Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βασικές Γεωμετρικές έννοιες"

Transcript

1 Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου. π.χ. Α Ευθύγραμμο τμήμα Το τμήμα της ευθείας γραμμής που ενώνει δύο σημεία, λέγεται ευθύγραμμο τμήμα. Στο ευθύγραμμο τμήμα γνωρίζω την αρχή και το τέλος του. π.χ. Α Β Το ευθύγραμμο τμήμα συμβολίζεται με τα δύο γράμματα που μας δείχνουν την αρχή και το τέλος του, π.χ. ΑΒ Ημιευθεία Ένα ευθύγραμμα τμήμα που έχει μόνο αρχή, αλλά δεν έχει τέλος ή έχει τέλος και δεν έχει αρχή, λέγεται ημιευθεία. π.χ. y Α x Β Η ημιευθεία συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα, που δηλώνει την αρχή ή το τέλος και ένα μικρό γράμμα, Αx, yb κ.λ.π. Ευθεία Εάν προεκτείνω απεριόριστα ένα ευθύγραμμα τμήμα, ώστε να μη γνωρίζω την αρχή και το τέλος του, το νέο σχήμα λέγεται ευθεία. π.χ. ε Την ευθεία την συμβολίζω με ένα μικρό γράμμα της αλφαβήτου. 1

2 Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο : θα είναι παράλληλες x // y θα τέμνονται σε ένα σημείο : η ευθεία ε 1 τέμνει την ε 2 στο σημείο Α. θα τέμνονται κάθετα : η ευθεία θ τέμνει κάθετα την ζ στο σημείο Β. x θ y Α ζ Β ε 2 ε 1 Σχέση σημείου και ευθείας Από ένα σημείο περνάνε άπειρες ευθείες, ενώ από δύο σημεία περνάει μόνο μία ευθεία. Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση σημείου από ευθεία ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει κάθετα το σημείο με την ευθεία. Από το σημείο Α φέρνω την κάθετη στην ευθεία ε. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. Μέσο ευθύγραμμου τμήματος - Μεσοκάθετος Μέσο ευθυγράμμου τμήματος είναι το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα του. Το μέσο είναι μοναδικό σημείο σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα. Το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο του και σχηματίζει με το ευθύγραμμο τμήμα ορθή γωνία. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου έχει την ιδιότητα να ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος. Η ευθεία ε είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Α Μ Β ε Α Μ Β 2

3 Γωνία Γωνία είναι το σύνολο των σημείων που περιέχεται ανάμεσα σε δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Η κοινή αρχή λέγεται κορυφή της γωνίας. Την κορυφή της γωνίας τη συμβολίζουμε με κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτας. Συμβολισμός : Οι γωνίες συμβολίζονται συνήθως με τα μικρά γράμματα φ, θ, ω και από πάνω το γωνιακό σύμβολο ^. Π.χ. ϕ, θ. Μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η μοίρα. x κ A μ y Β λ Γ ν Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από 90 ο λέγεται οξεία γωνία. Η γωνία xây είναι οξεία γωνία. Κάθε γωνία που είναι ίση με 90 ο λέγεται ορθή γωνία. Η γωνία κ B λ είναι ορθή γωνία. Κάθε γωνία μεγαλύτερη από 90 ο λέγεται αμβλεία γωνία. Η γωνία μ Γ ν είναι αμβλεία γωνία. Κατασκευή γωνίας Για να κατασκευάσω μία γωνία πρέπει να ξέρω πόσες μοίρες είναι. Φτιάχνω τη βάση της γωνίας και σημειώνω την κορυφή της γωνίας. Κατόπιν τοποθετώ το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή και σημειώνω το μέτρο της γωνίας. Μετά ενώνω την κορυφή με το σημείο που μέτρησα ως μέτρο της γωνίας. Έτσι σχηματίζω τη γωνία που θέλω. π.χ. Θέλω να κατασκευάσω μία γωνία 70 ο, με βάση το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 4 εκατ. Πρώτα σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Με κορυφή το Α τοποθετώ το μοιρογνωμόνιό μου και σημαδεύω τις 70 ο. Ενώνω το σημείο Α με το σημάδι και σχηματίζω τη γωνία των 70 ο. 3

4 Γωνία Διχοτόμος γωνίας Η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Η γωνία xôy, έχει την Οz διχοτόμο της. Η γωνία Ô χωρίζεται σε δύο ίσες γωνίες. Κατασκευή Διχοτόμου γωνίας Για να κατασκευάσω τη διχοτόμο ακολουθώ τους παρακάτω τρόπους : 1. Σχεδιάζω τη γωνία σε ένα φύλλο χαρτιού. Κατόπιν διπλώνω το χαρτί έτσι ώστε η ευθεία της τσάκισης να περάσει από την κορυφή της γωνίας και ταυτόχρονα η μία πλευρά της γωνίας να συμπέσει με την άλλη πλευρά της. Η γραμμή που σχηματίζεται στο δίπλωμα του χαρτιού είναι και η διχοτόμος της γωνίας. 2. Μετράω τη γωνία xôy και βρίσκουμε το μέτρο της. Με το μοιρογνωμόνιο βρίσκω και σημαδεύω το μέσο της γωνίας xôy. Κατόπιν ενώνω και σχηματίζω τη διχοτόμο της γωνίας. 3. Ακολουθώ με προσοχή τα παρακάτω βήματα : Η xôy γωνία την οποία θα διχοτομήσουμε. 4

5 Με κέντρο το σημείο Ο γράφουμε τυχαίο κύκλο. Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές τις γωνίας. Σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ( χορδή του κύκλου ) και έστω Μ το μέσον αυτής. Σχεδιάζω την ημιευθεία η οποία ξεκινάει από το Ο και περνάει από το σημείο Μ. Η ημιευθεία διχοτομεί την γωνία x Ο y. Αφού σβήσω τον κύκλο που σχεδίασα, τα σημεία και τα ευθύγραμμα τμήματα μένει μόνο η διχοτόμος που σχεδίασα. Τρίγωνο Στοιχεία του τριγώνου Κάθε τρίγωνο έχει : Τρεις πλευρές : ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ. Τρεις γωνίες : Α, B, Γ. Τρεις κορυφές : Α, Β, Γ. 5

6 Α). Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις πλευρές Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. ( ΠΡΣ ) Ισοσκελές είναι το τρίγωνο που έχει δύο μόνο πλευρές του ίσες. ( ΝΞΟ ) Σκαληνό είναι το τρίγωνο που έχει τις τρεις πλευρές του άνισες. ( ΚΛΜ ) ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό Β). Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις γωνίες τους Οξυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία του γωνία αμβλεία. Ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία. οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο Κατασκευή τριγώνου Για να κατασκευάσω ένα τρίγωνο πρέπει : Να γνωρίζω δύο του πλευρές και την περιεχόμενη σ αυτές γωνία. π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει ΑΒ=4 εκ., ΑΓ=3 εκ. και γωνία Α =70 ο. Σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 4 εκατ. 6

7 Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α και κατασκευάζουμε τη γωνία Α =70 ο. Μετράμε με το χάρακα πάνω στην πλευρά Αχ 3 εκ. και σημειώνουμε την κορυφή Γ. Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ. Να γνωρίζω τη βάση του και τις δύο γωνίες που βρίσκονται σ αυτή. π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΔΕΖ, που έχει ΔΕ=4 εκ., γωνία Δ =70 ο και γωνία Ε =40 ο. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ=4 εκ. Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Δ και κατασκευάζουμε τη γωνία Δ =70 ο. Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Ε και κατασκευάζουμε τη γωνία Ε =40 ο. Στο σημείο που τέμνονται οι πλευρές Δχ και Εψ των γωνιών σημειώνουμε την κορυφή Ζ. 7

8 Ύψος ύψη του τριγώνου : Από την κορυφή Γ φέρνουμε κάθετο στην πλευρά ΑΒ. Αυτή τέμνει την ΑΒ στο σημείο Δ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου και η πλευρά ΑΒ η βάση του. Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να φέρουμε τρία ύψη από τις τρεις κορυφές. Αν χαράξουμε τα τρία ύψη (ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ) του τριγώνου ΑΒΓ παρατηρούμε ότι τέμνονται στο σημείο Ο. Διχοτόμος Διάμεσος ενός τριγώνου Διάμεσος ονομάζουμε το ευθύγραμμο που ενώνει την κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Σε κάθε τρίγωνο ορίζονται τρεις διάμεσοι, που διέρχονται από ένα κοινό σημείο το οποίο ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου. Διχοτόμο ονομάζουμε την ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει την γωνία του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη. Σε κάθε τρίγωνο ορίζονται τρεις διχοτόμοι, που διέρχονται από ένα κοινό σημείο το οποίο ονομάζεται έγγεντρο του τριγώνου. Α Δ Β Η διάμεσος Γ Ε Θ διχοτόμος Ζ ΑΗ = Διάμεσος, ΔΘ = Διχοτόμος της γωνίας Δ Περίμετρος του τριγώνου Το άθροισμα των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου λέγεται περίμετρος. ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό Τρίγωνο ΠΡΣ : ΠΡ + ΡΣ + ΣΠ = = 15 εκατ. Τρίγωνο ΝΞΟ : ΝΞ + ΞΟ + ΟΝ = 5 + 6,5 + 6,5 = 18 εκατ. Τρίγωνο ΚΛΜ : ΚΛ + ΛΜ + ΜΚ = 5 + 4,5 + 3,5 = 13 εκατ. 8

9 Άθροισμα γωνιών τριγώνου Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο. οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ : Α + Β + Γ = 50 ο + 60 ο + 70 ο = 180 ο τρίγωνο ΔΕΖ : Δ + Ε + Ζ = 30 ο + 50 ο ο = 180 ο τρίγωνο ΗΘΙ : Η + Θ + Ι = 90 ο + 40 ο + 50 ο = 180 ο Εμβαδό τριγώνου Για να βρω το Εμβαδό ενός τριγώνου πρέπει να ξέρω τη βάση του και το ύψος του. Αν τα γνωρίζω αυτά, τότε αντικαθιστώ στον τύπο : Ε = β υ 2 ( β = βάση, υ = ύψος ), Ε = ΑΒ ΓΔ 2 Τετράπλευρα Τα τετράπλευρα τα χωρίζουμε σε τρεις κατηγορίες : Παραλληλόγραμμα : τετράγωνο ρόμβος ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πλάγιο παραλληλόγραμμο 9

10 Έχουν όλες τις απέναντι πλευρές τους παράλληλες. Τραπέζια : απλό τραπέζιο ορθογώνιο τραπέζιο ισοσκελές τραπέζιο Έχουν τις δύο μόνο απέναντι πλευρές τους παράλληλες. Απλό τετράπλευρο : Τα απλά τετράπλευρα δεν είναι ούτε παραλληλόγραμμα ούτε τραπέζια Βασικά στοιχεία παραλληλογράμμων Έχουν τέσσερις κορυφές. Α, Β, Γ, Δ. Έχουν τέσσερις πλευρές. ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ. Έχουν τέσσερις γωνίες. Α, B, Γ, Δ. Έχουν δύο διαγώνιες. ΑΓ, ΒΔ. Βασικές ιδιότητες παραλληλογράμμων Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Μία διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα. Το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες και οι γωνίες του είναι ορθές. Ο ρόμβος έχει όλες του τις πλευρές ίσες και τις απέναντι γωνίες του ίσες. 10

11 Άθροισμα γωνιών παραλληλογράμμων Χαράζω τη διαγώνιο ΑΓ και το τετράπλευρο ΑΒΓΔ χωρίζεται σε δύο τρίγωνα, ΑΒΓ και ΑΔΓ, άρα 180 ο ο = 360 ο. Διαγώνιος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις απέναντι γωνίες του τετράπλευρου και δεν είναι πλευρά. Τετράγωνο Τετράγωνο είναι το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Σε κάθε τετράγωνο ισχύει : Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Όλες οι πλευρές είναι ίσες. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του. Κατασκευή τετραγώνο Α Β Σχεδιάζω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 εκατ.. Με τη βοήθεια του τριγώνου και από το σημείο Β φέρνω κάθετη και σχεδιάζω την ΒΓ = 4 εκατ. η οποία είναι ίση με την ΑΒ = 4 εκατ.. Με τη βοήθεια του τριγώνου και από το σημείο Γ φέρνω κάθετη και σχεδιάζω την ΓΔ = 4 εκατ. η οποία είναι ίση με την ΑΒ = ΒΓ = 4 εκατ.. Με τη βοήθεια του τριγώνου και από το σημείο Δ φέρνω κάθετη και σχεδιάζω την ΔΑ = 4 εκατ. η οποία είναι ίση με την ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = 4 εκατ.. 11

12 Περίμετρος τετραγώνου Για να υπολογίσω την περίμετρο ενός τετραγώνου : Προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του. Πολλαπλασιάζω την πλευρά του με το 4. Περίμετρος τετραγώνου = = 12 εκατ. Περίμετρος τετραγώνου = 4 3 = 12 εκατ. ή Εμβαδό τετραγώνου Για να υπολογίσω το εμβαδό του τετραγώνου, πολλαπλασιάζω την βάση με το ύψος του. Επειδή όμως στο τετράγωνο οι τέσσερις πλευρές του είναι ίσες, πολλαπλασιάζω την πλευρά του επί την πλευρά του. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει όλες του τις γωνίες του ορθές και τις απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. Κατασκευή ορθογωνίου παραλληλογράμμου Για να κατασκευάσω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ακολουθώ την παρακάτω σειρά : π.χ. Να κατασκευάσεις το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΔΕΖΗ, που έχει πλευρές ΔΕ=4 εκ., ΔΗ=3 εκατ.. 12

13 Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ=4 εκ. Τοποθετούμε το τρίγωνό μας στην κορυφή Δ και φέρνουμε την κάθετο ΔΗ=3 εκ. Τοποθετούμε το τρίγωνό μας στην κορυφή Η και φέρνουμε την κάθετο ΗΖ=4 εκ. Ενώνουμε τις κορυφές Ε και Ζ. Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου Για να βρω την περίμετρο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του ή προσθέτω το διπλάσιο των δύο πλευρών του ή πολλαπλασιάζω το άθροισμα μήκος και πλάτος επί 2. Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = = 16 εκατ. ή Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = = = 16 εκατ. ή Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = ( ) 2 = 8 2 = 16 εκατ. 13

14 Εμβαδό ορθογωνίου παραλληλογράμμου Για να βρω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τη βάση με το ύψος του, το μήκος με το πλάτος. Πλάγιο Παραλληλόγραμμο Ένα παραλληλόγραμμο έχει : Τις απέναντι πλευρές του ίσες. Τις απέναντι γωνίες του ίσες. Μία διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα. Κατασκευή πλάγιου παραλληλογράμμου Για να κατασκευάσω ένα παραλληλόγραμμο πρέπει να ξέρω τις δύο πλευρές του και την περιεχόμενη σ αυτές γωνία. π.χ. Να κατασκευάσεις το πλάγιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, που έχει πλευρές ΑΒ=4 εκ., ΑΔ=3 εκ. και γωνία Α =70 ο. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4 εκ. Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α κατασκευάζουμε τη γωνία Α =70 ο. 14

15 Μετράμε με το χάρακα πάνω στην πλευρά Αχ 3 εκ. και σημειώνουμε την κορυφή Δ. Από την κορυφή Δ φέρνουμε παράλληλο ευθύγραμμο τμήμα ΔΓ=4 εκ. Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ. Περίμετρος πλάγιου παραλληλογράμμου Για να βρω την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου, κάνω ότι έκανα και με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Περίμετρος παραλληλογράμμου = 5 + 3, ,5 = 17 εκατ. ή Περίμετρος παραλληλογράμμου = ,5 2 = = 17 εκατ. ή Περίμετρος παραλληλογράμμου = ( 5 + 3,5 ) 2 = 8,5 2 = 17 εκατ. Εμβαδό πλάγιου παραλληλογράμμου Για να βρω το εμβαδό παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τη βάση επί το ύψος του. Ε = β υ Ε = ΔΓ ΑΕ 15

16 Τραπέζιο Τα τραπέζια είναι τα τετράπλευρα που έχουν δύο πλευρές τους παράλληλες. Περίμετρος τραπεζίου Για να βρω την περίμετρο ενός τραπεζίου προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του. π.χ. περίμετρος = ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ Εμβαδό τραπεζίου Για να βρω το εμβαδό ενός τραπεζίου, προσθέτω τις δύο βάσεις του και τις πολλαπλασιάζω με το ύψος του. Μετά διαιρώ το γινόμενο με το 2. Ε = Ε = ( β + Β) υ 2 ( ΑΒ + ΔΓ) ΑΗ 2 Ρόμβος Ένας ρόμβος έχει : Όλες τις πλευρές του ίσες. Είναι παραλληλόγραμμο με τις διαγώνιούς του κάθετες. ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ 16

17 Περίμετρος ρόμβου Για να βρω την περίμετρο ενός ρόμβου, προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του ή πολλαπλασιάζω την πλευρά του επί 4. Περίμετρος ρόμβου = 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 10 εκατ. Περίμετρος ρόμβου = 2,5 4 = 10 εκατ. Εμβαδό ρόμβου Για να βρω το εμβαδό ενός ρόμβου, πολλαπλασιάζω τις δύο διαγωνίου του και διαιρώ με το 2. δ 1+ δ 2 Ε = 2 π.χ. Πολύγωνα Τι είναι πολύγωνο; Πολύγωνο είναι το γεωμετρικό σχήμα που έχει πολλές πλευρές και γωνίες. Τα πολύγωνα ονομάζονται ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών και των πλευρών που έχουν Το σχήμα που βλέπεται δίπλα είναι ένα πεντάγωνο, γιατί έχει πέντε γωνίες και πλευρές. Κανονικά πολύγωνα Κανονικά πολύγωνα λέγονται αυτά που έχουν όλες τις γωνίες και τις πλευρές τους ίσες μεταξύ τους. Το σχήμα αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο, γιατί κάθε γωνία του είναι 120 ο και κάθε πλευρά του 3 εκ. 17

18 Άθροισμα γωνιών πολυγώνου Χαράζουμε τις διαγώνιες από μια κορυφή προς τις άλλες κορυφές του πολυγώνου Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται τρίγωνα. Στο παράδειγμά μας δημιουργούνται τρία τρίγωνα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των τριγώνων επί 180 ο. άρα: το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ είναι ο Χ 3 = 540 ο Περίμετρος Πολυγώνων Για να υπολογίσουμε την περίμετρο ενός πολυγώνου, προσθέτουμε όλες τις πλευρές του. άρα, Περίμετρος= 2,2+3+3,2+3+3,4= 14,8 εκ. Για να υπολογίσουμε την περίμετρο ενός κανονικού πολυγώνου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος μιας πλευράς επί τον αριθμό των πλευρών του. άρα, Περίμετρος= 6 Χ 3 = 18 εκ. 18

19 Άλλα πολύγωνα Χαρακτηριστικά πολυγώνων Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά των πιο κοινών πολυγώνων. Πολύγωνο πλευρές γωνίες διαγώνιοι* τρίγωνα άθροισμα γωνιών τρίγωνο X180 ο = 180 ο τετράπλευρο X180 ο = 360 ο πεντάγωνο X180 ο = 540 ο εξάγωνο X180 ο = 720 ο επτάγωνο X180 ο = 900 ο οκτάγωνο X180 ο =1080 ο * διαγώνιες από μία κορυφή πεντάγωνο εξάγωνο επτάγωνο οκτάγωνο Πηγές : Κύκλος Κύκλο ονομάζουμε το σχήμα που όλα του τα σημεία ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο. Το σταθερό σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η σταθερή απόσταση ακτίνα. Ακτίνα του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του κύκλου με ένα σημείο της περιφέρειάς του. Κυκλικός δίσκος είναι όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύκλου. Τόξο ονομάζουμε το τμήμα του κύκλου που ορίζεται από δύο σημεία του. Χορδή ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρο ονομάζουμε την χορδή του κύκλου που περνά από το κέντρο του. 19

20 Κατασκευή κύκλου Για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο κέντρου ( Ο ) και ακτίνας ( α ), χρησιμοποιούμε τον διαβήτη. Τοποθετούμε τη μύτη του διαβήτη στο κέντρο ( Ο ), κανονίζουμε το άνοιγμά του να είναι όσο η ακτίνα ( α ) και γράφουμε τον κύκλο. ακτίνα του κύκλου : ΟΒ, ΟΓ διάμετρος του κύκλου : ΒΓ Μήκος κύκλου Για να υπολογίσουμε το μήκος του κύκλου πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο ( δ ) με τον αριθμό 3,14 ( π ). Μήκος κύκλου = π δ ή Μήκος κύκλου = π ( 2 α ) Εμβαδό κυκλικού δίσκου Το εμβαδό του κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π επί το τετράγωνο της ακτίνας του. Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π α 2 ή Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π α α όπου π = 3,14 και α η ακτίνα του κυκλικού δίσκου Στερεά Τα γεωμετρικά στερεά που μαθαίνουμε στο Δημοτικό σχολείο είναι ο κύβος, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ο κύλινδρος και η σφαίρα. 20

21 Ο παραπάνω κύβος: Το παραπάνω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Έχει 3 διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος) Έχει 3 διαστάσεις: (μήκος, πλάτος, ύψος) Έχει 6 έδρες, ίσες μεταξύ τους Έχει 6 έδρες, οι απέναντι ίσες Έχει 12 ακμές, ίσες μεταξύ τους Έχει 12 ακμές, οι απέναντι ίσες Έχει 8 κορυφές Έχει 8 κορυφές Εμβαδό στερεών σωμάτων Αν ξεδιπλώσουμε τα στερεά εμφανίζονται τα παρακάτω σχήματα : Ε ( κύβου ) = 6 α 2 ( όπου α η πλευρά του τετραγώνου ) ( ο κύβος αποτελείται από 6 ίσα τετράγωνα ) Ε ( τετραγώνου ) = α 2 Ε (ορθ. παρ/δου ) = Ε 1 + Ε 2 + Ε 3 Ε 1 = Εμβαδό 2 βάσεων Ε 2 = Εμβαδό 2 πλαγίων Ε 3 = Εμβαδό 2 β ( το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει τις απέναντι βάσεις του ίσες ) Ε = βάση ύψος Όγκος στερεών Ε ( κυλίνδρου ) = Ε ( βάσεων ) + Ε (παρ. επιφάνειας) Ε ( βάσεων ) = π α 2 Ε (παρ. επιφάνειας) = β υ ( όπου β = π δ ) ( α = ακτίνα του κύκλου, δ = διάμετρος, δ = 2 α ) 21

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Τεύχος 3οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Μάθημα 34 ο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε. Μάθημα 34 ο. Ασκήσεις. 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.:

Μαθηματικά Ε. Μάθημα 34 ο. Ασκήσεις. 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.: Μάθημα 34 ο Ασκήσεις 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.: A B Γ Δ 2. Να σχεδιάσεις δύο ημιευθείες Λx και Κy: Λ x K y 3. Να σχεδιάσεις δύο ευθείες ε 1 και ε 2 οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία

Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 4 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Σελίδα 19: Α Γυμνασίου, Μέρος Β,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του. 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα