ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9"

Transcript

1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Ακoλουθίες αριθμών EΞΙΣΩΣΕΙΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Εξισώσεις

4 6 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Συστήματα εξισώσεων ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Συναρτήσεις ΜΕΡΙΣΜΟΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Μερισμός σε μέρη ανάλογα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Στατιστική και Πιθανότητες ΠΡΟΒΛHΜΑΤΑ ΤΕΣΣAΡΩΝ ΠΡAΞΕΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Προβλήματα 4 πράξεων ΠΟΣΟΣΤΑ Βασικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις Προβλημάτων Ποσοστά... 11

5 Περιεχόμενα 7 10 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Γεωμετρία... 7

6

7 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις 1. Φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί Φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1,,, 4, 5, και συμβολίζονται με το γράμμα N, ενώ ακέραιοι αριθμοί είναι οι και συμβολίζονται με το γράμμα Z., -, -, -1, 0, 1,,, Οι ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε άρτιους (ζυγοί) και περιττούς (μονοί). Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το, δηλαδή οι αριθμοί, -4, -, 0,, 4, 6, 8, και περιττοί είναι οι αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το, δηλαδή οι αριθμοί, -5, -, -1, 1,, 5, 7, 9,. Δεκαδικοί αριθμοί Αριθμοί όπως οι,14 και 1,5 λέγονται δεκαδικοί αριθμοί. Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από το ακέραιο και το δεκαδικό μέρος που χωρίζονται από την υποδιαστολή. Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός 4,578 έχει α- κέραιο μέρος το 4 και δεκαδικό μέρος το

8 1 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ Η τάξη κάθε ψηφίου στον δεκαδικό αριθμό 18.0,1584 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 1 8 0, Δεκάδες Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Δέκατα Εκατοστά Χιλιοστά Δεκάκις Χιλιοστά Εκατοντάκις Χιλιοστά Στον αριθμό 1 = 0,... το ψηφίο στο δεκαδικό μέρος επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί και συμβολικά. Κλάσματα μπορούμε να γράψουμε 1 0,... 0,. = = Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα (δηλαδή κλάσματα με κοινό παρονομαστή) τότε προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές χωρίς να αλλάξουμε τον παρονομαστή = = και = = Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα (δηλαδή κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή) τότε τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα (βρίσκοντας το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών) και κατόπιν εκτελούμε την πράξη = + = + = και 4 = = = = Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Το γινόμενο δυο ή περισσότερων κλασμάτων (ετερώνυμων ή ομώνυμων) είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

9 1 Πραγματικοί αριθμοί = = = και 5 = = = Διαίρεση απλών κλασμάτων Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το α- ντίστροφο του δεύτερου κλάσματος : = = = και : = : = = Η διαίρεση δυο κλασμάτων συχνά εμφανίζεται με τη μορφή σύνθετου κλάσματος. Ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως απλό με αριθμητή το γινόμενο των ά- κρων όρων και παρονομαστή το γινόμενο των μέσων όρων : = = = Μικτοί αριθμοί Το άθροισμα ενός ακεραίου με ένα κλάσμα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μικτού αριθμού = 7 Για να μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και στο γινόμενο προσθέτουμε τον αριθμητή του κλάσματος. Το άθροισμα αυτό είναι ο αριθμητής του κλάσματος και ο παρονομαστής παραμένει ίδιος. Για παράδειγμα έχουμε: = 7 = = Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό Η μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό πραγματοποιείται με τη διαίρεση του αριθμητή δια τον παρονομαστή του.

10 14 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ :4 0,75 4 = = και 15 15:1 1,5 1 = = Κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000 κ.λ.π. (δεκαδικά κλάσματα) μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικούς αριθμούς γράφοντας τον αριθμητή με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι τα μηδενικά του παρονομαστή. 1 1, 10 = και 5 0, = Ένας δεκαδικός αριθμός μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα όπως παρακάτω: 5,5 = και ,04 = Ρητοί και άρρητοι αριθμοί Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να γραφούν σαν πηλίκο δυο ακεραίων α- ριθμών όπως οι αριθμοί 1, 5 6, κ.λ.π. και συμβολίζονται με το γράμμα Q. Επομένως όλοι οι ακέραιοι είναι ρητοί (διότι μπορούν να γραφούν σαν κλάσματα με παρονομαστή τη μονάδα αφού α = α 1 ) όπως και οι δεκαδικοί αριθμοί που δεν έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, μαζί με τους περιοδικούς δεκαδικούς είναι επίσης ρητοί. Άρρητοι αριθμοί είναι οι δεκαδικοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία (εκτός από τους περιοδικούς). Γενικά, οι ρίζες των αριθμών που δεν είναι τετράγωνα ακέραιων, όπως οι, κ.λ.π. είναι άρρητοι αριθμοί, ενώ ο 4 είναι ρητός διότι 4 =. Το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί και συμβολίζονται με το γράμμα R. Αντίθετοι αριθμοί ονομάζονται δυο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν. Για παράδειγμα, ο αντίθετος του είναι ο και του 1 8 είναι ο 1. Ο μοναδικός αριθμός 8 που έχει αντίθετο τον εαυτό του είναι το 0. Αντίστροφοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με τη μονάδα. Για παράδειγμα ο αντίστροφος του είναι ο και του 5 είναι ο 1. Ο μοναδικός αριθμός που δεν έχει αντίστροφο είναι το 0, ενώ οι αριθμοί 1 και -1 έχουν 5 αντίστροφο τον εαυτό τους.

11 1 Πραγματικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση αριθμών Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό σε μια τάξη του, ακολουθούμε τους παρακάτω κανόνες: α) Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 0, 1,, ή 4, αφήνουμε τα ψηφία του αριθμού όπως είναι μέχρι και την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε όλα τα επόμενα ψηφία με μηδενικά. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό.541 στην πλησιέστερη εκατοντάδα. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 5 και το επόμενο ψηφίο είναι το 4. Επομένως, η στρογγυλοποίηση γίνεται ως εξής: β) Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε όλα τα επόμενα ψηφία με μηδενικά. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 9,76 στο πλησιέστερο δέκατο. Το ψηφίο των δέκατων είναι το και το επόμενο ψηφίο είναι το 7. Επομένως, η στρογγυλοποίηση γίνεται ως εξής: 9,76 9,400 ή 9,4 6. Δυνάμεις αριθμών ν ν Δύναμη α ενός αριθμού α ονομάζουμε το γινόμενο α =α α α... α όπου ο α- ριθμός α ονομάζεται βάση της δύναμης και ο ν εκθέτης. ν φορές 1 Επομένως, α =α, α =α α, α =α α α κ.λ.π. = = 9 = = = =

12 16 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ ( ) = ( ) ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),5,5,5,5 15, 65 1,1 = 1,1 1,1 1,1 1,1 = 1, Επίσης ορίζουμε α = 1 και ( 006) 0 = = = ( 4) = = 4 64 ( ) = = = = 5 15 ν 1 α = α ν Οι δυνάμεις που έχουν βάση το 10 ονομάζονται δεκαδικές δυνάμεις οι οποίες υ- πολογίζονται ως εξής: α) Αν ο εκθέτης είναι θετικός αριθμός, τότε τοποθετούμε μετά τη μονάδα τόσα μηδενικά όσα υποδεικνύει ο εκθέτης. 10 = = = β) Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας δεκαδικός αριθμός που το ακέραιο μέρος είναι μηδέν και το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων είναι ίσο με τον εκθέτη της δύναμης. 10 = 0, = 0, = 0,000001

13 1 Πραγματικοί αριθμοί 17 Τέλος, για τον υπολογισμό των δυνάμεων, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: iii) iii) x y x+ y α α =α iv) x α x y y =α α iii) x x α β = ( α β ) x α β x x α = β x iv) ( α ) y =α x x y 7. Ρίζες αριθμών Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζουμε έναν μη αρνητικό αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή: 0 = 0 διότι 1= 1 διότι 5 = 5 διότι 0 = 0 1 = 1 5 = 5 ( α ) =α όπου α 0 = 1, Επίσης ορίζονται και ρίζες οποιασδήποτε τάξης (νιοστές ρίζες), όπως οι κυβικές ρίζες. 8 = διότι 4 81 = διότι = 8 4 = 81 Τέλος, για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: ii) α β = α β ii) α β = α β

14 18 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 8. Τυποποιημένη μορφή αριθμών Πολύ μεγάλοι αριθμοί μπορούν να γραφούν συντομότερα στη μορφή α 10 ν όπου ν θετικός ακέραιος αριθμός και α πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του = 1, = 5,4 10 Αντίστοιχα, πολύ μικροί αριθμοί μπορούν να γραφούν συντομότερα στη μορφή α 10 ν όπου ν θετικός ακέραιος αριθμός και α πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10. 0, =, , = 1, Ο παραπάνω τρόπος γραφής ονομάζεται τυποποιημένη ή εκθετική μορφή αριθμού και είναι πολύ χρήσιμη για τη σύγκριση δυο ή περισσότερων τέτοιων αριθμών. 9. Διαιρετότητα Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς τον αριθμό αυτόν. Για παράδειγμα οι διαιρέτες του 1 είναι: 1,,, 4, 6, 1. Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και τη μονάδα λέγονται πρώτοι, διαφορετικά ονομάζονται σύνθετοι. Για παράδειγμα, οι αριθμοί,, 5, 7, 11, 1 είναι πρώτοι, ενώ οι αριθμοί 4, 6, 8, 9, 10 είναι σύνθετοι. Γενικά ισχύουν οι παρακάτω κανόνες διαιρετότητας: α) Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του. Για παράδειγμα, ο αριθμός διαιρεί τον 1. β) Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο, είναι πολλαπλάσιός του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 48 που είναι πολλαπλάσιος του 6, διαιρείται από αυτόν. γ) Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλο, τότε διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 διαιρεί τον 1, επομένως θα διαιρεί και το 6 που είναι πολλαπλάσιο του 1.

15 1 Πραγματικοί αριθμοί 19 δ) Αν ένας αριθμός διαιρεί δυο άλλους αριθμούς, τότε διαιρεί και το άθροισμα και τη διαφορά τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 διαιρεί το 45 και το 0, επομένως θα διαιρεί και το 45+0=65 και το 45-0=5. Τέλος, μπορούμε να διακρίνουμε αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, το, το 5 ή το 9 σύμφωνα με τα εξής κριτήρια διαιρετότητας: α) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0,, 4, 6 ή 8. Για παράδειγμα, ο αριθμός 1.65 διαιρείται με το, ενώ ο 1955 δεν διαιρείται. β) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Για παράδειγμα, ο αριθμός.005 διαιρείται με το 5, ενώ ο.006 δεν διαιρείται. γ) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το. Για παράδειγμα, ο αριθμός διαιρείται με το διότι το άθροισμα =4 διαιρείται με το. δ) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Για παράδειγμα, ο αριθμός.501 διαιρείται με το 9 διότι το άθροισμα =9 διαιρείται με το Λυμένα προβλήματα 1. Σ ένα ημερολόγιο διαγράφουμε τις ημερομηνίες του μηνός Ιουλίου 004 οι οποίες περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο. Ο αριθμός των ημερών που μένουν είναι: α) 9 β) 10 γ) 1 δ) 15 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η α, διότι: Ο Ιούλιος έχει 1 ημέρες. Διαγράφοντας τις ημέρες που περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο στον παρακάτω πίνακα, έχουμε:

16 0 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ Επομένως, οι ημερομηνίες που μένουν είναι:, 4, 6, 8, 0,, 4, 6 και 8 που είναι 9 στο πλήθος.. Σε μια λαχειοφόρο αγορά, οι λαχνοί αριθμήθηκαν από το 1 έως το 50. Αν κάποιος αποφασίσει να αγοράσει όλους τους λαχνούς που λήγουν στο ψηφίο και κάθε λαχνός κοστίζει, τότε το συνολικό ποσό των χρημάτων που θα δαπανήσει είναι: α) 46 β) 5 γ) 50 δ) 48 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Οι λαχνοί που θα αγοράσει είναι οι εξής:, 1,,, 9, 10, 11, 1,, 19, 0, 1,, λαχνοί 10 λαχνοί 5 λαχνοί Επομένως, θα αγοράσει συνολικά 5 λαχνούς και θα πληρώσει 5 =50.. Σ ένα παλιό βιβλίο που οι σελίδες του με άρτια αρίθμηση βρίσκονται στο αριστερό μέρος και οι σελίδες με περιττή αρίθμηση στο δεξιό μέρος, λείπουν ορισμένες συνεχόμενες σελίδες. Η τελευταία σελίδα πριν από το κενό των σελίδων που λείπουν έχει τον αριθμό 6. Η αμέσως επόμενη δεξιά σελίδα έχει τον αριθμό 59. Ο α- ριθμός των φύλλων που λείπουν, σε αυτό το κενό, είναι: α) 10 β) 11 γ) 1 δ) (Θέμα Εξετάσεων 004)

17 1 Πραγματικοί αριθμοί 1 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η β, διότι: Κάθε φύλλο έχει σελίδες, οπότε κατά σειρά λείπουν τα φύλλα που αντιστοιχούν στις σελίδες: 7-8, 9-40, 41-4, 4-44, 45-46, 47-48, 49-50, 51-5, 5-54, 55-56, που είναι 11 στο πλήθος. 4. Το άθροισμα των ηλικιών μιας τετραμελούς οικογένειας είναι ίσο με 10 έτη. Αν η ηλικία της μητέρας είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης, η ηλικία του πατέρα είναι κατά 1 έτος μεγαλύτερη από την ηλικία της μητέρας και η ηλικία του γιου είναι άρτιος αριθμός, τότε η ηλικία της κόρης είναι ίση με: α) 18 β) 0 γ) 1 δ) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Η ηλικία της μητέρας είναι άρτιος αριθμός διότι είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης (το διπλάσιο κάθε αριθμού είναι άρτιος αριθμός). Επομένως, η ηλικία του πατέρα είναι περιττός αριθμός. Το άθροισμα των ηλικιών της μητέρας, του πατέρα και του γιου διαμορφώνεται ως εξής: Μητέρα Πατέρας Γιος Άθροισμα (άρτιος) + (περιττός) + (άρτιος) = (περιττός) Αν υποθέσουμε ότι η ηλικία της κόρης είναι άρτιος αριθμός τότε το συνολικό άθροισμα θα ήταν περιττός αριθμός διότι (άρτιος) + (περιττός) = (περιττός). Αυτό όμως είναι αδύνατο επειδή το άθροισμα όλων των ηλικιών είναι 10 που είναι άρτιος αριθμός. Επομένως, η ηλικία της κόρης πρέπει να είναι περιττός αριθμός, δηλαδή 1 ετών Η μάζα της Γης είναι περίπου ίση με 610 κιλά και η μάζα του Δία είναι περίπου 7 ίση με 1,9 10 κιλά. Με στρογγυλοποίηση στη μονάδα, η μάζα του Δία σε σχέση με τη μάζα της Γης είναι: α) 15 φορές μεγαλύτερη β) 00 φορές μεγαλύτερη

18 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ γ) 16 φορές μεγαλύτερη δ) 17 φορές μεγαλύτερη ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η δ, διότι: Σχηματίζοντας το λόγο των δύο μαζών έχουμε: ΜΑΖΑ ΔΙΑ ΜΑΖΑ ΓΗΣ 1,9 10 1, = = = 0, = 16, μονάδες και με στρογγυλοποίηση στη μονάδα προκύπτει ότι η μάζα του Δία είναι 17 φορές μεγαλύτερη από τη μάζα της Γης. 6. Αν για τον θετικό αριθμό x ισχύει ότι x =69 +9, τότε ο αριθμός x είναι ίσος με: α) 98 β) 110 γ) 115 δ) 165 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Εκτελώντας τις πράξεις έχουμε = = 1.5. Επειδή ο αριθμός λήγει σε 5, θα πρέπει ο x να λήγει σε 5. Με δοκιμές υπολογίζουμε ότι 115 = 15. (Παρατήρηση: Λύση του προβλήματος είναι η x = 1.5, που είναι όμως δύσκολος ο υπολογισμός της χωρίς χρήση υπολογιστή τσέπης) α 1 7. Αν =, τότε ισχύει ότι: 5 β 10 α) β) γ) δ) β =10 α 5 β =10 α 7 β =10 α 10 α =10 β 10

19 1 Πραγματικοί αριθμοί ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: 5 Πολλαπλασιάζοντας τους όρους των δυο κλασμάτων χιαστί έχουμε β=10 α και υ- ψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη προκύπτει ότι: ( ) ( ) β = 10 α = 10 α = 10 α = 10 α. 8. Το άθροισμα του (δεκαδικού) αριθμού με: α) 4 β) 6 γ) 7 δ) 10 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η β, διότι: Ο δοσμένος αριθμός υπολογίζεται ως εξής: = , , , = 11100, είναι ίσο Επομένως το άθροισμα των ψηφίων του είναι Ένας άνδρας μέσου ύψους και βάρους, καταναλώνει ενέργεια περίπου 100 θερμίδων ανά ώρα. Η ενέργεια που κατανάλωσε σε ολόκληρη τη ζωή του ένας άνδρας 85 ετών είναι: 8 α) 7, θερμίδες β) γ) 5 7, θερμίδες 6 7, θερμίδες 7 δ) 7, θερμίδες ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η δ, διότι: Εφ όσον καταναλώνει 100 θερμίδες ανά ώρα, τότε θα κατανάλωνε 4 100=.400 θερμίδες ημερησίως και = θερμίδες το έτος. 7 Επομένως, σε 85 έτη κατανάλωσε = θερμίδες ή 7, θερμίδες.

20 4 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 10. Ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός που μπορεί να γραφτεί με χρήση μόνο ψηφίων και διαιρείται ταυτόχρονα με το, το, το 5 και το 9, είναι ο: α) 9900 β) 9090 γ) 8989 δ) 9898 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η α, διότι: Ένας αριθμός διαιρείται με το όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0,, 4, 6 ή 8, ενώ ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Επομένως, για να διαιρείται ένας αριθμός με το και το 5 ταυτόχρονα, πρέπει το τελευταίο του ψηφίο να είναι 0. Έτσι αρκεί να βρούμε ένα ψηφίο, το διπλάσιο του οποίου, να διαιρείται με το 9 (οπότε θα διαιρείται και με το ). Το ζητούμενο ψηφίο είναι το 9 διότι 9+9=18 που διαιρείται με το 9 (και με το ). Από αυτά τα δύο ψηφία προκύπτουν οι τετραψήφιοι αριθμοί 9900 και 9090 και ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο Προβλήματα προς λύση 1. Το πλήθος των φυσικών αριθμών από το 15 έως το 11 είναι: α) 76 β) 77 γ) 75 δ) 78 [Υπόδειξη: Το πλήθος των αριθμών είναι (11-15)+1=77 ]. Μία πόλη της Νορβηγίας έχει θερμοκρασία -9 C και την ίδια στιγμή στην Αθήνα η θερμοκρασία είναι 6 C. Η διαφορά θερμοκρασίας των δύο πόλεων είναι: α) 4 C β) 5 C γ) 17 C δ) 18 C [Υπόδειξη: Η διαφορά θερμοκρασίας είναι o = 5 C]

21 1 Πραγματικοί αριθμοί 5. Το πλήθος των άρτιων που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 41 και 66 είναι: α) 5 β) 11 γ) 1 δ) 1 [Υπόδειξη: Οι άρτιοι από το 4 έως και το 64 είναι 1 στο πλήθος] 4. Στην αριστερή πλευρά μιας οδού, τα σπίτια αριθμούνται με περιττούς (μονούς) α- ριθμούς. Αν το τελευταίο σπίτι έχει αριθμό 15, τότε το πλήθος των σπιτιών που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά είναι: α) 76 β) 15 γ) 77 δ) 15 [Υπόδειξη: Το πλήθος είναι = 77 σπίτια] 5. Αν οι αριθμοί α, β, γ δεν είναι όλοι περιττοί και ισχύει ότι α+β+γ=005, τότε το πλήθος των άρτιων (από τους α, β, γ) είναι: α) 0 β) 1 γ) δ) [Υπόδειξη:Γνωρίζουμε ότι (άρτιος)+(άρτιος)+(άρτιος)=(άρτιος), (άρτιος)+(άρτιος)+(περιττός)=(περιττός) και (άρτιος)+(περιττός)+(περιττός)=(άρτιος). Επομένως οι περιπτώσεις οι άρτιοι να είναι ένας ή τρεις στο πλήθος αποκλείονται] Αν α =, β = 1,41, γ = και δ =, τότε με στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο εκατοστό, ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς είναι: α) Ο αριθμός α β) Ο αριθμός β γ) Ο αριθμός γ δ) Ο αριθμός δ [Υπόδειξη: Οι αριθμοί σε δεκαδική και στρογγυλοποιημένη στο εκατοστό μορφή γίνονται αντίστοιχα 4 α = = 1,... 1,, β = 1,41 1,4, 7 γ = = 1,4 1,4 και 5 18 δ = = 1,8 1, ] 1000

22 6 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 7. Με στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο δέκατο ο αριθμός ισούται με: 4 α) 4, β) 4, γ) 4,5 δ) 4,4 1-0 [Υπόδειξη: Ο αριθμός είναι = 0,5 + 0, = 4,5 ο οποίος με 4 στρογγυλοποίηση δεκάτου γίνεται 4,5] 1 8. Αν διατάξουμε τα κλάσματα α =, β =, γ =, από το μεγαλύτερο στο μικρότερο, τότε η σειρά με την οποία γράφονται είναι: α) β, γ, α β) γ, α, β γ) α, β, γ δ) β, α, γ [Υπόδειξη: Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το 56 και προκύπτει ότι α=1/56, β=4/56 και γ=14/56] 9. Ένα κλάσμα μεγαλύτερο του /5 και μικρότερο του 4/5 είναι το: α) 7/10 β) 5/5 γ) 6/10 δ) 8/10 [Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας τους όρους των δυο κλασμάτων με το προκύπτουν τα ισοδύναμα κλάσματα 6/10 και 8/10. Επομένως, το ζητούμενο κλάσμα είναι το 7/10] 10. Το 1/ του κλάσματος 1/ είναι το: α) 1/15 β) 1/9 γ) 1/6 δ) 1 [Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζουμε τα δυο κλάσματα και προκύπτει το κλάσμα 1/9]

23 1 Πραγματικοί αριθμοί Αν x =10 +5, τότε ο αριθμός x είναι ίσος με: α) β) 4 γ) 5 δ) 6 [Υπόδειξη: Επειδή = 15, προκύπτει ότι x=5 διότι 5 = 15 ] 1. Αν κ = 11 λ 1, τότε ο αριθμός λ κ α) 4 β) 4 γ) δ) λ [Υπόδειξη: Έχουμε ότι = = ] κ ( ) 1. Η τιμή της παράστασης ( ) α) 1 β) γ) 9 δ) [Υπόδειξη: Γνωρίζουμε ότι 0 α = 1] ισούται με: 0 9 είναι ίση με: 14. Το πλήθος των αριθμών μεταξύ 1 και 0, που υψωμένοι στο τετράγωνο, έχουν τελευταίο ψηφίο το 4, είναι: α) 8 β) 5 γ) 4 δ)

24 8 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ [Υπόδειξη: Το τετράγωνο κάθε αριθμού που λήγει σε ή σε 8, έχει τελευταίο ψηφίο το 4. Επομένως, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι το, το 8, το 1 και το 18 ] Ο αριθμός ισούται με: α) ,400 β) ,04 γ) 8.567,4 δ) , [Υπόδειξη: Έχουμε ότι 8 10 = , 5 10 = 5.000,6 10 = 600,7 10 = 7 και 4 10 = 0,04. Αθροίζοντας προκύπτει ο αριθμός ,04] Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το: α) 5 β) 6 γ) 0 δ) 1 [Υπόδειξη: Κάθε δύναμη του 11 λήγει σε 1, κάθε δύναμη του 0 λήγει σε 0 και κάθε δύναμη του 5 λήγει σε 5. Επομένως, το τελευταίο ψηφίο του δοθέντος αριθμού είναι 1+0+5=6 ] Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού ισούται με: α) 9 β) 8 γ) 7 δ) 6 [Υπόδειξη: Ο αριθμός ισούται με 00,01, οπότε το άθροισμα των ψηφίων του είναι +++1=9] 18. Το πλήθος των ψηφίων που χρειάζονται για να αριθμηθεί ένα βιβλίο 10 σελίδων είναι ίσο με: α) 90 ψηφία β) 10 ψηφία γ) 18 ψηφία δ) 8 ψηφία [Υπόδειξη: Για τις σελίδες 1-9 χρειάζονται 9 ψηφία, για τις σελίδες χρειάζονται 90=180 ψηφία και για τις σελίδες χρειάζονται 1=9 ψηφία. Επομένως συνολικά χρειάζονται =8 ψηφία ] 19. Για να διαιρείται ο αριθμός 8x1 με το 9, τότε το ψηφίο x ισούται με: α) 5 β) 6

25 1 Πραγματικοί αριθμοί 9 γ) 7 δ) 1 [Υπόδειξη: Ένας αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Το άθροισμα των γνωστών ψηφίων του δοθέντος αριθμού είναι 8++1=11. Επομένως, το ψηφίο x πρέπει να ισούται με 7 ώστε το συνολικό άθροισμα να είναι 18, που διαιρείται με το 9] 0. Το πλήθος των πρώτων διαιρετών του αριθμού 0 ισούται με: α) 4 β) γ) 5 δ) [Υπόδειξη: Οι διαιρέτες του 0 είναι οι 1,,, 5, 6, 10, 15 και 0. Από αυτούς πρώτοι είναι οι, και 5] 1. Αν σήμερα είναι Πέμπτη, τότε μετά από 81 ημέρες θα είναι: α) Δευτέρα β) Τρίτη γ) Τετάρτη δ) Κυριακή [Υπόδειξη: Διαιρώντας το 81 με το 7 βρίσκουμε πηλίκο 11 και υπόλοιπο 4. Επομένως, μετά από 81 ημέρες θα έχουν περάσει 11 εβδομάδες και 4 ημέρες]. Ο αριθμός των χρηστών του διαδικτύου που έχουν επισκεφθεί την ιστοσελίδα των εκδόσεων «Κλειδάριθμος» είναι.9. Αυτός ο αριθμός έχει την ιδιότητα ότι μπορεί να διαβαστεί και αντίστροφα. Ο αριθμός των επιπλέον επισκέψεων που απαιτούνται, ώστε να σχηματιστεί ο αμέσως επόμενος αριθμός με την ίδια ιδιότητα, είναι: α) 101 β) 100 γ) 111 δ) 110 [Υπόδειξη: Ο αμέσως επόμενος αριθμός με αυτή την ιδιότητα είναι ο 404. Επομένως, απαιτούνται επιπλέον 404-9=110 επισκέψεις]. Το πλήθος όλων των τετραψήφιων θετικών ακέραιων αριθμών είναι: α) β) γ) δ) [Υπόδειξη: Το πλήθος των θετικών ακέραιων αριθμών από το έως και το είναι 9.000]

26

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 2 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Σελίδα 22: Α Γυμνασίου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Μετρήσεις Μεγεθών Η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα