2ο Κεφάλαιο: Συνηθέστεροι Μαθηματικοί Τύποι και Μονάδες της Γεωργικής Μηχανικής Στόχοι

Transcript

1 2ο Κεφάλαιο: Συνηθέστεροι Μαθηματικοί Τύποι και Μονάδες της Γεωργικής Μηχανικής Στόχοι Γνώση της ακρίβειας ή της αβεβαιότητας των αριθμών. Κατανόηση της διαφοράς μεταξύ της επακριβώς και της στρογγυλοποιημένης τιμής. Ευχέρεια στις μετατροπές των μονάδων διαφόρων μεγεθών μεταξύ των Συστημάτων Μέτρησης. Κατανόηση των θεμελιωδών μεγεθών της Γεωργικής Μηχανικής. 1

2 Εισαγωγή Ήδη στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε αναφορά σε κάποια μεγέθη (μήκος, επιφάνεια, βάρος, ειδικό βάρος κ.λπ.), ωστόσο στο παρόν θα παρατεθεί ένας περιεκτικός κατάλογος των πιο συνηθισμένων μεγεθών της Γεωργικής Μηχανικής. Στον κατάλογο αυτό δε γίνεται διάκριση μεταξύ μάζας και βάρους (δύναμης) όπως κάνουν οι Φυσικές Επιστήμες, αν και είναι διαφορετικές έννοιες. Στην Τεχνική Μηχανική η δύναμη μετριέται και με N και με kg (δεν έχει νόημα η διάκριση Kg και Κp) και χρησιμοποιείται η βασική σχέση μετατροπής μεταξύ τους [10 Ν=1 Κg και όχι 9.81, δεν προκύπτει μεγάλο λάθος από τη στρογγυλοποίηση και τα προβλήματα που προκύπτουν στο πεδίο (χωράφι κ.λπ.) χρειάζονται άμεση λύση, χωρίς πολλές φορές να υπάρχει η δυνατότητα πρόσβασης σε αριθμομηχανή κ.λπ.]. Επίσης στην Τεχνική Μηχανική χρησιμοποιείται περισσότερο η διάμετρος του κύκλου και όχι η ακτίνα του [π.χ. οι κοχλίες (βίδες), τα τρυπάνια, οι ανεμιστήρες, οι σωλήνες άρδευσης, τα ακροφύσια των ψεκαστικών] Μεγέθη Μονάδες Συστήματα Μονάδων Κάθε μέγεθος μετριέται με την αντίστοιχη μονάδα. Υπάρχουν 2 διαφορετικά συστήματα μέτρησης στις διάφορες χώρες του πλανήτη (Εικόνα 2.1, Εικόνα 2.2), ωστόσο μεταξύ των 2 συστημάτων υπάρχουν κοινές μονάδες για τα εξής μεγέθη: Για τον χρόνο. Για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος (Α). Για την ποσότητα μιας ουσίας (mol). Για την ένταση της φωτεινότητας (cd). Για τη γωνία (rad & sr). Για το έργο-ενέργεια (Joule). Οι μονάδες είναι κάτι ζωντανό, όπως και η γλώσσα, με αποτέλεσμα με την πάροδο των δεκαετιών άλλες μονάδες να εξελίσσονται και άλλες να καταργούνται. Για παράδειγμα, στις αρχές του 19 ου αιώνα στην Ελλάδα χρησιμοποιούσαν την οκά ως μονάδα μέτρησης του βάρους, ενώ σήμερα, στον ίδιο χώρο, μνημονεύεται μόνο από τους γεροντότερους. Πριν από λίγα χρόνια για το γραμμάριο χρησιμοποιούνταν το σύμβολο gr, ενώ σήμερα το σωστό σύμβολο είναι το g. Επίσης, ο τόνος, που ισοδυναμεί με 1000 kg, τείνει να αντικατασταθεί από το Μg (= g). Παλαιότερα, όταν αγόραζε κάποιος έναν ελκυστήρα, ενδιαφερόταν για τους ίππους (HP) του μηχανήματος που επρόκειτο να αγοράσει, δηλαδή ενδιαφερόταν για την ισχύ της μηχανής. Και σήμερα για την ισχύ ενδιαφέρεται, αλλά χρησιμοποιεί άλλη μονάδα (kw). Ο Γεωργικός Μηχανικός πρέπει να χειρίζεται συναφή θέματα με μετατροπές μονάδων, διότι καλείται να βοηθήσει όσους εμπλέκονται στην παραγωγική διαδικασία όχι μόνο να κατανοήσουν τον τρόπο λειτουργίας της νέας εισαγόμενης τεχνολογίας (προερχόμενης από οποιοδήποτε μέρος του πλανήτη), αλλά και να την εφαρμόζουν σωστά και αποδοτικά. Το ίδιο συμβαίνει και με τις πρώτες ύλες ή τα φυτοπροστατευτικά προϊόντα και τα φάρμακα. Από τη σωστή εφαρμογή τους και τη χρησιμοποίηση της ελάχιστης αναγκαίας ποσότητας εξαρτάται το όφελος οποιουδήποτε καλλιεργητικού σχήματος και η ευμάρεια των συντελεστών του (Σχήμα 2.1). Κατά συνέπεια, η αρωγή του Γεωργικού Μηχανικού στους εφαρμοστές της τεχνολογίας [αγρότες, εργάτες, πολιτεία (με τη θέσπιση της σχετικής νομοθεσίας)] είναι απαραίτητη και αναντικατάστατη. Γεννάται, βέβαια, το ερώτημα πώς προέκυψαν οι διαφορές μεταξύ των κρατών. Υπενθυμίζεται ότι οι διαφορές οφείλονται στις μονάδες και όχι στα μεγέθη. Τα μεγέθη είναι τα ίδια σε όλον τον πλανήτη, έχουν προκύψει από τις αρχές της Επιστήμης και δεν αμφισβητούνται από κανέναν. Όμως τι ακριβώς συνέβη με τις μονάδες; Η διαφοροποίηση μεταξύ του Διεθνούς (S.I.) και του Αγγλικού Συστήματος (B.S.) Μονάδων που επικρατούν σήμερα έγινε το 18 ο αιώνα, όταν η Γαλλία διαφώνησε με τις αυθαίρετες τιμές του Αγγλικού Συστήματος [π.χ. γιατί 1 μίλι (mi) να ισούται με ft;], οπότε δημιούργησε ένα νέο σύστημα μονάδων βασισμένο σε φυσικά φαινόμενα. Το σύστημα αυτό σήμερα το ακολουθεί σχεδόν όλος ο πλανήτης, γι αυτό και ονομάστηκε Διεθνές. Για παράδειγμα, στο Διεθνές Σύστημα το 1 m, που είναι η μονάδα μέτρησης του μήκους, ισούται με την απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε 1/300*10 6 δευτερόλεπτα. 2

3 Το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (διεθνώς S.I., Le Système International d' unités ή «Μετρικό Σύστημα») αποτελεί ένα δεκαδικό σύστημα έκφρασης των συμβατικών μονάδων μέτρησης των φυσικών μεγεθών των μέτρων και σταθμών. Το σύστημα αυτό αντικατέστησε το παλιό ΜΚS. Υιοθετήθηκε το Σχήμα 2.1 Τα δεδομένα του Γεωργικού Μηχανικού, τα οποία πρέπει να επεξεργασθεί με το βέλτιστο τρόπο, προκειμένου η παραγωγική διαδικασία που θα αναπτυχθεί να είναι αποδοτική, προέρχονται από όλον τον πλανήτη. Για τα πολλαπλάσια των μονάδων έχουν χρησιμοποιηθεί ελληνικά σύμβολα (deca, hecto, kilo) και για τα υποπολλαπλάσια λατινικά (deci, centi, milli). Τα σύμβολα αυτά χρησιμοποιούνται και εκτός του S.I. συστήματος. Πίνακας 2.1 Επιλεγμένα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια των μονάδων που θα χρειαστούν στη Γεωργική Μηχανική. Διεθνές όνομα Σύμβολο Ελληνικά Πολλαπλασιαστής Κλίμακα Παράδειγμα Tera T Τέρα Τρισεκατομμυριάδα Τεράμετρο Giga G Γίγα 10 9 Δισεκατομμυριάδα Γιγάμετρο Mega M Μέγα 10 6 Εκατομμυριάδα μεγάμετρο Kilo k Χίλιο 10 3 Χιλιάδα Χιλιόμετρο Hecto h Εκατό 10 2 Εκατοντάδα Εκατόμετρο Deca da Δέκα 10 1 Δεκάδα Δεκάμετρο Unit un Μονό 10 0 =1 Μονάδα Μέτρο Deci d Δέκατο 10-1 Δέκατο Δεκατόμετρο Centi c Εκατοστό 10-2 Εκατοστό Εκατοστόμετρο Milli m Χιλιοστό 10-3 Χιλιοστό Χιλιοστόμετρο Micro μ Μικρό 10-6 Εκατομμυριοστό Μικρόμετρο Nano n Νάνο 10-9 Δισεκατομμυριοστό Νανόμετρο 3

4 Κάνοντας τη γεωγραφική κατανομή των 2 Συστημάτων Μέτρησης των Μονάδων στις χώρες του πλανήτη, προκύπτει ότι σήμερα οι χώρες που χρησιμοποιούν το Βρετανικό Σύστημα (B.S.) είναι σαφώς λιγότερες (Εικόνα 2.1, Εικόνα 2.2) και μάλιστα μόνο τρείς (Η.Π.Α., Λιβερία, Μιανμάρ). Εικόνα 2.1 Περιοχές του πλανήτη που χρησιμοποιούν τα 2 συστήματα μονάδων [Διεθνές Σύστημα (S.I.) & Βρετανικό (B.S.)]. Εικόνα 2.2 Περιοχές του πλανήτη που χρησιμοποιούν τα 2 συστήματα μονάδων [Διεθνές Σύστημα (S.I.) & Βρετανικό (B.S.)] Κατάλογος των Συνηθέστερων Μεγεθών και Μονάδων τους στη Γεωργική Μηχανική 4

5 5

6 6

7 2.3. Κατάλογος των Συνηθέστερων Μετατροπών Μονάδων στη Γεωργική Μηχανική 7

8 2.4. Παρατηρήσεις Σχετικά με τα Μεγέθη Επισημάνσεις 1. Παρατηρεί κανείς ότι στη Γεωργική Μηχανική η ροπή, το έργο και η ενέργεια έχουν τοποθετηθεί στο ίδιο πλαίσιο, επειδή οι μονάδες είναι ίδιες, εντούτοις υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ τους: H ΡΟΠΗ αναφέρεται σε σώματα που εκτελούν είτε περιστροφική κίνηση (έργο ροπής), είτε μεταφορική κίνηση (έργο δύναμης). Για παράδειγμα, απαιτείται έργο ροπής για την αποκοχλίωση (ξεβίδωμα) ενός κοχλία (βίδα). Η ροπή αυτή δημιουργείται όταν το ανθρώπινο χέρι καταβάλλει μια συγκεκριμένη δύναμη σε ένα ειδικό εργαλείο (γαλλικό κλειδί, Εικόνα 2.5) (το ίδιο συμβαίνει και με το ειδικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για την αλλαγή ενός φθαρμένου ελαστικού του αυτοκινήτου). Το μέγεθος της ροπής υπολογίζεται ως το γινόμενο της δύναμης που καταβάλλει ο άνθρωπος επί το μήκος του εργαλείου (=μοχλοβραχίονας). Κατά συνέπεια, αν χρησιμοποιηθεί εργαλείο με μεγαλύτερο μήκος (Εικόνα 2.4), η δύναμη του ανθρώπου υποπολλαπλασιάζεται. Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ αναφέρεται στη δυνατότητα ενός σώματος να παράγει έργο, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση της κοστολόγησης του ηλεκτρικού ρεύματος. Συγκεκριμένος καταναλωτής καλείται στο λογαριασμό που του έρχεται να πληρώσει (απόσπασμα από τον οποίο φαίνεται στην Εικόνα 2.6) το αντίτιμο ποσότητας ηλεκτρικής ενέργειας 348 kwh που έχει καταναλώσει στο χρονικό διάστημα από 25/07/14 έως 22/11/15. 8

9 Εικόνα 2.3 Χρήση γαλλικού κλειδιού μικρού μήκους. Εικόνα 2.4 Χρήση κλειδιού μεγάλου μήκους. 9

10 Εικόνα 2.5 Γαλλικά κλειδιά διαφορετικών δυνατοτήτων (και μηκών). Εικόνα 2.6 Απόσπασμα από τον λογαριασμό της ΔΕΗ. 2. Για τη μέτρηση της Ισχύος η πιο συνηθισμένη μονάδα στη γεωργία είναι ο ίππος (ΗΡ, Horse Power). Τη μονάδα αυτή επινόησε αυθαίρετα ο James Watt, παρακολουθώντας τα άλογα να κουβαλούν φορτία με νερό, οπότε και δήλωσε ότι ισχύ 1 ίππου (1 ΗΡ) έχει μια μηχανή η οποία σε 1 min παράγει έργο ft lb (Field et Solie, 2007). 3. H ισχύς σε έναν άξονα μπορεί να υπολογιστεί αν γνωρίζουμε τη ροπή και την ταχύτητα περιστροφής του άξονα (στροφές ανά λεπτό) [(1)]. Αν είναι γνωστή η ισχύς και η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να βρεθεί η Ροπή [(2)]. 10

11 Πρόβλημα: Να βρεθεί η ροπή που παράγει ένας κινητήρας ισχύος 40 HP στις 4000 rpm (revolutions per minute) Ακρίβεια Μεγεθών Στρογγυλοποίηση Έστω ότι κάποιος επιλύει ένα πρόβλημα Γεωργικής Μηχανικής και λαμβάνει κάποιο αποτέλεσμα. Το αποτέλεσμα αυτό υπάρχει περίπτωση να μην είναι ακέραιος αριθμός, αλλά δεκαδικός. Όταν πρόκειται για δεκαδικό αριθμό χρειάζεται προσοχή ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων (π.χ. 10, 10.0, 10.00, ) με τον οποίο θα παρουσιαστεί το αποτέλεσμα ή αν θα γίνει κάποια στρογγυλοποίηση (π.χ. 10.2=10, 10.6=11). Η στρογγυλοποίηση δε δημιουργεί πρόβλημα όταν το αποτέλεσμα δε χρειάζεται να εκφραστεί με μεγάλη ακρίβεια. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις στις οποίες η στρογγυλοποίηση μπορεί να επιφέρει μεγάλη οικονομική ζημιά σε μια παραγωγική διαδικασία, αν δεν έχει μελετηθεί σωστά. Και αυτό καταδεικνύεται στο ακόλουθο παράδειγμα. 11

12 Εικόνα 2.7 Ζυγός τσέπης μειωμένης ακρίβειας (1 Kg). Με βάση ζωοτεχνικά δεδομένα, η συνιστώμενη δόση ημερήσιας πρόσληψης χορτονομής κάποιου ζώου είναι 900 g. Έστω ότι ένας κτηνοτρόφος διαθέτει κτηνοτροφική μονάδα με 1000 τέτοια ζώα. O συγκεκριμένος κτηνοτρόφος δε διαθέτει ηλεκτρονικό ζυγό και ζυγίζει τη ζωοτροφή με μια ζυγαριά ακρίβειας 1 κιλού, δηλαδή έχει μια παλιά ζυγαριά που δείχνει μόνο ακέραια ποσά (Εικόνα 2.7). Ο συγκεκριμένος, λοιπόν, ζυγός δεν μπορεί να διακρίνει τα γραμμάρια και είτε ζυγιστούν με αυτόν 900 g, είτε 1 κιλό, είτε γραμμάρια, ο ζυγός θα δείχνει το ίδιο (1 kg), γιατί ξεχωρίζει μόνο κιλό από κιλό. Στην πράξη, επομένως, ο κτηνοτρόφος μπορεί να χάνει έως 900 kg κάθε μήνα, διότι: Αντίθετα, υπάρχουν περιπτώσεις που επιβάλλουν τη στρογγυλοποίηση. Για παράδειγμα, αν το ζητούμενο σε κάποιο πρόβλημα είναι ο αριθμός κοχλιών ή φυτών ή ζώων ή μηχανημάτων και προκύψει π.χ. κατά την επίλυση ενός σχετικού προβλήματος ο αριθμός 6.5, ασφαλώς και θα γίνει στρογγυλοποίηση, διότι είναι αδύνατο να βρεθούν 6.5 φυτά ή ζώα κ.λπ. Οι συνηθισμένες αριθμομηχανές χρησιμοποιούν συνήθως 7 μέχρι 14 δεκαδικά ψηφία, ενώ στα συνηθισμένα προβλήματα της Γεωργικής Μηχανικής η ακρίβεια που ζητιέται είναι αριθμοί με 2 ή 3 δεκαδικά ψηφία. Επομένως, κάθε φορά η στρογγυλοποίηση θα πρέπει να γίνεται ανάλογα με την ακρίβεια που επιδιώκεται στη συγκεκριμένη περίπτωση. 12

13 Τέλος, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ένα αποτέλεσμα βρίσκεται με πολλά μηδενικά. Στις περιπτώσεις αυτές είναι προτιμότερο ο αριθμός αυτός να γράφεται σαν το γινόμενο ενός αριθμού με το 10, υψωμένο στην αντίστοιχη δύναμη. Σε άλλες περιπτώσεις το 10 αντικαθίσταται με το Ε = = =0, =0,01=1/ = = /10-3 = *10 5 = *10 5 = /10-8 =10 5*10-7 *15-1 *10 8 =10/3 (10 2 ) 2 =10 4 =

14 Βιβλιογραφία Field, L. H., Solie B. J., Introduction to Agricultural Engineering Technology: A Problem Solving Approach, Εκδ. Springer, Οκλαχόμα,