμφωνα με προτάσεις του Αρχιμήδη καθώς και νεώτερων αρχιτεκτόνων. Ο B. Fletcher προτείνει τη χάραξη της σπείρας με την εκτύλιξη νήματος από κογχύλι (σχ. 35). Ο Penrose επίσης την εκτύλιξη νήματος από απλό κύλινδρο διαμέτρου ίσης με τη διάμετρο του οφθαλμού. σχ Μέθοδος του Vitruvio κατά Goldman Στο εσωτερικό του οφθαλμού της σπείρας εγγράφεται τετράγωνο 1234 του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από το κέντρο του κύκλου του οφθαλμού. Χωρίζουμε την πλευρά 14 σε 6 ίσα μέρη και φέρνουμε τις Κ2 και Κ3. Σχεδιάζουμε τα μικρότερα τετράγωνα. Προεκτείνουμε τις πλευρές των τετραγώνων σύμφωνα με τα προηγούμενα και από τις κορυφές αυτές σχεδιάζουμε τόξα κύκλου που αποτελούν την εξωτερική πλευρά της σπείρας (βλ. σχ. 34). σχ. 34 Λεπτομέρεια του οφθαλμού Το παιχνίδι της γεωμετρίας Ο Leonardo da Vinci συχνά σχεδίαζε γεωμετρικές χαράξεις πολλές φορές σαν παιγνίδι ενδιαφέρον κι ευχάριστο. Τα αποτελέσματα αυτών των χαράξεων αποτέλεσαν ένα χειρόγραφο με τίτλο «De Ludo geometrico» όπου -δια μέσου αφηρημένων γεωμετρικών κατασκευών- σκοπό είχε να διερευνήσει τους νόμους της φύσης. Στα σχέδιά του εγγράφει στους κύκλους τετράγωνα σχ

12 και εξάγωνα, χαράσσοντας τόξα, που ενωμένα ανά δύο δίνουν τις γεωμετρικές μορφές των πετάλων των φύλλων κ.α. Σκοπός του ήταν -διαμέσου των γεωμετρικών μορφών της επίπεδομετρίας- ν ανακαλύψει τα μυστήρια των αναλογιών, της συμμετρίας και της αρμονίας, σε σχέση με τη φύση (σχ. 36). σχ

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα