Μέτρηση της ροής ατμοσφαιρικών μιονίων με τον πρότυπο

Transcript

1 14 Μέτρηση της ροής ατμοσφαιρικών μιονίων με τον πρότυπο ανιχνευτή ΝΕΣΤΩΡ Εισαγωγή Οι μετρήσεις της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων παρέχουν πληροφορίες για το ενεργειακό φάσμα και την σύνθεση των πρωτογενών κοσμικών ακτινών, καθώς επίσης και για τον μηχανισμό παραγωγής αδρονικών καταιονισμών κατά την δημιουργία και διάδοση υψηλό-ενεργειακών νουκλεονίων, πιονίων, καονίων και charmed μεσονίων στην ατμόσφαιρα [156,157]. Επιπλέον της άμεσης μέτρησης της ροής μιονίων στο επίπεδο της θάλασσας [139,159,16], η μέτρηση σε διάφορα βάθη, υπογείως και υποθαλάσσια (ή κάτω από πάγο) μας επιτρέπει την διερεύνηση της υψηλό-ενεργειακής συνιστώσας του φάσματος των ατμοσφαιρικών μιονίων. Ειδικά οι υποθαλάσσιες μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από πολλά συστηματικά σφάλματα, εξαιτίας του μεγάλου ανιχνευτικού όγκου, της ομοιομορφίας του μέσου ανίχνευσης (θαλασσινό νερό) και της πολύ καλής γνώσης που έχουμε για την ύλη που περιβάλλει τον ανιχνευτή. Η κατακόρυφη ροή και η ζενιθιακή γωνιακή κατανομή της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων μετρήθηκαν σε βάθος 38m με τον πρότυπο ανιχνευτή ΝΕΣΤΩΡ [154,161]. Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο ποντισμένος ανιχνευτής λειτούργησε συνεχώς για περισσότερο από ένα μήνα. Ένα σύνολο από περισσότερα από 5 εκατομμύρια γεγονότα συλλέχθηκαν με διαφορετικούς τρόπους σκανδαλισμού, επίπεδα σύμπτωσης και κατώφλια φωτοπολλαπλασιαστών. Στο παρόν Κεφάλαιο περιγράφουμε και αναλύουμε περίπου 4% των επιλεγμένων γεγονότων τα οποία έχουν συλλεχθεί κάτω από σταθερές συνθήκες, κατά την διάρκεια Τ=6958s χρόνου λειτουργίας, και με 4-πλή ή υψηλότερη πολλαπλότητα σκανδαλισμού και με κατώφλι 1 τάσης 3mV σε κάθε φωτοπολλαπλασιαστή. Υπενθυμίζεται ότι η μέση συχνότητα σκανδαλισμού ήταν 3.76Hz. Η αλυσίδα ανάγνωσης και συλλογής δεδομένων (DAQ) λειτουργούσε συνεχώς με πρακτικά μηδενικό νεκρό χρόνο και οι ελεγχόμενες πειραματικές παράμετροι (περιβαλλοντικές και λειτουργικές) παράμεναν σταθερές εντός αποδεκτών ορίων. 1 Η μέση τιμή του ύψους παλμών για κάθε φωτοπολλαπλασιαστή, που αντιστοιχεί στην εκπομπή ενός φωτοηλεκτρονίου από τη φωτοκάθοδο, είναι 12mV. 271

2 Όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο 3, η ακριβής γνώση της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων επιτρέπει την χρήση τους ως μέσο βαθμονόμησης ενός ανιχνευτή νετρίνων. Το παρόν Κεφάλαιο επικεντρώνεται στην εκτίμηση της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων στο βάθος όπου βρίσκεται ο ανιχνευτής Μέτρηση της Ροής των Ατμοσφαιρικών Μιονίων Για να μετρήσουμε τη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων σε βάθος 38 m.w.e. (meter water equvalent ή ισοδύναμα μέτρα νερού), χρησιμοποιούμε την κατανομή της ζενιθιακής γωνίας των ανακατασκευασμένων τροχιών από τα πειραματικά δεδομένα, που παρουσιάστηκε στο Σχήμα 13.7 του Κεφαλαίου 13 ως ιστόγραμμα με κλάσεις που αντιστοιχούν σε ίσα διαστήματα γωνίας. Η κατανομή αυτή θα πρέπει να διορθωθεί για την απόκριση του ανιχνευτή, την αποδοτικότητα επιλογής μιονίων από το σύστημα σκανδαλισμού, την αποδοτικότητα και την ακρίβεια ανακατασκευής των τροχιών. Επειδή οι σχετικοί διορθωτικοί παράγοντες είναι συνάρτηση των παραμέτρων της τροχιάς του μιονίου, χρησιμοποιήθηκε το πακέτο προσομοίωσης του ανιχνευτή (βλέπε Κεφάλαιο 9) για την συνέλιξη των φυσικών ροών με την απόκριση του ανιχνευτή, την αποδοτικότητα και ακρίβεια ανακατασκευής, μέσω Mnte Carl ολοκλήρωσης [154,161]. Η μετρούμενη κατανομή της ζενιθιακής γωνίας που προσδιορίζεται από τα πειραματικά δεδομένα συγκρίνεται με την πρόβλεψη του λογισμικού προσομοίωσης, χρησιμοποιώντας ως εκτιμητή την εκτεταμένη πιθανοφάνειας σε κλάσεις (bnned extended lkelhd estmatr). Έστω d, = 1, 2,..., k, ο αριθμός των ανακατασκευασμένων τροχιών από τα πειραματικά δεδομένα και ανήκουν στην th κλάση του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας. Τότε, k D= d = 1, παριστάνει τον συνολικό αριθμό ανακατασκευασμένων τροχιών από τα πειραματικά δεδομένα. Έστω, επίσης, m ( ε ), = 1, 2,..., k, ο αριθμός των ανακατασκευασμένων γεγονότων προσομοίωσης που κατατάσσονται στην th κλάση του ιστογράμματος της κατανομής της ζενιθιακής γωνίας, μετά από πλήρη προσομοίωση της απόκρισης του ανιχνευτή και ανακατασκευή της τροχιάς. Το διάνυσμα ε= { ε1,..., εr} περιέχει r παραμέτρους, οι οποίες ορίζουν την κατανομή της ροής των μιονίων που χρησιμοποιείται στην παραγωγή των γεγονότων 272

3 προσομοίωσης. Τότε, k M( ε ) = m ( ε), είναι ο συνολικός αριθμός των διαθέσιμων = 1 μιονικών τροχιών προσομοίωσης που έχουν ανακατασκευαστεί, μετά από την δημιουργία τους με παραμέτρους παραγωγής ε. Παρομοίως, έστω m() ε ο αριθμός των μιονίων που δημιουργήθηκαν από το λογισμικό προσομοίωσης με παραμέτρους παραγωγής ε και ζενιθιακή γωνία στην th κλάση, πριν ληφθούν υπόψη η απόδοση του ανιχνευτή και τα κριτήρια επιλογής και ανακατασκευής. Ως εκ τούτου, M() k ε = = 1 m() ε παριστάνει τον συνολικό αριθμό των γεγονότων προσομοίωσης που δημιουργήθηκαν με παραμέτρους κυλίνδρου ακτίνας 1m. ε, εντός Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι η ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων εξαρτάται από την ενέργεια των μιονίων, ακριβώς όπως περιγράφεται με την παραμετροποίηση της αναφοράς [14]. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η ολοκληρωμένη ως προς την ενέργεια ροή μιονίων μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής: dn α dω dt ds = I cs θ (14.1) όπου Ν είναι ο αριθμός των ατμοσφαιρικών μιονίων που διασχίζουν ένα οριζόντιο δίσκο 2 επιφάνειας S, στο βάθος που βρίσκεται ο ανιχνευτής, ενώ τα σύμβολα Ω, t, θ αναφέρονται την στερεά γωνία, χρόνο και ζενιθιακή γωνία, αντίστοιχα. Η εξίσωση (14.1) υποδηλώνει ότι η ροή είναι σταθερή με τον χρόνο και ανεξάρτητη από την αζιμουθιακή γωνία και την απόσταση από τον ανιχνευτή, ενώ το I αναπαριστά την κατακόρυφη ροή 3. Επίσης, υποδηλώνει ότι η μόνη σχετική παράμετρος από την οποία εξαρτάται η παραγωγή των γεγονότων προσομοίωσης είναι ο εκθέτης α και συνεπώς ε = { ε 1} = {α} είναι ένα μονοδιάστατο διάνυσμα. Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε ένα γεγονός στην th κλάση του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας μπορεί να εκτιμηθεί από τα γεγονότα προσομοίωσης, τα οποία έχουν παραχθεί σύμφωνα με το μοντέλο της εξίσωσης (14.1), ως: P(α) m(α) M(α) =, (14.2) 2 Είναι η βάση του κυλίνδρου εντός του οποίου δημιουργήθηκαν οι τροχιές των μιονίων κατά την προσομοίωση. 3 Είναι η ροή για ζενιθιακή γωνία ίση με μηδέν. 273

4 όπου α είναι ο εκθέτης της εξίσωσης (14.1). Κατ επέκταση η πιθανότητα να έχουμε d 1,d 2,,d k γεγονότα στην 1 st,2 nd,,k th περιγράφεται από την ακόλουθη πολυωνυμική κατανομή: D! P(α) = d! d!... d! = κλάση της κατανομής της ζενιθιακής γωνίας k d (P( α)) (14.3) 1 2 k 1 Για την αποφυγή στατιστικής συσχέτισης μεταξύ των διαφορετικών κλάσεων, ορίζουμε την εκτεταμένη μορφή του εκτιμητή πιθανοφάνειας ως εξής [118]: = 1 d λ m(α) ( λ m (α)) e D λμ(α) k (λ Μ(α)) e L= P(α) = (14.4) D! d! πολλαπλασιάζοντας την πολυωνυμική κατανομή της εξίσωσης (14.3) με την κατά Pssn πιθανότητα για παρατήρηση D τροχιών, όταν η αναμενόμενη μέση τιμή είναι λ Μ(α). Η παράμετρος λ είναι ένας παράγοντας κανονικοποιήσης του οποίου η τιμή θα εκτιμηθεί από τα πειραματικά δεδομένα. Ο παράγοντας αυτός φέρει όλη την απαραίτητη πληροφορία για τον προσδιορισμό της κατακόρυφης ροής των μιονίων, I, της εξίσωσης (14.1). Οι παράμετροι λ και α μπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα με ελαχιστοποίηση του αρνητικού φυσικού λογάριθμου της εκτεταμένης μορφής της πιθανοφάνειας της εξίσωσης (14.4). Για να αποφύγουμε την παραγωγή πολλών δειγμάτων Mnte Carl γεγονότων για διαφορετικές τιμές του α, υιοθετούμε την τεχνική του επαναπροσδιορισμού των βαρών στις κλάσεις του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας. Η τεχνική αυτή περιγράφεται λεπτομερώς στην αναφορά [162]. Συγκεκριμένα, έχει διαπιστωθεί ότι η ολοκληρωμένη ως προς την ενέργεια γωνιακή κατανομή που χρησιμοποιείται στην παραγωγή (με το μοντέλο του Okada) του διαθέσιμου δείγματος γεγονότων προσομοίωσης 4 μπορεί να προσεγγιστεί από την ακόλουθη σχέση: dn N dt ds dω e 3. - csθ (14.5) όπου Ν είναι συντελεστής κανονικοποίησης. Η σχετική πιθανότητα για την δημιουργία ενός μιονίου με ζενιθιακή γωνία θ, από το μοντέλο παραγωγής που περιγράφει η εξίσωση (14.1), σε αναφορά προς την πιθανότητα παραγωγής της ίδιας τροχιάς μιονίου από το μοντέλο της εξίσωσης (14.5), δίνεται από τον λόγο: 4 Μετά την πλήρη προσομοίωση του ανιχνευτή, την ανακατασκευή, και την επιλογή των τροχιών, παραμένει ένα δείγμα από 846 τροχιές μιονίων από το σύνολο των μιονίων που παρήχθησαν κατά την προσομοίωση. 274

5 α cs θ sn θ π /2 α cs θ sn θ dθ 3. π /2 3. α csθ csθ 3. csθ w(θ;α)= = (α +1) cs θ e snθ e dθ sn θ e π /2 3. csθ sn θ e dθ (14.6) Με χρήση της σχετικής πιθανότητας, w(θ;α), ως συντελεστή βάρους για κάθε μία από τις τροχιές του διαθέσιμου δείγματος γεγονότων προσομοίωσης, εκτιμούμε τα πλήθη m(α), για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου α, ως το άθροισμα των συντελεστών βάρους: n m(α) = w(θ j;α) j= 1 (14.7) όπου n είναι ο αριθμός των διαθέσιμων ανακατασκευασμένων τροχιών του δείγματος προσομοίωσης με ζενιθιακές γωνίες θ j, j=1,,n, οι οποίες ανήκουν στην th κλάση. Στο Σχήμα 14.1 παρουσιάζονται τα πλήθη, m (α), των κλάσεων του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας για δύο διαφορετικές τιμές του φασματικού δείκτη, α [161]. Σχήμα 14.1: Η κατανομή των ζενιθιακών γωνιών των ανακατασκευασμένων τροχιών μιονίων για το δείγμα προσομοίωσης, μετά από επαναπροσδιορισμό των συντελεστών στατιστικού βάρους που περιγράφεται από τις σχέσεις (14.6) και (14.7). Η μαύρη καμπύλη αντιστοιχεί σε τιμή του φασματικού δείκτη α=7 και η κόκκινη καμπύλη σε τιμή α=2. 275

6 Η στατιστική απροσδιοριστία στην εκτίμηση του πλήθους m (α) συμπεριλαμβάνεται στον εκτιμητή τροποποιώντας τον ορισμό της εκτεταμένης πιθανοφάνειας της εξίσωσης (14.4) ως εξής: k L= = 1 d! m( α ) b 2π σ 2 d (m (α) x) λx (λ x) e 1 2 2σ e dx (14.8) όπου η παράμετρος b πρέπει να εκτείνεται στο άπειρο 5, και σ είναι το σφάλμα στην εκτίμηση του m (α) το οποίο δίνεται από τον ακόλουθο τύπο, υπό την προϋπόθεση τα διάφορα θ j στην εξίσωση (14.7) συνεισφέρουν ανεξάρτητα στον υπολογισμό του m (α): σ 1/2 n 2 = w(θ j;α) (14.9) j1 = Για την εκτίμηση της κατακόρυφης ροής των μιονίων μέσω της προσαρμογής, η παράμετρος λ εκφράζεται συναρτήσει της κατακόρυφης ροής (I στην εξίσωση 14.1), του συνολικού ενεργού πειραματικού χρόνου (Τ=6958s), του συνολικού αριθμού των γεγονότων προσομοίωσης που παρήχθησαν (Μ (α)), της τιμής του φασματικού δείκτη (α) και της επιφάνειας του δίσκου (S= cm 2 ) πάνω στον οποίο παρήχθησαν τα Mnte Carl γεγονότα. Με ολοκλήρωση της εξίσωσης (14.1) σε στερεά γωνία 2π (δηλαδή για ζενιθιακές γωνίες πάνω από τον ορίζοντα) και θέτοντας ίσο με λ Μ (α) τον αριθμό των μιονίων που περνούν διαμέσου ενός δίσκου επιφάνειας S, αποδεικνύεται ότι: Ι 2π TS λ = ο M(α) (α +1) (14.1) Για τον προσδιορισμό του φασματικού δείκτη α και της κατακόρυφης ροής I, ελαχιστοποιούμε τον αρνητικό λογάριθμο της εκτεταμένης μορφής της πιθανοφάνειας (14.8) ως προς τα α, I. Για την ελαχιστοποίηση χρησιμοποιούμε το πακέτο λογισμικού MINUIT της βιβλιοθήκης του CERN [163]. Η προσαρμογή του δείγματος των δεδομένων, με χρήση ισοπίθανων κλάσεων του ιστογράμματος της ανακατασκευασμένης ζενιθιακής γωνίας, καταλήγει στις ακόλουθες τιμές: 5 Στην προσαρμογή χρησιμοποιήσαμε b=m (α), θέτοντας έτσι το κάτω όριο στην ολοκλήρωση ίσο με μηδέν. Το εύρος των κλάσεων ορίστηκε έτσι ώστε στις κλάσεις με το μικρότερο πλήθος γεγονότων, να αντιστοιχεί ένα σ πολύ μικρότερο από.3 m (α) για όλες τις σχετικές τιμές του α. Συνεπώς η ολοκλήρωση επεκτάθηκε τουλάχιστον τρεις τυπικές αποκλίσεις γύρω από την μέση τιμή. 276

7 α = 4.7 ± I = 9. 1 ±.7 1 cm s sr 1 (14.11) με παράγοντα συσχέτισης ίσο με 86% [154,161]. Οι καμπύλες εμπιστοσύνης στο επίπεδο των παραμέτρων α, I που αντιστοιχούν σε επίπεδα εμπιστοσύνης 7% και 9% παρουσιάζονται στο Σχήμα Η μεγάλη τιμή του παράγοντα συσχέτισης μεταξύ των εκτιμούμενων παραμέτρων είναι αποτέλεσμα της συναρτησιακής τους σχέσης, όπως υποδεικνύεται από την εξίσωση (14.1). Σχήμα 14.2: Περιοχές με βαθμούς εμπιστοσύνης 7% και 9% κατά τη ταυτόχρονη εκτίμηση του φασματικού δείκτη α και της κατακόρυφης ροής μιονίων I Στατιστικές ιδιότητες της μεθόδου εκτίμησης Προκειμένου να αποδείξουμε ότι η μέθοδος ανάλυσης που περιγράφηκε στη προηγούμενη Παράγραφο, δεν οδηγεί σε προκατειλημμένες (based) εκτιμήσεις των παραμέτρων, καθώς και ότι καταλήγει σε σωστές εκτιμήσεις της μήτρας σφαλμάτων, χρησιμοποιούμε Mnte Carl προσομοίωση για την παραγωγή 6 χιλίων δοκιμαστικών 6 Εκτιμήσαμε την συνάρτηση της κατανομής πυκνότητας των ανακατασκευασμένων ζενιθιακών γωνιών, μέσω αναπροσαρμογής των συντελεστών βάρους στα διαθέσιμα γεγονότα προσομοίωσης, έτσι ώστε να αντιστοιχεί σε παραγωγή με φασματικό δείκτη α g =4.8, σύμφωνα με το μοντέλο παραγωγής 277

8 δειγμάτων γεγονότων [154,161]. Ο πληθυσμός των τροχιών σε κάθε ένα από αυτά τα δείγματα αντιστοιχεί στον συνολικό ενεργό πειραματικό χρόνο και στο σημείο {α g =4.8, I g =9 1-9 } 7 του παραμετρικού χώρου. Ο φασματικός δείκτης, α, η κατακόρυφη ροή, I, και η μήτρα σφαλμάτων τους,, εκτιμάται από κάθε δοκιμαστικό δείγμα με τον ίδιο τρόπο όπως και στο δείγμα των πειραματικών δεδομένων. D Σχήμα 14.3: Διδιάστατη αναπαράσταση των εκτιμήσεων του φασματικού δείκτη και της κατακόρυφης ροής, χρησιμοποιώντας χίλια Mnte Carl δοκιμαστικά δείγματα, τα οποία παρήχθησαν με παραμέτρους α g =4.8, I g = Η κατανομή των εκτιμούμενων παραμετρικών σημείων, { α,i }, παρουσιάζεται στο Σχήμα Οι μέσες τιμές και ο συμμεταβλητός (cvarance) πίνακας αυτής της κατανομής εκτιμήθηκαν με προσαρμογή μιας διδιάστατης συνάρτηση Gauss. Οι μέσες τιμές βρέθηκαν ίσες με < α >= 4.8 και 9 < I >= 9. 1, σε συμφωνία με τις της εξίσωσης (14.1). Κάθε ένα δείγμα από τα δοκιμαστικά γεγονότα επιλέχθηκε υποθέτοντας ότι η ανακατασκευασμένη ζενιθιακή γωνία είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί αυτή τη κατανομή. 7 Ο δείκτης g δηλώνει.ότι αυτές είναι οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή του Mnte Carl δείγματος. 278

9 τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για την δημιουργία των δοκιμαστικών δειγμάτων. Αυτή η συμφωνία επιδεικνύει το απροκατάληπτο (nn bas) της εκτίμησης των παραμέτρων α, Ι. Επιπλέον, από τον συμμεταβλητό πίνακα των εκτιμούμενων παραμέτρων, -9 {,I }, βρίσκουμε σ =.5, σ =.7 1 και ένα α α I παράγοντα συσχέτισης ίσο με 87%, σε πολύ καλή συμφωνία με τα εκτιμούμενα σφάλματα και το παράγοντα συσχέτισης που υπολογίζεται από την προσαρμογή των πειραματικών δεδομένων και παρουσιάζεται στην εξίσωση (14.11) και στο Σχήμα Το απροκατάληπτο (nn bas) αυτής της τεχνικής στην εκτίμηση των παραμέτρων, επίσης, επιδεικνύεται από τις στατιστικές ιδιότητες της ποσότητας: R =2 ln L L g g (α,i ) (, α I ) (14.12) Η ποσότητα R 8 πρέπει να ακολουθεί χ 2 κατανομή [118], για 2 βαθμούς ελευθερίας, στην περίπτωση όπου οι εκτιμήσεις είναι συνεπείς. Οι τιμές της ποσότητας R υπολογίστηκαν με χρήση των αποτελεσμάτων από την προσαρμογή καθενός από τα χίλια δοκιμαστικά δείγματα. Όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 14.4α, η κατανομή της χ 2 πιθανότητας της ποσότητας R είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των τιμών και 1, αποδεικνύοντας ότι πράγματι η μέθοδος εκτίμησης που αναπτύξαμε έχει την ιδιότητα της «συνέπειας». 8 Η ποσότητα R ορίζεται ως το διπλάσιο του αρνητικού λογάριθμου του λόγου της τιμής της πιθανοφάνειας στο παραμετρικό σημείο {α g, I g } που χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή των δειγμάτων των γεγονότων προς την μέγιστη τιμή της πιθανοφάνειας μετά από την προσαρμογή. 279

10 (α) (β) Σχήμα 14.4: Η κατανομή της πιθανότητας χ 2 της ποσότητας R (α) και της ποσότητας Λ (β), υπολογισμένες από τα αποτελέσματα της προσαρμογής καθενός από τα δοκιμαστικά δείγματα γεγονότων. Η άλλη σημαντική ιδιότητα της τεχνικής της εκτίμησης, συγκεκριμένα ο συνεπής υπολογισμός του πίνακα σφαλμάτων των εκτιμούμενων παραμέτρων, μπορεί να ελεγχθεί από την κατανομή της ποσότητας Λ, που ορίζεται ως εξής: T g g α - α α - α 1 Λ = D (14.13) g g I -I I -I Για να είναι συνεπείς συγχρόνως η εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων του πίνακα σφαλμάτων τους, { α,i } και D 2,η ποσότητα Λ θα πρέπει να ακολουθεί κατανομή χ για 2 βαθμούς ελευθερίας [118]. Το Σχήμα 14.4β παρουσιάζει την κατανομή της χ 2 πιθανότητας για τις τιμές της ποσότητας Λ που έχουν υπολογιστεί για κάθε 28

11 προσαρμογή των δοκιμαστικών δειγμάτων, επιδεικνύοντας 9 εκτίμηση του πίνακα σφαλμάτων. την συνέπεια στην Σαν ένα επιπλέον έλεγχο της ταυτόχρονης εκτίμησης των παραμέτρων α και I από τα πειραματικά δεδομένα, χρησιμοποιήσαμε μια άλλη μέθοδο επαναληπτικής διαδικασίας εκτίμησης, η οποία όμως χειρίζεται «τυφλά» της επίδραση της ακρίβειας στην ανακατασκευή των τροχιών 1. Τα γεγονότα προσομοίωσης με αναπροσαρμογή των συντελεστών βάρους χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό της διαφορικής απόδοσης του ανιχνευτή στην ανακατασκευή των τροχιών μιονίων, ως συνάρτηση της ζενιθιακής γωνίας [154]. Η απόδοση στην ανακατασκευή των τροχιών με ζενιθιακές γωνίες να ανήκουν στην th κλάση, για τιμή του φασματικού δείκτη α, εκτιμάται από το λόγο: e(α ) m(α ) = (14.14) m(α ) όπου m(α ) ( m(α ) ) είναι ο αριθμός τροχιών των μιονίων του δείγματος προσομοίωσης που έχουν ανακατασκευαστεί (παραχθεί) με ζενιθιακές γωνίες να ανήκουν στην th κλάση. Τότε, η ροή για την ζενιθιακή γωνία θ (όπου θ είναι η κεντρική τιμή του th ιστού-κλάσης) υπολογίζεται διορθώνοντας την μετρούμενη κατανομή της ζενιθιακής γωνίας ως εξής: dn d = dω dt ds 2π e(α )Tsnθ Δθ S (14.15) όπου Δθ παριστάνει το εύρος της κλάσης (ιστού) στο ιστόγραμμα της ζενιθιακής γωνίας, ενώ τα υπόλοιπα σύμβολα έχουν οριστεί προηγουμένως. Στο Σχήμα 14.5 παρουσιάζεται συναρτήσει του φασματικού δείκτη, α, η συνολική απόδοση, E(α), στην ανακατασκευή τροχιών μιονίων που ορίζεται ως ο λόγος του αριθμού των επιτυχώς ανακατασκευασμένων μιονικών τροχιών προς τον αριθμό των μιονίων που προσομοιώθηκαν: E(α) = k = 1 k = 1 ιστογράμματος των ζενιθιακών γωνιών [161]. m(α), όπου k είναι ο αριθμός των κλάσεων του m(α) 9 Το ίδιο αποτέλεσμα έχει βρεθεί χρησιμοποιώντας δοκιμαστικά δείγματα γεγονότων που παρήχθησαν για διάφορες τιμές του φασματικού δείκτη, α, μεταξύ των τιμών 4 και 5. 1 Εφεξής, θα αναφερόμαστε σε αυτή τη τεχνική ως «Τυφλή Προσαρμογή». 281

12 Σχήμα 14.5: Η απόδοση στην ανακατασκευή τροχιών μιονίων συναρτήσει του φασματικού δείκτη. Οι διορθώσεις που εκφράζονται από την εξίσωση (14.15) μπορούν να εφαρμοστούν μόνο για γεγονότα με ανακατασκευασμένες ζενιθιακές γωνίες μικρότερες από 9, ενώ οι υπόλοιπες τροχιές αγνοούνται. Η χ 2 προσαρμογή της εξίσωσης (14.1) στα διορθωμένα δεδομένα (χωρισμένα σε κλάσεις ίδιου εύρους), με ελεύθερες παραμέτρους τα α και Ι, οδηγεί σε εκτίμηση α = α 1, η οποία μπορεί να είναι διαφορετική από την τιμή της παραμέτρου α που χρησιμοποιήθηκε στον υπολογισμό της απόδοσης (εξίσωση 14.14). Στο επόμενο βήμα, η απόδοση για κάθε κλάση του ιστογράμματος των ζενιθιακών γωνιών υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (14.14) για τιμή του φασματικού δείκτη, α, ίση με την τιμή α 1 που εκτιμήθηκε στο προηγούμενο βήμα και η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται, θεωρώντας ότι έχει συγκλίνει όταν η παράμετρος α δεν μεταβάλλεται μεταξύ δυο διαδοχικών εκτιμήσεων. Η εφαρμογή της «τυφλής προσαρμογής» στο δείγμα των δεδομένων καταλήγει στην ακόλουθη εκτίμηση: α = 4.6 ± I = ±.6 1 cm s sr 1 (14.16) η οποία είναι σε πολύ καλή συμφωνία με το αποτέλεσμα της τεχνικής αναπροσαρμογής των συντελεστών βάρους (εξίσωση (14.11)) Συστηματικά σφάλματα Επιπλέον συστηματικά σφάλματα στον υπολογισμό του δείκτη, α, και στην κατακόρυφη ροή, Ι, μπορεί να υπεισέρχονται λόγω της εφαρμογής των κριτηρίων 282

13 επιλογής των ανακατασκευασμένων τροχιών, της αναπροσαρμογής των συντελεστών στατιστικού βάρους των γεγονότων προσομοίωσης που χρησιμοποιήθηκε στην προσαρμογή και από τις υποθέσεις που έγιναν για την εξάρτηση της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων από την ενέργεια. Παράλληλα, η συναρτησιακή μορφή της παραμετροποίησης της κατανομής της ζενιθιακής γωνίας που χρησιμοποιήθηκε στην προσαρμογή (εξίσωση 14.1), θα μπορούσε να εισάγει συστηματικές προκαταλήψεις (bas). Στο Κεφάλαιο 12 (βλέπε επίσης [148,153]) έχουμε δείξει ότι η προσομοίωση του ανιχνευτή περιγράφει πολύ καλά την απόκριση του ανιχνευτή στις τροχιές των ατμοσφαιρικών μιονίων. Επιπλέον στο προηγούμενο Κεφάλαιο έχει δειχθεί ότι οι προβλέψεις του λογισμικού προσομοίωσης παρουσιάζουν πολύ καλή συμφωνία με τις κατανομές των φυσικών ποσοτήτων που χρησιμοποιήθηκαν για την ανακατασκευή και επιλογή των τροχιών των μιονίων. Παρολαυτά, μικρές διαφορές μεταξύ των πειραματικών δεδομένων και των προβλέψεων της προσομοίωσης θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε συστηματικές αποκλίσεις στην εκτίμηση των παραμέτρων. Για να τον ποσοτικό προσδιορισμό του μεγέθους των συστηματικών αυτών σφαλμάτων, μεταβλήθηκαν οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων στον ορισμό των κριτηρίων ανακατασκευής και επιλογής των τροχιών 11. Η εκτίμηση των παραμέτρων βρέθηκε να εξαρτάται ελαφρώς από τα κριτήρια επιλογής. Από τις μεταβολές αυτές υπολογίστηκε ότι τα συστηματικά σφάλματα στον προσδιορισμό του φασματικού δείκτη, α, και στη κατακόρυφη ροή Ι είναι της τάξης του 2% [154]. Στην Παράγραφο 14.2 έχει δειχθεί ότι η τεχνική της αναπροσαρμογής των συντελεστών στατιστικού βάρους οδηγεί σε απροκατάληπτη εκτίμηση των παραμέτρων τις ροής μιονίων. Παρόλαυτα, η τεχνική αυτή προϋποθέτει ότι αρκετά γεγονότα προσομοίωσης είναι διαθέσιμα σε κάθε σχετικό σημείο του χώρου φάσης 12. Όμως, το αρχικό δείγμα Mnte Carl γεγονότων δημιουργήθηκε σύμφωνα με την παραμετροποίηση του Okada [14], στην οποία η συνολική ροή των μιονίων με ζενιθιακές γωνίες μεγαλύτερες από 7 είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερη από την ροή για μικρότερες γωνίες. Για να ελέγξουμε πιθανές συστηματικές αποκλίσεις 11 Αυτές οι φυσικές ποσότητες αφορούν τον συνολικό αριθμό φωτοηλεκτρονίων ανά τροχιά, την παράμετρο κρούσης και τη τιμή της φωτο-πιθανοφάνειας. 12 Στην περίπτωση όπου δεν υπάρχουν διαθέσιμα αρκετά γεγονότα προσομοίωσης στα άκρα του χώρου των φάσεων (π.χ. για ζενιθιακές γωνίες κοντά στις 9 ), η τεχνική της αναπροσαρμογής των συντελεστών στατιστικού βάρους δεν περιγράφει επακριβώς την παραγωγή τροχιών μιονίων κοντά στον ορίζοντα και για μικρές τιμές του φασματικού δείκτη α. 283

14 εξαιρέσαμε από την προσαρμογή τροχιές με ανακατασκευασμένες ζενιθιακές γωνίες μεγαλύτερες από 7. Το αποτέλεσμα που βρέθηκε δεν είναι διαφορετικό από την εκτίμηση που παρουσιάζεται στην εξίσωση (14.11), συμπεραίνοντας ότι δεν υπάρχει σημαντικό συστηματικό σφάλμα εξαιτίας της αναπροσαρμογής των συντελεστών στατιστικού βάρους. Έχει, επίσης, ελεγχθεί ότι με χρήση κλάσεων σταθερού εύρους (και για διάφορα εύρη), αντί για ισοπίθανες κλάσεις, στην κατανομή της ζενιθιακής γωνίας, το αποτέλεσμα της προσαρμογής παρέμεινε πρακτικά αμετάβλητο. Η κατανομή της ζενιθιακής γωνίας των ατμοσφαιρικών μιονίων εξαρτάται 13 από την ενέργεια, Ε, των μιονίων στο βάθος που βρίσκεται ο ανιχνευτής, με την εξάρτηση αυτή να είναι πιο έντονη στις μικρές ενέργειες. Η αναπροσαρμογή των συντελεστών στατιστικού βάρους στα γεγονότα προσομοίωσης, σύμφωνα με την ολοκληρωμένη ως προς την ενέργεια ροή που περιγράφει η εξίσωση (14.1), διατηρεί αυτή την εξάρτηση. Όπως είναι αναμενόμενο, οι τροχιές των μιονίων του δείγματος προσομοίωσης μετά από αναπροσαρμογή των συντελεστών στατιστικού βάρους με την χρήση της εξίσωσης (14.6) και α=4.7, επιδεικνύουν μία ροή της μορφής: dn 4.7 I cs ( ) dω dt ds = θ. Όμως, η διαφορική ως προς την ενέργεια ροή εξαρτάται από την ενέργεια ως dn de dω dt ds = θ a(e) R(E) cs ( ) με τον εκθέτη a(e) να κυμαίνεται μεταξύ των τιμών 5.3, για ενέργειες μικρότερες από 3GeV, μέχρι και τιμές μικρότερες από 4., για ενέργειες μεγαλύτερες από 2 TeV [161]. Απουσία πειραματικής πληροφορίας σχετικά με την ενέργεια των μιονίων, εκτιμήθηκε το άνω όριο στο συστηματικό σφάλμα στις εκτιμήσεις μας εξαιτίας της εξάρτησης της κατανομής της ζενιθιακής γωνίας από την ενέργεια των ατμοσφαιρικών μιονίων. Η εκτίμηση του συστηματικού σφάλματος έγινε συγκρίνοντας το αποτέλεσμα (14.11) με το αποτέλεσμα της προσαρμογής στα πειραματικά δεδομένα ενός μοντέλου ροής ατμοσφαιρικών μιονίων που δεν εμπεριέχει καμία συσχέτιση μεταξύ της ενέργειας και της ζενιθιακής γωνίας. Η σχέση 13 Έχουμε βρει ότι η διαφορική ως προς την ενέργεια ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων, σύμφωνα με το g(e) μοντέλο του [14], μπορεί να προσεγγιστεί ως dn csθ = F(E) e με τον εκθέτη g(e) να dε dω dt ds μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών 3.4 για μικρές ενέργειες, μικρότερες από 3 GeV, και 2.5 για ενέργειες μεγαλύτερες από 2TeV. 284

15 παριστά 14 dn (, ) de dω dt ds = ΦΕθ (14.17) την εξάρτηση της διαφορικής (ως προς την ενέργεια) ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων του μοντέλου του Okada [14], το οποίο χρησιμοποιήθηκε στην προσομοίωση για την παραγωγή γεγονότων. Με ολοκλήρωση της εξίσωσης (14.17) ως προς t, S, φ (αζιμουθιακή γωνία), βρίσκουμε: dn = 2π Τ S sn( θ) Φ( Ε, θ). de dθ Έστω ένα άλλο μοντέλο περιγραφής της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων στο βάθος που βρίσκεται ο ανιχνευτής, κατά το οποίο η εξάρτηση της ροής από την ενέργεια και την ζενιθιακή γωνία παραγοντοποιείται ως εξής: Με ολοκλήρωση βρίσκουμε ότι Προφανώς όπου η κατακόρυφος ροή, dn γ = C(E) cs ( θ) de dω dt ds dn γ = 2π Τ S sn( θ) C(E) cs ( θ), de dθ dn = 2π Τ S I sn( θ) cs γ ( θ), dθ, εκφράζεται ως: I (14.18) I Emax = C(E) de. Emn Εάν κανείς δε μετράει την ενέργεια των μιονίων καταλήγει ότι η ζενιθιακή κατανομή που προβλέπει το προτεινόμενο μοντέλο έχει ακριβώς την ίδια μορφή με εκείνη που προκύπτει από το μοντέλο της αναφοράς [14]. Επισημαίνεται ότι το μοντέλο ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων που περιγράφεται από την εξίσωση (14.18) προβλέπει ότι η ζενιθιακή γωνία και η ενέργεια αποτελούν ανεξάρτητες μεταβλητές. Στόχος μας είναι να χρησιμοποιήσουμε στην προσομοίωση το μοντέλο ροής που εκφράζει η σχέση (14.18) και η παραγωγή γεγονότων προσομοίωσης. Τα γεγονότα αυτά θα υποστούν στην συνέχεια την επεξεργασία που περιγράφηκε στην Παράγραφο 14.1, ώστε να χρησιμοποιηθούν στην εκτίμηση των παραμέτρων που εκφράζουν την κατακόρυφη ροή και τον φασματικό όρο. Απομένει να επιλέξουμε τη συνάρτηση 14 Η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης Φ( Εθ, ) περιγράφεται στην Παράγραφο 9.1 (βλέπε επίσης και αναφορά [14]). 285

16 C(E). Προς τούτο επιλέγουμε την ενεργειακή κατανομή των μιονίων να ταυτίζεται με την πρόβλεψη του μοντέλου του Okada [14] ολοκληρωμένη ως προς όλες τις γωνιακές κατευθύνσεις, ώστε 15 : C(E)= π/2 Φ(Ε,θ) sn(θ)dθ (14.19) Δεν είναι αναγκαίο να παράγουμε καινούριο δείγμα γεγονότων προσομοίωσης. Αρκεί να προσάψουμε τον κατάλληλο συντελεστή στατιστικού βάρους σε κάθε ένα από τα γεγονότα που έχουν παραχθεί σύμφωνα με το μοντέλο της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων (εξίσωση 14.17) [14]. Βεβαίως, οι συντελεστές στατιστικού βάρους είναι συναρτήσεις και της ενέργειας του μιονίου όπως επιλέγεται στην προσομοίωση. Επιπλέον, οι συντελεστές στατιστικού βάρους εξαρτώνται από την τιμή του φασματικού δείκτη, γ, στον οποίο θέλουμε να αντιστοιχεί το παραγόμενο δείγμα των γεγονότων προσομοίωσης. Συγκεκριμένα ο συντελεστής βάρους ενός γεγονότος μιονίου, που παρήχθη από το λογισμικό προσομοίωσης με ενέργεια και ζενιθιακή γωνία Ε και θ, αντίστοιχα, προκειμένου να ακολουθεί το μοντέλο της σχέσης (14.18) θα δίνεται από τον λόγο των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας ως: dn de dθ E max π/2 dn ded θ de dθ γ Emn cs ( θ γ+ ) ( 1) w( Εθγ, ; ) = = dn ΦΕθ (, ) π/2 de dθ E max π/2 (, ) sn( )d dn Φ Εθ θ θ ded θ de dθ Emn (14.2) όπου χρησιμοποιήθηκε η επιλογή μας η συνάρτηση C(E) να εκφράζεται από την σχέση (14.19). Χρησιμοποιώντας την σχέση (14.2) στην αναπροσαρμογή των συντελεστών στατιστικού βάρους των γεγονότων προσομοίωσης και ακολουθώντας την μέθοδο εκτίμησης που αναλύθηκε στην Παράγραφο 14.1, καταλήγουμε στην ακόλουθη εκτίμηση: α=4.9±.5, I = ± cm -2 s -1 sr 15 Πράγματι ολοκληρώνοντας την σχέση (14.17) καταλήγουμε: π/2 dn Φ(Ε,θ) sn(θ)dθ de. 286

17 με παράγοντα συσχέτισης μεταξύ των δύο παραμέτρων ίσο με 85% [154]. Οι αποκλίσεις από το αποτέλεσμα που εκφράζει η εξίσωση (14.11) θεωρήθηκαν ως απόλυτες τιμές συμμετρικών συστηματικών σφαλμάτων στην εκτίμηση των μεταβλητών, τα οποία εκφράζουν την αβεβαιότητα στην συσχέτιση μεταξύ της ζενιθιακής γωνίας και της ενέργειας των ατμοσφαιρικών μιονίων. Τέλος, για να εντοπιστούν πιθανά συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται λόγω της επιλογής της συναρτησιακής μορφής (14.1) για να εκφράσει την κατανομή της ζενιθιακής γωνίας των μιονίων, επαναλήφθηκε η διαδικασία εκτίμησης των παραμέτρων υποθέτοντας ότι η ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων εκφράζεται ως: όπου I = J e β dn = J e dω dt ds β csθ (14.21) αντιστοιχεί στην κατακόρυφη ροή. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία που περιγράφηκε στην Παράγραφο 14.1, κάνουμε χρήση της μεθόδου επαναπροσδιορισμού των στατιστικών βαρών με την νέα συναρτησιακή μορφή (14.21) της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων. Κατ αναλογία της εξίσωσης (14.6), ορίζουμε τα στατιστικά βάρη των κλάσεων του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας του δείγματος προσομοίωσης ως εξής: β csθ π /2 β π /2 3. csθ csθ β3. csθ 3. π /2 β csθ csθ π /2 3. csθ e snθ e snθdθ e snθdθ w(θ;β)= =e e snθ e snθdθ e snθdθ (14.22) Οι πληθυσμοί των τροχιών στις αντίστοιχες κλάσεις, m (β), του ιστογράμματος της ζενιθιακής γωνίας του δείγματος προσομοίωσης, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου β, εκτιμούνται ως το άθροισμα των συντελεστών στατιστικού βάρους, σύμφωνα με τις σχέσεις (14.7) και (14.22). Οι παράμετροι Ι και β εκτιμώνται από τα πειραματικά δεδομένα με ελαχιστοποίηση του αρνητικού λογάριθμου της ακόλουθης συνάρτησης πιθανοφάνειας: k L= = 1 d! m(β) b 2πσ 2 m(β) + b d (m (β) x) λx (λ x) e 1 2 2σ e dx (14.23) όπου σ είναι το στατιστικό σφάλμα εκτίμησης του m (β) και δίνεται από τις σχέσεις (14.9) και (14.22). Η παράμετρος b πρέπει να έχει τιμή τέτοια ώστε η ολοκλήρωση 287

18 στην εξίσωση (14.23) να επεκτείνεται τουλάχιστον τρεις τυπικές αποκλίσεις (σ ) γύρω από την μέση τιμή (m (β)) για κάθε κλάση (=1,,k) (βλέπε υποσημείωση 5). Η παράμετρος λ στην σχέση (14.23) εκφράζεται συναρτήσει της κατακόρυφης ροής β ( I = J e ) και του φασματικού δείκτη β. Ολοκληρώνοντας την σχέση (14.21) σε στερεά γωνία 2π, επιφάνεια S (ίση με την επιφάνεια του δίσκου πάνω στον οποίο παρήχθησαν τα γεγονότα προσομοίωσης) και χρόνο Τ (ίσο με τον συνολικό ενεργό πειραματικό χρόνο) και θέτοντας το αποτέλεσμα β csθ β d dt dsje 2π Τ S λ Μ ( ) = Ω λ =2πΤS όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 16 ίσο με λ M(β) βρίσκουμε: I J e π /2 + β β csθ Ie e snθ dθ β =. M(β) Τα αποτελέσματα αυτής της ελαχιστοποίησης του αρνητικού συνάρτησης πιθανοφάνειας (14.23) είναι: β =3.7± I = ±.9 1 cm s sr 1 λογάριθμού της (14.24) Η γωνιακή κατανομή που εκφράζεται από την εξίσωση (14.21) για τις τιμές των παραμέτρων που εκτιμήθηκαν (σχέση 14.24), συμφωνεί 17 εντός των στατιστικών σφαλμάτων με την ροή που ορίζεται από την εξίσωση (14.1) με τις τιμές της κατακόρυφης ροής, Ι, και του φασματικού δείκτη, α, ίσους με τις εκτιμήσεις (14.11) [154,161]. Στο Σχήμα 14.6 συγκρίνονται γραφικά οι δύο εκτιμήσεις με τα πειραματικά σημεία, όπως έχουν διορθωθεί χρησιμοποιώντας την διαφορική απόδοση που ορίστηκε στην Παράγραφο 14.2 (σχέσεις και 14.15). Στο ίδιο Σχήμα παρουσιάζεται επίσης και η εκτίμηση της «τυφλής προσαρμογής» (βλέπε Παράγραφο 14.2) για τη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων, η οποία περιγράφεται από την 16 M(β) είναι ο αριθμός των γεγονότων προσομοίωσης που παρήχθησαν όπως εκτιμάται μετά από τον επαναπροσδιορισμό των στατικών βαρών. 17 Η μικρή απόκλιση, της τάξης του 1%, στην εκτίμηση της κατακόρυφης ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων σε σύγκριση με την αντίστοιχη τιμή της εξίσωσης (14.11), είναι πολύ μικρότερη από το στατιστικό σφάλμα. Επίσης πρέπει να σημειωθεί και η συμφωνία της εκτιμούμενης τιμής του β με την αντίστοιχη παράμετρο στην παραμετροποίηση του Okada της εξίσωσης (14.5) [14]. 288

19 συναρτησιακή μορφή της εξίσωσης (14.1) με τις τιμές των παραμέτρων Ι και α που δίνονται από την σχέση (14.16). Σχήμα 14.6: Σύγκριση των τριών εκτιμήσεων της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων που αναπτύχθηκαν στις προηγούμενες Παραγράφους. Τα σημεία περιγράφουν τα πειραματικά δεδομένα, όπως έχουν διορθωθεί (σχέση 14.15) χρησιμοποιώντας την διαφορική απόδοση του ανιχνευτή στην ανακατασκευή των τροχιών μιονίων. Η διαφορική απόδοση έχει υπολογιστεί από την σχέση (14.14) χρησιμοποιώντας την τιμή του φασματικού δείκτη (σχέση 14.16) που εκτιμήθηκε με την μέθοδο της «τυφλής προσαρμογής». Η συνεχής γραμμή περιγράφει την ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων που εκφράζεται από την συναρτησιακή μορφή της σχέσης (14.1) με τις παραμέτρους, Ι, α, ίσες με τις εκτιμήσεις της «τυφλής προσαρμογής» (σχέση 14.16). Η σκιασμένη περιοχή παριστά την εκτίμηση (14.11) (Παράγραφος 14.1) εντός ενός σίγμα. Η διακεκομμένη γραμμή αναπαριστά την λύση (14.24) που βρέθηκε χρησιμοποιώντας την συναρτησιακή μορφή της εξίσωσης (14.21) στην περιγραφή της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων Αποτελέσματα και Συγκρίσεις Τα αποτελέσματα της εκτίμησης των τιμών των παραμέτρων, τα οποία παρουσιάζονται στην σχέση (14.11), αποδείχθηκε ότι είναι ελεύθερα από στατιστικές προκαταλήψεις (bas) και ότι τα στατιστικά σφάλματα περιγράφουν πιστά την 289

20 ακρίβεια της εκτίμησης. Τα συνολικά συστηματικά σφάλματα εκτιμήθηκαν από το άθροισμα των τετραγώνων της συνεισφοράς των επιμέρους συστηματικών σφαλμάτων εξαιτίας της ανακατασκευής των τροχιών και των κριτηρίων επιλογής, καθώς και της αβεβαιότητας αναφορικά με την ενεργειακή εξάρτηση της ζενιθιακής κατανομής των ατμοσφαιρικών μιονίων. Η τεχνική αναπροσαρμογής των συντελεστών του στατιστικού βάρους, η μέθοδος ορισμού των κλάσεων και η συναρτησιακή παραμετροποίηση της κατανομής της ζενιθιακής γωνίας δεν εισάγουν μετρήσιμα συστηματικά σφάλματα. Τα τελικά αποτελέσματα της εκτίμησης του φασματικού δείκτη και της κατακόρυφης ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων είναι τα εξής: α = 4.7 ±.5( stat) ±.2( syst) I = 9. 1 ±.7 1 ( stat) ±.4 1 ( syst)cm s sr με ένα ποσοστό συσχέτισης μεταξύ των δύο παραμέτρων ίσο με 86%. (14.25) Τα αποτελέσματα αυτά είναι σύμφωνα με προηγούμενες μετρήσεις της ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων σε παρόμοια βάθη. Έχει βρεθεί σε προηγούμενες μετρήσεις [158] η κατακόρυφη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων να είναι I = ± 4. 1 cm s sr σε βάθη μεταξύ 37 και 39 m.w.e. Επίσης, ο φασματικός δείκτης στην γωνιακή κατανομή βρέθηκε ίσος με α = 4.5 ±.8 για βάθος 3697 m.w.e. [11,111]. Η ομάδα του DUMAND έχει μετρήσει [155] I = ±.4 1 cm s sr 4157 m.w.e σε βάθος 377 m.w.e. και +7 α =6-1 σε βάθος Οι μετρήσεις της κατακόρυφης ροής των ατμοσφαιρικών μιονίων βρίσκονται, επίσης σε πολύ καλή συμφωνία με υπάρχουσες φαινομενολογικές παραμετροποιήσεις και μοντέλα. Η παραμετροποίηση του Okada [14] προβλέπει κατακόρυφη ροή ίση με cm s sr I =9 1 cm s sr , ενώ το μοντέλο των Bugaev et al. [156,157] προβλέπει (βλέπε επίσης [139]) για βάθος 38 m.w.e.. Όπως περιγράφηκε στο προηγούμενο Κεφάλαιο (βλέπε επίσης [153]) η προβλεπόμενη μορφή της κατανομής των ζενιθιακών γωνιών από το μοντέλο της αναφοράς [14] βρέθηκε να είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις μετρήσεις μας. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση της εξίσωσης (14.21), εκτιμήσαμε τον εκθέτη β=3.7±.5, ενώ η παραμετροποίηση κατά Okada της ροής αντιστοιχεί σε τιμή του β ίση με

21 14.5 Σχόλια Ατμοσφαιρικά μιόνια ανιχνεύτηκαν και οι τροχιές τους ανακατασκευάστηκαν με τον δοκιμαστικό ανιχνευτή ΝΕΣΤΩΡ, ο οποίος ποντίστηκε σε βάθος 38m στην τοποθεσία του πειράματος ΝΕΣΤΩΡ και συνδέθηκε με το εργαστήριο ξηράς μέσω ενός ηλεκτρο-οπτικού καλωδίου μήκους 3km. Η βασική τεχνική ανίχνευσης και ανακατασκευής η οποία αναπτύχθηκε από την Ομάδα του ΝΕΣΤΩΡ έχει δοκιμαστεί εκτεταμένα και βρέθηκε ικανοποιητική. Παρόλο το περιορισμένο μέγεθος του πρότυπου ανιχνευτή, οι μετρήσεις της κατακόρυφης ροής και της ζενιθιακής κατανομής των ατμοσφαιρικών μιονίων, στο βάθος όπου ποντίστηκε ο ανιχνευτής, βρέθηκαν σύμφωνες με προηγούμενες υποθαλάσσιες μετρήσεις και φαινομενολογικά μοντέλα. Η κατακόρυφη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων και ο φασματικός δείκτης, α, εκτιμήθηκαν να είναι: α = 4.7 ±.5( stat) ±.2( syst) I ( stat).4 1 ( syst)cm s 1 = ± ± sr Στο Σχήμα 14.7 παριστάνεται γραφικά η κατακόρυφη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων σε διάφορα βάθη στο νερό ή στον πάγο [157]. Με κόκκινο κύκλο υποδεικνύεται η τιμή που βρέθηκε στην εκτίμηση που περιγράφεται σε αυτήν την εργασία. Είναι προφανές ότι η πειραματική μέτρηση που περιγράφεται σε αυτή τη διατριβή χαρακτηρίζεται από υψηλότερη ακρίβεια σε σύγκριση με μετρήσεις των άλλων πειραμάτων. 291

22 Σχήμα 14.7: Η κατακόρυφη ροή των ατμοσφαιρικών μιονίων όπως έχει μετρηθεί από διάφορα πειράματα στο νερό (θάλασσα ή λίμνες) ή στον πάγο, συναρτήσει του βάθους σε χιλιόμετρα [157]. Με κόκκινο συμπαγή κύκλο έχει προστεθεί η μέτρηση που περιγράφεται από την σχέση (14.25). 292