ΟΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ : ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΔΙΟΠΤΡΑ ΦΑΚΟΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ : ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΔΙΟΠΤΡΑ ΦΑΚΟΙ"

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ : ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΔΙΟΠΤΡΑ ΦΑΚΟΙ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εισαγωγή στα Οπτικά Στοιχεία Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται οι βασικές διατάξεις ανακλαστικών ή διαθλαστικών συστημάτων (κάτοπτρα, δίοπτρα, φακοί) που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση, δηλαδή το σχηματισμό ειδώλων διαφόρων αντικειμένων. Τα οπτικά αυτά στοιχεία, κατά κανόνα, βασίζουν την λειτουργία τους σε ένα μόνο νόμο της Γεωμετρικής Οπτικής και χρησιμοποιούνται είτε ανεξάρτητα, είτε κυρίως σε συνδυασμούς μεταξύ τους στα οπτικά όργανα (οφθαλμικοί, μεγεθυντικοί,φωτογραφικοί φακοί, τηλεσκόπια, μικροσκόπια κ.α). Ένα σύνολο ακτίνων που προσπίπτει σε ένα οπτικό στοιχείο, μετά την ανάκλαση ή διάθλασή τους, φαίνονται να συγκλίνουν προς ή να αποκλίνουν από ένα σημείο που ονομάζεται σημειακό είδωλο. Ενώ το σημείο από το οποίο πηγάζουν οι προσπίπτουσες ακτίνες στο οπτικό στοιχείο ονομάζεται σημειακό αντικείμενο. Στα επόμενα θα ακολουθούνται οι εξής γενικοί κανόνες προσήμων των αποστάσεων του αντικειμένου και του ειδώλου από το οπτικό στοιχείο: α) Όταν το αντικείμενο βρίσκεται στην ίδια πλευρά του οπτικού στοιχείου με το προσπίπτον φως (πλευρά εισόδου), η απόσταση αντικειμένου είναι θετική, ειδάλλως είναι αρνητική. β) Όταν το είδωλο βρίσκεται στην ίδια πλευρά του οπτικού στοιχείου με το εξερχόμενο φως (πλευρά εξόδου), η απόσταση ειδώλου είναι θετική, ειδάλλως είναι αρνητική. Τα είδωλα διακρίνονται σε πραγματικά, όταν σχηματίζονται από τις τομές των ανακλώμενων ή διαθλώμενων ακτίνων και σε φανταστικά, όταν σχηματίζονται από τις τομές των προεκτάσεων των ανακλώμενων ή διαθλώμενων ακτίνων. Αν το αντικείμενο και το είδωλο δεν είναι σημειακά, αλλά έχουν ύψη y και y αντίστοιχα, τότε ο λόγος των υψών ειδώλων προς αντικείμενο, σε οποιαδήποτε περίπτωση σχηματισμού ειδώλου, ονομάζεται εγκάρσια μεγέθυνση m. Δηλαδή: y m ( ) y Όταν η τιμή της εγκάρσιας μεγέθυνσης είναι θετική το είδωλο είναι ορθό, ενώ όταν είναι αρνητική το είδωλο είναι ανεστραμμένο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επίπεδα Κάτοπτρα Γενικά η λειτουργία των κατόπτρων στηρίζεται στην εκμετάλλευση του φαινομένου της ανάκλασης του φωτός. Στο επίπεδο κάτοπτρο του σχήματος. θεωρείται ένα σημειακό αντικείμενο Α σε απόσταση από το κάτοπτρο, το οποίο σχηματίζει ένα σημειακό είδωλο Α σε απόσταση από το κάτοπτρο. Στη συνέχεια θα εξεταστεί η πορεία κάθε μιας ακτίνας χωριστά, που πηγάζει από το αντικείμενο Α, βάσει του νόμου της ανάκλασης (γωνία πρόσπτωσης ίση με γωνία ανάκλασης). Έτσι παρατηρείται ότι η ακτίνα ΑΟ που πέφτει κάθετα πάνω στο κάτοπτρο ανακλάται και επιστρέφει από τον ίδιο δρόμο, ενώ η ακτίνα ΑΡ αφού ανακλαστεί στο κάτοπτρο απομακρύνεται από αυτό. Είναι φανερό ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΡ και Α ΟΡ είναι ίσα αφού έχουν κοινή πλευρά ΟΡ και λόγω της ανάκλασης οι γωνίες ˆ και είναι ίσες. Άρα το σημείο τομής των προεκτάσεων των δύο ανακλώμενων ακτίνων θα είναι συμμετρικό του Α ως προς το κάτοπτρο, δηλαδή ΑΟ = ΟΑ. Επιπλέον επειδή η ακτίνα ΑΡ είναι τυχαία, η προέκταση και οποιασδήποτε άλλης ακτίνας που θα ανακλαστεί από το κάτοπτρο θα διέλθει από το σημείο Α. Συνεπώς το σημείο Α αποτελεί το είδωλο του αντικειμένου Α και μάλιστα κάθε επίπεδο κάτοπτρο δίνει πάντα φανταστικό είδωλο συμμετρικά ως προς το επίπεδο του κατόπτρου. Επειδή το αντικείμενο Α βρίσκεται στην πλευρά εισόδου (αριστερά) της ανακλαστικής επιφάνειας, η απόσταση του αντικειμένου είναι θετική, ενώ η απόσταση του ειδώλου είναι αρνητική επειδή το είδωλο Α δεν βρίσκεται στην πλευρά εξόδου (αριστερά) της επιφάνειας. Άρα οι αποστάσεις αντικειμένου και ειδώλου για κάθε επίπεδο κάτοπτρο σχετίζονται με την απλή σχέση: y Β Α θ Ο θ θ Α Ο Επίπεδο κάτοπτρο θ Σχήμα. P Ο Σχήμα. Β Α y ˆ Α ( ) Στην περίπτωση που το αντικείμενο δεν είναι σημειακό, αλλά έχει διαστάσεις, τότε το είδωλό του είναι το σύνολο των ειδώλων όλων των σημείων τον αντικειμένου. Στο σχήμα. παριστάνεται ένα γραμμικό αντικείμενο ΑΒ ύψους y, παράλληλο προς ένα επίπεδο κάτοπτρο. Όπως φαίνεται στο σχήμα και σύμφωνα με τα παραπάνω δύο ακτίνες εκπορευόμενες από το σημείο Β ανακλώνται και αποκλίνουν σχηματίζοντας το σημειακό είδωλο Β. Ομοίως το σημείο Α σχηματίζει είδωλο στο Α και κάθε ενδιάμεσο σημείο του αντικειμένου ΑΒ έχει σημειακό είδωλο μεταξύ των Α και Β. Έτσι λόγω της (-) είναι = και από την ανάκλαση η γωνία θ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ των τριγώνων ΑΟΒ και Α ΟΒ είναι ίδια (δηλαδή τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα) προκύπτει ότι ΑΒ = Α Β, δηλαδή ισχύει ότι y = y. Άρα η εγκάρσια μεγέθυνση του ειδώλου είναι : m y / y Δηλαδή το είδωλο έχει φυσικές διαστάσεις (ίδιο μέγεθος και προσανατολισμό με το αντικείμενο), είναι φανταστικό και ορθό. Εφαρμογή Να δειχτεί ότι αν ένα επίπεδο κάτοπτρο μετατοπιστεί παράλληλα κατά d, τότε παρατηρείται διπλάσια μετατόπιση d του ειδώλου σταθερού αντικειμένου. Λύση d Α Ο Ο Α Α d Σχήμα.3 Αρχικά όταν το κάτοπτρο βρίσκεται στη θέση Ο, το αντικείμενο που βρίσκεται στο σημείο Α σχηματίζει είδωλο στο σημείο Α και σύμφωνα με τη (-) είναι: ΑΟ = ΟΑ () Στη συνέχεια όταν το κάτοπτρο μετατοπιστεί κατά d στη θέση Ο, τότε το αντικείμενο θα σχηματίσει είδωλο στο σημείο και θα ισχύει: () Επομένως : και λόγω των () και () είναι ΑΑ = ΑΟ και προκύπτει τελικά ότι: ( ) OO d Δηλαδή η παράλληλη μετατόπιση επίπεδου κατόπτρου, επιφέρει διπλάσια μετατόπιση κατά την ίδια φορά του ειδώλου σταθερού αντικειμένου. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εφαρμογή Να δειχτεί ότι αν ένα επίπεδο κάτοπτρο περιστραφεί κατά γωνία φ, τότε η ανακλώμενη ακτίνα στρέφεται κατά γωνία φ. Λύση Έστω το επίπεδο κάτοπτρο Κ το οποίο στρέφεται κατά γωνία φ περί άξονα κάθετο ο οποίος διέρχεται απ το σημείο πρόσπτωσης Ο σταθερής ακτίνας ΑΟ. Η προσπίπτουσα ακτίνα ΑΟ σχηματίζει με την κάθετη Μ στο κάτοπτρο Κ γωνία α, οπότε και η ανακλώμενη ακτίνα ΟΒ θα σχηματίζει με τη Μ γωνία α. Όταν το κάτοπτρο Κ στραφεί κατά γωνία φ και η κάθετη Μ θα στραφεί κατά την ίδια γωνία φ, δηλαδή η Μ και η Μ θα σχηματίζουν γωνία φ. Σχήμα.4 Έτσι τώρα η προσπίπτουσα ακτίνα ΑΟ σχηματίζει με την κάθετη Μ γωνία α+φ, οπότε και η ανακλώμενη ακτίνα ΟΒ θα σχηματίζει με την Μ ίδια γωνία α+φ. Άρα από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι η γωνία στροφής της ανακλώμενης ακτίνας ˆ είναι: Α φ α Μ Ο α φ Μ α+φ Β Κ Κ Β ˆ ˆ ˆ (φ α φ) α ˆ φ Η στροφή αυτή της ανακλώμενης κατά γωνία διπλάσια από τη γωνία στροφής του κατόπτρου για σταθερή προσπίπτουσα, βρίσκει εφαρμογή στις μετρήσεις πολύ μικρών γωνιών (μέθοδος Poggendor) καθώς και στη λειτουργία του εξάντα, που είναι ένα χρήσιμο όργανο στο καθορισμό του στίγματος κατά την πλοήγηση πλοίων ή αεροπλάνων παλαιότερα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σφαιρικά Κάτοπτρα Ένα σφαιρικό κάτοπτρο αποτελεί τμήμα μιας σφαίρας και μπορεί να είναι κοίλο ή κυρτό ανάλογα με το αν η ανακλώσα επιφάνεια είναι το εσωτερικό ή το εξωτερικό μέρος της σφαίρας. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του Σχήματος.5 παρουσιάζεται η ονοματολογία που χρησιμοποιείται στη μελέτη των σφαιρικών κατόπτρων. Κοίλο κάτοπτρο Α Κυρτό κάτοπτρο C F O Ο F C Β Σχήμα.5 Το κέντρο καμπυλότητας C ενός σφαιρικού κατόπτρου είναι το κέντρο της σφαίρας εκείνης της οποίας τμήμα είναι η επιφάνεια του κατόπτρου. Το σημείο Ο στο κέντρο της κατοπτρικής επιφάνειας ονομάζεται κορυφή ή οπτικό κέντρο του κατόπτρου και η ευθεία γραμμή που περνά από το κέντρο καμπυλότητας C και το οπτικό κέντρο Ο ονομάζεται οπτικός ή κύριος άξονας του κατόπτρου. Η απόσταση μεταξύ των σημείων C και Ο αποτελεί την ακτίνα καμπυλότητας του κατόπτρου. Κάθε άλλη ευθεία που διέρχεται από το κέντρο καμπυλότητας C ονομάζεται δευτερεύον άξονας, ενώ η γωνία ΑCΒ ονομάζεται άνοιγμα του κατόπτρου. Στη συνέχεια η μελέτη της ανάκλασης του φωτός σε σφαιρικά κάτοπτρα θα περιοριστεί για λόγους ευκολίας στην εξέταση ακτίνων που βρίσκονται κοντά στον κύριο άξονα και σχηματίζουν με αυτόν μικρή γωνία. Τέτοιες ακτίνες, ονομάζονται παραξονικές ακτίνες και γι αυτό η προσέγγιση που θα χρησιμοποιηθεί λέγεται παραξονική προσέγγιση. Επίσης μια παράλληλη δέσμη εισερχόμενων ακτίνων, μετά την ανάκλαση, συγκλίνει ή αποκλίνει σε ένα σημείο F που ονομάζεται εστιακό σημείο και η απόστασή του από την κορυφή Ο ονομάζεται εστιακή απόσταση. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σφαιρικό κάτοπτρο ισχύει: ( 3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Α. Σχηματισμός ειδώλου από κοίλο κάτοπτρο B A C B F O E Σχήμα.6 Για την εύρεση και τη γεωμετρική κατασκευή του ειδώλου χρησιμοποιούνται οι χαρακτηριστικές ακτίνες: α) η ακτίνα παράλληλη προς τον κύριο άξονα, που διέρχεται μετά την ανάκλασή της από την εστία. β) η ακτίνα που διέρχεται από το κέντρο καμπυλότητας, ανακλάται και επιστρέφει κατά την ίδια διεύθυνση γ) η ακτίνα που διέρχεται από την κύρια εστία, ανακλάται παράλληλα προς τον κύριο άξονα. δ) η ακτίνα που προσπίπτει στο οπτικό κέντρο Ο και ανακλάται υπό γωνία ίση με τη γωνία πρόσπτωσης. Όπως φαίνεται και στο σχήμα για αντικείμενο ΑΒ κάθετο στο κύριο άξονα είναι αρκετή η εύρεση του Β για το σχηματισμό ολόκληρου του ειδώλου Α Β. Αν y και y είναι οι γραμμικές διαστάσεις αντικειμένου και ειδώλου αντίστοιχα και και οι αποστάσεις αντικειμένου και ειδώλου από το οπτικό κέντρο Ο, τότε από το σχήμα και λόγω ομοιότητας των τριγώνων ΑΒΟ και Α Β Ο προκύπτει: y y Επίσης λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ΑΒF και FΟΕ προκύπτει: F y OE F y Άρα από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει εύκολα ότι: - - ( 4) Η εξίσωση αυτή λέγεται εξίσωση των κατόπτρων, όπου =/ είναι η εστιακή απόσταση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η εγκάρσια μεγέθυνση του ειδώλου σύμφωνα με την (-) είναι: y m ( 5) y Το αρνητικό πρόσημο λαμβάνεται γιατί το αντικείμενο και το είδωλο βρίσκονται προς αντίθετες πλευρές του οπτικού άξονα, δηλαδή το y είναι θετικό το y θα είναι αρνητικό. Η αρνητική τιμή της μεγέθυνσης δηλώνει ότι το είδωλο είναι ανεστραμμένο ως προς το αντικείμενο και μικρότερο από αυτό γιατί προφανώς m<. Παρατηρήσεις ) Για η ( 4) δίνει και η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί σε παράλληλη δέσμη ακτίνων που σχηματίζει είδωλο στο σημείο της εστίας F (Σχήμα.5). ) Για = η ( 4) δίνει, δηλαδή αν αντικείμενο τεθεί στο κέντρο καμπυλότητας σχηματίζει το είδωλό του στο ίδιο σημείο με m =, δηλαδή ανεστραμμένο και ίσο προς το αντικείμενο. 3) Για = η ( 4) δίνει δηλαδή δεν υπάρχει είδωλο. 4) Για << η ( 4) δίνει δηλαδή το είδωλο είναι ανεστραμμένο και μεγαλύτερο του αντικειμένου (αφού m>). 5) Για < η ( 4) δίνει 0 που σημαίνει ότι το είδωλο σχηματίζεται πίσω από το κάτοπτρο, δηλαδή είναι φανταστικό, ορθό και μεγαλύτερο του αντικειμένου. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Β. Σχηματισμός ειδώλου από κυρτό κάτοπτρο B B A O A F C Σχήμα.7 Για την εύρεση του ειδώλου χρησιμοποιούνται οι χαρακτηριστικές ακτίνες: η παράλληλη προς τον οπτικό άξονα, η διερχόμενη από το κέντρο καμπυλότητας και η διερχόμενη από το οπτικό κέντρο. Είναι φανερό ότι οπουδήποτε και να τεθεί το αντικείμενο ΑΒ, το είδωλο θα είναι πάντα φανταστικό (γιατί προκύπτει από την τομή των προεκτάσεων των ανακλώμενων ακτίνων), ορθό και μικρότερο του αντικειμένου. Έστω και είναι οι αποστάσεις αντικειμένου και ειδώλου από το οπτικό κέντρο, y και y τα ύψη αντικειμένου και ειδώλου, η ακτίνα καμπυλότητας και = / η εστιακή απόσταση. Από το σχήμα λόγω ομοιότητας των τριγώνων ΑΒΟ και Α Β Ο προκύπτει: y y και επίσης λόγω ομοιότητας των τριγώνων ΑCΒ και Α CΒ προκύπτει : C y C y Άρα από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι: ( ) ( ) Στην περίπτωση όμως των κυρτών κατόπτρων τα και είναι αρνητικές ποσότητες κι επομένως η τελευταία καταλήγει στη γνωστή εξίσωση των κατόπτρων αν ληφθεί υπόψη και ότι = / : ( 6) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η εγκάρσια μεγέθυνση του ειδώλου είναι: m y y Στον Πίνακα. παρατίθεται η φυσική σημασία των προσήμων παραμέτρους των σφαιρικών κατόπτρων. για τις διάφορες Μέγεθος Πρόσημο + Ακτίνα καμπυλότητας Κοίλο κάτοπτρο Κυρτό κάτοπτρο Εστιακή απόσταση Κοίλο κάτοπτρο Κυρτό κάτοπτρο Απόσταση αντικειμένου Πραγματικό αντικείμενο Φανταστικό αντικείμενο Απόσταση ειδώλου Πραγματικό είδωλο Φανταστικό είδωλο Ύψος αντικειμένου y Ορθό αντικείμενο Ανεστραμμένο αντικείμενο Ύψος ειδώλου y Ορθό είδωλο Ανεστραμμένο είδωλο Εγκάρσια μεγέθυνση m Ορθό είδωλο Ανεστραμμένο είδωλο Πίνακας. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τέλος ο Πίνακας. δίνει όλες τις περιπτώσεις των κατόπτρων και των θέσεων και των ειδών αντικειμένων και ειδώλων. Είδος Κατόπτρου Αντικείμενο Θέση Είδος Θέση Επίπεδο Οπουδήποτε φανταστικό Είδωλο Προσανατολισμός Μεγέθυνση ορθό m= πραγματικό ανεστραμμένο m< << πραγματικό ανεστραμμένο m< Κοίλο = πραγματικό ανεστραμμένο m= << πραγματικό ανεστραμμένο m> = < φανταστικό ορθό m> Κυρτό οπουδήποτε φανταστικό ορθό m< Πίνακας. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Δίοπτρα Γενικά ένα σύστημα δύο διαφανών ομογενών μέσων, τα οποία διαχωρίζονται από μία επιφάνεια ονομάζεται δίοπτρο. Αν η επιφάνεια αυτή είναι επίπεδη ή σφαιρική, ορίζεται αντίστοιχα το επίπεδο ή το σφαιρικό δίοπτρο. Ο σχηματισμός του ειδώλου ενός αντικειμένου μέσω ενός δίοπτρου βασίζεται στο νόμο της διάθλασης. Α. Επίπεδο δίοπτρο n n Β Β α Γ β n Α α Α β Ο Σχήμα.8 Έστω το επίπεδο δίοπτρο του σχήματος που διαχωρίζει δυο διαφανή μέσα με δείκτες διάθλασης n και n, όπου n > n και ΑΒ ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε απόσταση από το σημείο Ο της διαχωριστικής επιφάνειας. Αν το σύστημα μελετηθεί με την παραξονική προσέγγιση (παραξονικές ακτίνες), δηλαδή με ακτίνες που σχηματίζουν μικρή γωνία με την κάθετη στην επιφάνεια (οπότε οι γωνίες πρόσπτωσης α και β είναι μικρές), τότε οι διαθλώμενες ακτίνες που εκπορεύονται από τα σημεία Α και Β, προεκτεινόμενες προς τα πίσω ορίζουν το φανταστικό είδωλο Α Β του πραγματικού αντικειμένου ΑΒ σε απόσταση από το σημείο Ο. Επειδή οι γωνίες α και β θεωρούνται μικρές ισχύει η προσέγγιση co α και coβ οπότε ισχύουν οι σχέσεις : t αnα inα και t αnβ inβ () Έτσι από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΓ και Α ΟΓ προκύπτει: t αnα και t αnβ οπότε : tαnα in α και λογω των () είναι : tαnβ inβ Επίσης εφαρμόζοντας το νόμο του Snell στο σημείο Γ προκύπτει: () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ inα n n in α n in β και λόγω της () τελικά είναι : inβ n n n ( 7) Η σχέση αυτή ονομάζεται εξίσωση του επίπεδου δίοπτρου και συνδέει τις αποστάσεις του φανταστικού ειδώλου και του αντικειμένου από τη διαχωριστική επιφάνεια. Από τη γραφική αναπαράσταση του ειδώλου στο Σχήμα.8 συμπεραίνεται ότι στην περίπτωση του επιπέδου δίοπτρου το ύψος του ειδώλου Α Β είναι ίσο με αυτό του αντικειμένου ΑΒ, δηλαδή η εγκάρσια μεγέθυνση είναι m =. Παρατηρήσεις ) Στην περίπτωση που το επίπεδο δίοπτρο αποτελείται από αέρα με δείκτη διάθλασης n = και νερό με δείκτη διάθλασης n = n και ένα αντικείμενο ΑΒ βρίσκεται στο νερό, ενώ ο παρατηρητής στον αέρα τότε από την (-7) προσδιορίζεται η φαινόμενη ανύψωση ΑΑ να είναι : n AA AA ( 8) n n n Δηλαδή το αντικείμενο που βρίσκεται στο νερό φαίνεται, σε παρατηρητή που βρίσκεται στον αέρα, να πλησιάζει την διαχωριστική επιφάνεια κατά το μήκος ΑΑ που δίνει η (-8). ) Αντίθετα αν ο παρατηρητής είναι στο νερό και το αντικείμενο στον αέρα (δηλαδή / n n, δηλαδή το είδωλο n<n) η σχέση (-7) δίνει φαίνεται να απομακρύνεται για παρατηρητή μέσα στο νερό (αφού > ). Άρα η φαινόμενη απομάκρυνση ΑΑ για παρατηρητή μέσα στο νερό είναι: AA n AA (n ) ( 9) Β. Σφαιρικό δίοπτρο n n θ β α α O Α P γ h β β γ Σ C Α θ Σχήμα.9 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η κοίλη σφαιρική επιφάνεια ακτίνας του Σχήματος.9 αποτελεί την διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων με δείκτες διάθλασης n και n (n<n). Ένα σημειακό αντικείμενο Α βρίσκεται σε απόσταση από την κορυφή Ο και η ακτίνα ΑΟ που προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια στο Ο εισέρχεται στο δεύτερο μέσο χωρίς απόκλιση. Επίσης η ακτίνα ΑΡ, που σχηματίζει γωνία α με τoν οπτικό άξονα, προσπίπτει υπό γωνία θ ως προς την κάθετo στο Ρ και διαθλάται υπό γωνία θ. Οι δύο αυτές ακτίνες τέμνονται στο σημείο Α, υπό γωνία γ, σε απόσταση δεξιά της κορυφής και ορίζουν το σημειακό είδωλο. Από το νόμο του Snell ισχύει : n in θ n in θ Θεωρώντας παραξονική προσέγγιση οι γωνίες θ, θ είναι μικρές και ισχύει η προσέγγιση in θ θ κι επομένως : nθ nθ in θ θ, Από το σχήμα εύκολα φαίνεται ότι: και οπότε η παραπάνω γίνεται: θ α β θ β γ n(α β) n (β γ) nα nγ ( n n)β Επειδή όπως θεωρήθηκε οι γωνίες είναι μικρές, η απόσταση ΟΣ= θα είναι πάρα πολύ μικρή (αμελητέα) κι επομένως από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΣΡ, ΣΡC και ΣΡΑ προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες: h tαnα α, Συνεπώς η τελευταία σχέση δίνει: h h h n n (n n) h inβ β και n n h tαnγ γ n n ( 0) Η σχέση αυτή ονομάζεται εξίσωση απεικόνισης σφαιρικού δίοπτρου και αποτελεί τη σχέση μεταξύ των αποστάσεων αντικειμένου και ειδώλου. Παρατηρήσεις ) Από τη σχέση (-0) υπολογίζονται τα χαρακτηριστικά σημεία του σφαιρικού δίοπτρου που ονομάζεται εστιακά σημεία. Αν η θέση του αντικειμένου είναι σε άπειρη απόσταση (= ) τότε οι ακτίνες είναι παράλληλες προς τον οπτικό άξονα και το είδωλο σχηματίζεται σε απόσταση τέτοια ώστε: n n n n ( ) n n Η απόσταση αυτή ονομάζεται οπισθία εστιακή απόσταση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αντίστοιχα αν το είδωλο σχηματίζεται στο άπειρο ( ), τότε όλες οι ακτίνες διαθλώνται από το δίοπτρο παράλληλες και το αντικείμενο θα βρίσκεται σε απόσταση τέτοια ώστε: n n n n F ( ) n n Η απόσταση αυτή ονομάζεται εμπρόσθια εστιακή απόσταση F. Όπως παρατηρείται από τις σχέσεις (-) και (-) οι δύο εστιακές αποστάσεις του διόπτρου είναι άνισες με λόγο : F n n και αν αντικατασταθούν στην (-0) συνδέονται με τη σχέση : F ) Στην περίπτωση που το αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη της εμπρόσθιας εστιακής, δηλαδή <F τότε είναι />/F και από την (-0) προκύπτει τελικά ότι / <0. Δηλαδή η απόσταση είναι αρνητική, οπότε το είδωλο βρίσκεται στα αριστερά του δίοπτρου και είναι φανταστικό. 3) Γενικά η σχέση (-0) ισχύει για όλα τα είδη των σφαιρικών διόπτρων με κοίλη ή κυρτή επιφάνεια και για οποιαδήποτε τιμή των δεικτών διάθλασης n και n. Η φυσική σημασία των προσήμων των μεγεθών είναι η ίδια με αυτή για τα σφαιρικά κάτοπτρα, όπως αναπτύχθηκε στον Πίνακα.. Η μόνη διαφορά εντοπίζεται στην ακτίνα καμπυλότητας, η οποία γενικά θα λαμβάνεται ως θετική όταν το κέντρο καμπυλότητας βρίσκεται προς την εκάστοτε πλευρά εξόδου των ακτίνων από την επιφάνεια. 4) B y Α θ O θ C Α y B Σχήμα.0 Για τον προσδιορισμό του ύψους ειδώλου σχηματιζόμενου μέσω σφαιρικού διόπτρου χρησιμοποιείται η γεωμετρική κατασκευή του Σχήματος.0. Σχεδιάζοντας δύο ακτίνες που εκκινούν από το σημείο Β, η μία να διέρχεται από το κέντρο καμπυλότητας C και η άλλη να προσπίπτει στο οπτικό κέντρο Ο, προσδιορίζεται το είδωλο Α Β. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Έτσι από το νόμο του Snell είναι : n in θ n in θ Για παραξονικές ακτίνες, δηλαδή για μικρές γωνίες θ και θ είναι οπότε ισχύει ότι: coθ n Άρα : tαnθ ntαnθ tαn θ in θ και tαn θ in θ Επίσης από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΒ και Α ΟΒ είναι : tαnθ Οπότε η προηγούμενη δίνει τελικά : y και tαnθ - y coθ και n y n y y n m ( 3) y n Η σχέση ( 3) δίνει την εγκάρσια μεγέθυνση του ειδώλου που σχηματίζεται μέσω ενός διόπτρου. 5) Στην περίπτωση επίπεδης επιφάνειας μεταξύ δυο οπτικών υλικών (επίπεδο δίοπτρο) είναι = και η ( 0) δίνει : n n 0 Η παραπάνω συμπίπτει με την εξίσωση του επίπεδου δίοπτρου ( 7). Επίσης για την εγκάρσια μεγέθυνση m, συνδυάζοντας την παραπάνω και την σχέση ( 3) προκύπτει ότι m=. Δηλαδή το είδωλο που σχηματίζεται από επίπεδο δίοπτρο έχει πάντα το ίδιο μέγεθος με το αντικείμενο και είναι πάντα ορθό. 6) Η ανάλυση που προηγήθηκε για τα σφαιρικά δίοπτρα εφαρμόζεται άμεσα σε μερικά πραγματικά οπτικά συστήματα, όπως είναι ο ανθρώπινος οφθαλμός και επίσης αποτελεί τη βάση στην οποία στηρίζεται η μελέτη των φακών, οι οποίοι έχουν συνήθως δυο σφαιρικές επιφάνειες. n n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Φακοί Ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες ονομάζεται φακός. Οι φακοί διακρίνονται ως προς το πάχος τους σε λεπτούς και παχείς. Χαρακτηριστικά μεγέθη κατά τη μελέτη ενός φακού αποτελούν οι ακτίνες καμπυλότητας και (προκειμένου για φακό που αποτελείται από δυο σφαιρικές επιφάνειες), το οπτικό κέντρο του φακού, ο οπτικός άξονας και οι εστίες του φακού. E E Σχήμα. Στο λεπτό φακό του Σχήματος. όταν διέρχεται μια δέσμη παράλληλων ακτίνων, αυτές συγκλίνουν στο σημείο Ε, ενώ οι ακτίνες που διέρχονται από το σημείο Ε εξέρχονται από το φακό ως δέσμη παράλληλων ακτινών. Τα σημεία Ε και Ε ονομάζονται εστιακά σημεία ή εστίες και η απόστασή τους από το κέντρο του φακού ονομάζεται εστιακή απόσταση. Στην περίπτωση λεπτού φακού οι εστιακές αποστάσεις είναι πάντα ίσες, ακόμη και αν οι δυο επιφάνειες έχουν διαφορετικές καμπυλότητες. Έτσι όταν μια παράλληλη δέσμη ακτίνων προσπίπτει σε φακό, συγκλίνει και σχηματίζει πραγματικό είδωλο μετά τη διέλευσή της από το φακό ονομάζεται συγκλίνων φακός και η εστιακή του απόσταση είναι θετική. Αντίθετα όταν μια δέσμη παράλληλων ακτίνων προσπίπτει σε φακό, αποκλίνει μετά τη διάθλαση και σχηματίζει φανταστικό είδωλο ονομάζεται αποκλίνων φακός και η εστιακή του απόσταση είναι αρνητική. Ένας τέτοιος φακός φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. E E Σχήμα. Παρατηρείται ότι τα εστιακά σημεία του αποκλίνοντα φακού έχουν αντίστροφη διάταξη σε σύγκριση με τα αντίστοιχα σημεία του συγκλίνοντα φακού και γι αυτό οι εστιακές τους αποστάσεις έχουν αντίθετο πρόσημο. Στο Σχήμα.3 παρατίθονται διάφορες μορφές συγκλίνοντων και αποκλίνοντων φακών. Παρατηρείται ότι κάθε φακός παχύτερος στο κέντρο και λεπτότερος στην περιφέρεια είναι συγκλίνων, ενώ κάθε φακός λεπτότερος στο κέντρο και παχύτερος στην περιφέρεια είναι αποκλίνων. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ αμφίκυρτος επιπεδόκυρτος μηνίσκος αμφίκοιλος επιπεδόκοιλος μηνίσκος Συγκλίνοντες φακοί Αποκλίνοντες φακοί Σχήμα.3 Α. Συγκλίνων φακός B y Α x Γ x α O β α β Α y B Σχήμα.4 Έστω ένα αντικείμενο ΑΒ ύψους y σε απόσταση από το κέντρο ενός λεπτού αμφίκυρτου φακού. Η ακτίνα ΒΓ προσπίπτει πάνω στο φακό παράλληλα με τον οπτικό άξονα και όταν αναδύεται περνά από την εστία Ε, ενώ η ακτίνα ΒΟ περνάει από το οπτικό κέντρο του φακού και δεν υφίσταται εκτροπή. Έτσι από την πορεία των δυο αυτών ακτίνων προσδιορίζεται γεωμετρικά η θέση του ειδώλου Α Β σε απόσταση από το οπτικό κέντρο Ο. Από το σχήμα φαίνεται εύκολα ότι λόγω των ίσων γωνιών β, τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΓΕ και Α Β Ε είναι όμοια και ισχύει : tαnβ ΟΓ ΟΕ y y y y Επίσης από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΟΒ και Α ΟΒ (λόγω των ίσων γωνιών α) ισχύει: tαnα ΑΒ ΑΟ y y y y Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο ότι το είδωλο είναι ανεστραμμένο και συνεπώς το ύψος του ειδώλου y είναι αρνητικό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εξισώνοντας τις δυο παραπάνω εξισώσεις και διαιρώντας δια προκύπτει : - Η (-4) αποτελεί τον τύπο του Gau των φακών αντικειμένου και ειδώλου με την εστιακή απόσταση. ( 4) και συνδέει τις αποστάσεις Η εγκάρσια μεγέθυνση του ειδώλου σύμφωνα με τα παραπάνω είναι : y m ( 5) y Δηλαδή η μεγέθυνση του ειδώλου είναι ο λόγος των αποστάσεων ειδώλου αντικειμένου από το φακό και όταν είναι θετική το είδωλο είναι ορθό, ενώ όταν είναι αρνητική το είδωλο είναι ανεστραμμένο. Αν ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων θεωρηθούν οι εστίες Ε και Ε, τότε αν x είναι η απόσταση του αντικειμένου από την εστία Ε και x η απόσταση του ειδώλου από τη εστία Ε, θα είναι =x+ και, οπότε η σχέση (-4) δίνει: x x x x x (x )(x ) x x xx x x Η (-6) ονομάζεται τύπος του Newton των φακών. xx ( 6) Παρατήρηση Από τη διερεύνηση της σχέσης (-4) βρίσκονται οι διάφορες θέσεις και είδη των ειδώλων που σχηματίζονται από συγκλίνοντα φακό. Έτσι η (-4) δίνει: / Οπότε: ) Για, δηλαδή όταν οι ακτίνες είναι παράλληλες προς τον οπτικό άξονα, είναι, δηλαδή πραγματικό είδωλο στο σημείο της εστίας. ) Για > είναι, δηλαδή το είδωλο είναι πραγματικό και ανεστραμμένο και σχηματίζεται μετά το φακό πέρα από τη εστία. 3) Για = είναι, δηλαδή το είδωλο είναι πραγματικό, ανεστραμμένο και ίσο με το αντικείμενο. 4) Για = είναι, δηλαδή δεν σχηματίζεται είδωλο. 5) Για < είναι 0, δηλαδή το είδωλο σχηματίζεται από την πλευρά που βρίσκεται και το αντικείμενο κι επομένως είναι φανταστικό, ορθό και μεγαλύτερο από το αντικείμενο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Β. Αποκλίνων φακός B y Α Ε B Α Σχήμα.5 Στο Σχήμα.5 απεικονίζεται η πορεία των ακτίνων και ο σχηματισμός του ειδώλου στην περίπτωση ενός αποκλίνοντα φακού. Με την ίδια πορεία όπως στο συγκλίνων φακό αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν οι σχέσεις (-4), (-5), (-6) και για κάθε αποκλίνων φακό. Η διαφορά τώρα είναι ότι το είδωλο Α Β του αντικειμένου ΑΒ είναι πάντοτε φανταστικό, αφού σχηματίζεται από την πλευρά του φακού που βρίσκεται και το αντικείμενο. Επίσης το είδωλο είναι ορθό, αφού το y είναι θετικό κι επομένως και η μεγέθυνση είναι θετική, και είναι μικρότερο του αντικείμενου, αφού m<. Προσέξτε ότι για κάθε αποκλίνων φακό η εστιακή απόσταση και η απόσταση του ειδώλου είναι αρνητικά. Σημείωση Κατά τη μελέτη των φακών θεωρείται ότι ο δείκτης διάθλασης του φακού είναι μεγαλύτερος από το δείκτη διάθλασης του περιβάλλοντος μέσου, που συνήθως είναι ο αέρας. Κι αυτό γιατί αν θεωρηθεί το αντίθετο τότε οι φακοί που ορίστηκαν ως συγκλίνοντες θα συμπεριφέρονται ως αποκλίνοντες και αντίθετα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Στον Πίνακα.3 παρατίθεται η φυσική σημασία των μεγεθών που αναφέρονται σε ένα λεπτό φακό. Μέγεθος Πρόσημο + Απόσταση αντικειμένου Πραγματικό αντικείμενο Φανταστικό αντικείμενο Απόσταση ειδώλου Πραγματικό είδωλο Φανταστικό είδωλο Εστιακή απόσταση Συγκλίνων φακός Αποκλίνων φακός Ύψος αντικειμένου y Ορθό αντικείμενο Ανεστραμμένο αντικείμενο Ύψος ειδώλου y Ορθό είδωλο Ανεστραμμένο είδωλο Εγκάρσια μεγέθυνση m Ορθό είδωλο Ανεστραμμένο είδωλο Πίνακας.3 Στον Πίνακα.4 συνοψίζονται τα χαρακτηριστικά ειδώλου που σχηματίζεται μέσω ενός λεπτού φακού. Συγκλίνων φακός Αντικείμενο Είδωλο Θέση Είδος Θέση Προσανατολισμός Μεγέθυνση πραγματικό ανεστραμμένο m < = πραγματικό = ανεστραμμένο m = πραγματικό ανεστραμμένο m > = = < φανταστικό > ορθό m > Αποκλίνων φακός Αντικείμενο Είδωλο Θέση Είδος Θέση Προσανατολισμός Μεγέθυνση οπουδήποτε φανταστικό < ορθό m< Πίνακας.4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εξίσωση των Κατασκευαστών των Φακών A C O C Α Α Σχήμα.6 Έστω ο αμφίκυρτος φακός του Σχήματος.6, που αποτελείται από δυο σφαιρικά δίοπτρα ακτινών καμπυλότητας και. Το περιβάλλον μέσο του φακού θεωρείται ότι είναι ο αέρας με δείκτη διάθλασης nα= και ο φακός έχει δείκτη διάθλασης n. Το είδωλο ενός σημειακού αντικειμένου Α, που απέχει απόσταση από το οπτικό κέντρο Ο, αν δεν υπήρχε η σφαιρική επιφάνεια ακτίνας θα σχηματιζόταν στο σημείο A Τότε η εξίσωση απεικόνισης σφαιρικού δίοπτρου (-0) παίρνει τη μορφή: n n σε απόσταση. Το είδωλο A ) για το δεύτερο κοίλο δίοπτρο με ακτίνα καμπυλότητας και απέχει απόσταση από αυτό. Επομένως προκύπτει το τελικό είδωλο Α σε απόσταση από το οπτικό κέντρο και ικανοποιεί την εξίσωση (-0) ως εξής : όμως αποτελεί το φανταστικό αντικείμενο (δηλαδή 0 n n Προσθέτοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει: (n ) ή λόγω της (-4): (n ) ( 7) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η σχέση (-7) ονομάζεται εξίσωση των κατασκευαστών των φακών και εκφράζει την εστιακή απόσταση του φακού συναρτήσει του δείκτη διάθλασης n και των ακτίνων καμπυλότητας και των επιφανειών του. Παρατηρήσεις ) Κατά την εφαρμογή της εξίσωσης (-7) πρέπει να προσεχθεί ότι για κάθε φακό η ακτίνα καμπυλότητας για κοίλη σφαιρική επιφάνεια λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, ενώ για κυρτή σφαιρική επιφάνεια λαμβάνεται με θετικό πρόσημο. Έτσι έναν αμφίκυρτο φακό όπως στο Σχήμα.6 θα είναι = + και = -, οπότε η σχέση (-7) θα είναι: (n ) ) Σε φακούς με μια επίπεδη επιφάνεια (επιπεδόκυρτος ή επιπεδόκοιλος) προφανώς είναι = και η σχέση (-7) δίνει για την εστιακή τους απόσταση : (n ) 3) Για παχείς φακούς η εξίσωση (-7) αποδεικνύεται ότι έχει την μορφή: (n ) (n )d n ( 8) όπου d το πάχος του φακού και η οποία δίνει την εξίσωση του λεπτού φακού, όταν το πάχος γίνει αμελητέο, δηλαδή όταν d 0. Εφαρμογή Ποιο είδος φακού που περιβάλλεται από αέρα έχει εστιακή απόσταση ανεξάρτητη από το πάχος του ; Λύση Από την (-8) φαίνεται ότι η εστιακή απόσταση θα είναι ανεξάρτητη από το πάχος του φακού αν μηδενιστεί ο τρίτος όρος της αγκύλης, δηλαδή αν = ή =. Άρα θα πρέπει να είναι επιπεδόκυρτος ή επιπεδόκοιλος φακός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ισχύς Φακού Το αντίστροφο της εστιακής απόστασης ενός φακού ονομάζεται ισχύς ή διαθλαστική ικανότητα Ι του φακού. Δηλαδή: I ( 9) Μονάδα μέτρησης της ισχύος φακού είναι το m - και ονομάζεται διοπτρία dp, δηλαδή είναι dp = m -. Παρατηρείται ότι όσο μικρότερη είναι η εστιακή απόσταση ενός φακού, τόσο μεγαλύτερη είναι η ισχύς του, δηλαδή ο φακός είναι πιο συγκεντρωτικός. Επίσης στους συγκλίνοντες φακούς η ισχύς Ι παίρνει θετικές τιμές αφού η εστιακή απόσταση είναι θετική, ενώ στους αποκλίνοντες φακούς παίρνει αρνητικές τιμές εφόσον η είναι αρνητική. Η γραφική παράσταση της μεταβολής της ισχύος ενός φακού με την εστιακή απόσταση φαίνεται στο ακόλουθο γράφημα. Ι Για συγκλίνων φακό Για αποκλίνων φακό Σχήμα.7 Η εξάρτηση της ισχύος ενός φακού από το δείκτη διάθλασής του φαίνεται από την εξίσωση (-7) και για ένα συγκλίνοντα φακό είναι I (n ), ενώ για έναν αποκλίνοντα φακό είναι I (n ) (επειδή στη (-7) είναι <0 και >0). Η γραφική παράσταση της μεταβολής αυτής φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ι Για συγκλίνων φακό (Ι>0) Ο n Για αποκλίνων φακό (Ι<0) Σχήμα.8 Ένα σύστημα λεπτών φακών που βρίσκονται σε επαφή ισοδυναμεί με ένα φακό, του οποίου η ισχύς είναι: I I I... ή... ( 0) I 3 3 Επίσης ένα σύστημα που αποτελείται από δυο λεπτούς φακούς, που βρίσκονται σε απόσταση d μεταξύ τους ισοδυναμεί με ένα φακό, του οποίου η ισχύς είναι: I I I di ή I d ( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΕΡΑΣΤΗΡΙ ΕΦΑΡΜΣΜΕΝΗΣ ΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 1: Λεπτοί φακοί Εξεταζόμενες γνώσεις. Εξίσωση κατασκευαστών των φακών. Συστήματα φακών. Διαγράμματα κύριων ακτινών. Είδωλα και μεγέθυνση σε λεπτούς φακούς. Α. Λεπτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

ιατµηµατικό µεταπτυχιακό πρόγραµµα «Οπτική και Όραση» Ασκήσεις Οπτική Ι ιδάσκων: ηµήτρης Παπάζογλου Email: dpapa@iesl.forth.gr

ιατµηµατικό µεταπτυχιακό πρόγραµµα «Οπτική και Όραση» Ασκήσεις Οπτική Ι ιδάσκων: ηµήτρης Παπάζογλου Email: dpapa@iesl.forth.gr ιατµηµατικό µεταπτυχιακό πρόγραµµα «Οπτική και Όραση» Ασκήσεις Οπτική Ι ιδάσκων: ηµήτρης Παπάζογλου Email: dpapa@iesl.forth.gr 1. Να σχεδιάσετε την διάδοση των ακτίνων στα παρακάτω οπτικά συστήµατα F F

Διαβάστε περισσότερα

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0

Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 Οι δύο θεμελιώδεις παράμετροι προσδιορισμού της ταχύτητας του φωτός στο κενό: Διηλεκτρική σταθερά ε0 Μαγνητική διαπερατότητα μ0 1 c 0 0 Όταν το φως αλληλεπιδρά με την ύλη, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες.

ΑΝΑΚΛΑΣΗ. β' νόμος της ανάκλασης: Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης είναι ίσες. ΑΝΑΚΛΑΣΗ Η ακτίνα (ή η δέσμη) πριν ανακλασθεί ονομάζεται προσπίπτουσα ή αρχική, ενώ μετά την ανάκλαση ονομάζεται ανακλώμενη. Η γωνία που σχηματίζει η προσπίπτουσα με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@materials.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική

Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@materials.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου dpapa@maerals.uoc.gr Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γεωμετρική Οπτική Η ιδέα την απεικόνισης Σημειακή πηγή Στιγματική απεικόνιση Η ανακατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Είδωλα: επίπεδα κάτοπτρα. Έκλειψη ηλίου. Σκιά. ΗΣελήνηπαρεµβάλλεται µεταξύ Ηλίου και Γης. Σαν αποτέλεσµα βλέπουµε µόνοτοεξωτερικόµέρος του Ήλιου.

Είδωλα: επίπεδα κάτοπτρα. Έκλειψη ηλίου. Σκιά. ΗΣελήνηπαρεµβάλλεται µεταξύ Ηλίου και Γης. Σαν αποτέλεσµα βλέπουµε µόνοτοεξωτερικόµέρος του Ήλιου. ίδωλα: επίπεδα κάτοπτρα Tο είδωλο είναι φανταστικό, καιέχειτοίδιοµέγεθος µετο αντικείµενο. Η δεξιά πλευρά του ειδώλου αντιστοιχεί στην αριστερή πλευρά του αντικειµένου 1 2 Σκιά λέµε τοσκοτεινόχώρο που

Διαβάστε περισσότερα

2. Ο οφθαλμός ως οπτικό σύστημα

2. Ο οφθαλμός ως οπτικό σύστημα 2. Ο οφθαλμός ως οπτικό σύστημα 2 Απριλίου 20 Η δομή του οφθαλμού Ιδωμένος ως ένα οπτικό όργανο, ο ανθρώπινος οφθαλμός επιτελεί την ακόλουθη λειτουργία. Δέχεται εισερχόμενες ακτίνες φωτός από απομακρυσμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Οπτικά όργανα. Α. Οι βασικοί νόµοι της Οπτικής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Οπτικά όργανα. Α. Οι βασικοί νόµοι της Οπτικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Οπτικά όργανα 3.1 Η φύση του φωτός Α. Οι βασικοί νόµοι της Οπτικής Το φως είναι ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που διαδίδονται στο χώρο. ηλαδή, µεταβολές ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου που διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

Κ.- Α. Θ. Θωμά. Οπτική

Κ.- Α. Θ. Θωμά. Οπτική Κ.- Α. Θ. Θωμά Οπτική Θεωρίες για τη φύση του φωτός Η ανάγκη διατύπωσης διαφορετικών θεωριών προέρχεται από την παρατήρηση ότι το φώς άλλες φορές συμπεριφέρεται σαν σωματίδιο και άλλοτε σαν κύμα, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟ είναι η προσπίπτουσα ακτίνα. Ο είναι η διαθλωµένη ακτίνα. ΟΚ είναι η κάθετη στο σηµείο πρόσπτωσης. α : είναι η γωνία πρόσπτωσης δ : είναι η γωνία

ΑΟ είναι η προσπίπτουσα ακτίνα. Ο είναι η διαθλωµένη ακτίνα. ΟΚ είναι η κάθετη στο σηµείο πρόσπτωσης. α : είναι η γωνία πρόσπτωσης δ : είναι η γωνία 1 2 Ανάκλασης Νόµος Ανάκλασης Ακτίνα πρόσπτωσης Κάθετη Ακτίνα ανάκλασης Νόµος Ανάκλασης: η γωνία πρόσπτωσης (α) ισούται µε τη γωνία ανάκλασης (β) α = β α β Επίπεδο κάτοπτρο ε α β α: Γωνίαπρόσπτωσης β:γωνίαανάκλασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Άσκηση 4. Διαφράγματα. Θεωρία Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2002 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Σύστημα μετάδοσης με οπτικές ίνες Tο οπτικό φέρον κύμα μπορεί να διαμορφωθεί είτε από αναλογικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΑ Η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σ' ένα μέσο ονομάζεται κύμα. Για τη δημιοργία ενός μηχανικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κλειώ Χατζηστεφάνου, Μαθήµατα ΕΟΕ, 7/12/2010. Επίκουρος Καθηγήτρια Οφθαλμολογίας Α Πανεπιστημιακή Οφθαλμολογική Κλινική, ΠΓΝΑ «Γ.

Κλειώ Χατζηστεφάνου, Μαθήµατα ΕΟΕ, 7/12/2010. Επίκουρος Καθηγήτρια Οφθαλμολογίας Α Πανεπιστημιακή Οφθαλμολογική Κλινική, ΠΓΝΑ «Γ. Π Ρ Ι Σ Μ Α Τ Α Κλειώ Χατζηστεφάνου Επίκουρος Καθηγήτρια Οφθαλμολογίας Α Πανεπιστημιακή Οφθαλμολογική Κλινική, ΠΓΝΑ «Γ. Γεννηματάς» ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΠΡΙΣΜΑΤΑ Στοιχεία οπτικής Ορισμός: Ως πρίσμα ορίζεται τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

7 σειρά ασκήσεων. Για την επίλυση των προβλημάτων να θεωρηθούν γνωστά: σταθερά του Planck 6,63 10-34 J s, ταχύτητα του φωτός στον αέρα 3 10 8 m/s

7 σειρά ασκήσεων. Για την επίλυση των προβλημάτων να θεωρηθούν γνωστά: σταθερά του Planck 6,63 10-34 J s, ταχύτητα του φωτός στον αέρα 3 10 8 m/s η 7 σειρά ασκήσεων Για την επίλυση των προβλημάτων να θεωρηθούν γνωστά: σταθερά του Planck 6,63 10-34 J s, ταχύτητα του φωτός στον αέρα 3 10 8 m/s 1. Εξηγήστε γιατί, όταν φως διαπερνά μία διαχωριστική

Διαβάστε περισσότερα

Οι καθρέφτες και οι φακοί

Οι καθρέφτες και οι φακοί Οι καθρέφτες και οι φακοί Οι καθρέφτες και οι φακοί 111 Επιστηµονικό µέρος ΦΩΣ Το φως είναι ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (ηλεκτροµαγνητικό κύµα) που η ταχύτητα του στο κενό είναι περίπου 300.000 Km/sec.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ Α.Ε. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΒΛΑΧΟΥ 13, 11525 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ 210 6779 800 ΦΑΞ 210 6779 803 WWW.WHY.GR EMAIL: WHY@WHY.GR

ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ Α.Ε. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΒΛΑΧΟΥ 13, 11525 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ 210 6779 800 ΦΑΞ 210 6779 803 WWW.WHY.GR EMAIL: WHY@WHY.GR Α.Ε. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΒΛΑΧΟΥ 13, 11525 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ 210 6779 800 ΦΑΞ 210 6779 803 WWW.WHY.GR EMAIL: WHY@WHY.GR 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Σελ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΚΕΤΟΥ 2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ 3-4 ΕΙΔΙΚΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα.

συνίστανται από πολωτή που επιτρέπει να περνούν µόνο τα κατακόρυφα πολωµένα κύµατα. Γραµµικά πολωµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Νόµος του Malus Η κλασσική κυµατική θεωρία του φωτός µοντελοποιεί το φως (ή ένα τυχόν ηλεκτροµαγνητικό κύµα κατ επέκταση), στον ελεύθερο χώρο, ως ένα εγκάρσιο ηλεκτροµαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3,

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΠΟΜ 114(Ε) ΟΠΤΙΚΗ ιάθλαση φωτός µέσω σχισµής, γύρω από µικρό δοκάρι και µέσω µικρής οπής

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ 1

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ 1 1. Εισαγωγή Οπτική είναι το κεφάλαιο της Φυσικής που µελετά την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία στην περιοχή του ορατού φωτός, τις ιδιότητές της και την αλληλεπίδρασή της µε την ύλη.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσιολογικό και μυωπικό μάτι:

Φυσιολογικό και μυωπικό μάτι: ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ) ΔΙΑΘΛΑΣΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΟΦΘΑΛΜΟΥ: ΕΜΜΕΤΡΩΠΙΑ & ΑΜΕΤΡΟΠΙΑ. ΜΥΩΠΙΑ, ΥΠΕΡΜΕΤΡΩΠΙΑ, ΑΣΤΙΓΜΑΤΙΣΜΟΣ Τσίτσας Θωμάς Καλιακούδας Μάριος Καραγιαννίδης Αλέξανδρος Μιχόπουλος Σπυρίδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά?

Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά? Πως διαδίδονται τα Η/Μ κύματα σε διαφανή διηλεκτρικά? (Μη-μαγνητικά, μη-αγώγιμα, διαφανή στερεά ή υγρά με πυκνή, σχετικά κανονική διάταξη δομικών λίθων). Γραμμικά πολωμένο κύμα προσπίπτει σε ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση, χωρίς δικαιολόγηση. 1. Α) Φορτία που κινούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 33 Λεπτοί Φακοί- ιάδοση Ακτίνας Εξίσωση Λεπτού Φακού-Μεγέθυνση Συνδυασµός Φακών ΟιεξίσωσητουΟπτικού Φωτογραφικές Μηχανές : Ψηφιακές και Φιλµ ΤοΑνθρώπινοΜάτι;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

2. Γεωµετρική Οπτική. Η Γεωµετρία της Οπτικής. Μαθήµατα Οπτικής

2. Γεωµετρική Οπτική. Η Γεωµετρία της Οπτικής. Μαθήµατα Οπτικής ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΗΣ Μαθήµατα Οπτικής 2. Γεωµετρική Οπτική Η Γεωµετρία της Οπτικής Η Γεωµετρική Οπτική εξετάζει τη διάδοση του φωτός µε τους µηχανισµούς της ανάκλασης και διάθλασης. Οι µηχανισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Κατά την ηλέκτριση με τριβή μεταφέρονται από το ένα σώμα στο άλλο i. πρωτόνια. ii. ηλεκτρόνια iii iν. νετρόνια ιόντα. 2. Το σχήμα απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ημήτρης Μαμούρας Γ' γυµνασίου ðìïðïéèíûîè õåöòýá ùíûîá ðáòáäåýçíáôá òöôüóåé õåöòýá Íìùôå áóëüóåé ðáîôüóåé åòöôüóåöî óøïìéëïà âéâìýïù

ημήτρης Μαμούρας Γ' γυµνασίου ðìïðïéèíûîè õåöòýá ùíûîá ðáòáäåýçíáôá òöôüóåé õåöòýá Íìùôå áóëüóåé ðáîôüóåé åòöôüóåöî óøïìéëïà âéâìýïù ημήτρης Μαμούρας Γ' γυµνασίου ðìïðïéèíûîè õåöòýá ùíûîá ðáòáäåýçíáôá òöôüóåé õåöòýá Íìùôå áóëüóåé ðáîôüóåé åòöôüóåöî óøïìéëïà âéâìýïù www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας είναι γραμμένο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΟΦΘΑΛΜΙΚΩΝ ΦΑΚΩΝ ΚAI ΦΑΚΩΝ ΕΠΑΦΗΣ

ΟΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΟΦΘΑΛΜΙΚΩΝ ΦΑΚΩΝ ΚAI ΦΑΚΩΝ ΕΠΑΦΗΣ ΟΠΤΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΟΦΘΑΛΜΙΚΩΝ ΦΑΚΩΝ ΚAI ΦΑΚΩΝ ΕΠΑΦΗΣ Σ. Πλαΐνης, MSc, PhD Ινστιτούτο Οπτικής και Όρασης, Σχολή Επιστηµών Υγείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης O. Λουκαΐδης, MSc Optical House, Ρόδος 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Οφθαλµικοί Φακοί Φακοί Επαφής

Οφθαλµικοί Φακοί Φακοί Επαφής Οπτικοί Φακοί Οφθαλµικοί Φακοί Φακοί Επαφής ιόρθωση διαθλαστικού σφάλµατος του οφθαλµού (µυωπία, υπερµετρωπία, αστιγµατισµός) Εξέταση/διάγνωση του αµφιβληστροειδή (Volk) Στην «διόρθωση» του καταρράκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα