ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΣ Ε. ΚΩΤΣΟΒΙΝΟΣ, Ph.D. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ ΞΑΝΘΗ, 009 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ 1.1 ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΠΡΟΚΑΛΟΥΝ ΤΗΝ ΔΙΑΜΗΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ Στην παρούσα Τεχνική Εκθεση εξετάζομε τη μίξη και την διασπορά ρύπων ( ή άλλων διαλυμάτων ) σε ποτάμια, αρδευτικά κανάλια, σε σωλήνες και γενικά σε ροή που περιορίζεται από στερεές επιφάνειες, που σε μια διεύθυνση έχουν μεγάλο μήκος, σχετικά με τις άλλες δυο διαστάσεις. Για παράδειγμα, πολλές φορές από ατύχημα μπορεί να πέσουν ξαφνικά σε ένα ποτάμι επικίνδυνοι τοξικοί ρύποι. Ένα ποτάμι μπορεί να έχει μήκος πχ 150 χιλιόμετρα, ενώ η τυπική διατομή μπορεί να είναι 100 μέτρα πλάτος και μερικά μέτρα βάθος. Μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε πως αραιώνουν οι ρύποι μέσα στο ποτάμι, και πως μπορούμε να προβλέψουμε την συγκέντρωση όχι μόνο πλησίον του ατυχήματος, αλλά και αρκετά χιλιόμετρα μακριά. Για παράδειγμα, σε απόσταση 100 χιλιομέτρων από το σημείο του ατυχήματος μπορεί να υπάρχει υδροληψία για πόσιμο νερό, οπότε χρειάζεται να μπορούμε να προβλέψουμε πότε θα φθάσει η «κηλίδα» του ρύπου ( για να σταματήσει η υδροληψία), πως θα εξελίσσεται η συγκέντρωση των ρύπων στο σημείο υδροληψίας, και πότε θα είναι ασφαλής η επανάληψη της υδροληψίας. Θεωρούμε μία ροή λυμάτων (αποβλήτων) που διοχετεύεται σε ποταμό, όπως στο σχ Αυτό που συμβαίνει μπορεί να περιγραφεί από τρία στάδια. Στο πρώτο στάδιο η αρχική ορμή και η άνωση της εκροής καθορίζουν το βαθμό αραίωσης 1, η ροή προσομοιάζει την ροή ανωστικού πλουμίου ( βλέπε σχήμα 1.1.). Καθώς αραιώνουν τα απόβλητα, η επίδραση της αρχικής ορμής και άνωσης επίσης μειώνεται, οδηγώντας σ ένα δεύτερο στάδιο στο οποίο τα απόβλητα αναμιγνύονται εγκάρσια στο κανάλι που τα δέχεται, κυρίως λόγω της τύρβης που επικρατεί στο ρεύμα του καναλιού. Τελικά όταν ολοκληρωθεί η εγκάρσια μίξη στο κανάλι, επικρατεί η διαδικασία της διασποράς της διαμήκους διατμητικής ροής. Η εκροή μεγάλων παροχών ζεστού νερού από το σύστημα ψύξης θερμοηλεκτρικού εργοστασίου μπορεί ν αποτελέσει ένα τέτοιο παράδειγμα, καθώς η εκροή περιέχει σχετικά μεγάλα ποσά αρχικής ορμής και άνωσης. Από την άλλη μεριά, συνήθως οι εκροές από βιομηχανικά και αστικά απόβλητα έχουν χαμηλές τιμές παροχών και συνεπώς χαρακτηρίζονται από μικρές τιμές ορμής και άνωσης και συνεπώς μπορούν να θεωρηθούν με καλή προσέγγιση ως σημειακές πηγές μάζας παθητικών ρύπων.από μαθηματικής πλευράς, η προσομοίωση της εκροής ρύπων σε κινούμενο περιβάλλον γίνεται από την επίλυση της εξίσωσης διάχυσης σε άπειρο ή σε δισδιάστατο χώρο. Το πρώτο αυτό στάδιο 1 Βλέπε βιβλίο Κωτσοβίνος-Αγγελίδης, Υδραυλική περιβάλλοντος. κεφάλαιο 3. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς

3 , όπου έχομε ροή φλέβας ή πλουμίου, τυπικά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι σταματά σε απόσταση ίση περίπου με δυο φορές το πλάτος του ποταμού. Αυτό συμβαίνει γιατί η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα και της εξωτερικής επιφάνειας του κώνου ρύπανσης του πλουμίου είναι περίπου 0.5, και μετά την απόσταση αυτή το πλούμιο φθάνει τις δυο όχθες του ποταμού. Συνεπώς. για ένα ποταμό με τυπικό πλάτος 100 μέτρα, το πρώτο αυτό στάδιο μπορεί να εκτείνεται έως 00 μέτρα. Καθώς αραιώνουν τα απόβλητα, η επίδραση της αρχικής ορμής και άνωσης επίσης μειώνεται, οδηγώντας σ ένα δεύτερο στάδιο στο οποίο τα απόβλητα αναμιγνύονται εγκάρσια στον ποταμό, κυρίως λόγω της τύρβης. Για να επιτευχθεί η ικανοποιητική αυτή εγκάρσια μείξη, απαιτείται αρκετή διαδρομή των ρύπων. Το στάδιο αυτό εκτείνεται από μια απόσταση διπλάσια του πλάτους έως μια απόσταση το τετραγώνου του πλάτους ( μερικοί συγγραφείς θεωρούν τυπικά φορές το πλάτος του ποταμού, ενώ για ακριβέστερη προσέγγιση βλέπε παρακάτω εξίσωση 1.17α και 1.17β ). Για το παράδειγμα μας, το στάδιο αυτό εκτείνεται από τα 00 έως τα 10 χιλιόμετρα. Τελικά όταν ολοκληρωθεί η εγκάρσια μίξη στο ποταμό, η «κηλίδα» των ρύπων μεταφέρεται από την ροή του ποταμού, ενώ το μήκος της κηλίδας αυξάνει με την απόσταση. Αυτή η αύξηση του μήκους της κηλίδας που παρασύρεται από την ροή, έχει σαν προφανή συνέπεια την μείωση της συγκέντρωσης. Στο στάδιο αυτό, η αναλυτική επίλυση της εξίσωσης διάχυσης με οριακές συνθήκες την τρισδιάστατη γεωμετρία του πυθμένα και των οχθών σε μήκος δεκάδων χιλιομέτρων είναι αδύνατη Η λύση της εξίσωσης διάχυσης με αριθμητική προσομοίωση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή είναι σήμερα δυνατή, αλλά δεν βοηθά στην εμβάθυνση στο φαινόμενο και στην απόκτηση εύκολης και πρακτικής, προσεγγιστικής μεθόδου για την πρόβλεψη των συγκεντρώσεων στο τρίτο αυτό στάδιο. Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε την τεχνική με την οποία το πολύπλοκο αυτό πρόβλημα της διάχυσης στο τρίτο, μακρινό από την πηγή, στάδιο, μπορεί να προσεγγισθεί από τη λύση μιας μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης για την συγκέντρωση των ρύπων, όπου η μόνη διάσταση που εμφανίζεται η απόσταση κατά μήκος του άξονα του ποταμού, η μόνη συγκέντρωση είναι η μέση συγκέντρωση σε μια διατομή εγκάρσια στην ροή, και όπου εμφανίζεται ένας «τεχνητός» συντελεστής «διάχυσης» Κ, που τον ονομάζομε συντελεστή διαμήκους διασποράς. Ο συντελεστής αυτός Κ ( όπως θα αναπτύξουμε στην συνέχεια) εξαρτάται στην μεν στρωτή ροή, μόνο από τον μοριακό συντελεστή ροής, στην δε τυρβώδη ροή, από τον εγκάρσιο και από τον κάθετο συντελεστή τυρβώδους διάχυσης. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 3

4 Σχήμα Τρεις περιοχές μείξης σε ένα ποταμό λόγω της εκροής ρύπων σε ένα σημείο του ποταμού. (Α) Η αρχική ορμή και ανωστική ροή προσδιορίζουν την μείξη. (Β) Η τύρβη και το εγκάρσιο πεδίο ταχυτήτων προσδιορίζουν την μείξη, μετά την εξασθένιση της επιρροής αρχικής ορμής και άνωσης. (Γ) Μετά την πλήρη εγκάρσια μείξη, επικρατεί η «μονοδιάστατη διαμήκης διασπορά». Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 4

5 Σχήμα 1.1. Τυπικό διάγραμμα της μείξης και κατανομής συγκέντρωσης σε ένα ποταμό κοντά στο σημείο της εκροής ρύπων σε ποταμό. Εάν η πηγή του ρύπου m και η παροχή του ποταμού Q είναι σταθερά και ο ρύπος είναι συντηρητικός, τότε οι συγκεντρώσεις στο μακρινό πεδίο είναι σταθερές, δηλ. όπου m C m = (1) Q C m = συγκέντρωση πλήρους ανάμιξης, m = εισερχόμενη μάζα και Q = παροχή του ποταμού. Εάν, όμως η ποσότητα του των ρύπων που εκρέουν μεταβάλλεται γρήγορα ( πχ «στιγμιαία» έγχυση μίας ποσότητας ρύπων, δηλαδή έγχυση ρύπων σε περιορισμένο χρονικό διάστημα ) τότε σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή θα υπάρχουν σημαντικές μεταβολές στη διαμήκη συγκέντρωση και σε ορισμένο σημείο οι συγκεντρώσεις θα μεταβάλλονται με το χρόνο. Στο σχήμα 1.1.3α παρουσιάζεται ένα υποθετικό διάγραμμα από στιγμιαία διάθεση ρύπων σε ομοιόμορφη ροή σε τετραγωνικό αγωγό, σε μια διατομή στη θέση =0, και την μετακίνηση των ρύπων στο χρόνο t στην θέση =ut. Το σχήμα αυτό ισχύει για την τελείως θεωρητική ( και μη υπαρκτή ) περίπτωση που η κατανομή της ταχύτητας είναι η ίδια ( θεωρούμε δηλαδή ότι δεν μηδενίζεται η ταχύτητα στα στερεά όρια ), και ότι ο συντελεστής διάχυσης είναι επίσης μηδενικός. Στο σχήμα 1.1.3β σκιαγραφείται όμως τι συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 5

6 Σχήμα 1.1.3a Υποθετικό διάγραμμα από στιγμιαία διάθεση ρύπων σε ομοιόμορφη ροή σε τετραγωνικό αγωγό, σε μια διατομή στη θέση =0, και την μετακίνηση των ρύπων στο χρόνο t στην θέση =ut. Το σχήμα αυτό ισχύει για την τελείως θεωρητική ( και μη υπαρκτή ) περίπτωση που η κατανομή της ταχύτητας είναι η ίδια ( θεωρούμε δηλαδή ότι δεν μηδενίζεται η ταχύτητα στα στερεά όρια ), και ότι ο συντελεστής διάχυσης είναι επίσης μηδενικός. Σχήμα 1.1.3β. Υποθετικό διάγραμμα από στιγμιαία διάθεση ρύπων σε ομοιόμορφη ροή σε αγωγό, σε μια διατομή στη θέση =0, και την μετακίνηση των ρύπων, ενώ συγχρόνως υφίστανται διασπορά στις χρονικές στιγμές t1, t, t3, δημιουργώντας μια κηλίδα ρύπων με μήκος αντίστοιχα L1<L<L3. Παρατηρούμε δηλαδή ότι η αρχική κηλίδα της χρονικής στιγμής t=0, μετασχηματίζεται σε μια «διαμήκη» κηλίδα ρύπων κατά μήκος του ποταμού, που συνέχεια αυξάνει σε μήκος, ενώ προφανώς μειώνεται η συγκέντρωση των ρύπων λόγω της αραίωσης που υφίστανται. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 6

7 Στα σχήματα 1.1.4α, 1.1.4β και 1.1.4γ παρουσιάζεται η τομή ενός αγωγού στον οποίο η διαμήκης ταχύτητα μεταβάλλεται παραβολικά εγκαρσίως του αγωγού. Υποθέτουμε ότι οι ρύποι απελευθερώνονται στιγμιαία σε μια επιφάνεια κάθετη στον άξονα της ροής ( κάθετα στα τοιχώματα). Οι ρύποι κινούνται κατά μήκος του ποταμού με μικρότερη ταχύτητα κοντά στις στερεές επιφάνειες του αγωγού από ότι στο κύριο ρεύμα και ως αποτέλεσμα, αυτό που αρχικά ήταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ρύπων μετατρέπεται ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα σε παραβολή. Η διάχυση ( μοριακή αν η ροή είναι στρωτή, αλλιώς η τυρβώδης διάχυση) προκαλεί μερική τοπική αύξηση του πλάτους της «νέφους ή κηλίδας» των ρύπων τόσο κατά μήκος όσο και κατά πλάτος του αγωγού. Εάν τώρα υπολογίσουμε κατά μήκος του αγωγού τη μέση εγκάρσια συγκέντρωση, θα διαπιστώσουμε ότι η εγκάρσια διατμητική ταχύτητα και η διαμήκης τυρβώδης διάχυση προκαλούν την εξάπλωση της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά μήκος του αγωγού ( η οποία στο χρόνο to ήταν περιορισμένη σε μια θέση του αγωγού). Το «φαινομενικό» αυτό γεγονός της εξάπλωσης της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά την διεύθυνση της ροής, το ονομάζομε διαμήκη διασπορά. Όπως ενδεικτικά φαίνεται και στο Σχ η διαμήκης ( μοριακή ή τυρβώδης) διάχυση προκαλεί πολύ μικρό μέρος της κατά μήκος εξάπλωσης της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης κατά μήκος του αγωγού, ενώ η κύρια συνεισφορά στην εξάπλωση αυτή προέρχεται από την εγκάρσια διατμητική ταχύτητα. Στο Σχ παρουσιάζονται μόνο τα αρχικά στάδια μετά την έγχυση του ρύπου, αλλά οι ίδιες διαδικασίες συνεχίζουν να πραγματοποιούνται και στο μακρινό πεδίο. Η εγκάρσια διατμητική ταχύτητα αυξάνει την βαθμίδα της εγκάρσιας συγκέντρωσης. Αυτή η βαθμίδα της εγκάρσιας συγκέντρωσης προωθεί την εγκάρσια ανάμιξη. Ο ρυθμός της διαμήκους διασποράς αντικατοπτρίζει την ισορροπία μεταξύ της διατμητικής ταχύτητας (η οποία τείνει να εξαπλώνει την κηλίδα κατά μήκος του αγωγού ) και της εγκάρσιας ανάμιξης (η οποία τείνει να δημιουργήσει ομοιόμορφη εγκάρσια συγκέντρωση από το ένα πλαϊνό τοίχωμα έως το άλλο). Συνεπώς εάν ο βαθμός της εγκάρσιας ανάμιξης είναι πολύ υψηλός (π. χ. σε στενό ελικοειδή αγωγό) ή η εγκάρσια ταχύτητα είναι σχεδόν σταθερή, τότε ο βαθμός της διαμήκους διασποράς είναι χαμηλός. Αντιστρόφως, εάν ο βαθμός της εγκάρσιας ανάμιξης είναι μικρός ή η εγκάρσια ταχύτητα είναι πολύ ανομοιόμορφη (π. χ. σε πλατύ αγωγό με ανομοιόμορφα βάθη ), τότε ο βαθμός της διαμήκους διασποράς είναι υψηλός. Το θέμα αυτό ( δηλαδή των καμπυλώσεων και ανομοιομορφιών των αγωγώνποταμών ) είναι σημαντικό για την επεξήγηση των μεγάλων διαφορών μεταξύ πειραματικών μετρήσεων και θεωρητικών υπολογισμών των συντελεστών διαμήκους διασποράς σε πολλούς ποταμούς. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 7

8 Σχήμα 1.1.4α: Διασπορά σε περίπτωση στρωτής ροής και μοριακής διάχυσης. Σχήμα 1.1.4β: Διασπορά σε περίπτωση στρωτής ροής και τυρβώδους διάχυσης. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 8

9 Σχήμα 1.1.4γ Σχηματικό διάγραμμα που δείχνει το συνδυασμό των επιδράσεων της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας και της εγκάρσιας διάχυσης στη διαμήκη διασπορά του ρύπου. Στα σχήματα και παρουσιάζονται οι μέσες εγκάρσιες συγκεντρώσεις που μετρήθηκαν σε δέκα διαφορετικές τοποθεσίες κατάντη ενός σημείου στιγμιαίας έγχυσης συντηρητικής ουσίας ( ρύπου, στο συγκεκριμμένο πείραμα διάλυμα NaCl ) σε πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. Στο πείραμα αυτό, το σύνολο του ρύπου μεταφέρεται εξολοκλήρου ως κηλίδα ή «νέφος» κατάντη του ποταμού και έχει την τάση να διαχέεται κατά μήκος ολόκληρου του καναλιού. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται διαμήκης διασπορά και έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της μέγιστης συγκέντρωσης και την αύξηση του πλάτους του νέφους σαν συνάρτηση με την απόσταση της σημειακής πηγής. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 9

10 Σχήμα Συγκεντρώσεις συντηρητικής ουσίας (αλάτι) σε εγκάρσια τομή που μετρήθηκαν σε πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. κατάντη μιας στιγμιαίας σημειακής πηγής. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 10

11 Σχήμα Συγκεντρώσεις συντηρητικής ουσίας (αλάτι) σε τρία διαφορετικά σημεία εγκάρσια του ποταμού που δείχνουν εγκάρσια επίμονη ανομοιογένεια. Τα δεδομένα ελήφθησαν από πειραματική διάταξη του Α Εργαστηρίου Υδραυλικής του Δ.Π.Θ. κατάντη μιας εγκάρσιας στιγμιαίας σημειακής πηγής. 1. ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ-- ΘΕΩΡΙΑ G.I.TAYLOR Το παρόν κεφάλαιο εξηγεί τα βασικά της διασποράς της διατμητικής ροής (ροής δηλαδή που υπάρχει εγκάρσια μεταβολή της ταχύτητας ). Το 1953 G. Ι. Taylor εδημοσίευσε μια εργασία που περιέγραφε την εξάπλωση μιας «κηλίδας» διαλυμένων ρύπων σε στρωτή ροή μέσα σε σωλήνα. Ένα χρόνο αργότερα (Taylor 1954) επέκτεινε την ανάλυσή του για τυρβώδη ροή. Ο Taylor (1953, 1954) ξεκίνησε με το προφίλ της ταχύτητας για στρωτή ροή σε σωλήνα, όπως φαίνεται στο σχ Συνειδητοποίησε πως αν δυο σωματίδια μεταφέρονται στη ροή, π.χ. ένα στο κέντρο και ένα κοντά στον τοίχο, τότε ο βαθμός της μεταξύ τους απομάκρυνσης που προκλήθηκε από την διαφορετική ταχύτητα που μεταφέρονται από τη ροή (advective velocity ), θα ξεπεράσει κατά πολύ αυτόν που προκλήθηκε από τη μοριακή διάχυση. Συνειδητοποίησε επίσης ότι, αν υπήρχε αρκετός χρόνος, καθένα μόριο θα περιπλανιόταν τυχαία σε όλη τη διατομή του σωλήνα, εξαιτίας της μοριακής διάχυσης και θα δοκίμαζε τυχαία όλες τις ταχύτητες της διατομής της ροής. Επομένως αν ήταν διαθέσιμο ένα επαρκές χρονικό διάστημα, η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέσο χρόνο κάθε ξεχωριστού μορίου, θα ήταν ίση με τη μέση στιγμιαία ταχύτητα όλων των μορίων στη διατομή. Η ταχύτητα κάθε σωματιδίου ( ή μορίου ενός ρύπου) είναι βασικά εκείνη της γραμμής της ροής πάνω στην οποία βρίσκεται, δηλαδή είναι συνάρτηση της θέσης που βρίσκεται στην διατομή. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 11

12 Λόγω της μοριακής διάχυσης κάθε σωματίδιο (μόριο ρύπου) κινείται τυχαία μπρος πίσω στη διατομή και ύστερα από αρκετό μπορούμε να περιμένουμε ότι η θέση του είναι ανεξάρτητη από την αρχική του θέση. Επομένως και η ταχύτητά του είναι ανεξάρτητη από την αρχική του ταχύτητα. Έτσι μπορούμε να φανταστούμε ότι η κίνηση ενός μεμονωμένου μορίου είναι το σύνολο μιας σειράς ανεξάρτητων βημάτων τυχαίου μήκους. Αν υιοθετήσουμε σύστημα συντεταγμένων, κινούμενο με τη μέση ταχύτητα της ροής, τότε τα τυχαία βήματα σύμφωνα με αυτό, είναι εξίσου πιθανά να είναι προς τα πίσω όπως και μπροστά, αφού η μέση κίνηση είναι μηδέν. Θεωρούμε τη δυσδιάστατη ροή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1..1.α Η ροή περιορίζεται μεταξύ δύο παράλληλων στερεών τοιχωμάτων, που βρίσκονται σε απόσταση h, έτσι ώστε όλες οι γραμμές ροής να είναι παράλληλες στα τοιχώματα. Θεωρώντας πως η ροή μεταφέρει ένα ρύπο με συγκέντρωση C(,y) Η εξίσωση διάχυσης γράφεται στην περίπτωση ροής σε μια διεύθυνση, + u = D + t y C C C C Σχήμα 1..1.α και β. α) Ένα παράδειγμα κατανομής ταχύτητας ροής. b) Η ίδια κατανομή ταχύτητας σε ένα σύστημα συντεταγμένων που κινείται με την μέση ταχύτητα της ροής. Η κατανομή της σημειακής ταχύτητας μεταξύ των τοιχωμάτων συμβολίζεται με u(y) και η μέση ταχύτητα στην διατομή με u. Σημειώνουμε ότι για οποιαδήποτε κατανομή της ταχύτητας, η μέση ταχύτητα στην διατομή u μπορεί να βρεθεί από το ολοκλήρωμα u = 1 h h udy 0 (1.1) Βλέπε βιβλίο Κωτσοβίνος-Αγγελίδης, Υδραυλική περιβάλλοντος, έκδοση 004, σελ -5 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 1

13 και η απόκλιση της σημειακής ταχύτητας u(y) από την μέση τιμή u στη διατομή ορίζεται ως u' ( y ) = u( y ) u (1.) Στο κεφάλαιο αυτό η άνω παύλα πάντα θα δηλώνει μέση τιμή στη διατομή. Θεωρώντας πως η ροή μεταφέρει ένα ρύπο με συγκέντρωση C(,y) και με συντελεστή μοριακής διάχυσης D, τότε ο υπολογισμός της μέσης συγκέντρωσης σε οποιαδήποτε διατομή της ροής γίνεται από τη σχέση: C = 1 h h Cdy 0 (1.3) Όπως και προηγουμένως, η απόκλιση της σημειακής συγκέντρωσης C(,y) από την μέση συγκέντρωση στην διατομή C () δίνεται από την σχέση C (y) = C(y) - C() (1.4) Καθώς η ροή γίνεται στη διεύθυνση των, η εξίσωση διάχυσης είναι: C ' ( C + C ') + ( u + u ') ( C + C ') = D[ ( C + C ') + ] t y (1.5) Προς το παρόν θα μελετήσουμε μόνο την περίπτωση στρωτής ροής, 3 Η εξίσωση (1.5) μπορεί να απλοποιηθεί με ένα μετασχηματισμό σ ένα σύστημα συντεταγμένων, του οποίου η αρχή κινείται στη μέση ταχύτητα ροής. Θέτοντας ξ = ut, τ = t (1.6) και σύμφωνα με τους κανόνες της μερικής παραγώγισης έχουμε: t ξ τ = + = ξ τ ξ ξ τ = + = u t ξ t τ + ξ τ (1.7) 3 Αργότερα θα δείξουμε ότι η ανάλυση έχει εξίσου καλή εφαρμογή σε τυρβώδεις ροές. Η τύρβη μπορεί να αντιμετωπιστεί απλά, επιτρέποντας τα u και u της εξ.(1.5) να αντιπροσωπεύουν τους μέσους των τυρβωδών διακυμάνσεων και αντικαθιστώντας το D με το «συντελεστή τυρβώδους διάχυσης» της τυρβώδους ροής. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 13

14 Έτσι η εξίσωση (1.5) γίνεται: ( C' C + C' ) + u' ( C + C' ) = D[ ( C + C' ) + ] τ ξ ξ y (1.8) Η αντικατάσταση που έγινε στο σύστημα ξ,τ, επιτρέπει να εξετάσουμε τη ροή ως παρατηρητές κινούμενοι με τη μέση ταχύτητα. Στο κινούμενο σύστημα η μόνη παρατηρούμενη ταχύτητα είναι η u, όπως φαίνεται στο σχήμα 1..1.b. Έτσι η τροποποιημένη εξίσωση δεν περιέχει τον όρο u. Στα εισαγωγικά σχόλια είπαμε πως ο ρυθμός της εξάπλωσης του νέφους παράλληλα στη διεύθυνση ροής εξαιτίας του προφίλ της ταχύτητας, υπερβαίνει σημαντικά εκείνον εξαιτίας της μοριακής διάχυσης. Θα διαπιστώσουμε αργότερα ότι αυτό ισχύει. Εάν είναι έτσι, μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο της διαμήκους διάχυσης στην εξίσωση (1.8), οπότε έχουμε: C τ C C' C' + C' + u' + u' = D τ ξ ξ y (1.9) Η παραπάνω εξίσωση, εξακολουθεί να είναι μια δύσχρηστη εξίσωση, επειδή το u μεταβάλλεται συναρτήσει του y. Mια γενική διαδικασία για την αντιμετώπιση διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές δεν είναι διαθέσιμη και δεν μπορεί να βρεθεί η γενική λύση της (1.9). Ο Taylor (1953) βρήκε τη λύση με έναν θαυμαστό τρόπο: Παρέλειψε τρεις από τους τέσσερις πρώτους όρους (ως αμελητέους ), καταλήγοντας στην παρακάτω εύκολη στη λύση εξίσωση για το C (y): C C' C' u ' = D, με = 0 για y = 0, h ξ y y (1.10) Η απόδειξη ότι οι τρεις πρώτοι όροι είναι αμελητέοι παρουσιάζεται στο βιβλίο Fisher et al (1979, p. 84). Ο Chatwin (1970) έδειξε ότι για διάχυση σε κυλινδρικό σωλήνα διαμέτρου h, οι τρεις πρώτοι όροι της εξίσωσης (1.9) είναι αμελητέοι περίπου σε χρόνο 0.4 h /D μετά την έκχυσή του. Συνεπώς η εξίσωση (1.9) και οι λύσεις που προκύπτουν,εφαρμόζεται ( για την περίπτωση στρωτής ροής) με καλή ακρίβεια για t>0,4h /D. Η εξίσωση (1.10) δείχνει ότι το προφίλ της συγκέντρωσης στη διατομή C (y), εξαρτάται από μια απλή ισορροπία ανάμεσα στη διαμήκη μεταφορά των ρύπων ( αριστερό σκέλος της ως άνω εξίσωσης ) Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 14

15 και στη διαχεόμενη μεταφορά των ρύπων στη διατομή. Ας ολοκληρώσουμε την ανάλυση, πριν να επιστρέψουμε να απαντήσουμε στο πότε η ισορροπία επιτυγχάνεται. Η εξίσωση (1.10) έχει τη λύση: 1 C y y C' ( y) = u' dydy + C' (0) (1.11) D 0 0 Θεωρούμε τώρα το ρυθμό της μεταφοράς της μάζας ρύπων κατά τη διεύθυνση της ροής του ρεύματος. Η μεταφορά μάζας ρύπων, σε σχέση με τον κινούμενο άξονα συντεταγμένων, δίνεται από τη σχέση: = h 1 C M u' C' dy h u' y y u' dydydy 0 D (1.1) O επιπλέον όρος η ' { C' (0)} dy = 0, επειδή u' dy = u 0 (1.13) 0 0 η Σημειώνουμε τώρα ένα βασικό συμπέρασμα από την ( 1.1) : Η συνολική μεταφορά μάζας ρύπων κατά τη διεύθυνση ροής του ρεύματος είναι ανάλογη προς την κλίση της συγκέντρωσης κατά τη διεύθυνση ροής. Εξαιτίας αυτού του αξιοσημείωτου αποτελέσματος είμαστε σε θέση να ορίσουμε ένα μακροσκοπικό συντελεστή «διασποράς» των ρύπων Κ, σε αναλογία με το συντελεστή μοριακής διάχυσης, σύμφωνα με την εξίσωση M = hk C (1.14) όπου h, το βάθος της ροής, ( ή δεδομένου ότι οι υπολογισμοί γίνονται ανά μονάδα πλάτους της ροής, το εμβαδόν ανά μονάδα πλάτους). Ο συντελεστής διασποράς Κ εκφράζει την ιδιότητα διάχυσης των ρύπων λόγω της κατανομής της ταχύτητας και είναι γενικά γνωστός ως «συντελεστής διαμήκους διασποράς». Το Κ παίζει τον ίδιο ρόλο για όλη τη διατομή όπως το D, o συντελεστής μοριακής διάχυσης, σε μικροσκοπική κλίμακα. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 15

16 Συγκρίνοντας τις (1.1) και (1.14), βλέπουμε ότι αν γνωρίζομε την κατανομή της ταχύτητας της ροής, μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή διαμήκους διασποράς ρύπων από την σχέση : K = 1 hd h y y u' u' dydydy (1.15 ) ( βλέπε εφαρμογή στην επόμενη παράγραφο ). Έτσι μπορούμε να γράψουμε μια μονοδιάστατη εξίσωση διάχυσης για τις μέσες τιμές συγκέντρωσης ρύπων στη διατομή, η οποία για το κινούμενο σύστημα συντεταγμένων είναι C C = K τ ξ Για να επιστρέψουμε στο σταθερό σύστημα συντεταγμένων, πρέπει να εισάγουμε ξανά τον όρο που περιέχει τη μέση ταχύτητα ροής, οπότε λαμβάνομε C t + u C = K C (1.16) Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή ως «μονοδιάστατη εξίσωση διασποράς», και χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση της διασποράς ρύπων σε ροές στο περιβάλλον, όπως είναι αυτές των ποταμών και των εκβολών. Η Εξίσωση (1.16) δεν επιχειρεί να προσομοιώσει τη διακύμανση της συγκέντρωσης του ρύπου σε εγκάρσια τομή. Οι επιδράσεις της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης (εγκάρσιας και κατακόρυφης) εμπεριέχονται στο συντελεστή διαμήκους διασποράς Κ. Συνεπώς, η τιμή του Κ εξαρτάται από τις υδραυλικές ιδιότητες του καναλιού, οι οποίες καθορίζουν το βαθμό της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης. Η Εξίσωση (1.16) μπορεί να ονομασθεί το μοντέλο του Fick για τη διαμήκη διασπορά. Εάν τα u και Κ θεωρηθούν σταθερά, τότε η επίλυση της Εξ. (1.16) για μια στιγμιαία σημειακή πηγή ρύπων είναι M C(, t) = ep A 4π K t ( ut) 4Kt (1.17) όπου M = μάζα του ρύπου που εισάγεται στο σημείο = 0 και t = 0 και A = εμβαδόν της εγκάρσιας τομής του καναλιού. Η λύση (1.17) της παραπάνω εξίσωσης δίνει ότι η κατανομή της μέσης (σε μια διατομή) συγκέντρωσης C των ρύπων είναι μια κανονική κατανομή. Δηλαδή δημιουργείται μια κηλίδα ρύπων όπου η μέση συγκέντρωση (όπως ορίζεται από την (1.4) ) ακολουθεί κανονική κατανομή. Η Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 16

17 κηλίδα έχει τυπικό μήκος περίπου 6σ ( όπου σ η τυπική απόκλιση της διαμήκους κατανομής της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης ), κινείται με τη μέση ταχύτητα u, και συνεχίζει να αυξάνει σε μήκος σύμφωνα 4 με την εξίσωση με dσ /dt=k. Σχήμα Η εξέλιξη της αρχικής συγκέντρωσης συντηρητικού ρύπου κατάντη μιας στιγμιαίας έγχυσης ρύπων από σημειακή πηγή σε «άπειρο» ρεύμα σε στρωτή ροή που κινείται με ταχύτητα u σε τρεις χρονικές στιγμές t 1, t, t 3. Η διάχυση οφείλεται στην μοριακή διάχυση, με συντελεστή μοριακής διάχυσης D ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ Ένα χαρακτηριστικό της Εξ. (1.17) είναι ότι η μορφή του διαγράμματος της συγκέντρωσης στο χώρο (δηλ. η κατανομή της συγκέντρωσης συναρτήσει της απόστασης σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή t ) ακολουθεί το προφίλ «καμπάνας» του Gauss. Ελάχιστοι όμως έχουν παρατηρήσει (μετρήσει) προφίλ της συγκέντρωσης που να είναι τύπου Gauss και οι περισσότεροι βρίσκουν προφίλ ασύμμετρα με απότομη αρχή και επίμηκες τελείωμα (δηλ. παρουσιάζουν αρνητική ασυμμετρία). Υπάρχουν δύο λόγοι για τους οποίους τα πειραματικά δεδομένα δεν είναι τύπου Gauss. Πρώτον, η πρακτικότητα της δειγματοληψίας διευκολύνει τη μέτρηση των χρονικών προφίλ ρύπου (συγκέντρωση συναρτήσει χρόνου σε ορισμένο σημείο) σε σχέση με τα χωρικά προφίλ (συγκέντρωση συναρτήσει απόστασης σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή). Η Εξ. (1.17) μας δίνει χωρικά προφίλ τύπου 4 Βλέπε βιβλίο Κωτσοβίνος-Αγγελίδης, Υδραυλική περιβάλλοντος, σελ Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 17

18 Gauss αλλά ασύμμετρα χρονικά προφίλ. Η ασυμμετρία αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι η διαμήκης διασπορά λαμβάνει χώρα μέσα στο χρόνο που απαιτείται για να διέλθει το νέφος του ρύπου από το σημείο δειγματοληψίας. Ως εκ τούτου, η ασυμμετρία στα χρονικά προφίλ ρύπου δεν αποτελεί απόδειξη της ανεπάρκειας της Εξ. (1.17). Ο Taylor σε θεωρητική και πειραματική εργασία του πάνω στη ροή σε αγωγούς (Taylor 1953, 1954) υποδεικνύει ότι σε ορισμένο σημείο κατάντη της πηγής καθίσταται ισορροπία μεταξύ της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας (η οποία προωθεί τη διαμήκη διασπορά) και της εγκάρσιας διάχυσης (η οποία παρεμποδίζει τη διαμήκη διασπορά). Πέραν του σημείου αυτού συμβαίνουν δύο πράγματα. Κατ αρχήν, η διαμήκης διακύμανση της μέσης συγκέντρωσης του ρύπου σε εγκάρσια τομή αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο. Δεύτερον, η όποια ασυμμετρία προκαλείται από τη διατμητική ταχύτητα στη μεταφορική ζώνη ή από την αρχική κατανομή του ρύπου, αρχίζει να μειώνεται σταδιακά και κατ επέκταση η χωρική κατανομή του ρύπου γίνεται κατανομή Gauss. Η ζώνη στην οποία η διακύμανση αυξάνεται γραμμικά είναι γνωστή ως ζώνη ισορροπίας. Στο Σχ παρουσιάζονται η διακύμανση και η ασυμμετρία στη μεταφορική περιοχή, στη ζώνη ισορροπίας και τη Gaussian ζώνη. Σχήμα Προβλέψεις του μοντέλου του Fick στο πως μεταβάλλονται η διακύμανση ( δηλαδή το «πλάτος» της κηλίδας του ρύπου ) και η ασυμμετρία της κατανομής (προφίλ) της συγκέντρωσης της κηλίδας με το χρόνο. Στη μεταφορική ζώνη, η διακύμανση αυξάνεται μη γραμμικά με το χρόνο και η ασυμμετρία αυξάνεται ταχέως. Στη ζώνη ισορροπίας, η διακύμανση αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 18

19 και η ασυμμετρία αρχίζει να φθίνει αργά. Στη ζώνη Gauss, η ασυμμετρία έχει μειωθεί σημαντικά και η κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου δίνεται με ικανοποιητική ακρίβεια από την εξ Τα χρονικά προφίλ, ωστόσο, μπορούν να αναλυθούν βάσει του μετασχηματισμού του Chatwin (1980). Η Εξ. (1.17) μετατρέπεται σε t log e a S t = K Vt K όπου a = A M 4π K Για τη συγκέντρωση συναρτήσει πραγματικών δεδομένων σε ορισμένη θέση, η μορφή της a t log e συναρτήσει του t S t αποτελείται από μια ευθεία γραμμή με κλίση V και K σταθερό όρο K Γενικά το a δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων, αλλά μια καλή προσέγγιση είναι a = S ma t ma όπου Sma = η μέγιστη συγκέντρωση η οποία συμβαίνει σε χρόνο t ma. Τα S ma και t ma μπορούν να εκτιμηθούν από πειραματικά δεδομένα. Ο Fischer et al (1979) υποστηρίζει ότι η Εξίσωση διασποράς (1.17) ισχύει για >. 5L, όπου L το μήκος της μεταφορικής ζώνης, ενώ ο Denton (1990) υποστηρίζει ότι ισχύει για > ( 5L βλέπε σχήμα ). Για το λόγο αυτό πολλά πειραματικά αποτελέσματα δεν εμφανίζουν κατανομές τύπου Gauss, επειδή η ασυμμετρία κατά τη διάρκεια της μεταφορικής ζώνης δεν είχε τον απαιτούμενο χρόνο ( ή μήκος από το σημείο έγχυσης των ρύπων ). Η Εξ. (1.17 ) εφαρμόζεται αποκλειστικά εφόσον αποκατασταθεί η ισορροπία μεταξύ των επιδράσεων της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους διάχυσης. Το μοντέλο του σταθερού συντελεστή διασποράς προβλέπει ότι ο ρύπος αναμιγνύεται πλήρως εγκάρσια του αγωγού μέσα στην απόσταση L z ub = ( 1.17 α) k z όταν πρόκειται για εκβολή σε κάποια όχθη και Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 19

20 L z ub = ( 1.17 β) k z όταν πρόκειται για πηγή στο κέντρο του ποταμού, όπου b = πλάτος ποταμού, u η μέση εγκάρσια ταχύτητα και k z = συντελεστής εγκάρσιας διασποράς. Το μήκος L της μεταφορικής ζώνης προσεγγίζεται από την σχέση L V L t = a (9) k z όπου L = το μήκος της μεταφορικής ζώνης, V = μέση ταχύτητα της εγκάρσιας τομής, L t = χαρακτηριστικό εγκάρσιο μήκος, και a = σταθερά. Ως L t μπορεί να ληφθεί η εγκάρσια απόσταση της μέγιστης ταχύτητας από την μακρινότερη όχθη. Ως εκ τούτου, σε ένα συμμετρικό αγωγό είναι L t = b /, όπου b = πλάτος αγωγού, ενώ σε φυσικούς ποταμούς μια λογική προσέγγιση είναι L t = 0. 7b. Ο Fischer (1967) διεξήγαγε εργαστηριακά πειράματα σε ευθείς ομοιόμορφους αγωγούς για να προσδιορίσει την απόσταση κατάντη μιας στιγμιαίας εγκάρσιας γραμμικής πηγής, στην οποία επαληθεύεται η γραμμική αύξηση της του πλάτους της κανονικής κατανομής των ρύπων ( εξίσωση 1.17), και βρήκε ότι για την περίπτωση των πειραμάτων του α = Ο Fischer (1968) βρήκε ότι α = 0. 6, όταν η πηγή των ρύπων είναι στην όχθη του ποταμού. Άλλα ερευνητές σε πειράματα με δισδιάστατες διατμητικές ροές προτείνουν ότι ισχύει α = για ένα σύνολο θέσεων των πηγών (Sayre 1968, Tsai και Holley 1978). Τα πειράματα του Fischer διεξήχθησαν σε λείους εργαστηριακούς αγωγούς όπου οι επιδράσεις των νεκρών ζωνών ήταν μικρές, παρόλο που ήταν πιθανό ένα μέρος του ρύπου να συγκρατούνταν στο ιξώδες υπόστρωμα. Η ύπαρξη των νεκρών ζωνών σε ένα φυσικό ποταμό αυξάνει σημαντικά την κλίμακα του χρόνου για ικανοποιητική ανάμειξη και το μήκος της μεταφορικής ζώνης L. Ο Fischer et al (1979) μελετώντας τα εργαστηριακά δεδομένα του Valentine (1978) συμπέρανε ότι η ύπαρξη των νεκρών ζωνών μπορούν να αυξήσουν το μήκος της μεταφορικής περιοχής περίπου στο διπλάσιο, δίνοντας α = Διαβάζοντας τα αποτελέσματα του Valentine, βλέπουμε πως σε έναν τραχύ εργαστηριακό αγωγό στον οποίο οι νεκρές ζώνες καταλαμβάνουν το 4 και το 5% του όγκου του αγωγού, το μήκος της μεταφορικής ζώνης αυξάνεται κατά τέσσερις και εφτά φορές αντίστοιχα, οπότε α = Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται εκτιμήσεις του μήκους της μεταφορικής ζώνης από διάφορους ερευνητές. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 0

21 Πίνακας Εκτιμήσεις του μήκους της μεταφορικής ζώνης a = Lk Σχόλια Αναφορά z V Lt Λείοι αγωγοί Fischer (1973) 0, Ανασκόπηση αριθμητικών πειραμάτων Fischer (1967) 0,3 Εργαστηριακός αγωγός, εγκάρσια γραμμική πηγή Tsai και Holley (1978) 0,4-0,5 Αριθμητικά πειράματα Sayre (1968) 0,5 Αριθμητικά πειράματα Fischer (1968) 0,6 Έγχυση σε όχθη Chatwin (197) 1 Θεωρητική ανάλυση Τραχείς αγωγοί Denton (1990) 1,4 Αριθμητικά πειράματα, 5% νεκρές ζώνες Valentine (1978) 1,6 Εργαστηριακός αγωγός, 4% νεκρές ζώνες Valentine (1978),8 Εργαστηριακός αγωγός, 5% νεκρές ζώνες Valentine και Wood (1979b) > 3 Αρδευτικό κανάλι, 8-1% νεκρές ζώνες Valentine και Wood (1979b) > 10 Αρδευτικό κανάλι, 7-38% νεκρές ζώνες L = μήκος της μεταφορικής ζώνης, k = συντελεστής εγκάρσιας διασποράς, L = εγκάρσια αναλογία μηκών b z (συνήθως ), b = πλάτος αγωγού και = μέση ταχύτητα εγκάρσιας τομής. V t Υποθέτοντας μια χαμηλή τιμή για το συντελεστή εγκάρσιας διασποράς ( / HU * = 0. 3) και μια μεγάλη αναλογία εγκάρσιων μηκών ( L t = b ) τα δεδομένα δίνουν μια εκτίμηση του α = 3 και 10 για νεκρές ζώνες που καταλαμβάνουν το 10 και 30% του όγκου του αγωγού αντίστοιχα. Τιμές για α > 5 είναι πιθανόν κατάλληλες για μικρούς και πολύ τραχείς χείμαρρους, συμπεριλαμβανομένων των χειμάρρων των βουνών με ογκόλιθους στον πυθμένα που έχουν μελετήσει οι Day και Wood (1976) και ο Dobran (198). k z ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΟΥ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΡΩΤΗΣ ΡΟΗΣ Στην παράγραφο αυτή υπολογίζομε τον συντελεστή διαμήκους διασποράς χρησιμοποιώντας την απλούστερη δυνατή, φυσικώς πραγματοποιούμενη γεωμετρία. Θεωρούμε δυο παράλληλες πλάκες απείρου μήκους, οι οποίες βρίσκονται μεταξύ τους σε απόσταση h. Η επάνω πλάκα κινείται με ταχύτητα U σε σχέση με την κάτω και ο χώρος ανάμεσά τους είναι γεμάτος με κάποιο ρευστό. Για Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 1

22 ευκολία θεωρούμε πως η επάνω πλάκα κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα U/ και η κάτω προς τα αριστερά με ταχύτητα U/. Για στρωτή ροή η κατανομή της ταχύτητας ανάμεσα στις δύο πλάκες δίνεται από τη σχέση u ( y ) = Uy / h ( όπου y είναι η τεταγμένη, όπως ορίζεται στο σχ Προφανώς η μέση ταχύτητα μηδενική, οπότε είναι u = Uy h CD C hu Σχήμα Κατανομή ταχύτητας, και η προκύπτουσα κατανομή συγκέντρωσης περίπτωση της ροής του παραδείγματος. για την απλή Υποθέτουμε ότι μια κηλίδα από ρύπους εκχύνεται ανάμεσα στις πλάκες κι ότι παρήλθε χρόνος μεγαλύτερος του h /D από τη στιγμή της έκχυσης. Τότε το προφίλ της συγκέντρωσης δίνεται από την εξ.(1.11) 1 C y y Uy h C' ( y ) = + ' / dydy C D h h / h C U y h y h h = + ' C D h (1.18) Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς

23 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 3 όπου το C για y=-h/, μπορεί να βρεθεί από τη συνθήκη ότι η μέση τιμή του C πρέπει να είναι μηδέν ή ακόμη πιο εύκολα, από τη συνθήκη ότι λόγω συμμετρίας C =0 για y= 0. Στο σχ είναι σχεδιασμένο το προφίλ της συγκέντρωσης. Δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή C (-h/), αφού ο όρος που την περιέχει, κατόπιν ολοκλήρωσης στο επόμενο βήμα κατά τον υπολογισμό του Κ μηδενίζεται. Υπολογίζομε τώρα τον συντελεστή διαμήκους διασποράς από την (1.15) 10 ' ' ' / 1 / / 3 3 / / D h U dy h C h y h y h Uy D h U dy C u C h K h h h h = + = = (1.18) H ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ TAYLOR ΓΙΑ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ Ο Taylor (1953) ανέλυσε τη διασπορά ενός νέφους ( ή μιας κηλίδας ) ρύπων σε στρωτή ροή μέσα σε σωλήνα. Η κατανομή της ταχύτητας είναι 5 ) / (1 ) ( α r uo r u = (1.19) όπου α είναι η ακτίνα του σωλήνα και uo η μέγιστη ταχύτητα στον άξονα. Με ολοκλήρωση μπορεί να δειχθεί ότι η μέση ταχύτητα είναι = u uo/. Σε κυλινδρικές συντεταγμένες η εξίσωση διάχυσης γίνεται: ( = + C r C r r C D C r uo t C α (1.0) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων κινούμενο με την μέση ταχύτητα uo/, και παραβλέποντας τους όρους C/ και C/ t, όπως προηγουμένως ( είναι μικροί μπροστά στους άλλους ) και θέτοντας Ζ=r/α, προκύπτει ' 1 ' 1 Z C Z Z C C Z D uo + = α (1.1) 5 Βλέπε Ν Κωτσοβίνος, Ρευστομηχανική, Ξάνθη 003, σελ. 4-49

24 Ολοκληρώνοντας δύο φορές και χρησιμοποιώντας την οριακή συνθήκη ότι C / Z=0 για Ζ=1, έχουμε: uoα 1 4 C C ' = Z Z + cos t 8D (1.) Όπως και προηγουμένως μπορούμε να θέσουμε K M = A C / = 1 A C / A u' C' da (1.3) όπου Α είναι το εμβαδόν της διατομής πα και με νέα ολοκλήρωση να πάρουμε K = α uo / 19D (1.4) Να σημειωθεί το εκ πρώτης όψεως παράδοξο αποτέλεσμα ότι ο συντελεστής διαμήκους διασποράς Κ είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το συντελεστή μοριακής διάχυσης D. Για αλατισμένο νερό D 10-5 cm /sec. Σαν παράδειγμα,για ροή σε σωλήνα μήκους cm, ακτίνας mm, με ταχύτητα στον άξονα της ροής 1cm/sec, βρίσκομε συντελεστή Κ=0 cm /sec, τιμή που είναι μεγαλύτερη από φορές του μεγέθους του D. Η εξίσωση διασποράς (1.16 ) ισχύει (βλέπε παράγραφο 1.1. ) για χρόνους από την έγχυση μεγαλύτερους από 0.4α /D=1600 sec, κατά τη διάρκεια του οποίου μια κηλίδα ρύπων θα διένυε 800cm. Έτσι η διασπορά κατά τα πρώτα 800 cm δεν περιγράφεται από τη μονοδιάστατη εξίσωση διασποράς (1.16). 1. ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΤΥΡΒΩΔΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΚΑΙ ΣΕ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΑΓΩΓΟ 1..1 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ Η ανάλυση του Taylor (βλέπε παράγραφο 1.1) που αναπτύχθηκε για την διαμήκη διασπορά σε αγωγούς σε στρωτή ροή, επεκτείνεται στην τυρβώδη ροή γίνεται άμεσα, ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό. Συμβολίζομε με u(y) την μέση ( χρονικά ) τυρβώδη ταχύτητα στο σημείο y και u την μέση ταχύτητα στην διατομή, από την σχέση : u 1 = h h udy 0 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 4

25 που είναι ταυτόσημη με την εξίσωση (1.1), και η απόκλιση της ταχύτητας από την μέση τιμή της ταχύτητας στη διατομή u προσδιορίζεται ως u' ( y ) = u( y ) u, σχέση που είναι ταυτόσημη με την εξ. ( 1.). Όπως και προηγουμένως, η άνω παύλα πάντα θα δηλώνει μέση τιμή οποιοδήποτε μεγέθους στη διατομή. Θεωρούμε πάλι πως η ροή μεταφέρει ένα ρύπο με μέση (χρονικά ) συγκέντρωση στο σημείο,y ίση με C(,y). και με συντελεστή μοριακής διάχυσης D, τότε ο υπολογισμός της μέσης συγκέντρωσης σε οποιαδήποτε διατομή της ροής γίνεται από τη σχέση: C = 1 h h Cdy 0 (1.3) Όπως και προηγουμένως, η απόκλιση από τον μέσο είναι C (y) = C(y) - C. (1.4) Καθώς η μοναδική ροή βρίσκεται στη διεύθυνση των, η εξίσωση διάχυσης είναι: C ' ( C + C ') + ( u + u ') ( C + C ') = D[ ( C + C ') + ] t y (1.5) Προς το παρόν θα μελετήσουμε μόνο την περίπτωση στρωτής ροής, ώστε να μη λαμβάνουμε υπόψη τις τυρβώδεις διακυμάνσεις ή την επίδραση της τύρβης στη μαζική μεταφορά. Στην τυρβώδη ροή το προφίλ της ταχύτητας είναι ελαφρώς διαφορετικό από εκείνο της στρωτής ροής για το ίδιο αγωγό και ο συντελεστής εγκάρσιας τυρβώδους μείξης στη διατομή θα παίξει το ρόλο της μοριακής διάχυσης σε στρωτή ροή. Κατά τα άλλα δεν υπάρχουν διαφορές και τα συμπεράσματα στα οποία φτάσαμε σχετικά με τη χρήση της μονοδιάστατης εξίσωσης διασποράς εφαρμόζονται χωρίς αλλαγές. Η μόνη σημαντική διαφορά στα μαθηματικά είναι ότι ο συντελεστής μείξης στη διατομή ε(y) μπορεί γενικά να είναι συνάρτηση της θέσης y σε σχέση με τη διατομή ( ενώ ο μοριακός συντελεστής διάχυσης είναι μια σταθερά). Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 5

26 Figure Tracer transport in laminar and turbulent flow. The straight, parallel black lines are streamlines, which are everywhere parallel to the mean flow. In laminar flow the fluid particles follow the streamlines eactly, as shown by the linear dye trace in the laminar region. In turbulent flow eddies of many sizes are superimposed onto the mean flow. When dye enters the turbulent region it traces a path dictated by both the mean flow (streamlines) and the eddies. Larger eddies carry the dye laterally across streamlines. Smaller eddies create smaller scale stirring that causes the dye filament to spread (diffuse). Στην ανάλυση της μονοδιάστατης τυρβώδους ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών, για παράδειγμα, οι εξισώσεις (1.10) και (1.15) γίνονται: C u' = ξ C' ε( y) y y (1.5) και 1 h y 1 y K u ' u ' dydydy h 0 0 ε ( y) 0 = (1.6) H επέκταση της θεωρίας του Taylor για τυρβώδη ροή έγινε πρώτα από τον ίδιο τον Taylor το 1954 για την περίπτωση μακρύ ευθύγραμμου σωλήνα (αγωγού). Ο Taylor επεσήμανε το τεκμηριωμένο πειραματικό αποτέλεσμα ότι όλες οι τυρβώδεις ροές αγωγών έχουν παρόμοια προφίλ ταχύτητας Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 6

27 u = uo τ 0 f ( Z) = uo u * f ( Z ) ρ (1.7) όπου το τ 0 είναι η διατμητική τάση στο τοίχωμα του αγωγού, ενώ τα υπόλοιπα σύμβολα είναι τα ίδια με αυτά στη στρωτή ροή. Η ποσότητα (τ 0 /ρ) 1/ = u * είναι συνήθως γνωστή ως διατμητική ταχύτητα και χρησιμοποιείται συχνά σε αναλύσεις τυρβωδών ροών. Το f(z) είναι μια εμπειρική συνάρτηση, που για ροή σε σωλήνα ακτίνας R δίνεται από την σχέση: * u.30 * z uy ( ) = u ulog10 k k R z ( u= u σε = 0.3 ) ( 1.8) R Και για ανοικτό αγωγό βάθους d * u.30 * z uy ( ) = u+ + ulog10 k k d z ( u= u σε = 0.368) (1.9) d όπου k= η σταθερά von Karman 0.4 Ο συντελεστής μείξης στη διατομή λαμβάνεται από την «Αναλογία του Reynolds» ότι οι συντελεστές μείξης για ορμή και μάζα είναι ίδιοι. Η ροή της ορμής δια μέσου μιας επιφάνειας ρευστού είναι η διατμητική τάση τ στην επιφάνεια διαιρεμένη με την πυκνότητα του ρευστού, τ/ρ. Επίσης είναι εύκολο να δείξουμε με μια ισορροπία δυνάμεων ότι σε μια οποιαδήποτε απόσταση r από το κέντρο του αγωγού, ακτίνας α, η τοπική διατμητική τάση δίνεται από τη σχέση τ(r)=(r/α)τ 0. Έτσι, θεωρώντας την ροή μάζας q των ρύπων ανάλογη με την ροή ορμής, βρίσκομε τον συντελεστή τυρβώδους διάχυσης ε : ε = q C / r = τ ρ u / r = αζ u * df / dz (1.30) συντεταγμένες Είναι τώρα δυνατό να ολοκληρώσουμε αριθμητικά την (1.5) εκφρασμένη σε κυλινδρικές C C' 1 C' u' = ε + ξ r r r ( 1.31) Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 7

28 για να βρούμε το C (r) και έπειτα ολοκληρώνοντας ξανά αριθμητικά βρίσκουμε το Κ. Η λύση του Taylor (1954) για την απλούστερη απ όλες τις εξισώσεις που περιγράφουν την τυρβώδη διασπορά είναι η παρακάτω σχέση για τον συντελεστή τυρβώδους διαμήκους διασποράς Κ σε ένα κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R K = 10.1R u* (1.3 a) H διατμητική ταχύτητα u* συνδέεται με την μέση ταχύτητα και με τον συντελεστή τριβής f ( διάγραμμα Moody) από την σχέση f u* = u (1.3 b) 1.. ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ Η ροή του νερού σε ευθύγραμμο αγωγό σταθερού βάθους (κανάλι) και μεγάλου πλάτους είναι ένα παράδειγμα ροής όπου η τύρβη είναι ομογενής και σταθερή, επειδή ο αγωγός είναι ομοιόμορφος. Αν τα πλευρικά τοιχώματα έχουν μεγάλη απόσταση μεταξύ τους, το πλάτος ροής δεν παίζει κανένα ρόλο και περιμένουμε πως η σημαντική κλίμακα μήκους είναι το βάθος. Μια μάζα ρύπων που εκχύνεται στιγμιαία σε ένα σημείο της ροής, θα δημιουργήσει μία κηλίδα που θα μεγαλώνει μέχρι να καλύψει το βάθος του καναλιού, οπότε η κηλίδα και θα συνεχίσει να μεγαλώνει κατά τις διευθύνσεις του μήκους και του πλάτους. Μια ικανοποιητική προσέγγιση για την περίπτωση αυτή είναι η αποδοχή ενός σταθερού συντελεστή τυρβώδους μίξης. Έχει δειχθεί πειραματικά ότι η ένταση της τύρβης σ οποιαδήποτε διατμητική ροή με στερεά τοιχώματα είναι ανάλογη με τη διατμητική τάση στο τοίχωμα. Με βάση την διαστατική ανάλυση, η διατμητική τάση μπορεί να εκφραστεί όπως προηγουμένως, u*=(τ 0 /ρ) 1/, όπου τ 0 η διατμητική τάση στον πυθμένα του καναλιού και ρ η πυκνότητα του ρευστού. Σε ομοιόμορφη ροή ανοικτού αγωγού η διατμητική τάση στον πυθμένα μπορεί να εκτιμηθεί από την ισορροπία δυνάμεων (βλέπε οποιοδήποτε βιβλίο για ροή σε ανοικτούς αγωγούς), οπότε έχουμε u* = gds (1.33 a) όπου S είναι η κλίση του καναλιού. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 8

29 Εκτιμούμε ότι υπάρχει ένας συντελεστής τυρβώδους μείξης για κάθετη μίξη και ένας άλλος για εγκάρσια και διαμήκη, επειδή η παρουσία των οριζόντιων ορίων στην επιφάνεια και στον πυθμένα σημαίνει ότι η τύρβη δεν θα είναι ισότροπη. Μια ακόμη πιο άμεση εφαρμογή της μεθόδου του Taylor ήταν αυτή του Elder (1959). Ο Elder θεώρησε μια ροή σ ένα ανοικτό αγωγό μεγάλου πλάτους, όπου η κατανομή των ταχυτήτων μπορεί να προσεγγισθεί από το λογαριθμικό προφίλ ταχυτήτων του Von Karman u' = ( u*/ κ )(1+ ln y') (1.33 b) όπου κ είναι η σταθερά του Von Karman, που συνήθως έχει τιμή 0,4, u' = u( y) u και όπου y =y/d. Μια ισορροπία δυνάμεων παράλληλα με το τοίχωμα του αγωγού, δίνει du τ = ρεv = τ0 (1 y ') dy (1.34) Στην εξ. (1.34) το τ 0 είναι η διατμητική τάση στον πυθμένα,, ενώ το ε v ο τυρβώδης συντελεστής μεταφοράς μάζας και ορμής, όπως στην ( 1.30). Συνδυάζοντας την (1.33 ) και (1.34) βρίσκομε την τιμή του κατακόρυφου συντελεστή τυρβώδους διάχυσης : ε v = κy '(1 y') du* = κdu*( y/ d)[1 ( y/ d)] (1.35) Παρατηρούμε ότι o κατακόρυφος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης δεν είναι μια σταθερά ( όπως ο συντελεστής μοριακής διάχυσης ), αλλά μεταβάλλεται με την απόσταση από το στερεό όριο y. Η μέση τιμή ( ως προς y) του κατακόρυφου συντελεστή τυρβώδους διάχυσης είναι 6 : E * =ε v = 0.067d u (1.36) Το Κ υπολογίζεται αντικαθιστώντας τις (1.33) και (1.35) στην (1.6) αν και οι ολοκληρώσεις δεν είναι εύκολες. Ta δύο πρώτα ολοκληρώματα δίνουν 6 Το αποτέλεσμα αυτό είναι παρόμοιο μ εκείνα που βρέθηκαν σε μεγάλο εύρος ροών. Για παράδειγμα ο Csanady (1976) δίνει μια μέση τιμή ε ν =0,5du* από μετρήσεις σ ένα μη στρωματισμένο ατμοσφαιρικό οριακό στρώμα, όπου το d είναι το βάθος του οριακού στρώματος και u* η διατμητική ταχύτητα στην επιφάνεια της Γης. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 9

30 n C d 1 d y C ' = 0, 648 κ n= 1 n d (1.37) και το τρίτο ολοκλήρωμα δίνει τελικά τον συντελεστή διαμήκους διασποράς Κ: 0, 404 K = du* 3 κ (1.38) O Elder έλαβε σαν τιμή της σταθεράς von Karman κ=0,41 και έτσι προέκυψε το γνωστό αποτέλεσμα K = 5,93 du* (1.39) Η γενική μορφή του συντελεστή διαμήκους διασποράς σε μονοδιάστατη διατμητική ροή μπορεί να βρεθεί εισάγοντας τις αδιάστατες ποσότητες Y=y/h, U=u /( u ) 1/ και ε =ε/ε στην εξίσωση (1.6). Το ( u ) 1/ είναι η ένταση της απόκλισης της εγκάρσιας ταχύτητας, δηλαδή δεν είναι η τυρβώδης ένταση, αλλά ένα μέτρο του πόσο η σημειακή ταχύτητα αποκλίνει κατά μήκος της διατομής από την μέση τιμή της ταχύτητας στην διατομή. Μπορούμε τώρα να γράψουμε hu' K = E I (1.39) στην οποία το Ι είναι το αδιάστατο ολοκλήρωμα : 1 Y 1 Y I = U ' ' ' 0 0 ' Udy dy dy ε 0 (1.40) Το φάσμα των τιμών για το Ι για ροές πρακτικού ενδιαφέροντος είναι μικρό, όπως φαίνεται στον Πίνακα Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι επαρκής η τιμή Ι=0,1, ώστε δεν μας ενδιαφέρουν οι λεπτομέρειες της τριπλής ολοκλήρωσης. Η Εξίσωση (1.16) δεν επιχειρεί να προσομοιώσει τη διακύμανση της συγκέντρωσης του ρύπου σε εγκάρσια τομή. Οι επιδράσεις της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης (εγκάρσιας και κατακόρυφης) εμπεριέχονται στο συντελεστή διαμήκους διασποράς Κ. Συνεπώς, η τιμή του Κ Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 30

31 εξαρτάται από τις υδραυλικές ιδιότητες του καναλιού, οι οποίες καθορίζουν το βαθμό της διατμητικής ταχύτητας και της τυρβώδους ανάμιξης. Η Εξίσωση (1.16) μπορεί να ονομασθεί το μοντέλο του Fick για τη διαμήκη διασπορά. Εάν τα u και Κ θεωρηθούν σταθερά, τότε η επίλυση της Εξ. (1.16) για μια στιγμιαία σημειακή πηγή ρύπων είναι M C(, t) = ep A 4π K t ( ut) 4Kt (1.17) όπου M = μάζα του ρύπου που εισάγεται στο σημείο = 0 και t = 0 και A = εμβαδόν της εγκάρσιας τομής του καναλιού. Η λύση (1.17) της παραπάνω εξίσωσης δίνει ότι η κατανομή της μέσης (σε μια διατομή) συγκέντρωσης C των ρύπων είναι μια κανονική κατανομή. Δηλαδή δημιουργείται μια κηλίδα ρύπων όπου η μέση συγκέντρωση (όπως ορίζεται από την (1.4) ) ακολουθεί κανονική κατανομή. Η κηλίδα έχει τυπικό μήκος περίπου 6σ ( όπου σ η τυπική απόκλιση της διαμήκους κατανομής της μέσης εγκάρσιας συγκέντρωσης ), κινείται με τη μέση ταχύτητα u, και συνεχίζει να αυξάνει σε μήκος σύμφωνα 7 με την εξίσωση με dσ /dt=k. 7 Βλέπε βιβλίο Κωτσοβίνος-Αγγελίδης, Υδραυλική περιβάλλοντος, σελ Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 31

32 ΠΙΝΑΚΑΣ Τιμές του συντελεστή διασποράς Κ και του ολοκληρώματος Ι που ορίζεται στην εξίσωση (1.40) σε διάφορες διατμητικές ροές Ροή Προφίλ ταχύτητας Συντελεστής Διασποράς Κ Στρωτή ροή σε σωλήνα ακτίνας α Ένταση Απόκλισης της Ταχύτητας ( u ) 1/ Χαρακτηρι στικό Μήκος h Μέσος συντελεστής Μίξης στη διατομή Ι=ΚΕ/ u /h Uo(1-r /α ) α uo /19D (1/1)uo α D 0,065 Στρωτή ροή σε ανοικτό αγωγό βάθους d Στρωτή ροή με γραμμικό προφίλ ταχύτητας ανάμεσα σε δυο παράλληλες πλάκες σε απόσταση h Τυρβώδης ροή σε σωλήνα ακτίνας α Τυρβώδης ροή σε ανοικτό αγωγό με βάθος ροής d Uo[(y/d)-y /d ] (8/945)(d uo /D ) (4/45) uo d D 0,095 U(y/h) U h /10D (1/1)U h D 0,10 Εμπειρική κατανομή (βλέπε Τaylor,1954) u+u*/κ(1+lny/d) 10,1αu* 10,1u* α 0,054αu* 0,054 (0,404/κ 3 )du*= 6. du* u* /κ d (1/6)κdu* 0,067 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 3

33 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ.1 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ ΑΓΩΓΟΥ ( ΠΟΤΑΜΟΣ) ΑΠΟ ΕΚΡΟΗ ΡΥΠΩΝ ΠΟΥ ΔΙΑΡΚΕΙ ΓΙΑ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Όταν η εκροή ρύπων είναι σημειακή και στιγμιαία, τότε η μέση εγκάρσια συγκέντρωση των ρύπων μακριά από το σημείο εκροής, δίνεται από την σχέση ( 1.17) M C(, t) = ep A 4π K t ( ut) 4Kt (1.17) Στην περίπτωση που εξετάζομε εδώ ότι η μάζα Μ των ρύπων εισάγεται ομοιόμορφα και κατανέμεται στη διατομή Α του αγωγού όχι στιγμιαία αλλά κατά τη διάρκεια συγκεκριμένου χρονικού διαστήματος Τ. Επειδή η εξίσωση διάχυσης (1.16 ) είναι γραμμική, οι επιλύσεις της που δίνονται από την εξίσωση (1.17) μπορούν να προστεθούν μαζί ώστε να επιλυθούν πιο σύνθετα προβλήματα,σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας. Συνεπώς η συνεχής ομοιόμορφη εισαγωγή της συνολικής μάζας Μ των ρύπων κατά τη διάρκεια συγκεκριμένης χρονικής περιόδου Τ, με ρυθμό Μ/Τ, μπορεί να εξομοιωθεί με μία σειρά από διαδοχικές εισροές μικρών μαζών (Μ/Τ)Δτ=m i,στη χρονική στιγμή τ i.κάθε μικροεισροή δημιουργεί ένα «νέφος» ( ή κηλίδα ) ρύπων στο οποίο η συγκέντρωση δίνεται από την εξίσωση (1.17) από την κανονική κατανομή : m i [ U(t τi)] C i(,t) ep[ A 4 K(t 4K (t i ) τi ) ] π τ Δ = (.1) Τελικά, η συνολική συγκέντρωση είναι το άθροισμα των προκύπτουν από τις μεμονωμένες μικροεισροές η αλλιώς : συγκεντρώσεων,οι οποίες 1 m i [ U(t τi)] C(,t) C i(,t) ep[ A 4 K t 4K (t τ i i ) ] π τ = Δ = (.) Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 33

34 . ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ ΠΟΤΑΜΟΥ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΗ ΕΚΡΟΗ ΡΥΠΩΝ. Στην θέση =0 υποθέτουμε ότι υπάρχει συνεχής εκροή ρύπων σε ρεύμα με ομοιόμορφη ταχύτητα U, έτσι ώστε η μέση εγκάρσια συγκέντρωση των ρύπων στο σημείο εκροής διατηρείται πάντα σταθερή και ίση με C 0 = Cte, ομοιόμορφα κατανεμημένη στη διατομή Α του αγωγού. Η λύση της εξίσωσης ( 1.16) που δίνει την μέση εγκάρσια συγκέντρωση σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t είναι : C 0 U + C(,t) [ep( )erfc( Ut ) erfc( Ut )] = + (.3) K 4Kt 4Kt Παρατηρούμε ότι όταν t η ανωτέρω λύση (.3 ) γίνεται : Α) εάν U() είναι θετικό τότε : C/C 0 = 1 (8.76a) (.3α) Β) εάν U() είναι αρνητικό τότε : C/C 0 = ep-(u/k ) (.3β) Υπενθυμίζομε ότι : erfc (+ ) = 0 και erfc (- ) =. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.1 ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΜΕΙΞΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ Στο κεφάλαιο 1 μελετήθηκε το πρόβλημα της τυρβώδους μίξης στην ιδεατή περίπτωση ενός καναλιού απείρου πλάτους και σταθερού βάθους d, ενώ στο κεφάλαιο αυτό καθώς και στα επόμενα, μελετάμε τον τρόπο με τον οποίο τα αποτελέσματα του κεφαλαίου 1 μπορούν να εφαρμοστούν στον υπολογισμό των ρυθμών μίξης σε αληθινά ρεύματα και ποταμούς.. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΙΞΗ Στην παράγραφο 1.. δείξαμε ( βλέπε εξίσωση 1.35) ότι ο συντελεστής κατακόρυφης ( ή κάθετης ) μίξης ( μείξη κατά την κάθετο στον πυθμένα του αγωγού) υπολογίζεται από το προφίλ της ταχύτητας. Ο λογαριθμικός νόμος για το προφίλ της ταχύτητας οδηγεί σ έναν συντελεστή κάθετης μίξης ε v για την ορμή (όπου τώρα συμβολίζομε με z τον άξονα τον κάθετο στον πυθμένα του καναλιού ) : εv = κdu*( z/ d)[1 ( z/ d)] (..1) Η μέση τιμή ( ως προς z) του κατακόρυφου συντελεστή τυρβώδους διάχυσης είναι 8 : 8 Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 35

36 ε ν = 0,067du * (..) Η «αναλογία του Reynolds» δηλώνει ότι ο ίδιος συντελεστής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μεταφορά μάζας..3 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΙΞΗ Η περισσότερη θεωρητική και εργαστηριακή έρευνα πάνω στη διαμήκη διασπορά σε ανοικτούς αγωγούς έχει γίνει σε επίπεδη (δισδιάστατη) διατμητική ροή, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται με το βάθος αλλά όχι με την εγκάρσια απόσταση, γιατί οι ανοικτοί αγωγοί θεωρήθηκαν ότι είχαν «άπειρο» πλάτος., βλέπε για παράδειγμα Elder (1959). Η προσέγγιση αυτή της διαμήκους διασποράς πρέπει να χρησιμοποιείται με προσοχή στους φυσικούς ποταμούς. Στην παράγραφο αυτή επικεντρωνόμαστε στα αποτελέσματα της εγκάρσιας διατμητικής ταχύτητας, λαμβάνοντας υπόψη ότι η κάθετη διατμητική ταχύτητα επιδρά σχετικά πολύ λίγο στη διαμήκη διασπορά των περισσοτέρων ποταμών. Αρκετές έρευνες έχουν διεξαχθεί πάνω στην εγκάρσια μίξη σε ευθύγραμμα ορθογωνικά εργαστηριακά κανάλια, όπως επίσης και σε φυσικά κανάλια ποταμούς. Στην παράγραφο αυτή αναφερόμαστε στα αποτελέσματα για ευθύγραμμα ορθογωνικά κανάλια. Φυσικά ή κανάλια με ανωμαλίες εξετάζονται στην παράγραφο.4. Τα αποτελέσματα 75 περίπου πειραμάτων σε ευθύγραμμα ορθογωνικά κανάλια βρίσκονται συγκεντρωμένα στον Πιν Σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις ο αδιάστατος συντελεστής εγκάρσιας μίξης ε t /du* παίρνει τιμές από 0,1-0,. Ένας προσεγγιστικός μέσος όρος των πειραματικών αποτελεσμάτων είναι : ε t 0,15du *. (.3.1) Για πρακτικούς σκοπούς μπορούμε να πούμε είναι ότι σε ευθύγραμμα ορθογωνικά κανάλια το αποτέλεσμα που δίνεται από την προηγούμενη εξίσωση είναι πιθανό να είναι σωστό με ένα όριο λάθους της τάξης του ± 50%. Ν.Ε. Κωτσοβίνος-Διάχυση ρύπων σε ποταμούς 36