Προβλήματα φακών/κατόπτρων

Transcript

1 Προβλήματα φακών/κατόπτρων 1. Χρησιμοποιείστε την τεχνική των ακτινών και σχηματισμών ειδώλου για να βρείτε το είδωλο, που δημιουργείται από ένα κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο, ενός αντικειμένου που τοποθετείται (α) μεταξύ του C και F, (C κέντρο καμπυλότητας, F εστία) (β) στο C και (γ) μεταξύ του F και του κατόπτρου. Σε κάθε περίπτωση, χαρακτηρίστε την εικόνα, αν είναι δυνατόν. C F Το είδωλο είναι πραγματικό, ανεστραμμένο, περίπου δύο φορές μεγαλύτερο, πέρα από C. Το είδωλο είναι πραγματικο, ανεστραμμένο, ίδιο μέγεθος, στο C. Το είδωλο είναι εικονικό, όρθιο, περίπου 30% μεγαλύτερο, πίσω από το κάτοπτρο.

2 2. Ένα αντικείμενο τοποθετείται 25 cm μπροστά από ένα κοίλο κάτοπτρο εστιακού μήκους 30 cm. Υπολογίστε την απόσταση του ειδώλου και τη μεγέθυνση. Χαρακτηρίστε το είδωλο. Κάνουμε χρήση του υποκεφαλαίου 2.4 Κοίλο κάτοπτρο, f = +30. Αφού το αντικείμενο είναι μπροστά στο κάτοπτρο, o = +25. Σχέση φακών 1/o + 1/i = 1/f => 1/i = 1/f - 1/o = (o-f) / fo => i = fo / (o-f) = (30)(25)/(25-30) = -150 cm. Αφού i < 0, το είδωλο είναι πίσω από το κάτοπτρο, και φανταστικό. Η μεγέθυνση δίνεται από τη σχέση M = -i/o = -f / (o-f) = -30 / (25-30) = +6. Το είδωλο είναι μεγαλύτερο 6 φορές σε σχέση με το αντικείμενο Το είδωλο είναι όρθιο αφού η μεγέθυνση είναι θετική.

3 3. Ένα αντικείμενο τοποθετείται 25 cm μπροστά από ένα κυρτό κάτοπτρο εστιακού μήκους 30 cm. Υπολογίστε την απόσταση του ειδώλου και τη μεγέθυνση. Χαρακτηρίστε το είδωλο. Κυρτό κάτοπτρο, f = -30 εκ. Αφού το αντικείμενο είναι μπροστά στο κάτοπτρο, o = +25 εκ. Σχέση φακών 1/o + 1/i = 1/f =>1/i = 1/f - 1/o = (o-f) / fo => i = fo / (o-f) = (-30)(25)/[25 - (-30)] = -150/11 cm = cm. Αφού i < 0, το είδωλο είναι πίσω από το κάτοπτρο, φανταστικό Η μεγέθυνση δίνεται από τη σχέση M = -i/o = -f / (o-f) = -(-30) / [25 - (-30)] = +30/55 = +6/11 = Το είδωλο είναι μεγαλύτερο 55% σε σχέση με το αντικείμενο. Το είδωλο είναι όρθιο αφού η μεγέθυνση είναι θετική.

4 4. Ένας συγκλίνων φακός έχει εστιακό μήκος 20 cm. Σε ποια απόσταση πρέπει να κρατάτε αυτόν το φακό μπροστά από ένα γραμματόσημο, αν το είδωλο της σφραγίδας του γραμματόσημου θέλουμε να είναι διπλάσιο σε σχέση με το αντικείμενο και θέλουμε (α) η εικόνα αναστρέφεται, ή (β) η εικόνα είναι όρθια; Ένας συγκλίνων φακός, f = +20 cm. (a) Όταν θέλουμε το είδωλο να είναι αντεστραμμένο και διπλάσιο σε μέγεθος τότε θέλουμε Μ= -2. M = -i/o, οπότε i = 2o [1] Σχέση φακών 1/o + 1/i = 1/f. Κάνουμε χρήση του [1] i = 2o 1/o + 1/2o = 1/f, o = 3f/2 = 3(20 cm)/2 = 30 cm. Οπότε i = 2(30 cm) = 60 cm. (b) Όταν θέλουμε το είδωλο να είναι όρθιο και διπλάσιο σε μέγεθος τότε θέλουμε M = +2. Οπότε i = -2o [2] Σχέση φακών+[2] 1/o + 1/i = 1/f => 1/o - 1/2o = 1/f => o = ½f = ½(20 cm) = 10 cm. Οπότε i = -2(10 cm) = -20 cm.

5 5. Δύο συγκλίνοντες φακοί έχουν εστιακά μήκη f 1 = 30 cm και f 2 = 20 cm. Αυτά είναι τοποθετημένα 60 cm μεταξύ τους κατά μήκος του ίδιου άξονα και ένα αντικείμενο τοποθετείται 50 εκατοστά από φακό # 1 στην απέναντι πλευρά του φακού # 2. Εντοπίστε το τελική είδωλο και να υπολογίσετε τη συνολική μεγέθυνση του. Να αναφέρετε τα τελικά χαρακτηριστικά του ειδώλου σε σχέση με το αρχικό αντικείμενο. Σχεδιάστε το διάγραμμα ακτινών. ΠΡΩΤΟΣ ΦΑΚΟΣ Δεδομένα o 1 = 50 cm και f 1 = 30 cm. Σχέση φακών 1/o 1 + 1/i 1 = 1/f 1 => i 1 = f 1 o 1 / (o 1 - f 1 ) = (30)(50)/(50-30) = 75 cm. Το είδωλο που δημιουργείται από τον πρώτο φακό είναι το αντικείμενο για το δεύτερο φακό ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΦΑΚΟΣ Αφού οι φακοί είναι σε 60 cm απόσταση το «αντικείμενο» του φακου2 είναι από αυτόν 15 cm από την πλευρά της διαπερατότητας του φωτός. Το «αντικείμενο» αυτό είναι φανταστικό, o 2 = -15 cm. Δίνεται f 2 = 20 cm. Σχέση φακών 1/o 2 + 1/i 2 = 1/f 2 => i 2 = f 2 o 2 / (o 2 - f 2 ) = (20)(-15)/(-15-20) = cm. Το τελικό είδωλο είναι στη πλευρά της διαπερατότητας του φωτός από τον δεύτερο φακό και είναι πραγματικό Ολική μεγέθυνση: M = M 1 M 2 = (-i 1 /o 1 ) (-i 1 /o 1 ) = -(+75)/(+50) -(-15)/(+8.57) = Το τελικό είδωλο είναι αντεστραμμένο και 86% του αρχικού.

6 6. Για το οπτικό σύστημα που δείχνεται παρακάτω, καθορίστε την τελική θέση του ειδώλου, όπως φαίνεται από τον παρατηρητή του αντικειμένου στη θέση Ο, λόγω των φακών και του επίπεδο κάτοπτρου. Πρώτος φακός Δεδομένα o 1 = 15 cm και f 1 = 10 cm. Σχέση φακών 1/o 1 + 1/i 1 = 1/f 1 => i 1 = f 1 o 1 / (o 1 - f 1 ) = (10)(15)/(15-10) = 30 cm. Το είδωλο που δημιουργείται από τον πρώτο φακό είναι το αντικείμενο για το δεύτερο φακό ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΦΑΚΟΣ Αφού οι φακοί είναι σε 40 cm απόσταση το «αντικείμενο» του φακού 2 είναι από αυτόν 10 cm από την πλευρά της διαπερατότητας του φωτός. Το «αντικείμενο» αυτό είναι πραγματικό, o 2 = +10 cm. Μας δίνεται f 2 = 5 cm. Σχέση φακών 1/o 2 + 1/i 2 = 1/f 2 => i 2 = f 2 o 2 / (o 2 - f 2 ) = (5)(10)/(10-5) = +10 cm. Το τελικό είδωλο είναι στη πλευρά της διαπερατότητας του φωτός από τον δεύτερο φακό και είναι «αντικείμενο» για το επίπεδο κάτοπτρο. Το «αντικείμενο» είναι 30 εκ μακριά από το κάτοπτρο, οπότε ένας παρατηρητής βλέποντας τον καθρέπτη θα δει ένα ανακλώμενο είδωλο 30 εκ μακριά από το κάτοπτρο. Το τελικό είδωλο είναι πίσω από το κάτοπτρο και γιατί είναι φανταστικό. Ολική μεγέθυνση: M = M 1 M 2 M mirror = (-i 1 /o 1 ) (-i 1 /o 1 ) 1 = -(+30)/(+15) -(+10)/(+10) 1 = +2 Το τελικό είδωλο είναι ορθό και διπλάσιο του αρχικού. Είναι σημαντικό που είναι ο παρατηρητής? Τι θα πρέπει να κάνουμε εάν ο παρατηρητής ήταν στην ίδια πλευρά του φακού # 1 με το αντικείμενο και αναζητούσε το είδωλο μέσα από το φακό;

7 Προβλήματα διάθλασης/πόλωσης 7. Μια ακτίνα του ήλιου συναντά μια πλάκα από οπτικό γυαλί χαμηλής διασποράς και χαμηλό δείκτη διάθλασης (crown glass) με γωνία 45. Εάν ο δείκτης διάθλασης για το κόκκινο φως σε γυαλί είναι n κοκ = και για το υπεριώδες φως n υπερ = 1.538, βρείτε τη γωνία μεταξύ της ιώδους ακτίνας και της κόκκινης ακτίνας στο γυαλί. Η γωνία διάθλασης βρίσκεται από τον νόμου του Snell, n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 ). Αν θεωρήσουμε ότι n 1 και θ 1 αφορούν τον αερα, τότε η γωνία διάθλασης στο γυαλί είναι θ 2 = arcsin(n 1 sin(θ 1 )/n 2 ). Για κάθε μήκος κύματος έχουμε, θ red = arcsin(1 sin(45.00 ) / 1.520) = , θ violet = arcsin(1 sin(45.00 ) / 1.538) = Η διαφορά των γωνιών Δθ = 0.35.

8 8. Μια σημειακή πηγή φωτός είναι βυθισμένη 2,2 m κάτω από την επιφάνεια μιας λίμνης και εκπέμπει ακτίνες προς όλες τις κατευθύνσεις. Στην επιφάνεια της λίμνης, ακριβώς πάνω από την πηγή, η περιοχή που φωτίζεται είναι ένας κύκλος. Ποια είναι η μέγιστη ακτίνα που θα μπορούσε να έχει αυτός ο κύκλος; Ο κύκλος ορίζεται από το φως που διαφεύγει. Το φως σε γωνίες μεγαλύτερες από την κρίσιμη γωνία ανακλάται πίσω στο νερό. Κατά την κρίσιμη γωνία, το φως που αναδύεται εντός του αέρα, διαθλάται στις 90. Χρησιμοποιώντας το νόμο της διάθλασης, nsin (θ προσ ) = n αερα sin (90 ), για να βρείτε π ρος, παίρνουμε θ προσ = arcsin(n αερα /n) = arcsin(1/1.33) = Με χρήση της γεωμετρίας, R = d tan(θ προσ ) = (2.2 m)tan( ) = 2.51 m.

9 9. Στο παρακάτω διάγραμμα, φαίνονται τα παράλληλα στρώματα του αέρα, των υδάτων (n νερού = 1.33), και του γυαλιού (n γυαλιού = 1,20). Μια ακτίνα προσπίπτει από τον αέρα υπό μία γωνία θ, διαθλάται στο νερό, και ανακλάται από το γυαλί. Το ανακλώμενο φως είναι τελείως πολωμένο. Ποια είναι η γωνία πρόσπτωσης θ; Το ανακλώμενο φως είναι εντελώς πολωμένο όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι στη τιμή της γωνίας Brewster α = arctan(n γυαλιουs /n νερου ) = arctan(1.20/1.33) = Αυτή η γωνία σχετίζεται με τη γωνία πρόσπτωσης θ βάση του νόμου του Snell n αερα sin(θ) = n νερο sin(α). Έτσι βρίσκουμε τη γωνία πρόσπτωσης θ θ = arcsin[(n νερο /n αερα )sin(α)] = arcsin[(1.33/1)sin( )] = 63.0.

10 10. Μία δέσμη φωτός έντασης Io συναντά δύο πολωτές. Ο άξονας μετάδοσης του πρώτου πολωτή κλίνει κατά 25 ως προς την κατακόρυφο. Ο άξονας μετάδοσης του δεύτερου πολωτή κλίνει κατά 55 ως προς την κατακόρυφο. Βρείτε την ένταση του φωτός αφού περάσει μέσα από τους δύο πολωτές, αν το φως είναι αρχικά (α) μη πολωμένο, (β) πολωμένο κάθετα, (γ) πολωμένο οριζόντια. Χρηση του νομου Malus (3.2.2) I = I 0 cos 2 (θ). α) Δεδομένου ότι το φως είναι αρχικά μη πολωμένο ή τυχαίο, μόνο η μισή ενέργεια διαπερναει. Έτσι, μετά τον πρώτο πολωτή, I = ½ I ο. Αυτό το φως που εχει διαπερασει το πρωτο πολωτη, είναι τώρα πολωμένο στους 25 σε σχεση με την κατακόρυφο. Περνώντας μέσα από το δεύτερο πολωτη, η ένταση μειώνεται σε I = I 0 cos 2 (θ) = ½I ο cos 2 (55-25 ) = (3/8)I ο. (β) Το φως είναι αρχικά πολωμένο κάθετα, περνώντας μέσω του πρώτου πολωτή, μειώνεται η ένταση Ι = I 0 cos 2 (θ) = I ο cos 2 (0-25 ) = 0,8214 I ο. Αυτό το φως είναι τώρα πολωμένο κατά μήκος του άξονα 25 ως προς την κατακόρυφο. Περνώντας μέσα από το δεύτερο πολωτη, η ένταση μειώνεται περαιτέρω σε Ι = I 0 cos 2 (θ) = (0,8214 I ο ) cos 2 (55-25 ) = 0,616 I ο. (γ) Το φως αρχικά πολωμένο οριζόντια, περνώντας μέσω του πρώτου πολωτη μειώνει την ένταση Ι = I 0 cos 2 (θ) = I ο cos 2 (90-25 ) = 0,1786 I ο. Αυτό το φως είναι τώρα πολωμένο κατά μήκος του άξονα 25 ως προς την κατακόρυφο. Περνώντας μέσα από το δεύτερο πολωτη, η ένταση μειώνεται περαιτέρω Ι = I 0 cos 2 (θ) = (0,1786 I ο ) cos 2 (55-25 ) = 0,134 I ο.

11 Προβλήματα συμβολής 11. Μια επίπεδη δέσμη σύμφωνου φωτός από λασερ Ar+ με λ= 488 nm προσπίπτει σε μια επιφάνεια με δυο μικρές οπές, οι οποίες βρίσκονται σε απόσταση d=0,2mm μεταξύ τους. Οι οπές λειτουργούν ως δευτερογενή σημειακές πηγές φωτεινών κυμάτων. Σε μια οθόνη σε απόσταση r=2 μ παρατηρούμε την εικόνα της συμβολής Α. Σε πόση απόσταση από τον κεντρικό άξονα παρατηρείται ο πρώτος (m=0) σκοτεινός κροσσός? B. Σε πόση απόσταση από τον κεντρικό άξονα παρατηρείται ο πέμπτης (m=5) τάξης φωτεινός κροσσός? A.Στο υποκεφάλαιο έχουμε την συνθήκη (σχέσεις ) για ελάχιστα κατά τη συμβολή Διαφορά οπτικού δρόμου=(m+1/2)λ Διαφορά φάσης =(m+1/2)2π Ξέρουμε ότι η Διαφορά οπτικού δρόμου δίνεται από τη σχέση (5.2.9) Διαφορά οπτικού δρόμου=ad/z, όπου x απόσταση από τον κεντρικό άξονα κροσσών, d απόσταση οπών μεταξύ τους, z απόσταση από την οθόνη Οπότε έχουμε τη σχέση (5.2.14) x min =[(2m+1)λz]/[2d]. Αντικαθιστώντας σε αυτήν την σχέση, τα δεδομένα μας, θα έχουμε x min = [(2*0+1)*488*10-9 *2]/ [2*0, 2*10-3 ] =2,44mm Β. Στο υποκεφάλαιο έχουμε την συνθήκη (σχέσεις ) για μέγιστα κατά τη συμβολή Διαφορά οπτικού δρόμου=(m)λ Διαφορά φάσης =(m)2π Ξέρουμε ότι η Διαφορά οπτικού δρόμου δίνεται από τη σχέση (5.2.9) Διαφορά οπτικού δρόμου=xd/z, όπου x απόσταση από τον κεντρικό άξονα κροσσών, d απόσταση οπών μεταξύ τους, z απόσταση από την οθόνη Οπότε έχουμε τη σχέση (5.2.12) X max = [(m) λz]/ [d]. Αντικαθιστώντας σε αυτήν την σχέση, τα δεδομένα μας, θα έχουμε x min = [(5)*488*10-9 *2]/ [0, 2*10-3 ] =24,4mm δηλαδή 10 φορές μεγαλύτερη από ότι η απόσταση του πρώτου σκοτεινού κροσσού.

12 12. Μονοχρωματικό σύμφωνο φως μήκους κύματος λο=640 nm, προσπίπτει κάθετα σε μια επίπεδη επιφάνεια επίστρωσης ενός διηλεκτρικού υλικού δείκτη διάθλασης n=1,3. H επίστρωση είναι πάνω σε ένα γυάλινο επίπεδο πλακίδιο δείκτη διάθλασης n=1,6. Αν η όλη διάταξη περιβάλλεται από αέρα πόσο κάνει να είναι το ελάχιστο δυνατό πάχος της επίστρωσης έτσι ώστε να έχουμε ελάχιστο ανακλώμενο φως από τις δυο διαχωριστικές επιφάνειες αέρα επίστρωσης και επίστρωσης γυαλιού? Γυαλί n=1,6 Α. Κάνουμε χρήση τη θεωρία στο υποκεφάλαιο 5.3 Για ένα ελαχιστοποιηθεί το ανακλώμενο φως θα πρέπει οι δυο ανακλώμενες από τις δυο διαχ. επιφάνειες να συμβάλουν αποσβεστικά, δλδ να έχουν αντίθετη φάση. Η ανάκλαση από οπτικό αραιότερο σε οπτικό πυκνότερα έχει άλμα φάσης. Και στις δυο δέσμες εδώ έχουμε άλμα φάσης, οπότε δεν έχουν μεταξύ τους διαφοροποίηση φάσης κατά τις ανακλάσεις. Κάθε διαφορά φάσης θα οφείλεται λοιπόν στη διαφορά οπτικού δρόμου. Για να έχουμε αποσβεστική συμβολή στην περίπτωση εδώ κάνουμε χρήση της σχέσης[5.3.6] η της σχέσης [5.3.11] και έχουμε 4ndcosδ/λ=(2m+1)=> d=λ*(2m+1)/ [4ncosδ] => d=640*10-9 *(2*0+1)/ [4*1,3cos0] d = 123 nm (~επίστρωση του τέταρτου μήκους κύματος)

13 13. Ένα στρώμα λαδιού πάχους 200 nm επιπλέει πάνω σε ένα στρώμα νερού πάχους 400 nm το οποίο ακουμπά σε μια επίπεδη μεταλλική κατοπτρική επιφάνεια. Ο δείκτης διάθλασης του λαδιού είναι 1,24 και του νερού είναι 1,33. Μια ακτίνα του φωτός προσπίπτει κάθετα επί αυτών των στρωμάτων. Ποιο είναι το μήκος κύματος ( η ποια τα μήκη κυμάτων) ορατού φωτός της δέσμης, εάν το φως που ανακλάται από την πρώτη επιφάνεια του λαδιού (1) συμβάλει καταστροφικά με το φως που ανακλάται από την κατοπτρική επιφάνεια (2); Κάνουμε χρήση τη θεωρία στο υποκεφάλαιο 5.3 Σημειώστε ότι οι γωνίες στο σκίτσο έχουν μεγεθυνθεί για λόγους σαφήνειας. Η συμβολή διέπεται από διαφορές φάσης που προκαλούνται από την ανάκλαση και από τα διαφορετικά μήκη διαδρομής. Πρώτα να εξετάσουμε τη διαφορά φάσης που προκαλείται από την ανάκλαση. Η ακτίνα 1 ανακλάται σε μια επιφάνεια αέρα / λαδιού. Επειδή α έρα <n λαδιού, έχουμε άλμα στη φάση της ακτίνας 1 σε σχέση με την προσπίπτουσα ακτίνα. Η ακτίνα 2 ανακλάται από τη επαφή νερού / καθρέφτη. Δεν μας έχουν πει για το δείκτη διάθλασης του καθρέφτη-μέταλλο, ωστόσο, δεδομένου ότι δεν είναι επιφάνεια διαφανή, το n πρέπει να είναι άπειρο. Από ν ερού <μ έταλλου, έχουμε άλμα στη φάση της ακτίνας 2 σε σχέση με την προσπίπτουσα ακτίνα. Δεδομένου ότι και οι δύο ακτίνες έχουν άλμα στη φάση, Δ reflection /2π = 0 [1] Στη συνέχεια εξετάζουμε τη διαφορά φάσης που προκαλείται από το γεγονός ότι η ακτίνα 2 ταξιδεύει παραπάνω απόσταση σε κάθε λεπτό φιλμ, 2t λαδι και 2t νερο (t=πάχος λαδιού ή νερού, θυμηθείτε ότι υποθέτουμε ότι οι γωνίες που εμπλέκονται είναι μικρές=> cosδ~1). Αυτό αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης του Δ travelled /2π = 2t λαδι /λ λαδι + 2t νερό /λ νερο, [2] όπου λ είναι το μήκος κύματος του φωτός στο συγκεκριμένο μέσο. Το μήκος κύματος στο φιλμ λαδιού είναι σχετικό με το μήκος κύματος στον αέρα (βλέπε ) με n λαδιου λ λαδιου = n αερα λ αερα.το μήκος κύματος στο φιλμ νερού είναι σχετικό με το μήκος κύματος στον αέρα με n νερου λ νερου = n αερα λ αερα.

14 Αφού Δ reflection /2π = 0, έχουμε αποσβεστική συμβολή, όταν Δ travelled /2π = ½m, με m = 1, 3, 5,.[3] Με χρήση της [2] θα έχουμε στη [3] 2t λαδι / (n αερα λ αερα /n λάδι ) + 2t νερό / (n αερα λ αερα /n νερό ) = ½m. λ αερα = (2/m)[ 2t λάδι / (n αερα /n λάδι ) + 2t νερό / (n αερα /n νερο )]. = 4[n λάδι t λάδι + n νερό t νερό ]/m = 4[(1.24)(200 nm) + (1.33)(400 nm)]/n = 3120 nm / m Στη συνέχεια, εξετάζουμε την περιττή τιμή του m και θα βρούμε ποια μήκη κύματος εμπίπτουν στο ορατό φάσμα. m Μόνο το ορατό φως με μήκη κύματος από 624 nm και 446 nm θα συμβάλουν καταστροφικά με αυτό το διπλό φιλμ. Όλα τα άλλα μήκη κύματος είναι εκτός του ορατού φάσματος 400 nm <ο ρατό <700 nm.

15 Προβλήματα περίθλασης 14. Αγνοώντας ατμοσφαιρικές επιδράσεις, πόσο μακριά πρέπει να είναι δύο αντικείμενα στο φεγγάρι, ώστε το μάτι να μπορεί να τα διακρίνει ως ξεχωριστά; Η απόσταση από την επιφάνεια του φεγγαριού είναι 3, m. Υποθέσουμε λ = 550 nm και n = 1,34. Υποθέτουμε ότι η διάμετρος της κόρης του ματιού είναι 2,00 mm. Κάνουμε χρήση του υποκεφαλαίου Δύο σημεία μπορούν να διακριθούν και να ειδωθούν ως δύο διακριτά σημεία, όταν η γωνία διαχωρισμού τους είναι μεγαλύτερη από ό, τι θ minimum = 1.22λ μεσου /D, (6.3.10), όπου D είναι η διάμετρος του ανοίγματος και λ μεσου είναι το μήκος κύματος του φωτός στο μέσο όπου είναι ο ανιχνευτής φωτός. Σημειώστε ότι το D είναι η διάμετρος της κόρης σε αυτή την περίπτωση και ότι ο ανιχνευτής είναι ο αμφιβληστροειδής που είναι βυθισμένος στο υαλοειδές σώμα του οφθαλμού. Καθώς n ματι λ ματι = n αερα λ αερα, έχουμε θ minimum = 1.22n αερα λ αερα /n ματι D = (1.22)(1.00)( m)/(1.34)(0.002 m) = radians Επειδή y >> Lθ, έχουμε y minimum = L minimum = ( m)( ) = 94 km. Έτσι αντικείμενα περίπου 100 χιλιόμετρα μεταξύ τους θα μπορούσε να διακριθούν ως ξεχωριστά αντικείμενα. Θα πρέπει φυσικά να είναι μεγάλα αντικείμενα, όπως βουνά ή τα παρόμοια.

16 15. Φως νατρίου με μήκη κύματος 588,99 nm και 589,59 nm προσπίπτει σε ένα φράγμα με 5500 γραμμές ανά εκατοστό. Μια οθόνη τοποθετείται 3,0 m πέρα από το φράγμα. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ των δύο φασματικών γραμμών στο φάσμα πρώτης τάξης στην οθόνη; Στης δεύτερης τάξης φάσμα; Κάνουμε χρήση του υποκεφαλαίου 6.5 Η φασματική γραμμή που παίρνουμε είναι τα μέγιστα συμβολής και, συνεπώς, καλυπτόμαστε από την εξίσωση dsin(θ) = mλ (5.2.7, η 6.5.3) όπου λ είναι το συγκεκριμένο μήκος κύματος και d η απόσταση των σχισμών/γραμμών στο φράγμα. Η απόσταση των σχισμών/γραμμών βρίσκεται d = 1 cm / 5500 = m. Υπολογίζοντας το θ 1 μπορούμε να δούμε πόσο μεγάλες είναι οι γωνίες (6.5.24): θ 1 = arcsin(mλ/d) = arcsin( nm/ ( m)) = radians = 18 Αυτή δεν είναι μικρή γωνία, οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε χρήση της προσεγγιστικής λύσης μικρής γωνίας, παρόλα αυτά Δy 1 >> R(θ 2 - θ 1 ) και Δy 2 >> R(θ 4 - θ 4 ). Οπότε βρίσκουμε Δy 1 >> R(θ 2 - θ 1 ) = (3.0 m)( ) = 1.05 mm, και Δy 2» R(θ 4 - θ 3 ) = (3.0 m)( ) = 2.60 mm.