Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1

2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που ανήκει σε αυτήν. Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς κενά. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει μοναδικό μέσο. Κάθε γωνία έχει μία μόνο διχοτόμο. ΓΩΝΙΕΣ Ορισμός: Το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή, ονομάζεται γωνία με πλευρές τις ημιευθείες αυτές και κορυφή τη κοινή αρχή. Ευθεία γωνία ονομάζεται η γωνία που οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες. Μηδενική γωνία ονομάζεται η γωνία που οι πλευρές της ταυτίζονται. Κυρτή γωνία ονομάζεται το μέρος του επιπέδου που αποτελείται από μία γωνία και το εσωτερικό της. Τα σημεία μιας γωνίας, που δεν ανήκουν στις πλευρές της λέγονται εσωτερικά σημεία της και αποτελούν το εσωτερικό της γωνίας. Μη Κυρτή γωνία ονομάζεται το μέρος του επιπέδου που αποτελείται από μία γωνία και το εξωτερικό της. Τα σημεία μιας γωνίας, που δεν ανήκουν στη γωνία λέγονται εξωτερικά σημεία της και αποτελούν το εξωτερικό της γωνίας. Πλήρης γωνία ονομάζεται η μη κυρτή γωνία που αντιστοιχεί στη μηδενική γωνία.

4 ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ Διχοτόμος μιας γωνίας xo ^ y ονομάζεται μία ημιευθεία οδ που ^ ^ yo x βρίσκεται στο εσωτερικό της και τέτοια ώστε: yoδ δοx. 2 Η διχοτόμος δηλαδή χωρίζει μία κυρτή γωνία σε δύο άλλες ίσες κυρτές γωνίες. Ορθή γωνία (90 ο ): Η διχοτόμος μιας ευθείας γωνίας τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες που η κάθε μία ονομάζεται ορθή γωνία. Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες και για να τις συμβολίζουμε χρησιμοποιούμε το σύμβολο π.χ ΑΒ ΒΓ. Δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους σχηματίζουν 4 ορθές γωνίες. Οξεία γωνία (<90 ο ): Ονομάζεται κάθε γωνία μικρότερη της ορθής. ^ Αμβλεία γωνία (>90 ο ): Ονομάζεται κάθε γωνία μεγαλύτερη της ορθής. Εφεξής ή διαδοχικές γωνίες: (Ορισμός 1) Ονομάζονται οι γωνίες που έχουν μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία ή (Ορισμός 2) Ονομάζονται οι γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, μία κοινή πλευρά και τις μη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής. Κατακορυφήν γωνίες: Ονομάζονται οι γωνίες των οποίων οι πλευρές της μίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης. Παραπληρωματικές γωνίες: Ονομάζονται δύο γωνίες όταν το άθροισμα τους είναι ίσο με μία ευθεία γωνία (δηλαδή 180 ο ). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες ονομάζεται παραπλήρωμα της άλλης. Συμπληρωματικές γωνίες: Ονομάζονται δύο γωνίες όταν το άθροισμα τους είναι ίσο με μία ορθή γωνία (δηλαδή 90 ο ). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες ονομάζεται συμπλήρωμα ή συμπληρωματική της άλλης.

5 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Οι διχοτόμοι δυο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας είναι διχοτόμος και της κατακορυφήν της γωνίας. Δυο εφεξής και παραπληρωματικές ευθείες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες και αντιστρόφως. ΚΥΚΛΟΣ Ορισμός: Κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το κέντρο Ο σταθερή απόσταση ίση με ρ. Το ευθύγραμμο τμήμα μήκους ρ ονομάζεται ακτίνα του κύκλου και το σταθερό σημείο Ο κέντρο του. Συμβολίζουμε με (Ο,ρ) ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ. Κάθε σημείο έστω Ν για το οποίο είναι ΟΝ < ρ ονομάζεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Κάθε σημείο έστω Ν για το οποίο είναι ΟΝ > ρ ονομάζεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Κυκλικό δίσκο ονομάζουμε το κύκλο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία. Χορδή κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δυο τυχαία σημεία ενός κύκλου. Κάθε χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διάμετρος του κύκλου. Διάμετρος του κύκλου είναι η μεγαλύτερη χορδή και ισούται με δύο ακτίνες. Τα άκρα μιας διαμέτρου ονομάζονται αντιδιαμετρικά σημεία. Τόξο κύκλου ονομάζεται το μέρος του κύκλου που βρίσκεται μεταξύ δυο σημείων του κύκλου. Απόστημα χορδής του κύκλου είναι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τη χορδή. Το απόστημα είναι πάντα κάθετο στη χορδή και διέρχεται από το μέσο της. Κάθε διάμετρος του κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα τόξα. Δυο κάθετες διάμετροι τον διαιρούν σε τέσσερα ίσα τόξα. ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ Ορισμός: Μία γωνία ονομάζεται επίκεντρη, όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου.

6 ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΚΕΝΤΡΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΤΟΞΟΥ Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα και αντιστρόφως. Θεώρημα: Δυο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα αν και μόνον αν οι επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε αυτά είναι ίσες. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο. ΜΕΤΡΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΣ Ο κύκλος έχει μέτρο 360 ο Το ημικύκλιο έχει μέτρο 180 ο Το τεταρτοκύκλιο έχει μέτρο 90 ο Το μηδενικό τόξο έχει μέτρο 0 ο Η πλήρης γωνία έχει μέτρο 360 ο Η ευθεία γωνία έχει μέτρο 180 ο Η ορθή γωνία έχει μέτρο 90 ο Η μηδενική γωνία έχει μέτρο 0 ο ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται πολύγωνο. Το πολύγωνο με τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, με τέσσερις τετράπλευρο με πέντε πεντάγωνο και γενικά με ν πλευρές ν- γωνο. Κάθε τμήμα με άκρα δυο μη διαδοχικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος του πολυγώνου. Γωνίες πολυγώνου λέγονται οι γωνίες που σχηματίζουν οι πλευρές του. Εξωτερική γωνία πολυγώνου λέγεται κάθε γωνία που είναι εφεξής και παραπληρωματική μιας εσωτερικής γωνίας του. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε με (Σ)ωστό ή (Λ)άθος τις προτάσεις: 1. Το μέτρο ενός τόξου μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός. 2. Το μέτρο ενός τόξου μπορεί να είναι ο μοίρες. 3. Από ένα σημείο του επιπέδου διέρχονται άπειρες ευθείες. 4. Δύο εφεξής γωνίες είναι πάντα παραπληρωματικές. 5. Υπάρχουν κατακορυφήν γωνίες που είναι άνισες. 6. Από ένα σημείο διέρχεται μία μόνο ευθεία. 7. Κάθε σημείο μιας ευθείας ε τη χωρίζει σε δύο αντικέιμενες ημιευθείες. 8. Δύο γωνίες με κοινή κορυφή λέγονται κατακορυφήν γωνίες. 9. Δύο τόξα με το ίδιο μέτρο είναι πάντοτε ίσα.

7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Σχετικά με τις πλευρές του ένα τρίγωνο λέγεται: Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες Σκαληνό, όταν έχει όλες του τις πλευρές άνισες Σχετικά με τις γωνίες του ένα τρίγωνο λέγεται: Ορθογώνιο, όταν έχει μία γωνία ορθή Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία Οξυγώνιο, όταν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες Ερώτηση Σύμφωνα με τη παραπάνω ταξινόμηση, ποια είδη τριγώνων προκύπτουν; Απάντηση 1. Το ισόπλευρο τρίγωνο 2. Το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο 3. Το αμβλυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο 4. Το οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο 5. Το ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο 6. Το αμβλυγώνιο σκαληνό τρίγωνο 7. Το οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Κύρια στοιχεία τριγώνου, είναι οι πλευρές και οι γωνίες του τριγώνου. Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου, είναι οι διάμεσοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι του. Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από τη κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά.

9 Ερωτήσεις 1. Ποια είναι τα άκρα μιας διαμέσου, ενός ύψους και μιας διχοτόμου; 2. Πώς συμβολίζονται οι πλευρές ενός τριγώνου; 3. Πως συμβολίζονται οι διάμεσοι τα ύψη και οι διχοτόμοι; Απαντήσεις Η διάμεσος έχει άκρα μια κορυφή και το μέσο της απέναντι πλευράς. Το ύψος έχει άκρα μια κορυφή και τη ορθή προβολή της κορυφής στην απέναντι πλευρά. Η διχοτόμος έχει άκρα μια κορυφή και το σημείο τομής της διχοτόμου αυτής με την απέναντι πλευρά. Απέναντι από τη κορυφή Α αντιστοιχεί η απέναντι πλευρά α Απέναντι από τη κορυφή Β αντιστοιχεί η απέναντι πλευρά β Απέναντι από τη κορυφή Γ αντιστοιχεί η απέναντι πλευρά γ Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη κορυφή Α συμβολίζεται με μ α όπου ο δείκτης α συμβολίζει την απέναντι πλευρά. Ομοίως συμβολίζονται οι διάμεσοι μ β και μ γ που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Το ύψος που αντιστοιχεί στη κορυφή Α συμβολίζεται με υ α όπου ο δείκτης α συμβολίζει την απέναντι πλευρά. Ομοίως συμβολίζονται τα ύψη υ β και υ γ που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Η διχοτόμος που αντιστοιχεί στη κορυφή Α συμβολίζεται με δ α όπου ο δείκτης α συμβολίζει την απέναντι πλευρά. Ομοίως συμβολίζονται οι διχοτόμοι δ β και δ γ που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Εφαρμογή: Να φέρετε τα ύψη αμβλυγώνιου τριγώνου.

10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Ορισμός: Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις απέναντι των ίσων πλευρών γωνίες ίσες 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π) Αν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μία προς μία με τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου και οι περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΣΧΟΛΙΑ 1. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. 2. Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. 3. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 4. Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες. Τα παραπάνω πορίσματα αποδεικνύονται με τη βοήθεια του 1 ου κριτηρίου ισότητας τριγώνων. 2 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ-Π-Γ) Αν μια πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά ενός άλλου τριγώνου και οι προσκείμενες γωνίες των πλευρών αυτών είναι μία προς μία ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π) Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. ΣΧΟΛΙΑ 1. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος.

11 2. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. 3. Αν οι χορδές δυο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. 4. Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. Τα παραπάνω πορίσματα αποδεικνύονται με τη βοήθεια του 3 ου κριτηρίου ισότητας τριγώνων. ΠΡΟΣΟΧΗ Αν δυο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση μία προς μία και δύο γωνίες ίσες (όχι κατ ανάγκη τις προσκείμενες), θα είναι ίσα. Γιατί; Δικαιολόγησε την απάντηση σου. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: Δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία. ΣΧΟΛΙΑ 1. Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. 2. Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. 3. Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα. 4. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. Τα παραπάνω πορίσματα και θεωρήματα αποδεικνύονται με τη βοήθεια των κριτηρίων ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

12 ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Ορισμός: Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα. Ερωτήσεις 1. Ποιους βασικούς γεωμετρικούς τόπους γνωρίζεται; 2. Ποια χαρακτηριστική ιδιότητα ο καθένας από αυτούς; Απαντήσεις Κύκλος Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος Διχοτόμος μίας γωνίας Όλα τα σημεία του κύκλου και μόνον αυτά έχουν την (κοινή χαρακτηριστική) ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση (ακτίνα κύκλου) από ένα σταθερό σημείο (κέντρο του κύκλου). Όλα τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. Όλα τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Σχέση εξωτερικών και εσωτερικών γωνιών: Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη καθεμιάς των απέναντι εσωτερικών γωνιών. Αν σε ένα τρίγωνο δύο γωνίες του είναι ίσες, τότε και οι πλευρές του που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις γωνίες θα είναι ίσες.

13 ΣΧΟΛΙΑ Κάθε τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μια αμβλεία ή ορθή γωνία. Αν οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Σχέσεις ανισότητας πλευρών και γωνιών τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία και αντιστρόφως. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. ΣΧΟΛΙΑ Η μεγαλύτερη πλευρά ενός αμβλυγωνίου τριγώνου είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία του. Η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η υποτείνουσα. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ Θεωρούμε το κύκλο (Ο,ρ), όπου Ο το κέντρο και ρ η ακτίνα του κύκλου, μια ευθεία ε και την απόσταση δ του κέντρου του κύκλου από την εύθεια ε. Η ευθεία που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με ένα κύκλο (Ο,ρ) ονομάζεται εξωτερική ευθεία του κύκλου (συνθήκη: δ > ρ). Η ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με ένα κύκλο (Ο,ρ) ονομάζεται εφαπτομένη του κύκλου. (Το κοινό σημείο ονομάζεται σημείο επαφής) (συνθήκη: δ = ρ) Αν μια ευθεία ε εφάπτεται σε κύκλο (Ο,ρ) στο σημείο Μ, τότε η ακτίνα ΟΜ είναι κάθετη στην ευθεία ε. Τα εφαπτόμενα ευθύγραμμα τμήματα που άξονται από σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα. Η ευθεία που έχει δύο κοινά σημείο με ένα κύκλο (Ο,ρ) ονομάζεται τέμνουσα του κύκλου. Όταν η τέμνουσα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διακεντρική ευθεία του κύκλου. (συνθήκη: δ < ρ)

14 ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Ορισμός: Διάκεντρος δύο κύκλων ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα κέντρα των δύο κύκλων. Έστω οι κύκλοι (Ο 1,ρ 1 ), (Ο 2,ρ 2 ) με ρ 1 > ρ 2. Συμβολίζουμε τη διάκεντρο των δύο κύκλων που είναι η απόσταση Ο 1,Ο 2 με d. Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία A. Κάθε κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου αν και μόνον αν d > ρ 1 + ρ 2 B. Κάθε κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου αν και μόνον αν d < ρ 1 - ρ 2 Εφαπτόμενοι κύκλοι A. Οι κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου αν και μόνο αν d = ρ 1 + ρ 2 Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. B. Οι κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου αν και μόνο αν d = ρ 1 - ρ 2 Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. Σχόλιο Η ευθεία που είναι κάθετη στη διάκεντρο στο κοινό σημείο των δύο εφαπτόμενων κύκλων ονομάζεται κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων. Τεμνόμενοι κύκλοι A. Οι κύκλοι τέμνονται (έχουν δηλαδή δύο κοινά σημεία) αν και μόνο αν Σχόλιο ρ 1 - ρ 2 < d < ρ 1 + ρ 2 Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετη της κοινής χορδής τους.

15 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε με (Σ)ωστό ή (Λ)άθος τις προτάσεις: 1. Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. 2. Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει δύο γωνίες ορθές. 3. Έστω κύκλος (Ο,R), μια ευθεία ε και δ η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ε, τότε: α) Αν δ > R η ε λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου. β) Αν δ = R η ε λέγεται εσωτερική ευθεία του κύκλου. γ) Αν δ < R η ε λέγεται εφαπτομένη του κύκλου. 4. Αν σε ισοσκελές τρίγωνο δύο γωνίες του είναι συμπληρωματικές, τότε αυτό είναι ορθογώνιο. 5. Το ίδιο τρίγωνο μπορεί να έχει και μια αμβλεία και μια οξεία γωνία. 6. Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετη της διακέντρου. 7. Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του. 8. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μικρότερη γωνία. 9. Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά έχουν κοινά σημεία. 10. Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά δεν έχουν κοινή εφαπτομένη. 11. Αν δύο κύκλοι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου τότε έχουν μία και μόνο κοινή εφαπτομένη. 12. Δυο ισοσκελή τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι πάντοτε ίσα. 13. Δυο σκαληνά τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι πάντοτε ίσα. 14. Δυο ισόπλευρα τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι πάντοτε ίσα. 15. Αν σε ένα τρίγωνο το ύψος είναι και διχοτόμος τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

16

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Ορισμός: Δύο ευθείες ε 1, ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες Σχόλια Δύο ευθείες που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο λέγονται ασύμβατες. Αν οι ευθείες ε 1, ε 2 είναι παράλληλες συμβολίζουμε με ε 1 // ε 2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. Σχόλια Ισχύουν και τα αντίστροφα των παραπάνω ιδιοτήτων. Όταν έχω δύο οποιεσδήποτε ευθείες παράλληλες ή τεμνόμενες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία τότε σχηματίζονται οι εντός εναλλάξ, οι εντός και επί τα αυτά μέρη και οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, οι οποίες ούτε ίσες είναι ούτε παραπληρωματικές. Αν είναι είτε οι εντός εναλλάξ είτε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τότε οι ευθείες είναι παράλληλες και αντίστροφα. Αν είναι οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές τότε οι ευθείες είναι παράλληλες και αντίστροφα. Αν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες προς τρίτη, τότε είναι μεταξύ τους παράλληλες. Αν ε 1 // ε και ε 2 // ε τότε ε 1 // ε 2 Δύο κάθετες ευθείες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Αν ε 1 ε και ε 2 ε τότε ε 1//ε2 Αν μια ευθεία τέμνει τη μία από δύο παράλληλες, τότε θα τέμνει και την άλλη. Αν μια ευθεία τέμνει κάθετα τη μία από δύο παράλληλες, τότε θα τέμνει και την άλλη κάθετα. Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή.

18 ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα λέγεται αίτημα παραλληλίας ( Ευκλείδειο Αίτημα). Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 180 ο, τότε οι ευθείες τέμνοντα προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΠΛΕΥΡΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ Ή ΚΑΘΕΤΕΣ Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με 180 ο. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές. Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60 ο. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΚΥΡΤΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν -γώνου είναι 2 ν 4 ορθές. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κυρτού ν γώνου είναι 4 ορθές.

19 Ερωτήσεις 1. Να βρεθεί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ενός τετραγώνου και ενός δωδεκαγώνου σε ορθές γωνίες και σε μοίρες, σύμφωνα με το παραπάνω τύπο. 2. Ποίο είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ενός τετραγώνου και ενός οποιουδήποτε κυρτού τετράπλευρου; Απαντήσεις 1. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 2*3 4 ορθές = 2 ορθές ή 2 * 90 ο = 180 ο Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τετραγώνου είναι 2*4 4 ορθές = 4 ορθές ή 4 * 90 ο = 360 ο Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός δωδεκαγώνου είναι 2*12 4 ορθές = 20 ορθές ή 20 * 90 ο = 1800 ο 2. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 4 ορθές ή 360 ο Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τετραγώνου είναι 4 ορθές ή 360 ο Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του οποιουδήποτε κυρτού τετραπλεύρου είναι 4 ορθές ή 360 ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε με (Σ)ωστό ή (Λ)άθος τις προτάσεις: 1. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των δύο ορθών γωνιών. 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών. 3. Υπάρχει τετράπλευρο με όλες του τις γωνίες ορθές. 4. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν γώνου είναι 2 ν + 4 ορθές. 5. Δύο γωνίες με πλευρές κάθετες μία προς μία είναι πάντοτε παραπληρωματικές. 6. Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι πάντοτε παραπληρωματικές. 7. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν γώνου είναι 360 ο. 8. Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 90 ο. 9. Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 180 ο

20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΙΔΗ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ - ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Τετράπλευρα που δεν έχουν τις πλευρές τους παράλληλες ΤΡΑΠΕΖΙΑ Λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Ορθογώνια Ρόμβο Τετράγωνο Λέγεται το παρ/μο Λέγεται το παρ/μο Λέγεται το παρ/μο Που έχει μια ορθή που έχει δύο διαδοχικές που είναι ορθογώνιο γωνία. πλευρές ίσες. και ρόμβος ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ Ορισμός: Παραλληλόγραμμο ονομάζεται κάθε τετράπλευρο που οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

22 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΕΙΔΟΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Παραληλόγραμμο Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν: Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. Οι απέναντι πλευρές Οι διαγώνιες του διχοτομούνται. του είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι κέντρο συμμετρίας. του είναι ίσες. Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. Οι διαγώνιες του Ορθογώνιο Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. Οι διαγώνιες του είναι ίσες. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Ρόμβος Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. Οι διαγώνιες του τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται διχοτομούν τις γωνίες του, και είναι άξονες συμμετρίας του. διχοτομούνται. Ένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο αν: Οι διαγώνιες του είναι ίσες. Αν έχει μια ορθή γωνία. Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν: Οι διαγωνιές του είναι κάθετες. Μία διαγώνιος του διχοτομεί μια γωνία του. Τετράγωνο Έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές. Οι διαγώνιες του είναι ίσες τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται διχοτομούν τις γωνίες του, και είναι άξονες συμμετρίας του. Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν έχει δύο ιδιότητες, που η μία το κάνει ορθογώνιο και η άλλη ρόμβο.

23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ Για τυχαίο Τρίγωνο: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Σχόλιο Δηλαδή: Αν M,N μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ τότε ΜΝ // ΑΓ και ΜΝ = ΑΓ / 2. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει για τυχαίο τρίγωνο, επομένως ισχύει και για τα ορθογώνια τρίγωνα. Αν μία ευθεία ε διέρχεται από το μέσο μίας πλευράς και είναι παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε η ε θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς. Δηλαδή: Αν Ν μέσο της πλευράς ΑΓ του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και ε // ΒΓ τότε Μ μέσο της πλευράς ΑΒ. Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Για ορθογώνιο Τρίγωνο: Η διάμεσος Ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από τη κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Αν η διάμεσος ενός τυχαίου τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη πλευρά αυτή ( αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος). Σχόλια Αν γίνει το κατάλληλο σχήμα παρατηρούμε ότι μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο σχηματίζονται δύο νέα τρίγωνα από τα οποία το ένα είναι ισοσκελές. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία ισούται με 30 ο, (επομένως η άλλη θα ισούται με 60 ο ), τότε η απέναντι από αυτή τη γωνία πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας.

24 Σχόλια Τα παραπάνω ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα. Ισχύει το αντίστροφο του παραπάνω πορίσματος. Ποια είναι η διατύπωση του; Αν γίνει το κατάλληλο σχήμα παρατηρούμε ότι μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο σχηματίζονται δύο νέα τρίγωνα από τα οποία το ένα είναι ισοσκελές και το άλλο ισόπλευρο. ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ορισμός: Βαρύκεντρο ή κέντρο βάρους λέγεται το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου. (Συμβολίζετε συνήθως με Θ) Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από ένα σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2 / 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Έστω οι διάμεσοι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ οι οποίες τέμνονται στο βαρύκεντρο Θ(σημείο τομής) του τριγώνου. Τότε ισχύουν οι σχέσεις: 2 ΒΘ, 3 1, 3 2, 3 1, 3 2 2, 3 2, ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ορισμός: Βαρύκεντρο λέγεται το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου. (Συμβολίζετε συνήθως με Η) Οι κορυφές Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από τα σημεία αυτά είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. Σχόλια Το σημείο τομής των διχοτόμων ονομάζεται έγκεντρο. Με κέντρο το σημείο αυτό σχηματίζεται ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων ονομάζεται περίκεντρο.

25 Με κέντρο το σημείο αυτό σχηματίζεται ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου. Το σημείο τομής δύο εξωτερικών διχοτόμων και της απέναντι εσωτερικής διχοτόμου ενός τριγώνου λέγεται παράκεντρο. Με κέντρο το σημείο αυτό σχηματίζεται ο παραγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου. Τα ύψη, οι διάμεσοι και οι διχοτόμοι ενός τυχαίου τριγώνου διέρχονται από ένα κοινό σημείο το ορθόκεντρο το βαρύκεντρο και το έγκεντρο αντίστοιχα. ΤΡΑΠΕΖΙΑ Ορισμός: Τραπέζιο ονομάζεται κάθε τετράπλευρο που έχει μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΙΩΝ Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Η απόσταση των βάσεων του τραπεζίου ονομάζεται ύψος του τραπεζίου Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών ενός τραπεζίου ονομάζεται διάμεσος του τραπεζίου. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΩΝ Η διάμεσος κάθε τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις και ισούται με το ημιάθροισμα τους. ΑΒ ΓΔ ΜΝ // ΑΒ // ΓΔ και ΜΝ 2 Η διάμεσος κάθε τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Ε, Ζ των διαγωνίων του και το τμήμα ΕΖ είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων. ΕΖ // ΑΒ // ΓΔ και ΑΒ ΓΔ ΕΖ 2

26 ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ορισμός: Το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ Οι γωνίες σε κάθε βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες και αντίστροφα. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές τραπέζιο όταν: Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε με (Σ)ωστό ή (Λ)άθος τις προτάσεις: 1. Ένα τετράπλευρο με ίσες διαγώνιους είναι ρόμβος. 2. Τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου. 3. Ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιους είναι ορθογώνιο. 4. Ένα τραπέζιο είναι και παραλληλόγραμμο. 5. Στο ορθογώνιο όλες οι γωνίες του είναι ορθές. 6. Οι απέναντι πλευρές τραπεζίου είναι παράλληλες. 7. Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει μια γωνία ορθή τότε αυτό θα είναι ορθογώνιο. 8. Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει μια γωνία ορθή τότε αυτό θα είναι τετράγωνο. 9. Οι διαγώνιοι κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες. 10. Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων αυτών. 11. Αν σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές τότε είναι παραλληλόγραμμο. 12. Το ορθόκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων σε κάθε τρίγωνο. 13. Ένας ορθογώνιο είναι πάντα και ρόμβος. 14. Ένας ρόμβος είναι και ορθογώνιο. 15. Ένας ρόμβος είναι τετράγωνο. 16. Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος. 17. Αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου είναι ίσες τότε αυτό είναι ορθογώνιο. 18. Αν ένα τετράπλευρο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες είναι ρόμβος.

27

28 ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο Ορισμός: Μια γωνία που έχει κορυφή το κέντρο ενός κύκλου λέγεται επίκεντρη. ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισμός: Μια γωνία που η κορυφή της είναι σημείο ενός κύκλου και οι πλευρές της τέμνουσες του κύκλου λέγεται εγγεγραμμένη. ΣΧΕΣΗ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΕΝΤΡΗΣ Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. Κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα.

29 ΓΩΝΙΑ ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Ορισμός: Μια γωνία που η κορυφή της είναι σημείο ενός κύκλου και η μία πλευρά είναι τέμνουσα του κύκλου και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης. Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο της χορδής. ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ Ορισμός: Μια γωνία που η κορυφή της ανήκει στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό ενός κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου λέγεται γωνία δύο τεμνουσών. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε με (Σ)ωστό ή (Λ)άθος τις προτάσεις: 1. Κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο είναι 180 ο 2. Δεν υπάρχει εγγεγραμμένη γωνία αμβλεία. 3. Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο της χορδής. 4. Κάθε επίκεντρη ισούται με το μισό της εγγεγραμμένης που βαίνει στο ίδιο τόξο.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες 17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Β. 1. 1 81. Τι ονομάζεται ευθεία και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ αυτή; Ονομάζεται ευθεία το σχήμα που προκύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.

Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height. Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα